2016_2017年高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.2两角和与差的正弦课件
公式的逆用
化 简 ： (1)sin 15° cos 75°＋ cos 15° sin 105°＝
1 ________ ．
5 4 (2)已知 cos(α＋ β)＝ ， cos β＝ ， α， β 均为锐角，则 sin α 13 5 33 ＝ ________ ． 65 (链接教材 P108 例 2， P109T4)
[规范与警示 ]
(1)形如 f(x)＝ asin x＋ bcos x 的函数，都
(2)f(x)＝ 3sin x－ cos x＝ 2 π ＝ 2sinx－6 ，10 分 π ∵ ≤x ≤π ， 2
3 1 2 sin x－2cos x
π π π 5π 1 ∴ ≤x－ ≤ ， ≤sinx－6 ≤1， 3 6 6 2 ∴函数 f(x)的值域为 [1，2].14 分
方法归纳 解此类问题的关键是把“所求角 ”用 “已知角 ”表示出来 . (1)当 “已知角”有两个时， “所求角 ”一般表示为两个 “已知 角 ”的和或差的形式． (2)当 “已知角”有一个时，此时应着眼于 “所求角 ”与 “已知 角 ”的和或差的关系，然后应用诱导公式把 “所求角 ”变成 “已知角 ”． (3)角的拆分方法不惟一,可根据题目合理选择拆分方法.
1.求下列各式的值：(1)sin 15°，(2)sin 795°.
解：(1)sin 15° ＝ sin(45° －30° )＝sin 45° cos 30° － cos 45° · sin 6－ 2 2 3 2 1 30° ＝ × － ×＝ . 2 2 2 2 4 (2)sin 795° ＝ sin(2×360° ＋ 75° ) ＝ sin 75° ＝ sin(45° ＋ 30° )＝ 6＋ 2 2 3 2 1 sin 45° cos 30° ＋ cos 45° sin 30° ＝ × ＋ ×＝ . 2 2 2 2 4
学习 目标
学法 指导
1.两角和与差的正弦公式 名称 两角和 的 正弦 两角差 的 正弦 简记符号 S(α＋β) 公式 sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β ___________________ 使用条件 α，β∈R
S(α－β)
sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β ___________________
利用 asin α＋bcos α＝ a2＋b2sin(α＋φ) 化简三角函数式
化简下列各式： (1)3 15sin x＋ 3 5cos x； 2 π 6 π (2) sin4－x ＋ cos4－x . 4 4
[解 ]
(1)3 15sin x＋ 3 5cos x
＝ 6 5
3 1 sin x＋ cos x 2 2 π π π ＝ 6 5cos 6 sin x＋ sin 6cos x ＝ 6 5sinx＋6 . 2 π 6 π (2) sin4－ x ＋ cos4－x 4 4 21 π 3 π ＝ － x － x 2 2sin4 ＋ 2 cos4
2 5 12 1－ 13 ＝ . 13
sin β＝ 1－ cos2β＝ 由公式 S(α－ β)，可得 sin α＝ sin[(α＋ β)－ β]
2 4 3 1－ 5 ＝ . 5
＝ sin(α＋ β)cos β－ cos(α＋ β)sin β 12 4 5 3 33 ＝ ×－ ×＝ . 13 5 13 5 65 方法归纳
2
π π π sin( － φ)＝ sin cos φ－ cos sin φ 3 3 3 3 4 1 3 4 3＋ 3 ＝ × － ×(－ )＝ . 2 5 2 5 10
方法归纳 在 cos φ 已知的前提下，sin φ 要根据 φ 的取值范围才能惟 一确定.如果 φ 的范围不能确定，则一定要分情况讨论．
sin（α＋30° ）－sin（ α－30° ） 1 3. 的值为__________ ． cos α
解析：原式 sin αcos 30° ＋ cos αsin 30° － sin αcos 30° ＋ cos αsin 30° ＝ cos α ＝ 2cos αsin 30° ＝ 2sin 30° ＝ 1. cos α
2 5 ． 4．函数 y＝ 15sin x＋ 5cos x 的最大值为 ________
解析： y＝ 15sin x＋ 5cos x ＝ 5( 3sin x＋ cos x) 3 1 ＝ 2 5( sin x＋ cos x) 2 2 π π ＝ 2 5(sin xcos ＋ cos xsin ) 6 6 π ＝ 2 5sin(x＋ )， 6 ∴ y 的最大值为 2 5.
2 2
， sin φ＝
b a ＋b
2
2
， 可以将含有 sin x，
cos x 的一次式的三角函数式化为 Asin(ωx＋ φ)的形式， 从而进一步探索三角函数的性质．
规范解答
公式的综合应用
π (本题满分 14 分)已知函数 f(x)＝2sinx＋6 － π 2cos x， x∈2， π . 4 (1)若 sin x＝ ，求函数 f(x)的值； 5 (2)求函数 f(x)的值域．
使用公式时，不仅要.
2.求下列各式的值． (1)sin 70° cos 25° －sin 20° sin 25° ； (2)sin 119° sin 181° －sin 91° sin 29° .
解：(1)原式＝ sin 70° cos 25° － cos 70° sin 25° ＝ sin(70° －25° ) 2 ＝ sin 45° ＝ . 2 (2)原式＝ sin(29° ＋ 90° )sin(1° ＋180° )－ sin(1° ＋ 90° )sin 29° ＝ cos 29° (－ sin 1° )－ cos 1° sin 29° ＝－(sin 29° cos 1° ＋ cos 29° sin 1° ) ＝－ sin(29° ＋ 1° ) 1 ＝－ sin 30° ＝－ . 2
2 π π π π ＝ cos sin4－x ＋ sin cos4－x 2 3 3 π 2 π 2 7 ＝ sin4－x＋3 ＝ sin 12π－x. 2 2
[感悟提高 ] 式子 asin x＋ bcos x＝ a2＋b2· sin(x＋ φ)， 其中 cos φ＝ a a ＋b
4 4 3π π 3.已知 cos(α＋β)＝ ， cos(α－β)＝－ ， <α＋β<2π， <α 5 5 2 2 －β<π，求 sin 2α 的值．
4 3π 解：∵ cos(α＋ β)＝ ， <α＋ β<2π， 5 2 ∴ sin(α＋ β)＝－ 4 2 3 1－（ ） ＝－ . 5 5
4 π ∵ cos(α－ β)＝－ ， <α－ β<π， 5 2
[解 ]
π 4 (1)∵ sin x＝ ， x∈2， π ， 5
3 ∴ cos x＝－ ， 2 分 5 f(x)＝ 2 3 1 sin x＋ cos x －2cos x＝ 3sin x－ cos x， 4 分 2 2
4 4 3 ∴当 sin x＝ 时， f(x)＝ 3＋ .6 分 5 5 5
第3章
三角恒等变换
3．1.2
两角和与差的正弦
第3章
三角恒等变换
学习导航 1.了解两角和与差的正弦公式的推导．(难点) 2．理解运用两角和与差的正弦公式的意义及结构特 征．(重点) 3．掌握运用两角和与差的正弦公式进行化简、求值与 证明．(重点、难点) 1.运用两角和与差的三角函数公式关键在于构造角的 和差．在构造过程中，要尽量使其中的角为特殊角或 已知角，这样才能尽可能的利用已知条件进行化简或 求值． 2．灵活运用公式的关键在于观察、分析待化简、要求 值的三角函数式的结构特征，联想具有类似特征的相 关公式．然后经过适当变形、拼凑，再正用或逆用公 式解题.
