合肥市高一上学期数学期末考试试卷A卷
合肥市高一上学期数学期末考试试卷 A 卷
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)
1. （2 分） 已知集合 给出下列函数：① ② 有可取的函数的编号是
，
③
④
（）
，若
， 时，恒有
，现 ，则 所
A . ①②③④
B . ①②④
C . ①②
D.④
2. （2 分） 函数 y=ax（a＞0，a≠1）与 y=xb 的图象如图，则下列不等式一定成立的是（ ）
A . ba＞0
B . a+b＞0
C . ab＞1
D . loga2＞b
3. （2 分） 已知直线 l1:(a+1)x+y-2=0 与直线 l2:ax+(2a+2)y+1=0 互相垂直,则实数 a 的值为（ ）
A . 1或2
B . 1 或-2
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C . -1 或 2 D . -1 或-2
4. （2 分） (2020 高二上·遂宁期末) 坐标原点
若点
，那么 的取值范围为（ ）
在动直线
上的投影为点 ，
A.
B.
C.
D.
5. （ 2 分 ） (2017 高 一 上 · 福 州 期 末 ) 如 下 图 ， 梯 形
,
,
,
,将
沿对角线 折起．设折起后点
平面
平面
.给出下面四个命题：
中， 的位置为
∥ ，并且
①
；②三棱锥
的体积为 ；③
平面
；
④平面
平面
.其中正确命题的序号是（ ）
A . ①②
B . ③④
C . ①③
D . ②④
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6. （2 分） 右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于 （ ）
A.
B.
C.
D. 7. （2 分） (2016 高二上·南昌期中) 点 M 在圆（x﹣5）2+（y﹣3）2=9 上，则 M 点到直线 3x+4y﹣2=0 的最 短距离为（ ） A.9 B.8 C.5 D.2
8. （2 分） (2016 高二上·绍兴期末) 若直线 y=x+m 与曲线 范围为（ ）
=x 有两个不同的交点，则实数 m 的取值
A . （﹣ ， ）
B . （﹣ ，﹣1]
C . （﹣ ，1]
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D . [1， ） 9. （2 分） 已知 A. B. C. D.
， 以下结论中成立的是（ ）
10. （2 分） (2019 高二上·遵义期中) 已知 ，则 的取值范围是（ ）
，若存在三个不同实数
使得
A.
B.
C.
D.
11. （2 分） (2019·广州模拟) 已知点 在直线
上，点 在直线
上， 的
中点为
，且
，则 的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
12. （ 2 分 ） (2020· 汨 罗 模 拟 )
是球 的直径， 、 是该球面上两点，
，
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，棱锥
的体积为 ，则球 的表面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)
13. （1 分） (2019 高一上·银川期中) 已知
，则
________．
14. （1 分） (2017 高一下·鸡西期末) 直线
与直线
的距离是________．
15. （1 分） (2019 高一上·汪清月考) 如图所示，在圆锥
中，
，且
,
， 为 的中点，则异面直线
________.
为底面圆的两条直径，
与
所成角的正切值为
16. （1 分） (2016 高一上·常州期中) 函数 f（x）=x|x﹣1|的单调减区间为________．
三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)
17. （10 分） (2016 高一下·奉新期末) 已知直线 l 的方程为 3x+4y﹣12=0，求直线 l'的方程，使得： （1） l'与 l 平行，且过点（﹣1，3）； （2） l'与 l 垂直，且 l'与两轴围成的三角形面积为 4． 18. （10 分） (2016 高三上·扬州期中) 已知圆 M：x2+y2﹣2x+a=0． （1） 若 a=﹣8，过点 P（4，5）作圆 M 的切线，求该切线方程；
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（2） 若 AB 为圆 M 的任意一条直径，且
=﹣6（其中 O 为坐标原点），求圆 M 的半径．
19. （10 分） (2016 高二上·芒市期中) 已知圆 x2+y2=5 与直线 2x﹣y﹣m=0 相交于不同的 A、B 两点，O 为坐 标原点．
（1） 求 m 的取值范围；
（2） 若 OA⊥OB，求实数 m 的值．
20. （10 分） 如图所示，已知三棱锥 P﹣ABC 中，∠ACB=90°，BC=4，AB=20，D 为 AB 的中点，且△PDB 是等 边三角形，PA⊥PC．
（1） 求证：平面 PAC⊥平面 ABC； （2） 求二面角 D﹣AP﹣C 的正弦值． 21. （10 分） 某租赁公司拥有 汽车 100 辆．当每辆车的月租金为 3000 元时，可全部租出．当每辆车的月租 金每增加 50 元时，未租出的车将会增加一辆． 租出的车每辆每月需要维护费 200 元． （1） 当每辆车的月租金定为 3600 元时，能租出多少辆车？ （2） 当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？ 22. （5 分） 已知圆 O：x2+y2=4，圆 O 与 x 轴交于 A，B 两点，过点 B 的圆的切线为 l，P 是圆上异于 A，B 的 一点，PH 垂直于 x 轴，垂足为 H，E 是 PH 的中点，延长 AP，AE 分别交 l 于 F，C．
（1）若点 P（1， ），求以 FB 为直径的圆的方程，并判断 P 是否在圆上； （2）当 P 在圆上运动时，证明：直线 PC 恒与圆 O 相切．
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一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)
1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、
二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)
13-1、 14-1、
参考答案
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15-1、 16-1、
三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)
17-1、 17-2、
18-1、 18-2、
19-1、
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19-2、 20-1、
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20-2、21-1、21-2、
22-1、。
2020-2021学年安徽省合肥一中高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年安徽省合肥一中高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.设集合( )A.B.C.D.2.下列命题中正确的是( )A. 若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题B. 在△ABC 中“∠A >∠B ”是“sinA >sinB ”的充分必要条件C. 命题“若x 2−3x +2=0，则x =1或x =2”的逆否命题是“若x ≠1或x ≠2，则x 2−3x +2≠0”D. 命题p ：∃x 0≥1，使得x 02+x 0−1<0，则￢p ：∀x <1，使得x 2+x −1≥03. 命题：①“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充要条件； ②y =2x −2−x 是奇函数；③若“p ∨q ”为真，则“p ∧q ”为真； ④若集合A ∩B =A ，则A ⊆B ， 其中真命题的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.定义“正对数”：ln +x ={0,0<x <1lnx,x ≥1，现有四个命题：①若a >0，b >0，则ln +(a b )=bln +a ②若a >0，b >0，则ln +(ab)=ln +a +ln +b ③若a >0，b >0，则ln +(ab )≥ln +a −ln +b ④若a >0，b >0，则ln +(a +b)≤ln +a +ln +b +ln2 其中正确的命题有( )A. ①③④B. ①②③C. ①②④D. ②③④5.锐角△ABC 中，已知a =√3,A =π3，则b 2+c 2+3bc 取值范围是( )A. (5,15]B. (7,15]C. (7,11]D. (11,15]6.已知函数f(x)={log 13x,x >02−x,x ≤0，若0<f(a)<2，则实数a 的取值范围是( )A. (−1,0)∪(19,1) B. (−1,0)∪(19,+∞) C. (−1,0]∪(19，1)D. (−∞,−1)∪(19,+∞)7.函数f(x)=x e x +e −x 的大致图象是( )A.B.C.D.8. 函数在区间上单调递减，且函数值从1减小到，那么此函数图象与轴交点的纵坐标为( )A.B.C.D.9.已知函数f(x)=1+2x+sinx x 2+1，若f(x)的最大值和最小值分别为M 和N ，则M +N 等于( )A. 2B. 3C. 4D. 510. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若√3sin(A +B)=sinA +sinB ，cosC =35，且S △ABC =4，则c =( )A. 4√63B. 4C. 2√63D. 511. 已知函数f(x)={x 2−x +3,x ≤1x +2x,x >1，设a ∈R ，若关于x 的不等式f(x)≥|x3+a|在R 上恒成立，则a 的最大值是( )A. 2√3B. 3916C. 239D. 4√3312. 定义在R 上的函数f(x)满足f(x)={2x +2,0≤x <14−2−x,−1≤x <0，且f(x −1)=f(x +1)，则函数g(x)=f(x)−3x−5x−2在区间[−1,5]上的所有零点之和为( )A. 4B. 5C. 7D. 8二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.一个扇形的中心角为2弧度，半径为1，则其面积为______ ．14.已知g(x)=1−2x，f[g(x)]=1+x2x2(x≠0)，则f(12)=______ ．15.已知函数f(x)=x2−9，g(x)=xx−3，那么f(x)⋅g(x)=______ ．16.已知函数y=kcos(kx)在区间(π4,π3)单调递减，则实数k的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知全集U={x∈N|0<x≤6}，集合A={x∈N|1<x<5}，集合B={x∈N|2<x<6}求(1)A∩B(2)(∁U A)∪B(3)(∁U A)∩(∁U B)18.已知△ABC的面积为4√2，A=C，cosB=−79，求：(1)a和b的值；(2)sin(A−B)的值．19.已知函数f(x)=|x+m|−2|x−1|(m>0)，不等式f(x)≤1的解集为{x|x≤13或x≥3}．(1)求实数m的值；(2)若不等式f(x)≤ax+3a对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．20.(选修4−4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xoy中，过椭圆x212+y24=1在第一象限内的一点P(x,y)分别作x轴、y轴的两条垂线，垂足分别为M，N，求矩形PMON周长最大值时点P的坐标．21.已知函数(Ⅰ)若，且在上的最大值为，求；(Ⅱ)若，函数在上不单调，且它的图象与轴相切，求的最小值．22. 设0≤α≤π，不等式8x2−(8sinα)x+cos2α≥0对任意x∈R恒成立，求α的取值范围．参考答案及解析1.答案：B解析：试题分析：由题意可知，，所以．考点：本小题主要考查集合的运算．点评：由题意得出是解题的关键，还要注意到．2.答案：B解析：解：对于A：若p∨q为真命题，则①p真q真，②p假q真，③p真q假，当p真q真时则p∧q为真命题，故A错误；对于B：在△ABC中“∠A>∠B”⇔“2RsinA>2RsinB”⇔“a>b”⇔“∠A>∠B“，所以在△ABC中“∠A>∠B”是“sinA>sinB”的充分必要条件，故B正确；对于C：命题“若x2−3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题是“若x≠1且x≠2，则x2−3x+ 2≠0”故C错误；对于D：命题p：∃x0≥1，使得x02+x0−1<0，则￢p：∀x≥1，使得x2+x−1≥0，故D错误．故选：B．直接利用真值表，正弦定理，命题的否定，四种命题的关系判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：真值表，正弦定理，命题的否定，四种命题的关系，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．3.答案：B解析：解：①由“ac2>bc2”⇒“a>b”，反之不成立，例如c=0，因此“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件，是假命题；②∵f(−x)=2−x−2x=−f(x)，是奇函数，是真命题；③若“p∨q”为真，则“p∧q”不一定为真，是假命题；④若集合A∩B=A，则A⊆B，是真命题．其中真命题的个数有2．故选：B．①由“ac2>bc2”⇒“a>b”，反之不成立，例如c=0，即可判断出真假；②利用函数的奇偶性即可判断出是否是奇函数，即可判断出真假；③利用复合命题真假的判定方法即可判断出真假；④利用集合运算的性质即可判断出真假．本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的奇偶性、集合的性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：A解析：解：∵定义“正对数”：ln +x ={0,0<x <1lnx,x ≥1，①当0<a <1，b >0时，0=0b <a b <1b =1，左=右=0；当a >1，b >0时，a b >1，左端ln +(a b )=lna b =blna =右端，故①真；②若0<a <1，b >0时，ab ∈(0,1)，也可能ab ∈(1,+∞)，举例如下：ln +(13×2)=0≠ln2=ln +13+ln +2，故②错误；③若0<a <b <1，0<ab <1，左端=0，右端=0，左端≥右端，成立；当0<a <1≤b ，0<ab <1，ln +b =lnb ≥0，左端=0，右端=0−lnb ≤0，左端≥右端，成立； 当1≤a <b 时，ln +(a b )=0，ln +a =lna ，ln +b =lnb ，左端=0≥lna −lnb =右端，成立； 同理可知，当0<b <a <1，0<b <1≤a ，1≤b <a 时，总有左端≥右端； 当0<a =b 时，左端=右端，不等式也成立； 综上，③真；④若0<a +b <1，b >0时，左=0，右端≥0，显然成立； 若a +b >1，则ln +(a +b)≤ln +a +ln +b +ln2⇔ln +a+b 2≤ln +a +ln +b ，成立，故④真；综上所述，正确的命题有①③④． 