株洲市2019年中考数学试题及答案
2019年株洲市中考数学试卷及答案分析(Word版)
圆柱B圆椎C球D绝密★启用前株洲市2019年初中毕业学业考试数学试题及解答时量：120分钟 满分：100分注意事项：1、答题前，请按要求在答题卡上填写自己的姓名和准考证号。
2、答题时，切记答案要填写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效。
3、考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师。
选择题：答案为A D D B C C B C一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共8小题，每小题3分，共24分） 1、下列各数中，绝对值最大的数是A 、－3B 、－2C 、0D 、1 2、x有意义A 、－2B 、0C 、2D 、4 解：本题变相考二次根式有意义的条件 3、下列说法错误的是 A 、必然事件的概率为1B 、数据1、2、2、3的平均数是2C 、数据5、2、－3、0的极差是8D 、如果某种游戏活动的中奖率为40%，那么参加这种活动10次必有4次中奖 4、已知反比例函数ky x=的图象经过点（2,3），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是 A 、（－6,1） B 、（1,6） C 、（2，－3） D 、（3，－2） 解：本题主要考查反比例函数三种表达中的xy k =5、下列几何何中，有一个几何体的主视图与俯视图形状不一样，这个几何体是6、一元一次不等式组21050x x +>⎧⎨-≤⎩的解集中，整数解的个数是A 、4B 、5C 、6D 、7解：分析本题主要考查学生解一元一次不等式的能力及找特解的能力。
7、已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四 A第12题图第11题图种选法，其中错误的是A 、选①②B 、选②③C 、选①③D 、选②④ 解：分析本题主要考查学生由平行四边形判定要正方形的判定方法 答案：选B8、在平面直角坐标系中，孔明做走棋游戏，其走法是：棋子从原点和，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步走1个单位……依此类推，第n 步的是：当n 能被3整除时，则向上走1个单位；当n 被3除，余数是1时，则向右走1个单位，当n 被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当他走完第100步时，棋子所处位置的坐标是： A 、（66,34） B 、（67,33） C 、（100,33） D 、（99,34） 解：本题主要考查学生对信息的分类 在1至100这100个数中：（1）能被3整除的为33个，故向上走了33个单位（2）被3除，余数为1的数有34个，故向右走了34个单位 （3）被3除，余数为2的数有33个，故向右走了66个单位 故总共向右走了34＋66＝100个单位，向上走了33个单位。
2019年湖南省株洲中考数学试卷及答案解析
湖南省株洲市2019年初中学业水平考试数 学本试卷满分120分,考试时间120分钟.一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题3分，共30分） 1.3-的倒数是 （ ）A.13-B.13C.3-D.3 2.28⨯=（ ）A.42B.4C.10D.22 3.下列各式中，与233x y 是同类项的是（ ）A.52xB.323x yC.2312x y -D.513y - 4.对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（ ）A.对角线垂直且相等B.四边都互相垂直C.四个角都相等D.是轴对称图形，但不是中心对称图形 5.关于x 的分式方程2503x x -=-的解为（ ）A.3-B.2-C.2D.3 6.在平面直角坐标系中，点()2,3A -位于哪个象限？（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.若一组数据x ，3，1，6，3的中位数和平均数相等，则x 的值为（ ）A.2B.3C.4D.5 8.下列各选项中因式分解正确的是（ ）A.()2211x x -=-B.()32222a a a a a -+=-C.()22422y y y y -+=-+D.()2221m n mn n n m -+=-9.如图所示，在直角坐标系xOy 中，点A 、B 、C 为反比例函数()0ky k x=＞上不同的三点，连接OA 、OB 、OC ，过点A 作AD y ⊥轴于点D ，过点B 、C 分别作BE ，CF x ⊥轴于点E 、F ，OC 与BE 相交于点M ，记AOD △、BOM △、四边形CMEF 的面积分别为1S 、2S 、3S ，则（ ）A.123S S S =+B.23S S =C.321S S S ＞＞D.2123S S S ＜10.从1-，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作；k a ，k b ）构成一个数组{},k k k M a b =（其中1,2k S =L ，且将{},k k a b 与{},k k b a 视为同一个数组），若满足：对于任意的{},i i i M a b =和{},j j j M a b =（i j ≠，1i S ≤≤，1j S ≤≤）都有i i j j a b a b +≠+，则S 的最大值（ ）A.10B.6C.5D.4二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）11.若二次函数2y ax bx =+的图像开口向下，则a 0（填“＝”或“＞”或“＜”）. 12.若一个盒子中有6个白球，4个黑球，2个红球，且各球的大小与质地都相同，现随机从中摸出一个球，得到白球的概率是 .13.如图所示，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CM 是斜边AB 上的中线，E 、F 分别为MB 、BC 的中点，若1EF =，则AB = .14.若a 为有理数，且2a -的值大于1，则a 的取值范围为 .15.如图所示，过正五边形ABCDE 的顶点B 作一条射线与其内角EAB ∠的角平分线相交于点P ，且60ABP ∠=︒，则APB ∠= 度.16.如图所示，AB 为O e 的直径，点C 在O e 上，且OC AB ⊥，过点C 的弦CD 与线段OB 相交于点E ，满足65AEC ∠=︒，连接AD ，则BAD ∠= 度.17.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步.今不善行者先行一百步，善行者追-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________之，问几何步及之？”其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走步才能追到速度慢的人.18.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线1x=处放置反光镜Ⅰ，在y轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段AB，其中点()0,1A，点B在点A上方，且1AB=，在直线1x=-处放置一个挡板Ⅲ，从点O发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口AB照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为.三、解答题(本大题共8小题，共66分)19.（本题满分6分）计算：032cos30π-+-︒.20.（本题满分6分）先化简，再求值：()2211a a aaa-+--，其中12a=.21.（本题满分8分）小强的爸爸准备驾车外出.启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为α，且1tan3α=，若直线AF与地面1l相交于点B，点A到地面l1的垂线段AC的长度为1.6米，假设眼睛A处的水平线2l与地面1l平行.（1）求BC的长度；（2）假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段MN为此长方形前端的边），1MN l⊥，若小强的爸爸将汽车沿直线1l后退0.6米，通过汽车的前端F点恰好看见障碍物的顶部N点（点D为点A的对应点，点1F为点F的对应点）.求障碍物的高度.22.（本题满分8分）某甜品店计划订购一种鲜奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与当天的最高气温T有关，现将去年六月份（按30天计算）的有关情况统计如下：最高气温T（单位：℃）需求量（单位：杯）T＜25 20025≤T＜30 250T≥30 400（1）求去年六月份最高气温不低于30 ℃的天数；（2）若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率；（3）若今年六月份每天的进货量均为350杯，每杯的进价为4元，售价为8元，未售出的这种鲜奶厂家以1元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月份某天的最高气温T满足2530T≤＜（单位：℃），试估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为多少元？23.（本题满分8分）如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点，连接CE、DG.（1）求证：DOG COE△≌△；（2）若DG BD ⊥，正方形ABCD 的边长为2，线段AD 与线段OG 相交于点M ，12AM =，求正方形OEFG 的边长.24.（本题满分8分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，等腰OAB △的边OB 与反比例函数my x=（0m ＞）的图像相交于点C ，其中OB AB =，点A 在x 轴的正半轴上，点B 的坐标为()2,4，过点C 作CH x ⊥轴于点H .（1）已知一次函数的图像过点O ，B ，求该一次函数的表达式；（2）若点P 是线段AB上的一点，满足OC ，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，连结OP ，记OPQ △的面积为OPQ S △，设AQ t =，2OPQ T OH S =-△.①用t 表示T （不需要写出t 的取值范围）；②当T 取最小值时，求m 的值.25.（本题满分10分）四边形ABCD 是O e 的圆内接四边形，线段AB 是O e 的直径，连结AC 、BD .点H 是线段BD 上的一点，连结AH 、CH ，且ACH CBD ∠=∠，AD CH =，BA 的延长线与CD 的延长线相交于点P .（1）求证：四边形ADCH 是平行四边形； （2）若AC BC =，PB =，)21AB CD +=①求证：DHC △为等腰直角三角形；②求CH 的长度.26.（本题满分12分）已知二次函数2y ax bx c =++（0a ＞）.（1）若1a =，2b =-，1c =-.①求该二次函数图像的顶点坐标；②定义：对于二次函数2y px qx r =++（0p ≠），满足方程y x =的x 的值叫做该二次函数的“不动点”.求证：二次函数2y ax bx c =++有两个不同的“不动点”. （2）设312b c =，如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴分别相交于不同的两点()1,0A x ，()2,0B x ，其中10x ＜，20x ＜，与y 轴相交于点C ，连结BC ，点D 在y 轴的正半轴上，且OC OD =，又点E 的坐标为()1,0，过点D 作垂直于y 轴的直线与直线CE 相交于点F ，满足AFC ABC ∠=∠.FA 的延长线与BC 的延长线相交于点P，若PC PA =求该二次函数的表达式.---------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________湖南省株洲市2019年初中学业水平考试数学答案解析一、选择题2．【答案】B4==。
2019年湖南省株洲市中考数学试卷附分析答案
最高气温 T（单位：℃）
需求量（单位：杯）
T＜25
200
25≤T＜30
250
T≥30
400
（1）求去年六月份最高气温不低于 30℃的天数； （2）若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份这 种鲜奶一天的需求量不超过 200 杯的概率； （3）若今年六月份每天的进货量均为 350 杯，每杯的进价为 4 元，售价为 8 元，未售出 的这种鲜奶厂家以 1 元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月 份某天的最高气温 T 满足 25≤T＜30（单位：℃），试估计这一天销售这种鲜奶所获得的 利润为多少元？
26．（11 分）已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a＞0） （1）若 a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1 ①求该二次函数图象的顶点坐标； ②定义：对于二次函数 y＝px2+qx+r（p≠0），满足方程 y＝x 的 x 的值叫做该二次函数的 “不动点”．求证：二次函数 y＝ax2+bx+c 有两个不同的“不动点”． （2）设 b c3，如图所示，在平面直角坐标系 Oxy 中，二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象与 x 轴分别相交于不同的两点 A（x1，0），B（x2，0），其中 x1＜0，x2＞0，与 y 轴相交于点 C，连结 BC，点 D 在 y 轴的正半轴上，且 OC＝OD，又点 E 的坐标为（1，0），过点 D 作垂直于 y 轴的直线与直线 CE 相交于点 F，满足∠AFC＝∠ABC．FA 的延长线与 BC 的
．
三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分）
19．（6 分）计算：| |+π0﹣2cos30°．
20．（6 分）先化简，再求值：
湖南株洲中考数学及答案7页
2019年株洲市中考试题数 学（满分120分，考试时间100分钟）第一部分（选择题 24分）一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共8小题，每小题3分，共24分） 1． （2019广东株洲，1，3分）8的立方根是（ ） A ．2 B ．-2 C ．3 D ．4 【答案】A2． （2019广东株洲，2，3分）计算x 2·4x 3的结果是（ ） A ．4x 3B ．4x 4C ．4x 5D ．4x 6【答案】C3． （2019广东株洲，3，3分）孔明同学在庆祝建党90周年的演讲比赛中，6位评委给他的打分如下表：A ．95B ．90C ．85D ．80 【答案】B4． （2019广东株洲，4，3分）株洲市关心下一代工作委员会为了了解全市初三学生的视力状况，从全市30000名初三学生中随机抽取了500人进行视力测试，发现其中视力不良的学生有100人，则可估计全市30000名初三学生中视力不良的约有( )A ．100人B ．500人C ．6000人D ．15000 人 【答案】C5． （2019广东株洲，5，3分）某商品的商标可以抽象为如图所示的三条线段，其中 AB ∥CD ，∠EAB=45°，则∠FDC 的度数是( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒ D ．75︒【答案】B6． （2019广东株洲，6，3分）右图是一个由7个同样的立方体叠成的几何体.请问下列选项中，既是中心对称图形，又是这个几何体的三视图之一的是( )【答案】B7． （2019广东株洲，7，3分）根据生物学研究结果，青春期男女生身高增长速度呈现如下图规律，由图可以判断，下列说法错误的是：（ ）A B DCA ．男生在13岁时身高增长速度最快B ．女生在10岁以后身高增长速度放慢C ．11岁时男女生身高增长速度基本相同D ．女生身高增长的速度总比男生慢 【答案】D8． （2019广东株洲，8，3分）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x 2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( )A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米【答案】D第二部分（非选择题 共120分）二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.） 9．（2019广东株洲，9，3分）不等式x-1＞0的解集是 ． 【答案】x ＞110．（2019广东株洲，10，3分）当x=10，y=9时，代数式x 2-y 2的值是 ． 