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2017年山东省莱芜市中考数学试卷(含答案解析版)

2017年山东省莱芜市中考数学试卷(含答案解析版)2017年山东省莱芜市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂在答题卡上，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共36分）1．（3分）﹣6的倒数是（ ）A ．﹣16B ．16C ．﹣6D ．62．（3分）某种细菌的直径是0.00000078米，将数据0.00000078用科学记数法表示为（ ）A ．7.8×10﹣7B ．7.8×10﹣8C ．0.78×10﹣7D ．78×10﹣8 3．（3分）下列运算正确的是（ ）A ．2x 2﹣x 2=1B ．x 6÷x 3=x 2C ．4x•x 4=4x 5D ．（3xy 2）2=6x 2y 44．（3分）电动车每小时比自行车多行驶了25千米，自行车行驶30千米比电动车行驶40千米多用了1小时，求两车的平均速度各为多少？设自行车的平均速度为x 千米/小时，应列方程为（ ）A ．30x ﹣1=40x−25B ．30x﹣1=40x+25C ．30x+1=40x−25D ．30x+1=40x+255．（3分）将一个正方体沿正面相邻两条棱的中点连线截去一个三棱柱，得到一个如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（3分）如图，AB 是⊙O 的直径，直线DA 与⊙O 相切与点A ，DO 交⊙O 于点C ，连接BC ，若∠ABC=21°，则∠ADC 的度数为（ ）A ．B ．C ．D ．11．（3分）对于实数a ，b ，定义符号min{a ，b}，其意义为：当a ≥b 时，min{a ，b}=b ；当a ＜b 时，min{a ，b}=a ．例如：min={2，﹣1}=﹣1，若关于x 的函数y=min{2x ﹣1，﹣x+3}，则该函数的最大值为（ ）A ．23 B ．1C ．43D ．5312．（3分）如图，正五边形ABCDE 的边长为2，连结AC 、AD 、BE ，BE 分别与AC 和AD 相交于点F 、G ，连结DF ，给出下列结论：①∠FDG=18°；②FG=3﹣√5；③（S 四边形CDEF）2=9+2√5；④DF 2﹣DG 2=7﹣2√5．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共5小题，每小题填对得4分，共20分，请填在答题卡上）13．（4分）（﹣12）﹣3﹣2cos45°+（3.14﹣π）0+√8=．14．（4分）圆锥的底面周长为2π3，母线长为2，点P 是母线OA 的中点，一根细绳（无弹性）从点P 绕圆锥侧面一周回到点P ，则细绳的最短长度为 ．15．（4分）直线y=kx+b 与双曲线y=﹣6x交于A （﹣3，m ），B （n ，﹣6）两点，将直线y=kx+b 向上平移8个单位长度后，与双曲线交于D ，E 两点，则S △ADE= ．16．（4分）二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，与y轴交于点C，下面四个结论：①16a﹣4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（52，y2）是函数图象上的两点，则y1＞y2；③a=﹣13c；④若△ABC是等腰三角形，则b=﹣2√73．其中正确的有（请将结论正确的序号全部填上）17．（4分）如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC分别交AC、AD于点F、E，若AD=1，AB=CF，则AE= ．三、解答题（本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）18．（6分）先化简，再求值：（a+6aa−3）÷（a+9a+9a−3），其中a=√3﹣3．19．（8分）为了丰富校园文化，某学校决定举行学生趣味运动会，将比赛项目确定为袋鼠跳、夹球跑、跳大绳、绑腿跑和拔河赛五种，为了解学生对这五项运动的喜欢情况，随机调查了该校a名学生最喜欢的一种项目（每名学生必选且只能选择五项中的一种），并将调查结果绘制成如图不完整的统计图表：学生最喜欢的活动项目的人数统计表项目学生数（名）百分比（%）袋鼠跳4515夹球跑30c跳大绳7525绑腿跑b20拔河赛9030根据图表中提供的信息，解答下列问题：（1）a= ，b= ，c= ．（2）请将条形统计图补充完整；（3）根据调查结果，请你估计该校3000名学生中有多少名学生最喜欢绑腿跑；（4）根据调查结果，某班决定从这五项（袋鼠跳、夹球跑、跳大绳、绑腿跑和拔河赛可分别记为A、B、C、D、E）中任选其中两项进行训练，用画树状图或列表的方法求恰好选到学生喜欢程度最高的两项的概率．20．（9分）某学校教学楼（甲楼）的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是31cm，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°．（1）求甲楼的高度及彩旗的长度；（精确到0.01m）（2）若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G处的仰角为40°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲乙两楼之间的距离．（精确到0.01m）（cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）21．（9分）已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形．（1）如图①所示，连接AE，DB，试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；（2）如图②所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由．22．（10分）某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩，已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元．（1）改网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元？（2）根据消费者需求，网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500袋，且甲种口罩的数量大于乙种口罩的45，已知甲种口罩每袋的进价为22.4元，乙种口罩每袋的进价为18元，请你帮助网店计算有几种进货方案？若使网店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？23．（10分）已知AB是⊙O的直径，C是圆上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，如图①．（1）求证：D是⊙O的切线；（2）若AB=10，AC=6，求BD的长；（3）如图②，若F是OA中点，FG⊥OA交直线DE于点G，若FG=194，tan∠BAD=34，求⊙O的半径．24．（12分）抛物线y=ax2+bx+c过A（2，3），B（4，3），C（6，﹣5）三点．（1）求抛物线的表达式；（2）如图①，抛物线上一点D 在线段AC 的上方，DE ⊥AB 交AC 于点E ，若满足DE AE =√52，求点D 的坐标；（3）如图②，F 为抛物线顶点，过A 作直线l ⊥AB ，若点P 在直线l 上运动，点Q 在x 轴上运动，是否存在这样的点P 、Q ，使得以B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABF 相似，若存在，求P 、Q 的坐标，并求此时△BPQ 的面积；若不存在，请说明理由．2017年山东省莱芜市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂在答题卡上，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共36分）1．（3分）（2017•莱芜）﹣6的倒数是（ ）A ．﹣16B ．16C ．﹣6D ．6【考点】17：倒数．【分析】乘积是1的两数互为倒数．【解答】解：﹣6的倒数是﹣16．故选：A【点评】本题主要考查的是倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．2．（3分）（2017•莱芜）某种细菌的直径是0.00000078米，将数据0.00000078用科学记数法表示为（ ）A ．7.8×10﹣7B ．7.8×10﹣8C ．0.78×10﹣7D ．78×10﹣8【考点】1J ：科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值＜1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10﹣n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：数0.00000078用科学记数法表示为7.8×10﹣7．故选A ．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10﹣n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（3分）（2017•莱芜）下列运算正确的是（ ）A ．2x 2﹣x 2=1B ．x 6÷x 3=x 2C ．4x•x 4=4x 5D ．（3xy 2）2=6x 2y 4【考点】4I ：整式的混合运算．【分析】各项计算得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A 、原式=x 2，不符合题意；B 、原式=x 3，不符合题意；C 、原式=4x 5，符合题意；D 、原式=9x 2y 4，不符合题意，故选C【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（3分）（2017•莱芜）电动车每小时比自行车多行驶了25千米，自行车行驶30千米比电动车行驶40千米多用了1小时，求两车的平均速度各为多少？设自行车的平均速度为x 千米/小时，应列方程为（ ）A ．30x ﹣1=40x−25B ．30x﹣1=40x+25C ．30x+1=40x−25D ．30x+1=40x+25【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．【分析】根据电动车每小时比自行车多行驶了25千米，可用x 表示出电动车的速度，再由自行车行驶30千米比电动车行驶40千米多用了1小时，可列出方程．【解答】解：设自行车的平均速度为x 千米/小时，则电动车的平均速度为（x+25）千米/小时，由自行车行驶30千米比电动车行驶40千米多用了1小时，可列方程30x﹣1=40x+25，故选B ．【点评】本题主要考查列方程解应用题，确定出题目中的等量关系是解题的关键．5．（3分）（2017•莱芜）将一个正方体沿正面相邻两条棱的中点连线截去一个三棱柱，得到一个如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（）A． B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】根据左视图的定义，画出左视图即可判断．【解答】解：根据左视图的定义，从左边观察得到的图形，是选项C．故选C．【点评】本题考查三视图、熟练掌握三视图的定义，是解决问题的关键．6．（3分）（2017•莱芜）如图，AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相切与点A，DO 交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=21°，则∠ADC的度数为（）A．46°B．47°C．48°D．49°【考点】MC：切线的性质．【分析】根据等边对等角可得∠B=∠BCO，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AOD=∠B+∠BCO，根据切线的性质可得∠OAD=90°，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可．【解答】解：∵OB=OC，∴∠B=∠BCO=21°，∴∠AOD=∠B+∠BCO=21°+21°=42°，∵AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相切与点A，∴∠OAD=90°，∴∠ADC=90°﹣∠AOD=90°﹣42°=48°．故选C．【点评】本题考查了切线的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．7．（3分）（2017•莱芜）一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是（）A．12 B．13 C．14 D．15【考点】L3：多边形内角与外角；L2：多边形的对角线．【分析】多边形的内角和比外角和的2倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是900度，n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数，进而求出对角线的条数．【解答】解：根据题意，得（n﹣2）•180=360°×2+180°，解得：n=7．则这个多边形的边数是7，七边形的对角线条数为7×(7−3)2=14，故选C．【点评】此题主要考查了多边形内角和定理和外角和定理，只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解．8．（3分）（2017•莱芜）如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2，将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE，则BC扫过的面积为（）A ．π2B ．（2﹣√3）πC ．2−√32π D ．π【考点】MO ：扇形面积的计算；KO ：含30度角的直角三角形；R2：旋转的性质．【分析】解直角三角形得到AC ，AB ，根据旋转推出△ABC 的面积等于△ADE 的面积，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2，∴AC=2√3，AB=4，∵将Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转90°得到Rt △ADE ，∴△ABC 的面积等于△ADE 的面积，∠CAB=∠DAE ，AE=AC=2√3，AD=AB=4，∴∠CAE=∠DAB=90°，∴阴影部分的面积S=S 扇形BAD +S △ABC ﹣S 扇形CAE ﹣S △ADE=90π×42360+12×2×2√3﹣90π×(2√3)2360﹣12×2×2√3=π．故选D ．【点评】本题考查了三角形、扇形的面积，旋转的旋转，勾股定理等知识点的应用，解此题的关键是把求不规则图形的面积转化成求规则图形（如三角形、扇形）的面积．9．（3分）（2017•莱芜）如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC=120°，M 是BC 边的一个三等分点，P 是对角线AC 上的动点，当PB+PM 的值最小时，PM 的长是（ ）A ．√72B ．2√73C ．3√55D ．√264【考点】PA ：轴对称﹣最短路线问题；L8：菱形的性质．【分析】如图，连接DP ，BD ，作DH ⊥BC 于H ．当D 、P 、M 共线时，P′B +P′M=DM 的值最小，利用勾股定理求出DM ，再利用平行线的性质即可解决问题．【解答】解：如图，连接DP ，BD ，作DH ⊥BC 于H ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，B 、D 关于AC 对称，∴PB+PM=PD+PM ，∴当D 、P 、M 共线时，P′B +P′M=DM 的值最小，∵CM=13BC=2，∵∠ABC=120°，∴∠DBC=∠ABD=60°，∴△DBC 是等边三角形，∵BC=6，∴CM=2，HM=1，DH=3√3，在Rt △DMH 中，DM=√DH 2+HM 2=√(3√3)2+12=2√7，∵CM ∥AD ，∴P′M DP′=CM AD =26=13，∴P′M=14DM=√72．故选A ．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．（3分）（2017•莱芜）如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，AD=5，CD=3，sinA=sinB=13，动点P 自A 点出发，沿着边AB 向点B 匀速运动，同时动点Q 自点A 出发，沿着边AD ﹣DC ﹣CB 匀速运动，速度均为每秒1个单位，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点P 运动t （秒）时，△APQ 的面积为s ，则s 关于t 的函数图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】E7：动点问题的函数图象．【分析】过点Q 做QM ⊥AB 于点M ，分点Q 在线段AD 、DC 、CB 上三种情况考虑，根据三角形的面积公式找出s 关于t 的函数关系式，再结合四个选项即可得出结论．【解答】解：过点Q 做QM ⊥AB 于点M ．当点Q 在线段AD 上时，如图1所示，∵AP=AQ=t （0≤t ≤5），sinA=13，∴QM=13t ，∴s=12AP•QM=16t2；当点Q在线段CD上时，如图2所示，∵AP=t（5≤t≤8），QM=AD•sinA=5 3，∴s=12AP•QM=56t；当点Q在线段CB上时，如图3所示，∵AP=t（8≤t≤20√23+3（利用解直角三角形求出AB=20√23+3），BQ=5+3+5﹣t=13﹣t，sinB=1 3，∴QM=13（13﹣t），∴s=12AP•QM=﹣16（t2﹣13t），∴s=﹣16（t2﹣13t）的对称轴为直线x=132．综上观察函数图象可知B选项中的图象符合题意．故选B．【点评】本题考查了动点问题的函数图象以及三角形的面积，分点Q在线段AD、DC、CB上三种情况找出s关于t的函数关系式是解题的关键．11．（3分）（2017•莱芜）对于实数a ，b ，定义符号min{a ，b}，其意义为：当a ≥b 时，min{a ，b}=b ；当a ＜b 时，min{a ，b}=a ．例如：min={2，﹣1}=﹣1，若关于x 的函数y=min{2x ﹣1，﹣x+3}，则该函数的最大值为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．53【考点】F5：一次函数的性质．【分析】根据定义先列不等式：2x ﹣1≥﹣x+3和2x ﹣1＜﹣x+3，确定其y=min{2x ﹣1，﹣x+3}对应的函数，画图象可知其最大值．【解答】解：由题意得：{y =2x −1y =−x +3，解得：{x =43y =53，当2x ﹣1≥﹣x+3时，x ≥43，∴当x ≥43时，y=min{2x ﹣1，﹣x+3}=﹣x+3，由图象可知：此时该函数的最大值为53；当2x ﹣1＜﹣x+3时，x ＜43，∴当x ＜43时，y=min{2x ﹣1，﹣x+3}=2x ﹣1，由图象可知：此时该函数的最大值为53；综上所述，y=min{2x ﹣1，﹣x+3}的最大值是当x=43所对应的y 的值，如图所示，当x=43时，y=53，故选D ．【点评】本题考查了新定义、一元一次不等式及一次函数的交点问题，认真阅读理解其意义，并利用数形结合的思想解决函数的最值问题．12．（3分）（2017•莱芜）如图，正五边形ABCDE的边长为2，连结AC、AD、BE，BE分别与AC和AD相交于点F、G，连结DF，给出下列结论：①∠FDG=18°；②FG=3﹣√5；③（S四边形CDEF）2=9+2√5；④DF2﹣DG2=7﹣2√5．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】MM：正多边形和圆；S9：相似三角形的判定与性质．【分析】①先根据正五方形ABCDE的性质得：∠ABC=180°﹣360°5=108°，由等边对等角可得：∠BAC=∠ACB=36°，再利用角相等求BC=CF=CD，得∠CDF=∠CFD=180°−72°2=54°，可得∠FDG=18°；②证明△ABF∽△ACB，得ABAC=EGED，代入可得FG的长；③如图1，先证明四边形CDEF是平行四边形，根据平行四边形的面积公式可得：（S四边形CDEF ）2=EF2•DM2=4×10+2√54=10+2√5；④如图2，▱CDEF 是菱形，先计算EC=BE=4﹣FG=1+√5，由S 四边形CDEF =12FD•EC=2×√10+2√54，可得FD 2=10﹣2√5，计算可得结论．【解答】解：①∵五方形ABCDE 是正五边形，∴AB=BC ，∠ABC=180°﹣360°5=108°，∴∠BAC=∠ACB=36°，∴∠ACD=108°﹣36°=72°，同理得：∠ADE=36°，∵∠BAE=108°，AB=AE ， ∴∠ABE=36°，∴∠CBF=108°﹣36°=72°，∴BC=FC ， ∵BC=CD ， ∴CD=CF ，∴∠CDF=∠CFD=180°−72°2=54°，∴∠FDG=∠CDE ﹣∠CDF ﹣∠ADE=108°﹣54°﹣36°=18°；所以①正确；②∵∠ABE=∠ACB=36°，∠BAC=∠BAF ，∴△ABF ∽△ACB ，∴AB AC =EG ED， ∴AB•ED=AC•EG，∵AB=ED=2，AC=BE=BG+EF ﹣FG=2AB ﹣FG=4﹣FG ，EG=BG ﹣FG=2﹣FG ，∴22=（2﹣FG ）（4﹣FG ），∴FG=3+√5＞2（舍），FG=3﹣√5；所以②正确；③如图1，∵∠EBC=72°，∠BCD=108°，∴∠EBC+∠BCD=180°，∴EF ∥CD ，∵EF=CD=2，∴四边形CDEF 是平行四边形，过D 作DM ⊥EG 于M ，∵DG=DE ，∴EM=MG=12EG=12（EF ﹣FG ）=12（2﹣3+√5）=√5−12，由勾股定理得：DM=√DE2−EM 2=√22−(√5−12)2=√10+2√54，∴（S 四边形CDEF ）2=EF 2•DM 2=4×10+2√54=10+2√5；所以③不正确；④如图2，连接EC ，∵EF=ED ，∴▱CDEF 是菱形，∴FD ⊥EC ，∵EC=BE=4﹣FG=4﹣（3﹣√5）=1+√5，∴S 四边形CDEF =12FD•EC=2×√10+2√54，12×FD ×（1+√5）=√10+2√5，FD 2=10﹣2√5，∴DF2﹣DG2=10﹣2√5﹣4=6﹣2√5，所以④不正确；本题正确的有两个，故选B．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正五边形的性质、平行四边形和菱形的判定和性质，有难度，熟练掌握正五边形的性质是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，每小题填对得4分，共20分，请填在答题卡上）13．（4分）（2017•莱芜）（﹣12）﹣3﹣2cos45°+（3.14﹣π）0+√8= ﹣7+√2．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣8﹣√2+1+2√2=﹣7+√2，故答案为：﹣7+√2【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（4分）（2017•莱芜）圆锥的底面周长为2π3，母线长为2，点P是母线OA的中点，一根细绳（无弹性）从点P绕圆锥侧面一周回到点P，则细绳的最短长度为2√3．【考点】KV：平面展开﹣最短路径问题；MP：圆锥的计算．【分析】连接AA′，根据弧长公式可得出圆心角的度数，由勾股定理可得出AA′．【解答】解：如图，连接AA′，∵底面周长为2π3，∴弧长=nπ×2180=2π3，∴n=60°即∠AOA′=60°，∴∠A=60°，作OB⊥AA′于B，在Rt△OBA中，∵OA=2，∴OB=1，∴AB=√3，∴AA′=2√3．故答案是：2√3．【点评】本题考查了圆锥的计算，平面展开﹣路径最短问题，注意“数形结合”数学思想的应用．15．（4分）（2017•莱芜）直线y=kx+b 与双曲线y=﹣6x交于A （﹣3，m ），B （n ，﹣6）两点，将直线y=kx+b 向上平移8个单位长度后，与双曲线交于D ，E 两点，则S △ADE = 16 ．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】利用待定系数法求出平移后的直线的解析式，求出点D 、E 的左边，再利用分割法求出三角形的面积即可．【解答】解：由题意A （﹣3，2），B （1，﹣6），∵直线y=kx+b 经过点A （﹣3，2），B （1，﹣6），∴{−3k +b =2k +b =−6，解得{k =−2b =−4，∴y=﹣2x ﹣4，向上平移8个单位得到直线y=﹣2x+4，由{y =−6xy =−2x +4，解得{x =3y =−2和{x =−1y =6，不妨设D （3，﹣2），E （﹣1，6），∴S △ADE =6×8﹣12×4×2﹣12×6×4﹣12×8×4=16，故答案为16．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用分割法求三角形的面积．16．（4分）（2017•莱芜）二次函数y=ax 2+bx+c （a ＜0）图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为﹣3，1，与y 轴交于点C ，下面四个结论：①16a ﹣4b+c ＜0；②若P （﹣5，y 1），Q （52，y 2）是函数图象上的两点，则y 1＞y2；③a=﹣13c；④若△ABC是等腰三角形，则b=﹣2√73．其中正确的有①③（请将结论正确的序号全部填上）【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；HA：抛物线与x轴的交点；KH：等腰三角形的性质．【分析】①根据抛物线开口方向和与x轴的两交点可知：当x=﹣4时，y＜0，即16a﹣4b+c＜0；②根据图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1确定对称轴是：x=﹣1，可得：（﹣4.5，y3）与Q（52，y2）是对称点，所以y1＜y2；③根据对称轴和x=1时，y=0可得结论；④要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，先计算c的值，再联立方程组可得结论．【解答】解：①∵a＜0，∴抛物线开口向下，∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，∴当x=﹣4时，y＜0，即16a﹣4b+c＜0；故①正确；②∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，∴抛物线的对称轴是：x=﹣1，∵P（﹣5，y1），Q（52，y2），﹣1﹣（﹣5）=4，52﹣（﹣1）=3.5，由对称性得：（﹣4.5，y3）与Q（52，y2）是对称点，∴则y1＜y2；故②不正确；③∵﹣b2a=﹣1，∴b=2a，当x=1时，y=0，即a+b+c=0，3a+c=0，a=﹣13 c；④要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，当AB=BC=4时，∵AO=1，△BOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，∴c2=16﹣9=7，∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c=√7，与b=2a、a+b+c=0联立组成解方程组，解得b=﹣2√7 3；同理当AB=AC=4时∵AO=1，△AOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，∴c2=16﹣1=15，∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c=√15与b=2a、a+b+c=0联立组成解方程组，解得b=﹣2√15 3；同理当AC=BC时在△AOC中，AC2=1+c2，在△BOC中BC2=c2+9，∵AC=BC，∴1+c2=c2+9，此方程无实数解．经解方程组可知有两个b值满足条件．故⑤错误．综上所述，正确的结论是①③．故答案是：①③．【点评】本题考查了等腰三角形的判定、方程组的解、抛物线与坐标轴的交点、二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系：当a＜0，抛物线开口向下；抛物线的对称轴为直线x=﹣b2a；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0）．17．（4分）（2017•莱芜）如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC分别交AC、AD于点F、E，若AD=1，AB=CF，则AE= √5−12．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LB：矩形的性质．【分析】利用互余先判断出∠ABE=FCB，进而得出△ABE≌△FCB，即可得出BF=AE，BE=BC=1，再判断出∠BAF=∠AEB，进而得出△ABE∽△FBA，即可得出AE=AB2，最后用勾股定理即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=1，∠BAF=∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=90°，∵BE⊥AC，∴∠BFC=90°，∴∠BCF+∠CBF=90°，∴∠ABE=∠FCB，在△ABE 和△FCB 中，{∠EAB =∠BFC =90°AB =CF∠ABE =∠FCB，∴△ABE ≌△FCB ，∴BF=AE ，BE=BC=1，∵BE ⊥AC ，∴∠BAF+∠ABF=90°，∵∠ABF+∠AEB=90°， ∴∠BAF=∠AEB ， ∵∠BAE=∠AFB ， ∴△ABE ∽△FBA ，∴AB BF =BE AB ， ∴AB AE =1AB，∴AE=AB 2，在Rt △ABE 中，BE=1，根据勾股定理得，AB 2+AE 2=BE 2=1，∴AE+AE 2=1， ∵AE ＞0，∴AE=√5−12．【点评】此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是判断出AE=AB 2．三、解答题（本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）18．（6分）（2017•莱芜）先化简，再求值：（a+6aa−3）÷（a+9a+9a−3），其中a=√3﹣3．【考点】6D：分式的化简求值．【分析】先将原分式化简成aa+3，再代入a的值，即可求出结论．【解答】解：原式=a(a−3)+6aa−3÷a(a−3)+9a+9a−3，=a2+3aa−3×a−3a+6a+9，=a(a+3)a−3×a−3(a+3)，=aa+3．当a=√3﹣3时，原式=aa+3=√3−3√3−3+3=√3−3√3=1﹣√3．【点评】本题考查了分式的化简求值，将原分式化简成aa+3是解题的关键．19．（8分）（2017•莱芜）为了丰富校园文化，某学校决定举行学生趣味运动会，将比赛项目确定为袋鼠跳、夹球跑、跳大绳、绑腿跑和拔河赛五种，为了解学生对这五项运动的喜欢情况，随机调查了该校a名学生最喜欢的一种项目（每名学生必选且只能选择五项中的一种），并将调查结果绘制成如图不完整的统计图表：学生最喜欢的活动项目的人数统计表项目学生数（名）百分比（%）袋鼠跳4515夹球跑30c跳大绳7525绑腿跑b20拔河赛9030根据图表中提供的信息，解答下列问题：（1）a= 300 ，b= 60 ，c= 10 ．（2）请将条形统计图补充完整；（3）根据调查结果，请你估计该校3000名学生中有多少名学生最喜欢绑腿跑；（4）根据调查结果，某班决定从这五项（袋鼠跳、夹球跑、跳大绳、绑腿跑和拔河赛可分别记为A、B、C、D、E）中任选其中两项进行训练，用画树状图或列表的方法求恰好选到学生喜欢程度最高的两项的概率．【考点】X6：列表法与树状图法；V5：用样本估计总体；VA：统计表；VC：条形统计图．【分析】（1）根据学生数和相应的百分比，即可得到a的值，根据总人数乘以百分比，即可得到b的值，根据学生数除以总人数，可得百分比，即可得出c 的值；（2）根据b的值，即可将条形统计图补充完整；（3）根据最喜欢绑腿跑的百分比乘以该校学生数，即可得到结果；（4）根据树状图或列表的结果中，选到“C”和“E”的占2种，即可得出恰好选到学生喜欢程度最高的两项的概率．【解答】解：（1）由题可得，a=45÷15%=300，b=300×20%=60，c=30300×100=10，故答案为：300，60，10；（2）如图：（3）3000×20%=600（名）；（4）树状图为：共20种情况，其中选到“C”和“E”的有2种，∴恰好选到“C”和“E”的概率是220=110．【点评】此题考查了列表法与树状图法，扇形统计图，以及条形统计图的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（9分）（2017•莱芜）某学校教学楼（甲楼）的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是31cm，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°．（1）求甲楼的高度及彩旗的长度；（精确到0.01m）（2）若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G处的仰角为40°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲乙两楼之间的距离．（精确到0.01m）（cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】（1）在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AE与BE的长即可；（2）过点F作FM⊥GD，交GD于M，在直角三角形GMF中，利用锐角三角函数定义表示出GM与GD，设甲乙两楼之间的距离为xm，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：（1）在Rt△ABE中，BE=AB•tan31°=31•tan31°≈18.60，AE=ABcos31°=31cos31°≈36.05，则甲楼的高度为18.60m，彩旗的长度为36.05m；（2）过点F作FM⊥GD，交GD于M，在Rt△GMF中，GM=FM•tan19°，在Rt△GDC中，DG=CD•tan40°，设甲乙两楼之间的距离为xm，FM=CD=x，根据题意得：xtan40°﹣xtan19°=18.60，解得：x=37.20，则乙楼的高度为31.25m，甲乙两楼之间的距离为37.20m．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．21．（9分）（2017•莱芜）已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形．（1）如图①所示，连接AE，DB，试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；（2）如图②所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由．【考点】R2：旋转的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定定理证明Rt△BCD ≌Rt△ACE，根据全等三角形的性质解答；（2）证明△EBD≌△ADF，根据全等三角形的性质证明即可．【解答】解：（1）AE=DB，AE⊥DB，证明：∵△ABC 与△DEC 是等腰直角三角形，∴AC=BC ，EC=DC ，在Rt △BCD 和Rt △ACE 中，{AC =BC∠ACE =∠BCD CE =CD，∴Rt △BCD ≌Rt △ACE ，∴AE=BD ，∠AEC=∠BDC ，∵∠BCD=90°，∴∠DHE=90°， ∴AE ⊥DB ；（2）DE=AF ，DE ⊥AF ，证明：设DE 与AF 交于N ，由题意得，BE=AD ，∵∠EBD=∠C+∠BDC=90°+∠BDC ，∠ADF=∠BDF+∠BDC=90°+∠BDC ， ∴∠EBD=∠ADF ， 在△EBD 和△ADF 中，{BE =AD∠EBD =∠ADF DE =DF ，∴△EBD ≌△ADF ，∴DE=AF ，∠E=∠FAD ，∵∠E=45°，∠EDC=45°， ∴∠FAD=45°，∴∠AND=90°，即DE ⊥AF ．【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．22．（10分）（2017•莱芜）某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩，已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元．（1）改网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元？（2）根据消费者需求，网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500袋，且甲种口罩的数量大于乙种口罩的45，已知甲种口罩每袋的进价为22.4元，乙种口罩每袋的进价为18元，请你帮助网店计算有几种进货方案？若使网店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？【考点】FH：一次函数的应用；9A：二元一次方程组的应用；CE：一元一次不等式组的应用．【分析】（1）分别根据甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元，得出等式组成方程求出即可；（2）根据网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500袋，甲种口罩的数量大于乙种口罩的45，得出不等式求出后，根据m的取值，得到5种方案，设网店获利w元，则有w=（25﹣22.4）m+（20﹣18）（500﹣m）=0.6m+1000，故当m=227时，w最大，求出即可．【解答】解：（1）设该网店甲种口罩每袋的售价为x元，乙种口罩每袋的售价为y元，根据题意得：{x −y =52x +3y =110， 解这个方程组得：{x =25y =20，故该网店甲种口罩每袋的售价为25元，乙种口罩每袋的售价为20元； （2）设该网店购进甲种口罩m 袋，购进乙种口罩（500﹣m ）袋，根据题意得{m ＞45(500−m)22.4m +18(500−m)≤10000，解这个不等式组得：222，2＜m ≤227.3，因m 为整数，故有5种进货方案，分别是：购进甲种口罩223袋，乙种口罩277袋；购进甲种口罩224袋，乙种口罩276袋； 购进甲种口罩225袋，乙种口罩275袋； 购进甲种口罩226袋，乙种口罩274袋； 购进甲种口罩227袋，乙种口罩273袋；设网店获利w 元，则有w=（25﹣22.4）m+（20﹣18）（500﹣m ）=0.6m+1000，故当m=227时，w 最大，w 最大=0.6×227+1000=1136.2（元），故该网店购进甲种口罩227袋，购进乙种口罩273袋时，获利最大，最大利润为1136.2元．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用及二元一次方程组的解法，列一元一次不等式解实际问题的运用及解法，在解答过程中寻找能够反映整个题意的等量关系是解答本题的关键．23．（10分）（2017•莱芜）已知AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ，如图①．（1）求证：D 是⊙O 的切线；。