故选：A ．根据“正对数”概念，对①②③④逐个分析判断即可．本题考查命题的真假判断与应用，着重考查对数函数的性质，考查新定义的理解与应用，突出考查分类讨论思想与综合运算、逻辑思维及分析能力，属于难题．5.答案：D解析：本题综合考查了正余弦定理及两角和与差的三角函数公式，属于拔高题．由正弦定理可得，asinA =bsinB=csinC=√3√32=2，可先表示b，c，然后由△ABC为锐角三角形及可求B的范围，再把bc用sinB，cosB表示，利用三角恒等变形公式进行化简后，结合正弦函数的性质可求bc的范围，由余弦定理可得b2+c2+3bc=4bc+3，从而可求范围．解：由正弦定理可得，asinA =bsinB=csinC=√3√32=2，∴b=2sinB，c=2sinC，∵△ABC为锐角三角形，，且，，=4sinB(√32cosB+12sinB)=2√3sinBcosB+2sin2B，，，，，即2<bc≤3，∵a=√3,A=π3，由余弦定理可得：3=b2+c2−bc，可得：b2+c2=bc+3，∴b2+c2+3bc=4bc+3∈(11,15]．故选：D．6.答案：C解析：解：当a≤0时，0<2−a<2，解得，−a<1；即a>−1，可得−1<a≤0当a>0时，0<log13a<2，解得，19<a<1．∴a∈(−1,0]∪(19，1)，故选：C．将变量a按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并．本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数不等式的解法，属于常规题．7.答案：C解析：解：∵函数f(x)=xe x+e−x ，∴f(−x)=−xe−x+e x=−xe x+e−x=−f(x)，∴f(x)是奇函数，故A错误；∵x<0时，f(x)=xe x+e−x <0，x>0时，f(x)=xe x+e−x>0，故B错误；当x>0时，f(x)=xe x+e−x，由f(0)=0，f(1)=1e+1e=ee2+1，f(2)=2e2+1e2=2e2e4+1，f(3)=3e3+1e3=3e3e6+1，得：当x>0时，f(x)=xe x+e−x，先增后减，故D错误．由排除法得C正确．故选：C．推导出f(x)是奇函数，x<0时，f(x)=xe x+e−x <0，x>0时，f(x)=xe x+e−x>0，当x>0时，f(x)=xe x+e−x先增后减，由此利用排除法能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查函数的图象及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题．8.答案：A解析：试题分析：依题意，利用正弦函数的单调性可求得y=sin(ωx+φ)的解析式，从而可求得此函数图象与y轴交点的纵坐标．解：∵函数y=sin(ωx+φ)在区间上单调递减，且函数值从1减小到−1，∴∴T=π，又T=∴ω=2又sin(2×+φ)=1，∴+φ=2kπ+，k∈Z.∴φ=2kπ+，k∈Z.∵|φ|<，∴φ=∴y=sin(2x+)，令x=0，有y=sin=∴此函数图象与y轴交点的纵坐标为故选A．考点：三角函数图像点评：本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，求得ω与φ的值是关键，也是难点，考查分析与理解应用的能力，属于中档题．9.答案：A解析：解：∵f(x)=1+2x+sinxx2+1，设g(x)=2x+sinxx2+1，∴g(−x)=−2x−sinxx2+1=−2x+sinxx2+1=−g(x)，∴g(x)为奇函数，∴g(x)max+g(x)min=0∵M=1+g(x)max，N=1+g(x)min，∴M+N=1+1+0=2，故选：A．g(x)=2x+sinxx2+1，得到g(x)为奇函数，得到g(x)max+g(x)min=0，相加可得答案．本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的最大值与最小值，属于中档题．10.答案：B解析：解：∵√3sin(A+B)=√3sinC=sinA+sinB，cosC=35，∴由正弦定理可得：√3c=a+b，可得sinC=√1−cos2C=45，∵S△ABC=12absinC=12×45×ab=4，解得：ab=10，∴由余弦定理可得：c=√a2+b2−2abcosC=√(a+b)2−2ab−2ab⋅35=√3c2−32，解得：c=4．故选：B．由已知及正弦定理可得：√3c=a+b，利用同角三角函数基本关系式可得sinC，利用三角形面积公式可求ab=10，由余弦定理即可解得c的值．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．11.答案：D解析：解：函数f(x)={x 2−x +3,x ≤1x +2x ,x >1， 当x ≤1时，关于x 的不等式f(x)≥|x3+a|在R 上恒成立， 即为−x 2+x −3≤13x +a ≤x 2−x +3， 即有−x 2+23x −3≤a ≤x 2−43x +3，由y =−x 2+23x −3的对称轴为x =13<1，可得x =13处取得最大值−269；由y =x 2−43x +3的对称轴为x =23<1，可得x =23处取得最小值239， 则−269≤a ≤239①当x >1时，关于x 的不等式f(x)≥|x3+a|在R 上恒成立， 即为−(x +2x )≤13x +a ≤x +2x ， 即有−(43x +2x )≤a ≤23x +2x ，由y =−(43x +2x )≤−2√43x ⋅2x =−43√6(当且仅当x =√32>1)取得最大值−43√6；由y =23x +2x ≥2√2x3⋅2x =4√33(当且仅当x =√3>1)取得最小值4√33． 则−43√6≤a ≤4√33②； 由①②可得，−269≤a ≤4√33， ∴a 的最大值为4√33． 另解：作出f(x)的图象和折线y =|13x +a|，如图所示； 当x ≤1时，y =x 2−x +3的导数为y′=2x −1， 由2x −1=−13，可得x =13，切点为(13,259)代入y =−13x −a ，解得a =−269； 当x >1时，y =x +2x 的导数为y′=1−2x 2， 由1−2x 2=13，可得x =√3(−√3舍去)，切点为(√3,5√33)，代入y =13x +a ，解得a =4√33；由图象平移可得，−269≤a ≤4√33，∴a 的最大值是4√33． 故选：D ．讨论x ≤1时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得关于a 的不等式，再由二次函数的最值求出a 的范围；当x >1时，同样可得关于a 的不等式，再由基本不等式求得a 的范围，取交集可得所求a 的范围． 另解：作出f(x)的图象和折线y =|13x +a|，利用导数求得函数f(x)切线的斜率与切点， 结合题意求得a 的取值范围．本题考查了分段函数的应用以及不等式恒成立问题，注意运用分类讨论和分离参数法，以及转化思想．12.答案：B解析：解：∵函数f(x)={2x +2,0≤x <14−2−x ,−1≤x <0，且f(x −1)=f(x +1)，函数的周期为2，函数g(x)=f(x)−3x−5x−2，的零点，就是y =f(x)与y =3x−5x−2图象的交点的横坐标，∴y =f(x)关于点(0,3)中心对称，将函数两次向右平移2个单位， 得到函数y =f(x)在[−1,5]上的图象，每段曲线不包含右端点(如下图)，去掉端点后关于(2,3)中心对称． 又∵y =3x−5x−2=3+1x−2关于(2,3)中心对称，故方程f(x)=g(x)在区间[−1,5]上的根就是函数y =f(x)和y =g(x)的交点横坐标，共有三个交点，自左向右横坐标分别为x 1，x 2，x 3，其中x 1和x 3关于(2,3)中心对称， ∴x 1+x 3=4，x 2=1， 故x 1+x 2+x 3=5． 故选：B ．把方程f(x)=g(x)在区间[−1,5]上的根转化为函数y =f(x)和y =g(x)的交点横坐标，画出函数图象，数形结合得答案．本题考查分段函数，函数平移，零点与方程根的关系，属于中档题．13.答案：1解析：解：∵扇形的中心角为2弧度，半径为1， ∴S =12lr =12×2×1×1=1，故答案为1．直接利用扇形的面积计算公式，即可求解． 熟练掌握扇形的面积计算公式是解题的关键．14.答案：17解析：解：∵g(x)=1−2x ，f[g(x)]=1+x 2x 2(x ≠0)，∴f[g(x)]=f(1−2x)=1+x 2x 2(x ≠0)， ∴f(12)=f(1−2×14)=1+(14)2(14)2=17．故答案为：17．由已知得f[g(x)]=f(1−2x)=1+x 2x 2(x ≠0)，由此根据f(12)=f(1−2×14)，能求出f(12).本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．15.答案：x 2+3x (x ≠3)解析：解：函数f(x)=x 2−9，g(x)=xx−3，那么f(x)⋅g(x)=x 2+3x (x ≠3)． 故答案为：x 2+3x (x ≠3)直接相乘即可，一定要注意定义域．本题考查了求函数解析式，要注意定义域，属于基础题．16.答案：[−6,−4]∪(0，3]∪[8，9]∪{−12}解析：本题考查了余弦函数的图象与性质，分类讨论思想，属于中档题．对k的符号进行讨论，利用符合函数的单调性及余弦函数的单调性列不等式组求出f(x)的减区间，令区间(π4,π3)为f(x)单调减区间的子集解出k的范围．解：当k>0时，令2mπ≤kx≤π+2mπ，解得2mπk ≤x≤πk+2mπk，m∈Z，∵函数y=kcos(kx)在区间(π4,π3)单调递减，∴{π4≥2mπkπ3≤πk+2mπk，解得{k≥8mk≤3+6m，m∈Z，∴0<k≤3或8≤k≤9．当k<0时，令−π+2mπ≤−kx≤2mπ，解得πk −2mπk≤x≤−2mπk，m∈Z，∵函数y=kcos(kx)在区间(π4,π3)单调递减，∴{π4≥πk−2mπkπ3≤−2mπk，解得{k≤4−8mk≥−6m，m∈Z，∴−6≤k≤−4，或k=−12，综上，k的取值范围是[−6,−4]∪(0，3]∪[8，9]∪{−12}．故答案为：[−6,−4]∪(0，3]∪[8，9]∪{−12}．17.答案：解：(1)∵集U={x∈N|0<x≤6}，∴U={1,2,3,4,5,6}∵A={2,3,4}.B={3,4,5}．∴A∩B={3,4}(2)C U A={1,5,6}∴(C U A)∪B={1,3,4,5,6}(3)C U B={1,2,6}，∴(C U A)∩(C U B)={1,6}．解析：(1)首先根据集合进行化简，用列举法表示集合U，A，B；然后求出A∩B；(2)由(1)得出(C U A)，再与B求并集(C U A)∪B；(3)根据(1)得到的C U A和C U B，最后求出(C U A)∩(C U B)．本题考查交并补集的混合运算，通过已知的集合的全集，按照补集的运算法则分别求解，属于基础题．18.答案：解：(1)∵B∈(0,π)，∴sinB>0，∵cosB=−79，∴sinB =√1−cos 2B =√1−(−79)2=4√29， ∵A =C ， ∴a =c ，∴S △ABC =12acsinB =12a 2×4√29=4√2，解得a =3√2，由余弦定理可得，b 2=a 2+c 2−2accosB =18+18−2×18×(−79)=64， ∴b =8． (2)∵a sinA=b sinB，∴sinA =asinB b =3√28×4√29=13，∵A ∈(0,π2)，∴cosA =√1−sin 2A =√1−(13)2=2√23， ∴∴sin(A −B)=sinAcosB −cosAsinB =13×(−79)−2√23×4√29=−2327．解析：(1)根据已知条件，运用三角函数的同角公式，可得sinB =4√29，即可得S △ABC =12acsinB =12a 2×4√29=4√2，解得a =3√2，再结合余弦定理，即可求解b 的值．(2)根据已知条件，运用正弦定理，可得sinA =13，再结合三角函数的同角公式和正弦函数的两角差公式，即可求解．本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用，考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题．19.答案：解：(1)f(x)=|x +m|−2|x −1|={x −m −2,x ≤−m3x +m −2,−m <x <1−x +m +2,x ≥1(m >0),作出函数f(x)的图象，结合图象，∵不等式f(x)≤1的解集为{x|x ≤13或x ≥3}． ∴{3×13+m −2=1−3+m +2=1，解得m =2．(2)直线y =ax +3a 过点(−3,0)，且在函数f(x)的图象的上方，a可以看作是直线y=ax+3a的斜率，而过(−3,0)，(1,3)的直线的斜率为4，3,1]．结合图象可得实数a的取值范围为[43解析：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查了转化思想、数形结合思想，体现了转化的数学思想，属于中档题．(1)把f(x)用分段函数来表示，结合图象，可得m．(2))直线y=ax+3a过点(−3,0)，且在函数f(x)的图象的上方，a可以看作是直线y=ax+3a的斜率，而过(−3,0)，(1,3)的直线的斜率为4，3结合图象可得实数a的取值范围．20.答案：解：根据题意，设{x=2√3cosα(α∈[0,2π]为参数)，y=2sinα∴矩形PMON周长为)C=2(2√3cosα+2sinα)=8sin(α+π3)的最大值为1，∵sin(α+π3∴当α=π时，矩形PMON周长取最大值8，6此时点P的坐标为(3,1)．解析：根据椭圆的参数方程设点P(2√3cosα,2sinα)，得到矩形PMON周长C关于α的表达式，化简得C=8sin(α+π)，3结合正弦函数的性质，可得矩形PMON周长最大值及相应的点P坐标．本题给出椭圆上点P，求椭圆内接矩形PMON周长的最大值，着重考查了椭圆的简单几何性质、三角恒等变换和三角函数的最值等知识，属于基础题．21.答案：解析：本题考查函数与方程的应用，函数恒成立，二次函数的简单性质的应用，考查分类讨论以及计算能力．22.答案：解：由题意：不等式8x2−(8sinα)x+cos2α≥0对任意x∈R恒成立，由二次函数的性质可得：△≤0，即：(8sinα)2−4×8×cos2α≤0整理得：4sin2α≤1，∴−12≤sinα≤12∵0≤α≤π，∴0≤α≤π6或5π6≤α≤π．所以α的取值范围是[0,π6]∪[5π6,π]．解析：将不等式看成二次函数恒成立问题，利用二次函数≥0对一切x∈R恒成立，可得△≤0，转化成三角函数问题，即可求解实数α的取值范围．本题主要考查了函数恒成立问题的求解，利用了二次函数数的性质转化成三角函数的问题，属于中档题．。
合肥高一期末考试卷数学
