线代试卷及答案

一、选择题（每小题5分，共20分） 1． 设A 为n 阶方阵且0A =，则 （ ）（A ） 矩阵A 必有两行（列）的元素对应成比例。

（B ） 矩阵A 中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合。

（C ） 矩阵A 中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合。

（D ） 矩阵A 中至少有一行（列）的元素全为零。

2． 设A 是m n ⨯矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，矩阵B AC =的秩为1r ，则（ ）（A ） 1r r =。

（B ） 1r r >。

（C ） 1r r <。

（D ） 1r r 与的关系依C 而定。

3．设12,x x 是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同解，则也是方程组Ax b =的解是（ ）。

（A ） 12x x +。

（B ） 12x x -。

（C ）1222x x +。

（D ） 212x x -。

4．若三阶矩阵A 的特征值为2, 3, 4, 则该矩阵的伴随矩阵A * 的特征值为（ ）（A ） 12, 8, 4 （B ） 12, 8, 6 （C ） 8, 6, 3 （D ） 6, 3, 2。

二、填空题：（每小题5分，共20分）1．设121201101A t t t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且线性方程组0Ax =的基础解系含有两个线性无关的解向量，则参数t 等于 。

2．设α1 = (1，2，1)T ，α2 = (2，3，4)T ，α3 = (3，4，3)T 是R 3的一组基，R 3的向量α = (1, 1, 1)T 关于这组基的坐标为 。

3．将 1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦写成初等矩阵的乘积是 。

4. 若二次型 2221231231223(,,)22f x x x x x x x x ax x =++++ 是正定的，则a 的取值范围是 。

《线性代数》课程试卷＿＿＿＿＿＿学院(系)＿＿＿＿年级＿＿＿＿＿专业主考教师：线性代数教学组 试卷类型：（A 卷）三、计算证明题：（共60分）1．（8分）假设矩阵A 和B 满足关系式2AB A B =+，求矩阵B 。

其中423110123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭2．（10分）已知向量()1,,1T k α=是矩阵211121112A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵的特征向量，试求常数k 的值。

3.（12）求齐次线性方程组1352412514500,0,0x x x x x x x x x x x -+=⎧⎪-=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩的解空间的一组标准正交基。

4．（10分）设A 为二阶方阵，有二个不同的特征值12,λλ，对应特征向量依次为12,αα，令12βαα=+, 证明：,A ββ 线性无关。

5．（15分）求正交变换x Py =，把二次型2221231231323(,,)44f x x x x x x x x x x =+-++ 化为标准形。

6．（5分）齐次线性方程组0Ax =，其中()ij n nA a ⨯=且10,1,2,,,nij j a i n ===∑证明：矩阵A 第一行元素的代数余子式相等。

一、选择题（每小题5分，共20分）1. (C ) 矩阵A 中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合。

2.（A ） 1r r = 3．(D) 212x x -。

4．(B) 12, 8, 6 二、填空题：（每小题5分，共20分）1．……, 则参数t 等于 1 . 2．……, 关于这组基的坐标为 11(,0,)22T-3．……, 初等矩阵的乘积是101012310201⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦或101110310102-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦或…… 4．……, 则a 三、计算证明题：（共60分）1.（8分）解 由于2AB A B =+知(2)A E B A -= ------------------------------------------- 2由于 11223143(2)110153121164A E ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭----------------------- 41143423386(2)153110296.1641232129B A E A -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=--=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭----- 22．（10分）解 设λ是矩阵1A -对应于特征向量α的特征向量，则 A -1α = λα两边同时左乘矩阵A ，得 α = λA α ------------------------------------ 2即 12111312122.111213k k k k k λλ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪==+ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由此得线性方程组()()31,21.k k k λλ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得11,2.k λ=⎧⎨=-⎩ 或21,41.k λ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 因此当21k =-或时，向量α是1A -的特征向量。

--------------- 83.（12）解 对该方程组的系数矩阵作初等行变换1010110011010100101011001001101001100000A --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭于是化为同解的阶梯形方程组为14524340,0,0,x x x x x x x -+=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ 即 1452434,,,x x x x x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ 因()3R A =，故解空间的维数为5-3=2，即基础解系含2个线性无关的向量，由上式易得齐次线性方程组的一个基础解系()()121,1,1,1,0,1,0,0,0,1.T Tαα==- ------------------------------------------------ 6将12,αα正交化，取()111,1,1,1,0Tβα==()()()()2122111,11,0,0,0,11,1,1,1,0,4T Tαββαβββ=-=-+3111,,,,14444T⎛⎫=- ⎪⎝⎭故 -------4 1112221111,,,,0,2222TTβηββηβ⎛⎫== ⎪⎝⎭==即为所求得一个标准正交基。

-------------------- ------------------------- 24．（10分）证明 因为()1,2,i i A i αλα==则()12121122A A A A βααααλαλα=+=+=+ ----- 3设存在两个参数12,k k ，使得 120,k k A ββ+= ------- ----------------------------- 1 即()()11221122k k ααλαλα+++()()121112220k k k k λαλα=+++= 又对应于不同特征值的特征向量线性无关，故12,αα线性无关，于是12112200k k k k λλ+=⎧⎨+=⎩ -------------------------------------------------- 2由于行列式()1212101λλλλ=-≠， ---------------------------------------------- 3故 k 1 = k 2 = 0因此,A ββ线性无关。

- --------------------------------------------- 15．（15分）解 二次型对应的对称矩阵 102012221A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭。

------------------------------------------------ 1 .A 的特征方程为()()()1020123130221E A λλλλλλλ---=--=--+=--+故A 的特征值为1233,1, 3.λλλ===--------------------------------------------------------------------- 6 （i ）A 的属于特征值为13λ=的特征向量()1202101022011,224000E A λ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭α1=(1, 1, 1)T , 单位化η1= T----- 2 （ii ）A 的属于特征值为21λ=的特征向量()2002110002001,222000E A λ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭α2 = (-1, 1, 0)T , 单位化η2=0T⎫⎪⎭----- 2 （iii ）A 的属于特征值为33λ=-的特征向量()1402201042021,222000E A λ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭α3 = (1, 1, -2)T , 单位化 η3= T------- 2 故正交变换矩阵为P⎪= ⎪。

令x = py, 则f(x) = 3y 12 + y 22 – 3y 32--------------- 2 6．（5分）证明 因为10,1,2,,,nijj ai n ===∑故|A| = 0。

当R(A) < n-1时，A * = 0，结论显然成立；当R(A) = n-1时, AA * = |A|E = 0, A * 的列向量是0Ax =的解向量，而ξ = (1, 1, …,1)T 是0Ax =的解向量,且是基础解系,故存在常数k ，使得(A 11, A 12,…,A 1n ) = k ξ = k (1, 1, …,1)T ，故A 的第一列的代数余子式全相等。