给值求值
3 已知 sin(α－ β)cos α－cos(β－ α)sin α＝ ，β 是 5 5 第三象限角，求 sin(β＋ π)的值． 4 (链接教材 P111 练习 T1)
3 [解] ∵sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝ ， 5 3 ∴sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝ . 5
1 3 1．已知 sin α＝ ，cos β＝ ， α、β 都是锐角，则 sin(α 5 10 2 ＋β)＝________ ． 2 1 1 3 1 解析：因为 sin α＝ < ， cos β＝ > ， 5 2 10 2 π π α， β 都为锐角，所以 α， β∈(0， )，所以 0<α＋ β< . 4 2 2 1 所以 cos α＝ ， sin β＝ . 5 10 所以 sin(α＋β)＝sin αcos β＋ cos α sin β
公式的正用
4 π 3π 已知 cos φ＝ ，当(1)φ∈(0， )；(2)φ∈( ，2π) 5 2 2 π 时，分别求 sin( －φ)． 3 (链接教材 P108 例 1，P109T6)
4 π [解 ] (1)∵ cos φ＝ ， φ∈ (0， )， 5 2 3 2 ∴ sin φ＝ 1－ cos φ＝ ， 5 π π π sin( － φ)＝ sin cos φ－ cos sin φ 3 3 3 3 4 1 3 4 3－ 3 ＝ ×－ ×＝ . 2 5 2 5 10 4 3π (2)∵ cos φ＝ ， φ∈ ( ， 2π)， 5 2 3 ∴ sin φ＝－ 1－ cos φ＝－ ， 5
1 3 2 1 2 ＝ × ＋ × ＝ . 5 10 5 10 2
1 2 2． sin 14° cos 16° ＋ sin 76° cos 74° 的值为________ ．
解析： sin 14° cos 16° ＋ sin 76° cos 74° ＝ sin 14° cos 16° ＋ sin(90° －14° )cos(90° －16° ) ＝ sin 14° cos 16° ＋ cos 14° sin 16° 1 ＝ sin(14° ＋16° )＝ sin 30° ＝ . 2
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式互动课堂疏导引导1.两角和的余弦公式比较cos(α-β)与cos(α+β),并且注意到α+β与α-β之间的关系:α+β=α-(-β),则由两角差的公式得cos(α+β)=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ, 即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.(C (α+β))2.两角和与差的正弦公式sin(α-β)=cos(2π-α+β)=cos［(2π-α)+β］ =cos(2π-α)cosβ-sin(2π-α)sinβ =sinαcosβ-cosαsinβ,即sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.(S (α-β))在上式中,以-β代β可得sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.(S (α+β))3.正确理解和差角的正弦公式(1)公式对于任意的角α、β都成立.(2)搞清sin(α±β)的意义.例如sin(α+β)是两角α与β的和的正弦,它表示角α+β终边上任意一点的纵坐标与原点到这点的距离之比.在一般情况下,sin(α+β)≠sinα+sinβ,如α=3π,β=6π时,sin(3π+6π)=sin 2π=1, sin 3π+sin 6π=23+21=213+≠1. ∴sin(3π+6π)≠sin 3π+sin 6π. 只有在某些特殊情况下,sin(α+β)=sinα+sinβ,例如,当α=0,β=6π时, sin(0+6π)=sin 6π=21,sin0+sin 6π=0+21=21, ∴sin(0+6π)=sin0+sin 6π. 在学习时一定要注意:不能把sin(α+β)按分配律展开.(3)牢记公式并能熟练左、右两边互化.例如化简sin20°cos50°-sin70°cos40°,要能观察出此式等于sin (20°-50°)=-sin30°=-21. (4)灵活运用和(差)角公式.例如化简sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ,不要将sin(α+β),cos(α+β)展开,而应就整个式子,直接运用公式sin ［(α+β)-β］=sinα,这也是公式的逆用.4.两角和与差的正切公式的推导当cos(α+β)≠0时,将公式S (α+β),C (α+β)的两边分别相除,有tan(α+β)=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++. 当cosα·cosβ≠0时,将上式的分子、分母分别除以cosα·cosβ,得 tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+(T (α+β)). 由于tan(-β)=ββββcos sin )cos()sin(-=-=-tanβ. 在T (α+β)中以-β代β,可得tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-(T (α-β)). 5.关于两角和与差的正切公式要注意几个问题(1)公式适用范围.因为y=tanx 的定义域为x≠2π+kπ,k∈Z . 所以T (α±β)只有在α≠2π+kπ,β≠2π+kπ,α±β≠2π+kπ时才成立,否则不成立,这是由任意角的正切函数的定义域所决定的.当tanα、tanβ或tan(α±β)的值不存在时,不能使用T (α±β)处理某些有关问题,但可改用诱导公式或其他方法.例如,化简tan(2π-β),因为tan 2π的值不存在,不能利用公式T (α-β),所以改用诱导公式.(2)注意公式的逆向运用 ββαββαtan )tan(1tan )tan(++-+=tan ［(α+β)-β］=tanα, ααααtan 45tan 1tan 45tan tan 1tan 1︒-+︒=-+=tan(45°+α). (3)变形应用tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ),如tanα+tanβ+tanαtanβtan(α+β)=tan(α+β),tan(α+β)-tanα-tanβ=tanαtanβtan(α+β).活学巧用1.在△ABC 中,若sinAsinB ＜cosAcosB,则此三角形的外心位于它的( )A.内部B.外部C.一边上D.不确定 解析:cosAcosB-sinAsinB ＞0,即cos(A+B)＞0,∴-cosC ＞0.∴cosC＜0.∴C 为钝角.∴△ABC 为钝角三角形.∴三角形的外心位于它的外部.答案:B2.化简下列各式:(1)cos(80°+3α)cos(35°+3α)+sin(80°+3α)cos(55°-3α); (2)sin(x+3π)+2sin(x-3π)-3cos(32π-x); (3))cos(cos cos 2sin cos 2)sin βαβαβαβα+--+(. 