合肥高一期末考试卷数学一、选择题（共60分）1. 设集合A={2,4,6,8}，集合B={1,3,5,7}，则集合A∪B =（）A. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}B. {2, 4, 6, 8}C. {1, 3, 5, 7}D. { }2. 已知函数f(x) = 2x+1，则f(3)=（）A. 5B. 6C. 7D. 83. 若抛物线y=ax²+bx+c的顶点为(1,-2)，则a，b，c的值为（）A. 1，2，-3B. 1，-2，3C. -1，2，-3D. 1，-2，-34. 一个分数的分子是比分母小8，如果把分子分母都减去6，这个数的值就是原来的三分之一，这个分数是（）A. 2/3B. 9/5C. 3/5D. 5/35. 如图，四边形ABCD中，∠DAC=90°，AB⊥CD，AD=8cm，AC=15cm，则面积为（）A. 60cm²B. 48cm²C. 54cm²D. 72cm²6. 若sinθ=3/5，且θ为第二象限角，则cosθ的值为（）A. 4/5B. 3/5C. -4/5D. -3/57. 已知集合A＝{-2, 0, 2, 4, 6}，集合B＝{-1, 0, 1, 3}，则集合A-B=（）A. {-2, 2, 4, 6}B. {-1, 1, 3}C. {-2, 6}D. {-2, 0, 2, 4, 6}8. 若logb8-3logb√2=logb4，则b的值为（）A. 5B. 3C. 2D. 49. 若一个三位数的百位数等于个位数，这个三位数的个位数是2，且百位数与十位数的和为8，这个三位数是（）A. 263B. 383C. 423D. 24310. 在直角三角形ABC中，∠A=90°，AC=6，BC=8，则sinB=（）A. 3/4B. 4/6C. 6/8D. 8/1011. 一个棱长为8的正方体一面沿一坡度为30°的斜面滑下，滑到底时下降了（）A. 4√3B. 4√2C. 4D. 212. 函数y=2x²+5x+3的图象与横轴交点的坐标为（）A. (-3,0)和(-1,0)B. (3,0)和(1,0)C. (2,0)和(-3,0)D. (3,0)和(-5,0)13. 已知正比例函数y=kx中k=3，x=8，则y=（）A. 24B. 2/3C. 3/8D. 8/314. 一盒装有10张纸牌，其中5张红色，5张黑色。
安徽合肥市高一数学第一学期期末考试(必修一、四综合检测)必修一
某某市20072008-学年度第一学期高一年级期末考试 数学试卷 (满分:100分 考试时间:90分钟)一,选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1,已知集合2{|40}A x x =-=,则集合A 的所有子集的个数是A,1 B,2 C,3 D,42,已知集合2{|3},{|log 1}M x x N x x =<=>,则M N =A,φ B,{|03}x x << C,{|13}x x << D,{|23}x x <<3,已知向量(2,3),(cos ,sin )a b θθ==,且//a b ,则tan θ= A,32 B,23- C,23 D,23- 4,函数3sin 1y x =-+的最大值是A,3 B,2- C,1 D,45,如图,半径为r 的定圆,过坐标原点但不与x 轴重合的动直线l ,x 轴的正半轴及圆围成了两个区域,它们的面积分别为m 和n ,则m 关于n 的函数图象的可能形状为A B C D6,已知向量,a b 不共线,且4,9,3AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,则一定共线的三点是 A,,,A B D B,,,A B C C,,,B C D D,,,A C D7,函数()(2)3x f x x =+在区间( )内有零点.A,(2,1)-- B,(0,1) C,(1,0)- D,(1,2)8,函数2()2(1)1f x x a x =-++在区间[2,)+∞上单调递增,则实数a 的取值X 围是A,(,1]-∞ B,(,2]-∞ C,[1,)+∞ D,[2,)+∞二,填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分,将答案填在题中横线上 9,计算:10221()2(2)4π-+⨯= 10,在ABC ∆中,90C ∠=,则sin()cos 2A B A -+= 11,已知221,2,()0a b a b a ==-⋅=,则a 与b 的夹角为12,下表显示的是某商品从4月份到10月份的价格变化统计x (月) 4 56 7 8 9 10 y (元) 15 16.9 19 20.8 23.1 25.2 27在一次函数,二次函数,指数函数,对数函数,这四个函数模型中,请确认最能代表上述变化的函数,并预测该商品12月分的价格为元(精确到整数)13,若函数()sin()sin(),(044f x a x b x ab ππ=++-≠)是偶函数,则有序数对(,)a b 可以是 (写出你认为正确的一组即可)三,解答题:本大题共7小题,共48分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.14(本小题满分6分)在梯形ABCD 中,//AB CD ,2,,AB CD M N =分别是,CD AB 的中点,设12,AB e AD e ==,请将MN 用12,e e 表示.15(本小题满分6分)已知2sin(5)3πα+=,求cos(22)πα-的值.16(本小题满分6分)已知335sin(),cos 6513αββ+==-,且0,22ππαβπ<<<<,求sin α的值.17(本小题满分10分)已知函数()sin 2cos 2f x x x =-(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;(Ⅱ)求函数()f x 在[0,]π上的单调递增区间;(Ⅲ)若3()4f α=,求sin 4α的值.18(本小题满分6分)求函数21,[5,3]2x y x x -=∈--+的最大值与最小值.19(本小题满分8分)已知向量,||1a b b ≠=.(Ⅰ)若||2,||2||a a b a b =+=-,求向量a 与b 的夹角;(Ⅱ)对任意实数t ,恒有||||a tb a b -≥-,求证:()a b b -⊥.20(本小题满分6分)某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据检测,服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线(Ⅰ)写出服药后y 与t 之间的函数关系式()y f t =;(Ⅱ)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.25微克时,治疗疾病有效,求服药一次治疗该疾病有效的时间多少小时?某某市20072008-学年度第一学期高一年级期末考试 数学试卷(参考答案) (满分:100分 考试时间:90分钟)一,选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1,已知集合2{|40}A x x =-=,则集合A 的所有子集的个数是 ( D ) A,1 B,2 C,3 D,42,已知集合2{|3},{|log 1}M x x N x x =<=>,则M N = ( D ) A,φ B,{|03}x x << C,{|13}x x << D,{|23}x x <<3,已知向量(2,3),(cos ,sin )a b θθ==,且//a b ,则tan θ= ( A ) A,32 B,23- C,23 D,23- 4,函数3sin 1y x =-+的最大值是 ( D ) A,3 B,2- C,1 D,45,如图,半径为r 的定圆,过坐标原点但不与x 轴重合的动直线l ,x 轴的正半轴及圆围成了两个区域,它们的面积分别为m 和n ,则m 关于n 的函数图象的可能形状 ( C )A B C D6,已知向量,a b 不共线,且4,9,3AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,则一定共线的三点是 ( B ) A,,,A B D B,,,A B C C,,,B C D D,,,A C D7,函数()(2)3x f x x =+在区间( )内有零点. ( C )A,(2,1)-- B,(0,1) C,(1,0)- D,(1,2)8,函数2()2(1)1f x x a x =-++在区间[2,)+∞上单调递增,则实数a 的取值X 围是 ( A ) A,(,1]-∞ B,(,2]-∞ C,[1,)+∞ D,[2,)+∞二,填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分,将答案填在题中横线上 9,计算:10221()2(2)4π-+⨯=11810,在ABC ∆中,90C ∠=,则sin()cos 2A B A -+= 0 11,已知221,2,()0a b a b a ==-⋅=,则a 与b 的夹角为 4512,下表显示的是某商品从4月份到10月份的价格变化统计x (月) 4 56 7 8 9 10 y (元) 15 16.9 19 20.8 23.1 25.2 27在一次函数,二次函数,指数函数,对数函数,这四个函数模型中,请确认最能代表上述变化的函数,并预测该商品12月分的价格为 31 元(精确到整数)13,若函数()sin()sin(),(044f x a x b x ab ππ=++-≠)是偶函数,则有序数对(,)a b 可以是 (写出你认为正确的一组即可)(,a b 互为相反数,且不为0即可)三,解答题:本大题共7小题,共48分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 14(本小题满分6分) 在梯形ABCD 中,//AB CD ,2,,AB CD M N =分别是,CD AB 的中点,设12,AB e AD e ==,请将MN 用12,e e 表示.【解:】由MN MD DA AN =++ (1)又MN MC CB BN =++ (2),M N 分别是,CD AB 的中点,0;0MD MC AN BN ∴+=+=所以由(1) (2)得2MN DA CB DA CD DA AB =+=+++112222DA BA AB DA AB =++=+ 121144MN DA AB e e =+=- 另解:取AN 的中点E ,//MN DE 且MN DE =易得15(本小题满分6分)已知2sin(5)3πα+=,求cos(22)πα-的值. 【解:】由2sin(5)3πα+=得:2sin 3α=- 21cos(22)cos 212sin 9πααα-==-=16(本小题满分6分)已知335sin(),cos 6513αββ+==-,且0,22ππαβπ<<<<,求sin α的值. 【解:】由0,22ππαβπ<<<<得322ππαβ<+< 又335sin(),cos 6513αββ+==- 25612cos()1sin (),sin 6513αβαββ+=--+=-= 3sin sin[()]sin()cos cos()sin 5ααββαββαββ=+-=+-+=17(本小题满分10分)已知函数()sin 2cos 2f x x x =-(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;(Ⅱ)求函数()f x 在[0,]π上的单调递增区间;(Ⅲ)若3()4f α=,求sin 4α的值. 【解:】(Ⅰ)()sin 2cos 22sin(2)4f x x x x π=-=- 故该函数的最小正周期为π(Ⅱ)由3222,24288k x k k x k k Z πππππππππ-≤-≤+⇒-≤≤+∈ [0,]x π∈所以函数()f x 的单调递增区间为3[0,]8π和7[,]8ππ (Ⅲ)因为3()4f α=,所以397sin 2cos 21sin 4sin 441616αααα-=⇒-=⇒= sin 4α的值为71618(本小题满分6分)求函数21,[5,3]2x y x x -=∈--+的最大值与最小值. 【解:】因为函数215222x y x x -==-++可得该函数在[5,3]--上单调递增, 所以5x =-时,min 113y = 3x =-时,max 7y =19(本小题满分8分)已知向量,||1a b b ≠=.(Ⅰ)若||2,||2||a a b a b =+=-,求向量a 与b 的夹角;(Ⅱ)对任意实数t ,恒有||||a tb a b -≥-,求证:()a b b -⊥.【解:】(Ⅰ)两边平方,可得3cos ,4a b = (Ⅱ)两边平方,根据二次不等式恒成立,可得2(1)01a b a b ⋅-≤⇒⋅=即证20(本小题满分6分)某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据检测,服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线(Ⅰ)写出服药后y 与t 之间的函数关系式()y f t =;(Ⅱ)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.25微克时,治疗疾病有效,求服药一次治疗该疾病有效的时间多少小时?【解:】(Ⅰ)34(01)()1()(1)2t t t y f t t -≤≤⎧⎪==⎨>⎪⎩ (Ⅱ)01t ≤≤时,由140.2516t t ≥⇒≥,治疗疾病的有效时间为1516小时 1t >时,由31()0.25152t t -≥⇒<≤,治疗疾病的有效时间为4小时 故治疗疾病的有效时间为154 4.937516+=小时.。
安徽省部分重点中学2023-2024学年高一上学期期末测试数学试卷含答案
姓名______座位号______（在此卷上答题无效）高一数学（答案在最后）（人教版A ）本试卷共4页，22题.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1.答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}250A x x x =-=，则（）A.{}0A∈ B.5A∉ C.{}5A∈ D.0A∈【答案】D 【解析】【分析】用列举法表示出集合A ，再利用元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即得.【详解】依题意，{0,5}A =，所以0A ∈，5A ∈，B 错误，D 正确；显然{}0A ⊆，{}5A ⊆，AC 错误.故选：D2.12+=（）A.4B.6C.8D.10【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用指数运算、指数式与对数式的互化及换底公式计算即得.【详解】因为1222122log3log3log2==，所以22l11lo3og3g2223622++==⨯=⨯=.故选：B3.中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（）A.01y x=-与0y=B.y=与y=C.y x=与z=D.2y x x=+与32x xyx+=【答案】C【解析】【分析】利用同一函数的定义，逐项分析判断即得.【详解】对于A，函数01y x=-的定义域为{R|0}x x∈≠，函数0y=的定义域为R，两个函数定义域不同，A不是；对于B，函数y=的定义域为{|2}x x≥，函数y=的定义域为{|2x x≤-或2}x≥，两个函数定义域不同，B不是；对于C，函数y x=的定义域为R，函数z=R，且z y==，两个函数定义域相同，对应法则也相同，C是；对于D，函数2y x x=+的定义域为R，函数32x xyx+=的定义域为{R|0}x x∈≠，两个函数定义域不同，D不是.故选：C4.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点(1,P在角α的终边上，则5πsin(2)6α+=（）A.14 B.14- C.12D.12-【答案】C【分析】根据给定条件，利用正切函数定义求出tan α，再利用二倍角公式结合齐次式法及和角的正弦公式求解即得.【详解】依题意，tan α=，则2222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos tan 12ααααααααα====-++，22222222cos sin 1tan 1cos 2cos sin sin cos tan 12ααααααααα--=-===-++所以5π5π5π111sin(2sin 2cos cos 2sin (66622222ααα+=+=-⨯--⨯=.故选：C5.已知“0x ∃∈R ，200202420240x x a --<”为真命题，则实数a 的取值范围为（）A.506a >-B.506a -≥ C.506a -≤ D.506a <-【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，分离参数，借助二次函数求出最小值即得.