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2017年中考数学真题试题与答案(word版)

2017年中考数学真题试题与答案(word版)

XX★ 启用前2017 年中考题数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把正确答案的标号填在答题卡内相应的位置上）1、计算2( 1) 的结果是（）1B、2C、1D、 22、若∠α的余角是30°，则 cosα的值是（）A 、213C、2D、3A 、B 、23223、下列运算正确的是（）A 、2a a 1 B、a a2a2C、a a a2 D 、( a)2a24、下列图形是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）A、4 个B、3 个5、如图，在平行四边形∠1=（）C、2 个D、1 个ABCD 中，∠ B=80 °， AE平分∠BAD交 BC于点E， CF∥ AE交 AE于点F，则A、 40°B、 50°C、 60°D、80°6、已知二次函数y ax2的图象开口向上，则直线y ax 1 经过的象限是（）A 、第一、二、三象限 B、第二、三、四象限7、如图，你能看出这个倒立的水杯的俯视图是（C、第一、二、四象限）D、第一、三、四象限A B C D8、如图，是我市 5 月份某一周的最高气温统计图，则这组数据（最高气温）的众数与中位数分别是（）A 、 28℃， 29℃B 、 28℃， 29.5℃C、 28℃， 30℃D 、 29℃， 29℃9、已知拋物线 y1 x2 2，当 1 x 5 时， y 的最大值是（）2 35 7 A 、 2C 、B 、3D 、3 310、小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为 1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、 大小与原来一致的镜面， 则这个镜面的半径是 （ ）A 、 2B 、 5C 、22D 、311、如图，是反比例函数yk 1x和 yk 2 x（ k 1k 2 ）在第一象限的图象，直线AB ∥ x轴，并分别交两条曲线于A 、B 两点，若S AOB2 ，则k 2k 1 的值是（）A 、 1B 、 2C 、 4D 、 812、一个容器装有1 升水，按照如下要求把水倒出：第1 次倒出1升水，第2 次倒出的水量是1升的1 ，223第 3 次倒出的水量是1 升的314，第4 次倒出的水量是14升的1 ，⋯按照这种倒水的方法，倒了5 10 次后容器内剩余的水量是（）A 、10 升11B 、1 升9C 、110升D 、111升二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共 18 分 .把答案填在答题卡中的横线上）13、 2011的相反数是 __________14、近似数 0.618 有__________个有效数字．15、分解因式：a 3= __________16、如图，是某校三个年级学生人数分布扇形统计图，则九年级学生人数所占扇形的圆心角的度数为 __________C 'D 17、如图，等边△ ABC 绕点 B 逆时针旋转30°时，点 C 转到 C ′的位置， 且 BC ′与 AC 交于点 D ，则CD的值为 __________16 题图17 题图18 题图18、如图， AB 是半圆 O 的直径，以 0A 为直径的半圆O ′与弦 AC 交于点 D ，O ′ E ∥ AC ，并交 OC 于点E ．则下列四个结论：①点 D 为 AC 的中点；② S O 'OE1S AOC ；③ AC 2AD；④四边形 O'DEO 是菱形．其中正确的结2论是 __________．（把所有正确的结论的序号都填上）三、解答题（本大题共 8 小题，满分共 66 分，解答过程写在答题卡上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） .19、计算： (1) 1(5) 034 ．220、假日，小强在广场放风筝．如图，小强为了计算风筝离地面的高度，他测得风筝的仰角为 60°，已知风筝线 BC 的长为 10 米，小强的身高 AB 为 1.55 米，请你帮小强画出测量示意图，并计算出风筝离地面的高度．（结果精确到 1 米，参考数据2 ≈ 1.41 ， 3≈ 1.73 ）21、如图， △ OAB 的底边经过⊙ O 上的点 C ，且 OA=OB ，CA=CB ，⊙O 与 OA 、OB 分别交于 D 、E 两点．（ 1）求证： AB 是⊙ O 的切线；（ 2）若 D 为 OA 的中点，阴影部分的面积为33，求⊙ O 的半径 r ．22、一个不透明的纸盒中装有大小相同的黑、白两种颜色的围棋，其中白色棋子 3 个（分别用白 A 、白 B 、白 C 表示），若从中任意摸出一个棋子，是白色棋子的概率为3 ．4（ 1）求纸盒中黑色棋子的个数；（ 2）第一次任意摸出一个棋子（不放回） ，第二次再摸出一个棋子，请用树状图或列表的方法，求两次摸到相同颜色棋子的概率．23、上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了 2000 元，第二批用了 5500 元，第二批购进水果的重量是第一批的 2.5 倍，且进价比第一批每千克多 1 元．（ 1）求两批水果共购进了多少千克？（ 2）在这两批水果总重量正常损耗 10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于 26%，那么售价至少定为每千克多少元？利润（利润率 =100%）进价AG为边作一个正方形AEFG ，24、如图，点G 是正方形ABCD 对角线 CA 的延长线上任意一点，以线段线段 EB 和 GD 相交于点 H．（ 1）求证： EB=GD ；（ 2）判断 EB 与 GD 的位置关系，并说明理由；（ 3）若AB=2 ， AG=2，求EB的长．25、已知抛物线y ax22ax 3a ( a 0) 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点 D 为抛物线的顶点．（1）求 A 、 B 的坐标；（2）过点 D 作 DH 丄 y 轴于点 H，若 DH=HC ，求 a 的值和直线 CD 的解析式；（3）在第（ 2）小题的条件下，直线 CD 与 x 轴交于点 E，过线段 OB 的中点 N 作 NF 丄 x 轴，并交直线CD 于点 F，则直线 NF 上是否存在点 M ，使得点 M 到直线 CD 的距离等于点 M 到原点 O 的距离？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．中考数学试题答案一、选择题题号123456789101112答案B A C C B D B A C B C D二、填空题13. 201114. 315.a(3 a)(3 a)°17.2318.①③④16. 144三、解答题19. 解：原式 =2-1-3+2 ，=0 ．故答案为： 0 ．20.解：∵一元二次方程 x2-4x+1=0 的两个实数根是 x1、 x2，∴ x1 +x 2=4 ， x1?x2=1 ，∴（ x1+x 2）2÷（）=4 2÷2=4 ÷421.解：在 Rt △ CEB 中，sin60 °=，∴CE=BC?sin60°=10×≈8.65m，∴CD=CE+ED=8.65+1.55=10.≈210m，答：风筝离地面的高度为 10m ．22.（ 1）证明：连 OC ，如图，∵ OA=OB ， CA=CB ，∴OC ⊥AB，∴AB 是⊙ O 的切线；（2）解：∵ D 为 OA 的中点， OD=OC=r ，∴ OA=2OC=2r ，∴∠ A=30°，∠ AOC=60°， AC=r，∴∠ AOB=120°， AB=2r，∴ S 阴影部分 =S △OAB -S 扇形ODE = ?OC?AB-=-，∴?r?2r- r2=-，∴ r=1 ，即⊙ O 的半径 r 为 1 ．23. 解：（ 1） 3÷-3=1 ．答：黑色棋子有 1 个；（ 2）共12 种情况，有 6 种情况两次摸到相同颜色棋子，所以概率为．24. 解：（ 1）设第一批购进水果x 千克，则第二批购进水果 2.5 千克，依据题意得：，解得 x=200 ，经检验 x=200 是原方程的解，∴x+2.5x=700 ，答：这两批水果功够进 700 千克；（ 2）设售价为每千克 a 元，则：，630a≥ 7500× 1.26，∴，∴a≥15，答：售价至少为每千克 15 元．25.（ 1 ）证明：在△ GAD 和△ EAB 中，∠ GAD=90° +∠ EAD ，∠ EAB=90° +∠ EAD ，∴∠ GAD= ∠ EAB ，又∵ AG=AE ， AB=AD ，∴△ GAD ≌△ EAB ，∴EB=GD ；（ 2） EB ⊥ GD ，理由如下：连接BD ，由（ 1 ）得：∠ ADG= ∠ ABE ，则在△ BDH 中，∠DHB=180° - （∠ HDB+ ∠ HBD ）=180°-90 °=90°，∴EB⊥GD ；（ 3）设BD与AC交于点O，∵ AB=AD=2在 Rt △ABD中， DB=，∴ EB=GD=．26. 解：（ 1）由y=0得， ax 2-2ax-3a=0，∵ a≠0，∴ x2 -2x-3=0，解得1=-1，x2=3，∴点 A 的坐标（ -1， 0），点 B 的坐标（ 3，0）；（2）由 y=ax 2 -2ax-3a ，令 x=0 ，得 y=-3a ，∴ C （ 0， -3a ），又∵ y=ax 2 -2ax-3a=a （ x-1 ）2-4a ，得 D （1 ， -4a ），∴ DH=1 ， CH=-4a- （ -3a ） =-a ，∴ -a=1 ，∴ a=-1 ，∴C（0， 3），D（1，4），设直线 CD 的解析式为y=kx+b ，把 C、 D 两点的坐标代入得，，解得，∴直线 CD 的解析式为y=x+3 ；（ 3）存在．由（ 2）得， E（-3，0），N（-，0）∴F（，），EN= ，作 MQ⊥CD 于 Q，设存在满足条件的点M（，m），则FM=-m ，EF==，MQ=OM=由题意得： Rt △ FQM ∽ Rt △ FNE ，∴=，整理得 4m 2+36m-63=0 ，∴m2+9m=，m 2+9m+=+（m+ ）2=m+ =±∴ m1=，m2=-，∴点 M 的坐标为M1（，），M2（，-）．”可见，一个人的心胸和眼光，决定了他志向的短浅或高远；一个清代“红顶商人”胡雪岩说：“做生意顶要紧的是眼光，看得到一省，就能做一省的生意；看得到天下，就能做天下的生意；看得到外国，就能做外国的生意。

2017年山东省莱芜市中考数学试题(含解析)

2017年山东省莱芜市中考数学试题(含解析)