解析:(1)原式=cos(80°+3α)cos(35°+3α)+sin(80°+3α)sin(35°+3α) =cos ［(80°+3α)-(35°+3α)］=cos45°=22. (2)原式=sinxcos 3π+cosxsin 3π+2sinxcos 3π-2cosxsin 3π-3cos 32πcosx-3sin 32πsinx =23sinx-23cosx+23cosx-23sinx=0. (3)原式=βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin sin sin cos cos cos cos 2sin cos 2sin cos cos sin +-=+--+ =)cos()sin(βαβα--=tan(α-β). 答案:(1)22;(2)0;(3)tan(α-β). 3.已知cos(α+β)=-31,cos2α=-135,α、β均为钝角,求sin(α-β). 解析:∵α、β∈(90°,180°),∴α+β,2α∈(180°,360°).∵cos(α+β)=-31＜0,cos2α=-135＜0. ∴α+β,2α∈(180°,270°).∴sin(α+β)=322)31(1)(cos 122-=---=+--βα,sin2α=1312)135(12cos 122-=---=--α. ∴sin(α-β)=sin ［2α-(α+β)］=sin2αcos(α+β)-cos2α·sin(α+β)=(-1312)×(-31)-(-135)(322-)=3921012-.答案:3921012-.4.求下列各式的值. (1)︒︒+︒-︒15tan 75tan 115tan 75tan (2))25tan()305tan(1385tan 55tan ︒-︒--︒-︒ (3)︒+︒-15tan 3115tan 3.解:(1)原式=tan(75°-15°)=tan60°=3.(2)原式=)25tan )(36055tan(1)36025tan(55tan ︒-︒-︒-︒+︒-︒=︒︒+︒-︒25tan 55tan 125tan 55tan =tan(55°-25°)=tan30°=33. (3 ︒+︒-15tan 3115tan 3=︒︒+︒-︒15tan 60tan 115tan 60tan =tan(60°-15°)=tan45°=1.答案:(1)3;(2) 33;(3)1.5.化简求值:(3+tan30°tan40°+tan40°tan50°+tan50°tan60°)·tan10°. 解:原式=(1+tan30°tan40°+1+tan40°tan50°+1+tan50°tan60°)·tan10°, 因为tan10°=tan(40°-30°)=︒︒+︒-︒30tan 40tan 130tan 40tan所以1+tan40°tan30°=︒︒-︒10tan 30tan 40tan . 同理,1+tan40°tan50°=︒︒-︒10tan 40tan 50tan , 1+tan50°tan60°=︒︒-︒10tan 50tan 60tan .所以原式=(︒︒-︒10tan 30tan 40tan +︒︒-︒10tan 40tan 50tan +︒︒-︒10tan 50tan 60tan )·tan10°=tan40°-tan30°+tan50°-tan40°+tan60°-tan50°=-tan30°+tan60° =332333=+-.6.tan12°+tan33°+tan12°tan33°的值为_______________. 解析:因为tan45°=tan(12°+33°)=︒︒-︒+︒33tan 12tan 133tan 12tan =1, 所以原式=tan12°tan33°+1-tan12°tan33°=1.答案:1。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.(高考全国卷Ⅱ，理2)函数y=sin2xcos2x 的最小正周期是( )A.2πB.4πC.4π D.2π 解析：y=sin2xcos2x=21sin4x,所以最小正周期为T=42π=2π.答案：D2.(高考全国卷Ⅱ，理10)若f(sinx)=3-cos2x ，则f(cosx)等于( )A.3-cos2xB.3-sin2xC.3+cos2xD.3+sin2x解析：f(sinx)=3-(1-2sin 2x)=2sin 2x+2,所以f(x)=2x 2+2.因此f(cosx)=2cos 2x+2=(2cos 2x-1)+3=3+cos2x. 答案：C3.已知α为锐角，且sinα∶sin 2α=8∶5，则cosα的值为( ) A.2512 B.258 C.257 D.54 解析：由2sin2cos2sin 22sin sin ααααα==2cos 2α=58，得cos 2α=54， cosα=2cos 22α-1=2×(54)2-1=257. 答案：C4.求下列各式的值：(1)cos 12πcos 125π=______________； (2)(cos 12π-sin 12π)(cos 12π+sin 12π)=______________；(3)21-cos 28π=______________； (4)-32+34cos 215°=______________；(5)︒-︒5.22tan 15.22tan 2=_________________解析：(1)原式=cos 12πsin 12π=21sin 6π=41；(2)原式=cos212π-sin 212π=cos 6π=23； (3)原式=21-(2cos 28π-1)=21-cos 4π=42-；(4)-32+34cos 215°=32(2cos 215°-1)=32cos30°=33；(5)原式=21tan45°=21. 答案：(1)41 (2)23 (3)42- (4)33 (5)2110分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.若tanx=2，则tan2(x-4π)等于( ) A.34 B.-34 C.43 D.43- 解析：tan(2x-2π)=-tan(2π-2x)=-cot2x=x 2tan 1-,而tan2x=4122-⨯=-34,∴原式=43.答案：C2.当0＜x ＜2π时，函数f(x)=x x x 2sin sin 82cos 12++的最小值为( )A.2B.32C.4D.34解析：f(x)=x x x x cos sin 2sin 8cos 222+=x tan 1+4tanx≥42=4，当且仅当tanx=21时，取“=”.答案：C3.化简cos72°cos36°=________________. 解析：原式=︒︒=︒︒︒=︒︒•︒︒36sin 4144sin 36sin 472sin 72cos 236sin 236sin 236cos 72cos =41. 答案：414.在△ABC 中，tanA+tanB+33+tanAtanB 且sinAcosA=43，判断三角形的形状. 解：由sinAcosA=43，得21sin2A=43，即sin2A=23， ∴2A=60°或120°.∴A=30°或60°.又由tanA+tanB=3-(1-tanAtanB)，得tan(A+B)=3tan tan 1)tan tan 1(3-=---BA B A ，∴A+B=120°.当A=30°时，B=90°，tanB 无意义，∴A=60°,B=60°，即三角形为等边三角形. 5.平面上两塔相距120 m ，一人分别在两塔的底部测得一塔顶的仰角为另一塔顶仰角的2倍，又在两塔底的连线中点测得两塔顶的仰角互余.求两塔的高.解析：如图所示，设两塔的高分别为x m 、y m ，且∠ADB=α，∠AMB=θ.