初二【数学(人教版)】完全平方公式(第一课时) 教学设计
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10min
三、例题讲解
【例1】运用完全平方公式计算：
(1)(x+6)2(2)(4m+n)2
(3) (4)
【分析】
(1)
首先，判断是否具备公式的结构特征：
——两数和的平方
之后，找准哪个数或式子相当于公式中的a和b：
最后，运用完全平方公式运算：
（2）(4m+n)2
(a+b)2
a
b
a2+2ab+b2
(4m+n)2
如图，大正方形面积=(a+b)2
四个小四边形面积和=a2+ab+ab+b2
则，(a+b)2=a2+2ab+b2
【问题5】能类比两数和的完全平方公式的学习过程，表示两数差的完全平方吗？即：(a−b)2=？
【推导过程】
法一：(a−b)2=(a−b)(a−b)
=a2−ab−ab+b2
=a2−2ab+b2．
法二：(a−b)2=[a+(−b)]2
=a2+2 a (−b)+(−b)2
=a2−2ab+b2．
所以，(a−b)2=a2−2ab+b2．
【结构特征】
(1)左边为两个数差的平方；
(2)右边为两个数的平方和再减去这两个数的积的2倍．
【几何意义】
如图，深粉色正方形面积=(a−b)2
深粉色正方形面积还可以表示为：大正方形面积−两个浅粉色长方形面积−小深粉色正方形面积=a2−(a−b)b−(a−b)b−b2
则，(a−b)2=a2−2ab+b2．
【符号语言】(a−b)2=a2−2ab+b2
【文字叙述】两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍.
【归纳总结】
通过上面的学习，我们得到了两个新的公式，一个是两数和的完全平方公式，一个是两数差的完全平方公式，这两个公式我们统称为完全平方公式，符号语言可以统一写成(a±b)2＝a2±2ab＋b2的形式.所以，以后遇到两个相同的多项式相乘的时候，我们可以直接使用完全平方公式进行运算.
【答案】
（1）
=
（2）
（3）(ab−1)2=(ab)2−2·(ab)·1+12
=a2b2−2ab+1
【例2】判断下列运算是否正确，若不正确，给予改正.
（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】
（1）×，结果应该是二次三项式，这里是二项式，应改为：
（2）√
（3）×， 的形式为两数差的完全平方公式的形式，运算结果应为这两个数的平方和，减去它们的积的2倍，应改为：
(2)多项式与多项式相乘的法则是什么？
(3)乘法公式中的平方差公式是什么？
【答案】
(1)a2=a·a；
(2)多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
符号语言表示为：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq.
(3)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
3、公式中的a、b可以表示任何的数或式子.
【答案】解：
(1)(x+6)2=x2+2·x·6+62
=x2+12x+36
(2)(4m+n)2=(4m)2+2·(4m)·n+n2
=16m2+8mn+n2
(3)(y− )2=y2−2·y· +( )2
=y2−y+
(4)
=
巩固练习：
（1）
（2）
（3）(ab−1)2
2、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力；
3、了解“特殊——一般”的认识规律，体会数形结合、类比、转化的数学思想.
教学重点：完全平方公式的理解与运用
教学难点：掌握公式的结构特征，正确运用公式进行计算
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
3min
一、复习引入
【问题1】回顾以下知识：
(1)a2可以表示成什么？
(2)(m+2)2=(m+2)(m+2) =m2+4m+4；
通过运算，我们可以发现这两个式子都具备如下规律：
等号左边为两个数的和的平方；
等号右边是一个二次三项式，三项分别是两个数的平方和再加上一个式子，而这个式子正好是这两个数乘积的2倍．
【答案】
(1)(p+1)2=p2+2p+1
(2)(m+2)2=m2+4m+4
符号语言表示为：(a+b)(a−b)=a2−b2.
这节课，我们就在研究完平方差公式的基础上，继续学习乘法公式.
