七年级数学角的相关计算与证明(北师版)(专题)(含答案)

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余角、补角、对顶角的相关计算(北师版)(含答案)

余角、补角、对顶角的相关计算（北师版）一、单选题(共12道，每道8分)1.下列语句正确的是( )A.若两个角是对顶角，则这两个角相等B.若两个角相等，则这两个角是对顶角C.若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等D.以上判断都不对答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：对顶角相等2.若∠α是它的余角的2倍，则∠α=( )A.30°B.45°C.60°D.120°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：余角3.已知∠1与∠2互余，且∠1=35°，则∠2的补角的度数为( )A.145°B.115°C.135°D.125°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角4.如图，∠COD为平角，AO⊥OE，∠DOE=∠AOC，则∠DOE的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.75°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角5.如图，∠AOB=15°，∠AOC=90°，点B，O，D在同一直线上，则∠COD的度数为( )A.75°B.15°C.105°D.165°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角6.如图所示，∠AOC=∠BOD=90°，若∠AOB=150°，则∠OCD的度数为( )A.30°B.40°C.50°D.60°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：余角7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则下列结论错误的是( )A.∠A=∠BCDB.∠A与∠ACD互余C.∠A与∠BCD互余D.∠B=∠ACD答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：同角或等角的余角相等8.如图，OC⊥AB，∠COD=45°，则图中互为补角的角共有( )A.1对B.2对C.3对D.4对答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角9.如图所示，∠AOC=90°，∠COB=α，OD平分∠AOB，则∠COD的度数为( )A. B.C.45°-αD.90°-α答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线定义10.若∠α与∠β互余，∠β与∠γ互余，则∠α与∠γ的关系是( )A.互余B.互补C.相等D.不确定答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：同角的余角相等11.若∠A与∠B互补，∠B与∠C互余，则∠A与∠C的关系是( )A.互余B.互补C.∠A-∠C=90°D.∠A-∠C=180°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角12.若∠α和∠β互余，则下列式子：①180°-∠β；②∠α+2∠β；③90°+∠α；④2∠α+∠β．其中能表示∠β补角的有( )A.①③B.①④C.①③④D.①②③④答案：C解题思路：（3）易错点：不能利用余角和补角的定义进行表达．试题难度：三颗星知识点：补角。

角的度量与换算【北师大版】七年级数学(上册)-【完整版】

解：（1）原式=89°59′60″-36°12′15″ =53°47′45″.
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（2）32°17′53″+42°42′7″；（3）53°÷8. （2）原式=74°59′60″=75°. （3）原式=6°37′30″.
12.（1）将31.24°化为用度、分、秒表示的形式；解：（1）31.24°=31°+0.24°， 0.24°=0.24×60′=14.4′， 0.4′=0.4×60″=24″，∴31.24°=31°14′24″.
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10.下列计算错误的是（ C ） A. 1.9°=6840″ B. 90′=1.5° C. 32.15°=32°15′ D. 2700″=45′
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解：（1）2时15分时分针指向数字3，而时针从数字2开始转动的角度为15×0.5°=7.5°，所以钟表上2时15分时，时针与分针所成的锐角的度数为30°-7.5°=22.5°.
（2）若时针由2时30分走到2时55分，问分针转过多大的角度？
（2）分针转过的角度为25×6°=150°.
重难易错
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七年级数学三角形全等之倍长中线(一)(北师版)(专题)(含答案)