由题意，得∠CBD=2α，∠AMC=90°， ∠AMB=∠MCD=θ， 所以x=60tanθ，y=θtan 60， x=120tan α，y=120tan2α.所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.12012,360022x x y xy 解得x=40，y=90.答：两塔高分别是90 m 和40 m.6.(2006高考北京卷，理15)已知函数f(x)=xx cos )42sin(21π--， (1)求f(x)的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tanα=-34，求f(α)的值. 解：(1)由cosx≠0,得x≠kπ+2π(k ∈Z ). 故f(x)的定义域为{x|x≠kπ+2π,k ∈Z }.(2)因为tanα=54-,cosα=53，且α为第四象限的角，所以sinα=54-,cosα=53.故f(α)=αααααααπαcos 2cos 2sin 1cos )2cos 222sin 22(21cos )42sin(21+-=--=--=ααααcos cos sin 2cos 22-=2(cosα-sinα)=514. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.已知θ是第三象限的角，若sin 4θ+cos 4θ=95，那么sin2θ等于( ) A.322 B.322- C.32 D.-32解析：(sin 2θ+cos 2θ)2=sin 4θ+cos 4θ+2sin 2θcos 2θ=sin 4θ+cos 4θ+21(sin2θ)2，而(sin 2θ+cos 2θ)2=1，可以得到sin2θ=±322，又由于θ是第三象限的角，所以sin2θ=322. 答案：A2.已知tanα=71，tanβ=2π，0＜α＜β＜2π,则α+2β等于( ) A.45π B.4π C.45π或4π D.47π解析：∵tan2β=43tan 1tan 2=-ββ，∴tan(α+2β)=28314371-+=1.∵tanα=71＜1,∴0＜α＜4π.tan2β=43＜1,∴0＜2β＜4π.∴0＜α+2β＜43π.∴α+2β=4π.答案：B3.(2006高考上海卷，理17)求函数y=2cos(x+4π)cos(x-4π)+3sin2x 的值域和最小正周期.解：y=2(cosxcos4π-sinxsin 4π)(cosxcos 4π-sinxsin 4π)+3sin2x =cos 2x-sin 2x+3sin2x=cos2x+3sin2x=2sin(2x+6π).∴原函数的值域是［-2,2］，周期T=22π=π. 4.化简︒-+︒+10sin 110sin 1. 解：原式=︒︒-︒+︒+︒︒+︒+︒5cos 5sin 25cos 5sin 5cos 5sin 25cos 5sin 2222=|sin5°+cos5°|+|sin5°-cos5°|=sin5°+cos5°+cos5°-sin5°=2cos5°. 5.求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.解：原式=21cos20°cos40°cos80° =︒︒︒=︒︒︒=︒︒︒︒︒20sin 1680cos 80sin 2880cos 40cos 40sin 220sin 480cos 40cos 20cos 20sin 2 =16120sin 16160sin =︒︒. 6.已知sin 22α+sin2αcos α-cos2α=1，α∈(0,2π)，求sin α,tan α.解：由题意知4sin 2αcos 2α+2sin αcos 2α-2cos 2α=0，即2cos 2α(2sin α-1)(sin α+1)=0. 又α∈(0,2π)，∴sinα+1≠0,cos 2α≠0. 由2sin α-1=0得sin α=21，∴α=6π,tan α=33.7.已知sin(α-4π)=1027，cos2α=257，求sin α及tan(α+3π).解：由sin(α-4π)=1027,得22(sin α-cos α)=1027，即sin α-cos α=57. ① 又由cos2α=257得cos 2α-sin 2α=257，即(cos α+sin α)(cos α-sin α)=257，∴cosα+sin α=-51. ②由①②得sin α=53，cos α=54-,∴tanα=-43.tan(α+3π)=1132548343344331433tan 313tan -=+-=+-=-+αα. 8.当x∈［-2π,2π］时，求f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的周期、最大值及此时的x 值. 解：f(x)=1+cos2x+1+sin2x=2sin(2x+4π)+2.周期T=π.当x ∈［-2π,2π］时，2x+4π∈［-43π,45π］,sin(2x+4π)∈［-1,1］. ∴f(x)∈［22-,22+］.∴f(x)max =22+.由2x+4π=2k π+2π得x=k π+8π. 又∵x∈［-2π,2π］，∴x=8π,即当x=8π时，f(x)的最大值为22+.9.(2006高考安徽卷，理17)已知43π＜α＜π,tanα+cosα=310-.(1)求tanα的值；(2)求)4sin(282cos 112cos2sin82sin 522πααααα--++的值.解：(1)∵tanα+cosα=310-,∴3tan 2α+10tanα+3=0,解得tanα=-31或tanα=-3.∵43π＜α＜π,∴-1＜tanα＜0.∴tanα=-31.(2)∵tanα=-31,∴)4(sin 282cos 112cos2sin82sin 522παααααα--++=451tan 3tan 4cos sin 82cos 16sin 4)2cos 2(sin 522-=-+=--+•+++αααααααα. 10.(2006高考四川卷，理17)已知A 、B 、C 是△ABC 三内角，向量m =(-1,3)，n =(cosA,sinA),且m ·n =1. (1)求角A ； (2)若BB B22sin cos 2sin -+1=-3，求tanC. 解：(1)∵m ·n =1,∴(-1,3)·(cosA,sinA)=1,即3sinA-cosA=1,2(sinA·23-cosA·21)=1,sin(A-6π)=21. ∵0＜A ＜π,-6π＜A-6π＜65π,∴A-6π=6π.∴A=3π.(2)由题知BB B B 22sin cos cos sin 21-+=-3，整理得sin 2B-sinBcosB-2cos 2B=0. ∵cosB≠0,∴tan 2B-tanB-2=0. ∴tanB=-2或tanB=-1.而tanB=-1使cos 2B-sin 2B=0，舍去. ∴tanB=2.∴tanC=tan［π-(A+B)］=-tan(A+B)=11358321322tan tan 1tan tan +=-+⨯-=-+-B A B A .。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式（二）课堂导学三点剖析1.二倍角公式在证明题中的应用【例1】 求证:x x cos 22sin （1+tanx·tan 2x ）=tanx. 思路分析：本题的目标是把等式的左端统一成角x 的正切函数.可能用的公式有sin2x=2sinxcosx ，tan 2x =x x x x x x x sin cos 12cos 2sin 22sin 22cos 2sin2-==. 