10min
二、新课教学
【问题2】计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1)(p+1)2= _______；
(2)(m+2)2= _______；
【分析】
(1) (p+1)2可以看成(p+1)(p+1)，应用多项式与多项式相乘的法则，计算得到(p+1)2=p2+2p+1；
【问题3】通过上面两个具体实例我们发现：两数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍.那么，对任意的a、b，上述发现的规律都成立吗？如何证明？
【分析】利用多项式与多项式相乘的法则进行计算：
(a+b)2=(a+b)(a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2．
所以，(a+b)2=a2+2ab+b2．
【归纳新知】于是我们得到了求两个数和的平方的公式，这个公式叫做两数和的完全平方公式.
符号语言为：(a+b)2=a2+2ab+b2.
你能试着用文字语言将上述公式叙述表达出来吗？
文字叙述：两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍.
【问题4】通过上一节课的学习，我们知道可以用图形面积来解释一些代数恒等式．你能用下面图形的面积说明两数和的完全平方公式吗？
注意：遇到系数为小数时要先把小数转化成分数
【Байду номын сангаас结】
1、运用完全平方公式的运算步骤：
(1)判断：判断是否具备公式的结构特征；
(2)对应：找准哪个数或式子相当于公式中的a和b
(3)计算：运用完全平方公式运算出结果
2、为了更方便的记住完全平方公式的结构和结果，我们可以用这样的口诀来记忆：“首”平方，“尾”平方，“首尾”2倍放中央.
4m
n
(4m)2+2·(4m)·n+n2
注意：4m相当于公式中的a，运用两数和的完全平方公式进行运算时，需要利用积的乘方法则进行(4m)2的运算，其中系数4也需要进行平方运算
(3)(y− )2
(a−b)2
a
b
a2−2ab+b2
(y− )2
y
y2−2·y· +( )2
（4）
(a−b)2
a
b
a2−2ab+b2
课程基本信息
课例编号
学科
数学
年级
八年级
学期
秋季
课题
完全平方公式(第一课时)
教科书
书名：义务教育教科书数学八年级上册
出版社：人民教育出版社出版日期：2013年6月
教学人员
姓名
单位
授课教师
指导教师
教学目标
教学目标：
1、理解完全平方公式，掌握公式的结构特征，了解公式的几何意义，并能熟练运用公式进行简单计算；
三、例题讲解
【例1】运用完全平方公式计算：
(1)(x+6)2(2)(4m+n)2
(3) (4)
【分析】
(1)
首先，判断是否具备公式的结构特征：
——两数和的平方
之后，找准哪个数或式子相当于公式中的a和b：
最后，运用完全平方公式运算：
（2）(4m+n)2
(a+b)2
a
b
a2+2ab+b2
(4m+n)2
如图，大正方形面积=(a+b)2
四个小四边形面积和=a2+ab+ab+b2
则，(a+b)2=a2+2ab+b2
【问题5】能类比两数和的完全平方公式的学习过程，表示两数差的完全平方吗？即：(a−b)2=？
【推导过程】
法一：(a−b)2=(a−b)(a−b)
=a2−ab−ab+b2
=a2−2ab+b2．
法二：(a−b)2=[a+(−b)]2
=a2+2 a (−b)+(−b)2
=a2−2ab+b2．
所以，(a−b)2=a2−2ab+b2．
【结构特征】
(1)左边为两个数差的平方；
(2)右边为两个数的平方和再减去这两个数的积的2倍．
【几何意义】
如图，深粉色正方形面积=(a−b)2
深粉色正方形面积还可以表示为：大正方形面积−两个浅粉色长方形面积−小深粉色正方形面积=a2−(a−b)b−(a−b)b−b2
则，(a−b)2=a2−2ab+b2．
【符号语言】(a−b)2=a2−2ab+b2
【文字叙述】两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍.
【归纳总结】
通过上面的学习，我们得到了两个新的公式，一个是两数和的完全平方公式，一个是两数差的完全平方公式，这两个公式我们统称为完全平方公式，符号语言可以统一写成(a±b)2＝a2±2ab＋b2的形式.所以，以后遇到两个相同的多项式相乘的时候，我们可以直接使用完全平方公式进行运算.
【答案】
（1）
=
（2）
（3）(ab−1)2=(ab)2−2·(ab)·1+12
=a2b2−2ab+1
【例2】判断下列运算是否正确，若不正确，给予改正.