2017年山东省莱芜市初中学业考试数学试题（总分120分 考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题 共36分）一、选择题（本大题共12小题，在每小题都给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共36分） 1．（2017山东莱芜，1，3分）－6的倒数是（ ） A ．－16B ．16C ．－6D ．6答案：A ，解析：－6的倒数是－16.2．（2017山东莱芜，2，3分）某种细菌的直径是0.00000078米，将数据0.00000078用科学记数法表示为（ ）A ．7.8×10－7B ．7.8×10－8C ．0.78x 10－7D ．78x 10－8答案：A ，解析：0.000 000 78=7.8×10－73．（2017山东莱芜，3，3分）下列运算正确的是（ ） A ．2x 2－x 2＝1 B ．x 6÷x 3＝x 2 C ．4x ·x 4＝4x 5 D ．(3xy 2)2＝6x 2y 4答案：C ，解析：A 项， 2x 2－x 2＝x 2，该项错误； B 项，x 6÷x 3＝x 3，该项错误； C ．4x ·x 4＝4x 5，该项正确； D ．(3xy 2)2＝9x 2y 4，该项错误.4．（2017山东莱芜，4，3分）电动车每小时比自行车多行驶了25千米，自行车行驶30千米比电动车行驶40千米多用了1小时，求两车的平均速度各为多少？设自行车的平均速度为x 千米/小时，应列方程为（ ）A ．30x －1＝40x －25B ．30x －1＝40x ＋25C ．30x ＋1＝40x －25D ．30x ＋1＝40x ＋25答案：B ，解析：据时间方面的等量关系列方程：30x －1＝40x ＋25.5．（2017山东莱芜，5，3分）将一个正方体沿正面相邻两条棱的中点连线截去一个三梭柱，得到一个如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（ ）答案：C ，解析：该几何体的左视图是C 项中的图形.6．（2017山东莱芜，6，3分）如图，AB 是⊙O 的直径，直线DA 与⊙O 相切于点A ，DO 交⊙O 于点C ，连接BC ，若∠ABC ＝21°，则∠ADC 的度数为（ ） A ．46° B ．47° C ．48° D ．49°答案：C ，解析：∵直线DA 与⊙O 相切，∴∠ODA =90°.∵∠AOD =2∠ABC =2×21°=42°，∴∠ADC =90°－∠AOD =90°－42°=48°. 7．（2017山东莱芜，7，3分）一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 答案：C ，解析：设多边形的边数是n ，据题意，得 （n －2）·180°=2×360°+180°. 解得n =7.7边形的对角线的条数是7(73)2⨯-=14. 8．（2017山东莱芜，8，3分）如图，在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝2，将Rt △ABC 绕A 点顺时针旋转90°得到Rt △ADE ，则BC 扫过的面积为（ ） A ．π2B ．(2－3)πC ．2－32πD ．πB（第6题图）正面（第5题图）A B C D答案：D ，解析：∵∠BCA ＝90°，∴222BC AC AB +=，即222AB AC BC -=. ∵整个图形的面积=△ABC 的面积+扇形BAD 的面积 =阴影部分的面积+扇形CAE 的面积+△AED 的面积， 又△ABC 的面积=△AED 的面积，∴阴影部分的面积=扇形BAD 的面积－扇形CAE 的面积= 2290()360AB AC π⋅-= 290360BCπ⋅=π.点拨 线段旋转所形成的阴影部分的面积=线段两端点分别绕旋转中心旋转所形成的扇形面积的差. 9．（2017山东莱芜，9，3分）如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC ＝120°，M 是BC 边的一个三等分点，P 是对角线AC 上的动点，当PB ＋PM 的值最小时，PM 的长是（ ） A ．72B ．273C ．355D ．264答案：A ，解析：法一：解析：连接BD 、DM ，DM 交AC 于点P ，则此时PB ＋PM 的值最小．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，过点M 作ME ∥BD 交AC 于点E ． ∵∠ABC ＝120°，∴∠BCD ＝60°．又∵DC ＝BC ，∴△BCD 是等边三角形．∴BF ＝CF ＝12BC ＝3．∴MF ＝CF －CM ＝3－2＝1，DF ＝3BF ＝33.∴DM ＝(33)2＋12＝27.∵ME ∥BD ，∴△CEM ∽△CO B.∴ME OB ＝CM BC ＝26＝13.又∵OB ＝OD ，∴ME OD ＝13.MDAB P（第9题图）∵ME ∥BD ，∴△PEM ∽△PO D.∴PM PD ＝ME OD ＝13.∴PM ＝14DM ＝14×27＝72.故选A ．法二：作点M 关于AC 的对称点M ′，连接BM ′交AC 于点P ，此时PB ＋PM 的值最小. 过点作BE ⊥CD 于E. 可求CE =3，则EM ′=1. 利用勾股定理可得BM ′=利用相似三角形可得PM ′=PM =72.10．（2017山东莱芜，10，3分）如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，AD ＝5，CD ＝3，sin A ＝sin B ＝13，动点P 自A 点出发，沿着边AB 向点B 匀速运动，同时动点Q 自点A 出发，沿着边AD －DC －CB 匀速运动，速度均为每秒1个单位．当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动．设点P 运动t （秒）时，△APQ 的面积为S ，则S 关于t 的函数图象是（ ）AB C P D M′E M答案：B ，解析：法一：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ． ∵sin A ＝DE AD ＝13，∴DE 5＝13．∴DE ＝53．∴CF ＝DE ＝53．∵sin A ＝sin B ，∴∠A ＝∠B.∴△ADE ≌△BCF . ∴BC ＝AD ＝5，AE ＝BF ＝52－⎝⎛⎭⎫532＝1032.∴AB ＝AE ＋EF ＋BF ＝2×1032＋3＝2032＋3，AD ＋CD ＋BC ＝5＋3＋5＝13．∵2032＋3＜13， ∴当点P 到达终点B 时，点Q 在线段BC 上，此时△APQ 的面积为S ＞0. 当8＜t ≤2032＋3时，点Q 在线段BC 上，此时AP ＝t ，AD ＋CD ＋CQ ＝t ，∴CQ ＝t －8，∴BQ ＝5－( t －8)＝13－t .过点Q 作QG ⊥AB 于点G ，则sin B ＝QG BQ ＝13，∴QG 13－t ＝13.∴QG ＝13(13－t ).∴△APQ 的面积S ＝12AP ×QG ＝12×t ×13(13－t )＝－16(t 2－13t ),其图象开口向下．又∵当点P 到达终点B 时，点Q 在线段BC 上，此时△APQ 的面积为S ＞0.∴由此可得答案选B ．G法二：分为三段，当点Q 在AD 上运动时，S 关于t 的函数为二次函数，且S 随t 的增大而增大； 当点Q 在DC 上运动时，S 关于t 的函数为一次函数，且S 随t 的增大而增大；P（第10题图）当点Q 在AD 上运动时，S 关于t 的函数为二次函数，且S 随t 的增大而减小，注意在该段当点P 运动点B 停止时，点Q 没有到达达点B. 综上，选B.11．（2017山东莱芜，11，3分）对于实数a ，b ，定义符号min ，其意义为：当a ≥b 时，min＝b ：当a ＜b 时，min＝a ．例如min＝－1．若关于x 的函数y ＝min ｛2x －1，－x ＋3｝，则该函数的最大值为（ ） A ．23B ．1C ．43D ．53答案：D ，解析：当2x －1≥－x ＋3时，43x ≥，y ＝min ｛2x －1，－x ＋3｝=－x ＋3，最大值为53.当2x －1<－x ＋3时，43x <，y ＝min ｛2x －1，－x ＋3｝=2x －1，最大值为53. 综上，该函数的最大值为53.12．（2017山东莱芜，12，3分）如图，正五边形ABCDE 的边长为2，连结AC 、AD 、BE ，BE 分别与AC 和AD 相交于点F ，G ，连结DF ，给出下列结论：①∠FDG ＝18°；②FG ＝3－5；③(S 四边形CDEF )2＝9＋25；④DF 2－DG 2＝7－25．其中结论正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：B ，解析：（1）∵正五边形ABCDE 的每一个内角都等于(5－2)×180°5＝108°.∴∠BAC ＝∠BCA ＝(180°－108°)÷2＝36°.同理可得∠ABE ＝∠AEB ＝∠EAD ＝∠EDA ＝36°.∴∠CBF ＝∠FCD ＝∠GDC ＝∠DEG ＝108°－36°＝72°. ∴∠BFC ＝180°－∠BCA －∠CBF ＝180°－36°－72°＝72°.GF（第12题图）∴∠BFC ＝∠CBF ＝72°. ∴BC ＝CF ＝2.同理可得DG ＝DE ＝2.∵BC ＝CF ,BC ＝CD ,∴CF ＝C D . 又∵∠FCD ＝＝72°，∴∠CDF ＝∠CFD ＝(180°－72°)÷2＝54°. ∴∠FDG ＝∠GDC －∠CDF ＝72°－54°＝18°. 由此可知①正确；（2）∵∠ABE ＝∠BCA ＝36°，∠BAF ＝∠CAB ,∴△BAF ∽△CA B .∴AB AC ＝AF AB .∴AB AF ＋CF ＝AF AB .∴2AF ＋2＝AF 2.解得AF ＝5－1.∴AC ＝AF ＋FC ＝(5－1)＋2＝5＋1. ∵△AFG ∽△ACD ,∴AF AC ＝FGCD .∴5－15＋1＝FG 2.解得FG ＝3－5. 由此可知②正确；（3）过点A 作AM ⊥CD 于点M ,交BE 于点N .DMMG∵AC ＝AD , AM ⊥CD ,∴CM ＝DM ＝12CD ＝1.∴cos ∠ACM ＝CMAC ＝15＋1＝5－14．∴(sin ∠ACM )2＝1－( cos ∠ACM )2＝1－(5－14)2. ∵CD ＝CF ＝EF ＝DE ＝2，∴四边形CDEF 是菱形．∴S 四边形CDEF ＝2 S △CDF＝2×(12CF ×CD ×sin ∠ACM )＝2×(12×2×2×sin ∠ACM )＝4sin ∠ACM .∴(S 四边形CDEF )2＝(4sin ∠ACM )2 ＝16×(sin ∠ACM )2＝10＋25≠9＋25． 由此可知③错误；（4）过点F 作FG ⊥CD 于点G ．∵cos ∠ACM ＝cos ∠FCG ＝CG FC ＝5－14，∴CG2＝5－14.∴CG ＝5－12．∴DG ＝CD －CG ＝2－5－12＝5－52． ∴DG 2＝(5－52)2＝15－552．由对称性知CF=DG.∴DF 2－DG 2＝DG 2－CG 2＝6－25≠7－25． 由此可知④错误；综上①②正确，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题 共84分）二、填空题（本大题共5小题，每小题填对得4分，共20分．请填在答题卡上） 13．（2017山东莱芜，13，4分）3012cos 45(3.14)2π-⎛⎫--︒+-+ ⎪⎝⎭___________．答案：－7(－2)3－2×22＋1＋22＝－8－2＋1＋22＝－714．（2017山东莱芜，14，4分）圆锥的底面周长为23π，母线长为2，点P 是母线OA 的中点，一根细绳（无弹性）从点P 绕圆锥侧面一周回到点P ．则细绳的晟短长度为___________．答案：1，解析：将圆锥的侧面展开，如图.取OA ′的中点P ′，连接PP ′，则P P ′ 即为细绳的最短路径.O AA′P P ′∵2180O π∠⋅⋅︒=23π，∴∠O =60°.∵OP =OP ′=12×2=1，∴△OPP ′是等边三角形. ∴PP ′=1.15．（2017山东莱芜，15，4分）直线y ＝kx ＋b 与双曲线6y x=-交于A (－3，m )，B (n ，－6)两点．将直线y ＝kx ＋b 向上平移8个单位长度后，与双曲线交于D ，E 两点，则S △ADE ＝___________．答案：16，解析：把A (－3，m )代入6y x=-，得m ＝－6－3＝2.∴A (－3，2).把B (n ，－6)代入6y x=-，得－6＝－6n .∴n ＝1.∴B (1，－6). 把A (－3，2)、B (1，－6)分别代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧2＝－3k ＋b －6＝k ＋b .解得⎩⎨⎧k ＝－2b ＝－4. ∴y ＝－2x －4. 把x ＝0代入y ＝－2x －4，得y ＝－4.∴直线y ＝－2x －4与y 轴交于点(0，－4). 把点(0，－4)向上平移8个单位长度后得到的点是(0，4)，∴将直线y ＝－2x －4向上平移8个单位长度后所得的直线是y ＝－2x ＋4.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋4y ＝－6x ,得⎩⎨⎧x 1＝3y 1＝－2,⎩⎨⎧x 2＝－1y 2＝6.∴可以取D (－1，6)、E (3，－2).设直线AE 的解析式为y ＝mx ＋n ，则⎩⎨⎧2＝－3m ＋n－2＝3m ＋n.解得⎩⎨⎧m ＝－23n ＝0. ∴直线AE 的解析式为y ＝－23x ，该直线经过原点(0，0)．过点D 作DC ⊥x 轴于点C ，交AE 于点F ，则C (－1，0)、F (－1，－23).∴DF ＝6－23＝163.∴S △ADE ＝S △ADF ＋ S △FDE ＝12DF ×CM ＋12DF ×CN ＝12DF ×(CM ＋CN )＝ 12DF ×MN ＝12×163×6＝16.16．（2017山东莱芜，16，4分）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0) 图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为－3，1，与y 轴交于点C ，下面四个结论： ①16a －4b ＋c ＜0； ②若P （－5，y 1）、Q （52，y 2）是函数图象上的两点，则y 1＞y 2； ③a ＝－13c ；④若△ABC 是等腰三角形，则b ．其中正确的有_______________．(请将结论正确的序号全部填上) 答案：①③，解析：①∵a ＜0，∴该抛物线开口向下. ∵图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为－3，1，∴当x ＝－3或1时，y ＝0且抛物线的对称轴是直线x ＝－1. ∴当x ＝－4时，y ＝a ＋b ＋c ＜0. 由此可知①正确；②点P （－5，y 1）关于对称轴的对称点是P ′（3，y 1）.点是P ′（3，y 1）、Q （52，y 2）都在对称轴右侧. ∵该抛物线开口向下，对称轴是直线x ＝－1， ∴当x ＞－1时，y 随x 的增大而减小. ∵3＞52，∴y 1＜y 2．由此可知②错误；③∵对称轴是直线x ＝－1，∴－b2a＝－1.∴b ＝2a .∵抛物线过点(1，0)，∴a ＋b ＋c ＝0.把b ＝2a 代入上式，得a ＋2a ＋c ＝0.∴a ＝－13c . 由此可知③正确；④若△ABC 是等腰三角形，则有两种情况：AB ＝AC 或BA ＝BC ，因此c 的值有两个，b 的值也有两个.由此可知④错误.17．（2017山东莱芜，17，4分）如图，在矩形ABCD中，BE ⊥AC 分别交AC 、AD 于点F 、E ，若AD ＝1，AB ＝CF ，则AE ＝___________．CE ． E DB （第17题图）EDB A∵AB ＝CF ，AB ＝CD ，∴CF ＝CD .又∵CE ＝CE ，∠EFC ＝∠EDC ＝90°，∴△EFC ≌△ED C.∴DE ＝EF .设AB ＝CD ＝CF ＝a ，则AC 2＝AD 2＋CD 2＝12＋a 2＝1＋a 2.设AE ＝x ，则DE ＝EF ＝1－x .∵△ABE ∽△DAC ，∴AB AD ＝AE DC .∴a 1＝x a . ∴x ＝a 2…………………………①∵△AEF ∽△ACD ，∴AE AC ＝EF DC .∴AE 2AC 2＝EF 2DC2. ∴x 21＋a2＝(1－x )2a 2.…………………………② 由①、②两式，可解得x ＝5－12， ∴AE ＝5－12.三、解答题（本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）18．（本题满分6分）（2017山东莱芜，18，6分） 先化简，再求值：（a ＋63a a -)÷(a ＋993a a +-)，其中a 3. 思路分析：先将两括号内的式子分别通分，再将除法转化为乘法，然后约分化简，最后代入所给的值求解． 解：原式＝(3)63a a a a -+-÷(3)993a a a a -++- ＝233a a a +-×2369a a a -++＝(3)3a a a +-×23(3)a a -+ ＝3a a +.当a3时，原式＝3aa+119（本题满分8分）（2017山东莱芜，19，8分）为了丰富校园文化，某学校决定举行学生趣味运动会，将比赛项目确定为袋鼠跳、夹球跑、跳大绳、绑腿跑和拔河赛五种．为了解学生对这五项运动的喜欢情况，随机调查了该校a名学生最喜欢的一种项目（每名学生必选且只能选择五项中的一种），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表：根据图表中提供的信息，解答下列问题：（1）a＝____________，b＝_______，c＝_______．（2）请将条形统计图补充完整；（3）根据调查结果，请你估计该校3000名学生中有多少名学生最喜欢绑腿跑；（4）根据调查结果，某班决定从这五项（袋鼠跳、夹球跑、跳大绳、绑腿跑、拔河赛可分别记A、B、C、D、E）中任选其中两项进行训练，用画树状固或列表的方法求恰好选到学生喜欢程度最高的两项的概率．思路分析：（1）根据“袋鼠跳”的学生数和百分比可以求出被调查学生的总数，即a的值；用“绑腿跳”的百分比乘以a，即可得b的值；用“夹球跑”的学生数除以a，即可得c的值．（2）根据b的值即可将条形统计图补充完整．（3）用3000乘以“绑腿跳”的百分比，即可得到该校学生中最喜欢绑腿跑的人数．（4）用“列表法”求解即可，需注意本小题是属于“不放回”类型的．解：（1）a＝300，b＝60，c＝10；（2）学生最喜欢的活动项目的人数条形统计图（3）3000×20%＝600（名）；（4）P ＝220＝110.（树状图或列表略）20．（本题满分9分）（2017山东莱芜，20，9分）某学校教学楼（甲楼）的顶部E 和大门A 之间挂了一些彩旗．小颍测得大门A 距甲楼的距离AB 是31 m ，在A 处测得甲楼顶部E 处的仰角是31°．（1）求甲楼的高度及彩旗的长度：（精确到0.01 m ）（2〉若小颖在甲楼楼底C 处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G 处的仰角为40°．爬到甲楼楼顶F 处测得乙楼楼顶G 处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲乙两楼之间的距离．（精确到0.01 m ）（cos31°≈0.86，t an31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77， tan40°≈0.84）思路分析：（1）应用∠A 的正切可以求得甲楼的高度BE ；应用∠A 的余切可以求得彩旗的长度AE ；（2）设甲乙两楼之间的距离为x m ，再利用19°角、40°角的正切列方程求解. 解：（1）在Rt △ABE 中，BE ＝AB ·tan31°＝31×tan31°≈31×0.60＝18.60.AE ＝cos31AB ︒＝31cos31︒≈310.86≈36.05 故甲楼的高度为18.60m ，彩旗的长度为36.05m.（2）过点F 作FM ⊥GD ，交GD 于M ，在Rt △GMF 中，GM ＝FM tan19°，在Rt △GDC 中，GD ＝CD tan40°，设甲乙两楼之间的距离为x m ，FM ＝CD ＝x ，则根据题意得： 19︒40︒31︒甲 乙 C D E F G A B （第20题图）x tan40°－x tan19°＝18.60；解之得：x ＝37.20m ；乙楼的高度：GD ＝CD tan40°≈37.20×0.84≈31.25，故乙楼的高度为31.25m ，甲乙两楼之间的距离为37.20m.21．（本题满分9分）（2017山东莱芜，21，9分）己知△ABC 与△DEC 是两个大小不同的等腰直角三角形．（1）如图①所示，连接AE 、DB ．试判断线段AE 和DB 的数量和位置关系，并说明理由；（2）如图②所示，连接DB ，将线段DB 绕D 点顺时针旋转90°到DF ，连接AF ，试判断线段DE 和AF 的数量和位置关系，并说明理由．思路分析：（1）通过证明Rt △ACE ≌Rt △BCD 即可解决；（2）通过证明△EBD ≌△ADF 即可得解.解：（1）AE ＝DB ，AE ⊥DB .理由：由题意可知，CA ＝CB ，CE ＝CD ，∠ACE ＝∠BCD ＝90°，∴Rt △ACE ≌Rt △BCD .∴AE ＝DB .延长DB 交AE 于点M ， ① C E B ② F C E B （第21题图）∵Rt△ACE≌Rt△BCD，∴∠AEC＝∠BDC.又∵∠AEC＋∠EAC＝90°，∴∠BDC＋∠EAC＝90°，∴在△AMD中，∠AMD=180°－90°＝90°，∴AE⊥DB.（2）DE＝AF，DE⊥AF.理由：设ED与AF相交于点N，由题意可知，BE＝AD.∵∠EBD＝∠C＋∠BDC＝90°＋∠BDC，∠ADF＝∠BDF＋∠BDC＝90°＋∠BDC，∴∠EBD＝∠ADF，又∵DB＝DF，∴△EBD≌△ADF.∴DE＝AF.∠E＝∠FAD，∵∠E＝45°，∠EDC＝45°，∴∠FAD＝45°. ∴∠AND＝90°.∴DE ⊥AF .22．（本题满分10分〉（2017山东莱芜，22，10分）某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩，已知甲种口罩毎袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元．（1）该网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元？（2）根据消费者需求，网店决定用不超过10 000元购进甲、乙两种口罩共500袋，且甲种口罩的数量大于乙种口罩的45．已知甲种口罩毎袋的进价为22.4元，乙种口罩毎袋的进价为18元．请你帮助网店计算有几种进货方案？若使网店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？思路分析：（1）根据等量关系列方程组求解；（2）根据不等关系列不等式组求解各种符合题意的方案；分别计算所得各种方案的获利情况，可得利润最大的方案及最大利润；也可以建立二次函数模型求解．解：（1）设该网店甲种口罩每袋的售价为x 元，乙种口罩每袋的售价为y 元，根据题意得：523110x y x y -=⎧⎨+=⎩， 解这个方程组得：2520x y =⎧⎨=⎩， 故该网店甲种口罩每袋的售价为25元，乙种口罩每袋的售价为20元．（2）设该网店购进甲种口罩m 袋，则购进乙种口罩(500－m )袋，根据题意得：4(500)522.418(500)10000m m m m ⎧>-⎪⎨⎪+-≤⎩， 解这个不等式组得：222 2＜m ≤227 3，因m 是整数，故有5种进货方案，分别是： 购进甲种口罩223袋，乙种口罩277袋；购进甲种口罩224袋，乙种口罩276袋；购进甲种口罩225袋，乙种口罩275袋；购进甲种口罩226袋，乙种口罩274袋；购进甲种口罩227袋，乙种口罩273袋；设网店获利为w 元，则有w ＝(25－22.4)m ＋(20－18)(500－m )＝0.6m ＋1000，因w 随m 的增大而增大，故当m ＝227时，w 最大，W 最大＝0.6×227＋1000＝1136.2（元）.故网店购进甲种口罩227袋，乙种口罩273袋时，获利最大，最大获利为1136.2元.23．（本题满分10分〉（2017山东莱芜，23，10分）已知AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ，如图①．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝10．AC＝6，求BD的长；（3）如图②，若F是OA的中点，FG⊥OA交直线DE于点G，若FG＝194，tan∠BAD＝34，求⊙O的半径．思路分析：（1）连接OD，证明OD⊥DE即可得解；（2）连接BC，构造直角三角形，利用勾股定理求出BC的长度，再进一步应用三角形中位线性质及勾股定理求解；（3）设FG与AD交于点H，证明△DHE是等腰三角形是解题突破口.解：（1）如图，连接OD.NEDCBAO∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.又∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠DAE.∴∠ODA＝∠DAE. ∴OD∥AE.∴∠ODE＋∠AED＝180°.又∵∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°.∴OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．（2）连接BC，交OD于点N.∵AB是直径，∴∠BCA＝90°.∵OD∥AE，O是AB的中点，∴ON∥AC，且ON＝12AC，∴∠ONB＝90°，且ON＝3.则BN＝4，ND＝2，∴BD＝．②（第23题图）①（3）如图，设FG 与AD 交于点H .FEH C G M DA OB根据题意，设AB ＝5x ，AD ＝4x ，BD ＝3x ，则AF ＝54x ，5315tan 4416FH AF BAD x x =⋅∠=⋅=， 52544cos 165x AF AH x BAD ===∠，HD =AD －AH ＝253941616x x x -=. 由（1）可知，∠HDG ＋∠ODA ＝90°，在Rt △HFA 中，∠FAH ＋FHA ＝90°，又∵∠OAD ＝∠ODA ，∠FHA ＝∠DHG ，∴∠DHG ＝∠HDG .∴GH ＝GD .过点G 作GM ⊥HD ，交HD 于点M .∴MH ＝MD ，∴HM ＝12HD ＝12×3916x ＝3932x . ∵∠FAH ＋∠AHF ＝90°，∠MHG ＋∠HGM ＝90°，∴∠FAH ＝∠HGM . 在Rt △HGM 中，HG ＝sin HM HGM∠＝393235x ＝6532x . ∵FH ＋GH ＝194，故有1516x ＋6532x ＝194，解之得：x ＝85． 故此圆的半径为52×85＝4．24．（本题满分12分）（2017山东莱芜，24，12分）抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过A （2，3），B （4，3），C （6，－5）三点．（1）求抛物线的表达式；（2）如图①，抛物线上一点D 在线段AC 的上方，DE ⊥AB 交AC 于点E ，若潢足DE AE，求点D 的坐标．（3〉如图②，F 为抛物线顶点，过A 作直线l ⊥AB ，若点P 在直线l 上运动，点Q 在x 轴上运动，是否存在这样的点P 、Q ，使得以B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABF 相似．若存在，求P 、Q 的坐标，并求此时△BPQ 的面积；若不存在，请说明理由．思路分析：（1）将A （2，3），B （4，3），C （6，－5）三点的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得到关于a ，b ，c 的方程组，解所得的方程组得到a ，b ，c 的值，即得抛物线的解析式；（2）根据题意，AB ∥x 轴，DE ⊥x 轴，求出直线AC 的解析式y ＝kx n +，设D 设点D (m ，ax 2＋bx ＋c )，2＜m ＜6，则点E (m ，kx n +)，用含有m 的式子分别表示出AE 、DE 的长度，再求解；（3）先确定△ABF 的形状，再分不同情况分别讨论求解．解：（1）根据题意，设抛物线表达式为y ＝2(3)a x h -+．所以395a h a h +=⎧⎨+=-⎩﹐﹒ 解得14a h =-⎧⎨=⎩﹐﹒ 所以抛物线表达式为y ＝265x x -+-．（2）设直线AC 的表达式为y ＝kx n +，则2365k n k n +=⎧⎨+=-⎩﹐﹒ 解得27k n =-⎧⎨=⎩﹐﹒ ∴直线AC 表达式为y ＝－2x ＋7．设点D (m ，265m m -+-)，2＜m ＜6，则点E (m ，－2m ＋7)，∴DE ＝2(65)(27)m m m -+---+＝2812m m -+-．设直线DE 与直线AB 交于点G ，则AG ＝m －2，EG ＝3(27)m --+＝2(m －2)，m －2＞0．（第24题图）在Rt △AEG 中，∴AE (m －2)．由DEAE ，2，化简得221114m m -+＝0，解得m ＝72或m ＝2（舍去）．∴D （72，154）． （3）根据题意得，△ABF 为等腰直角三角形，假设存在满足条件的点P 、Q ，则△BPQ 为等腰直角三角形．（i ）若∠BPQ ＝90°，BP ＝PQ ，如图①，易知△BAP ≌△PMQ ，由AB ＝PM ＝2，所以P （2，2），Q （3，0），PQ ，S △BPQ ＝52．如图②，△BNP ≌△PMQ ，由PN ＝QM ＝2，所以P （2，－2），Q （－3，0），PQ S △BPQ ＝292． （ii ）若∠BQP ＝90°，BQ ＝PQ ，如图③，易知△BNQ ≌△QMP ，由NQ ＝PM ＝3，所以P（2，－5），Q （－l ，0），PQ S △BPQ ＝17．如图④，△QNB ≌△PMQ ，由NQ ＝PM ＝3，所以ｐ（2，－1），Q （5，0），PQ S △BPQ ＝5．（iii ）若∠PBQ ＝90°，BQ ＝BP ，如图⑤，易知△PQB ≌△BNQ ，又AB ＝2，NQ ＝3，AB ≠NQ ，此时不存在满足条件的点P 、Q ．。