证法1：左端=x x x cos 2cos sin 2（1+xx x x sin cos 1cos sin -•) =sinx （1+xx cos cos 1-） =xx cos sin =tanx=右端. 证法2：左端=x x x x x x x x x x x x x x x cos sin 2tan 2cos cos 2sin cos 2cos sin 2)2tan(2tan tan cos 22sin =••=--• =x x cos sin =tanx=右端. 温馨提示证明恒等式就是要根据所证等式两端的特征（结构、名称、角度等）来选择最佳方法，本题就是抓住左右两端的次数差异作为突破口，使问题得以解决.2.二倍角公式在化简题中的应用【例2】 已知函数f （x ）=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x.（1）求f （x ）的最小正周期；（2）若x∈［0，2π］，求f （x ）的最大值，最小值. 解：（1）因为f （x ）=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x=（cos 2x+sin 2x ）（cos 2x-sin 2x ）-sin2x =cos2x-sin2x=2cos （2x+4π），所以f （x ）的最小正周期T=22π=π. （2）因为0≤x≤2π，所以4π≤2x+4π≤π45. 当2x+4π=4π时，cos （2x+4π）取得最大值22； 当2x+4π=π时，cos （2x+4π）取得最小值-1. 所以f （x ）在［0，2π］上的最大值为1， 最小值为2-.温馨提示（1）将cos2x-sin2x 变形为sin （4π-2x ），也会有同样的结果; （2）像这类高次三角函数，首先利用倍角公式通过降幂化为y=Asin （ωx+φ）或y=Acos （ωx+φ）（A ，ω，φ均为常数，A ＞0）的形式，然后再求周期和最值.3.公式的综合、灵活运用【例3】 已知函数f （x ）=3-sin 2x+sinxcosx （1）求f （625π）的值； （2）设α∈（0，π），f （2α）=41-23，求sinα的值 解：（1）∵sin 625π=21，cos 625π=23， ∴f（625π）=-3sin 2625π+sin 625πcos 625π=0 （2）f （x ）=23cos2x-23+21sin2x ∴f（2α）=23cos α+21sin α-23=41-23， 16sin 2α-4sin α-11=0解得sin α=8531±. ∵α∈（0，π），∴sinα＞0故sinα=8531+ 温馨提示要注意公式变形的重要性，不能死记公式，更不能只会正用，同时逆用、变形也要学会只有灵活运用公式，才能灵活解决问题各个击破类题演练1求证：3+cos4α-4cos2α=8sin 4α.证法1：∵左边=2+1+cos4α-4cos2α=2+2cos 22α-4cos2α=2（cos 22α-2cos2α+1）=2（cos2α-1）2=2（-2sin 2α）2=8sin 4α=右边.∴等式成立.证法2：右边=2×4sin 4α=2（1-cos2α）2=2（1-2cos2α+cos 22α）=2-4cos2α+2cos 22α =2-4cos2α+1+cos4α=3+cos4α-4cos2α=左边.∴等式成立.变式提升1 求证:.tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 12θθθθθθ-++=-+ 证明：左边=θθθtan 24sin )4cos 1(+- =θθθθθcos sin 22cos 2sin 22sin 22+=θθθθθsin sin cos 2)2cos 2(sin 2+ =2cos 2θ（sin2θ+cos2θ） 右边=θθθ2tan 14sin )4cos 1(-++ =θθθθθθ2222cos sin cos 2cos 2sin 22cos 2•-+ =θθθθθ2cos 2cos )2sin 2(cos 2cos 2•+ =2cos 2θ（sin2θ+cos2θ）∴左边=右边，故等式成立.类题演练2设函数f （x ）=sin 2x+3sinxcosx+α， （1）写出函数f （x ）的单调递增区间;（2）求f （x ）的最小正周期.解：（1）f （x ）=2322cos 1+-x sin2x+a =23sin2x-21cos2x+a+21 =sin （2x-6π）+a+21, 2k π-2π≤2x -6π≤2kπ+2π，k∈Z ， k π-6π≤x≤kπ+3π,k∈Z , ∴f（x ）的单调递增区间是［kπ-6π，kπ+3π］，k∈Z （2）T=222πωπ==π， ∴f（x ）的最小正周期为π.变式提升2已知函数y=sin2x-2（sinx+cosx ）+a 2设t=sinx+cosx ，t 为何值时，函数y 取得最小值；解：∵t=sinx+cosx=2sin （x+4π），-2≤t≤2， ∴t 2=1+2sinxcosx=1+sin2x ，sin2x=t 2-1，∴y=t 2-1-2t+a 2=（t-1）2+a 2-2∵-2≤t≤2，∴当t=1时，函数y 取得最小值a 2-2类题演练3 已知α为第二象限角，且sinα=415，求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值. 解：∵sinα=415，α为第二象限角，∴cosα=-41. ∴sin2α=2sinαcosα=815-. ααπαπαααπα2cos 22sin 4sin cos 4cos sin 12cos 2sin )4sin(++=+++ =151230)41(28152241224152--=-⨯+-⨯-⨯ =.2151)115(2-=--变式提升3函数f （x ）=sin 2（x+4π）-sin 2（x-4π）是（ ） A.周期为π的偶函数 B.周期为π的奇函数C.周期为2π的偶函数D.周期为2π的奇函数解析：f （x ）=2)22cos(12)22cos(1ππ---+-x x =22sin 122sin 1x x --+=sin2x.∴T=22 =π,f（x ）为奇函数. 答案：B。
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件人教新课标3
2024/11/4
21
2024/11/4
22
A α β B
α
B β
O
x
O2- x
A
于是，对于任意角α，β都有
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
称202为4/11/差4 角的余弦公式。简记为C(α-β)
11
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
视察：公式有何特征？如何记忆？
１.公式的结构特征:
左边是差角α－β 的余弦,右边单角α、β 的余弦积与正弦积的和,即同名三角函数积的和.
2024/11/4
17
巩固练习:
解：
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18
变式2：已知cosα= 1 ，cos（α－β）= 4，
3
5
0< β < α <
,求cosβ的值。
2
思考? 若将cos（α－β）改为cos（α+β）呢?
( )
变式3:以知
cos cos 3 sin sin 4 ,求cos - 的值.
问题2:你认为cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ成立吗?