（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】
（1）×，结果应该是二次三项式，这里是二项式，应改为：
（2）√
（3）×， 的形式为两数差的完全平方公式的形式，运算结果应为这两个数的平方和，减去它们的积的2倍，应改为：
(2)多项式与多项式相乘的法则是什么？
(3)乘法公式中的平方差公式是什么？
【答案】
(1)a2=a·a；
(2)多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
符号语言表示为：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq.
(3)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
3、公式中的a、b可以表示任何的数或式子.
【答案】解：
(1)(x+6)2=x2+2·x·6+62
=x2+12x+36
(2)(4m+n)2=(4m)2+2·(4m)·n+n2
=16m2+8mn+n2
(3)(y− )2=y2−2·y· +( )2
=y2−y+
(4)
=
巩固练习：
（1）
（2）
（3）(ab−1)2
2、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力；
3、了解“特殊——一般”的认识规律，体会数形结合、类比、转化的数学思想.
教学重点：完全平方公式的理解与运用
教学难点：掌握公式的结构特征，正确运用公式进行计算
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
3min
一、复习引入
【问题1】回顾以下知识：
(1)a2可以表示成什么？
(2)(m+2)2=(m+2)(m+2) =m2+4m+4；
通过运算，我们可以发现这两个式子都具备如下规律：
等号左边为两个数的和的平方；
等号右边是一个二次三项式，三项分别是两个数的平方和再加上一个式子，而这个式子正好是这两个数乘积的2倍．
【答案】
(1)(p+1)2=p2+2p+1
(2)(m+2)2=m2+4m+4
符号语言表示为：(a+b)(a−b)=a2−b2.
这节课，我们就在研究完平方差公式的基础上，继续学习乘法公式.
10min
二、新课教学
【问题2】计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1)(p+1)2= _______；
(2)(m+2)2= _______；
【分析】
(1) (p+1)2可以看成(p+1)(p+1)，应用多项式与多项式相乘的法则，计算得到(p+1)2=p2+2p+1；
【问题3】通过上面两个具体实例我们发现：两数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍.那么，对任意的a、b，上述发现的规律都成立吗？如何证明？
【分析】利用多项式与多项式相乘的法则进行计算：
(a+b)2=(a+b)(a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2．
所以，(a+b)2=a2+2ab+b2．
【归纳新知】于是我们得到了求两个数和的平方的公式，这个公式叫做两数和的完全平方公式.
符号语言为：(a+b)2=a2+2ab+b2.
你能试着用文字语言将上述公式叙述表达出来吗？
文字叙述：两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍.
【问题4】通过上一节课的学习，我们知道可以用图形面积来解释一些代数恒等式．你能用下面图形的面积说明两数和的完全平方公式吗？
注意：遇到系数为小数时要先把小数转化成分数
【Байду номын сангаас结】
1、运用完全平方公式的运算步骤：
(1)判断：判断是否具备公式的结构特征；
(2)对应：找准哪个数或式子相当于公式中的a和b
(3)计算：运用完全平方公式运算出结果
2、为了更方便的记住完全平方公式的结构和结果，我们可以用这样的口诀来记忆：“首”平方，“尾”平方，“首尾”2倍放中央.
4m
n
(4m)2+2·(4m)·n+n2
注意：4m相当于公式中的a，运用两数和的完全平方公式进行运算时，需要利用积的乘方法则进行(4m)2的运算，其中系数4也需要进行平方运算
(3)(y− )2
(a−b)2
a
b
a2−2ab+b2
(y− )2
y
y2−2·y· +( )2
（4）
(a−b)2
a
b
a2−2ab+b2
课程基本信息
课例编号
学科
数学
年级
八年级
学期
秋季
课题
完全平方公式(第一课时)
教科书
书名：义务教育教科书数学八年级上册
出版社：人民教育出版社出版日期：2013年6月
教学人员
姓名
单位
授课教师
指导教师
教学目标
教学目标：
1、理解完全平方公式，掌握公式的结构特征，了解公式的几何意义，并能熟练运用公式进行简单计算；