山东省莱芜市2017中考数学试卷及答案

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山东省莱芜市2017中考数学试卷及答案1(已知在Rt?ABC中，?C=90?，如果BC=2，?A=α，则AC的长为( )A(2sinα B(2cosα C(2tanα D(2cotα【考点】锐角三角函数的定义(【分析】根据锐角三角函数的定义得出cotA=，代入求出即可(【解答】解:?在Rt?ABC中，?C=90?，cotA=，BC=2，?A=α，AC=2cotα，故选D(【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意:在Rt?ACB中，?ACB=90?，则sinA=，cosA=，tanA=，cotA=(2(下列抛物线中，过原点的抛物线是( )A(y=x2,1 B(y=(x+1)2 C(y=x2+x D(y=x2,x,1【考点】二次函数图象上点的坐标特征(【分析】分别求出x=0时y的值，即可判断是否过原点(【解答】解:A、y=x2,1中，当x=0时，y=,1，不过原点;B、y=(x+1)2中，当x=0时，y=1，不过原点;C、y=x2+x中，当x=0时，y=0，过原点;D、y=x2,x,1中，当x=0时，y=,1，不过原点;故选:C(【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握抛物线上特殊点的坐标及一般点的坐标的求法是解题的关键(3(小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为( )A(45米 B(40米 C(90米 D(80米【考点】相似三角形的应用(【专题】应用题(【分析】在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似，利用对应边成比例可得所求的高度(【解答】解:?在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似，1.5:2=教学大楼的高度:60，解得教学大楼的高度为45米(故选A(【点评】考查相似三角形的应用;用到的知识点为:在相同时刻，物高与影长的比相同(4(已知非零向量，，，下列条件中，不能判定?的是 ( )A(?，? B( C( = D( =， =【考点】*平面向量(【分析】根据向量的定义对各选项分析判断后利用排除法求解(【解答】解:A、?，?，则、都与平行，三个向量都互相平行，故本选项错误;B、表示两个向量的模的数量关系，方向不一定相同，故不一定平行，故本选项正确;C、=，说明两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误;D、=， =，则、都与平行，三个向量都互相平行，故本选项错误;故选:B(【点评】本题考查了平面向量，主要利用了向量平行的判定，是基础题( 5(如图，在?ABCD中，点E是边BA延长线上的一点，CE交AD于点F(下列各式中，错误的是( )A( B( C( D(【考点】相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质(【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解(【解答】解:?AD?BC=，故A正确;CDBE，AB=CD，CDFEBC=，故B正确;ADBC，AEFEBC=，故D正确(C错误(故选C(【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键(6(如图，已知在?ABC中，cosA=，BE、CF分别是AC、AB边上的高，联结EF，那么?AEF和?ABC的周长比为( )A(1:2 B(1:3 C(1:4 D(1:9【考点】相似三角形的判定与性质(【分析】由?AEF??ABC，可知?AEF与?ABC的周长比=AE:AB，根据cosA==，即可解决问题(【解答】解:?BE、CF分别是AC、AB边上的高，AEB=?AFC=90?，A=?A，AEBAFC，=，=，??A=?A，AEFABC，AEF与?ABC的周长比=AE:AB，cosA==，AEF与?ABC的周长比=AE:AB=1:3，故选B(【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型(二、填空题:(本大题共12题，每题4分，满分48分)7(已知，则的值为 (【考点】比例的性质(【分析】用a表示出b，然后代入比例式进行计算即可得解(【解答】解:? =，b=a，==(故答案为:(【点评】本题考查了比例的性质，用a表示出b是解题的关键(8(计算:(,3),(+2)= (【考点】*平面向量(【分析】根据平面向量的加法计算法则和向量数乘的结合律进行计算(【解答】解::(,3),(+2)=,3,,×2)=(故答案是:(【点评】本题考查了平面向量，熟记计算法则即可解题，属于基础题型( 9(已知抛物线y=(k,1)x2+3x的开口向下，那么k的取值范围是 k,1 (【考点】二次函数的性质(【分析】由开口向下可得到关于k的不等式，可求得k的取值范围(【解答】解:y=(k,1)x2+3x的开口向下，k,1,0，解得k,1，故答案为:k,1(【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数有关是解题的关键(10(把抛物线y=x2向右平移4个单位，所得抛物线的解析式为 y=(x,4)2 ( 【考点】二次函数图象与几何变换(【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可(【解答】解:由“左加右减”的原则可知，将y=x2向右平移4个单位，所得函数解析式为:y=(x,4)2(故答案为:y=(x,4)2(【点评】本题考查的是函数图象平移的法则，根据“上加下减，左加右减”得出是解题关键(11(已知在?ABC中，?C=90?，sinA=，BC=6，则AB的长是 8 (【考点】解直角三角形(【专题】计算题;等腰三角形与直角三角形(【分析】利用锐角三角函数定义求出所求即可(【解答】解:?在?ABC中，?C=90?，sinA=，BC=6，sinA=，即=，解得:AB=8，故答案为:8【点评】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键(12(如图，已知AB?CD?EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F，如果AC:CE=3:5，BF=9，那么DF= (【考点】平行线分线段成比例(【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论(【解答】解:?AC:CE=3:5，AC:AE=3:8，ABCDEF，，BD=，DF=，故答案为:(【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，关键是找出对应的比例线段，写出比例式，用到的知识点是平行线分线段成比例定理(13(已知点A(2，y1)、B(5，y2)在抛物线y=,x2+1上，那么y1 , y2((填“,”、“=”或“,”)【考点】二次函数图象上点的坐标特征(【分析】分别计算自变量为2、5时的函数值，然后比较函数值的大小即可( 【解答】解:当x=2时，y1=,x2+1=,3;当x=5时，y2=,x2+1=,24;,3,,24，y1,y2(故答案为:,【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征:二次函数图象上点的坐标满足其解析式(也考查了二次函数的性质(14(已知抛物线y=ax2+bx+c过(,1，1)和(5，1)两点，那么该抛物线的对称轴是直线 x=2 (【考点】二次函数的性质(【分析】根据函数值相等的点到对称轴的距离相等可求得答案(【解答】解:抛物线y=ax2+bx+c过(,1，1)和(5，1)两点，对称轴为x==2，故答案为:x=2(【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数值相等的点到对称轴的距离相等是解题的关键(15(在?ABC中，AB=AC=5，BC=8，AD?BC，垂足为D，BE是?ABC 的中线，AD与BE相交于点G，那么AG的长为 2 (【考点】三角形的重心;等腰三角形的性质;勾股定理(【分析】先根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AD，再判断点G为?ABC的重心，然后根据三角形重心的性质来求AG的长(【解答】解:?在?ABC中，AB=AC，AD?BC，AD==3，中线BE与高AD相交于点G，点G为?ABC的重心，AG=3×=2，故答案为:2【点评】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理以及三角形的重心的性质，判断点G为三角形的重心是解题的关键(16(在一个距离地面5米高的平台上测得一旗杆底部的俯角为30?，旗杆顶部的仰角为45?，则该旗杆的高度为 5+5 米((结果保留根号)【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题(【分析】CF?AB于点F，构成两个直角三角形(运用三角函数定义分别求出AF 和BF，即可解答(【解答】解:作CF?AB于点F(根据题意可得:在?FBC中，有BF=CE=5米(在?AFC中，有AF=FC×tan30?=5米(则AB=AF+BF=5+5米故答案为:5+5(【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形([1][2]下一页。

山东省莱芜市中考数学试卷及答案(Word版含答案)

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绝密★启用前 试卷类型A 莱芜市2015年初中学业水平测试 数 学 试 题第I 卷选择题答案栏第Ⅰ卷（选择题 共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题选对得3分，共36分。

）1.31-的倒数是A ．3-B ．31-C ．31D ．32.下列计算结果正确的是A ．923)(a a =-B ．632a a a =⋅C ．22)21(21-=--D ．1)2160(cos 0=-3.在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．4.2010年4月20日晚，“支援青海玉树抗震救灾义演晚会”在莱芜市政府广场成功举行，热心企业和现场观众踊跃捐款31083.58元.将31083.58元保留两位有效数字可记为A ．3.1×106元B ．3.11×104元C ．3.1×104元D ．3.10×105元5.如图，数轴上A 、B 两点分别对应实数a 、b ，则下列结论正确的是 A ．0>ab B ．0>-b aC ．0>+b aD ．0||||>-b a1 0 -1 a b BA （第5题图）6.右图所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的俯视图是A. B. C. D.7.已知反比例函数x y 2-=，下列结论不正确的是A ．图象必经过点(-1,2)B ．y 随x 的增大而增大C ．图象在第二、四象限内D ．若x ＞1，则y ＞-28.已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为A ．2.5B ．5C ．10D ．159.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则一次函数a bx y +=的 图象不经过 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10.已知⎩⎨⎧==12y x 是二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+18my nx ny mx 的解，则n m -2的算术平方根为A ．4B ．2C ． 2D ． ±211.一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是A ．2B ． 3C ．1D ．1212.在一次自行车越野赛中，甲乙两名选手行驶的路程y （千米） 随时间x （分）变化的图象（全程）如图，根据图象判定下 列结论不正确的是 A ．甲先到达终点B ．前30分钟，甲在乙的前面C ．第48分钟时，两人第一次相遇D ．这次比赛的全程是28千米第Ⅱ卷（非选择题 共84分）（第9题图）（第12题图）（第6题图）二、填空题（本大题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分） 13.分解因式：=-+-x x x 232 ．14.有一组数据如下：2，3，a ，5，6，它们的平均数是4，则这组数据的方差是 ．15.某公司在2009年的盈利额为200万元，预计2011年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2010年的盈利额为________万元．16.在平面直角坐标系中，以点)3,4(A 、)0,0(B 、)0,8(C 为顶点的三角形向上平移3个单位，得到△111C B A （点111C B A 、、分别为点C B A 、、的对应点），然后以点1C 为中心将△111C B A 顺时针旋转︒90，得到△122C B A （点22B A 、分别是点11B A 、的对应点），则点2A 的坐标是 .17.已知：3212323=⨯⨯=C ，1032134535=⨯⨯⨯⨯=C ，154321345646=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=C ，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算=610C ．三、解答题（本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 18.（本题满分6分）先化简，再求值：24)2122(+-÷+--x xx x ，其中34 +-=x .19.（本题满分8分）2010年5月1日，第41届世博会在上海举办，世博知识在校园迅速传播.小明同学就本班学生对世博知识的了解程度进行了一次调查统计，下图是他采集数据后绘制的两幅不完整的统计图（A ：不了解，B ：一般了解，C ：了解较多，D ：熟悉）.请你根据图中提供的信息解答以下问题：（1）求该班共有多少名学生；（2）在条形统计图中，将表示“一般了解”的部分补充完整；（3）在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数；（4）从该班中任选一人，其对世博知识的了解程度为“熟悉”的概率是多少？ 20.（本题满分9分）2009年首届中国国际航空体育节在莱芜雪野举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A 处时，仪器显示正前方一高楼顶部B 的仰角是37°，底部C 的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：,75.037tan ,80.037cos ,60.037sin ≈︒≈︒≈︒73.13≈）21.（本题满分9分）在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D. （1）求线段AD 的长度；（2）点E 是线段AC 上的一点，试问当点E 在什么位置时，直线ED 与⊙O 相切？请说明理由.得分 评卷人得分 评卷人A B C D人数510 15 20 25 （第19题图）A 10%B30% DCODCB AB AC（第20题图）22.（本题满分10分）为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．（1）问符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明在（1）中哪种方案费用最低？最低费用是多少元？23.（本题满分10分）在ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE.（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是；（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是；（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.E DA E DAA DE24.（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线c bx ax y ++=2交x 轴于)0,6(),0,2(B A 两点，交y 轴于点)32,0(C . （1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线x y 2=交于点D ，作⊙D 与x 轴相切，⊙D 交y 轴于点E 、F 两点，求劣弧EF 的长；（3）P 为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG 垂直于x 轴，垂足为点G ，试确定P 点的位置，使得△PGA 的面积被直线AC 分为1︰2两部分.（第24题图）莱芜市2015年初中学业水平测试 数 学 试 题 答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）13. 2)1(--x x ； 14. 2； 15. 220； 16.)7,11( ； 17.210三、解答题（本大题共7个小题，共64分） 18.（本小题满分6分）解：原式=24212)2)(2(+-÷+-+-x xx x x ………………………1分 =x x x x -+⨯+-422162 ………………………2分 =)42(2)4)(4(-+-⨯+-+x x x x x ………………………4分=4--x ………………………5分 当34+-=x 时， 原式=4)34(-+--=434--=3-． ………………………6分19.（本小题满分8分）解：（1）5÷10％=50（人） ………………………2分（2）见右图 ………………………4分（3）360°×5020=144° ………………………6分（4）51502015550=---=P ． ………………………8分20.（本小题满分9分）解：过A 作AD ⊥CB ，垂足为点D ………………………1分 在Rt △ADC 中，∵CD=36，∠CAD=60°．∴AD=31233660tan ==︒CD ≈20.76． ……5分在Rt △ADB 中，∵AD ≈20.76，∠BAD=37°．∴BD=37tan ⨯AD ≈20.76×0.75=15.57≈15.6（米）． ………8分答：气球应至少再上升15.6米． …………………………9分 21.（本小题满分9分）解：（1）在Rt △ACB 中，∵AC=3cm ，BC=4cm ，∠ACB=90°，∴AB=5cm ． ……1分 连结CD ，∵BC 为直径，∴∠ADC =∠BDC =90°． ∵∠A=∠A ，∠ADC=∠ACB ，∴Rt △ADC ∽Rt △ACB ．∴AC ADAB AC =，∴592==AB AC AD ． …………………………4分 （2）当点E 是AC 的中点时，ED 与⊙O 相切． ………………5分证明：连结OD ，∵DE 是Rt △ADC 的中线．∴ED=EC ，∴∠EDC=∠ECD ．∵OC=OD ，∴∠ODC =∠OCD ． …………………7分 ∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD =∠ACB =90°．∴ED 与⊙O 相切． …………………………9分 22.（本小题满分10分）解：（1）设组建中型图书角x 个，则组建小型图书角为（30-x ）个． ………………1分由题意得⎩⎨⎧≤-+≤-+16203060501900303080）（）（x x x x …………………………3分解这个不等式组得18≤x ≤20．BACDOD B A由于x只能取整数，∴x的取值是18，19，20．…………………………5分当x=18时，30-x=12；当x=19时，30-x=11；当x=20时，30-x=10．故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个．……7分（2）方法一：由于组建一个中型图书角的费用大于组建一个小型图书角的费用，因此组建中型图书角的数量越少，费用就越低，故方案一费用最低，最低费用是860×18+570×12=22320（元）．…………………………10分方法二：①方案一的费用是：860×18+570×12=22320（元）；②方案二的费用是：860×19+570×11=22610（元）；③方案三的费用是：860×20+570×10=22900（元）故方案一费用最低，最低费用是22320元．…………………………10分23.（本小题满分10分）解：（1）四边形EGFH是平行四边形．…………………………1分ABCD的对角线AC、BD交于点O．∴点O ABCD的对称中心．∴EO=FO，GO=HO．∴四边形EGFH是平行四边形．…………………………4分（2）菱形．…………………………5分（3）菱形．…………………………6分（4）四边形EGFH是正方形．…………………………7分∵AC=BD ABCD是矩形．又∵AC⊥BD ABCD ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°．OB=OC．∵EF⊥GH ，∴∠GOF=90°．∴∠BOG=∠COF．∴△BOG≌△COF．∴OG=OF，∴GH=EF．…………9分由（1）知四边形EGFH是平行四边形，又∵EF⊥GH，EF=GH.∴四边形EGFH是正方形．……………10分24. （本小题满分12分）解：（1）∵抛物线cbxaxy++=2经过点)0,2(A，)0,6(B，)320(，C．∴⎪⎩⎪⎨⎧==++=++320636024c c b a c b a ， 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==3233463c b a .∴抛物线的解析式为：32334632+-=x x y . …………………………3分（2）易知抛物线的对称轴是4=x .把x=4代入y=2x 得y=8，∴点D 的坐标为（4,8）． ∵⊙D 与x 轴相切，∴⊙D 的半径为8． …………………………4分 连结DE 、DF ，作DM ⊥y 轴，垂足为点M ．在Rt △MFD 中，FD=8，MD=4．∴cos ∠MDF=21．∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°． …………………………6分∴劣弧EF 的长为：π=⨯π⨯3168180120． …………………………7分 （3）设直线AC 的解析式为y=kx+b. ∵直线AC 经过点)32,0(),0,2(C A .∴⎩⎨⎧==+3202b b k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=323b k .∴直线AC 的解析式为：323+-=x y设点)0)(3233463,(2<+-m m m m P ，PG 交直线AC 于N 则点N 坐标为)323,(+-m m .∵GNPN S S GNA PNA ::=∆∆.∴①若PN ︰GN=1︰2，则PG ︰GN=3︰2，PG=23GN.即32334632+-m m =）（32323+-m .解得：m1=－3， m2=2（舍去）.当m=－3时，32334632+-m m =3215.∴此时点P 的坐标为)3215,3(-. …………………………10分知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。

2017年山东省莱芜市中考数学试卷-答案

2017年山东省莱芜市中考数学试卷-答案

山东省莱芜市2017年初中学业水平考试数学答案解析第Ⅰ卷=︒⨯2)1803602)180︒，设这个多边形的边数是【考点】多边形的内角与外角和及对角线条数的求法故选D．【解析】解：如图，连接DP ，BD ，作DH BC ⊥于H216AP QM t =5sin 3AD A =，∴56AP QM t =；（利用解直角三角形求出20233+16AP QM =-选项中的图象符合题意D．AB ED AC EG=，224DM=⨯=，∴CDEF是菱形，∴，∵EF EDFD EC=⨯2=-1025=-1025360︒224DM=⨯，CDEF是菱形，先计算2E C=⨯-，计算可得结论1025【考点】正五边形的性质，相似的判定和性质，勾股定理第Ⅱ卷2（2）如图：tan3131tan3118.60AB ︒=︒≈M ，在Rt GMF △中，tan19GM FM ︒，在tan 40CD ︒，设甲乙两楼之间的距离为（1）在直角三角形45EDC∠=︒，∴45FAD∠=︒，∴90AND∠=︒，即DE AF⊥5315tan 4416AF BAD x x ∠==，AH =知，90HDG ODA ∠+∠=︒，29PQ PB=；25PQ PB=；234PQ PB==210PQ PB==2∴此时不存在符合条件的P、Q【提示】（1）由对称性和(2,3)A ，(4,3)B ，可知抛物线的对称轴是：3x =，利用顶点式列方程组解出可得抛物线的表达式；（2）如图1，先利用待定系数法求直线AC 的解析式，设点(,65)D m m m -+-，则点(,27)E m m -+，根据解析式表示DE 和AE 的长，由已知的比例式列式得结论；（3）根据题意得：BPQ △为等腰直角三角形，分三种情况：①若90BPQ ∠=︒，BP PQ =，如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明BAP QMP △≌△，可得结论；如图3，同理可得结论；②若90BQP ∠=︒，BQ PQ =，如图4，证得：BNQ QMP △≌△，则3NQ PM ==，1NG =，5BN =，从而得出结论；如图5，同理易得QNB PMQ △≌△，可得结论；③若90PBQ ∠=︒，BQ BP =，如图6，由于23AB NQ =≠=，此时不存在符合条件的P 、Q【考点】二次函数综合体。

