51学时固体物理模拟试题2答案

2N 2
1/ 2


2 m
五、证明题（每小题题 10 分，共 30 分）
1、金属 Na 的晶体结构为体心立方点阵，则其 X 射线衍射的几何结构因子满足如下关系 F（h,k,l）=
2f Na 0
当h+k+l=偶数 当h+k+l=奇数
证： 每个单胞有两个同种原子，位矢为 r 1 :（0,0,0）,r 2 : （1/2,1/2,1/2） 所以，Na 晶体的几何结构因子 F（K h ）为： F（ h, k , l ）=
能带宽度 E max -E min =12J 1 （2）V=
1 ▽ k E（K） 1 = 2J 1 a（isink x a+jsink y a+k 0 sink z a）
3、求一维单原子链的声子谱密度 ，并作图。 解
2
Q q
L 1 2 d q / dq 4 1 sin aq m 2
安徽师范大学
学年第
学期
51 学时固体物理模拟试题 2______参考答案
一 、填空题（每小题 2 分，共 12 分）
1、晶格常数为 a 的体心立方晶格，原胞体积Ω 等于
1 3 a 2
。
2、金刚石结构中，相邻两共价键之间的夹角为 cos
1 ，or 109 o 28 ' 。 3
晶格振动的光学波支数为 。
k h k e , Eh k h Ee k e , vh k h ve k e , mh me 。
二、单项选择题（每小题 2 分，共 12 分）
1、一个二维简单正交晶格的第一布里渊区形状是（ A ） 。 A、长方形 B、正六边形 C、圆 D、圆球 2、晶格常数为 a 的简立方晶格的(111)面间距为（ B A、 ） 。
12 6 r r
三、问答题（每小题 4 分，共 16 分）
1、共价结合为什么有 “饱和性”和 “方向性”?
解答: 设 N 为一个原子的价电子数目, 对于 IVA、VA、VIA、VIIA 族元素，价电子壳层一共有 8 个 量子态, 最多能接纳(8- N)个电子, 形成(8- N)个共价键. 这就是共价结合的 “饱和性” 。 共价键的形成只在特定的方向上, 这些方向是配对电子波函数的对称轴方向, 在这个方 向上交迭的电子云密度最大. 这就是共价结合的 “方向性” 。 2、什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？ 解答: 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级 数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似。 在简谐近似下, 由 N 个原子构成的晶体的晶格 振动, 可等效成 3N 个独立的谐振子的振动。 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它 对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这 3N 个简正振动模式的线性迭加。 简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子 的自由度数之和, 即等于 3N.（或 3Nn,N 为原胞数,n 为原胞中不同原子数） 。 3、四角晶系中为什么没有底心四角和面心四角点阵？ 解答: 底心四角实际即 简单四角（如图） ， 面心四角实际即 体心四角（如图） 。
v=
证：
1 $k 1 E k kp k n m h
$k ih r = ih eik gru r eik gr hk p $ u r p r k k k





v=
1 $k 1 u r hk p $u r kp k k m m
证： 内聚能为 U=N（
e2 A B n ）,A= 4 0 r r
0 B 1 n1 r0 A n
由平衡条件
dU dr
r0
所以结合能为
N e 2 1 W= —U（r 0 ）= 1 4 0 r0 n
3·根据布洛赫布洛赫定理，晶体中电子的波函数为 Ψ k （r ）=e ik .r u k （r ）, = u k （r+ R l ）. 则能带中电子的平均速度即布洛赫波包的群速度： 且 u k （r ）
1 2
） 。
B、 E
0
C、 E
1/ 2
D、 E
6、Lenard-Jones 势为： （ C
）
A B r rn
B、N（
Am Bn ） rm rn
D.
12 6 1 N A12 A6 2 r r
C. 4
4、在布里渊区界上电子的能带有何特点? 解答 : 电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带一般 会出现禁带. 若电子所处的边界与倒格矢 正交, 则禁带的宽度 , 是周期势场的付里叶级数的系数.不 论何种电子, 在布里渊区边界上, 其等能面在垂直于布 里渊区边界的方向上的斜率为零, 即电子的等能面与布里渊区边界正交.
3、含有 N 个初基原胞的铜晶体，晶格振动的声学波支数为 3 ， 0 。
4、由 N 个原胞组成的简单晶体，不考虑能带交叠，则每个 S 能带可容纳的电子数为 2N 5、三维晶格振动按德拜模型，模式密度与 2 成正比。
6、晶体的价带处于近满带时，其导电性质可归结为“空穴”在外电场作用下的运动。空穴有 如下基本性质：
（2）b 1 =
2 （2i-k ）,b 2 = （2j-k ）,b 3 = k 3 3 3
1 6
（i+j+2k ）,n （1,1 ,1）=

（3）n （1,1,1）=
1 6
（i-j+2k ）
cosα = n （1,1,1） ·n （1,1 ,1）=
2 3
2、在紧束缚近似下，对简立方晶格中的 S 态能带，计算： ⑴能带宽度; ⑵能带中的电子平均速度; 解 （1） E k Es J 0
fe
i i
2 i hxi1 kxi 2 lxi 3
=f N a +f N a e 所以 F（h,k,l）=
i h k l
2f Na 0
当h+k+l=偶数 当h+k+l=奇数
2、氯化钠晶体的结合能为：
N e 2 1 W 1 4 0 r0 n
µk u r E k , 又 H k
µk k H $ h hk p m
µk H
$ hk p 2m
2
V r


µ u r E k u r k H k k k k h $ µk u E K u E K u p hk uk H k k k k k k m
四、计算题（每小题 10 分，共 30
a 1 =3i,a 2 =3j,a 3 =1.5（i+j+2k ） 。
分）
1、有一由同种原子组成的晶格,其固体物理学原胞的基失为：
（1）此晶格属什么晶系？是哪种布喇菲点阵？求单胞基矢; （2）求其倒格子基矢； （3） （1，1，1）晶列与（1，-1，1）晶列之间的夹角是多少？ 解 （1）属四角晶系,体心四角点阵。单胞基矢： a=3i, b=3j, c=6k

1 a 2
B、
1 a 3
C、
1 a 4
D、
1 a 5
3、对于一维双原子链晶格振动的频隙宽度，若最近邻原子之间的力 常数β 增大为 4β ，则晶格振动的频隙宽度变为原来的（ A ） 。 A、 2 倍 B、 4 倍 C、 16 倍 D、1 倍 4、布洛赫电子的准动量为（ D ） 。 A、 h B.、 m v C、 ih D、 hk 5、一维自由电子的能态密度，与能量 E 的关系是正比于（ A A、 E A、
最近邻 RS 0
J R e
s
ik gR sห้องสมุดไป่ตู้
简立方中一个原子最临近的有六个原子 R n ： a（1,00）,a（-1,0,0）,a（0,1,0）,a（0,-1,0）,a（0,0,1）,a（0,0,-1） ∴
e
RS
ik gR S
=2（cosk x a+cosk y a+cosk z a）


用 uk

r 乘上式并积分得：
h $u u H µk u = u E k u E k u u uk hk p k k k k k k k k k k m µk u Hu µ u E k u u µK 的厄密性， u H 由H k k k k k k k k k h $u = u E k u = E k u u = E k uk hk p k k k k k k k k m 1 $u r = 1 E k 于是， v uk r hk p k k n m h