【答案】19 11．（2019广东株洲，11，3分）如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A 出发，沿与地面成30°角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家（B 处），AB=80米，则孔明从A 到B 上升的高度BC 是 米． 【答案】40 12．（2019广东株洲，12，3分）为建设绿色株洲，某校初三0801、0802、0803、0804四个班同学参加了植树造林，每班植树株数如下表，则这四个班平均每班植树 株． 【答案】2513．（2019广东株洲，13，3分）孔明同学在解一元二次方程x 2-3x+c=0时，正确解得x 1=1，x 2=2，则c 的值为 ． 【答案】2 14．（2019广东株洲，14，3分）如图，直线l 过A 、B 两点，A （0，1-），B （1，0），则直线l 的解析式为 ． 【答案】y=x-1 15．（2019广东株洲，15，3分）按下面摆好的方式，并使用同一种图形，只通过平移方式就能进行平面镶嵌(即平面密铺)的有 （写出所有正确答案的序号）.【答案】②③ 16．（2019广东株洲，16，3分）如图，第（1）个图有1个黑球；第（2）个图为3个同样大小球叠成的图形，最下一层的2个球为黑色，其余为白色；第（3）个图为6个同样大小球叠成的图形，最下一层的3个球为黑色，其余为白色；；则从第（n ）个图中随机取出一个球，是黑球的概率是 . 【答案】21n + 三、解答题（本大题共8小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2019广东株洲，17，4分）计算：02011|2|(1)--+-.【答案】解：原式=2-1-1=0．18．（2019广东株洲，18，4分）当2x =-时，求22111x x x x ++++的值． 【答案】解：原式=2221(1)111x x x x x x +++==+++ 当2x =-时，原式1211x =+=-+=-（说明：直接代入求得正确结果的给满分）19．（2019广东株洲，19，6分）食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？【答案】解法一：设A饮料生产了x瓶，则B饮料生产了（100-x）瓶，依题意得：2x+3(100-x)=270解得：x=30 100-x=70答：A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶.解法二：设A饮料生产了x瓶，B饮料生产了y瓶，依题意得：解得：3070 xy=⎧⎨=⎩.答：A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶.20．（2019广东株洲，20，6分）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC长．【答案】（1）解法一：∵DE垂直平分AC，∴CE=AE，∠ECD=∠A=36°.解法二：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，∠ADE=∠CDE=90°，又∵DE =DE，∴△AD E≌△CDE，∠ECD=∠A=36°.（2）解法一：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∵∠ECD=36°，∴∠BCE=∠ACB-∠ECD=36°，∠BEC=72°=∠B，∴BC=EC=5.解法二：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°，∴∠BEC=∠B，∴BC=EC=5.21．（2019广东株洲，21，6分）我国网球名将李娜在今年法国网球公开赛上的出色表现，大大激发了国人对网球的热情．在一项“你最喜欢的球类运动”的调查中，共有50名同学参与调查，每人必选且只选一项，将调查结果绘制成频数分布直方图如下，根据图中信息回答：（1）被调查的同学中选择喜欢网球的有____________________人；（2）孔明同学在被调查中选择的是羽毛球，现要在参与调查选择喜欢羽毛球的同学中随机抽取2人参加一项比赛，求孔明被选中的概率.【答案】（1）15（2）记喜欢羽毛球的5个同学分别表示为1，2，3，4，5，其中1为孔明，从中随机抽取2人，方法有：（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（2,3）（2,4）（2,5）（3,4）（3,5）（4,5）共10种，其中孔明被选中的有4种，所以孔明被选中的概率是42105=(或写成0.4)(说明：第2问只写出正确结果的也给满分.)22．（2019广东株洲，22，8分）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，AC交⊙O于点E，D 为AC上一点，∠AOD=∠C．（1）求证：OD⊥AC；（2）若AE=8，3tan4A=，求OD的长．【答案】（1）证明：∵BC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径∴∠ABC=90°，∠A+∠C=90°，又∵∠AOD=∠C，∴∠AOD+∠A=90°，∴∠ADO=90°，∴OD⊥AC.（2）解：∵OD⊥AE，O为圆心，∴D为AE中点，又3tan4A=，∴OD=3.23．（2019广东株洲，23，8分）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点， PO的延长线交BC于Q.（1）求证： OP=OQ；（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PDO=∠QBO，又OB=OD，∠POD=∠QOB，∴△POD≌△QOB，∴OP=OQ。
2019年湖南省株洲市中考数学试题
绝密★启用前湖南省株洲市2019年中考数学试题第I卷（选择题)评卷人得分一、单选题1．3-的倒数是（）A．13-B．13C．3-D．3【答案】A【解析】【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．【详解】互为倒数的两个数乘积为1，1(3)( 1.3-⨯-=故选A．【点睛】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，属于基础题．2=（）A.B.4 D.【答案】B【解析】【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【详解】4=．故选：B．【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．3．下列各式中，与233x y是同类项的是（）A.52x B.323x y C.2312x y- D.513y-【答案】C根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，进行判断即可．【详解】解：A.52x 与233x y 不是同类项，故本选项错误；B.3x 3y 2与233x y 不是同类项，故本选项错误；C.2312x y -与233x y 是同类项，故本选项正确；D.513y -与233x y 不是同类项，故本选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是理解同类项的定义．4．对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（）A ．对角线垂直且相等B ．四边都互相垂直C ．四个角都相等D ．是轴对称图形，但不是中心对称图形【答案】C 【解析】【分析】直接利用矩形的性质分析得出答案．【详解】解：A.矩形的对角线相等，但不垂直，故此选项错误；B 、矩形的邻边都互相垂直，对边互相平行，故此选项错误；C.矩形的四个角都相等，正确；D.矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误．故选：C ．【点睛】此题主要考查了矩形的性质，正确把握矩形的性质是解题关键．5．关于x 的分式方程2503x x -=-的解为（）A.3- B.2- C.2D.3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：2650x x --=，解得：2x =-，经检验2x =-是分式方程的解，故选：B ．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．6．在平面直角坐标系中，点()2,3A -位于哪个象限？（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．【详解】解：点A 坐标为()2,3-，则它位于第四象限，故选：D ．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(),++；第二象限(),-+；第三象限(),--；第四象限(),+-．7．若一组数据x ，3，1，6，3的中位数和平均数相等，则x 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A 【解析】【分析】根据平均数与中位数的定义分三种情况x≤1，1<x<3，3≤x<6，x≥6时，分别列出方程，进行计算即可求出答案．【详解】当x ⩽1时,中位数与平均数相等,则得到：15(x+3+1+6+3)=3，解得x=2(舍去)；当1<x<3时,中位数与平均数相等,则得到：15(x+3+1+6+3)=3，解得x=2；当3⩽x<6时,中位数与平均数相等,则得到：15(x+3+1+6+3)=3，解得x=2(舍去)；当x ⩾6时,中位数与平均数相等,则得到：15(x+3+1+6+3)=3，解得x=2(舍去).所以x 的值为2.故选：A.【点睛】此题考查中位数，算术平均数，解题关键在于分三种情况x≤1，1<x<3，3≤x<6，x≥6，进行求解8．下列各选项中因式分解正确的是（）A.()2211x x -=- B.()32222a a a aa -+=-C.()22422y y y y -+=-+ D.()2221m n mn n n m -+=-【答案】D 【解析】【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断即可．【详解】解：A.()()2111x x x -=+-，故此选项错误；B.()32221a a a aa -+=-，故此选项错误；C.()22422y y y y -+=--，故此选项错误；D.()2221m n mn n n m -+=-，正确．故选：D ．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．9．如图所示，在直角平面坐标系Oxy 中，点、、A B C 为反比例函数(0)ky k x=>上不同的三点，连接OA OB OC 、、，过点A 作AD y ⊥轴于点D ，过点B C 、分别作,BE CF 垂直x 轴于点E F 、，OC 与BE 相交于点M ，记AOD ∆、BOM ∆、四边形CMEF 的面积分别为1S 、2S 、3S ，则（）A.123S S S =+B.23S S =C.321S S S >>D.2123S S S <【答案】B 【解析】【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义得到231S S S =<，即可得到结论．【详解】解：∵点A B C 、、为反比例函数(0)ky k x=>上不同的三点，AD y ⊥轴，,BE CF 垂直x 轴于点E F 、，∴111,22BOE COF S k S S k ∆∆===，∵0BOE OME C F OME S S S S ∆∆∆-=-，∴231S S S =<，（故B 正确、故A.C 错误）∵22312313331()0S S S S S S S S S -=-=-＜∴2123S S S ＞，即D 错误.故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，反比例函数的性质，正确的识别图形是解题的关键．10．从1-，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作,k k a b ）构成一个数组{},K k k M a b =（其中1,2,,k S =，且将{},k k a b 与{},k k b a 视为同一个数组），若满足：对于任意的{},i i i M a b =和{},(,1,1)j i j M a b i j i S j S =≠≤≤≤≤都有i i j j a b a b +≠+，则S 的最大值（）A.10B.6C.5D.4【答案】C 【解析】【分析】找出i i a b +的值，结合对于任意的{},i i i M a b =和{},(,1,1)j i j M a b i j i S j S =≠≤≤≤≤都有i i j j a b a b +≠+，即可得出S 的最大值．【详解】解：∵110,121-+=-+=，143,123-+=+=，145,246+=+=，∴i i a b +共有5个不同的值．又∵对于任意的{},i i i M a b =和{},(,1,1)j i j M a b i j i S j S =≠≤≤≤≤都有i i j j a b a b +≠+，∴S 的最大值为5．故选：C ．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，找出i i a b +共有几个不同的值是解题的关键．第II 卷（非选择题)评卷人得分二、填空题11．若二次函数2y ax bx =+的图象开口向下，则a _____0（填“＝”或“>”或“<”）．【答案】<【解析】【分析】由二次函数2y ax bx =+图象的开口向下，可得0a <．【详解】解：∵二次函数2y ax bx =+的图象开口向下，∴0a <．故答案是：<．【点睛】考查了二次函数图象与系数的关系．二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当0a >时，抛物线向上开口；当0a <时，抛物线向下开口；a 还可以决定开口大小，a 越大开口就越小．12．若一个盒子中有6个白球，4个黑球，2个红球，且各球的大小与质地都相同，现随机从中摸出一个球，得到白球的概率是_____．【答案】12【解析】【分析】先求出总球的个数，再用白球的个数除以总球的个数即可得出答案．【详解】解：∵布袋中有6个白球，4个黑球，2个红球，共有12个球，∴摸到白球的概率是61122=；故答案为：12．【点睛】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．13．如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CM 是斜边AB 上的中线，E F 、分别为MB BC 、的中点，若1EF =，则AB =_____．【答案】4【解析】【分析】根据三角形中位线定理求出CM ，根据直角三角形的性质求出AB ．【详解】解：∵E F 、分别为MB BC 、的中点，∴22CM EF ==，∵90ACB ∠=︒，CM 是斜边AB 上的中线，∴24AB CM ==，故答案为：4．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．14．若a 为有理数，且2a -的值大于1，则a 的取值范围为_____．【答案】1a <且a 为有理数【解析】【分析】根据题意列出不等式，解之可得，【详解】解：根据题意知21a ->，解得1a <，故答案为：1a <且a 为有理数．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．15．如图所示，过正五边形ABCDE 的顶点B 作一条射线与其内角EAB ∠的角平分线相交于点P ，且60ABP ∠=︒，则APB ∠=_____度．【答案】66【解析】【分析】首先根据正五边形的性质得到108EAB ∠=度，然后根据角平分线的定义得到54PAB ∠=度，再利用三角形内角和定理得到APB ∠的度数．【详解】解：∵五边形ABCDE 为正五边形，∴108EAB ∠=度，∵AP 是EAB ∠的角平分线，∴54PAB ∠=度，∵60ABP ∠=︒，∴180605466APB ∠=︒-︒-︒=︒．故答案为：66．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，题目中还用到了角平分线的定义及三角形内角和定理．16．如图所示，AB 为O 的直径，点C 在O 上，且OC AB ⊥，过点C 的弦CD与线段OB 相交于点E ，满足65AEC ∠=︒，连接AD ，则BAD ∠=_____度．【答案】20【解析】【分析】由直角三角形的性质得出25OCE ∠=︒，由等腰三角形的性质得出25ODC OCE ∠=∠=︒，求出130DOC ∠=︒，得出40BOD DOC COE ∠=∠-∠=︒，再由圆周角定理即可得出答案．【详解】解：连接OD ，如图：∵OC AB ⊥，∴90COE ∠=°，∵65AEC ∠=︒，∴906525OCE ∠=︒-︒=︒，∵OC OD =，∴25ODC OCE ∠=∠=︒，∴1802525130DOC ∠=︒-︒-︒=︒，∴40BOD DOC COE ∠=∠-∠=︒，∴1202BAD BOD ∠=∠=︒，故答案为：20．