【详解】“0x ∃∈R ，200202420240x x a --<”为真命题，则“0x ∃∈R ，20020242024a x x >-”为真命题，而2020012024()506506422022024x x x =≥----，当且仅当012x =时取等号，则506a >-，所以实数a 的取值范围为506a >-.故选：A6.函数()4e xf x x =-在[]3,3-上的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】D【分析】根据给定函数的奇偶性，结合(0)1f =-即可判断得解.【详解】依题意，||||()()4||e 4||e x x x f x x f x -=-=---=，因此函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除AB ；又(0)1f =-，选项C 不满足，D 符合题意.故选：D7.《梦溪笔谈》是我国科技史上的杰作，其中收录了扇形弧长的近似计算公式：22ABl ⨯=+矢弦径.如图，公式中“弦”是指扇形中 AB 所对弦AB 的长，“矢”是指 AB 所在圆O 的半径与圆心O 到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆O 的直径.若扇形的弦AB =，扇形的圆心角为2π3，利用上面公式，求得该扇形的弧长的近似值与实际值的误差为（）A.16π13-B.8π13--C.16π132-D.8π132--【答案】B 【解析】【分析】利用等腰三角形性质求出圆半径及点O 到弦AB 的距离并求出 AB l ，再由弧长公式求出 AB 的实际值即可计算得解.【详解】取弧AB 的中点C ，连接OC 交AB 于D ，则D 是AB 的中点，且OC AB ⊥，在等腰AOB中，2π3AB AOB =∠=，则π6OAB ∠=，圆O 半径124πcos 6ABR OA ===，122OD R ==，2CD R OD =-=，因此 2212AB CD l AB R=+=，而扇形弧长的实际值为2π8π33R =，所以该扇形的弧长的近似值与实际值的误差为8π13-.故选：B8.定义在R 上的偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减，且()50f -=，则不等式()()160x f x +-≤的解集是（）A.(][],11,11-∞-B.(],11-∞C.[]1,11- D.(][),111,-∞-+∞ 【答案】A 【解析】【分析】利用()f x 的奇偶性与单调性得到()f x 在(0,)+∞上单调递增与()50f =，再分类讨论1x +的取值范围，结合偶函数的性质()()fx f x =即可得解.【详解】因为定义在R 上的偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减，且()50f -=，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，()()550f f =-=，因为()()160x f x +-≤，当10x +>，即1x >-时，()60f x -≤，即()()65fx f -≤，所以65x -≤，即565x -≤-≤，解得111x ≤≤，故111x ≤≤；当10x +≤，即1x ≤-时，()60f x -≥，即()()65fx f -≥，所以65x -≥，即65x -≤-或65x -≥，解得1x ≤或11x ≥，故1x ≤-；综上：1x ≤-或111x ≤≤.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是充分利用偶函数的性质()()fx f x =，从而简化运算得解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.已知a b c >>，则下列结论错误的是（）A.33b c >B.22a c > C.> D.a c b->【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定条件，利用不等式性质判断A ；举例说明判断BCD.【详解】由b c >及3y x =在R 上单调递增，可得33b c >，A 正确；取1,2a c ==-，满足a c >，而2214a c =<=，B 错误；由a b >，知,a b 是否是非负数不确定，当0b <>C 错误；取3,2,1a b c ===，满足a b c >>，而2a c b -==，D 错误.故选：BCD10.已知集合{}29A x x =<，A B ⊆，则（）A.集合A B B ⋃=B.{}33A B x x ⋂=-<<C.集合A B ⋃可能是{}22x x -<<D.{}44x x -<<可能是B 的子集【答案】ABD 【解析】【分析】解不等式化简集合A ，由已知结合集合运算逐项判断即得.【详解】集合29{|}{3}3|A x x x x ==<<<-，A B ⊆，则A B B ⋃=，{|33}A B A x x ==-<< ，AB 正确；显然()A A B ⊆ ，即{|33}()x x A B -<<⊆ ，而{}22x x -<<是{|33}-<<x x 的真子集，C 错误；由于{|33}x x B -<<⊆，{}{|33}44x x x x -<<⊆-<<，因此{}44x x -<<可能是B 的子集，D 正确.故选：ABD11.函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，然后向左平移3π4个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（）A.1A =B.()g x 的解析式为2π2sin 33y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.7π,02⎛⎫⎪⎝⎭是()g x 图象的一个对称中心D.()g x 的单调递减区间是11π5π3π,3π44k k ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，Z k ∈【答案】ABD 【解析】【分析】先利用三角函数的图象求得()f x 的解析式，再利用三角函数平移的性质与正弦函数的性质即可得解.【详解】依题意，由图象可知1A =，3π5π3π43124T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则πT =，故A 正确；因为0ω>，所以2ππω=，则2ω=，所以()sin(2)f x x ϕ=+，因为()f x 的图象过点π,13⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin 21π3ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，则2ππ2π,Z 32k k ϕ+=+∈，即π2π,Z 6k k ϕ=-+∈，又π2ϕ<，则π6ϕ=-，所以()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，得到2πsin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，纵坐标变为原来的2倍，得到2π2sin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，向左平移3π4个单位长度，得到函数()23ππ2π2sin 2sin 34633g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，故B 正确；因为7π27ππ8π2sin 2sin 023233g ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；令3π2ππ2π2π,Z 2332k x k k -+≤+≤-+∈，解得11π5π3π3π,Z 44k x k k -≤≤-∈，所以()g x 的单调递减区间是11π5π3π,3π44k k ⎡⎤--⎢⎣⎦，Z k ∈，故D 正确.故选：ABD.12.已知函数21,0(),0ax x f x x bx x -≤⎧=⎨+>⎩，则下列结论中正确的是（）A.若函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，则0a >且2b ≤-B.若函数()f x 有2个零点，则a<0且0b <C.若函数()f x 有1个零点，则a<0且0b ≥D.若函数()f x 在(,2]-∞的最大值为1，则a<0且32b ≤-【答案】AB 【解析】【分析】分类探讨分段函数()f x 的性质，再结合分段函数单调性、零点及最大值逐项分析判断即得.【详解】当0x ≤时，()1f x ax =-，当a<0时，()f x 单调递增，函数值集合为(,1]-∞，当0a =时，()1f x =，当0a >时，()f x 单调递减，函数值集合为[1,)+∞；当0x >时，2()f x x bx =+，当0b ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0b <时，()f x 在(0,)2b -上单调递减，在[,)2b-+∞上单调递增，对于A ，由函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，得012a b >⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得0a >且2b ≤-，A 正确；对于B ，当0x >时，2()f x x bx =+，函数()f x 在(0,)+∞上最多一个零点，由函数()f x 有2个零点，得函数()f x 在(,0]-∞上有一个零点，在(0,)+∞上有一个零点，因此a<0且0b <，B 正确；对于C ，当0a ≤时，()1f x ax =-在(,0]-∞上无零点，当0b <时，()f x 在(0,)+∞上有一个零点，则当0a ≤且0b <时，函数()f x 也只有1个零点，C 错误；对于D ，由于函数()f x 在(,2]-∞的最大值为1，则()f x 在(,0]-∞上不能单调递减，即0a ≤，且(0)1f =，当0b ≥时，()f x 在(0,2]上单调递增，(2)424f b =+≥，不符合题意，当0b <时，若22b-≥，即4b ≤-，则()f x 在(0,2]上单调递减，()0f x <，此时()f x 在(,2]-∞的最大值为1，因此4b ≤-，若22b -<，即40b -<<，则()f x 在(0,]2b -上单调递减，在[,2]2b-上单调递增，必有(2)421f b =+≤，解得32b ≤-，则342b -<≤-，此时()f x 在(,2]-∞的最大值为1，因此342b -<≤-，综上所述，函数()f x 在(,2]-∞的最大值为1，则0a ≤且32b ≤-，D 错误.故选：AB【点睛】方法点睛：对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数的图象经过点1(243,)3，那么()f x 的解析式为______；不等式(|)3|f x ≤的解集为______.【答案】①.15()f x x-=②.11(,[,)243243-∞-+∞ 【解析】【分析】利用幂函数过的点求出()f x 的解析式，再利用单调性解不等式即可.【详解】设幂函数()f x x α=，依题意，12433α=，即5133α-=，因此51α=-，解得15α=-，所以函数()f x 的解析式为15()f x x -=；显然函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，且1()3243f =，于是不等式(|)3|f x ≤为：2(||)1()43f f x ≤，解得|4|123x ≥，即1243x ≤-或1243x ≥，所以不等式(|)3|f x ≤的解集为11(,][,)243243-∞-+∞ .故答案为：15()f x x -=；11(,][,)243243-∞-+∞ 14.若π02α<<，02βπ<<，()3cos 5αβ+=-，5cos 13β=，则cos()4πα+=______.【答案】232130-##【解析】【分析】根据给定条件，利用同角公式及和差角的余弦公式计算得解.【详解】由π02α<<，02βπ<<，得0παβ<+<，而()3cos 5αβ+=-，5cos 13β=，则4sin()5αβ+==，12sin 13β==，因此3541233cos cos[()]51351365ααββ=+-=-+=，56sin 65α==，所以πππ23356232cos()cos cos sin sin (44426565130ααα+=-=-=-.故答案为：130-15.已知函数())f x x =，若0m >，0n >，且41()(1)(0)f f f m n+-=，则16m n +的最小值为______.【答案】36【解析】【分析】根据给定条件，探讨函数()f x 的奇偶性及单调性，由此求出,m n 的关系式，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【详解】函数())f x x =中，R x ∀∈||x x >≥，则函数()f x 的定义域为R ，而()()))ln10f x f x x x -+=++-==，则函数()f x 是奇函数，显然函数y y x ==-在(,0]-∞上都单调递减，则函数t x =-在(,0]-∞上单调递减，而函数ln y t =在(0,)+∞上单调递增，则函数()f x 在(],0-∞上单调递减，于是函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，因此函数()f x 在R 上单调递减，(0)0f =，由41((1)(0)f f f m n +-=，得411()(1)(1)f f f m n n =--=-，则411m n=-，即411m n +=，于是441616(16)2020236n m m n n m n m n m +++=+=+≥+，当且仅当64n mm n=，即812m n ==时取等号，所以16m n +的最小值为36.故答案为：3616.已知直线y a =与函数()()tan f x x ωϕ=+（0ω>，π02ϕ<<）的图象所有交点之间的最小距离为2，且其中一个交点为()1,1-，则函数()y f x =的图象与函数223y x =-（3922x -<<）的图象所有交点的横坐标之和为______.【答案】6【解析】【分析】根据给定条件，结合正切函数的图象性质求出()f x ，确定函数()y f x =与223y x =-共同具有的性质，再借助图象求解即可.【详解】依题意，函数()tan()f x x ωϕ=+的最小正周期为2，则π2ω=，解得π2=ω，于是π()tan()2f x x ϕ=+，由π(1)tan()12f ϕ=+=-，得π3ππ,Z 24k k ϕ+=+∈，而π02ϕ<<，取π0,4k ϕ==，因此ππ()tan()24f x x =+，显然33ππ()tan()0244f =+=，则函数()y f x =的图象关于点3(,0)2成中心对称，又函数223y x =-的图象关于点3(,0)2成中心对称，在同一坐标系内作出函数()y f x =和223y x =-的图象，观察图象知，两个函数在39(,)22-的图象共有4个公共点，且关于点3(,0)2成中心对称，所以4个交点的横坐标之和为3462⨯=.故答案为：6【点睛】思路点睛：给定)t )a ()(n(0f x x ωϕω=>＋的性质求解解析式，一般是求出周期定ω，由图象上特殊点求ϕ.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算：（1）1105448132()()πlog 816243-++-；（2）2log 33810log log 274lglg303-⋅---.