三角形全等之倍长中线（一）（北师版）（专题）一、单选题(共5道，每道20分)1.如图所示，△ABC中，AB=3，AC=7，AD为△ABC的中线，求AD的取值范围．先在图上走通思路后再填写空格内容：1．因为AD为△ABC的中线，考虑________________________________（辅助线叙述）；2．进而利用全等三角形的判定_________，证明_______≌_______；3．由全等可得________________；4．观察图形，2AD放在△_______中，利用三角形的三边关系，可得2<5．以上空缺处依次所填最恰当的是( )<5．A.①延长AD到F，使DF=AD；②SAS，△BDF，△CDA；③∠DBF=∠C④ABFB.①延长AD到F，使DF=AD，连接BF；②SAS，△BDF，△CDA；③FB=AC④ABFC.①延长AD到F，使DF=AD，过点B作BF∥AC；②SAS，△BDF，△CDA；③FB=AC④ABFD.①延长AD到F，使DF=AD，连接BF；②SSA，△BDF，△CDA；③FB=AC④ABF答案：B解题思路：如图，先在图上走通思路，AD为△ABC的中线，见中线，要倍长，延长AD到F，使DF=AD，连接BF；倍长之后证全等，因为AD为△ABC的中线，所以BD=CD，又因为DF=DA，∠BDF=∠CDA，利用SAS可以证得△BDF≌△CDA；然后根据全等三角形对应边相等来转移边，可得BF=CA=7；由于AF=2AD，因此可以把2AD放在△ABF中，利用三角形的三边关系，可得BF-AB结合已知条件可知7-3<2AD<7+3，所以2<5．故选B．<5．试题难度：三颗星知识点：三角形全等之倍长中线2.已知：如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，AD=5，AC=8，求边AB的取值范围．解：如图，____________________________．∴AE=2AD∵AD=5∴AE=10∵AD是BC边上的中线∴BD=CD在△CDE和△BDA中∴△CDE≌△BDA（SAS）∴____________________________在△ACE中，AC=8，∴10-8 ∴2 请你仔细观察下列序号所代表的内容：①延长AD到点E，使DE=AD，连接CE；②延长AD到点E，连接CE；③延长AD到点E，使DE=AD，连接CE，过点E作CE∥AB；④CE=BA，∠E=∠BAD；⑤CE=BA．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.①⑤B.②⑤C.③⑥D.②⑥答案：A解题思路：如图，AD为△ABC的中线，见中线，要倍长，延长AD到点E，使DE=AD，连接CE；倍长之后证全等，利用SAS可以证得△CDE≌△BDA；题中让求边AB的取值范围，所以根据全等三角形对应边相等来转移边，可得CE=BA；然后把CE放在△ACE中，利用三角形的三边关系，可得AE-AC所以2 故选A．试题难度：三颗星知识点：三角形全等之倍长中线3.已知，在△ABC中，AB=5，中线AD=7，则边AC的取值范围是( )A.1<AC<29B.9<AC<19C.5<AC<19D.4<AC<24答案：B解题思路：解：如图，延长AD到点E，使DE=AD，连接CE．∴AE=2AD∵AD是△ABC的中线∴BD=CD在△ABD和△ECD中∴△ABD≌△ECD（SAS）∴AB=EC在△ACE中，∵AB=5，AD=7∴14-5<AC<14+5∴9<AC<19故选B.试题难度：三颗星知识点：三角形全等之倍长中线4.已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE．证明：如图，____________________________．∵AE是△ABD的中线∴BE=ED在△ABE和△FDE中∴△ABE≌△FDE（SAS）∴____________________________∵CD=AB∴CD=FD∵∠ADF=∠ADB+∠1∠ADB=∠BAD∴∠ADF=∠BAD+∠B∵在△ABD中，∠ADB=180°-（∠BAD+∠B）∴∠ADC=180°-∠ADB=180°-[180°-（∠BAD+∠B）]=∠BAD+∠B∴∠ADF=∠ADC在△FAD和△CAD中∴△FAD≌△CAD（SAS）∴____________________________∴∠C=∠BAE请你仔细观察下列序号所代表的内容：①延长AE到F，连接DF，使得DF∥AB；②延长AE到F，使得EF=AE，连接DF；③延长AE到F，使得EF=AE，连接DF，过D作DF∥AB；④AB=FD，AE=EF；⑤AB=FD，∠BAE=∠F，∠B=∠1；⑥AB=FD；⑦AF=AC；⑧∠F=∠C．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.①⑤⑧B.③④⑧C.③⑥⑦D.②⑤⑧答案：D解题思路：如图，AE为△ABD的中线，见中线，要倍长，延长AE到F，使得EF=AE，连接DF；倍长之后证全等，利用SAS可以证得△ABE≌△FDE；根据全等，可以转移边、转移角，结合后面的步骤，可知用到了等量代换，此处应该由全等得到AB=FD，∠BAE=∠F，∠B=∠1；然后通过转移角，证得∠ADF=∠ADC，进而由SAS证明△FAD≌△CAD，由全等可得∠F=∠C，结合前面由第一次全等证得的∠BAE=∠F，等量代换得到∠C=∠BAE．故选D．试题难度：三颗星知识点：三角形全等之倍长中线5.已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，连接EF．某同学通过添加辅助线：延长AD到点M，使DM=AD，连接BM．则下列结论错误的是( )A.可以利用SAS证明△ADC≌△MDBB.AC∥BMC.可以利用ASA证明△EAF≌△ABMD.EF=2AD答案：C解题思路：见中线要倍长，AD是BC边上中线，延长AD到M，使DM=DA，然后可以证明△ADC≌△MDB（SAS），由全等转移边、转移角，得到AC=MB，∠3=∠4，由∠3=∠4可知BM∥AC，再结合△ABE，△ACF都是等腰直角三角形继续转移条件，得到△EAF≌△ABM（SAS），进而得到EF=AM=2AD．解：如图，∵AD是△ABC的中线∴BD=CD在△ADC和△MDB中∴△ADC≌△MDB（SAS）∴AC=MB，∠3=∠4∴BM∥AC∴∠ABM+∠BAC=180°∵△ABE，△ACF都是等腰直角三角形∴AB=AE，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90°∴∠EAF+∠BAC=180°∴AF=BM，∠ABM=∠EAF在△EAF和△ABM中∴△EAF≌△ABM（SAS）∴EF=AM∵AD=MD∴EF=2AD故选C．试题难度：三颗星知识点：三角形全等之倍长中线。

北师大版七年级数学上册试题一课一练《角》同步练习(含答案)