【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．17．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？“其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走_____步才能追到速度慢的人．【答案】250【解析】【分析】设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t ，根据二者的速度差×时间＝路程，即可求出t 值，再将其代入路程＝速度×时间，即可求出结论．【详解】解：设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t ，根据题意得：()10060100t -=，解得： 2.5t =，∴100100 2.5250t =⨯=．答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．故答案是：250．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．18．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，在直线1x =处放置反光镜Ⅰ，在y 轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段AB ，其中点()0,1A ，点B 在点A 上方，且1AB =，在直线1x =-处放置一个挡板Ⅲ，从点O 发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口AB 照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为_____．【答案】1.5【解析】【分析】当光线沿O G B C 、、、传输时，由tan tan OGH CGE ∠=∠，即：OH BFGH GF=，即：112a a=-，解得：1a =，求出123C y =+=，同理可得： 1.5D y =，即可求解．【详解】解：当光线沿O G B C 、、、传输时，过点B 作BF GH ⊥于点F 过点C 作CE GH ⊥于点E ，则OGH CGE α∠=∠=，设GH a =，则2GF a =-，则tan tan OGH CGE ∠=∠，即：OH BFGH GF=，即：112a a=-，解得：1a =，则45α=︒，∴2GE CE ==，123C y =+=，当光线反射过点A 时，同理可得： 1.5D y =，落在挡板Ⅲ上的光线的长度3 1.5 1.5CD ==-=，故答案为1.5．【点睛】本题考查的是坐标与图形的变化，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，本题关键是弄懂题意，正确画图．评卷人得分三、解答题19．计算：02cos30π-︒．【答案】1【解析】【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【详解】解：原式122=+-⨯1=+-1=．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．先化简，再求值：221(1)a a a a a-+--，其中12a =．【答案】1(1)a a -,-4.【解析】【分析】根据分式的减法可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：221(1)a a a a a-+--2(1)1(1)a a a a a -+=--11a a a a+=--2(1)(1)(1)a a a a a --+=-221(1)a a a a -+=-1(1)a a =-，当12a =时，原式1411122==-⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．21．小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点A 处测得汽车前端F 的俯角为α，且1tan 3α=，若直线AF 与地面1l 相交于点B ，点A 到地面1l 的垂线段AC 的长度为1.6米，假设眼睛A 处的水平线2l 与地面1l 平行．（1）求BC 的长度；（2）假如障碍物上的点M 正好位于线段BC 的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段MN 为此长方形前端的边），1MN l ⊥，若小强的爸爸将汽车沿直线1l 后退0.6米，通过汽车的前端1F 点恰好看见障碍物的顶部N 点（点D 为点A 的对应点，点1F 为点F 的对应点），求障碍物的高度．【答案】(1)4.8m ；(2)0.6米．【解析】【分析】（1）由题意得到ABC α∠=∠，解直角三角形即可得到结论；（2）过D 作DH BC ⊥于H ，于是得到四边形ADHC 是矩形，根据矩形的性质得到0.6AD CH BE ===，根据线段的中点的定义得到 2.4BM CM ==米，求得 1.8EM BM BE =-=，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）由题意得，ABC α∠=∠，在Rt ABC ∆中，11.6,tan tan 3AC ABC α=∠==，∴1.64.81tan 3AC BC m ABC===∠，答：BC 的长度为4.8m ；（2）过D 作DH BC ⊥于H，则四边形ADHC 是矩形，∴0.6AD CH BE ===，∵点M 是线段BC 的中点，∴ 2.4BM CM ==米，∴ 1.8EM BM BE =-=，∵MN BC ⊥，∴MN DH ∕∕，∴EMN EHD ∆∆∽，∴MN EMDH EH =，∴ 1.81.6 4.8MN =，∴0.6MN =，答：障碍物的高度为0.6米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题问题，牢固掌握仰角俯角的定义是解题的关键．22．某甜品店计划订购一种鲜奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与当天的最高气温T 有关，现将去年六月份（按30天计算）的有关情况统计如下：（最高气温与需求量统计表）最高气温T （单位：℃）需求量（单位：杯）25T <2002530T ≤<25030T ≥400（1）求去年六月份最高气温不低于30℃的天数；（2）若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率；（3）若今年六月份每天的进货量均为350杯，每杯的进价为4元，售价为8元，未售出的这种鲜奶厂家以1元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月份某天的最高气温T 满足2530T ≤<（单位：℃），试估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为多少元？【答案】（1）8天；（2）25；（3）730元．【解析】【分析】（1）由条形图可得答案；（2）用25T <的天数除以总天数即可得；（3）根据利润＝销售额－成本计算可得．【详解】解：（1）由条形统计图知，去年六月份最高气温不低于30℃的天数为628+=（天）；（2）去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率为392305+=；（3）250835041001730⨯-⨯+⨯=（元），答：估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为730元．【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．23．如图所示，已知正方形OEFG 的顶点O 为正方形ABCD 对角线AC BD 、的交点，连接CE DG 、．（1）求证：DOG COE ∆∆≌；（2）若DG BD ⊥，正方形ABCD 的边长为2，线段AD 与线段OG 相交于点M ，12AM =，求正方形OEFG 的边长．【答案】(1)见解析;(2)【解析】【分析】（1）由正方形ABCD 与正方形OEFG ，对角线AC BD 、，可得90DOA DOC ∠=∠=︒，90GOE ∠=︒，即可证得GOD COE ∠=∠，因,DO OC GO EO ==，则可利用“边角边”即可证两三角形全等（2）过点M 作MH DO ⊥交DO 于点H ，由于45MDB ∠=︒，由可得,DH MH 长，从而求得HO ，即可求得MO ，再通过MH DG ∕∕，易证得OHM ODG ∆∆∽，则有OH MOOD GO=，求得GO 即为正方形OEFG 的边长．【详解】解：（1）∵正方形ABCD 与正方形OEFG ，对角线AC BD 、，∴DO OC =，∵DB AC ⊥，∴90DOA DOC ∠=∠=︒，∵90GOE ∠=︒，∴90GOD DOE DOE COE ∠+∠=∠+∠=︒，∴GOD COE ∠=∠，∵GO OE =，∴在DOG ∆和COE ∆中，DO OC GOD COE GD OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DOG COE SAS ∆∆≌.（2）如图，过点M 作MH DO ⊥交DO 于点H ，∵1,22AM DA ==，∴32DM =，∵45MDB ∠=︒，∴sin 454MH DH DM ==︒⋅=，cos 45DO DA =︒⋅=，∴44HO DO DH =-=-=，∴在Rt MHO ∆中，由勾股定理得:2MO ===，∵,DG BD MH DO ⊥⊥，∴MH DG ∕∕，∴易证OHM ODG ∆∆∽，∴42OH MO OD GO GO===，得GO =，则正方形OEFG 的边长为【点睛】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，比例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．24．如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，等腰OAB ∆的边OB 与反比例函数(0)my m x=>的图象相交于点C ，其中OB AB =，点A 在x 轴的正半轴上，点B 的坐标为()2,4，过点C 作⊥CH x 轴于点H ．（1）已知一次函数的图象过点,O B ，求该一次函数的表达式；（2）若点P 是线段AB 上的一点，满足OC =，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，连结OP ，记OPQ ∆的面积为OPQ S ∆，设AQ t =，2OPQ T OH S ∆=-.①用t 表示T （不需要写出t 的取值范围）；②当T 取最小值时，求m 的值．【答案】（1）2y x =;（2）244T t t =-;②32m =．【解析】【分析】（1）将点O B 、的坐标代入一次函数表达式：y kx =，即可求解；（2）①sin sinQA t APQ PA a α∠====，则PA a ==，则点,)C ，()2221(sin )42442OPQ T OH S OC t t t t α∆=-=⋅-⨯-⨯=-；②当12t =时，T取得最小值，而点,)C ，即可求解．【详解】解：（1）将点O B 、的坐标代入一次函数表达式：y kx =得：42k =，解得：2k =，故一次函数表达式为：2y x =，（2）①过点B 作⊥BM OA ，则OCH QPA OAB ABM α∠=∠=∠=∠=，则1tan ,sin2αα==∵OB AB =，则2OM AM ==，则点()4,0A ，设：AP a =，则OC =，在APQ ∆中，sin sinQA t APQ PA a α∠====同理2tan tPQ t α==，则,PA a OC ===，则点,)C ，()2221(sin )42442OPQ T OH S OC t t t t α∆=-=⋅-⨯-⨯=-，②∵40>，∴T 有最小值，当12t =时，T 取得最小值，而点,)C ，故：32m =⨯=．【点睛】本题为反比例函数综合运用题，涉及到等腰三角形性质、解直角三角形、一次函数等知识，其中（2）①，确定点C 的坐标，是本题解题的关键．25．四边形ABCD 是O 的圆内接四边形，线段AB 是O 的直径，连结AC BD 、．点H 是线段BD 上的一点，连结AH CH 、，且,ACH CBD AD CH ∠=∠=，BA 的延长线与CD 的延长线相交与点P ．（1）求证：四边形ADCH 是平行四边形；（2）若,AC BC PB ==，1)AB CD +=+①求证：DHC ∆为等腰直角三角形；②求CH 的长度．【答案】（1）见解析;（2）①见解析;②CH =.【解析】【分析】（1）由圆周角的定理可得DBC DAC ACH ∠=∠=∠，可证AD CH ∕∕，由一组对边平行且相等的是四边形是平行四边形可证四边形ADCH 是平行四边形；（2）①由平行线的性质可证90ADH CHD ∠=∠=︒，由45CDB CAB ∠=∠=︒，可证DHC ∆为等腰直角三角形；②通过证明ADP CBP ∆∆∽，可得AD PDBC PB =，可得CH BC =，通过证明CHD ACB ∆∆∽，可得CD CH AB BC ==，可得AB =，可求2CD =，由等腰直角三角形的性质可求CH 的长度．【详解】证明：（1）∵,DBC DAC ACH CBD ∠=∠∠=∠，∴DAC ACH ∠=∠，∴AD CH ∕∕，且AD CH =，∴四边形ADCH 是平行四边形，（2）①∵AB 是直径，∴90ACB ADB ∠=︒=∠，且AC BC =，∴45CAB ABC ∠=∠=︒，∴45CDB CAB ∠=∠=︒，∵AD CH ∕∕，∴90ADH CHD ∠=∠=︒，且，45CDB ∠=︒∴45CDB DCH ∠=∠=︒，∴CH DH =，且90CHD ∠=︒，∴DHC ∆为等腰直角三角形；②∵四边形ABCD 是O 的圆内接四边形，∴ADP PBC ∠=∠，且P P ∠=∠，∴ADP CBP ∆∆∽，∴AD PD BC PB=，且PB =，∴AD BC =，AD CH =，∴CH BC =∵45,90CDB CAB CHD ACB ∠=∠=︒∠=∠=︒，∴CHD ACB ∆∆∽，∴CD CH AB BC ==，∴AB =，∵1)AB CD +=+，1)CD +=，∴2CD =，且DHC ∆为等腰直角三角形，∴CH =，【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，求CD 的长度是本题的关键．。
2019湖南株洲中考数学试题解析答案
株洲市2019年初中学业水平考试数学解析一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2019湖南省株洲市，1，3分）﹣3的倒数是 A ．13-B ．13C ．﹣3D ．3 【答案】A【解析】根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，13)()13-⨯-=（，所以选A 【知识点】倒数的定义2．（2019湖南省株洲市，2，3A ．B ．4CD ．【答案】B【知识点】二次根式的乘法3．（2019湖南省株洲市，3，3分）下列各式中，与233x y 是同类项的是 A ．52x B ．323x y C ．2312x y -D ．513y - 【答案】C【解析】根据同类项的定义可知，含有相同的字母，并且相同字母的指数也分别相同，故选C 【知识点】同类项的定义 4．（2019湖南省株洲市，4，3分）对于任意的矩形，下列说法一定正确的是 A ．对角线垂直且相等 B ．四边都互相垂直C ．四个角都相等D ．是轴对称图形，但不是中心对称图形 【答案】C【解析】根据矩形的性质可知，矩形的对角线相等但不一定垂直，所以选项A 是错误的；矩形相邻的边互相垂直，对边互相平行，所以选项B 是错误的；矩形的四个角都是直角，所以四个角都相等是正确的；矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以选项D 是错误的；故选C. 【知识点】矩形的性质5．（2019湖南省株洲市，5，3分）关于x 的分式方程2503x x -=-的解为 A ．﹣3 B ．﹣2 C ．2 D ．3 【答案】B【解析】解分式方程，去分母，化分式方程为整式方程，方程两边同时乘以x(x-3)得， 2（x-3)-5x=0,解得，x=-2，所以答案为B 【知识点】解分式方程 6．（2019湖南省株洲市，6，3分）在平面直角坐标系中，点A(2，﹣3)位于哪个象限? A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D【解析】根据平面直角坐标系中点的坐标特点可知，第四象限的点的坐标符号为（+，-），所以D 【知识点】平面直角坐标系中点的坐标特点 7．（2019湖南省株洲市，7，3分）若一组数据x ，3，1，6，3的中位数和平均数相等，则x 的值为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】A【解析】这组数据除x 外按从大到小排序为6,3,3,1，若x 不是中位数，则中位数和平均数都是3，所以x=2；若x 是中位数，则平均数和中位数都是x ，则由平均数可得x=134，此时中位数是3，不合题意，所以选A 【知识点】中位数、平均数 8．