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2017年山东省济南市中考数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分）1．（3分）在实数0，﹣2，√5，3中，最大的是（）A．0 B．﹣2 C．√5D．32．（3分）如图所示的几何体，它的左视图是（）A．B． C． D．3．（3分）2017年5月5日国产大型客机C919首飞成功，圆了中国人的“大飞机梦”，它颜值高性能好，全长近39米，最大载客人数168人，最大航程约5550公里．数字5550用科学记数法表示为（）A．0.555×104B．5.55×104C．5.55×103D．55.5×1034．（3分）如图，直线a∥b，直线l与a，b分别相交于A，B两点，AC⊥AB交b于点C，∠1=40°，则∠2的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．60°5．（3分）中国古代建筑中的窗格图案美观大方，寓意吉祥，下列绘出的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形是（）A ．B ．C ．D ．6．（3分）化简a 2+ab a−b ÷ab a−b 的结果是（ ） A ．a 2 B ．a2a−b C ．a−b b D ．a+b b7．（3分）关于x 的方程x 2+5x +m=0的一个根为﹣2，则另一个根是（ ）A ．﹣6B ．﹣3C ．3D ．68．（3分）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x 人，物价为y 钱，以下列出的方程组正确的是（ ）A ．{y −8x =3y −7x =4B ．{y −8x =37x −y =4C ．{8x −y =3y −7x =4D ．{8x −y =37x −y =49．（3分）如图，五一旅游黄金周期间，某景区规定A 和B 为入口，C ，D ，E 为出口，小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从A 入口进入、从C ，D 出口离开的概率是（ ）A ．12B ．13C ．16D ．23 10．（3分）把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6cm ，则圆形螺母的外直径是（ ）A．12cm B．24cm C．6√3cm D．12√3cm11．（3分）将一次函数y=2x的图象向上平移2个单位后，当y＞0时，x的取值范围是（）A．x＞﹣1 B．x＞1 C．x＞﹣2 D．x＞212．（3分）如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE=0.6m，又量的杆底与坝脚的距离AB=3m，则石坝的坡度为（）A．34B．3 C．35D．413．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=3√2，E为OC上一点，OE=1，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G，则BF的长是（）A．3√105B．2√2 C．3√54D．3√2214．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣2，0），（x0，0），1＜x0＜2，与y轴的负半轴相交，且交点在（0，﹣2）的上方，下列结论：①b＞0；②2a ＜b；③2a﹣b﹣1＜0；④2a+c＜0．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．415．（3分）如图1，有一正方形广场ABCD，图形中的线段均表示直行道路，BD̂表示一条以A为圆心，以AB为半径的圆弧形道路．如图2，在该广场的A处有一路灯，O是灯泡，夜晚小齐同学沿广场道路散步时，影子长度随行走路线的变化而变化，设他步行的路程为x （m）时，相应影子的长度为y （m），根据他步行的路线得到y 与x之间关系的大致图象如图3，则他行走的路线是（）A．A→B→E→G B．A→E→D→C C．A→E→B→F D．A→B→D→C二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）16．（3分）分解因式：x2﹣4x+4=．17．（3分）计算：|﹣2﹣4|+（√3）0=．18．（3分）在学校的歌咏比赛中，10名选手的成绩如统计图所示，则这10名选手成绩的众数是．19．（3分）如图，扇形纸叠扇完全打开后，扇形ABC的面积为300πcm2，∠BAC=120°，BD=2AD，则BD的长度为cm．20．（3分）如图，过点O的直线AB与反比例函数y=kx的图象交于A，B两点，A（2，1），直线BC ∥y 轴，与反比例函数y=−3k x （x ＜0）的图象交于点C ，连接AC ，则△ABC 的面积为 ．21．（3分）定义：在平面直角坐标系xOy 中，把从点P 出发沿纵或横方向到达点Q （至多拐一次弯）的路径长称为P ，Q 的“实际距离”．如图，若P （﹣1，1），Q （2，3），则P ，Q 的“实际距离”为5，即PS +SQ=5或PT +TQ=5．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设A ，B ，C 三个小区的坐标分别为A （3，1），B （5，﹣3），C （﹣1，﹣5），若点M 表示单车停放点，且满足M 到A ，B ，C 的“实际距离”相等，则点M 的坐标为 ．三、解答题（本大题共8小题，共57分）22．（6分）（1）先化简，再求值：（a +3）2﹣（a +2）（a +3），其中a=3．（2）解不等式组：{3x −5≥2(x −2)①x 2＞x −1②． 23．（4分）如图，在矩形ABCD ，AD=AE ，DF ⊥AE 于点F ．求证：AB=DF ．24．（4分）如图，AB 是⊙O 的直径，∠ACD=25°，求∠BAD 的度数．25．（8分）某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？26．（8分）中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了不完整的图表，如图所示：本数（本） 频数（人数）频率5a 0.2 618 0.36 714 b 88 0.16 合计 c 1 （1）统计表中的a= ，b= ，c= ；（2）请将频数分布表直方图补充完整；（3）求所有被调查学生课外阅读的平均本数；（4）若该校八年级共有1200名学生，请你分析该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数．27．（9分）如图1，▱OABC 的边OC 在y 轴的正半轴上，OC=3，A （2，1），反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过的B．（1）求点B的坐标和反比例函数的关系式；（2）如图2，直线MN分别与x轴、y轴的正半轴交于M，N两点，若点O和点B 关于直线MN成轴对称，求线段ON的长；（3）如图3，将线段OA延长交y=kx（x＞0）的图象于点D，过B，D的直线分别交x轴、y轴于E，F两点，请探究线段ED与BF的数量关系，并说明理由．28．（9分）某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题：如图1，在△ABC和△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠CAB=∠EAD=60°，点E，A，C 在同一条直线上，连接BD，点F是BD的中点，连接EF，CF，试判断△CEF的形状并说明理由．问题探究：（1）小婷同学提出解题思路：先探究△CEF的两条边是否相等，如EF=CF，以下是她的证明过程证明：延长线段EF交CB的延长线于点G．∵F是BD的中点，∴BF=DF．∵∠ACB=∠AED=90°，∴ED∥CG．∴∠BGF=∠DEF．又∵∠BFG=∠DFE，∴△BGF≌△DEF（）．∴EF=FG．∴CF=EF=12EG．请根据以上证明过程，解答下列两个问题：①在图1中作出证明中所描述的辅助线；②在证明的括号中填写理由（请在SAS，ASA，AAS，SSS中选择）．（2）在（1）的探究结论的基础上，请你帮助小婷求出∠CEF的度数，并判断△CEF 的形状．问题拓展：（3）如图2，当△ADE绕点A逆时针旋转某个角度时，连接CE，延长DE交BC的延长线于点P，其他条件不变，判断△CEF的形状并给出证明．29．（9分）如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，6），直线AD交B C于点D，tan∠OAD=2，抛物线M1：y=ax2+bx（a≠0）过A，D两点．（1）求点D的坐标和抛物线M1的表达式；（2）点P是抛物线M1对称轴上一动点，当∠CPA=90°时，求所有符合条件的点P的坐标；（3）如图2，点E（0，4），连接AE，将抛物线M1的图象向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线M2．①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值；②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围．2017年山东省济南市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分）1．（3分）（2017•济南）在实数0，﹣2，√5，3中，最大的是（）A．0 B．﹣2 C．√5D．3【考点】2A：实数大小比较．【分析】根据正负数的大小比较，估算无理数的大小进行判断即可．【解答】解：2＜√5＜3，实数0，﹣2，√5，3中，最大的是3．故选D．【点评】本题考查了实数的大小比较，要注意无理数的大小范围．2．（3分）（2017•济南）如图所示的几何体，它的左视图是（）A．B． C． D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】根据几何体确定出其左视图即可．【解答】解：根据题意得：几何体的左视图为：，故选A【点评】此题考查了简单组合体的三视图，锻炼了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．3．（3分）（2017•济南）2017年5月5日国产大型客机C919首飞成功，圆了中国人的“大飞机梦”，它颜值高性能好，全长近39米，最大载客人数168人，最大航程约5550公里．数字5550用科学记数法表示为（）A．0.555×104B．5.55×104C．5.55×103D．55.5×103【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：5550=5.55×103，故选C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）（2017•济南）如图，直线a∥b，直线l与a，b分别相交于A，B两点，AC ⊥AB交b于点C，∠1=40°，则∠2的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．60°【考点】JA：平行线的性质；J3：垂线．【分析】先根据平行线的性质求出∠ABC的度数，再根据垂直的定义和余角的性质求出∠2的度数．【解答】解：∵直线a∥b，∴∠1=∠CBA，∵∠1=40°，∴∠CBA=40°，∵AC⊥AB，∴∠2+∠CBA=90°，∴∠2=50°，故选C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等．5．（3分）（2017•济南）中国古代建筑中的窗格图案美观大方，寓意吉祥，下列绘出的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形是（）A．B．C．D．【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：B是轴对称图形又是中心对称图形，故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6．（3分）（2017•济南）化简a2+aba−b÷aba−b的结果是（）A．a2B．a2a−bC．a−bbD．a+bb【考点】6A：分式的乘除法．【分析】先将分子因式分解，再将除法转化为乘法后约分即可．【解答】解：原式=a(a+b)a−b•a−bab=a+bb，故选：D．【点评】本题主要考查分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键．7．（3分）（2017•济南）关于x 的方程x 2+5x +m=0的一个根为﹣2，则另一个根是（ ）A ．﹣6B ．﹣3C ．3D ．6【考点】AB ：根与系数的关系．【分析】设方程的另一个根为n ，根据两根之和等于﹣b a，即可得出关于n 的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设方程的另一个根为n ，则有﹣2+n=﹣5，解得：n=﹣3．故选C ．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣b a 、两根之积等于c a 是解题的关键．8．（3分）（2017•济南）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x 人，物价为y 钱，以下列出的方程组正确的是（ ）A ．{y −8x =3y −7x =4B ．{y −8x =37x −y =4C ．{8x −y =3y −7x =4D ．{8x −y =37x −y =4【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】设合伙人数为x 人，物价为y 钱，根据题意得到相等关系：①8×人数﹣物品价值=3，②物品价值﹣7×人数=4，据此可列方程组．【解答】解：设合伙人数为x 人，物价为y 钱，根据题意，可列方程组：{8x −y =3y −7x =4， 故选：C ．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系．9．（3分）（2017•济南）如图，五一旅游黄金周期间，某景区规定A 和B 为入口，C ，D ，E 为出口，小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从A 入口进入、从C ，D 出口离开的概率是（ ）A ．12B ．13C ．16D ．23 【考点】X6：列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得聪聪从入口A 进入景区并从C ，D 出口离开的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树形图如图得：由树形图可知所有可能的结果有6种，设小红从入口A 进入景区并从C ，D 出口离开的概率是P ，∵小红从入口A 进入景区并从C ，D 出口离开的有2种情况，∴P=13． 故选：B ．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．10．（3分）（2017•济南）把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6cm ，则圆形螺母的外直径是（ ）A ．12cmB ．24cmC ．6√3cmD ．12√3cm【考点】MC ：切线的性质．【分析】设圆形螺母的圆心为O ，连接OD ，OE ，OA ，如图所示：根据切线的性质得到AO 为∠DAB 的平分线，OD ⊥AC ，OD ⊥AC ，又∠CAB=60°，得到∠OAE=∠OAD=12∠DAB=60°，根据三角函数的定义求出OD 的长，即为圆的半径，进而确定出圆的直径．【解答】解：设圆形螺母的圆心为O ，与AB 切于E ，连接OD ，OE ，OA ，如图所示： ∵AD ，AB 分别为圆O 的切线，∴AO 为∠DAB 的平分线，OD ⊥AC ，OD ⊥AC ，又∠CAB=60°，∴∠OAE=∠OAD=12∠DAB=60°， 在Rt △AOD 中，∠OAD=60°，AD=6cm ，∴tan ∠OAD=tan60°=OD AD ，即OD 6=√3， ∴OD=6√3cm ，则圆形螺母的直径为12√3cm ．故选D ．【点评】此题考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．11．（3分）（2017•济南）将一次函数y=2x 的图象向上平移2个单位后，当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）A．x＞﹣1 B．x＞1 C．x＞﹣2 D．x＞2【考点】F9：一次函数图象与几何变换．【分析】首先得出平移后解析式，进而求出函数与坐标轴交点，即可得出y＞0时，x 的取值范围．【解答】解：∵将y=2x的图象向上平移2个单位，∴平移后解析式为：y=2x+2，当y=0时，x=﹣1，故y＞0，则x的取值范围是：x＞﹣1．故选A【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确得出平移后解析式是解题关键．12．（3分）（2017•济南）如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE=0.6m，又量的杆底与坝脚的距离AB=3m，则石坝的坡度为（）A．34B．3 C．35D．4【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】先过C作CF⊥AB于F，根据DE∥CF，可得ADAC=DECF，进而得出CF=3，根据勾股定理可得AF的长，根据CF和BF的长可得石坝的坡度．【解答】解：如图，过C作CF⊥AB于F，则DE∥CF，∴ADAC=DECF，即15=0.6CF，解得CF=3，∴Rt△ACF中，AF=√52−32=4，又∵AB=3，∴BF=4﹣3=1，∴石坝的坡度为CFBF =31=3，故选：B．【点评】本题主要考查了坡度问题，在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．13．（3分）（2017•济南）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=3√2，E为OC上一点，OE=1，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G，则BF 的长是（）A．3√105B．2√2 C．3√54D．3√22【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．【分析】根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明△GAO≌△EBO，得到OG=OE=1，证明△BFG∽△BOE，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=3√2，∴∠AOB=90°，AO=BO=CO=3，∵AF⊥BE，∴∠EBO=∠GAO，在△GAO和△EBO中，{∠GAO=∠EBO AO=BO∠AOG=∠BOE，∴△GAO≌△EBO，∴OG=OE=1，∴BG=2，在Rt△BOE中，BE=√OB2+OE2=√10，∵∠BFG=∠BOE=90°，∠GBF=∠EBO，∴△BFG∽△BOE，∴BFOB=BGBE，即BF3=√10，解得，BF=3√10 5，故选：A．【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．14．（3分）（2017•济南）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣2，0），（x0，0），1＜x0＜2，与y轴的负半轴相交，且交点在（0，﹣2）的上方，下列结论：①b ＞0；②2a＜b；③2a﹣b﹣1＜0；④2a+c＜0．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】①由图象开口向上知a＞0，由y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点坐标为（x1，0 ），且1＜x1＜2，则该抛物线的对称轴为x=﹣b2a=−2+x12＞﹣12，即ba＜1，于是得到b＞0；故①正确；②由x=﹣2时，4a﹣2b+c=0得2a﹣b=﹣c2，而﹣2＜c＞0，解不等式即可得到2a＞b，所以②正确．③由②知2a﹣b＜0，于是得到2a﹣b﹣1＜0，故③正确；④把（﹣2，0）代入y=ax2+bx+c得：4a﹣2b+c=0，即2b=4a+c＞0（因为b ＞0），等量代换得到2a+c＜0，故④正确．【解答】解：如图：①由图象开口向上知a＞0，由y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点坐标为（x1，0 ），且1＜x1＜2，则该抛物线的对称轴为x=﹣=﹣b2a=−2+x12＞﹣12，即ba＜1，由a＞0，两边都乘以a得：b＞a，∵a＞0，对称轴x=﹣b2a＜0，∴b＞0；故①正确；②由x=﹣2时，4a﹣2b+c=0得2a﹣b=﹣c2，而﹣2＜c＜0，∴2a﹣b＞0，所以②错误．③∵2a﹣b＜0，∴2a﹣b﹣1＜0，故③正确；④∵把（﹣2，0）代入y=ax2+bx+c得：4a﹣2b+c=0，∴即2b=4a+c＞0（因为b＞0），∵当x=1时，a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜0，∴6a+3c＜0，即2a+c＜0，∴④正确；故选D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要考查学生根据图形进行推理和辨析的能力，用了数形结合思想，题目比较好，但是难度偏大．15．（3分）（2017•济南）如图1，有一正方形广场ABCD，图形中的线段均表示直行̂表示一条以A为圆心，以AB为半径的圆弧形道路．如图2，在该广场的A 道路，BD处有一路灯，O是灯泡，夜晚小齐同学沿广场道路散步时，影子长度随行走路线的变化而变化，设他步行的路程为x （m）时，相应影子的长度为y （m），根据他步行的路线得到y与x之间关系的大致图象如图3，则他行走的路线是（）A．A→B→E→G B．A→E→D→C C．A→E→B→F D．A→B→D→C【考点】E7：动点问题的函数图象．【分析】根据函数图象的中间一部分为水平方向的线段，可知沿着弧形道路步行，根据函数图象中第一段和第三段图象对应的x的范围相等，且均小于中间一段图象对应的x的范围，即可得出第一段函数图象对应的路径为正方形的边AB或AD，第三段函数图象对应的路径为BC或DC．【解答】解：根据图3可得，函数图象的中间一部分为水平方向的线段，故影子的长度不变，即沿着弧形道路步行，因为函数图象中第一段和第三段图象对应的x的范围相等，且均小于中间一段图象对应的x的范围，̂，故中间一段图象对应的路径为BD又因为第一段和第三段图象都从左往右上升，所以第一段函数图象对应的路径为正方形的边AB或AD，第三段函数图象对应的路径为BC或DC，故行走的路线是A→B→D→C（或A→D→B→C），故选：D．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题时注意：在点光源的照射下，在不同位置，物体高度与影长不成比例．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）16．（3分）（2017•济南）分解因式：x2﹣4x+4=（x﹣2）2．【考点】54：因式分解﹣运用公式法．【分析】直接用完全平方公式分解即可．【解答】解：x2﹣4x+4=（x﹣2）2．【点评】本题主要考查利用完全平方公式分解因式．完全平方公式：（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．17．（3分）（2017•济南）计算：|﹣2﹣4|+（√3）0=7．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂．【分析】直接利用绝对值的性质结合零指数幂的性质计算得出答案．【解答】解：|﹣2﹣4|+（√3）0=6+1=7．故答案为：7．【点评】此题主要考查了实数运算以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．18．（3分）（2017•济南）在学校的歌咏比赛中，10名选手的成绩如统计图所示，则这10名选手成绩的众数是90．【考点】W5：众数．【分析】根据众数的定义和给出的数据可直接得出答案．【解答】解：根据折线统计图可得：90分的人数有5个，人数最多，则众数是90；故答案为：90．【点评】此题考查了众数，掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数是本题的关键．19．（3分）（2017•济南）如图，扇形纸叠扇完全打开后，扇形ABC 的面积为300πcm 2，∠BAC=120°，BD=2AD ，则BD 的长度为 20 cm ．【考点】MO ：扇形面积的计算．【分析】设AD=x ，则AB=3x ．由题意300π=120⋅π⋅(3x)2360，解方程即可．【解答】解：设AD=x ，则AB=3x ． 由题意300π=120⋅π⋅(3x)2360，解得x=10，∴BD=2x=20cm ． 故答案为20．【点评】本题考查扇形的面积公式、解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．20．（3分）（2017•济南）如图，过点O 的直线AB 与反比例函数y=kx的图象交于A ，B 两点，A （2，1），直线BC ∥y 轴，与反比例函数y=−3kx（x ＜0）的图象交于点C ，连接AC ，则△ABC 的面积为 8 ．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】由A （2，1）求得两个反比例函数分别为y=2x ，y=−6x ，与AB 的解析式y=12x ，解方程组求得B 的坐标，进而求得C 点的纵坐标，即可求得BC ，根据三角形的面积公式即可求得结论．【解答】解：∵A （2，1）在反比例函数y=kx 的图象上，∴k=2×1=2，∴两个反比例函数分别为y=2x ，y=−6x，设AB 的解析式为y=kx ，把A （2，1）代入得，k=12，∴y=12x ，解方程组{y =12x y =2x 得：{x 1=2y 1=1，{x 2=−2y 2=−1，∴B （﹣2，﹣1）， ∵BC ∥y 轴，∴C 点的横坐标为﹣2， ∴C 点的纵坐标为−6−2=3， ∴BC=3﹣（﹣1）=4，∴△ABC 的面积为12×4×4=8，故答案为：8．【点评】本题主要考查了反比例函数于一次函数的交点问题，三角形的面积，正确的理解题意是解题的关键．21．（3分）（2017•济南）定义：在平面直角坐标系xOy 中，把从点P 出发沿纵或横方向到达点Q （至多拐一次弯）的路径长称为P ，Q 的“实际距离”．如图，若P （﹣1，1），Q （2，3），则P ，Q 的“实际距离”为5，即PS +SQ=5或PT +TQ=5．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设A ，B ，C 三个小区的坐标分别为A （3，1），B （5，﹣3），C （﹣1，﹣5），若点M 表示单车停放点，且满足M 到A ，B ，C 的“实际距离”相等，则点M 的坐标为 （1，﹣2） ．【考点】D3：坐标确定位置．【分析】直接利用实际距离的定义，结合A ，B ，C 点的坐标，进而得出答案． 【解答】解：由题意可得：M 到A ，B ，C 的“实际距离”相等，则点M 的坐标为（1，﹣2），此时M 到A ，B ，C 的实际距离都为5． 故答案为：（1，﹣2）．【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解实际距离的定义是解题关键．三、解答题（本大题共8小题，共57分）22．（6分）（2017•济南）（1）先化简，再求值：（a +3）2﹣（a +2）（a +3），其中a=3． （2）解不等式组：{3x −5≥2(x −2)①x2＞x −1②． 【考点】4J ：整式的混合运算—化简求值；CB ：解一元一次不等式组． 【分析】（1）根据完全平方公式和多项式乘多项式可以解答本题； （2）根据解不等式组的方法可以解答本题． 【解答】解：（1）（a +3）2﹣（a +2）（a +3） =a 2+6a +9﹣a 2﹣5a ﹣6 =a +3，当a=3时，原式=3+3=6； （2）{3x −5≥2(x −2)①x2＞x −1② 由不等式①，得 x ≥1，由不等式②，得 x ＜2故原不等式组的解集是1≤x ＜2．【点评】．本题考查整式的混合运算﹣化简求值、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．23．（4分）（2017•济南）如图，在矩形ABCD ，AD=AE ，DF ⊥AE 于点F ．求证：AB=DF ．【考点】LB ：矩形的性质；KD ：全等三角形的判定与性质．【分析】利用矩形和直角三角形的性质得到∠AEB=∠EAD 、∠AFD=∠B ，从而证得两个三角形全等，可得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∠B=90°， ∴∠AEB=∠DAE ， ∵DF ⊥AE ， ∴∠AFD=∠B=90°， 在△ABE 和△DFA 中 ∵{∠AEB =∠DAE ∠AFD =∠B AD =AE∴△ABE ≌△DFA ， ∴AB=DF ．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质的知识，属于基础题，难度不是很大，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键．24．（4分）（2017•济南）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=25°，求∠BAD的度数．【考点】M5：圆周角定理．【分析】根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形ABD，再根据同弧所对的圆周角相等，求得∠B的度数，即可求得∠BAD的度数．【解答】解：∵AB为⊙O直径∴∠ADB=90°∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD=25°∴∠B=25°∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．【点评】考查了圆周角定理的推论．利用直径所对的圆周角是直角是解题关键．25．（8分）（2017•济南）某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？【考点】B7：分式方程的应用．【分析】根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．【解答】解：设银杏树的单价为x元，则玉兰树的单价为1.5x元，12000 x +90001.5x=150，解得，x=120，经检验x=120是原分式方程的解，∴1.5x=180，答：银杏树和玉兰树的单价各是120元、180元．【点评】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，注意分式方程要经验26．（8分）（2017•济南）中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了不完整的图表，如图所示：本数（本）频数（人数）频率5a0.26180.36714b880.16合计c1（1）统计表中的a=10，b=0.28，c=50；（2）请将频数分布表直方图补充完整；（3）求所有被调查学生课外阅读的平均本数；（4）若该校八年级共有1200名学生，请你分析该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数．【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表．【分析】（1）根据百分比=所占人数总人数计算即可；（2）求出a组人数，画出直方图即可；（3）根据平均数的定义计算即可；（4）利用样本估计总体的思想解决问题即可；【解答】解：（1）由题意c=18÷0.36=50，∴a=50×0.2=10，b=1450=0.28，故答案为10，0.28，50．（2）频数分布表直方图如图所示．（3）所有被调查学生课外阅读的平均本数=10×5+18×6+14×7+8×850=6.4（本）（4）该校八年级共有1200名学生，该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数有1200×14+850=528（名）．【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．27．（9分）（2017•济南）如图1，▱OABC 的边OC 在y 轴的正半轴上，OC=3，A （2，1），反比例函数y=k x（x ＞0）的图象经过的B ．（1）求点B 的坐标和反比例函数的关系式；（2）如图2，直线MN 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于M ，N 两点，若点O 和点B 关于直线MN 成轴对称，求线段ON 的长；（3）如图3，将线段OA延长交y=kx（x＞0）的图象于点D，过B，D的直线分别交x轴、y轴于E，F两点，请探究线段ED与BF的数量关系，并说明理由．【考点】GB：反比例函数综合题．【分析】（1）利用平行四边形的性质求出点B的坐标即可解决问题；（2）根据两直线垂直的条件，求出直线MN的解析式即可解决问题；（3）结论：BF=DE．如图3中，延长BA交x轴于N，作DM⊥x轴于M，作NK∥EF交y轴于K．设ON=n，OM=m，ME=a．则BN=kn ，DM=km．由△EDM∽△EBN，推出EM EN =DMBN，即am+a−n=kmkn，可得a=m，由△KNO≌△DEM，推出DE=KN，再证明四边形NKFB是平行四边形，即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB=OC=3，∵A（2，1），∴B（2，4），把B（2，4）代入y=kx中，得到k=8，∴反比例函数的解析式为y=8 x ．（2）如图2中，设K是OB的中点，则K（1，2）．。