4.3 《角》习题1一、填空题1.图书馆在餐厅的北偏东40°方向，那么餐厅在图书馆的________方向．2.若一个角的补角加上10º后等于这个角的4倍，则这个角的度数为____．3.过点O 引三条射线OA 、OB 、OC ，使2AOC AOB ∠=∠，如果32AOB ∠=︒，那么BOC ∠的度数是_______．二、选择题1．如图，能用∠1、∠ABC 、∠B 三种方法表示同一个角的是( )A ．B ．C ．D ．2．如图，甲从A 点出发向北偏东70°方向走到点B ，乙从点A 出发向南偏西15°方向走到点C ，则∠BAC 的度数是( )A ．85°B ．105°C ．125°D ．160°3．将一个直角分成1:2:3的三个角，那么这三个角中，最大的角与最小的角相差( )A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°4．如图，射线OB 和OD 分别为AOC ∠和COE ∠的角平分线，45,20AOB DOE ∠=︒∠=︒，则AOE ∠=( )A ．110°B ．120°C ．130°D ．140°5．2019年4月12日我军在南海举行了建国以来海上最大的军事演习，位于点O 处的军演指挥部观测到军舰A 位于点O 的北偏东70°方向(如图)，同时观测到军舰B 位于点O 处的南偏西15°方向，那么∠AOB 的大小是( )A ．85°B ．105°C ．115°D ．125°6．已知180αβ∠+∠=︒，且αβ∠>∠，那么β∠的余角一定是( )A ．αβ∠-∠B ．90α︒-∠C ．90α∠-︒D ．90β∠-︒7．如图所示，OC 是AOB ∠的平分线，OD 是BOC ∠的平分线，那么下列各式中正确的是( )A ．23AOD AOB ∠=∠ B ．13BOD AOB =∠∠ C ．23BOC AOB ∠=∠ D ．12∠=∠COD BOC 8．一个角的余角比它的补角的一半少30，则这个角的度数为( )A ．20︒B ．40︒C ．60︒D ．80︒9．如图，已知CO ⊥AB 于点O ，∠AOD =5∠DOB ＋6°，则∠COD 的度数( )A．58°B．59°C．60°D．61°10．下列语句中，正确的个数是( )①直线AB和直线BA是两条直线；②射线AB和射线BA是两条射线；③若∠1+∠2+∠3＝90°，则∠1、∠2、∠3互余；④一个角的余角比这个角的补角小；⑤一条射线就是一个周角；⑥两点之间，线段最短．A．1个B．2个C．3个D．4个11．将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α与∠β互余的是( )A．B．C．D．12．如图，∠AOC和∠BOC互补，∠AOB＝α，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠MON的度数是( )A．1802α-B．12a C．1902a+D．1902a-13．在同一平面内，已知∠AOB＝70°，∠BOC＝20°，如果OP是∠AOC的平分线，则∠BOP的度数为( )A．25°B．25°或35°C．35°D．25°或45°14．如图，已知点A，O，B在同一直线上，∠2是锐角，则∠2的余角是( )A ．1122∠-∠B ．()1123∠+∠C ．()1122∠-∠ D ．131222∠-∠三、解答题1.用一副三角尺画角． (1)135AOB ∠=︒． (2)150BOC ∠=︒．2.计算：(1)2027'3554'︒+︒； (2)90431836"'︒-°.3.完成推理填空：如图，直线AB 、CD 相交于O ，∠EOC ＝90°，OF 是∠AOE 的角平分线，∠COF ＝34°，求∠BOD 的度数．其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤．解：∵∠EOC ＝90°，∠COF ＝34°( )∴∠EOF ＝ °又∵OF 是∠AOE 的角平分线( )∴∠AOF ＝＝56°( )∴∠AOC ＝∠ —∠ ＝ °∴∠BOD＝∠AOC＝°( )4.如图，已知直线AB和CD相交于点O,∠COE= 90︒， OF平分∠AOE, ∠COF=28︒．求∠AOC 的度数．5.请仔细观察如图所示的折纸过程，然后回答下列问题：(1)2∠的度数为__________；∠有何数量关系：______；(2)1∠与3∠有何数量关系：__________；(3)1∠与AEC6.如图，已知直线和直线外三点A，B，C，按下列要求画图：(1)画线段AB(2)画出射线BC(3)以A 为顶点画出表示东西南北的十字线，再画出表示北偏西30的射线AD (注：D 为射线与直线l 的焦点，标注字母D 与30角)7.如图，OM ，ON 分别是BOC ∠和AOC ∠的平分线，且84AOB ∠=︒．(1)当OC 静止时，求MON ∠的度数；(2)当OC 在AOB ∠内转动时，MON ∠的大小是否会发生变化，简单说明理由．8.已知:AOB ∠和COD ∠是直角．(1)如图，当射线OB 在COD ∠内部时，请探究AOD ∠和BOC ∠之间的关系；(2)如图2，当射线,OA 射线OB 都在COD ∠外部时，过点О作射线OE ，射线OF ，满足13BOE BOC ∠=∠，23DOF AOD ∠=∠，求EOF ∠的度数．(3)如图3，在(2)的条件下，在平面内是否存在射线OG ，使得:2:3GOF GOE ∠∠=，若不存在，请说明理由，若存在，求出GOF ∠的度数．答案一、填空题1.南偏西40°(或西偏南50°).2.38°．3.32︒或96︒二、选择题1．A ． 2．C ．3．C ．4．C ．5．D.6．C ．7．D ．8．C ．9．D.10．C ．11．C ．12．B ．13．D ．14．C ．三、解答题1.(1)如图，∠AOB 为所求；(2)如图，∠BOC 为所求；2.(1)2027'3554'5581'5621'+=︒=°°°(2)904318'36"8959'60"4318'36"464124"︒-︒=︒-︒=︒′3.解：∵∠EOC=90°∠COF=34° (已知)∴∠EOF=90°-34°=56°，∵OF 是∠AOE 的角平分线∴∠AOF ＝∠EOF ＝56°(角平分线定义)∴∠AOC=∠AOF-∠COF=22°，∴∠BOD=∠AOC=22° (同角的余角相等)，4.解：∵∠EOF=∠COE-∠COF=90°-28°=62°．又∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠EOF=62°，∴∠AOC=∠AOF-∠COF=62°-28°=34°．5.解：(1)根据折叠的过程可知：∠2=∠1+∠3，∵∠1+∠2+∠3=∠BEC，B、E、C三点共线∴∠2=180°÷2=90°．故答案是：90°．(2)∵∠1+∠3=∠2，∴∠1+∠3=90°．故答案是：∠1+∠3=90°．(3)∵B、E、C三点共线，∴∠1+∠AEC=180°，故答案是：∠1+∠AEC=180°．6.解：(1)线段AB作图如下，(2)射线BC作图如下，(3)方向角作图如下，7.解：(1) OM ，ON 分别是BOC ∠和AOC ∠的平分线，11,,22MOC BOC NOC AOC ∴∠=∠∠=∠ ()11,22MON MOC NOC BOC AOC AOB ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠ 84AOB ∠=︒，18442.2MON ∴∠=⨯︒=︒ (2)MON ∠的大小不会发生变化，理由如下：OM ，ON 分别是BOC ∠和AOC ∠的平分线，11,,22MOC BOC NOC AOC ∴∠=∠∠=∠()11,22MON MOC NOC BOC AOC AOB ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠ 84AOB ∠=︒，18442.2MON ∴∠=⨯︒=︒ 所以只要∠AOB 的大小不变，无论OC 在∠AOB 内怎样转动，∠MON 的值都不会变．8.解：(1)180AOD BOC ∠+∠=︒ ，证明：AOB ∠和COD ∠是直角，90AOB COD ∴∠=∠=︒，BOD BOC COD ∠+∠=∠，90BOD BOC ∴∠=︒-∠，同理：90AOC BOC ∠=︒-∠，9090180AOD AOB BOD BOC BOC ∴∠=∠+∠=︒+︒-∠=-∠，180AOD BOC ∴∠+∠=︒；(2)解：设BOE α∠=，则3BOC α∠=，BOE EOC BOC ∠+∠=∠，2EOC BOC BOE α∴∠=∠-∠=，360AOD COD BOC AOB ∠+∠+∠+∠=︒，360AOD COD BOC AOB ∴∠=︒-∠-∠-∠360903901803a α=︒-︒--︒=︒-，23DOF AOD ∠=∠， 21803103(22DOF a a ∴∠=︒-=︒-）， (1118036033AOF AOD a a ∴∠=∠=-=︒-）， 9060150EOF BOE AOB AOF a α∴∠=∠+∠+∠=+︒+︒-=︒，答：EOF ∠的度数是150；(3)①如图，当射线OG 在EOF ∠内部时，:2:3GOF GOE ∠∠=，222150602355GOF EOF EOF ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒+，②如图，当射线OG 在EOF ∠外部时，:2:3GOF GOE ∠∠=，()()222352360360150210845GOF EOF ︒∴∠=∠=+-︒-︒=⨯︒=︒，综上所述，GOF ∠的度数是60︒或84︒．。