（2019湖南省株洲市，8，3分）下列各选项中因式分解正确的是 A ．221(1)x x -=- B ．3222(2)a a a a a -+=- C ．2242(2)y y y y -+=-+ D ．222(1)m n mn n n m -+=-【答案】D【解析】选项A 是平方差公式应该是（x+1)(x-1)，所以错误；选项B 公因式应该是a ，所以错误；选项C 提取公因式-2y 后，括号内各项都要变号，所以错误；只有选项D 是正确的 【知识点】分解因式9．（2019湖南省株洲市，9，3分）如图所示，在直角坐标系xOy 中，点A 、B 、C 为反比例函数(0)ky k x=>上不同的三点，连接OA 、OB 、OC ，过点A 作AD ⊥y 轴于点D ，过点B 、C 分别作BE ，CF ⊥x 轴于点E 、F ，OC 与BE 相交于点M ，记△AOD 、△BOM 、四边形CMEF 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则 A ．S 1＝S 2＋S 3 B ．S 2＝S 3 C ．S 3＞S 2＞S 1 D ．S 1S 2＜S 32第9题【答案】B【解析】由题意知S 1=2k ，S △BOE =S △COF =2k,因为S 2=S △BOE -S △OME ,S 3=S △COF -S △OME ，所以S 2＝S 3 ，所以选B【知识点】反比例函数k 的几何意义10．（2019湖南省株洲市，10，3分）从﹣1，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作：k a ，k b ）构成一个数组M k ＝{k a ，k b }（其中k ＝1，2，…，S ，且将{k a ，k b }与{k b ，k a }视为同一个数组），若满足：对于任意的M i ＝{i a ，i b }和M j ＝{j a ，j b }（i ≠j ，1≤i ≤S ，1≤j ≤S ）都有i a ＋i b ≠j a ＋j b ，则S 的最大值 A ．10 B ．6 C ．5 D ．4 【答案】C【解析】从-1,1,2,4这四个数中任取两个不同的数，共有{ -1,1}{ -1,2}{ -1,4}{ 1,2}{ 1,4}{ 2,4}六种情况，其中{ -1,4}{ 1,2}两数和相同，所以共有五种情况，即S 最大为5，选C 【知识点】概率；有理数的加法二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）11．（2019湖南省株洲市，11，3分）若二次函数2y ax bx =+的图像开口向下，则a 0（填“＝”或“＞”或“＜”）． 【答案】＜【解析】二次函数开口向下，则a<0 【知识点】二次函数图像的性质 12．（2019湖南省株洲市，12，3分）若一个盒子中有6个白球，4个黑球，2个红球，且各球的大小与质地都相问，现随机从中摸出一个球，得到白球的概率是 ． 【答案】12【解析】由题意知共有12个球，白球6个，随机摸球，机会均等，所以得到白球的概率是12【知识点】概率13．（2019湖南省株洲市，13，3分）如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CM 是斜边AB 上的中线，E 、F 分别为MB 、BC 的中点，若EF ＝1，则AB ＝ ．【答案】4【解析】因为Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CM 是斜边AB 上的中线，所以AB=2CM,又因为E 、F 分别为MB 、BC 的中点，所以EF 为中位线，所以CM=2EF,从而AB=4EF=4【知识点】直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；三角形中位线的性质 14．（2019湖南省株洲市，14，3分）若a 为有理数，且2﹣a 的值大于1，则a 的取值范围为 ． 【答案】a<1【解析】根据不等式的性质，将2-a>1,变形为-a>-1,不等式两边都除以-1，得a<1 【知识点】不等式的性质 15．（2019湖南省株洲市，15，3分）如图所示，过正五边形ABCDE 的顶点B 作一条射线与其内角∠EAB 的角平分线相交于点P ，且∠ABP ＝60°，则∠APB ＝ 度．第15题【答案】66° 【解析】正五边形的每个内角为108°，所以∠EAB=108°，∵AP 平分∠EAB ，∴∠PAB=54°，△ABP 中，∠APB=180°-∠ABP-∠PAB=180°-60°-54°=66°【知识点】正多边形内角和，角平分线，三角形内角和16．（2019湖南省株洲市，16，3分）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝度．第16题【答案】20°【解析】如图，连接DO，因为CO⊥AB,所以∠COB=90°，∵∠AEC＝65°，∴∠C=25°，∵OD=OC,∴∠ODC=∠C=25°，△DCO中，∠DOC=130°，∴∠DOB=40°，∴2∠BAD=∠DOB,∴∠BAD=20°【知识点】三角形内角和，等边对等角，同弧所对的圆周角和圆心角的关系17．（2019湖南省株洲市，17，3分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之?”其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走步才能追到速度慢的人．【答案】250【解析】设速度快的人走的时间为x，根据题意可得，100x=100+60x,所以x=2.5，所以速度快的人要走100 2.5250步才能追到速度慢的人.=【知识点】一元一次方程的应用18．（2019湖南省株洲市，18，3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线x＝1处放置反光镜I，在y 轴处放置一个有缺口的挡板II，缺口为线段AB，其中点A(0，1)，点B在点A上方，且AB＝1，在直线x ＝﹣1处放置一个挡板III，从点O发出的光线经反光镜I反射后，通过缺口AB照射在挡板III上，则落在挡板III上的光线的长度为．第18题【答案】3 2【解析】如图，落在挡板III上的光线的长度为MN的长度,对应的反光镜I的边界点分别为点P和点Q，根据光线的折射，入射角等于反射角可得∠OPF=∠APF,从而证明△APF≌△OPF，所以AO=2AF=2OF，∴AF=12,同理△AQB≌△AQO,AB=AO=1，所以NE=2，∵AQ⊥y轴，∴PQ=AF=1 2,由题意知，△AEM≌△AQP，所以ME=PQ=12,所以MN=NE-ME=2-12=32【知识点】全等三角形的性质，中位线定理三、解答题（本大题共8小题，共66分）19．（2019湖南省株洲市，19，6分）计算：02cos30π+-︒．【思路分析】负数的绝对值等于它的相反数；任何非零数的零次幂等于1，COS30°=2，代入求值即可.=1 【知识点】实数的运算20．（2019湖南省株洲市，20，6分）先化简，再求值：221(1)a a aa a-+--，其中a＝12．【思路分析】先将分式化简成最简分式，再代入求值.【解题过程】a＝12=2211(1)(1)1(1)(1)(1a a a a a a aa a a a a a a++--+-=-==---（a-1)a-1），当a＝12时，上式= -4.【知识点】分式的计算，实数的运算21．（2019湖南省株洲市，21，8分）小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为α，且tanα＝13，若直线AF与地面l1相交于点B，点A到地面l1的垂线段AC的长度为1.6米，假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行．（1）求BC的长度；（2）假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段MN为此长方形前端的边），MN⊥l1，若小强的爸爸将汽车沿直线l1后退0.6米，通过汽车的前端F点恰好看见障碍物的顶部N点（点D为点A的对应点，点F1为点F的对应点）．求障碍物的高度．【思路分析】(1)Rt△ABC中，AC=1.6，∠ABC=α,tanα＝13，∴BC=3AC==⨯3 1.6 4.8（2）由题意得平行四边形ABED,∴BE=BM=FF1=0.6，∴EM=BM-BE=12BC-BE=2.4-0.6=1.8,∵tan∠NEM=tan∠ABC=13，∴MN=13EM=0.6【解题过程】(1)如图，∵l1∥l2∴∠ABC=α∴tan∠ABC=ACBC=tanα＝13，∴BC=3AC==⨯3 1.6 4.8(米）∴BC的长度为4.8米。
2019年湖南省株洲市中考数学试卷(含解析)完美打印版
2019年湖南省株洲市中考数学试卷一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣3的倒数是（）A．﹣B．C．﹣3D．32．（3分）×＝（）A．4B．4C．D．23．（3分）下列各式中，与3x2y3是同类项的是（）A．2x5B．3x3y2C．﹣x2y3D．﹣y54．（3分）对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（）A．对角线垂直且相等B．四边都互相垂直C．四个角都相等D．是轴对称图形，但不是中心对称图形5．（3分）关于x的分式方程﹣＝0的解为（）A．﹣3B．﹣2C．2D．36．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）位于哪个象限？（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．（3分）若一组数据x，3，1，6，3的中位数和平均数相等，则x的值为（）A．2B．3C．4D．58．（3分）下列各选项中因式分解正确的是（）A．x2﹣1＝（x﹣1）2B．a3﹣2a2+a＝a2（a﹣2）C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2）D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）29．（3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C为反比例函数y＝（k＞0）上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F，OC 与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（）A．S1＝S2+S3B．S2＝S3C．S3＞S2＞S1D．S1S2＜S3210．（3分）从﹣1，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作a k，b k）构成一个数组M K＝{a k，b k}（其中k＝1，2…S，且将{a k，b k}与{b k，a k}视为同一个数组），若满足：对于任意的M i＝{a i，b i}和M j＝{a j，b j}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有a i+b i≠a j+b j，则S的最大值（）A．10B．6C．5D．4二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）若二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，则a0（填“＝”或“＞”或“＜”）．12．（3分）若一个盒子中有6个白球，4个黑球，2个红球，且各球的大小与质地都相同，现随机从中摸出一个球，得到白球的概率是．13．（3分）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC 的中点，若EF＝1，则AB＝．14．（3分）若a为有理数，且2﹣a的值大于1，则a的取值范围为．15．（3分）如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的角平分线相交于点P，且∠ABP＝60°，则∠APB＝度．16．（3分）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝度．17．（3分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？“其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走步才能追到速度慢的人．18．（3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线x＝1处放置反光镜Ⅰ，在y轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段AB，其中点A（0，1），点B在点A上方，且AB＝1，在直线x＝﹣1处放置一个挡板Ⅲ，从点O发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口AB照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为．三、解答题（本大题共8小题，共66分）19．（6分）计算：|﹣|+π0﹣2cos30°．20．（6分）先化简，再求值：﹣，其中a＝．21．（8分）小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点A 处测得汽车前端F的俯角为α，且tanα＝，若直线AF与地面l1相交于点B，点A到地面l1的垂线段AC的长度为1.6米，假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行．（1）求BC的长度；（2）假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段MN为此长方形前端的边），MN⊥l1，若小强的爸爸将汽车沿直线l1后退0.6米，通过汽车的前端F1点恰好看见障碍物的顶部N点（点D为点A的对应点，点F1为点F的对应点），求障碍物的高度．22．（8分）某甜品店计划订购一种鲜奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与当天的最高气温T有关，现将去年六月份（按30天计算）的有关情况统计如下：（最高气温与需求量统计表）（1）求去年六月份最高气温不低于30℃的天数；（2）若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率；（3）若今年六月份每天的进货量均为350杯，每杯的进价为4元，售价为8元，未售出的这种鲜奶厂家以1元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月份某天的最高气温T满足25≤T＜30（单位：℃），试估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为多少元？23．（8分）如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点，连接CE、DG．（1）求证：△DOG≌△COE；（2）若DG⊥BD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，AM＝，求正方形OEFG 的边长．24．（8分）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，等腰△OAB的边OB与反比例函数y＝（m＞0）的图象相交于点C，其中OB＝AB，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（2，4），过点C作CH⊥x轴于点H．（1）已知一次函数的图象过点O，B，求该一次函数的表达式；（2）若点P是线段AB上的一点，满足OC＝AP，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连结OP，记△OPQ 的面积为S△OPQ，设AQ＝t，T＝OH2﹣S△OPQ①用t表示T（不需要写出t的取值范围）；②当T取最小值时，求m的值．25．（11分）四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，线段AB是⊙O的直径，连结AC、BD．点H是线段BD上的一点，连结AH、CH，且∠ACH＝∠CBD，AD＝CH，BA的延长线与CD的延长线相交与点P．（1）求证：四边形ADCH是平行四边形；（2）若AC＝BC，PB＝PD，AB+CD＝2（+1）①求证：△DHC为等腰直角三角形；②求CH的长度．26．（11分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）（1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1①求该二次函数图象的顶点坐标；②定义：对于二次函数y＝px2+qx+r（p≠0），满足方程y＝x的x的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“不动点”．