【答案】（1）52；（2）212-.【解析】【分析】（1）利用指数运算法则、对数换底公式计算即得.（2）利用对数运算法则、对数换底公式计算即得.【小问1详解】2421111045355448132333335(()πlog 8[(][()]1log 2116243222222-++-=++-=+-=.【小问2详解】2log 3810log log 274lglg303-⋅---2312312log 332232310log 3log 3log 22lg(30)3=-⋅--⨯2log 32232)23321log 3log 2(2lg10013222=-⋅--=---=-.18.已知3πtan()74α-=.（1）求sin 2cos sin 3cos αααα+-的值；（2）若π(π,)2α∈--，求sin 2cos 2αα+的值.【答案】（1）119-；（2）24102510+.【解析】【分析】（1）利用差角的正切公式求出tan α，再利用齐次式法计算即得.（2）利用同角公式求出sin ,cos αα，再利用二倍角公式计算即得.【小问1详解】由3πtan()74α-=，得tan tantan 17n 3π1tan 1ta π4n 3t 4a αααα-+==-+，解得3tan 4α=，所以32sin 2cos tan 21143sin 3cos tan 3934αααααα+++===----.【小问2详解】由π(π,)2α∈--，得ππ(,)224α∈--，则sin 0,cos 0,cos 02ααα<<>，由3tan 4α=，得3sin cos 4αα=，而22sin cos 1αα+=，解得34sin ,cos 55αα=-=-，于是3424sin 22sin cos 2(()5525ααα==⨯-⨯-=，又21cos 1cos 2210αα+==，则cos 210α=，所以0sin 2cos224251αα++=.19.已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，x ∀，()0,y ∈+∞，总有()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭成立.若1x >时，()0f x <.（1）判断并证明函数()f x 的单调性；（2）若132f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求解关于x 的不等式()364f x x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭的解集.【答案】（1）()f x 在()0,∞+上单调递减，证明见解析（2）()1,+∞【解析】【分析】（1）利用单调性的定义结合已知即可证明；（2）利用赋值法求出164f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据已知结合函数的单调性，将不等式化得到关于x 的不等式组，解之即可得解.【小问1详解】()f x 在()0,∞+上单调递减，证明如下：因为x ∀，()0,y ∈+∞，总有()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭成立，当1x >时，()0f x <，12,0x x ∀>，且12x x <，则211x x >，则()()22110x f x f x f x ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，即()()12f x f x >，所以()f x 在()0,∞+上单调递减.【小问2详解】因为因为x ∀，()0,y ∈+∞，总有()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭成立，所以()()x f f y f x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()()()f x f y f xy +=，因为132f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以1116422f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以不等式()364f x x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭可化为3144x f f x ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎡⎤⎣⎦⎭⎥，所以31440304x x x x ⎧⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪>⎨⎪⎪->⎪⎩，解得1x >.所以不等式()364f x x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭的解集为()1,+∞.20.已知函数()22f x x ax =+-.（1）若关于()f x 的不等式()0f x <的解集为(),2b ，求a ，b 的值；（2）已知当[]1,2x ∈-时，()336xxf -≤恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1a =-，1b =-（2）43,3⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据已知结合三个二次之间的关系，列出关于,a b 的方程组，解之即可得解；（2）利用换元法将问题转化为41a t t -≥+在1,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，再利用对勾函数的性质求得max4t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，从而得解.【小问1详解】因为()22f x x ax =+-，且()0f x <的解集为(),2b ，所以b 和2是方程220x ax +-=的两个不等实根，且2b <，由韦达定理可得222b a b +=-⎧⎨=-⎩，解得11a b =-⎧⎨=-⎩，故1a =-，1b =-.【小问2详解】因为()22f x x ax =+-，所以()()23332x xx f a ⋅=+-，则()336xxf -≤可化为()233362x x x a ≤+--⋅，整理可得()()21334xx a +⋅≤-，令3x t =，[]1,2x ∈-，所以1,93t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则上式可化为()241t a t ≤+-⋅在1,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即41a t t -≥+在1,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，因为44t t +≥=，当且仅当4t t =，即2t =时，等号成立，所以由对勾函数的性质可知4y t t =+在1,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]2,9上单调递增，而当13t =时，7313343y +==⨯；当9t =时，485999y +==；所以max 4373t t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3713a -≥，所以343a ≤-，所以实数a 的取值范围为43,3⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.21.某学校校园内有一个扇形空地AOB （πAOB ∠<），该扇形的周长为10π203+，面积为50π3，现要在扇形空地AOB 内部修建一矩形运动场馆CDEF ，如图所示.（1）求扇形空地AOB 的半径和圆心角；（2）取CD 的中点M ，记MOD θ∠=.（i ）写出运动场馆CDEF 的面积S 与角θ的函数关系式；（ii ）求当角θ为何值时，运动场馆CDEF 的面积最大？并求出最大面积.【答案】（1）扇形空地AOB 的半径为10，圆心角为π3；（2）（i）π200sin(23S θ=+-π(0,6θ∈；（ii ）π12θ=，200-【解析】【分析】（1）利用扇形弧长公式、扇形面积公式列出方程求解并验证即得.（2）（i ）借助直角三角形的边角关系求出函数关系式；（ii ）利用正弦函数的性质求解最值.【小问1详解】设扇形空地AOB 所在圆半径为r ，扇形弧长为l ，依题意，10π2203150π23r l rl ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1010π3r l =⎧⎪⎨=⎪⎩或5π320r l ⎧=⎪⎨⎪=⎩，当5π320r l ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，圆心角12ππl AOB r ∠==>，不符合题意，当1010π3r l =⎧⎪⎨=⎪⎩时，圆心角ππ3l AOB r ∠==<，符合题意，所以扇形空地AOB 的半径为10，圆心角为π3.【小问2详解】（i ）由（1）知，π3AOB ∠=，则π(0,6θ∈，在Rt MOD △中，10cos ,10sin OM DM θθ==，则10sin EN DM θ==，在Rt EON △中，π6EON ∠=，tan ENON EONθ==∠，于是10cos MN OM ON θθ=-=-，所以220sin (10cos )S EN MN θθθ=⋅=-2200sin cos 100sin 2cos 2)θθθθθ=-=--π100(sin 22)200sin(23θθθ=+-=+-，π(0,)6θ∈.（ii ）由（i ）知，当π(0,)6θ∈时，ππ2π2(,)333θ+∈，则当ππ232θ+=，即π12θ=时，max 200S =-所以当π12θ=时，运动场馆CDEF 的面积最大，最大面积为200-【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的最值问题，根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质求解即得.22.已知函数4(2)4log af x x xb -=+（0a >，1a ≠，2b ≠-）是定义在(2,2)-上的奇函数.（1）求(0)f 和实数b 的值；（2）若()f x 满足2(2)(32)0f t f t -+-<，求实数t 的取值范围；（3）若01a <<，问是否存在实数m ，使得对定义域内的一切t ，都有2(2)(10)f t f mt +++>恒成立？【答案】（1）(0)0f =，2b =；（2）当01a <<时，01t <<，当1a >时，413<<t ；（3）存在，116m =.【解析】【分析】（1）根据给定条件，结合奇函数的定义求解即得.（2）按01,1a a <<>分类，利用单调性解不等式即得.（3）利用奇函数及意识性脱去法则，转化为恒成立的不等式组，再借助二次函数分类求解.【小问1详解】依题意，420(0)log log 1004aa fb -⨯===⨯+，又()f x 是(2,2)-上的奇函数，则()()f x f x -=-，即42()42log log ()44a a x xb x bx ---=--++，亦即424log log 442aa x bx bx x++=-+-，整理得22216416x b x -=-，于是24b =，而2b ≠-，所以2b =.【小问2详解】由（1）知，424288()log log log (1)(0,1)242424a a a x x f x a a x x x ---+===->≠+++，显然函数8124y x =-+在(2,2)-上单调递减，由奇函数性质及2(2)(32)0f t f t -+-<，得2(2)(32)(23)f t f t f t -<--=-，当01a <<时，函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，则()f x 在(2,2)-上单调递增，不等式化为222232t t -<-<-<，解得01t <<，当1a >时，函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，则()f x 在(2,2)-上单调递减，不等式化为222322t t -<-<-<，解得413t <<，所以当01a <<时，01t <<；当1a >时，413<<t .【小问3详解】假定存在实数m ，对定义域内的一切t ，都有2(2)(10)f t f mt +++>恒成立，即2(1(2)()2)f mt f t f t +>-+=--恒成立，当01a <<时，由（2）知函数()f x 在(2,2)-上单调递增，不等式化为2212212222mt t mt t ⎧+>--⎪-<+<⎨⎪-<--<⎩，整理得22303140mt t mt t ⎧++>⎪-<<⎨⎪-<<⎩，于是有231mt -<<对任意40t -<<恒成立，则2231m t t-<<，当40t -<<时，223311(,),(,)1616t t -∈-∞-∈+∞，因此311616m -≤≤；有230mt t ++>对任意40t -<<恒成立，设2()3g t mt t =++，①当0m >时，函数2()3g t mt t =++的图象开口向上，对称轴102t m=-<，（i ）当1120m ∆=->，即112m <时，必有(4)1610142g m m-=-≥⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，则111612m ≤<；（ii ）当1120m ∆=-=，即112m =时，2211()3(6)01212g t t t t =++=+>在(4,0)t ∈-上恒成立，则112m =；（iii ）当1120m ∆=-<，即112m >时，()0g t >在(4,0)t ∈-上恒成立，则112m >；②当0m ≤时，(4)16110g m -=-≤-<，不满足()0g t >在(4,0)t ∈-上恒成立，综上得311616m -≤≤且116m ≥，所以存在116m =使得对定义域内的一切t ，都有()2(2)10f t f mt +++>恒成立.。
安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题
A．{x∣0 x 1} C．{x∣1 x 5}
B．{x∣1 x 0} D．{x∣0 x 4}
2．已知函数 f x 2x 3x 7 ，则该函数零点所在区间为（ ）
A． 0,1
B． 1, 2
C． 2, 3
3．函数 f x x sin x 的图象大致为（ ）
cos x 2
D．3, 4
4
10．已知 f x, g x 是定义在 R 上的奇函数和偶函数，且 f x g x ex,e 2.71828 ，
试卷第 2 页，共 5 页
下列选项正确的是（ ）
A． g x 的最小值为 1
B． f 2x 2 f x g x
C． g x]2 f x]2 1
D． xR ，恒有 f 2x 1 f ax2 2x 的充分不必要条件为 a 4
(1)求函数 f x 在 R 上的解析式；
(2)若对任意的 x 1, ，都有不等式 f x2 m f 2x2 mx 1 0 恒成立，求实数 m
的取值范围. 20．近年来，合肥市地铁轨道交通高质量发展，成为中国内地轨道交通新星，便捷的交 通为市民出行带来极大便利，刷新了市民幸福指数.春节将至，为了提升人们的乘车体 验感，合肥某地铁线路准备通过调整发车时间间隔优化交通出行，已知地铁的发车时间 间隔 t （单位：分钟）满足 3 t 18,t N* ，通过调研，在某一时段，地铁载客量与发 车时间间隔 t 相关，当10 t 18时地铁可达到满载状态，载客量为 1250 人，当 3 t 10
(1)求 f x 的解析式及对称中心；