北师大版七年级下册三角形全等的证明练习题以及答案

最新北师大版七年级下册三角形全等的证明练习题以及答案最新七年级下册三角形全等的证明1、已知：如图，四边形ABCD中，AC平分角BAD，CE垂直AB 于E，且角B+角D=180度，求证：AE=AD+BEA B DCE 122、已知，如图，AB=CD，DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，DF=BE。

求证：AF=CE。

F EA CDB3、已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。

求证：BE ＝CD 。

AEDCB4、如图，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题。

① AB=AC ② BD=CD ③ BE=CF5、如图，△ABC中，AB=AC，过A作GE∥BC，角平分线BD、CF交于点H，它们的延长线分别交GE于E、G，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。

E6、如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在ＡＢ上，点Ｅ在ＢＣ上，ＢＤ＝ＢＥ。

（１）请你再添加一个条件，使得△ＢＥＡ≌△ＢＤＣ，并给出证明。

你添加的条件是：________ ___（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形：______________（不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程）7、已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD，若E是AC上一点。

求证：EB=ED。

DA E CB8、已知：如图，AB、CD交于O点，CE//DF，CE=DF，AE=BF。

求证：∠ACE=∠BDF。

AB CDEFO9、已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，E是AD上一点，BE的延长线交AC于F，若BD=AD，DE=DC。

求证：BF⊥AC。

AE FDB C10、. 已知：如图，△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，∠BAC=∠B ＇A ＇C ＇，∠B=∠B ＇，AD 、A ＇D ＇分别是∠BAC 、∠B ＇A ＇C ＇的平分线，且AD=A ＇D ＇。

与角度有关的计算问题(35题提分练)(原卷版)—七年级数学上册(北师大版2024)