猜想：
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5
探究过程：
在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角 的终边与单
cos 位标圆，的也交可点以为用角P1
，
等于角 与单位圆交点的横坐
的余弦线来表示．
大家思考：怎样构造角 和 角？（注意：要与
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2 3 21 6 2
2 2 22
4
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 两角和与差的正
两角和与差的正弦、余弦、正切公式主动成长夯基达标 1.(cos 12π-sin 12π)(cos 12π+sin 12π)等于( ) A.-23B.-21C.21D.23 解析:(cos12π-sin 12π)(cos 12π+sin 12π) =cos 12π·cos 12π+cos 12π·sin 12π-cos 12π·sin 12π-sin 12π·sin 12π =cos 12π·cos 12π-sin 12πsin 12π=cos 6π=23. 答案:D2.设α∈(0,2π),若sin α=53,则2cos(α+4π)等于( ) A.57B.51C.-57D.-51 解析:∵α∈(0, 2π),sin α=53, ∴cosα=542591=-. ∴2cos(α+4π)=2(cos αcos 4π-sin αsin 4π) =2(22cos α-22sin α)=cos α-sin α =54-53=51. 答案:B3.cos84°·cos24°-cos114°·cos6°的值为( ) A.23B.0C. 21D.2 解析:cos84°·cos24°-cos114°·cos6°=cos84°·cos24°+cos66°·sin84°=cos84°·cos24°+sin24°·sin84°=cos(84°-24°)=cos60°=21. 答案:C4.sin47°·cos43°+cos47°·sin43°的值等于( ) A.0B.1C.-1D.21 解析:sin47°cos43°+cos47°·sin43°=sin(47°+43°)=sin90°=1.答案:B5.已知sin α=1312,cos β=54,且α是第二象限角,β是第四象限角,那么sin(α-β)等于( ) A.6533B.6563C.6516- D.-6556 解析:∵α是第二象限角,且sin α=1312, ∴cosα=1691441--=-135. β是第四象限角,cos β=54, ∴sinβ=25161--=-53. sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β =1312×54-(-135)×(-53) =6533651548=-. 答案:A6.已知sin α=54,cos(α+β)=-53,α、β都是第一象限的角,则sin β等于( ) A.2524B.257 C.2524或257 D.-2524 解析:∵α,β都是第一象限角,且cos(α+β)=53-, ∴α+β为第二象限角.∴sin(α+β)=2591-=54, cos α=1-5325161=-. ∴sinβ=sin ［(α+β)-α］=sin(α+β)·cosα-cos(α+β)·sinα =54×53+53×54 =2524251212=+. 答案:A7.sin113°cos22°+sin203°sin158°的值为( ) A.21B.22C.23D.1 解析:sin113°=sin(180°-67°)=sin67°=sin(90°-23°)=cos23°,sin203°=sin(180°+23°)=-sin23°,sin158°=sin(180°-22°)=sin22°.∴原式=cos23°·cos22°-sin23°sin22° =cos(23°+22°)=cos45°=22. 答案:B 8.若A 、B 是△ABC 的内角,并且(1+tanA)(1+tanB)=2,则A+B 等于( ) A.4πB.43πC.45πD.32π 解析:由(1+tanA)(1+tanB)=2,得1+tanA+tanB+tanAtanB=2.所以tanA+tanB=1-tanAtanB.由tan(A+B)=1tan tan 1tan tan 1tan tan 1tan tan =--=-+B A B A B A B A , ∴A+B=4π.答案:A9.已知sin α-cos β=21,cos α-sin β=31,则sin(α+β)=______________. 解析:把sinα-cosβ=21两边平方,得sin 2α-2sinαcosβ+cos 2β=41.①把cosα-sinβ=31两边平方,得cos 2α-2cosαsinβ+sin 2β=91.②①+②,得1+1-2(sinαcosβ+cosαsinβ)=3613.∴2sin(α+β)=2-3613=3659. ∴sin(α+β)=7259.答案:725910.已知tanα、tanβ是方程x 2+33x+4=0的两根,且α、β∈(-2π,2π),则tan(α+β)=__________,α+β=__________.解析:∵tanα,tanβ是方程x 2+33x+4=0的两根, ∴⎩⎨⎧>=•<-=+.04tan tan ,033tan tan βαβα∴tanα＜0,tanβ＜0.∴α,β∈(-2π,0).∴-π＜α+β＜0. tan(α+β)=.33334133tan tan 1tan tan ==--=-+βαβα∴α+β=-32π.答案:3 -32π11.求值:［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］·︒80sin 22.解:原式=(2sin50°+sin10°︒•︒︒+︒80sin 210cos 10sin 310cos=(2sin50°+2sin10°︒︒+︒10cos 10sin 2310cos 21)·2cos10° =22［sin50°cos10°+sin10°cos(60°-10°)］ =22sin(50°+10°)=22·23=6. 12.已知tan α、tan β是方程6x 2-5x+1=0的两根,且0＜α＜2π,π＜β＜23π.求: (1)tan(α+β)及α+β的值;(2)sin 2(α+β)-cos(α+β)sin(α+β)-3cos 2(α+β)的值. 解:(1)由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=•=+.61tan tan ,65tan tan βαβα ∴tan (α+β)=1tan tan 1tan tan =•-+βαβα. 又∵π＜α+β＜2π,∴α+β=45π. (2)原式=)(cos )(sin )(cos 3)sin()cos()(sin 2222βαβαβαβαβαβα++++-++-+ =1)(tan 3)tan()(tan 22++-+-+βαβαβα =11311+-++ =-23. 走近高考13.(2006某某高考,13)已知向量a =(1,sin θ),b =(1,cos θ),则|a -b |的最大值为______________.解析:a -b =(0,sin θ-cos θ),|a -b |=|sin θ-cos θ|=|2sin(θ-4π)|, ∴最大值为2.答案:2 14.(2006某某高考)tan70°cos10°+3sin10°tan70°-2cos40°=_________________. 