山东省莱芜市中考数学试卷(含答案解析版)

2018年山东省莱芜市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分，共36分)1．（3分）（2018•莱芜）﹣2的绝对值是（）A．﹣2 B．﹣12C．12D．22．（3分）（2018•莱芜）经中国旅游研究院综合测算，今年“五一”假日期间全国接待国内游客1.47亿人次，1.47亿用科学记数法表示为（）A．14.7×107B．1.47×107C．1.47×108D．0.147×1093．（3分）（2018•莱芜）无理数2√11﹣3在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间4．（3分）（2018•莱芜）下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（）A．B．C．D．5．（3分）（2018•莱芜）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）A．2+xx−y B．2yx2C．2y33x2D．2y2(x−y)26．（3分）（2018•莱芜）某校举行汉字听写大赛，参赛学生的成绩如下表：成绩（分）8990929495人数46857对于这组数据，下列说法错误的是（）A．平均数是92 B．中位数是92 C．众数是92 D．极差是67．（3分）（2018•莱芜）已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（）A．60πcm2B．65πcm2C．120πcm2D．130πcm28．（3分）（2018•莱芜）在平面直角坐标系中，已知△ABC为等腰直角三角形，CB=CA=5，点C（0，3），点B在x轴正半轴上，点A在第三象限，且在反比例函数y=kx的图象上，则k=（）A．3 B．4 C．6 D．129．（3分）（2018•莱芜）如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE 的平分线交于点F，则∠DFB=（）A．149°B．149.5°C．150° D．150.5°10．（3分）（2018•莱芜）函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（）A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜211．（3分）（2018•莱芜）如图，边长为2的正△ABC的边BC在直线l上，两条距离为l的平行直线a和b垂直于直线l，a和b同时向右移动（a的起始位置在B点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t（秒），直到b到达C点停止，在a和b向右移动的过程中，记△ABC夹在a和b之间的部分的面积为s，则s关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．12．（3分）（2018•莱芜）如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE=90°，连接AF、CF，CF与AB交于G．有以下结论：①AE=BC②AF=CF③BF2=FG•FC④EG•AE=BG•AB其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。

2017莱芜数学中考练习试题及答案

2017莱芜数学中考练习试题及答案考生要多去掌握中考练习真题才能在中考时拿到好成绩，为了帮助各位考生，以下是小编精心整理的2017莱芜数学中考练习真题及答案，希望能帮到大家!2017莱芜数学中考练习真题一、选择题：(本大题共12个小题，每小题4分，共48分)在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的.1.在0、﹣1、、π四个实数中，最小的数是( )A.﹣1B.0C.D.π2.下列运算中正确的是( )A.(a2)3=a5B.C.a2+a2=a4D.3x2﹣3x=x3.如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，DE∥AC，若∠C=50°，∠BDE=60°，则∠CDB的度数等于( )A.70°B.100°C.110°D.120°4.为了比较某校同学汉字听写谁更优秀，语文老师随机抽取了10次听写情况，发现甲乙两人平均成绩一样，甲、乙的方差分别为2.7和3.2，则下列说法正确的是( )A.甲的发挥更稳定B.乙的发挥更稳定C.甲、乙同学一样稳定D.无法确定甲、乙谁更稳定5.二元一次方程组的解是( )A. B. C. D.6.若a2+b+5=0，则代数式3a2+3b+10的值为( )A.25B.5C.﹣5D.07.若一次函数y=kx+b的图象与直线y=﹣x+1平行，且过点(8，2)，则此一次函数的解析式为( )A.y=﹣x﹣2B.y=﹣x﹣6C.y=﹣x﹣1D.y=﹣x+108.如图，AB为半圆O的直径，点C在AB的延长线上，CD与半圆O相切于点D，且AB=2CD=8，则图中阴影部分的面积为( )A. B.32﹣8π C.4﹣π D.8﹣2π9.在﹣2、﹣1、0、1、2、3这六个数中，任取两个数，恰好互为相反数的概率为( )A. B. C. D.10.如图，用火柴棒摆出一列正方形图案，第①个图案用了4根，第②个图案用了12根，第③个图案用了24根，按照这种方式摆下去，摆出第⑥个图案用火柴棒的根数是( )A.84B.81C.78D.7611.关于x的方程的解为正数，且关于y的不等式组有解，则符合题意的整数m有( )个.A.4B.5C.6D.712.重庆实验外国语学校坐落在美丽的“华岩寺”旁边，它被誉为“巴山灵境”.我校实践活动小组准备利用测角器和所学的三角函数知识去测“华岩寺”大佛的高度.他们在A处测得佛顶P的仰角为45°，继而他们沿坡度为i=3：4的斜坡AB前行25米到达大佛广场边缘的B处，BQ∥AC，PQ⊥BQ，在B点测得佛顶P的仰角为63°，则大佛的高度PQ为( )米.(参考数据：，， )A.15B.20C.25D.35二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)13.地球半径约为6 400 000m，这个数字用科学记数法表示为m.14.计算 = .15.如图，△ABC中，E是AB上一点，且AE：EB=3：4，过点E 作ED∥BC，交AC于点D，则△AED与四边形BCDE的面积比是.16.如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是.17.某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后缷完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇.已知货车的速度为60千米/时，两车之间的距离y(千米)与货车行驶时间x(小时)之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：①快递车从甲地到乙地的速度为100千米/时;②甲、乙两地之间的距离为120千米;③图中点B的坐标为(3 ，75);④快递车从乙地返回时的速度为90千米/时，以上4个结论正确的是.18.如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在边AD、AB 上且AE=BF=1，连接BE、CF交于点G，在线段EG上取一点H使HG=BG，连接DH，把△EDH沿AD边翻折得到△EDH’，则点H到边DH’的距离是.三、解答题(本大题共3个小题，共24分)解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.19.已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB 的延长线上一点，且DE=BF.求证：EA⊥AF.20.数学兴趣小组为了解我校初三年级1800名学生的身体健康情况，从初三随机抽取了若干名学生，将他们按体重(均为整数，单位：kg)分成五组(A：39.5～46.5;B：46.5～53.5;C：53.5～60.5;D：60.5～67.5;E：67.5～74.5)，并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图.补全条形统计图，并估计我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有多少名.21.化简下列各式：(1)(a﹣b)2﹣a(a﹣2b)+(2a+b)(2a﹣b)(2) .四、解答题(本大题共3个小题，共30分)解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.22.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于B和A，与反比例函数的图象交于C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO= ，OB=4，OE=2.(1)求直线AB和反比例函数的解析式;(2)求△OCD的面积.23.重庆外国语学校为解决“停车难”问题，决定对车库进行扩建，扩建工程原计划由A施工队独立完成，8周后为了缩短工期，学校计划从第九周起增派B施工队与A施工队共同施工，预计共同施工4周后工程即可完工，已知B施工队单独完成整个工程的工期为20周.(1)增派B施工队后，整个工程的工期比原计划缩短了几周?(2)增派B施工队后，学校需要重新与A施工队商定从第九周起的工程费支付问题，已知学校在工程开始前已支付给A工程队设计费、勘测费共计200万元，工程开始后前八周的工程费已按每周40万元进行支付，从第九周开始，学校需要支付给A施工队的每周工程费在原来40万元的基础上增加20%.支付给B施工队的每周工程费为a万元，在整个工程结束后再一次性支付给A、B两个施工队的总费用不超过1000万元，则每周支付给B施工队的施工费最多为多少万元?24.有一个n位自然数能被x0整除，依次轮换个位数字得到的新数能被x0+1整除，再依次轮换个位数字得到的新数能被x0+2整除，按此规律轮换后，能被x0+3整除，…，能被x0+n﹣1整除，则称这个n位数是x0的一个“轮换数”.例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”;再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2个一个“轮换数”.(1)若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”.(2)若三位自然数是3的一个“轮换数”，其中a=2，求这个三位自然数 .五、解答题(本大题共2个小题，共24分)解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤25.已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，分别以AB、AC为边，向Rt△ABC外作等边△ABD和等边△ACE(1)如图1，连接BE、CD，若BC=2，求BE的长;(2)如图2，连接DE交AB于点F，作BH⊥AD于H，连接FH.求证：BH=2FH;(3)如图3，取AB、CD得中点M、N，连接M、N，试探求MN 和AE的数量关系，并直接写出结论.26.如图1，正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A在x轴上，点C在y轴上，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC，抛物线y= x2﹣x+2过C，E 两点，与AB的交点为K.(1)求线段CK的长度;(2)点P为EC线段下方抛物线上一点，过点P作y轴的平行线与EC线段交于点Q，当线段PQ最长时，在y轴上找一点F使|PF﹣DF|的值最大，求符合题意的F点坐标;(3)如图2，DE与AB交于点G，过点B作BH⊥CD于点H，把△BCH沿射线CB的方向以每秒1个单位长度的速度向右平移.平移过程中的三角形记为△B′C′H′，当点H′运动到四边形HDEB的外部时运动停止，设运动时间为t(t>0)，△B′C′H′与△BEG重叠部分的面积为S，写出S关于t的函数关系式及自变量的取值范围.。