与角度有关的计算问题（解答题35题）（基础题＆提升题＆压轴题）题型一基础题1．（2023秋•同安区期末）如图，点O在直线AB上，∠BOC＝20°，∠COD＝90°，OE是∠BOD的角平分线，求∠COE的度数．2．（2023秋•吉安期末）如图，已知∠1：∠3：∠4＝1：2：4，∠2＝80°，求∠1、∠3、∠4的度数．3．（2023秋•西峡县期末）如图，∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠DOE．试求∠COE 的度数．4．（2023秋•天心区期末）如图，O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠AOC＝60°，∠BOD＝3∠DOE，求∠DOE的度数．5．（2023秋•泉港区期末）如图，∠COD＝45°，∠BOD=13∠COD，OC是∠AOB的平分线，求∠AOD的度数．6．（2023秋•泸县校级期末）如图，OE是∠COA的平分线，∠AOB＝∠COD．（1）若∠AOE＝50°，∠COD＝18°，求∠BOC的度数；（2）比较∠AOC和∠BOD7．（2023秋•南沙区期末）如图，将一副三角尺叠放在一起．三角尺ABC的三个角是45°，45°，90°，三角尺ADE的三个角是30°，60°，90°．（1）若∠CAE＝58°，求∠BAE的度数；（2）若∠CAE＝2∠BAD，求∠CAD的度数．8．（2023秋•大荔县期末）将一副直角三角板ABC和BDE的一个顶点B重合在一起，按如图所示方式摆放，其中∠ACB＝∠DBE＝90°，∠ABC＝30°，三角板ABC在∠DBE内可任意转动．（1）以点B为顶点的所有锐角有个．（2）求以点B9．（2023秋•九龙坡区校级期末）如图，∠AOB：∠BOC＝1：4，OM平分∠AOB，∠BON：∠NOC＝3：1，若∠MON＝91°．（1）∠AOB ∠NOC（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）求∠AOC的度数．10．（2023秋•娄底期末）如图，点O在直线AB上，∠COD＝60°，∠AOE＝2∠DOE．（1）若∠BOD＝60°，求∠COE的度数；（2）试猜想∠BOD和∠COE的数量关系，并说明理由．11．（2023秋•瑶海区校级期末）已知点O为直线AB上一点，∠MON＝90°，在∠MON内部作射线OC，且OC恰好平分∠MOB．（1）若∠CON＝20°，求∠AOM的度数；（2）若∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数．12．（2023秋•高安市期末）如图，已知∠AOB＝80°，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线．（1）求∠AOD的度数；（2）若∠COE=14∠COB，求∠的度数．题型二提升题13．（2023秋•福田区校级期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC．（1）求∠DOE的度数；（2）如果∠COD＝65°，求∠AOE的度数；（3）如果∠COD：∠COE＝3：2，求∠AOE的度数．14．（2023秋•慈溪市期末）如图，直角三角板DOE的直角顶点O在直线AB上，OD平分∠AOF．（1）比较∠EOF和∠EOB的大小，并说明理由；（2）若OF平分∠AOE，求∠的度数．15．（2023秋•武昌区期末）已知∠AOB＝50°，∠COD＝20°．（1）如图1，若∠AOD＝80°，∠COD在OB的左侧，则∠BOC＝；（2）如图2，OP平分∠AOD，OQ平分∠BOC，求∠POQ．16．（2023秋•无为市期末）利用折纸可以作出角平分线，如图1折叠，则OC为∠AOB的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A落在点A'，点B落在点B'，连接OA′．（1）如图2，若点B'恰好落在OA′上，且∠AOC＝32°，则∠BOD＝；（2）如图3，当点B'在∠COA'的内部时，连接OB′，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，求∠A'OB'的度数．17．（2023秋•彭水县期末）已知∠AOB内部有三条射线OD，OC，OE且在同一个平面内，∠AOC＝2∠BOC，射线OD始终在射线OE的上方，∠AOB＝108°，∠DOE＝36°．（1）如图1，当OE平分∠BOC时，求∠AOD的度数；（2）如图2，若∠AOD＝5∠COE时，求∠BOE的度数．18．（2023秋•沙坪坝区校级期末）如图1，已知∠AOC＝160°，OB是∠AOC内的射线，且∠AOB=3 5∠BOC，射线OD、OE将∠AOC分割，使得∠AOD：∠BOD：∠COE＝1：2：3．（1）求∠DOE．（2）如图2，作∠BOD，∠EOC的平分线OM，ON．求∠MON的值．19．（2023秋•渝北区期末）OC ，OD ，OE 在∠AOB 内，∠AOC ＝2∠BOC ，∠AOB ＝108°，∠DOE ＝66°．（1）如图1，当OE 为∠BOC 的角平分线时，求∠AOD 的度数；（2）如图2，当∠AOD =53∠COE ，求∠BOE 的度数．20．（2023秋•汉中期末）如图，已知∠AOB ＝120°，从∠AOB 的顶点O 引出一条射线OC ，射线OC 在∠AOB 的内部，将射线OC 绕点O 逆时针旋转到OD ，且∠COD ＝60°．（1）如图①，若∠AOD ＝90°，试判断∠AOC 与∠BOD 之间的大小关系并说明理由；（2）如图②，作射线OE ，射线OE 为∠AOD 的平分线，设∠AOC ＝α，当0°＜α＜60°时，若射线OC 恰好平分∠AOE ，求∠BOD 的度数．21．（2023秋•宿豫区期末）已知，将一副三角板的直角顶点O按如图所式叠放在一起．（1）若∠BOD＝55°，则∠BOC＝，∠BOC ∠AOD（填＞、＜、＝）；（2）①若∠BOD＝50°，则∠AOC＝；若∠AOC＝120°，则∠BOD＝；②猜想∠BOD与∠AOC之间的数量关系，并说明理由．22．（2023秋•庄河市期末）如图，点O为直线上AB一点，∠COD＝90°，∠BOD＝18°，若OE是∠BOC 的平分线，（1）求∠BOE的度数；（2）若点F是平面内一点，连接射线OF，且∠AOF=13∠AOC，求∠COF的度数．23．（2023秋•黄陂区校级期末）将三角板COD的直角顶点O放置在直线AB上．（1）如图，且∠AOC＝40°射线OE平分∠BOC，则∠BOE的大小为；（2）在（1）的条件下，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；（3）若将三角板COD绕点O旋转，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠BOD．请写出∠COD与∠EOF 度数的等量关系：　．题型二压轴题24．（2023秋•斗门区期末）如图①，OC是∠AOE内部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．