解析:原式=tan70°cos10°+3sin10°tan70°-2cos40° =2tan70°(21cos10°+23sin10°)-2cos40° =2·︒︒70cos 70sin ·sin40°-2cos40° =︒︒︒-︒︒70cos )70cos 40cos 40sin 70(sin 2 =.270cos 110cos 2=︒︒-答案:215.(2006某某高考,4)已知α∈(2π,π),sin α=53,则tan(α+4π)等于( ) A.71B.7C.-71D.-7解析:∵α∈(2π,π),且sin α=53,∴cosα=-54.∴tanα=43-. ∴tan(α+4π)=71431431tan 1tan 1=+-=-+αα.答案:A。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式疱工巧解牛知识•巧学 一、倍角公式1.公式的推导：倍角公式是和角公式的特例，只要在和角公式中令α=β，就可得出相应的倍角公式.sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ−−→−=βα令sin2α=2sinαcosα；cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ−−→−=βα令cos2α=cos 2α-sin 2α.由于sin 2α+cos 2α=1，显然，把sin 2α=1-cos 2α代入cos2α=cos 2α -sin 2α，得cos2α=cos 2α-sin 2α=cos 2α-(1-cos 2α)=2cos 2α-1.同理，消去cos 2α，得cos2α=1-2sin 2α. tan(α+β)=αααβαβαβα2tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan -=−−→−•-+=令. 综上，我们把公式叫做二倍角公式.2.二倍角公式中角α的范围由任意角的三角函数的定义可知S 2α、C 2α中的角α是任意的，但公式T 2α即tan2α=αα2tan 1tan 2-中的角是有条件限制的. 要使tan2α有意义，需满足1-tan 2α≠0且tanα有意义.当tanα有意义时，α≠2π+kπ(k∈Z )；当1-tan 2α≠0，即tanα≠±1时，α≠±4π+kπ(k∈Z ).综上,可知要使T 2α有意义，需α≠±4π+kπ且α≠2π+kπ(k∈Z ).特别地，当α=2π+kπ(k∈Z )时，虽然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值，可用诱导公式进行，即tan2(2π+kπ)=tan(π+2kπ)=tanπ=0. 学法一得 二倍角的切函数是用单角的切函数表示出来的，它的角α除了使解析式有意义外，还应使函数自身也有意义. 3.倍角公式中的倍角是相对的二倍角公式不仅仅可用于将2α作为α的2倍的情况，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如8α是4α的二倍角，4α是2α的二倍角，3α是23α的二倍角，2α是4α的二倍角，3α是6α的二倍角等. 在运用倍角公式对半角的三角函数进行变换时，无论正用还是逆用，都可直接使用这一公式.例6cos6sin23sinααα=，6cos 26sin 6cos 3cos222αααα=-=-1=1-2sin26α；sin3α·cos3α=21 (2sin3αcos3α)=21sin6α；cos 22α-sin 22α=cos4α；ααα3sin 4123cos 23sin 21=；︒-︒35tan 135tan 22=tan70°等. 4.倍角公式的几种变形形式(sinα±cosα)2=1±sin2α；1+cos2α=2cos 2α；1-cos2α=2sin 2α；cos 2α=22cos 1α+；sin 2α=22cos 1α-. 学法一得 我们常把1+co sα=2cos 22α，1-cosα=2sin 22α称为升幂换半角公式，利用该公式消去常数项，便于提取公因式化简三角函数式；把cos 2α=22cos 1α+，sin 2α=22cos 1α-称为降幂换倍角公式，利用该公式能使之降次，便于合并同类项化简三角函数式.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.对于该公式不仅要会正用，还应会逆用和变用.5.倍角公式与和角公式的内在联系只有理清公式的来龙去脉及公式的变形形式，才能及时捕捉到有价值的信息，完成问题的解答.典题•热题知识点一 直接应用倍角公式求值 例1 求下列各式的值：(1)2sin15°sin105°；(2)︒-15sin 731432；(3)︒-︒5.22tan 15.22tan 2；(4)12cos24cos 24sin πππ. 解：(1)原式=2sin15°·sin(90°+15°)=2sin15°cos15°=sin30°=21.(2)原式=143(1-2sin 215°)=143cos30°=283323143=⨯. (3)原式=.2112145tan 215.22tan 15.22tan 2212=⨯=︒=︒-︒•. (4)原式=8121416sin 4112cos 12sin 21=⨯==πππ.方法归纳 倍角公式中的角是相对的，对它应该有广义上的理解，即112cos 2sin22++=n n nααα(n∈N *)，12sin 2cos 2cos212+-=+n n nααα(n∈N *)，1212tan 12tan 22tan++-=n n nααα(n∈N *).知识点二 利用倍角公式给值求值例2 已知x∈(2π-，0)，cosx=54，则tan2x 等于( ) A.247 B.247- C.724 D.724- 思路分析：运用三角函数值在各个象限的符号及倍角公式求解. 解法一：∵x∈(2π-，0)，cosx=54， ∴sinx=53)54(1cos 122-=--=--x . 由倍角公式sin2x=2sinxcosx=2524-，cos2x=2cos 2x-1=2×(54)2-1=257. 得tan2x=7242cos 2sin -=x x .解法二：∵x∈(2π-，0)，cosx=54， ∴sinx=53)54(1cos 122-=--=--x .∴tanx=43cos sin -=x x . ∴tan2x=724)43(1)43(2tan 1tan 222-=---⨯=-xx . 答案：D方法归纳 ①解好选择题的关键在于能否针对题目的特点，选择合理而适当的解法，最忌对任何题目都按部就班地演算求解，小题大做，应力求做到“小题小做”“小题巧做”. ②像这种从题目的条件出发，通过正确地运算推理，得出结论，再与选择肢对照确定选项的方法叫做定量计算法；像这样通过对题干和选择肢的关系进行观察、分析，再运用所学知识，通过逻辑推理作出正确选择的方法叫做定性分析法. 例3 已知sin(4π+α)sin(4π-α)=161，α∈(2π，π)，求sin4α的值.思路分析：要求sin4α的值，根据倍角公式可知只需求出sin2α、cos2α的值或sinα、cosα的值即可.由于(4π+α)+(4π-α)=2π，可运用二倍角公式求出cos2α的值. 解：由题设条件得sin(4π+α)sin(4π-α)=sin(4π+α)cos［2π-(4π-α)］ =sin(4π+α)cos(4π+α)=21sin(2π+2α)=21cos2α=61，∴cos2α=31.∵α∈(2π，π)，∴2α∈(π，2π).又∵cos2α=31>0，∴2α∈(23π，2π).∴sin2α=322)31(12cos 122-=--=--α. ∴sin4α=2sin2α·cos2α=2×92431)322(-=⨯-. 例4 已知cos(4π+x)=53，47127ππ<<x ，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值. 