(2)先将 f x 的图象横坐标缩短为原来的 1 倍，再向右平移 π 个单位后得到 g x 的图
2
12
象，求函数
y
g
安徽省合肥市2020年高一上学期期末数学试卷A卷
安徽省合肥市 2020 年高一上学期期末数学试卷 A 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 设，，则=（ ）A. B. C. D. 2. （2 分） (2015 高一下·嘉兴开学考) 已知 cosα＜0，tan2α＞0，则在（0，π）内，α 的取值范围是（ ）A . （0， ）B.（ ， ）C . （ ，π）D . （ ，π） 3. （2 分） 已知函数 f（x）满足 f（1+x）+f（1﹣x）=0，且 f（﹣x）=f（x），当 1≤x≤2 时，f（x）=2x﹣ 1，求 f（2017）（ ） A . ﹣1 B.0 C.1 D.24. （2 分） 已知平面向量 A.， ，若， 则 等于（ ）第 1 页 共 10 页B. C. D. 5. （2 分） (2016·安徽模拟) A. B . ﹣1=（ ）C.-D.6. （2 分） (2016 高二上·邹平期中) 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A . y=x3B . y= C . y=log3xD . y=（ ） x7. （2 分）中，三内角 A,B,C 成等差数列，则A.2的最大值为 （ ）B.C.D. 8. （2 分） 下列命题中正确的是（ ）第 2 页 共 10 页A . 若x在 B . 函数内，则 sinx＞cosx 的图象的一条对称轴是C . 函数的最大值为 πD . 函数 y=sin2x 的图象可以由函数的图象向右平移 个单位而得9. （2 分） 已知 cosα= ，α∈（ ，2π），则 sin（ ） 等于（ ）A.B.﹣C.D.10. （2 分） (2018·遵义模拟) ，则A.0 B.1是 上奇函数，对任意实数都有 （）C. D.2，当时，11. （2 分） (2017·重庆模拟) △ABC 中，AB=3，BC=2，CA= 面积为（ ），若点 D 满足=3，则△ABD 的A.B.第 3 页 共 10 页C.9 D . 1212. （2 分） 已知二次函数 f（x）=ax2+bx+c（b＞a），且 f（x）≥0 恒成立，则 A.1 B.2 C.3 D.4二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)的最小值是（ ）13. （1 分） 函数图象上不同两点，处切线的斜率分别是 ， ，规定（ 为线段 的长度）叫做曲线在点 与 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数图象上两点 与 的横坐标分别为 1 和 2，则；②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；③设点 ， 是抛物线上不同的两点，则；④设曲线（ 是自然对数的底数）上不同两点，，且，若恒成立，则实数 的取值范围是．其中真命题的序号为________（将所有真命题的序号都填上）14. （1 分） 已知函数 f（x）= 取值范围是________， 若函数 F（x）=f（x）﹣x 只有一个零点，则实数 m 的15. （1 分） 在锐角三角形 A BC 中，tanA= ，D 为边 BC 上的点，△A BD 与△ACD 的面积分别为 2 和 4．过D 作 D E⊥A B 于 E，DF⊥AC 于 F，则•=________．第 4 页 共 10 页16. （1 分） 已知平面向量 ， 满足 •（ + ）=5，且| |=2，| |=1，则 与 夹角的 大小为________．三、 解答题 (共 6 题；共 65 分)17. （10 分） (2019 高一上·邢台期中) 求值.（1）且;（2） 18. （10 分） (2017 高一上·无锡期末) 已知△ABC 中． （1） 设 • = • ，求证：△ABC 是等腰三角形；（2） 设向量 =（2sinC，﹣ ）， =（sin2C，2cos2 ﹣1），且 ∥ ，若 sinA= ，求 sin （ ﹣B）的值．19. （15 分） (2019 高三上·韩城月考) 已知角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，它的终边过点．（1） 求的值；（2） 求的值；（3） 若角 满足，求的值．20. （5 分） 已知向量 =（cos ， ﹣1）， =（ sin ， cos2 ），设函数 f（x）= • ． （1）求函数 f（x）的单调递增区间； （2）求函数 f（x）在 x∈[0，π]上的零点．21. （10 分） (2017 高一上·六安期末) 已知函数 f（x）=cosx•sin（x+ ）﹣（1） 求 f（x）的最小正周期；第 5 页 共 10 页cos2x+，x∈R．（2） 求 f（x）在[﹣ ， ]上的最小值和最大值．22. （15 分） (2019 高一下·普宁期末) 已知函数，，且的奇函数，（1） 求实数 a 的值；（2） 判断函数）的单调性（不必说明理由），并求不等式的解集；（3） 若不等式对任意的恒成立，求实数 b 的取值范围.是R上第 6 页 共 10 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 10 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 65 分)17-1、17-2、 18-1、18-2、第 8 页 共 10 页19-1、 19-2、19-3、20-1、第 9 页 共 10 页21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、第 10 页 共 10 页。
安徽省A10联盟2023-2024学年高一上学期期末检测数学试卷含答案
2023—2024学年第一学期高一年级期末检测数学试题卷（答案在最后）注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案涂在答题卡上）1.已知集合{2,1,0,1,2}M =--，{(1)(3)0}N xx x =+->∣，则M N ⋂=（）A.{2,1,0,1}-- B.{2}- C.{2,1}-- D.{0,1,2}【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式，求出集合N ，然后进行交集的运算即可.【详解】由{(1)(3)0}N xx x =+->∣解得：{3N x x =>∣或1}x <-，因为{2,1,0,1,2}M =--，所以M N ⋂={2}-.故选：B 2.“π2π,6k k α=+∈Z ”是“1sin 2α=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分、必要条件结合任意角的正弦函数分析判断.【详解】若π2π,6k k α=+∈Z ，则ππ1sin sin 2πsin ,662k k α⎛⎫=+==∈ ⎪⎝⎭Z 成立；若1sin 2α=，则π2π,6k k α=+∈Z 或5π2π,6k k α=+∈Z ，故π2π,6k k α=+∈Z 不一定成立；综上所述：“π2π,6k k α=+∈Z ”是“1sin 2α=”的充分不必要条件.故选：A.3.计算55log 42log 10-=（）A.2B.1- C.2- D.5-【答案】C 【解析】【分析】利用对数的运算公式可得答案.【详解】555552log 42log 10log 4log 1100l 5og 2-===--.故选：C.4.已知正数x ，y 满足811x y+=，则2x y +的最小值是（）A.6B.16C.20D.18【答案】D 【解析】【分析】将所求的式子乘以“1”，然后利用基本不等式求解即可.【详解】因为正数x ，y 满足811x y+=，则()811622101018y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当16y xx y=，即12,3x y ==时等号成立.故选：D5.计算sin 50cos10sin 40sin10︒︒︒︒+=（）A. B.32C.12-D.12【答案】B 【解析】【分析】由两角和的正弦公式求解即可.【详解】因为sin 50cos10sin 40sin10︒︒︒︒+=sin 50cos10cos50sin10︒︒︒︒+()sin 5010=sin 602︒︒︒=+=.故选：B6.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线3y x =-上，则πtan 24θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.17-B.17C.7D.7-【答案】C 【解析】【分析】先求解tan θ的值，结合倍角公式和和角公式可得答案.【详解】由题意tan 3θ=-，所以22tan 63tan 21tan 194θθθ-===--，所以πtan 21tan 2741tan 2θθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭.故选：C.7.将函数π()cos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平移2π3个单位，再将所得的函数图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则（）A.()cos g x x =-B.()cos g x x=C.π()cos 3g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.()πcos 43g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数图象变化规律，即可判断选项.【详解】将函数π()cos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平移2π3个单位，得到()2ππcos 2cos 2πcos 233y x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=-=- ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，再将所得的函数图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()cos y g x x ==-的图象.故选：A.8.设函数()f x 的定义域为R ，(1)f x +为奇函数，(2)f x +为偶函数，当[0,1]x ∈时，2(2)f x x bx c =++．若(3)(2)6f f -=，则752f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.94B.32C.74-D.52-【答案】D 【解析】【分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式()2286f x x x =-+，进而利用周期性结论，即可得到答案．【详解】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()02f f c =-=，由②得：()()312f f b c ==++，因为(3)(2)6f f -=，所以26b c c +++=，即24b c +=，令0x =，由①得：()()()111020f f f b c =-⇒=⇒++=，解得：8,6b c =-=，所以()2286f x x x =-+．又因为()()()()()221111f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=-+=--+=--+=-⎣⎦⎣⎦，即()()2f x f x +=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 是以4为周期的函数，所以75331114911222222f f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+==+=--+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭115246242f ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭．75522f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：D【点睛】结论点睛：复合函数的奇偶性：（1）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a -+=+；（2）()f x a +是奇函数，则()()f x a f x a -+=-+.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请把正确答案涂在答题卡上）9.已知a ，b 为实数，且a b <，则下列不等式恒成立的是（）A.sin sin a b <B.1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.33a b <D.()()22ln 1ln 1a b +<+【答案】BC 【解析】【分析】利用函数单调性和反例可得答案.【详解】对于A ，π2π23<，而π2πsin sin 23>，故A 不正确；对于B ，因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，a b <，所以1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对于C ，因为3y x =为增函数，a b <，所以33a b <，故C 正确；对于D ，21-<，而()()ln 41ln 11+>+，故D 不正确.故选：BC.10.高斯是世界著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称.函数[]()f x x =称为“高斯函数”，它的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，[3]3=.下列结论正确的是（）A.对12,x x ∀∈R ，若12x x <，则()()12f x f x ≤B.函数()f x 是R 上的奇的数C.对任意实数m ，(2)2()f m f m =D.对任意实数m ，1()(2)2f m f m f m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭【答案】AD 【解析】【分析】利用函数定义及单调性的定义判断A ；通过举例来判断BC ；设m n r =+，其中n 为m 的整数部分，r 为m 的小数部分，01r ≤<，分102r ≤<，112r ≤<讨论计算来判断D .【详解】对于A ：对12,x x ∀∈R ，若12x x <，则[][]12x x ≤，即()()12f x f x ≤，故A 正确；对于B ：例如()[]1.5 1.51f ==，()[]1.5 1.52f -=-=-，即()()1.5 1.5f f -≠-，故函数()[]f x x =不是奇函数，故B 错误；对于C ：取12m =，()[]121112f f ⎛⎫⨯=== ⎪⎝⎭，1122022f⎛⎫⎡⎤== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，不满足(2)2()f m f m =，故C 错误；对于D ：设m n r =+，其中n 为m 的整数部分，,n m n ≤∈Z ，r 为m 的小数部分，01r ≤<，则[][]1122m m n r n r ⎡⎤⎡⎤++=++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，[][]222m n r =+，若102r ≤<，可得[]122m m n ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦，[]22m n =，若112r ≤<，可得[]1212m m n ⎡⎤++=+⎢⎥⎣⎦，[]221m n =+，所以对任意实数m ，1()(2)2f m f m f m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故D 正确；故选：AD.11.