（1）若∠AOE＝140°，∠COD＝30°，求∠BOC＝；（2）∠AOE与∠BOD的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由．（3）如图②，如果OC是∠AOE外部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．那么（2）中∠AOE与∠BOD的大小关系还成立吗？请说明理由．25．（2023秋•海陵区校级期末）已知∠AOB＝2∠COD＝140°，OE平分∠AOD．（1）如图①，若∠COE＝10°，求∠AOC的度数；（2）将∠COD绕顶点O按逆时针方向旋转至如图②的位置，∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？请说明理由；（3）将∠COD绕顶点O按逆时针方向旋转至如图③的位置，（2）中的关系是否成立？请说明理由．26．（2023秋•思明区校级期末）如图，点M，O，N在同一条直线上，将一直角三角板的60°锐角顶点放在点O处，一边OA在射线OM上，另一边OB在直线MN的上方．OC平分∠BON，OD平分∠CON．（1）求∠BOD的度数；（2）把三角板绕点O沿逆时针方向旋转，当OB转到射线OM上时停止，若在旋转过程中，∠AOM＝（x﹣120）°，同时在∠BOC内部有一条射线OE，使得∠BOE=(34x―90)°，试探究在旋转过程中，射线OE始终是哪个角的平分线？27．（2023秋•宝安区期末）将一副三角板如图1放置（∠AOB＝90°，∠A＝45°，∠OCD＝90°，∠COD ＝30°），在∠BOD、∠AOC（∠BOD≤180°、∠AOC≤180°）内作射线OM、ON，且∠MOB＝2∠DOM，∠NOA＝2∠NOC，将三角板OCD绕着点O顺时针旋转．（1）如图1，当点O、A、C在一条直线上时，∠MON＝；（2）如图2，若旋转角为α（0°＜α＜90°），∠MON的度数是否会发生改变？若不变，求其值；若变化，说明理由．（3）如图3，当三角板OCD旋转到∠AOB内部时，求∠MON的值．28．（2024•两江新区校级开学）将一副三角板的两个锐角顶点重合，∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD（1）如图①所示，当OB与OC重合时，则∠MON的大小为；（2）当∠COD绕着点O旋转至如图②所示，当∠BOC＝14°，则∠MON的大小为多少？（3）当∠COD绕着点O旋转至如图③所示，当∠BOC＝α时，求∠MON的大小．29．（2023秋•于洪区期末）【提出问题】已知点O是直线AB上一点，∠COD＝90°，射线OE是∠AOD的平分线．（1）如图1，若∠BOD＝110°，求∠COE的度数．请补充完成下列解答过程：解：∵∠AOB＝180°，∠BOD＝110°，∴∠AOD＝　°．∵∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠COD﹣∠AOD＝ °．∵OE是∠AOD的平分线，∴∠AOE＝ ∠AOD＝ °．∴∠COE＝∠AOC+ ＝　°．【类比分析】（2）如图2，设∠COE＝α，求∠BOD的度数（用含α的代数式表示）．【变式探索】（3）如图3，若3∠COE﹣2∠BOD＝78°，求∠COE的度数．30．（2023秋•渑池县期末）如图．已知∠MON＝140°，∠AOC与∠BOC互余，OC平分∠MOB．（1）在图①中．若∠AOC＝40°，则∠BOC＝ °．∠NOB＝ °；（2）在图①中，设∠AOC＝α，∠NOB＝β，请探究α与β之间的数量关系（必须写出推理的主要过程，但每一步后面不必写出理由）；（3）在图①中，当∠AOB绕着点O顺时针转动到如图②的位置时，（2）中α与β之间的数量关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出此时α与β之间的数量关系．31．（2023秋•青岛期末）如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，求∠MON的度数是多少？（2）如图2，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，尝试发现∠MON与α的数量关系．（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？直接写出结论即可．32．（2024春•高青县期末）【实践活动】如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放．（1）∠ACE与∠BCD的大小关系是∠ACE ∠BCD．（填“＞”“＝”或“＜”）（2）∠ACB与∠DCE之间的数量关系是．【拓展探究】（3）如图2，若∠ACD≠∠BCE，且∠ACD+∠BCE＝180°，探索∠ACB与∠DCE之间的数量关系，并说明理由．33．（2023秋•和平区校级期末）已知∠AOB＝120°，从∠AOB的顶点O引出一条射线OC，射线OC在∠AOB的内部，将射线OC绕点O逆时针旋转60°形成∠COD．（1）如图1，若∠AOD＝90°，比较∠AOC和∠BOD的大小，并说明理由；（2）作射线OE，射线OE为∠AOD的平分线，设∠AOC＝α．①如图2，当0°＜α＜60°，若射线OC恰好平分∠AOE，求∠BOD的度数；②当α≠60°时，请探究∠EOC与∠BOD之间的数量关系．34．（2023秋•山西期末）综合与探究特例感知：（1）如图1．线段AB＝16cm，C为线段AB上的一个动点，点D，E分别是AC，BC的中点．①若AC＝4cm，则线段DE的长为 cm．②设AC＝a cm，则线段DE的长为 cm．知识迁移：（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若∠AOB＝120°，OC是∠AOB内部的一条射线，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，求∠MON的度数．拓展探究：（3）已知∠COD在∠AOB内的位置如图3所示，∠AOB＝α，∠COD＝30°，且∠DOM＝2∠AOM，∠CON＝2∠BON，求∠MON的度数．（用含α的代数式表示）35．（2023秋•青羊区校级期末）如图所示，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图1，若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数．（2）在图1中，若∠AOC＝α，直接写出∠DOE的度数：　（用含α的代数式表示）．（3）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针开始旋转．①当∠COD旋转至如图2的位置时，请探究∠AOD与∠BOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；②过点O的一条射线OF，使得OC恰好平分∠BOF，在图1和图2中分别探究∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，请直接写出结论．。