2017山东莱芜中考试卷解析

2017年山东省莱芜市初中学业考试数学试题（总分120分 考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题 共36分）一、选择题（本大题共12小题，在每小题都给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共36分） 1．（2017山东莱芜，1，3分）－6的倒数是（ ） A ．－16B ．16C ．－6D ．6答案：A ，解析：－6的倒数是－16.2．（2017山东莱芜，2，3分）某种细菌的直径是0.00000078米，将数据0.00000078用科学记数法表示为（ ）A ．7.8×10－7B ．7.8×10－8C ．0.78x 10－7D ．78x 10－8答案：A ，解析：0.000 000 78=7.8×10－7 3．（2017山东莱芜，3，3分）下列运算正确的是（ ） A ．2x 2－x 2＝1 B ．x 6÷x 3＝x 2 C ．4x ·x 4＝4x 5 D ．(3xy 2)2＝6x 2y 4 答案：C ，解析：A 项， 2x 2－x 2＝x 2，该项错误； B 项，x 6÷x 3＝x 3，该项错误； C ．4x ·x 4＝4x 5，该项正确； D ．(3xy 2)2＝9x 2y 4，该项错误. 4．（2017山东莱芜，4，3分）电动车每小时比自行车多行驶了25千米，自行车行驶30千米比电动车行驶40千米多用了1小时，求两车的平均速度各为多少？设自行车的平均速度为x 千米/小时，应列方程为（ ） A ．30x －1＝40x －25B ．30x －1＝40x ＋25C ．30x ＋1＝40x －25D ．30x ＋1＝40x ＋25答案：B ，解析：据时间方面的等量关系列方程：30x －1＝40x ＋25.5．（2017山东莱芜，5，3分）将一个正方体沿正面相邻两条棱的中点连线截去一个三梭柱，得到一个如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（ ）答案：C ，解析：该几何体的左视图是C 项中的图形. 6．（2017山东莱芜，6，3分）如图，AB 是⊙O 的直径，直线DA 与⊙O 相切于点A ，DO 交⊙O 于点C ，连接BC ，若∠ABC ＝21°，则∠ADC 的度数为（ ） A ．46° B ．47° C ．48° D ．49°答案：C ，解析：∵直线DA 与⊙O 相切，∴∠ODA =90°. ∵∠AOD =2∠ABC =2×21°=42°，∴∠ADC =90°－∠AOD =90°－42°=48°. 7．（2017山东莱芜，7，3分）一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 答案：C ，解析：设多边形的边数是n ，据题意，得 （n －2）·180°=2×360°+180°. 解得n =7.7边形的对角线的条数是7(73)2⨯-=14. 8．（2017山东莱芜，8，3分）如图，在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝2，将Rt △ABC 绕A 点顺时针旋转90°得到Rt △ADE ，则BC 扫过的面积为（ ） A ．π2B ．(2－3)πC ．2－32πD ．πB（第6题图）正面（第5题图）A B C D答案：D ，解析：∵∠BCA ＝90°，∴222BC AC AB +=，即222AB AC BC -=. ∵整个图形的面积=△ABC 的面积+扇形BAD 的面积 =阴影部分的面积+扇形CAE 的面积+△AED 的面积， 又△ABC 的面积=△AED 的面积，∴阴影部分的面积=扇形BAD 的面积－扇形CAE 的面积= 2290()360AB AC π⋅-= 290360BCπ⋅=π.点拨 线段旋转所形成的阴影部分的面积=线段两端点分别绕旋转中心旋转所形成的扇形面积的差. 9．（2017山东莱芜，9，3分）如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC ＝120°，M 是BC 边的一个三等分点，P 是对角线AC 上的动点，当PB ＋PM 的值最小时，PM 的长是（ ） A ．72B ．273C ．355D ．264答案：A ，解析：法一：解析：连接BD 、DM ，DM 交AC 于点P ，则此时PB ＋PM 的值最小．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，过点M 作ME ∥BD 交AC 于点E ． ∵∠ABC ＝120°，∴∠BCD ＝60°．又∵DC ＝BC ，∴△BCD 是等边三角形．∴BF ＝CF ＝12BC ＝3．∴MF ＝CF －CM ＝3－2＝1，DF ＝3BF ＝3 3.∴DM ＝(33)2＋12＝27.∵ME ∥BD ，∴△CEM ∽△CO B.∴ME OB ＝CM BC ＝26＝13.又∵OB ＝OD ，∴ME OD ＝13.MDAB P（第9题图）∵ME ∥BD ，∴△PEM ∽△PO D.∴PM PD ＝ME OD ＝13.∴PM ＝14DM ＝14×27＝72.故选A ．法二：作点M 关于AC 的对称点M ′，连接BM ′交AC 于点P ，此时PB ＋PM 的值最小. 过点作BE ⊥CD 于E .可求CE =3，则EM ′=1. 利用勾股定理可得BM ′=利用相似三角形可得PM ′=PM =72.10．（2017山东莱芜，10，3分）如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，AD ＝5，CD ＝3，sin A ＝sin B ＝13，动点P 自A 点出发，沿着边AB 向点B 匀速运动，同时动点Q 自点A 出发，沿着边AD －DC －CB 匀速运动，速度均为每秒1个单位．当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动．设点P 运动t （秒）时，△APQ 的面积为S ，则S 关于t 的函数图象是（ ）AB C P D M′E M答案：B ，解析：法一：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ． ∵sin A ＝DE AD ＝13，∴DE 5＝13．∴DE ＝53．∴CF ＝DE ＝53．∵sin A ＝sin B ，∴∠A ＝∠B.∴△ADE ≌△BCF . ∴BC ＝AD ＝5，AE ＝BF ＝52－⎝⎛⎭⎫532＝103 2.∴AB ＝AE ＋EF ＋BF ＝2×1032＋3＝2032＋3，AD ＋CD ＋BC ＝5＋3＋5＝13．∵2032＋3＜13， ∴当点P 到达终点B 时，点Q 在线段BC 上，此时△APQ 的面积为S ＞0. 当8＜t ≤2032＋3时，点Q 在线段BC 上，此时AP ＝t ，AD ＋CD ＋CQ ＝t ，∴CQ ＝t －8，∴BQ ＝5－( t －8)＝13－t .过点Q 作QG ⊥AB 于点G ，则sin B ＝QG BQ ＝13，∴QG 13－t ＝13.∴QG ＝13(13－t ).∴△APQ 的面积S ＝12AP ×QG ＝12×t ×13(13－t )＝－16(t 2－13t ),其图象开口向下．又∵当点P 到达终点B 时，点Q 在线段BC 上，此时△APQ 的面积为S ＞0.∴由此可得答案选B ．G法二：分为三段，当点Q 在AD 上运动时，S 关于t 的函数为二次函数，且S 随t 的增大而增大； 当点Q 在DC 上运动时，S 关于t 的函数为一次函数，且S 随t 的增大而增大；P（第10题图）当点Q 在AD 上运动时，S 关于t 的函数为二次函数，且S 随t 的增大而减小，注意在该段当点P 运动点B 停止时，点Q 没有到达达点B. 综上，选B.11．（2017山东莱芜，11，3分）对于实数a ，b ，定义符号min ，其意义为：当a ≥b 时，min＝b ：当a ＜b 时，min＝a ．例如min＝－1．若关于x 的函数y ＝min ｛2x －1，－x ＋3｝，则该函数的最大值为（ ） A ．23B ．1C ．43D ．53答案：D ，解析：当2x －1≥－x ＋3时，43x ≥，y ＝min ｛2x －1，－x ＋3｝=－x ＋3，最大值为53.当2x －1<－x ＋3时，43x <，y ＝min ｛2x －1，－x ＋3｝=2x －1，最大值为53. 综上，该函数的最大值为53.12．（2017山东莱芜，12，3分）如图，正五边形ABCDE 的边长为2，连结AC 、AD 、BE ，BE 分别与AC 和AD 相交于点F ，G ，连结DF ，给出下列结论：①∠FDG ＝18°；②FG ＝3－5；③(S 四边形CDEF )2＝9＋25；④DF 2－DG 2＝7－25．其中结论正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：B ，解析：（1）∵正五边形ABCDE 的每一个内角都等于(5－2)×180°5＝108°.∴∠BAC ＝∠BCA ＝(180°－108°)÷2＝36°. 同理可得∠ABE ＝∠AEB ＝∠EAD ＝∠EDA ＝36°. ∴∠CBF ＝∠FCD ＝∠GDC ＝∠DEG ＝108°－36°＝72°. ∴∠BFC ＝180°－∠BCA －∠CBF ＝180°－36°－72°＝72°.GF（第12题图）∴∠BFC ＝∠CBF ＝72°. ∴BC ＝CF ＝2.同理可得DG ＝DE ＝2.∵BC ＝CF ,BC ＝CD ,∴CF ＝C D . 又∵∠FCD ＝＝72°， ∴∠CDF ＝∠CFD ＝(180°－72°)÷2＝54°. ∴∠FDG ＝∠GDC －∠CDF ＝72°－54°＝18°. 由此可知①正确；（2）∵∠ABE ＝∠BCA ＝36°，∠BAF ＝∠CAB ,∴△BAF ∽△CA B .∴AB AC ＝AF AB .∴AB AF ＋CF ＝AF AB .∴2AF ＋2＝AF2.解得AF ＝5－1.∴AC ＝AF ＋FC ＝(5－1)＋2＝5＋1.∵△AFG ∽△ACD ,∴AF AC ＝FGCD .∴5－15＋1＝FG 2.解得FG ＝3－5.由此可知②正确；（3）过点A 作AM ⊥CD 于点M ,交BE 于点N .MMG∵AC ＝AD , AM ⊥CD ,∴CM ＝DM ＝12CD ＝1.∴cos ∠ACM ＝CM AC ＝15＋1＝5－14．∴(sin ∠ACM )2＝1－( cos ∠ACM )2＝1－(5－14)2. ∵CD ＝CF ＝EF ＝DE ＝2，∴四边形CDEF 是菱形．∴S 四边形CDEF ＝2 S △CDF＝2×(12CF ×CD ×sin ∠ACM )＝2×(12×2×2×sin ∠ACM )＝4sin ∠ACM .∴(S 四边形CDEF )2＝(4sin ∠ACM )2 ＝16×(sin ∠ACM )2＝10＋25≠9＋25． 由此可知③错误；（4）过点F 作FG ⊥CD 于点G ． ∵cos ∠ACM ＝cos ∠FCG ＝CG FC ＝5－14，∴CG 2＝5－14. ∴CG ＝5－12．∴DG ＝CD －CG ＝2－5－12＝5－52． ∴DG 2＝(5－52)2＝15－552．由对称性知CF=DG.∴DF 2－DG 2＝DG 2－CG 2＝6－25≠7－25．由此可知④错误；综上①②正确，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题 共84分）二、填空题（本大题共5小题，每小题填对得4分，共20分．请填在答题卡上） 13．（2017山东莱芜，13，4分）3012cos 45(3.14)2π-⎛⎫--︒+-+ ⎪⎝⎭＝___________．答案：－7(－2)3－2×22＋1＋22＝－8－2＋1＋22＝－714．（2017山东莱芜，14，4分）圆锥的底面周长为23π，母线长为2，点P 是母线OA 的中点，一根细绳（无弹性）从点P 绕圆锥侧面一周回到点P ．则细绳的晟短长度为___________．答案：1，解析：将圆锥的侧面展开，如图.取OA ′的中点P ′，连接PP ′，则P P ′ 即为细绳的最短路径. ∵2180O π∠⋅⋅︒=23π，∴∠O =60°.∵OP =OP ′=12×2=1，∴△OPP ′是等边三角形. ∴PP ′=1. O AA′P P ′15．（2017山东莱芜，15，4分）直线y ＝kx ＋b 与双曲线6y x=-交于A (－3，m )，B (n ，－6)两点．将直线y ＝kx ＋b 向上平移8个单位长度后，与双曲线交于D ，E 两点，则S △ADE ＝___________．答案：16，解析：把A (－3，m )代入6y x=-，得m ＝－6－3＝2.∴A (－3，2).把B (n ，－6)代入6y x=-，得－6＝－6n .∴n ＝1.∴B (1，－6).把A (－3，2)、B (1，－6)分别代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧2＝－3k ＋b －6＝k ＋b .解得⎩⎨⎧k ＝－2b ＝－4. ∴y ＝－2x －4. 把x ＝0代入y ＝－2x －4，得y ＝－4.∴直线y ＝－2x －4与y 轴交于点(0，－4). 把点(0，－4)向上平移8个单位长度后得到的点是(0，4)，∴将直线y ＝－2x －4向上平移8个单位长度后所得的直线是y ＝－2x ＋4.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋4y ＝－6x ,得⎩⎨⎧x 1＝3y 1＝－2,⎩⎨⎧x 2＝－1y 2＝6.∴可以取D (－1，6)、E (3，－2).设直线AE 的解析式为y ＝mx ＋n ，则⎩⎨⎧2＝－3m ＋n－2＝3m ＋n .解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－23n ＝0. ∴直线AE 的解析式为y ＝－23x ，该直线经过原点(0，0)．过点D 作DC ⊥x 轴于点C ，交AE 于点F ，则C (－1，0)、F (－1，－23).∴DF ＝6－23＝163.∴S △ADE ＝S △ADF ＋ S △FDE ＝12DF ×CM ＋12DF ×CN ＝12DF ×(CM ＋CN )＝ 12DF ×MN ＝12×163×6＝16.16．（2017山东莱芜，16，4分）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0) 图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为－3，1，与y 轴交于点C ，下面四个结论： ①16a －4b ＋c ＜0； ②若P （－5，y 1）、Q （52，y 2）是函数图象上的两点，则y 1＞y 2； ③a ＝－13c ；④若△ABC 是等腰三角形，则b ．其中正确的有_______________．(请将结论正确的序号全部填上) 答案：①③，解析：①∵a ＜0，∴该抛物线开口向下. ∵图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为－3，1，∴当x ＝－3或1时，y ＝0且抛物线的对称轴是直线x ＝－1. ∴当x ＝－4时，y ＝a ＋b ＋c ＜0. 由此可知①正确；②点P （－5，y 1）关于对称轴的对称点是P ′（3，y 1）.点是P ′（3，y 1）、Q （52，y 2）都在对称轴右侧. ∵该抛物线开口向下，对称轴是直线x ＝－1， ∴当x ＞－1时，y 随x 的增大而减小. ∵3＞52，∴y 1＜y 2．由此可知②错误；③∵对称轴是直线x ＝－1， ∴－b2a＝－1.∴b ＝2a .∵抛物线过点(1，0)，∴a ＋b ＋c ＝0.把b ＝2a 代入上式，得a ＋2a ＋c ＝0.∴a ＝－13c . 由此可知③正确；④若△ABC 是等腰三角形，则有两种情况：AB ＝AC 或BA ＝BC ，因此c 的值有两个，b 的值也有两个.由此可知④错误.17．（2017山东莱芜，17，4分）如图，在矩形ABCD 中，BE ⊥AC 分别交AC 、AD 于点F 、E ，若AD ＝1，AB ＝CF ，则AE ＝___________．CE ． E DB （第17题图）EDB A∵AB ＝CF ，AB ＝CD ，∴CF ＝CD .又∵CE ＝CE ，∠EFC ＝∠EDC ＝90°，∴△EFC ≌△ED C.∴DE ＝EF .设AB ＝CD ＝CF ＝a ，则AC 2＝AD 2＋CD 2＝12＋a 2＝1＋a 2.设AE ＝x ，则DE ＝EF ＝1－x .∵△ABE ∽△DAC ，∴AB AD ＝AE DC .∴a 1＝x a. ∴x ＝a 2…………………………①∵△AEF ∽△ACD ，∴AE AC ＝EF DC .∴AE 2AC 2＝EF 2DC2. ∴x 21＋a 2＝(1－x )2a 2.…………………………② 由①、②两式，可解得x ＝5－12， ∴AE ＝5－12.三、解答题（本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）18．（本题满分6分）（2017山东莱芜，18，6分） 先化简，再求值：（a ＋63a a -)÷(a ＋993a a +-)，其中a 3. 思路分析：先将两括号内的式子分别通分，再将除法转化为乘法，然后约分化简，最后代入所给的值求解． 解：原式＝(3)63a a a a -+-÷(3)993a a a a -++- ＝233a a a +-×2369a a a -++＝(3)3a a a +-×23(3)a a -+ ＝3a a +.当a3时，原式＝3aa+119（本题满分8分）（2017山东莱芜，19，8分）为了丰富校园文化，某学校决定举行学生趣味运动会，将比赛项目确定为袋鼠跳、夹球跑、跳大绳、绑腿跑和拔河赛五种．为了解学生对这五项运动的喜欢情况，随机调查了该校a名学生最喜欢的一种项目（每名学生必选且只能选择五项中的一种），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表：根据图表中提供的信息，解答下列问题：（1）a＝____________，b＝_______，c＝_______．（2）请将条形统计图补充完整；（3）根据调查结果，请你估计该校3000名学生中有多少名学生最喜欢绑腿跑；（4）根据调查结果，某班决定从这五项（袋鼠跳、夹球跑、跳大绳、绑腿跑、拔河赛可分别记A、B、C、D、E）中任选其中两项进行训练，用画树状固或列表的方法求恰好选到学生喜欢程度最高的两项的概率．思路分析：（1）根据“袋鼠跳”的学生数和百分比可以求出被调查学生的总数，即a的值；用“绑腿跳”的百分比乘以a，即可得b的值；用“夹球跑”的学生数除以a，即可得c的值．（2）根据b的值即可将条形统计图补充完整．（3）用3000乘以“绑腿跳”的百分比，即可得到该校学生中最喜欢绑腿跑的人数．（4）用“列表法”求解即可，需注意本小题是属于“不放回”类型的．解：（1）a＝300，b＝60，c＝10；（2）学生最喜欢的活动项目的人数条形统计图（3）3000×20%＝600（名）；（4）P ＝220＝110.（树状图或列表略）20．（本题满分9分）（2017山东莱芜，20，9分）某学校教学楼（甲楼）的顶部E 和大门A 之间挂了一些彩旗．小颍测得大门A 距甲楼的距离AB 是31 m ，在A 处测得甲楼顶部E 处的仰角是31°．（1）求甲楼的高度及彩旗的长度：（精确到0.01 m ）（2〉若小颖在甲楼楼底C 处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G 处的仰角为40°．爬到甲楼楼顶F 处测得乙楼楼顶G 处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲乙两楼之间的距离．（精确到0.01 m ）（cos31°≈0.86，t an31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77， tan40°≈0.84）思路分析：（1）应用∠A 的正切可以求得甲楼的高度BE ；应用∠A 的余切可以求得彩旗的长度AE ；（2）设甲乙两楼之间的距离为x m ，再利用19°角、40°角的正切列方程求解. 解：（1）在Rt △ABE 中，BE ＝AB ·tan31°＝31×tan31°≈31×0.60＝18.60.AE ＝cos31AB ︒＝31cos31︒≈310.86≈36.05 故甲楼的高度为18.60m ，彩旗的长度为36.05m.（2）过点F 作FM ⊥GD ，交GD 于M ，在Rt △GMF 中，GM ＝FM tan19°，在Rt △GDC 中，GD ＝CD tan40°，设甲乙两楼之间的距离为x m ，FM ＝CD ＝x ，则根据题意得： 19︒40︒31︒甲乙 C D E F G A B （第20题图）x tan40°－x tan19°＝18.60；解之得：x ＝37.20m ；乙楼的高度：GD ＝CD tan40°≈37.20×0.84≈31.25，故乙楼的高度为31.25m ，甲乙两楼之间的距离为37.20m.21．（本题满分9分）（2017山东莱芜，21，9分）己知△ABC 与△DEC 是两个大小不同的等腰直角三角形．（1）如图①所示，连接AE 、DB ．试判断线段AE 和DB 的数量和位置关系，并说明理由；（2）如图②所示，连接DB ，将线段DB 绕D 点顺时针旋转90°到DF ，连接AF ，试判断线段DE 和AF 的数量和位置关系，并说明理由．思路分析：（1）通过证明Rt △ACE ≌Rt △BCD 即可解决；（2）通过证明△EBD ≌△ADF 即可得解.解：（1）AE ＝DB ，AE ⊥DB .理由：由题意可知，CA ＝CB ，CE ＝CD ，∠ACE ＝∠BCD ＝90°，∴Rt △ACE ≌Rt △BCD .∴AE ＝DB .延长DB 交AE 于点M ， ① C E B ② F C E B （第21题图）∵Rt△ACE≌Rt△BCD，∴∠AEC＝∠BDC.又∵∠AEC＋∠EAC＝90°，∴∠BDC＋∠EAC＝90°，∴在△AMD中，∠AMD=180°－90°＝90°，∴AE⊥DB.（2）DE＝AF，DE⊥AF.理由：设ED与AF相交于点N，由题意可知，BE＝AD.∵∠EBD＝∠C＋∠BDC＝90°＋∠BDC，∠ADF＝∠BDF＋∠BDC＝90°＋∠BDC，∴∠EBD＝∠ADF，又∵DB＝DF，∴△EBD≌△ADF.∴DE＝AF.∠E＝∠F AD，∵∠E＝45°，∠EDC＝45°，∴∠F AD＝45°. ∴∠AND＝90°.∴DE ⊥AF .22．（本题满分10分〉（2017山东莱芜，22，10分）某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩，已知甲种口罩毎袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元．（1）该网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元？（2）根据消费者需求，网店决定用不超过10 000元购进甲、乙两种口罩共500袋，且甲种口罩的数量大于乙种口罩的45．已知甲种口罩毎袋的进价为22.4元，乙种口罩毎袋的进价为18元．请你帮助网店计算有几种进货方案？若使网店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？思路分析：（1）根据等量关系列方程组求解；（2）根据不等关系列不等式组求解各种符合题意的方案；分别计算所得各种方案的获利情况，可得利润最大的方案及最大利润；也可以建立二次函数模型求解．解：（1）设该网店甲种口罩每袋的售价为x 元，乙种口罩每袋的售价为y 元，根据题意得：523110x y x y -=⎧⎨+=⎩， 解这个方程组得：2520x y =⎧⎨=⎩， 故该网店甲种口罩每袋的售价为25元，乙种口罩每袋的售价为20元．（2）设该网店购进甲种口罩m 袋，则购进乙种口罩(500－m )袋，根据题意得：4(500)522.418(500)10000m m m m ⎧>-⎪⎨⎪+-≤⎩， 解这个不等式组得：222 2＜m ≤227 3，因m 是整数，故有5种进货方案，分别是： 购进甲种口罩223袋，乙种口罩277袋；购进甲种口罩224袋，乙种口罩276袋；购进甲种口罩225袋，乙种口罩275袋；购进甲种口罩226袋，乙种口罩274袋；购进甲种口罩227袋，乙种口罩273袋；设网店获利为w 元，则有w ＝(25－22.4)m ＋(20－18)(500－m )＝0.6m ＋1000，因w 随m 的增大而增大，故当m ＝227时，w 最大，W 最大＝0.6×227＋1000＝1136.2（元）.故网店购进甲种口罩227袋，乙种口罩273袋时，获利最大，最大获利为1136.2元.23．（本题满分10分〉（2017山东莱芜，23，10分）已知AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ，如图①．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若AB＝10．AC＝6，求BD的长；（3）如图②，若F是OA的中点，FG⊥OA交直线DE于点G，若FG＝194，tan∠BAD＝34，求⊙O的半径．思路分析：（1）连接OD，证明OD⊥DE即可得解；（2）连接BC，构造直角三角形，利用勾股定理求出BC的长度，再进一步应用三角形中位线性质及勾股定理求解；（3）设FG与AD交于点H，证明△DHE是等腰三角形是解题突破口.解：（1）如图，连接OD.NEDCBAO∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.又∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠DAE.∴∠ODA＝∠DAE. ∴OD∥AE.∴∠ODE＋∠AED＝180°.又∵∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°.∴OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．（2）连接BC，交OD于点N.∵AB是直径，∴∠BCA＝90°.∵OD∥AE，O是AB的中点，∴ON∥AC，且ON＝12 AC，∴∠ONB＝90°，且ON＝3.则BN＝4，ND＝2，∴BD＝＝．②（第23题图）①（3）如图，设FG 与AD 交于点H .FEH C G M DA OB根据题意，设AB ＝5x ，AD ＝4x ，BD ＝3x ，则AF ＝54x ，5315tan 4416FH AF BAD x x =⋅∠=⋅=， 52544cos 165x AF AH x BAD ===∠，HD =AD －AH ＝253941616x x x -=. 由（1）可知，∠HDG ＋∠ODA ＝90°，在Rt △HF A 中，∠F AH ＋FHA ＝90°，又∵∠OAD ＝∠ODA ，∠FHA ＝∠DHG ，∴∠DHG ＝∠HDG .∴GH ＝GD .过点G 作GM ⊥HD ，交HD 于点M .∴MH ＝MD ，∴HM ＝12HD ＝12×3916x ＝3932x . ∵∠F AH ＋∠AHF ＝90°，∠MHG ＋∠HGM ＝90°，∴∠F AH ＝∠HGM . 在Rt △HGM 中，HG ＝sin HM HGM ∠＝393235x ＝6532x . ∵FH ＋GH ＝194，故有1516x ＋6532x ＝194，解之得：x ＝85． 故此圆的半径为52×85＝4．24．（本题满分12分）（2017山东莱芜，24，12分）抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过A （2，3），B （4，3），C （6，－5）三点．（1）求抛物线的表达式；（2）如图①，抛物线上一点D 在线段AC 的上方，DE ⊥AB 交AC 于点E ，若潢足DE AE，求点D 的坐标．（3〉如图②，F 为抛物线顶点，过A 作直线l ⊥AB ，若点P 在直线l 上运动，点Q 在x 轴上运动，是否存在这样的点P 、Q ，使得以B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABF 相似．若存在，求P 、Q 的坐标，并求此时△BPQ 的面积；若不存在，请说明理由．思路分析：（1）将A （2，3），B （4，3），C （6，－5）三点的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得到关于a ，b ，c 的方程组，解所得的方程组得到a ，b ，c 的值，即得抛物线的解析式；（2）根据题意，AB ∥x 轴，DE ⊥x 轴，求出直线AC 的解析式y ＝kx n +，设D 设点D (m ，ax 2＋bx ＋c )，2＜m ＜6，则点E (m ，kx n +)，用含有m 的式子分别表示出AE 、DE 的长度，再求解；（3）先确定△ABF 的形状，再分不同情况分别讨论求解．解：（1）根据题意，设抛物线表达式为y ＝2(3)a x h -+．所以395a h a h +=⎧⎨+=-⎩﹐﹒ 解得14a h =-⎧⎨=⎩﹐﹒ 所以抛物线表达式为y ＝265x x -+-．（2）设直线AC 的表达式为y ＝kx n +，则2365k n k n +=⎧⎨+=-⎩﹐﹒ 解得27k n =-⎧⎨=⎩﹐﹒ ∴直线AC 表达式为y ＝－2x ＋7．设点D (m ，265m m -+-)，2＜m ＜6，则点E (m ，－2m ＋7)，∴DE ＝2(65)(27)m m m -+---+＝2812m m -+-．设直线DE 与直线AB 交于点G ，则AG ＝m －2，EG ＝3(27)m --+＝2(m －2)，m －2＞0．（第24题图）在Rt △AEG 中，∴AE (m －2)．由DEAE ，2，化简得221114m m -+＝0，解得m ＝72或m ＝2（舍去）．∴D （72，154）． （3）根据题意得，△ABF 为等腰直角三角形，假设存在满足条件的点P 、Q ，则△BPQ 为等腰直角三角形．（i ）若∠BPQ ＝90°，BP ＝PQ ，如图①，易知△BAP ≌△PMQ ，由AB ＝PM ＝2，所以P（2，2），Q （3，0），PQ ，S △BPQ ＝52．如图②，△BNP ≌△PMQ ，由PN ＝QM ＝2，所以P （2，－2），Q （－3，0），PQ S △BPQ ＝292． （ii ）若∠BQP ＝90°，BQ ＝PQ ，如图③，易知△BNQ ≌△QMP ，由NQ ＝PM ＝3，所以P（2，－5），Q （－l ，0），PQ S △BPQ ＝17．如图④，△QNB ≌△PMQ ，由NQ ＝PM ＝3，所以ｐ（2，－1），Q （5，0），PQ S △BPQ ＝5．（iii ）若∠PBQ ＝90°，BQ ＝BP ，如图⑤，易知△PQB ≌△BNQ ，又AB ＝2，NQ ＝3，AB ≠NQ ，此时不存在满足条件的点P 、Q ．。