（2）设b＝c3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜0，x2＞0，与y轴相交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且OC＝OD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC＝∠ABC．F A的延长线与BC的延长线相交于点P，若＝，求二次函数的表达式．2019年湖南省株洲市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣3的倒数是（）A．﹣B．C．﹣3D．3【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．【解答】解：∵﹣3×（﹣）＝1，∴﹣3的倒数是﹣．故选：A．2．（3分）×＝（）A．4B．4C．D．2【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：×＝＝4．故选：B．3．（3分）下列各式中，与3x2y3是同类项的是（）A．2x5B．3x3y2C．﹣x2y3D．﹣y5【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，进行判断即可．【解答】解：A、2x5与3x2y3不是同类项，故本选项错误；B、3x3y2与3x2y3不是同类项，故本选项错误；C、﹣x2y3与3x2y3是同类项，故本选项正确；D、﹣y5与3x2y3是同类项，故本选项错误；故选：C．4．（3分）对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（）A．对角线垂直且相等B．四边都互相垂直C．四个角都相等D．是轴对称图形，但不是中心对称图形【分析】直接利用矩形的性质分析得出答案．【解答】解：A、矩形的对角线相等，但不垂直，故此选项错误；B、矩形的邻边都互相垂直，对边互相平行，故此选项错误；C、矩形的四个角都相等，正确；D、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．5．（3分）关于x的分式方程﹣＝0的解为（）A．﹣3B．﹣2C．2D．3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x﹣6﹣5x＝0，解得：x＝﹣2，经检验x＝﹣2是分式方程的解，故选：B．6．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）位于哪个象限？（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．【解答】解：点A坐标为（2，﹣3），则它位于第四象限，故选：D．7．（3分）若一组数据x，3，1，6，3的中位数和平均数相等，则x的值为（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据平均数与中位数的定义分三种情况x≤1，1＜x＜3，3≤x＜6，x≥6时，分别列出方程，进行计算即可求出答案．【解答】解：当x≤1时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，解得x＝2（舍去）；当1＜x＜3时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，解得x＝2；当3≤x＜6时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，解得x＝2（舍去）；当x≥6时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，解得x＝2（舍去）．所以x的值为2．故选：A．8．（3分）下列各选项中因式分解正确的是（）A．x2﹣1＝（x﹣1）2B．a3﹣2a2+a＝a2（a﹣2）C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2）D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断即可．【解答】解：A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故此选项错误；B、a3﹣2a2+a＝a（a﹣1）2，故此选项错误；C、﹣2y2+4y＝﹣2y（y﹣2），故此选项错误；D、m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2，正确．故选：D．9．（3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C为反比例函数y＝（k＞0）上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F，OC 与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（）A．S1＝S2+S3B．S2＝S3C．S3＞S2＞S1D．S1S2＜S32【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S3＝S2，即可得到结论．【解答】解：∵点A、B、C为反比例函数y＝（k＞0）上不同的三点，AD⊥y轴，BE，CF垂直x轴于点E、F，∴S1＝k，S△BOE＝S△COF＝k，∵S△BOE﹣S OME＝S△CDF﹣S△OME，∴S3＝S2，故选：B．10．（3分）从﹣1，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作a k，b k）构成一个数组M K＝{a k，b k}（其中k＝1，2…S，且将{a k，b k}与{b k，a k}视为同一个数组），若满足：对于任意的M i＝{a i，b i}和M j＝{a j，b j}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有a i+b i≠a j+b j，则S的最大值（）A．10B．6C．5D．4【分析】找出a i+b i的值，结合对于任意的M i＝{a i，b i}和M j＝{a i，b j}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有a i+b i≠a j+b j，即可得出S的最大值．【解答】解：∵﹣1+1＝0，﹣1+2＝1，﹣1+4＝3，1+2＝3，1+4＝5，2+4＝6，∴a i+b i共有5个不同的值．又∵对于任意的M i＝{a i，b i}和M j＝{a j，b j}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有a i+b i≠a j+b j，∴S的最大值为5．故选：C．二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）若二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，则a＜0（填“＝”或“＞”或“＜”）．【分析】由二次函数y＝ax2+bx图象的开口向下，可得a＜0．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，∴a＜0．故答案是：＜．12．（3分）若一个盒子中有6个白球，4个黑球，2个红球，且各球的大小与质地都相同，现随机从中摸出一个球，得到白球的概率是．【分析】先求出总球的个数，再用白球的个数除以总球的个数即可得出答案．【解答】解：∵布袋中有6个白球，4个黑球，2个红球，共有12个球，∴摸到白球的概率是＝；故答案为：．13．（3分）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC 的中点，若EF＝1，则AB＝4．【分析】根据三角形中位线定理求出CM，根据直角三角形的性质求出AB．【解答】解：∵E、F分别为MB、BC的中点，∴CM＝2EF＝2，∵∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，∴AB＝2CM＝4，故答案为：4．14．（3分）若a为有理数，且2﹣a的值大于1，则a的取值范围为a＜1且a为有理数．【分析】根据题意列出不等式，解之可得，【解答】解：根据题意知2﹣a＞1，解得a＜1，故答案为：a＜1且a为有理数．15．（3分）如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的角平分线相交于点P，且∠ABP＝60°，则∠APB＝66度．【分析】首先根据正五边形的性质得到∠EAB＝108度，然后根据角平分线的定义得到∠P AB＝54度，再利用三角形内角和定理得到∠APB的度数．【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠EAB＝108度，∵AP是∠EAB的角平分线，∴∠P AB＝54度，∵∠ABP＝60°，∴∠APB＝180°﹣60°﹣54°＝66°．故答案为：66．16．（3分）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝20度．【分析】由直角三角形的性质得出∠OCE＝25°，由等腰三角形的性质得出∠ODC＝∠OCE＝25°，求出∠DOC＝130°，得出∠BOD＝∠DOC﹣∠COE＝40°，再由圆周角定理即可得出答案．【解答】解：连接OD，如图：∵OC⊥AB，∴∠COE＝90°，∵∠AEC＝65°，∴∠OCE＝90°﹣65°＝25°，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCE＝25°，∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，∴∠BOD＝∠DOC﹣∠COE＝40°，∴∠BAD＝∠BOD＝20°，故答案为：20．17．（3分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？“其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走250步才能追到速度慢的人．【分析】设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t，根据二者的速度差×时间＝路程，即可求出t值，再将其代入路程＝速度×时间，即可求出结论．【解答】解：设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t，根据题意得：（100﹣60）t＝100，解得：t＝2.5，∴100t＝100×2.5＝250．答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．故答案是：250．18．（3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线x＝1处放置反光镜Ⅰ，在y轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段AB，其中点A（0，1），点B在点A上方，且AB＝1，在直线x＝﹣1处放置一个挡板Ⅲ，从点O发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口AB照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为 1.5．【分析】当光线沿O、G、B、C传输时，由tan∠OGH＝tan∠CGE，即：，即：，解得：a＝1，求出y C＝1+2＝3，同理可得：y D＝1.5，即可求解．【解答】解：当光线沿O、G、B、C传输时，过点B作BF⊥GH于点F，过点C作CE⊥GH于点E，方法一：∵△GOB为等腰三角形，∴G（1，1），∵B为CG中点，∴C（﹣1，3），同理D（﹣1，1.5），∴CD＝3﹣1.5＝1.5方法二：∠OGH＝∠CGE＝α，设GH＝a，则GF＝2﹣a，则tan∠OGH＝tan∠CGE，即：，即：，解得：a＝1，则α＝45°，∴GE＝CE＝2，y C＝1+2＝3，当光线反射过点A时，同理可得：y D＝1.5，落在挡板Ⅲ上的光线的长度＝CD＝3﹣1.5＝1.5，故答案为1.5．三、解答题（本大题共8小题，共66分）19．（6分）计算：|﹣|+π0﹣2cos30°．【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式＝+1﹣2×＝+1﹣＝1．20．（6分）先化简，再求值：﹣，其中a＝．【分析】根据分式的减法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：﹣＝＝＝＝＝，当a＝时，原式＝＝﹣4．21．（8分）小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点A 处测得汽车前端F的俯角为α，且tanα＝，若直线AF与地面l1相交于点B，点A到地面l1的垂线段AC的长度为1.6米，假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行．（1）求BC的长度；（2）假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段MN为此长方形前端的边），MN⊥l1，若小强的爸爸将汽车沿直线l1后退0.6米，通过汽车的前端F1点恰好看见障碍物的顶部N点（点D为点A的对应点，点F1为点F的对应点），求障碍物的高度．【分析】（1）由题意得到∠ABC＝∠α，解直角三角形即可得到结论；（2）过D作DH⊥BC于H，于是得到四边形ADHC是矩形，根据矩形的性质得到AD＝CH＝BE＝0.6，根据线段的中点的定义得到BM＝CM＝2.4米，求得EM＝BM﹣BE＝1.8，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）由题意得，∠ABC＝∠α，在Rt△ABC中，AC＝1.6，tan∠ABC＝tanα＝，∴BC＝＝＝4.8m，答：BC的长度为4.8m；（2）过D作DH⊥BC于H，则四边形ADHC是矩形，∴AD＝CH＝BE＝0.6，∵点M是线段BC的中点，∴BM＝CM＝2.4米，∴EM＝BM﹣BE＝1.8，∵MN⊥BC，∴MN∥DH，∴△EMN∽△EHD，∴＝，∴＝，∴MN＝0.6，答：障碍物的高度为0.6米．22．（8分）某甜品店计划订购一种鲜奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与当天的最高气温T有关，现将去年六月份（按30天计算）的有关情况统计如下：（最高气温与需求量统计表）（1）求去年六月份最高气温不低于30℃的天数；（2）若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率；（3）若今年六月份每天的进货量均为350杯，每杯的进价为4元，售价为8元，未售出的这种鲜奶厂家以1元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月份某天的最高气温T满足25≤T＜30（单位：℃），试估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为多少元？【分析】（1）由条形图可得答案；（2）用T＜25的天数除以总天数即可得；（3）根据利润＝销售额﹣成本计算可得．【解答】解：（1）由条形统计图知，去年六月份最高气温不低于30℃的天数为6+2＝8（天）；（2）去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率为＝；（3）250×8﹣350×4+100×1＝700（元），答：估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为700元．23．（8分）如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点，连接CE、DG．（1）求证：△DOG≌△COE；（2）若DG⊥BD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，AM＝，求正方形OEFG 的边长．【分析】（1）由正方形ABCD与正方形OEFG，对角线AC、BD，可得∠DOA＝∠DOC＝90°，∠GOE ＝90°，即可证得∠GOD＝∠COE，因DO＝OC，GO＝EO，则可利用“边角边”即可证两三角形全等（2）过点M作MH⊥DO交DO于点H，由于∠MDB＝45°，由可得DH，MH长，从而求得HO，即可求得MO，再通过MH∥DG，易证得△OHM∽△ODG，则有＝，求得GO即为正方形OEFG 的边长．【解答】解：（1）∵正方形ABCD与正方形OEFG，对角线AC、BD ∴DO＝OC∵DB⊥AC，∴∠DOA＝∠DOC＝90°∵∠GOE＝90°∴∠GOD+∠DOE＝∠DOE+∠COE＝90°∴∠GOD＝∠COE∵GO＝OE∴在△DOG和△COE中∴△DOG≌△COE（SAS）（2）如图，过点M作MH⊥DO交DO于点H∵AM＝，DA＝2∴DM＝∵∠MDB＝45°∴MH＝DH＝sin45°•DM＝，DO＝cos45°•DA＝∴HO＝DO﹣DH＝﹣＝∴在Rt△MHO中，由勾股定理得MO＝＝＝∵DG⊥BD，MH⊥DO∴MH∥DG∴易证△OHM∽△ODG∴＝＝＝，得GO＝2则正方形OEFG的边长为224．