已知0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（）A.4ab ≤B.228a b +≥ C.228a b +≥ D.22log log 2a b +≥【答案】ABC 【解析】【分析】根据基本不等式及其变形式，结合指数运算判断ABC ，举反例根据对数函数的单调性判断D.【详解】对于A ：因为4=+≥a b 4ab ≤，当且仅当2a b ==时取等号，A 正确；对于B ：因为222222228a b a b ++≥=⋅=⋅=，当且仅当2a b ==时取等号，故B 正确；对于C ：因为()2222162a b a b ab ab +=+-=-，4ab ≤，所以221621688a b ab +=-≥-=，当且仅当2a b ==时取等号，故C 正确；对于D ：当10,30a b =>=>时，满足4a b +=，但是222222log log log 1log 3log 3log 42a b +=+=<=，故D 错误；故选：ABC.12.已知函数()cos(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图象关于直线7π12=-x 对称，则（）A.(0)2f =B.函数()y f x =的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称C.函数()f x 在区间19π,π24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D.函数()f x 在区间5,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,2⎡-⎢⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】先根据对称轴求出函数解析式，结合选项逐个验证即可.【详解】因为()f x 的图象关于直线7π12=-x 对称，所以7ππ6k ϕ-=，即7ππ6k ϕ=+，Z k ∈；因为0πϕ<<，所以π6ϕ=，即()cos(2π6=+f x x .π(0)cos 62f ==，故A 正确；2π3π(cos 032f ==，所以函数()y f x =的图象关于点2π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故B 正确；令π26t x =+，由19π,π24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得21π13π,126t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为21π13π2π126<<，所以函数()f x 在区间19π,π24⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调函数，故C 不正确；令π26t x =+，由5,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得11,36t ππ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以cos 1,2t ⎡∈-⎢⎣⎦，所以()1,2f x ⎡∈-⎢⎣⎦，故D 正确.故选：ABD.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．把答案填在答题卡的相应位置．13.命题“()2R,ln 10x x ∀∈+>”的否定是_________．【答案】()2R,ln 10x x ∃∈+≤【解析】【分析】利用全称命题的否定方法可得答案.【详解】因为“()2R,ln 10x x ∀∈+>”的否定是“()2R,ln 10x x ∃∈+≤”故答案为：()2R,ln 10x x ∃∈+≤.14.已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()4x f x =，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________．【答案】2-【解析】【分析】先利用周期和奇偶性，把所求转化为已知区间内，代入可得答案.【详解】因为()f x 是周期为2的奇函数，所以511222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为当01x <<时，()4x f x =，所以1()22f =，所以522f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.故答案为：2-15.已知偶函数()f x 在[0,)+∞单调递减，(2)0f -=，若()2log 0f m >，则实数m 的取值范围是______.【答案】1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据函数单调性和奇偶性得到22log 2m -<<，利用对数函数单调性求解即可.【详解】因为偶函数()f x 在[0,)+∞单调递减，(2)0f -=，所以()f x 在(),0∞-上单调递增，()20f =，所以()2log 0f m >等价于()()2log2f m f >，所以2log 2m <，所以22log 2m -<<，解得144m <<.所以实数m 的取值范围是1,44⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：1,44⎛⎫⎪⎝⎭.16.已知函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，区间[,]a b （,a b ∈R 且a b <）满足：()y f x =在区间[,]a b 上至少含有20个零点，在所有满足此条件的区间[,]a b 中，b a -的最小值为_________．【答案】55π6##55π6【解析】【分析】通过整体代换求解函数的零点通式，求出相邻零点之间的距离，即可求出满足零点个数的最小区间长度．【详解】令π()2sin 203f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得πx k =或ππ6x k =+，k ∈Z ，即()y f x =的相邻两零点间隔为π6或5π6，故若()y f x =在[],a b 上至少含有20个零点，则b a ﹣的最小值为π5π55π109666⨯+⨯=．故答案为：55π6四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知函数2()(2)2f x x k x k =++++，设集合{}122xA x=<<∣，集合{()0}B x f x =<∣．（1）若B =∅，求实数k 的取值范围；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数k 的取值范围．【答案】17.[]2,2-18.5,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据题意可得()()2220f x x k x k =++++≥恒成立，即0∆≤求解；（2）化简()0,1A =，由题意A B ⊆得()()0010f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩求得答案.【小问1详解】由B =∅，即()()2220f x x k x k =++++≥恒成立，()()22420k k ∴∆=+-+≤，解得22k -≤≤.所以实数k 的取值范围为[]22-,.【小问2详解】由{}()1220,1xA x =<<=，x A ∈是xB ∈的充分条件，所以A B ⊆，得()()0010f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，即20250k k +≤⎧⎨+≤⎩，解得52k ≤-.所以实数k 的取值范围为5,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦.18.已知函数π()2sin 6g x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭周期为π，其中0ω>．（1）求函数()g x 的单调递增区间；（2）请运用“五点法”，通过列表、描点、连线，在所给的直角坐标系中画出函数()g x 在[0,]π上的简图．【答案】（1）πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）答案见解析【解析】【分析】（1）先利用周期求出函数解析式，再利用单调性可得答案；（2）利用五点法画图可得答案.【小问1详解】由题意可得2ω=，所以π()2sin 26g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；令πππ2π22π262k x k -≤-≤+，Z k ∈，解得ππππ63k x k -≤≤+，故函数()g x 的单调递增区间为πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】π26x -π6-π2π3π211π6x 0π12π37π125π6π()g x 1-022-1-描点，连线，其简图如下19.已知函数2()141x a f x =-+是奇函数．（1）求实数a 的值并判断函数单调性（无需证明）；（2）若不等式()()412250x x f f t ++-⋅+<在R 上恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）1a =，减函数（2）5t >-【解析】【分析】（1）先根据奇偶性求出a ，再根据复合函数单调性可判定单调性；（2）利用奇偶性和单调性进行转化，再结合换元法可求答案.【小问1详解】因为2()141x a f x =-+是奇函数，所以(0)0f =，解得1a =；当1a =时，214()14141xx x f x -=-=++，定义域为R ，又1441()41)4(1x x x x f x x f ---+-==-+=-符合题意.所以1a =，因为41x y =+为增函数，所以()f x 为减函数.【小问2详解】()()412250x x f f t ++-⋅+<等价于()()41225x x f f t +<--⋅+，即()()41225x x f f t +<-+⋅-；因为()f x 为减函数，所以41225x x t +>-+⋅-，即4226x x t ⋅+->-；令20x m =>，则上式化为226m m t ⋅+->-，即()215m t -+>-；所以5t >-.20.中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产1台，需另投入成本()C x （万元），当年产量不足70台时，21()602C x x x =+（万元）；当年产量不小于70台时，8100()1212180C x x x=+-（万元），若每台设备售价为120万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.（1）求年利润y （万元）关于年产量x （台）的函数关系式；（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？【答案】20.2160500,070281001680,70x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩21.90台时利润最大.【解析】【分析】（1）分070x <<、70x ≥两种情况分别求出函数关系式即可；（2）利用二次函数及基本不等式计算可得.【小问1详解】由题可知当070x <<时，2211120605006050022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭，当70x ≥时，8100810012012121805001680y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2160500,070281001680,70x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；【小问2详解】当070x <<时，()22116050060130022y x x x =-+-=--+，则60x =时，y 有最大值1300（万元）；当70x ≥时，81001680y x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当0x >时，8100180x x +≥=，当且仅当8100x x =，即90x =时取等号，所以8100168016801801500y x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭，所以当90x =时，y 有最大值1500（万元）；综上，年产量为90台时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大.21.已知函数2())2cos 1(0,0π)2x f x x ωϕωϕωϕ+⎛⎫=+-+><< ⎪⎝⎭为奇函数，且()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为π2.（1）求()()sin cos h x f x x x =+-的最小值.（2）将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，记方程2()3g x =在4π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的根从小到依次为1231,,,,,n n x x x x x - 试确定n 的值，并求1231222n n x x x x x -+++++ 的值.【答案】21.2-22.85π12【解析】【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简()f x ，再根据周期及奇偶数性求出()f x 的解析式，再令sin cos t x x =-，利用二次函数性质求解最小值即可；（2）根据三角函数图像变换求得()g x ，利用换元法，结合三角函数图象与性质求得n 以及1231222n n x x x x x -+++++ 的值.【小问1详解】()()22cos 12x f x x ωϕωϕ+⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭()()πcos 2sin 6x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭.因为函数()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为π2，所以πT =，可得2ω=，又由函数()f x 为奇函数，所以ππ,6k k ϕ-=∈Z ，因为0πϕ<<，所以π6ϕ=，所以函数()2sin2f x x =.