2017年中考数学试卷含答案解析(Word版).docx

2017 年中考数学试卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得 3 分，选错、不选或多选，均不得分．1．从新华网获悉：商务部5 月 27 日发布的数据显示，一季度，中国与“一带一路”沿线国家在经贸合作领域保持良好发展势头，双边货物贸易总额超过16553亿元人民币， 16553 亿用科学记数法表示为（）A． 1.6553×108 B． 1.6553× 1011C．1.6553×1012D． 1.6553× 1013【分析】科学记数法的表示形式为a× 10n的形式，其中 1≤a＜ 10，n 为整数．确||定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞ 1 时， n 是正数；当原数的绝对值＜ 1 时， n是负数．【解答】解：将16553 亿用科学记数法表示为： 1.6553× 1012．故选： C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤| a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及n 的值．2．某校排球队 10 名队员的身高（厘米）如下：195， 186，182，188，188， 182，186，188， 186，188．这组数据的众数和中位数分别是（）A． 186， 188 B． 188，187 C．187，188 D．188，186【分析】根据众数和中位数的定义求解可得．【解答】解：将数据重新排列为：182、182、 186、186、186、188、 188、188、188、 195，∴众数为 188，中位数为=187，故选： B．【点评】本题考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是数据中出现最多的一个数．3．下列运算正确的是（）A． 3x2+4x2=7x4 B． 2x33x3=6x3C． a÷a﹣2=a3D．（﹣a2b）3=﹣a6b3【分析】原式各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解： A、原式 =7x2，不符合题意；B、原式 =6x6，不符合题意；C、原式 =aa2=a3，符合题意；D、原式 =﹣a6 b3，不符合题意，故选 C【点评】此题考查了整式的混合运算，以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2π 0+（﹣）﹣2的结果是（）4．计算﹣（）+（+ ）A．1 B．2 C．D．3【分析】首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：﹣（）2+（+π）0+（﹣）﹣2=﹣2+1+4=3故选： D．【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式﹣＞1，得：x＜﹣2，解不等式 3﹣x≥ 2，得： x≤1，∴不等式组的解集为x＜﹣ 2，故选： B．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．6．为了方便行人推车过某天桥，市政府在 10m 高的天桥一侧修建了40m 长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（）A．B．C．D．【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.25，然后利用计算器求锐角∠ A ．【解答】解： sinA===0.25，所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为故选 A．【点评】本题考查了计算器﹣三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．7．若 1﹣22x c=0的一个根，则 c 的值为（）是方程 x ﹣+A．﹣ 2 B．4﹣2 C．3﹣D．1+【分析】把 x=1﹣代入已知方程，可以列出关于 c 的新方程，通过解新方程即可求得 c 的值．【解答】解：∵关于x 的方程 x2﹣2x c=0的一个根是 1﹣，+∴（ 1﹣）2﹣2（1﹣） +c=0，解得， c=﹣2．故选： A．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．8．一个几何体由n 个大小相同的小正方体搭成，其左视图、俯视图如图所示，则 n 的最小值是（）A．5 B．7 C．9 D．10【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从左视图可以看出第二层和第三层的个数，从而算出总的个数．【解答】解：由题中所给出的左视图知物体共三层，每一层都是两个小正方体；从俯视图可以可以看出最底层的个数所以图中的小正方体最少1+2+4=7．故选 B．【点评】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．9．甲、乙两人用如图所示的两个转盘（每个转盘别分成面积相等的 3 个扇形）做游戏，游戏规则：转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘．甲获胜的概率是（）A．B．C．D．5 种，进而可得【分析】首先画出树状图，然后计算出数字之和为偶数的情况有答案．【解答】解：如图所示：数字之和为偶数的情况有 5 种，因此加获胜的概率为，故选： C．【点评】此题主要考查了画树状图和概率，关键是掌握概率 =所求情况数与总情况数之比．10．如图，在 ? ABCD 中，∠ DAB 的平分线交 CD 于点 E，交 BC 的延长线于点G，∠ABC 的平分线交 CD 于点 F，交 AD 的延长线于点 H，AG 与 BH 交于点 O，连接 BE，下列结论错误的是（）A． BO=OH B．DF=CE C．DH=CG D．AB=AE【分析】根据平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质一一判断即可．【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AH∥ BG，AD=BC ，∴∠ H=∠HBG，∵∠ HBG=∠ HBA ，∴∠ H=∠HBA ，∴AH=AB ，同理可证 BG=AB ，∴AH=BG ，∵ AD=BC ，∴DH=CG，故③正确，∵AH=AB ，∠ OAH= ∠ OAB ，∴OH=OB，故①正确，∵DF∥AB，∴∠DFH=∠ABH ，∵∠ H=∠ABH ，∴∠ H=∠DFH，∴DF=DH ，同理可证 EC=CG，∵ DH=CG，∴DF=CE，故②正确，无法证明 AE=AB ，故选 D．【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11．已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则正比例函数 y=（b+c）x 与反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】先根据二次函数的图象，确定a、 b、c 的符号，再根据 a、b、c 的符号判断反比例函数y=与一次函数y=（ b+c） x的图象经过的象限即可．【解答】解：由二次函数图象可知a＞0，c＞0，由对称轴 x=﹣＞0，可知b＜0，当 x=1 时， a+b+c＜0，即 b+c＜0，所以正比例函数 y=（b+c） x 经过二四象限，反比例函数 y=图象经过一三象限，故选 C．【点评】本题主要考查二次函数图象的性质、一次函数的图象的性质、反比例函数图象的性质，关键在于通过二次函数图象推出 a、b、c 的取值范围．12．如图，正方形上，若反比例函数ABCD 的边长为 5，点y= （ k≠ 0）的图象过点A 的坐标为（﹣4，0），点B C，则该反比例函数的表达式为（在 y 轴）A． y=B．y=C．y=D．y=【分析】过点 C 作 CE⊥ y 轴于 E，根据正方形的性质可得 AB=BC ，∠ABC=90°，再根据同角的余角相等求出∠ OAB= ∠CBE，然后利用“角角边”证明△ ABO 和△ BCE 全等，根据全等三角形对应边相等可得 OA=BE=4 ，CE=OB=3，再求出 OE，然后写出点 C 的坐标，再把点 C 的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出 k 的值．【解答】解：如图，过点 C 作 CE⊥ y 轴于 E，在正方形 ABCD 中， AB=BC ，∠ABC=90°，∴∠ ABO +∠ CBE=90°，∵∠ OAB +∠ ABO=90°，∴∠ OAB= ∠ CBE，∵点 A 的坐标为（﹣ 4，0），∴OA=4，∵ AB=5，∴ OB==3，在△ ABO 和△ BCE 中，，∴△ ABO ≌△ BCE（AAS ），∴OA=BE=4 ， CE=OB=3，∴OE=BE﹣OB=4﹣ 3=1，∴点 C 的坐标为（ 3，1），∵反比例函数 y= （k≠0）的图象过点 C，∴k=xy=3 ×1=3，∴反比例函数的表达式为y=．故选 A．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点 D 的坐标是解题的关键．二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分，只要求填写最后结果．13．如图，直线 l1∥l2，∠ 1=20°，则∠ 2+∠3=200° ．【分析】过∠ 2 的顶点作 l2的平行线 l，则 l ∥l1∥l2，由平行线的性质得出∠4=∠1=20°，∠BAC +∠3=180°，即可得出∠2+∠3=200°．【解答】解：过∠2 的顶点作l 2的平行线 l，如图所示：则 l∥ l1∥ l2，∴∠ 4=∠ 1=20°，∠ BAC +∠3=180°，∴∠ 2+∠ 3=180°+20°=200°；故答案为： 200°．【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．14．方程+=1 的解是x=3．【分析】方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：由原方程，得3﹣x﹣1=x﹣ 4，﹣2x=﹣6，x=3，经检验 x=3 是原方程的解．故答案是： x=3．【点评】本题考查了解分式方程，把分式方程转化为整式方程求解．最后注意需验根．15．阅读理解：如图1，⊙ O 与直线 a、b 都相切，不论⊙ O 如何转动，直线a、b 之间的距离始终保持不变（等于⊙ O 的直径），我们把具有这一特性的图形成为“等宽曲线”，图2 是利用圆的这一特性的例子，将等直径的圆棍放在物体下面，通过圆棍滚动，用较小的力既可以推动物体前进，据说，古埃及人就是利用这样的方法将巨石推到金字塔顶的．拓展应用：如图 3 所示的弧三角形（也称为莱洛三角形）也是“等宽曲线”，如图4，夹在平行线 c，d 之间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变，若直线 c，d 之间的距离等于2cm，则莱洛三角形的周长为2π cm．【分析】由等宽曲线的定义知AB=BC=AC=2cm ，即可得∠ BAC= ∠ ABC= ∠ACB=60°，根据弧长公式分别求得三段弧的长即可得其周长．【解答】解：如图 3，由题意知 AB=BC=AC=2cm ，∴∠ BAC= ∠ ABC= ∠ACB=60°，∴在以点 C 为圆心、 2 为半径的圆上，∴的长为=，则莱洛三角形的周长为×3=2π，故答案为： 2π．【点评】本题主要考查新定义下弧长的计算，理解“等宽曲线”得出等边三角形是解题的关键．16．某广场用同一种如图所示的地砖拼图案，第一次拼成形如图 1 所示的图案，第二拼成形如图 2 所示的图案，第三次拼成形如图 3 所示的图案，第四次拼成形如图 4 所示的图案按照这样的规律进行下去，第n 次拼成的图案共有地砖2n2+2n．块．【分析】首先求出第一个、第二个、第三个、第四个图案中的地砖的数量，探究规律后即可解决问题．【解答】解：第一次拼成形如图 1 所示的图案共有 4 块地砖， 4=2×（ 1×2），第二拼成形如图 2 所示的图案共有 12 块地砖， 12=2×（ 2×3），第三次拼成形如图 3 所示的图案共有 24 块地砖， 24=2×（ 3× 4），第四次拼成形如图 4 所示的图案共有 40 块地砖， 40=2×（ 4× 5），第 n 次拼成形如图 1 所示的图案共有 2× n（ n+1） =2n2+2n 块地砖，故答案为 2n2+2n．【点评】本题考查规律题目、解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，属于中考填空题中的压轴题．17．如图，A 点的坐标为（﹣1，5），B 点的坐标为（3，3），C 点的坐标为（5，3）， D 点的坐标为（ 3，﹣ 1），小明发现：线段 AB 与线段 CD 存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是（1，1）或（ 4，4）．【分析】分点 A 的对应点为 C 或 D 两种情况考虑：①当点 A 的对应点为点 C 时，连接 AC 、BD ，分别作线段 AC、 BD 的垂直平分线交于点 E，点 E 即为旋转中心；②当点 A 的对应点为点 D 时，连接 AD 、 BC，分别作线段 AD 、 BC 的垂直平分线交于点 M ，点 M 即为旋转中心．此题得解．【解答】解：①当点 A 的对应点为点 C 时，连接 AC 、BD ，分别作线段AC、BD 的垂直平分线交于点E，如图 1 所示，∵A 点的坐标为（﹣ 1，5）， B 点的坐标为（ 3，3），∴ E 点的坐标为（ 1， 1）；②当点 A 的对应点为点 D 时，连接 AD 、BC，分别作线段 AD 、BC 的垂直平分线交于点 M ，如图 2 所示，∵A 点的坐标为（﹣ 1，5）， B 点的坐标为（ 3，3），∴ M 点的坐标为（ 4，4）．综上所述：这个旋转中心的坐标为（ 1，1）或（ 4，4）．故答案为：（ 1，1）或（ 4， 4）．【点评】本题考查了坐标与图形变化中的旋转，根据给定点的坐标找出旋转中心的坐标是解题的关键．18．如图，△ ABC 为等边三角形， AB=2 ．若 P 为△ ABC 内一动点，且满足∠PAB= ∠ACP，则线段 PB 长度的最小值为．【分析】由等边三角形的性质得出∠ABC= ∠ BAC=60°， AC=AB=2 ，求出∠APC=120°，当 PB⊥AC 时， PB 长度最小，设垂足为D，此时 PA=PC，由等边三角形的性质得出AD=CD= AC=1 ，∠ PAC=∠ACP=30°，∠ABD=∠ABC=30° ，求出 PD=ADtan30°=AD=，BD=AD=，即可得出答案．【解答】解：∵△ ABC 是等边三角形，∴∠ ABC= ∠ BAC=60°，AC=AB=2 ，∵∠ PAB=∠ ACP，∴∠ PAC+∠ACP=60°，∴∠ APC=120°，当 PB⊥AC 时， PB 长度最小，设垂足为 D，如图所示：此时 PA=PC，则 AD=CD= AC=1 ，∠ PAC=∠ ACP=30°，∠ ABD= ∠ ABC=30°，∴ PD=ADtan30°=AD=，BD=AD=，∴ PB=BD﹣PD=﹣=；故答案为：．【点评】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握等边三角形的性质是解决问题的关键．三、解答题：本大题共7 小题，共 66 分．19．先化简÷（﹣ x+1），然后从﹣＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后在﹣＜ x＜中选取一个使得原分式有意义的整数值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：x 1）÷（﹣+====，∵﹣＜x＜且 x 1≠ 0，x﹣ 1≠ 0，x≠ 0，x 是整数，+∴ x=﹣2 时，原式 =﹣．【点评】本题考查分式的化简求值、估算无理数的大小，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法，注意取得的 x 的值必须使得原分式有意义．20．某农场去年计划生产玉米和小麦共200 吨，采用新技术后，实际产量为225 吨，其中玉米超产 5%，小麦超产 15%，该农产去年实际生产玉米、小麦各多少吨？【分析】设农场去年计划生产小麦x 吨，玉米 y 吨，利用去年计划生产小麦和玉米 200 吨，则 x+y=200，再利用小麦超产15%，玉米超产 5%，则实际生产了225吨，得出等式（ 1+5%）x+（1+15%） y=225，进而组成方程组求出答案．【解答】解：设农场去年计划生产小麦x 吨，玉米 y 吨，根据题意可得：，解得：，则 50×（ 1+5%）=52.5（吨），150×（ 1+15%）=172.5（吨），答：农场去年实际生产小麦52.5 吨，玉米 172.5 吨．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据计划以及实际生产的粮食吨数得出等式是解题关键．21．央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣，某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：（1）此次共调查了 200 名学生；（2）将条形统计图补充完整；（ 3）图 2 中“小说类”所在扇形的圆心角为126 度；（4）若该校共有学生2500 人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．【分析】（1）根据文史类的人数以及文史类所占的百分比即可求出总人数；（2）根据总人数以及生活类的百分比即可求出生活类的人数以及小说类的人数；（3）根据小说类的百分比即可求出圆心角的度数；（4）利用样本中喜欢社科类书籍的百分比来估计总体中的百分比，从而求出喜欢社科类书籍的学生人数；【解答】解：（ 1）∵喜欢文史类的人数为 76 人，占总人数的 38%，∴此次调查的总人数为： 76÷38%=200 人，（2）∵喜欢生活类书籍的人数占总人数的 15%，∴喜欢生活类书籍的人数为： 200× 15%=30 人，∴喜欢小说类书籍的人数为：200﹣ 24﹣76﹣30=70 人，如图所示；（ 3）∵喜欢社科类书籍的人数为：24 人，∴喜欢社科类书籍的人数占了总人数的百分比为：×100%=12%，∴喜欢小说类书籍的人数占了总分数的百分比为：100%﹣15%﹣38%﹣12%=35%，∴小说类所在圆心角为：360°× 35%=126°，（4）由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的 12%，∴该校共有学生 2500 人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数： 2500×12%=300 人故答案为：（ 1）200；（ 3） 126【点评】本题考查统计问题，解题的关键是熟练运用统计学中的公式，本题属于基础题型．22．图 1 是太阳能热水器装置的示意图，利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角（θ）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光线与玻璃吸热管垂直），请完成以下计算：如图 2，AB ⊥BC，垂足为点 B，EA ⊥AB ，垂足为点 A ，CD∥AB ，CD=10cm，DE=120cm， FG⊥ DE，垂足为点 G．（ 1）若∠θ=37°50，′则 AB 的长约为83.2 cm；（参考数据： sin37 °50≈′0.61，cos37°50≈′0.79，tan37 °50≈′0.78）（2）若 FG=30cm，∠θ=60°求， CF 的长．【分析】（1）作 EP⊥BC、DQ⊥EP，知 CD=PQ=10，∠2+∠3=90°，由∠ 1+∠θ=90°且∠1=∠ 2知∠ 3=∠θ=37°50，根′据 EQ=DEsin∠3 和 AB=EP=EQ PQ 可得答案；+（ 2）延长 ED、BC 交于点 K ，结合（ 1）知∠θ=∠3=∠K=60°，从而由 CK=、KF=可得答案．【解答】解：（ 1）如图，作 EP⊥BC 于点 P，作 DQ⊥ EP 于点 Q，则 CD=PQ=10，∠ 2+∠3=90°，∵∠ 1+∠ θ=90，°且∠ 1=∠2，∴∠ 3=∠ θ=37°50，′则 EQ=DEsin∠3=120× sin37 °50，′∴AB=EP=EQ+PQ=120sin37°50+10=83′.2，故答案为： 83.2；（2）如图，延长 ED、 BC 交于点 K ，由（ 1）知∠θ=∠3=∠ K=60°，在 Rt△CDK 中， CK==，在 Rt△KGF 中， KF===，则 CF=KF﹣KC=﹣==．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，根据题意构建所需直角三角形和熟练掌握三角函数是解题的关键．23．已知： AB 为⊙ O 的直径， AB=2 ，弦 DE=1，直线 AD 与 BE 相交于点 C，弦 DE 在⊙ O 上运动且保持长度不变，⊙ O 的切线 DF 交 BC 于点F．（ 1）如图 1，若 DE∥AB ，求证： CF=EF；（ 2）如图 2，当点 E 运动至与点 B 重合时，试判断 CF 与 BF 是否相等，并说明理由．【分析】（1）如图 1，连接 OD、OE，证得△ OAD 、△ ODE、△ OEB、△ CDE 是等边三角形，进一步证得DF⊥CE 即可证得结论；（2）根据切线的性质以及等腰三角形的性质即可证得结论．【解答】证明：如图 1，连接 OD、OE，∵ AB=2，∴OA=OD=OE=OB=1 ，∵ DE=1，∴OD=OE=DE，∴△ ODE 是等边三角形，∴∠ ODE=∠ OED=60°，∵DE∥ AB ，∴∠ AOD=∠ ODE=60°，∠ EOB=∠OED=60°，∴△ AOD 和△△ OE 是等边三角形，∴∠ OAD=∠ OBE=60°，∴∠ CDE=∠ OAD=60°，∠ CED=∠OBE=60°，∴△ CDE 是等边三角形，∵DF 是⊙O 的切线，∴OD⊥DF，∴∠ EDF=90°﹣60°=30°，∴∠ DFE=90°，∴ DF⊥ CE，∴ CF=EF；（ 2）相等；如图 2，点 E 运动至与点 B 重合时， BC 是⊙ O 的切线，∵⊙O的切线 DF 交 BC 于点 F，∴BF=DF，∴∠ BDF=∠ DBF，∵ AB 是直径，∴∠ ADB= ∠ BDC=90°，∴∠ FDC=∠ C，∴DF=CF，∴BF=CF．【点评】本题考查了切线的性质、平行线的性质、等边三角形的判定、等腰三角形的判定和性质，作出辅助线构建等边三角形是解题的关键．24．如图，四边形ABCD 为一个矩形纸片， AB=3 ，BC=2，动点 P 自 D 点出发沿 DC 方向运动至 C 点后停止，△ ADP 以直线 AP 为轴翻折，点 D 落在点 D1的位置，设 DP=x ，△ AD 1P 与原纸片重叠部分的面积为y．（1）当 x 为何值时，直线 AD 1过点 C？（2）当 x 为何值时，直线 AD 1过 BC 的中点 E？（3）求出 y 与 x 的函数表达式．【分析】（1）根据折叠得出AD=AD 1=2， PD=PD1=x ，∠ D= ∠AD 1P=90°，在Rt△ABC 中，根据勾股定理求出AC ，在 Rt△ PCD1中，根据勾股定理得出方程，求出即可；（ 2）连接 PE，求出 BE=CE=1，在 Rt△ABE 中，根据勾股定理求出AE ，求出AD 1 =AD=2 ，PD=PD1=x，D1E=﹣2，PC=3﹣x，在Rt△PD1E和Rt△PCE中，根据勾股定理得出方程，求出即可；（ 3）分为两种情况：当0＜x ≤2 时， y=x；当 2＜x≤3 时，点 D1在矩形 ABCD 的外部， PD1交 AB 于 F，求出 AF=PF，作 PG⊥AB 于 G，设 PF=AF=a，在 Rt △PFG 中，由勾股定理得出方程（ x﹣a）2+22=a2，求出 a 即可．【解答】解：（ 1）如图 1，∵由题意得：△ ADP ≌△ AD 1P，∴AD=AD 1 =2，PD=PD1=x，∠ D=∠ AD1P=90°，∵直线 AD1过 C，∴PD1⊥AC，在Rt△ABC 中， AC==，CD1=﹣2，222在 Rt△PCD1中， PC =PD1+CD1，即（ 3﹣x）2=x2+（﹣2）2，解得： x=，∴当x=时，直线AD1过点C；（ 2）如图 2，连接 PE，∵E 为BC 的中点，∴ BE=CE=1，在 Rt△ABE 中， AE==，∵AD1 =AD=2 ，PD=PD1=x，∴D1E=﹣2，PC=3﹣x，在 Rt△PD1E 和 Rt△PCE 中，x2+（﹣2）2=（3﹣x）2+12，解得： x=，∴当 x=时，直线 AD 1过BC 的中点；E（ 3）如图 3，当 0＜x≤2 时， y=x，如图 4，当 2＜x≤3 时，点 D1在矩形 ABCD 的外部， PD1交 AB 于 F，∵AB∥CD，∴∠ 1=∠ 2，∵∠1=∠3（根据折叠），∴∠ 2=∠ 3，∴ AF=PF，作 PG⊥AB 于 G，设 PF=AF=a，由题意得： AG=DP=x ，FG=x﹣a，在 Rt△PFG 中，由勾股定理得：（ x﹣a）2+22=a2，解得： a=，所以y==，综合上述，当 0＜x≤2 时， y=x；当 2＜x≤3 时， y=．【点评】本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，用了分类推理思想．25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c 过点 A （﹣ 1，0）， B（3，0）， C（ 0， 3）点 M 、N 为抛物线上的动点，过点 M 作 MD ∥ y 轴，交直线 BC 于点 D，交 x 轴于点 E．（ 1）求二次函数 y=ax2+bx+c 的表达式；（ 2）过点 N 作 NF⊥x 轴，垂足为点 F，若四边形 MNFE 为正方形（此处限定点M在对称轴的右侧），求该正方形的面积；（3）若∠ DMN=90°，MD=MN ，求点 M 的横坐标．【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）设点 M 坐标为（ m，﹣m2+2m+3），分别表示出 ME=| ﹣m2+2m+3| 、MN=2m﹣2，由四边形 MNFE 为正方形知 ME=MN ，据此列出方程，分类讨论求解可得；（ 3）先求出直线 BC 解析式，设点 M 的坐标为（ a，﹣ a2+2a+3），则点 N（2﹣a，﹣ a2+2a+3）、点 D（ a，﹣ a+3），由 MD=MN 列出方程，根据点 M 的位置分类讨论求解可得．【解答】解：（ 1）∵抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A（﹣ 1，0）， B（ 3，0），∴设抛物线的函数解析式为 y=a（ x+1）（ x﹣3），将点 C（0，3）代入上式，得： 3=a（ 0+1）（ 0﹣3），解得： a=﹣1，∴所求抛物线解析式为 y=﹣（ x+1）（ x﹣3）=﹣x2+2x+3；（ 2）由（ 1）知，抛物线的对称轴为 x=﹣=1，如图 1，设点 M 坐标为（ m，﹣ m2+2m+3），∴ME=| ﹣m2+2m+3| ，∵M 、N 关于 x=1 对称，且点 M 在对称轴右侧，∴点 N 的横坐标为 2﹣m，∴ MN=2m ﹣2，∵四边形 MNFE 为正方形，∴ME=MN ，∴| ﹣ m2+2m+3| =2m﹣2，分两种情况：①当﹣m2 2m 3=2m﹣2 时，解得： m12（不符合题意，舍去），+ +=、m =﹣当 m=时，正方形的面积为（ 2﹣2）2=24﹣8；②当﹣ m2+2m+3=2﹣2m 时，解得：m3， 4 ﹣（不符合题意，舍去），=2+m =2当 m=2+时，正方形的面积为 [ 2（2+）﹣ 2] 2=24+8 ；综上所述，正方形的面积为 24+8或 24﹣8 ．（3）设 BC 所在直线解析式为 y=kx +b，把点 B（3，0）、 C（0，3）代入表达式，得：，解得：，∴直线 BC 的函数表达式为y=﹣x+3，设点 M 的坐标为（ a，﹣ a2 +2a+3），则点 N（ 2﹣ a，﹣ a2+2a+3），点 D（a，﹣a+3），①点 M 在对称轴右侧，即a＞1，则 | ﹣ a+3﹣（﹣ a2+2a+3）| =a﹣（ 2﹣ a），即 | a2﹣3a| =2a﹣2，若 a2﹣3a≥ 0，即 a≤0 或 a≥3，a2﹣3a=2a﹣ 2，解得： a=或a=＜1（舍去）；若 a2﹣3a＜ 0，即 0≤ a≤3，a2﹣ 3a=2﹣ 2a，解得： a=﹣1（舍去）或 a=2；②点 M 在对称轴右侧，即a＜1，则 | ﹣ a+3﹣（﹣ a2+2a+3）| =2﹣a﹣a，即 | a2﹣3a| =2﹣2a，若 a2﹣3a≥ 0，即 a≤0 或 a≥3，a2﹣3a=2﹣2a，解得： a=﹣1 或 a=2（舍）；若 a2﹣3a＜ 0，即 0≤ a≤3，a2﹣ 3a=2a﹣2，解得： a=（舍去）或a=；综上，点M 的横坐标为、2、﹣ 1、．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及两点间的距离公式、解方程是解题的关键．。

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