（8分）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，等腰△OAB的边OB与反比例函数y＝（m＞0）的图象相交于点C，其中OB＝AB，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（2，4），过点C作CH⊥x轴于点H．（1）已知一次函数的图象过点O，B，求该一次函数的表达式；（2）若点P是线段AB上的一点，满足OC＝AP，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连结OP，记△OPQ 的面积为S△OPQ，设AQ＝t，T＝OH2﹣S△OPQ①用t表示T（不需要写出t的取值范围）；②当T取最小值时，求m的值．【分析】（1）将点O、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx，即可求解；（2）①sin∠APQ＝＝＝sinα＝，则P A＝a＝t，则点C（t，2t），T＝OH2﹣S△OPQ＝（OC•sinα）2﹣×（4﹣t）×2t＝4t2﹣4t；②当t＝时，T取得最小值，而点C（t，2t），即可求解．【解答】解：（1）将点O、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx得：4＝2k，解得：k＝2，故一次函数表达式为：y＝2x，（2）①过点B作BM⊥OA，则∠OCH＝∠QP A＝∠OAB＝∠ABM＝α，则tanα＝，sinα＝，∵OB＝AB，则OM＝AM＝2，则点A（4，0），设：AP＝a，则OC＝a，在△APQ中，sin∠APQ＝＝＝sinα＝，同理PQ＝＝2t，则P A＝a＝t，OC＝t，则点C（t，2t），T＝OH2﹣S△OPQ＝（OC•sinα）2﹣×（4﹣t）×2t＝4t2﹣4t，②∵4＞0，∴T有最小值，当t＝时，T取得最小值，而点C（t，2t），故：m＝t×2t＝．25．（11分）四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，线段AB是⊙O的直径，连结AC、BD．点H是线段BD上的一点，连结AH、CH，且∠ACH＝∠CBD，AD＝CH，BA的延长线与CD的延长线相交与点P．（1）求证：四边形ADCH是平行四边形；（2）若AC＝BC，PB＝PD，AB+CD＝2（+1）①求证：△DHC为等腰直角三角形；②求CH的长度．【分析】（1）由圆周角的定理可得∠DBC＝∠DAC＝∠ACH，可证AD∥CH，由一组对边平行且相等的是四边形是平行四边形可证四边形ADCH是平行四边形；（2）①由平行线的性质可证∠ADH＝∠CHD＝90°，由∠CDB＝∠CAB＝45°，可证△DHC为等腰直角三角形；②通过证明△ADP∽△CBP，可得，可得，通过证明△CHD∽△ACB，可得，可得AB＝CD，可求CD＝2，由等腰直角三角形的性质可求CH的长度．【解答】证明：（1）∵∠DBC＝∠DAC，∠ACH＝∠CBD∴∠DAC＝∠ACH∴AD∥CH，且AD＝CH∴四边形ADCH是平行四边形（2）①∵AB是直径∴∠ACB＝90°＝∠ADB，且AC＝BC∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∴∠CDB＝∠CAB＝45°∵AD∥CH∴∠ADH＝∠CHD＝90°，且∠CDB＝45°∴∠CDB＝∠DCH＝45°∴CH＝DH，且∠CHD＝90°∴△DHC为等腰直角三角形；②∵四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，∴∠ADP＝∠PBC，且∠P＝∠P∴△ADP∽△CBP∴，且PB＝PD，∴，AD＝CH，∴∵∠CDB＝∠CAB＝45°，∠CHD＝∠ACB＝90°∴△CHD∽△ACB∴∴AB＝CD∵AB+CD＝2（+1）∴CD+CD＝2（+1）∴CD＝2，且△DHC为等腰直角三角形∴CH＝26．（11分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）（1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1①求该二次函数图象的顶点坐标；②定义：对于二次函数y＝px2+qx+r（p≠0），满足方程y＝x的x的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“不动点”．（2）设b＝c3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜0，x2＞0，与y轴相交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且OC＝OD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC＝∠ABC．F A的延长线与BC的延长线相交于点P，若＝，求二次函数的表达式．【分析】（1）①把a、b、c的值代入二次函数解析式并配方得顶点式，即求得顶点坐标．②根据定义，把y＝x代入二次函数y＝x2﹣2x﹣1，得x2﹣2x﹣1＝x，根据根的判别式可知满足此方程的x有两个不相等的值，即原二次函数有两个不同的“不动点”．（2）由条件∠AFC＝∠ABC与＝联想到证△PFC∽△PBA的对应边的比，即有．由DF⊥y轴且OC＝OD可得DF∥x轴，由平行线分线段定理可证E也为CF中点，其中CE＝，CF＝2CE可用含c的式子表示．AB可用含x2﹣x1表示，通过韦达定理变形和b＝c3代入可得用a、c表示AB的式子．又由∠AFC＝∠ABC和∠AEF＝∠CEB可证△AEF∽△CEB，对应边成比例可得式子AE•BE＝CE•EF，把含c、x2、x1的式子代入再把韦达定理得到的x1+x2＝﹣，x1x2＝代入化简，可得c＝﹣2a．即能用a表示CF、AB，代回到解方程即求得a 的值，进而求b、c的值，得到二次函数表达式．【解答】解：（1）①∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1∴y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2∴该二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣2）②证明：当y＝x时，x2﹣2x﹣1＝x整理得：x2﹣3x﹣1＝0∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0∴方程x2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根即二次函数y＝x2﹣2x﹣1有两个不同的“不动点”．（2）把b＝c3代入二次函数得：y＝ax2+c3x+c∵二次函数与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜0，x2＞0）即x1、x2为方程ax2+c3x+c＝0的两个不相等实数根∴x1+x2＝﹣，x1x2＝∵当x＝0时，y＝ax2+c3x+c＝c∴C（0，c）∵E（1，0）∴CE＝，AE＝1﹣x1，BE＝x2﹣1∵DF⊥y轴，OC＝OD∴DF∥x轴∴∴EF＝CE＝，CF＝2∵∠AFC＝∠ABC，∠AEF＝∠CEB∴△AEF∽△CEB∴，即AE•BE＝CE•EF∴（1﹣x1）（x2﹣1）＝1+c2展开得：1+c2＝x2﹣1﹣x1x2+x11+c2＝﹣﹣1﹣c3+2ac2+2c+4a＝0c2（c+2a）+2（c+2a）＝0（c2+2）（c+2a）＝0∵c2+2＞0∴c+2a＝0，即c＝﹣2a∴x1+x2＝﹣＝4a2，x1x2＝＝﹣2，CF＝2＝2∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16a4+8∴AB＝x2﹣x1＝∵∠AFC＝∠ABC，∠P＝∠P∴△PFC∽△PBA∴∴解得：a1＝1，a2＝﹣1（舍去）∴c＝﹣2a＝﹣2，b＝c3＝﹣4∴二次函数的表达式为y＝x2﹣4x﹣2。
2019年湖南省株洲市中考数学试卷
2019年湖南省株洲市中考数学试卷一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题3分，共30分）1. −3的倒数是（）A.−13B.13C.−3D.32. √2×√8=()A.4√2B.4C.√10D.2√23. 下列各式中，与3x2y3是同类项的是（）A.2x5B.3x3y2C.−12x2y3 D.−13y54. 对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（）A.对角线垂直且相等B.四边都互相垂直C.四个角都相等D.是轴对称图形，但不是中心对称图形5. 关于x的分式方程2x −5x−3=0的解为（）A.−3B.−2C.2D.36. 在平面直角坐标系中，点A(2, −3)位于哪个象限？( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7. 若一组数据x，3，1，6，3的中位数和平均数相等，则x的值为（）A.2B.3C.4D.58. 下列各选项中因式分解正确的是（）A.x2−1＝(x−1)2B.a3−2a2+a＝a2(a−2)C.−2y2+4y＝−2y(y+2)D.m2n−2mn+n＝n(m−1)29. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C为反比例函数y=kx(k>0)上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（）A.S1＝S2+S3B.S2＝S3C.S3>S2>S1D.S1S2<S3210. 从−1，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作a k，b k）构成一个数组M K＝{a k, b k}（其中k＝1，2...S，且将{a k, b k}与{b k, a k}视为同一个数组），若满足：对于任意的M i＝{a i, b i}和M j＝{a j, b j}(i≠j, 1≤i≤S, 1≤j≤S)都有a i+b i≠a j+b j，则S的最大值（）A.10B.6C.5D.4二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）若二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，则a<0（填“＝”或“>”或“<”）．若一个盒子中有6个白球，4个黑球，2个红球，且各球的大小与质地都相同，现随机从中摸出一个球，得到白球的概率是________．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90∘，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC的中点，若EF＝1，则AB＝________．若a为有理数，且2−a的值大于1，则a的取值范围为________．如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的角平分线相交于点P，且∠ABP＝60∘，则∠APB＝________度．如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65∘，连接AD，则∠BAD＝________度．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？“其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走________步才能追到速度慢的人．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线x＝1处放置反光镜Ⅰ，在y轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段AB，其中点A(0, 1)，点B在点A上方，且AB＝1，在直线x＝−1处放置一个挡板Ⅲ，从点O发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口AB照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为________．三、解答题（本大题共8小题，共66分）计算：|−√3|+π0−2cos30∘．先化简，再求值：a 2−a(a−1)2−a+1a，其中a=12．小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为α，且tanα=13，若直线AF与地面l1相交于点B，点A到地面l1的垂线段AC的长度为1.6米，假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行．（1）求BC的长度；（2）假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段MN为此长方形前端的边），MN⊥l1，若小强的爸爸将汽车沿直线l1后退0.6米，通过汽车的前端F1点恰好看见障碍物的顶部N点（点D为点A的对应点，点F1为点F的对应点），求障碍物的高度．某甜品店计划订购一种鲜奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与当天的最高气温T有关，现将去年六月份（按30天计算）的有关情况统计如下：（最高气温与需求量统计表）（1）求去年六月份最高气温不低于30∘C的天数；（2）若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率；（3）若今年六月份每天的进货量均为350杯，每杯的进价为4元，售价为8元，未售出的这种鲜奶厂家以1元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月份某天的最高气温T满足25≤T<30（单位：∘C），试估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为多少元？如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点，连接CE、DG．（1）求证：△DOG≅△COE；（2）若DG⊥BD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，AM=1，2求正方形OEFG的边长．(m>0)如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，等腰△OAB的边OB与反比例函数y=mx的图象相交于点C，其中OB＝AB，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为(2, 4)，过点C作CH⊥x轴于点H．（1）已知一次函数的图象过点O，B，求该一次函数的表达式；（2）若点P是线段AB上的一点，满足OC=√3AP，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连结OP，记△OPQ的面积为S△OPQ，设AQ＝t，T＝OH2−S△OPQ①用t表示T（不需要写出t的取值范围）；②当T取最小值时，求m的值．四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，线段AB是⊙O的直径，连结AC、BD．点H是线段BD上的一点，连结AH、CH，且∠ACH＝∠CBD，AD＝CH，BA的延长线与CD的延长线相交于点P．（1）求证：四边形ADCH是平行四边形；（2）若AC＝BC，PB=√5PD，AB+CD＝2(√5+1)①求证：△DHC为等腰直角三角形；②求CH的长度．已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0).(1)若a=1，b=−2，c=−1.①求该二次函数图象的顶点坐标；②定义：对于二次函数y=px2+qx+r(p≠0)，满足方程y=x的x的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数y=ax2+bx+c有两个不同的“不动点”．(2)设b=12c3，如图所示，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A(x1, 0)，B(x2, 0)，其中x1<0，x2>0，与y轴相交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且OC=OD，又点E的坐标为(1, 0)，过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC=∠ABC．FA的延长线与BC的延长线相交于点P，若PCPA =√5√5a2+1，求二次函数的表达式．参考答案与试题解析2019年湖南省株洲市中考数学试卷一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题3分，共30分）1.【答案】A【考点】倒数【解析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．【解答】∵−3×(−1)＝1，3∴−3的倒数是−1．32.【答案】B【考点】二次根式的乘除法【解析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【解答】√2×√8=√16=4．