角的相关计算(一)(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：看到平行想什么？问题2：看到垂直想什么？问题3：看到外角想什么？问题4：看到内角想什么？角的相关计算（一）（北师版）一、单选题(共8道，每道12分)1.如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD平分∠BAC，则∠ADC的度数为( )A.80°B.107°C.73°D.100°答案：B解题思路：如图，结合已知条件，∠ADC可以看作△ACD的内角，也可以看作△ABD的一个外角，因此有两种思路．第一种思路：已知在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，根据三角形的内角和等于180°，得∠BAC=80°，由AD平分∠BAC，根据角平分线的定义，得．所以，在△ACD中，根据三角形的内角和等于180°，得∠ADC=107°．第二种思路：已知在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，根据三角形的内角和等于180°，得∠BAC=80°，由AD平分∠BAC，根据角平分线的定义，得．∠ADC是△ABD的一个外角，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得∠ADC=∠B+∠1=107°．故选B．试题难度：三颗星知识点：三角形的外角2.如图，直线BD∥EF，AE交BD于点C，若∠B=30°，∠A=75°，则∠E的度数为( )A.60°B.75°C.90°D.105°答案：D解题思路：如图，由BD∥EF，根据两直线平行，同位角相等，得∠E=∠ACD，这样就把求∠E转化为求∠ACD．而∠ACD可以看作△ABC的外角，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得∠ACD=∠A+∠B=105°．所以∠E=105°．故选D．试题难度：三颗星知识点：三角形的外角3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AC边上一点，BE交AD于点F．∠ABC=45°，∠BAC=75°，∠BFD=60°，则∠BEC的度数为( )A.85°B.105°C.100°D.90°答案：D解题思路：如图，结合已知条件，∠BEC可以看作△BCE的内角，接下来的目标是求∠1和∠C．在△ABC中，由∠ABC=45°，∠BAC=75°，根据三角形的内角和等于180°，得∠C=60°；由AD⊥BC于点D，根据垂直的定义，得∠ADB=90°，再根据直角三角形两锐角互余，可得∠1=30°；所以，在△BCE中，根据三角形的内角和等于180°，得∠BEC=90°．故选D．试题难度：三颗星知识点：垂直的定义4.如图，在直角三角形纸片ABC中，∠A=90°，剪去直角后，得到一个四边形GBCH，则∠1+∠2=( )A.270°B.240°C.180°D.90°答案：A解题思路：如图，∠1可以看作△AGH的一个外角，∠2也可以看作△AGH的一个外角，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得∠1=∠A+∠AHG，∠2=∠A+∠AGH．那么∠1+∠2=∠A+∠AHG+∠A+∠AGH=180°+∠AHG+∠AGH．在Rt△AGH中，根据直角三角形两锐角互余，得∠AHG+∠AGH=90°，所以∠1+∠2=180°+90°=270°．故选A．试题难度：三颗星知识点：三角形的外角5.如图，AB∥CD，AE平分∠CAB，CE平分∠ACD，则∠E=( )A.60°B.75°C.90°D.105°答案：C解题思路：如图，∠E可以看作△ACE的内角，只需求出∠1+∠2的度数即可．由AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，得∠CAB+∠ACD=180°；又AE平分∠CAB，CE平分∠ACD，根据角平分线的定义，得∠1=∠ACD，∠2=∠CAB，所以∠1+∠2=(∠ACD+∠CAB)=90°．在△ACE中，根据三角形的内角和等于180°，得∠E=90°．故选C．试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理6.如图，在△ABC中，∠B=∠C，DE⊥BC，EF⊥AC，垂足分别为E，F，若∠ADE=158°，则∠FEC 的度数为( )A.22°B.32°C.44°D.58°答案：A解题思路：如图，从已知出发，由∠ADE=158°，得∠1=22°．由DE⊥BC，EF⊥AC，根据垂直的定义，∠DEB=∠EFC=90°，那么∠B+∠1=90°，∠C+∠FEC=90°，又因为∠B=∠C，根据等角的余角相等，得∠FEC=∠1=22°．故选A．试题难度：三颗星知识点：垂直的定义7.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．若∠A=70°，则∠D的度数为( )A.110°B.140°C.125°D.135°答案：C解题思路：如图，设∠DBC=α，∠DCB=β，因为BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，根据角平分线的定义，∠ABC=2∠DBC=2α，∠ACB=2∠DCB=2β．在△ABC中，根据三角形的内角和等于180°，得∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2α-2β，那么2α+2β=180°-∠A．在△DBC中，根据三角形的内角和等于180°，得∠D=180°-∠DBC-∠DCB=180°-α-β，那么α+β=180°-∠D．故选C．试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF⊥AD于点P，交BC的延长线于点M．若∠ACB=70°，∠B=40°，则∠M的度数为( )A.20°B.15°C.35°D.25°答案：B解题思路：如图，∠M可以放在直角三角形DPM中，利用直角三角形两锐角互余计算，那么需要求∠2的度数，而∠2又可以看作△ABD的一个外角，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得∠2=∠B+∠1，因此问题转化为求∠1的度数．在△ABC中，根据三角形的内角和等于180°，得∠BAC=180°-∠B-∠ACB=70°．又AD平分∠BAC，根据角平分线的定义，得∠1=∠BAC=35°，从而可以求出∠2=75°，∠M=15°．故选B．试题难度：三颗星知识点：直角三角形两锐角互余。