所以()()sin cos 2sin 2sin cos h x f x x x x x x =+-=+-，令πsin cos 4t x x x ⎛⎫⎡=-=-∈ ⎪⎣⎝⎭，则22sin 24sin cos 22x x x t ==-，故原函数最小值为222,y t t t ⎡=-++∈⎣的最小值，其对称轴为14t =，在14t ⎡⎤∈⎢⎣⎦单调递增，在14t ⎡∈⎢⎣单调递减，且(222222-⨯+>--，所以t =222y t t =-++有最小值2-，所以()()sin cos h x f x x x =+-的最小值为2-.【小问2详解】将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，得到ππ2sin 22sin 263y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到()π2sin 43g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()π22sin 433g x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则π1sin 433x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为4π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ4,5π33x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，令3π4t x =-，则π,5π3t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数sin y t =在π,5π3t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的图象如下图所示，由图可知，sin y t =与13y =共有6个交点，所以方程2()3g x =在4π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上共有6个根，即6n =，因为()()()123456162345222222t t t t t t t t t t t t +++++=+++++5π3π7π2222225π222=⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所以1234562222x x x x x x +++++()1234561π222210412t t t t t t =++++++⨯85π12=.22.对于函数()()f x x D ∈，D 为函数定义域，若存在正常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≤成立，我们称函数()f x 为“T 同比不增函数”.（1）若函数()sin f x kx x =+是“π2同比不增函数”，求k 的取值范围；（2）是否存在正常数T ，使得函数()11f x x x x =---++为“T 同比不增函数”，若存在，求T 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22,π∞⎛-- ⎝⎦（2）存在，且4T ≥【解析】【分析】（1）由()()f x T f x +≤恒成立，分离常数k ，结合三角函数的最值来求得k 的取值范围.（2）结合()f x 的图象以及图象变换的知识求得T 的取值范围.【小问1详解】因为函数()sin f x kx x =+是“π2同比不增函数”，则()π2f x f x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以ππsin sin 22k x x kx x ⎛⎫⎛⎫+++≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，所以ππsin cos 24k x x x ⎛⎫≤-=- ⎪⎝⎭，即πsin π4k x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，由于πsin 14x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，所以πk ≤-.所以k的取值范围是,π∞⎛-- ⎝⎦.【小问2详解】存在，理由如下：2,1()11,112,1x x f x x x x x x x x --≤-⎧⎪=---++=-<<⎨⎪-+≥⎩，画出()f x的图象如下图所示，()f x T +的图象是由()f x 的图象向左平移T 个单位所得，由图可知，当4T ≥时，对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≤成立，所以存在正常数T ，使得函数()11f x x x x =---++为“T 同比不增函数”，且4T ≥.【点睛】关键点点睛：本题考查新定义的理解和应用，解题的关键在于利用题中的定义，将问题转化为恒成立问题，本题第（2）问利用数形结合思想求解比较直观简单.。
安徽省合肥一中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
安徽省合肥一中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−1,1，2，4，6}，B={x|x2+2x−8≤0}，则A∩B=()A. {−1,1}B. {−1,1，2}C. {−1,1，2，4}D. {−1,1，2，4，6}2.函数f(x)=√2x2−3x−2log2(x−1)的定义域是()A. (−12,2) B. (−∞,−12]∪[2,+∞)C. (2,+∞)D. [1,+∞)3.已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1,a)，B(2,b)，且cos2a=23，则=A. 15B. √55C. 2√55D. 14.《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4.在此问题中，扇形的面积是()A. 415B. 158C. 100D. 1205.若θ∈[π4,π2]，sin2θ=3√78，则cosθ=()A. 34B. √78C. √74D. −346.函数f(x)=x1−2x −x2()A. 是偶函数，在(−∞,0)上是增函数B. 是偶函数，在(−∞,0)上是减函数C. 是奇函数，在(−∞,0)上是增函数D. 是奇函数，在(−∞,0)上是减函数7.要得到函数y=sin(2x−π3)的图象，应该把函数y=sin2x的图象()A. 向左平移π3B. 向右平移π3C. 向左平移π6D. 向右平移π68. 函数f(x)=x(e −x −e x )4x 2−1的部分图象大致是( )A.B.C.D.9. 函数y =b +asinx(a <0)的最大值为−1，最小值为−5，则y =tan(3a +b)x 的最小正周期为( )A. 2π9B. π9C. π3D. 2π310. 已知函数f(x)={3x −x 2,x <0ln(x +1),x ≥0，若|f(x)|≥ax ，则 a 取值范围是( )A. [−3,0]B. (−∞,1]C. (−∞,0]D. {−3,1}11. 已知函数f(x)(x ∈R)满足f(x)=f(2−x)，若函数y =|x 2−2x −3|与y =f(x)图象的交点为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…(x m ,y m )，则∑x i m i=1=( )A. 0B. mC. 2mD. 4m12. 关于函数f(x)=√3cos(2x +π6)，x ∈R ，下列结论中正确的个数是( )①若f(x 1)=f(x 2)，则x 1−x 2必是π的整数倍； ②函数f(x)的图象关于直线x =5π12对称； ③函数f(x)在区间[0,π2]上的值域为[−32,32]； ④函数f(x)的解析式可写为f(x)=√3sin(2x +2π3)．A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=ln(√1+x 2+x)+x 3+3，则f(m)=1，则f(−m)=__________．14. 已知sin(π−α)=35，α∈(π2,π)，则tanα=______． 15. 若cosα=13，则sin (α+π3)−12sinα=____ . 16. 若函数f(x)=x 3−(12)x−2，零点x 0∈(n,n +1)(n ∈Z)，则n =__________．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知α∈(−π2,0)，sinα=−√55．(Ⅰ)求cos(π6−α)的值； (Ⅱ)求sin(π4+2α)的值． 18. 设函数．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在[0,π]上的单调递增区间．19. 设函数y =f(x)是定义在R 上的函数，对任意实数x ，有f(1−x)=x 2−3x +3．(1)求函数y=f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)−(1+2m)x+1(m∈R)在上的最小值为−2，求m的值．20.启东市政府拟在蝶湖建一个旅游观光项目，设计方案如下：如图所示的圆O是圆形湖的边界，沿线段AB，BC，CD，DA建一个观景长廊，其中A，B，C，D是观景长廊的四个出入口且都在圆O上，已知：BC=12百米，AB=8百米，在湖中P处和湖边D处各建一个观景亭，且它们关于直线AC对称，在湖面建一条观景桥APC.观景亭的大小、观景长廊、观景桥的宽度均忽略不计，设∠ABC=α．(1)若观景长廊AD=4百米，CD=AB，求由观景长廊所围成的四边形ABCD内的湖面面积；(2)当时，求三角形区域ADC内的湖面面积的最大值；(3)若CD=8百米且规划建亭点P在三角形ABC区域内(不包括边界)，试判断四边形ABCP内湖面面积是否有最大值？若有，求出最大值，并写出此时α的值；若没有，请说明理由．21.定义：对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(−x)=−f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”．(1)已知二次函数f(x)=ax2+2x−4a(a∈R)，试判断f(x)是否为“局部奇函数”？并说明理由；(2)若f(x)=2x+m是定义在区间[−1,1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围;(3)若f(x)=4x−m⋅2x+1+m2−3为定义域R上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围。
2020-2021学年合肥市高一上学期期末数学试卷(附答案解析)
2020-2021学年合肥市高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x=2n,n∈N∗}，B={x|x=2n,n∈N∗}，则下列不正确的是()A. A⊆BB. A∩B=AC. B∩(∁z A)=ΦD. A∪B=B2.已知f(x)是以5为周期的奇函数，f(−3)=4且sinα=√32，则f(4cos2α)=()A. 4B. −4C. 2D. −23.设tan1234°=a，那么sin(−206°)+cos(−206°)的值为()A. 1+a√1+a2B. −1+a√1+a2C. a−1√1+a2D. 1−a√1+a24.设|a⃗|=1，|b⃗ |=2，且a⃗、b⃗ 夹角为23π，则|2a⃗+b⃗ |等于()A. 2B. 4C. 12D. 2√35.如图，有一个“鼓形”烧水壶正在接水.水壶底部较宽，口部较窄，中间部分鼓起.已知单位时间内注水量不变，壶中水面始终为圆形，当注水t=t0时，壶中水面高度ℎ达到最高ℎ0.在以下图中，最能近似的表示壶中水面高度ℎ与注水时间t的关系是()A. B.C. D.6.下面有命题：①y=|sinx−12|的周期是π；②y=sinx+sin|x|的值域是[0,2]；③方程cosx=lgx有三解；④ω为正实数，y=2sinωx在[−π3,2π3]上递增，那么ω的取值范围是(0,34]；⑤在y=3sin(2x+π4)中，若f(x1)=f(x2)=0，则x1−x2必为π的整数倍；⑥若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P(cosB −sinA,sinB −cosA 在第二象限； ⑦在△ABC 中，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，则△ABC 钝角三角形．其中真命题个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 57.已知sin(α+π3)+sinα=√33，则sin(2α−π6)的值是( )A. 79B. −79C. 29D. −298.已知函数f(x)=|log 3x|，若函数y =f(x)−m 有两个不同的零点a ，b ，则( )A. a +b =1B. a +b =3mC. ab =1D. b =a m9.函数f(x)=ax 2+(2+a)x +1是偶函数，则函数的单调递增区间为( )A. [0,+∞)B. (−∞,0]C. (−∞,+∞)D. [1,+∞)10. 化简cos50°+cos70°−cos10°的结果为( )A. 0B. 2cosl0°C. −2cosl0°D. 2sinl0°11. 已知函数f(x)={log 3(x +2)+a,x ≥1e x −1,x <1，若f[f(ln2)]=2a ，则f(a)等于( )A. 12B. 43C. 2D. 412. 已知向量=()，=(１,)且，其中，则等于( )A.B.C.D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量|a ⃗ |=√5，b ⃗ =(1,0)，c ⃗ =(3,4)，若a ⃗ ⋅b ⃗ =1，(a ⃗ +λb ⃗ )//c ⃗ ，则实数λ= ______ ． 14. 计算2sin50°−√3sin20°cos20°=______．15. 在长方形区域{(x,y)|0≤x ≤2，0≤y ≤1}中任取一点P ，则点P 恰好取自曲线y =cosx(0≤x ≤π2)与坐标轴围成的区域内的概率为______ ．16. 14、已知是定义在上的函数，并满足，当时，，则。
2022-2023学年安徽省合肥市一中、合肥六中高一上数学期末质量检测试题含解析
【详解】解：（1）
令 ，得
所以函数 图象的对称轴方程为：
（2）由（1）知， ，
当 时， ，
∴ ， ，即
令 ，
则 ， ，
由
得 ，
∴当 时， 有最小值 ，
当 时， 有最大值1，
所以当 时，函数 的值域为
，
当且仅当 ，即 时等号成立．所以 的最大值为1
（2）因为 且 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立．所以所求最小值为2
20、（1） ；（2） ；（3） .
【解析】（1）利用两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的对称性得解；
（2）令 ，换元，化函数为 的二次函数，求出 ，由此可值域；
（3） 与 定义与相同，对应关系不同，不是同一函数；
（4） 与 定义相同，对应关系一致，是同一函数；
（5） 与 对应关系不同，不是同一函数；
故选：C.
9、A
【解析】先求 的坐标，再由向量垂直数量积为0，利用坐标运算即可得解.
【详解】由向量 ， ，知 .
若 ，则 ，解得 或-3.
故选A.
【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示，属于基础题.
故答案为：
14、
【解析】根据正切函数定义计算
【详解】由题意
故答案为：
15、 ；
【解析】作图可知:
点睛：利用函数零点 情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.