3.【答案】C【考点】同类项的概念【解析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，进行判断即可．【解答】A、2x5与3x2y3不是同类项，故本选项错误；B、3x3y2与3x2y3不是同类项，故本选项错误；x2y3与3x2y3是同类项，故本选项正确；C、−12y5与3x2y3是同类项，故本选项错误；D、−134.【答案】C【考点】轴对称图形中心对称图形【解析】直接利用矩形的性质分析得出答案．【解答】A、矩形的对角线相等，但不垂直，故此选项错误；B、矩形的邻边都互相垂直，对边互相平行，故此选项错误；C、矩形的四个角都相等，正确；D、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误．5.【答案】B【考点】解分式方程【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】去分母得：2x−6−5x＝0，解得：x＝−2，经检验x＝−2是分式方程的解，6.【答案】D【考点】点的坐标【解析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．【解答】解：四个象限的符号特点分别是：第一象限(+, +)；第二象限(−, +)；第三象限(−, −)；第四象限(+, −)．点A坐标为(2, −3)，则它位于第四象限.故选D.7.【答案】A【考点】算术平均数中位数【解析】根据平均数与中位数的定义分三种情况x≤1，1<x<3，3≤x<6，x≥6时，分别列出方程，进行计算即可求出答案．【解答】(x+3+1+6+3)＝3，当x≤1时，中位数与平均数相等，则得到：15解得x＝2（舍去）；(x+3+1+6+3)＝3，当1<x<3时，中位数与平均数相等，则得到：15解得x＝2；(x+3+1+6+3)＝3，当3≤x<6时，中位数与平均数相等，则得到：15解得x＝2（舍去）；当x≥6时，中位数与平均数相等，则得到：15(x+3+1+6+3)＝3，解得x＝2（舍去）．所以x的值为2．8.【答案】D【考点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断即可．【解答】A、x2−1＝(x+1)(x−1)，故此选项错误；B、a3−2a2+a＝a(a−1)2，故此选项错误；C、−2y2+4y＝−2y(y−2)，故此选项错误；D、m2n−2mn+n＝n(m−1)2，正确．9.【答案】B【考点】反比例函数系数k的几何意义反比例函数的性质解直角三角形反比例函数图象上点的坐标特征【解析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S3＝S2，即可得到结论．【解答】∵点A、B、C为反比例函数y=kx(k>0)上不同的三点，AD⊥y轴，BE，CF垂直x 轴于点E、F，∴S1=12k，S△BOE＝S△COF=12k，∵S△BOE−S OME＝S△CDF−S△OME，∴S3＝S2，10.【答案】C【考点】规律型：图形的变化类规律型：点的坐标规律型：数字的变化类【解析】找出a i+b i的值，结合对于任意的M i＝{a i, b i}和M j＝{a i, b j}(i≠j, 1≤i≤S, 1≤j≤S)都有a i+b i≠a j+b j，即可得出S的最大值．【解答】∵−1+1＝0，−1+2＝1，−1+4＝3，1+2＝3，1+4＝5，2+4＝6，∴a i+b i共有5个不同的值．又∵对于任意的M i＝{a i, b i}和M j＝{a j, b j}(i≠j, 1≤i≤S, 1≤j≤S)都有a i+b i≠a j+b j，∴S的最大值为5．二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）【答案】<【考点】二次函数图象与系数的关系【解析】由二次函数y＝ax2+bx图象的开口向下，可得a<0．【解答】∵二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，∴a<0．【答案】12【考点】概率公式【解析】先求出总球的个数，再用白球的个数除以总球的个数即可得出答案．【解答】∵布袋中有6个白球，4个黑球，2个红球，共有12个球，∴摸到白球的概率是612=12；【答案】4【考点】三角形中位线定理直角三角形斜边上的中线【解析】根据三角形中位线定理求出CM，根据直角三角形的性质求出AB．【解答】∵E、F分别为MB、BC的中点，∴CM＝2EF＝2，∵∠ACB＝90∘，CM是斜边AB上的中线，∴AB＝2CM＝4，【答案】a<1，且a为有理数【考点】解一元一次不等式【解析】根据题意列出不等式，解之可得，【解答】解：根据题意知a为有理数，且2−a>1，解得a<1.故答案为：a<1，且a为有理数.【答案】66【考点】多边形内角与外角【解析】首先根据正五边形的性质得到∠EAB＝108度，然后根据角平分线的定义得到∠PAB＝54度，再利用三角形内角和定理得到∠APB的度数．【解答】∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠EAB＝108度，∵AP是∠EAB的角平分线，∴∠PAB＝54度，∵∠ABP＝60∘，∴∠APB＝180∘−60∘−54∘＝66∘．【答案】20【考点】圆周角定理垂径定理等腰三角形的性质【解析】由直角三角形的性质得出∠OCE＝25∘，由等腰三角形的性质得出∠ODC＝∠OCE＝25∘，求出∠DOC＝130∘，得出∠BOD＝∠DOC−∠COE＝40∘，再由圆周角定理即可得出答案．【解答】解：连结OD，如图，∵OC⊥AB，∴∠COE=90∘，∵∠AEC=65∘，∴∠OCE=90∘−65∘=25∘，∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCE=25∘，∴∠DOC=180∘−25∘−25∘=130∘，∴∠BOD=∠DOC−∠COE=40∘，∴∠BAD=1∠BOD=20∘.2故答案为：20.【答案】250一元一次方程的应用——工程进度问题一元一次方程的应用——其他问题【解析】设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t，根据二者的速度差×时间＝路程，即可求出t值，再将其代入路程＝速度×时间，即可求出结论．【解答】设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t，根据题意得：(100−60)t＝100，解得：t＝2.5，∴100t＝100×2.5＝250．答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．【答案】1.5【考点】一次函数的应用坐标与图形变化-对称勾股定理【解析】当光线沿O、G、B、C传输时，由tan∠OGH＝tan∠CGE，即：OHGH =BFGF，即：1a=12−a，解得：a＝1，求出y C＝1+2＝3，同理可得：y D＝1.5，即可求解．【解答】当光线沿O、G、B、C传输时，过点B作BF⊥GH于点F，过点C作CE⊥GH于点E，方法一：∵△GOB为等腰三角形，∴G (1, 1)，∵B为CG中点，∴C (−1, 3)，同理D(−1, 1.5)，∴CD＝3−1.5＝1.5方法二：∠OGH＝∠CGE＝α，设GH＝a，则GF＝2−a，则tan∠OGH＝tan∠CGE，即：OHGH =BFGF，11则α＝45∘，∴GE＝CE＝2，y C＝1+2＝3，当光线反射过点A时，同理可得：y D＝1.5，落在挡板Ⅲ上的光线的长度＝CD＝3−1.5＝1.5，三、解答题（本大题共8小题，共66分）【答案】原式=√3+1−2×√32=√3+1−√3＝1．【考点】零指数幂特殊角的三角函数值实数的运算【解析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】原式=√3+1−2×√32=√3+1−√3＝1．【答案】a2−a (a−1)2−a+1a=a(a−1)(a−1)2−a+1a=aa−1−a+1a=a2−(a−1)(a+1)a(a−1)=a2−a2+1 a(a−1)=1a(a−1)，当a=12时，原式=112(12−1)=−4．【考点】分式的化简求值【解析】根据分式的减法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】a2−a (a−1)2−a+1a=a(a−1)2−a+1=a2−(a−1)(a+1)a(a−1)=a2−a2+1 a(a−1)=1a(a−1)，当a=12时，原式=112(12−1)=−4．【答案】BC的长度为4.8m；障碍物的高度为0.6米．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题矩形的性质解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】（1）由题意得到∠ABC＝∠α，解直角三角形即可得到结论；（2）过D作DH⊥BC于H，于是得到四边形ADHC是矩形，根据矩形的性质得到AD＝CH＝BE＝0.6，根据线段的中点的定义得到BM＝CM＝2.4米，求得EM＝BM−BE＝1.8，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】由题意得，∠ABC＝∠α，在Rt△ABC中，AC＝1.6，tan∠ABC＝tanα=13，∴BC=ACtan∠ABC =1.613=4.8m，答：BC的长度为4.8m；过D作DH⊥BC于H，则四边形ADHC是矩形，∴AD＝CH＝BE＝0.6，∵点M是线段BC的中点，∴BM＝CM＝2.4米，∴EM＝BM−BE＝1.8，∵MN⊥BC，∴MN // DH，∴△EMN∽△EHD，∴MNDH =EMEH，∴MN1.6=1.84.8，答：障碍物的高度为0.6米．【答案】由条形统计图知，去年六月份最高气温不低于30∘C的天数为6+2＝8（天）；去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率为3+930=25；250×8−350×4+100×1＝700（元），答：估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为700元．【考点】利用频率估计概率频数（率）分布表频数（率）分布直方图【解析】（1）由条形图可得答案；（2）用T<25的天数除以总天数即可得；（3）根据利润＝销售额-成本计算可得．【解答】由条形统计图知，去年六月份最高气温不低于30∘C的天数为6+2＝8（天）；去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率为3+930=25；250×8−350×4+100×1＝700（元），答：估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为700元．【答案】∵正方形ABCD与正方形OEFG，对角线AC、BD∴DO＝OC∵DB⊥AC，∴∠DOA＝∠DOC＝90∘∵∠GOE＝90∘∴∠GOD+∠DOE＝∠DOE+∠COE＝90∘∴∠GOD＝∠COE∵GO＝OE∴在△DOG和△COE中{DO=OC∠GOD=∠COE GD=OE∴△DOG≅△COE(SAS)如图，过点M作MH⊥DO交DO于点H ∵AM=12，DA＝2∴DM=32∴MH＝DH＝sin45∘⋅DM=3√24，DO＝cos45∘⋅DA=√2∴HO＝DO−DH=√2−3√24=√24∴在Rt△MHO中，由勾股定理得MO=√MH2+HO2=√(3√24)2+(√24)2=√52∵DG⊥BD，MH⊥DO ∴MH // DG∴易证△OHM∽△ODG∴OHOD =MOGO=√24√2=√52GO，得GO＝2√5则正方形OEFG的边长为2√5【考点】正方形的性质全等三角形的性质与判定【解析】（1）由正方形ABCD与正方形OEFG，对角线AC、BD，可得∠DOA＝∠DOC＝90∘，∠GOE＝90∘，即可证得∠GOD＝∠COE，因DO＝OC，GO＝EO，则可利用“边角边”即可证两三角形全等（2）过点M作MH⊥DO交DO于点H，由于∠MDB＝45∘，由可得DH，MH长，从而求得HO，即可求得MO，再通过MH // DG，易证得△OHM∽△ODG，则有OHOD =MOGO，求得GO即为正方形OEFG的边长．【解答】∵正方形ABCD与正方形OEFG，对角线AC、BD ∴DO＝OC∵DB⊥AC，∴∠DOA＝∠DOC＝90∘∵∠GOE＝90∘∴∠GOD+∠DOE＝∠DOE+∠COE＝90∘∴∠GOD＝∠COE∵GO＝OE∴在△DOG和△COE中{DO=OC∠GOD=∠COE GD=OE如图，过点M 作MH ⊥DO 交DO 于点H∵ AM =12，DA ＝2∴ DM =32∵ ∠MDB ＝45∘∴ MH ＝DH ＝sin45∘⋅DM =3√24，DO ＝cos45∘⋅DA =√2∴ HO ＝DO −DH =√2−3√24=√24∴ 在Rt △MHO 中，由勾股定理得MO =√MH 2+HO 2=√(3√24)2+(√24)2=√52∵ DG ⊥BD ，MH ⊥DO∴ MH // DG∴ 易证△OHM ∽△ODG∴ OH OD =MO GO =√242=√52GO ，得GO ＝2√5则正方形OEFG 的边长为2√5【答案】将点O 、B 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx 得：4＝2k ，解得：k ＝2，故一次函数表达式为：y ＝2x ，①过点B 作BM ⊥OA ，则∠OCH ＝∠QPA ＝∠OAB ＝∠ABM ＝α，则tanα=12，sinα=√5，在△APQ 中，sin∠APQ =QA PA =t a =sinα=√5，同理PQ =t tanα=2t ，则PA ＝a =√5t ，OC =√15t ， 则点C(√3t, 2√3t)，T ＝OH 2−S △OPQ ＝(OC ⋅sinα)2−12×(4−t)×2t ＝4t 2−4t ，②∵ 4>0，∴ T 有最小值，当t =12时，T 取得最小值， 而点C(√3t, 2√3t)，故：m =√3t ×2√3t =32．【考点】反比例函数综合题【解析】（1）将点O 、B 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx ，即可求解；（2）①sin∠APQ =QA PA =t a =sinα=√5，则PA ＝a =√5t ，则点C(√3t, 2√3t)，T ＝OH 2−S △OPQ ＝(OC ⋅sinα)2−12×(4−t)×2t ＝4t 2−4t ；②当t =12时，T 取得最小值，而点C(√3t, 2√3t)，即可求解．【解答】将点O 、B 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx 得：4＝2k ，解得：k ＝2，故一次函数表达式为：y ＝2x ，①过点B 作BM ⊥OA ，则∠OCH ＝∠QPA ＝∠OAB ＝∠ABM ＝α，则tanα=12，sinα=5，∵ OB ＝AB ，则OM ＝AM ＝2，则点A(4, 0)，设：AP ＝a ，则OC =√3a ，在△APQ 中，sin∠APQ =QA PA =t a =sinα=√5，则点C(√3t, 2√3t)，T＝OH2−S△OPQ＝(OC⋅sinα)2−12×(4−t)×2t＝4t2−4t，②∵4>0，∴T有最小值，当t=12时，T取得最小值，而点C(√3t, 2√3t)，故：m=√3t×2√3t=32．【答案】∵∠DBC＝∠DAC，∠ACH＝∠CBD∴∠DAC＝∠ACH∴AD // CH，且AD＝CH∴四边形ADCH是平行四边形①∵AB是直径∴∠ACB＝90∘＝∠ADB，且AC＝BC∴∠CAB＝∠ABC＝45∘，∴∠CDB＝∠CAB＝45∘∵AD // CH∴∠ADH＝∠CHD＝90∘，且∠CDB＝45∘∴∠CDB＝∠DCH＝45∘∴CH＝DH，且∠CHD＝90∘∴△DHC为等腰直角三角形；②∵四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，∴∠ADP＝∠PBC，且∠P＝∠P∴△ADP∽△CBP∴ADBC =PDPB，且PB=√5PD，∴ADBC =√5，AD＝CH，∴CHBC =√5∵∠CDB＝∠CAB＝45∘，∠CHD＝∠ACB＝90∘∴△CHD∽△ACB∴CDAB =CHBC=5∴AB=√5CD∵AB+CD＝2(√5+1)∴√5CD+CD＝2(√5+1)∴CD＝2，且△DHC为等腰直角三角形∴CH=√2【考点】圆与圆的综合与创新圆与函数的综合圆与相似的综合（1）由圆周角的定理可得∠DBC＝∠DAC＝∠ACH，可证AD // CH，由一组对边平行且相等的是四边形是平行四边形可证四边形ADCH是平行四边形；（2）①由平行线的性质可证∠ADH＝∠CHD＝90∘，由∠CDB＝∠CAB＝45∘，可证△DHC为等腰直角三角形；②通过证明△ADP∽△CBP，可得ADBC =PDPB，可得CHBC=√5，通过证明△CHD∽△ACB，可得CDAB =CHBC=√5，可得AB=√5CD，可求CD＝2，由等腰直角三角形的性质可求CH的长度．