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故选B．
试题难度：三颗星知识点：平行线的性质
7.如图，AB∥CD，EF交AB于点G，交CD于点H，HP平分∠GHD，交AB于点P，∠AGE=50°，求∠PHD的度数．
解：如图，___________________________________
∴∠GHD=180°-∠GHC
=180°-50°
=130°（平角的定义）
因为a∥b，根据两直线平行，同位角相等，得∠AEF=∠ADC=70°，
再根据对顶角相等，得∠3=∠AEF=70°．
故选C．
试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理
4.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AC边上一点，BE交AD于点F．∠ABC=45°，∠BAC=75°，∠BFD=60°，则∠BEC的度数为( )
由AB∥CD，利用两直线平行，内错角相等，得∠A=∠ACD；
又∠A=∠D，等量代换，得∠ACD=∠D；
利用内错角相等，两直线平行，得AC∥DE．
第三步：规划过程；
根据分析，过程主要分为三个书写模块：
①利用两直线平行，内错角相等，得到∠A=∠ACD；
②结合已知∠A=∠D，等量代换得∠ACD=∠D；
③最后利用内错角相等，两直线平行，得到AC∥DE．
C.47° D.40°
答案：A
解题思路：
如图，
看到垂直想到同角或等角的余角相等、直角三角形两锐角互余．
由∠ADC=90°，BE⊥AC，得∠FDB=∠FEC=90°，
根据直角三角形两锐角互余，得∠1+∠C=90°，∠2+∠B=90°，
由对顶角相等，所以∠1=∠2，根据等角的余角相等，得∠B=∠C=43°．
角的相关计算与证明（北师版）（专题）
一、单选题(共8道，每道10分)
1.如图，直线AB∥CD，BE交CD于点F，若∠B=125°，∠D=45°，则∠E=( )
A.70° B.80°
C.90° D.100°
答案：B
解题思路：
如Hale Waihona Puke ，从已知出发，由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，
得∠BFD=∠B=125°；而∠BFD是△FDE的一个外角，
可得∠1=90°-∠BFD=90°-60°=30°；
在△BCE中，∠C=60°，∠1=30°，
根据三角形的内角和等于180°，得∠BEC=90°．
故选D．
试题难度：三颗星知识点：垂直的定义
5.如图，AB∥EF∥CD，若∠F=130°，∠C=65°，则∠CBF的度数为( )
A.15° B.32.5°
C.25° D.50°
故选A．
试题难度：三颗星知识点：垂直的定义
3.如图，将Rt△ABC的直角顶点C放在直线a上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为( )
A.50° B.60°
C.70° D.80°
答案：C
解题思路：
如图，
在△ACD中，由三角形的内角和等于180°，
得∠ADC=180°-∠1-∠2=70°．
②利用平角的定义，得到∠GHD=130°；
③最后利用角平分线的定义得到∠PHD的度数．
故选D．
试题难度：三颗星知识点：平行线的性质
∴∠GHC=∠AGE（同位角相等，两直线平行）
∵∠AGE=50°（已知）
∴∠GHC=50°（等量代换）
D.
∵AB∥CD（已知）
∴∠GHC=∠AGE（两直线平行，同位角相等）
∵∠AGE=50°（已知）
∴∠GHC=50°（等量代换）
答案：D
解题思路：
第一步：读题标注，如图，
第二步：走通思路，从条件出发，从条件出发，看到平行想同位角、内错角和同旁内角．
根据三角形的外角等于
与它不相邻的两个内角的和，得∠BFD=∠E+∠D，
所以∠E=∠BFD-∠D=125°-45°=80°．
故选B．
试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理
2.如图，在Rt△ACD中，∠ADC=90°，BE⊥AC于点E，交CD于点F．若∠C=43°，则∠B的度数为( )
A.43° B.45°
A.
∴∠ACD=∠D（等量代换）
∴AC∥DE（两直线平行，内错角相等）
B.
∴∠ACD=∠D（等量代换）
∴AC∥DE（内错角相等，两直线平行）
C.
∴AC∥DE（同位角相等，两直线平行）
D.
∴∠ACD=∠D（等量代换）
∴AC∥DE（同位角相等，两直线平行）
答案：B
解题思路：
第一步：读题标注，如图，
第二步：走通思路，从条件出发，看到平行想同位角、内错角和同旁内角．
故选A．
试题难度：三颗星知识点：平行线的性质
6.已知：如图，AB∥CD，∠A=∠D．
求证：AC∥DE．
证明：如图，
∵AB∥CD（已知）
∴∠A=∠ACD（两直线平行，内错角相等）
∵∠A=∠D（已知）
___________________________________
横线处应填写的过程最恰当的是( )
答案：A
解题思路：
如图，
看到平行想到同位角、内错角和同旁内角．
由AB∥EF，利用两直线平行，同旁内角互补，
得∠F+∠ABF=180°，则∠ABF=180°-∠F=50°．
由AB∥CD，利用两直线平行，内错角相等，
得∠ABC=∠C，所以∠ABC=65°．
故∠CBF=∠ABC-∠ABF=65°-50°=15°．
∵PH平分∠GHD（已知）
∴∠PHD= ∠GHD
= ×130°
=65°（角平分线的定义）
横线处应填写的过程最恰当的是( )
A.
∵AB∥CD（已知）
∴∠GHC=∠AGE（两直线平行，同位角相等）
∴∠GHC=50°（等量代换）
B.
∵AB∥CD（已知）
∴∠GHC=50°（两直线平行，同位角相等）
C.
∵AB∥CD（已知）
由AB∥CD，利用两直线平行，同位角相等，得∠GHC=∠AGE，
又∠AGE=50°，等量代换，得∠GHC=50°；
利用平角的定义，得∠GHD=130°，
因为PH平分∠GHD，
利用角平分线的定义，得∠PHD= ∠GHD=65°．
第三步：规划过程；
根据分析，过程主要分为三个书写模块：
①由AB∥CD，利用两直线平行，同位角相等，得到∠GHC=∠AGE=50°；
A.85° B.105°
C.100° D.90°
答案：D
解题思路：
如图，
结合已知条件，∠BEC可以看作△BCE的内角，
接下来的目标是求∠1和∠C．
在△ABC中，由∠ABC=45°，∠BAC=75°，
根据三角形的内角和等于180°，得∠C=60°；
因为AD⊥BC，根据垂直的定义，得∠ADB=90°；
在Rt△BDF中，根据直角三角形两锐角互余，