【解答】∵∠DBC＝∠DAC，∠ACH＝∠CBD∴∠DAC＝∠ACH∴AD // CH，且AD＝CH∴四边形ADCH是平行四边形①∵AB是直径∴∠ACB＝90∘＝∠ADB，且AC＝BC∴∠CAB＝∠ABC＝45∘，∴∠CDB＝∠CAB＝45∘∵AD // CH∴∠ADH＝∠CHD＝90∘，且∠CDB＝45∘∴∠CDB＝∠DCH＝45∘∴CH＝DH，且∠CHD＝90∘∴△DHC为等腰直角三角形；②∵四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，∴∠ADP＝∠PBC，且∠P＝∠P∴△ADP∽△CBP∴ADBC =PDPB，且PB=√5PD，∴ADBC =√5，AD＝CH，∴CHBC =√5∵∠CDB＝∠CAB＝45∘，∠CHD＝∠ACB＝90∘∴△CHD∽△ACB∴CDAB =CHBC=√5∴AB=√5CD∵AB+CD＝2(√5+1)∴√5CD+CD＝2(√5+1)∴CD＝2，且△DHC为等腰直角三角形∴CH=√2【答案】解：(1)①∵a=1，b=−2，c=−1，∴y=x2−2x−1=(x−1)2−2，∴该二次函数图象的顶点坐标为(1, −2)；②证明：当y=x时，x2−2x−1=x，∴Δ=(−3)2−4×1×(−1)=13>0，∴方程x2−3x−1=0有两个不相等的实数根，即二次函数y=x2−2x−1有两个不同的“不动点”．(2)把b=12c3代入二次函数得：y=ax2+12c3x+c，∵二次函数与x轴交于点A(x1, 0)，B(x2, 0)(x1<0, x2>0)，即x1，x2为方程ax2+12c3x+c=0的两个不相等实数根，∴x1+x2=−12c3a=−c32a，x1x2=ca.∵当x=0时，y=ax2+12c3x+c=c,∴C(0, c).∵E(1, 0),∴CE=√1+c2，AE=1−x1，BE=x2−1, ∵DF⊥y轴，OC=OD,∴DF // x轴,∴CEEF =OCOD=1,∴EF=CE=√1+c2，CF=2√1+c2, ∵∠AFC=∠ABC，∠AEF=∠CEB,∴△AEF∼△CEB,∴AECE =EFBE，即AE⋅BE=CE⋅EF,∴(1−x1)(x2−1)=1+c2,展开得：1+c2=x2−1−x1x2+x1,1+c2=−c32a −1−ca,c3+2ac2+2c+4a=0,c2(c+2a)+2(c+2a)=0, (c2+2)(c+2a)=0,∵c2+2>0,∴c+2a=0，即c=−2a,∴x1+x2=−−8a32a =4a2，x1x2=−2aa=−2，CF=2√1+c2=2√1+4a2,∴(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=16a4+8,∴AB=x2−x1=√16a4+8=2√4a4+2,∵∠AFC=∠ABC，∠P=∠P, ∴△PFC∼△PBA,∴CFAB =PCPA=√5√5a2+1,∴2√1+4a22√4a4+2=√5√5a2+1,解得：a1=1，a2=−1（舍去）, ∴c=−2a=−2，b=12c3=−4,∴二次函数的表达式为y=x2−4x−2.【考点】二次函数综合题【解析】（1）①把a、b、c的值代入二次函数解析式并配方得顶点式，即求得顶点坐标．②根据定义，把y＝x代入二次函数y＝x2−2x−1，得x2−2x−1＝x，根据根的判别式可知满足此方程的x有两个不相等的值，即原二次函数有两个不同的“不动点”．（2）由条件∠AFC＝∠ABC与PCPA =√5√5a2+1联想到证△PFC∽△PBA的对应边的比，即有CF AB =PCPA=√52．由DF⊥y轴且OC＝OD可得DF // x轴，由平行线分线段定理可证E也为CF中点，其中CE=√c2+1，CF＝2CE可用含c的式子表示．AB可用含x2−x1表示，通过韦达定理变形和b=12c3代入可得用a、c表示AB的式子．又由∠AFC＝∠ABC 和∠AEF＝∠CEB可证△AEF∽△CEB，对应边成比例可得式子AE⋅BE＝CE⋅EF，把含c、x2、x1的式子代入再把韦达定理得到的x1+x2=−c32a ，x1x2=ca代入化简，可得c＝−2a．即能用a表示CF、AB，代回到CFAB =PCPA=√5√5a2+1解方程即求得a的值，进而求b、c的值，得到二次函数表达式．【解答】解：(1)①∵a=1，b=−2，c=−1，∴y=x2−2x−1=(x−1)2−2，∴该二次函数图象的顶点坐标为(1, −2)；②证明：当y=x时，x2−2x−1=x，整理得：x2−3x−1=0，∴Δ=(−3)2−4×1×(−1)=13>0，∴方程x2−3x−1=0有两个不相等的实数根，即二次函数y=x2−2x−1有两个不同的“不动点”．(2)把b=12c3代入二次函数得：y=ax2+12c3x+c，∵二次函数与x轴交于点A(x1, 0)，B(x2, 0)(x1<0, x2>0)，即x1，x2为方程ax2+12c3x+c=0的两个不相等实数根，∴x1+x2=−12c3a=−c32a，x1x2=ca.∵当x=0时，y=ax2+12c3x+c=c,∴C(0, c).∵E(1, 0),∴CE=√1+c2，AE=1−x1，BE=x2−1, ∵DF⊥y轴，OC=OD,∴DF // x轴,∴CEEF =OCOD=1,∴EF=CE=√1+c2，CF=2√1+c2,∵∠AFC=∠ABC，∠AEF=∠CEB, ∴△AEF∼△CEB,∴AECE =EFBE，即AE⋅BE=CE⋅EF,∴(1−x1)(x2−1)=1+c2,展开得：1+c2=x2−1−x1x2+x1,1+c2=−c32a −1−ca,c3+2ac2+2c+4a=0,c2(c+2a)+2(c+2a)=0, (c2+2)(c+2a)=0,∵c2+2>0,∴c+2a=0，即c=−2a,∴x1+x2=−−8a32a =4a2，x1x2=−2aa=−2，CF=2√1+c2=2√1+4a2,∴(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=16a4+8,∴AB=x2−x1=√16a4+8=2√4a4+2,∵∠AFC=∠ABC，∠P=∠P, ∴△PFC∼△PBA,∴CFAB =PCPA=√5√5a2+1,∴2√1+4a22√4a4+2=√5√5a2+1,解得：a1=1，a2=−1（舍去）,∴c=−2a=−2，b=12c3=−4,∴二次函数的表达式为y=x2−4x−2.。
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株洲市2019年中考数学试题及答案（试卷满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．﹣3的倒数是（ ） A ．﹣13- B ．13-C ．﹣3D ．32． ×＝（ ）A ．4B ．4C ．D ．23．下列各式中，与3x 2y 3是同类项的是（ ） A ．2x 5B ．3x 3y 2C ．﹣2312x y -D ．513y -4．对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（ ） A ．对角线垂直且相等 B ．四边都互相垂直C ．四个角都相等D ．是轴对称图形，但不是中心对称图形 5．关于x 的分式方程2503x x -=-的解为（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．2D ．36．在平面直角坐标系中，点A （2，﹣3）位于哪个象限？（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．若一组数据x ，3，1，6，3的中位数和平均数相等，则x 的值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．58．下列各选项中因式分解正确的是（ ） A ．x 2﹣1＝（x ﹣1）2B ．a 3﹣2a 2+a ＝a 2（a ﹣2）C ．﹣2y 2+4y ＝﹣2y （y +2）D ．m 2n ﹣2mn +n ＝n （m ﹣1）29．如图所示，在直角平面坐标系Oxy 中，点A 、B 、C 为反比例函数(0)ky k x=>上不同的三点，连接OA 、OB 、OC ，过点A 作AD ⊥y 轴于点D ，过点B 、C 分别作BE ，CF 垂直x 轴于点E 、F ，OC 与BE 相交于点M ，记△AOD 、△BOM 、四边形CMEF 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则（ ）A．S1＝S2+S3B．S2＝S3C．S3＞S2＞S1D．S1S2＜S3210．从﹣1，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作a k，b k）构成一个数组M K＝{a k，b k}（其中k＝1，2…S，且将{a k，b k}与{b k，a k}视为同一个数组），若满足：对于任意的M i ＝{a i，b i}和M j＝{a i，b j}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有a i+b i≠a j+b j，则S的最大值（）A．10 B．6 C．5 D．4二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）11．若二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，则a0（填“＝”或“＞”或“＜”）．12．若一个盒子中有6个白球，4个黑球，2个红球，且各球的大小与质地都相同，现随机从中摸出一个球，得到白球的概率是．13．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC 的中点，若EF＝1，则AB＝．14．若a为有理数，且2﹣a的值大于1，则a的取值范围为．15．如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的角平分线相交于点P，且∠ABP＝60°，则∠APB＝度．16．如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝度．17．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？“其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走步才能追到速度慢的人．18．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线x＝1处放置反光镜Ⅰ，在y轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段AB，其中点A（0，1），点B在点A上方，且AB＝1，在直线x＝﹣1处放置一个挡板Ⅲ，从点O发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口AB照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为．三、解答题（本大题共8小题，共66分）19．（6分）计算：|﹣|+π0﹣2cos30°．20．（6分）先化简，再求值：221(1)a a aa a-+--，其中a＝12．21．（8分）小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为α，且tanα＝13，若直线AF与地面l1相交于点B，点A到地面l1的垂线段AC的长度为1.6米，假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行．（1）求BC的长度；（2）假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段MN为此长方形前端的边），MN⊥l1，若小强的爸爸将汽车沿直线l1后退0.6米，通过汽车的前端F1点恰好看见障碍物的顶部N点（点D为点A的对应点，点F1为点F的对应点），求障碍物的高度．22．（8分）某甜品店计划订购一种鲜奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与当天的最高气温T有关，现将去年六月份（按30天计算）的有关情况统计如下：（最高气温与需求量统计表）最高气温T（单位：℃）需求量（单位：杯）T＜25 20025≤T＜30 250T≥30 400 （1）求去年六月份最高气温不低于30℃的天数；（2）若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率；（3）若今年六月份每天的进货量均为350杯，每杯的进价为4元，售价为8元，未售出的这种鲜奶厂家以1元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月份某天的最高气温T满足25≤T＜30（单位：℃），试估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为多少元？23．（8分）如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点，连接CE 、DG ．（1）求证：△DOG ≌△COE ；（2）若DG ⊥BD ，正方形ABCD 的边长为2，线段AD 与线段OG 相交于点M ，AM ＝12，求正方形OEFG 的边长．24．（8分）如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，等腰△OAB 的边OB 与反比例函数(0)my m x=>的图象相交于点C ，其中OB ＝AB ，点A 在x 轴的正半轴上，点B 的坐标为（2，4），过点C 作CH ⊥x 轴于点H ．（1）已知一次函数的图象过点O ，B ，求该一次函数的表达式； （2）若点P 是线段AB 上的一点，满足OC ＝AP ，过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，连结OP ，记△OPQ 的面积为S △OPQ ，设AQ ＝t ，T ＝OH 2﹣S △OPQ ①用t 表示T （不需要写出t 的取值范围）； ②当T 取最小值时，求m 的值．25．（11分）四边形ABCD 是⊙O 的圆内接四边形，线段AB 是⊙O 的直径，连结AC 、BD ．点H 是线段BD 上的一点，连结AH 、CH ，且∠ACH ＝∠CBD ，AD ＝CH ，BA 的延长线与CD 的延长线相交与点P ．（1）求证：四边形ADCH 是平行四边形； （2）若AC ＝BC ，PB ＝PD ，AB +CD ＝2（+1）①求证：△DHC 为等腰直角三角形； ②求CH 的长度．26．（11分）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＞0） （1）若a ＝1，b ＝﹣2，c ＝﹣1 ①求该二次函数图象的顶点坐标；②定义：对于二次函数y ＝px 2+qx +r （p ≠0），满足方程y ＝x 的x 的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数y ＝ax 2+bx +c 有两个不同的“不动点”． （2）设b ＝312c ，如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴分别相交于不同的两点A （x 1，0），B （x 2，0），其中x 1＜0，x 2＞0，与y 轴相交于点C ，连结BC ，点D 在y 轴的正半轴上，且OC ＝OD ，又点E 的坐标为（1，0），过点D 作垂直于y 轴的直线与直线CE 相交于点F ，满足∠AFC ＝∠ABC ．FA 的延长线与BC 的延长线相交于点P ，若2PC 5PA 51a =+，求二次函数的表达式．参考答案一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题3分，共30分）1．A 2.B 3.C 4.C 5.B 6.D 7.A 8.D 9.D 10.C二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）11．＜ 12．1213．4 14．a＜1且a为有理数 15．66 16．20 17．250 18．1.5．三、解答题（本大题共8小题，共66分）19．解：原式＝+1﹣2×＝+1﹣＝1．20．解：﹣＝＝＝＝当a＝12时，原式＝＝﹣4．21．解：（1）由题意得，∠ABC＝∠α，在Rt△ABC中，AC＝1.6，tan∠ABC＝tanα＝，∴BC＝＝＝4.8m，答：BC的长度为4.8m；（2）过D作DH⊥BC于H，则四边形ADHC是矩形，∴AD＝CH＝BE＝0.6，答：障碍物的高度为0.6米．22．解：（1）由条形统计图知，去年六月份最高气温不低于30℃的天数为6+2＝8（天）；（2）去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率为；（3）250×8﹣350×4+100×1＝730（元），答：估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为730元．以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．23．解：（1）∵正方形ABCD与正方形OEFG，对角线AC、BD∴DO＝OC∵DB⊥AC，∴∠DOA＝∠DOC＝90°∵∠GOE＝90°∴∠GOD+∠DOE＝∠DOE+∠COE＝90°∴∠GOD＝∠COE∵GO＝OE∴在△DOG和△COE中∴△DOG≌△COE（SAS）（2）如图，过点M作MH⊥DO交DO于点H24．解：（1）将点O、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx得：4＝2k，解得：k＝2，故一次函数表达式为：y＝2x，（2）①过点B作BM⊥OA，。