思路分析：由于结论中同时含有切、弦函数，所以可先对结论切化弦，化简后不难发现，只需求出sin2x 和tan(4π+x)的值即可，注意到2(4π+x)=2π+2x ，这样通过诱导公式就容易找到sin2x 同cos(4π+x)的关系了. 解：∵47127ππ<<x ，∴πππ2465<+<x .又∵cos(4π+x)=53>0，∴23π＜4π+x ＜2π.∴sin(4π+x)=54)53(1)4(cos 122-=--=+--x π，345354)4cos()4sin()4tan(-=-=++=+x x x πππ.∵sin2x=-cos2(4π+x)=1-2cos 2(4π+x)=25725181=-， ∴原式=x x x x x x x x x x x xx x x sin cos )sin (cos 2sin sin cos cos sin 2cos 2sin cos sin 1sin 22sin 22-+=-•+•=-+7528)34(257)4tan(2sin tan 1tan 12sin -=-⨯=+•=-+•=x x x x x π.例5 在△ABC 中，已知AB=AC=2BC(如图3-1-10)，求角A 的正弦值.图3-1-10思路分析：由于所给三角形是等腰三角形，所以可通过底角的三角函数值或顶角一半的三角函数值来求解.解：作AD⊥BC 于点D ，设∠BAD=θ，那么A=2θ.∵BD=21BC=41AB ，∴sinθ=41=AB BD . ∵0＜2θ＜π，∴0＜θ＜2π.于是cosθ=415)41(1sin 122=-=-θ. 故sinA=sin2θ=2sinθcosθ=815415412=⨯⨯. 巧解提示:作AD⊥BC 于点D ，∵BD=21BC=41AB,又∵AB=AC， ∴∠B=∠C.∴cosB=cosC=41=AB BD . ∵0＜B ＜2π，∴sinB=415.又∵A+B+C=π，∴A=π-(B+C)=π-2B. ∴sinA=sin(π-2B)=sin2B=2sinBcosB=815414152=⨯⨯. 方法归纳 在△ABC 中，由于A+B+C=π，所以A=π-(B+C)，222CB A +-=π.由诱导公式可知：sinA=sin(B+C)；cosA=-cos(B+C)；tanA=-tan(B+C)；2cot 2tan ;2sin 2cos ;2cos 2sinCB AC B A C B A +=+=+=. 任意变换A 、B 、C 的位置，以上关系式仍然成立. 例6 已知sin 22α+sin2αcosα-cos2α=1，α∈(0，2π)，求sinα、tanα的值. 思路分析：已知是二倍角，所求的结论是单角；已知复杂，结论简单，因此可从化简已知入手，推出求证的结论.解：把倍角公式sin2α=2sinαcosα，cos2α=2cos 2α-1代入已知得4sin 2αcos 2α+2sinαcos 2α-2cos 2α=0，即2cos 2α(2sin 2α+sinα-1)=0，即2cos 2α(2sinα-1)(sinα+1)=0.∵α∈(0，2π)，∴sinα+1≠0，cos 2α≠0. ∴2sinα-1=0，即sinα=21.又∵α∈(0,2π),∴α=6π.∴tanα=33.知识点三 利用倍角公式化简三角函数式例7 利用三角公式化简sin50°(1+3tan10°).思路分析：本题给我们的感觉是无从下手，很难看出有什么公式可直接利用.从角的角度去分析，10°、50°除了它们的和60°是特殊角外，别无特点；从函数名称的角度去分析，由于该式子有弦，有切，我们可从化切为弦入手去尝试解决，转化成弦函数.通分后出现asinθ+bcosθ的形式，由于3是一特殊角的三角函数值，可把它拼凑成两角和(差)的正、余弦展开式的形式逆用公式求值.若把50°转化成(60°-10°)从同一角入手，也可以求值. 解：原式=sin(60°-10°)(1+3tan10°)=(23cos10°-21sin10°)(1+3tan10°) =23cos10°+23cos10°tan10°-21sin 10°-23sin10°tan10° =23cos10°+sin10°-23sin10°·tan10°=23(cos10°-︒︒10cos 10sin 2)+sin10° =︒︒︒+︒•=︒+︒︒•10cos 10cos 10sin 33220cos 2310sin 10cos 20cos 23 ︒︒+︒••=︒︒+︒•=10cos 20sin 2120cos 233322310cos 20sin 3320cos 23180sin 80sin 10cos 80sin 10cos 20sin 60cos 20cos 60sin =︒︒=︒︒=︒︒︒+︒︒=.巧解提示:原式=︒︒+︒•︒=︒︒+︒10cos )10sin 2310cos 21(250sin )10cos 10sin 31(50sin ︒︒︒+︒︒︒=10cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2110cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40sin 40cos 2=︒︒=︒︒=︒︒︒=.方法归纳 对于三角整式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对二次根式，要设法使被开方数升次，通过开方进行化简.另外，还可用切割化弦、变量代换、角度归一等方法.对于形如1±sinα、1±cosα的形式，我们可采取升幂换半角的形式，消去常数项1，通过提取公因式化简有理式或通过开方化简无理式. 例8 求cos20°cos40°cos60°cos80°的值. 解：由于cos60°=21，所以原式=21cos20°cos40°cos80° ︒︒︒︒︒•=20sin 80cos 40cos 20cos 20sin 21 ︒︒︒•=︒︒︒︒•=20sin 80cos 80sin 8120sin 80cos 40cos 40sin 41 16120sin 160sin 161=︒︒•=. 方法归纳 对于可化为cosαcos2αcos4α…cos2n-1α(n∈N 且n>1)的三角函数式，由于它们的角是以2为公比的等比数列，可将分子、分母同乘以最小角的正弦，运用二倍角公式进行化简.巧解提示:此外，本题也可构造一对偶式求解. 设M=cos20°·cos40°·cos60°·cos80°， N=sin20°·sin40°·sin60°·sin80°， 则MN=161sin40°·sin80°·sin120°·sin160° =161sin20°·sin40°·sin60°·sin80° =161N ，∴M=161,即cos20°·cos40°·cos60°·cos80°=161. 知识点四 利用倍角公式证明三角恒等式例9 求证：θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 1-++=-+. 证明：原式等价于1+sin4θ-cos4θ=αθ2tan 1tan 2-(1+sin4θ+cos4θ)， 即1+sin4θ-cos4θ=tan2θ(1+sin4θ+cos4θ). ① 而①式右边=tan2θ(1+cos4θ+sin4θ)=θθ2cos 2sin(2cos 22θ+2sin2θcos2θ)=2sin2θcos2θ+2sin 22θ =sin4θ+1-cos4θ=左边. 所以①式成立，原式得证.例10 求证：︒=︒-︒10sin 3240cos 140sin 322.思路分析：由于分母是三角函数值平方的形式，通分后转化成3cos 240°-sin 240°，按平方差公式展开得(3cos40°+sin40°)(3cos40°-sin40°)，恰好是两个辅助角公式的形式，可运用三角函数的和差公式求值；此外，也可对它的分母降幂换倍角进行化简. 证明：左边=︒•︒︒-︒︒+︒=︒︒︒-︒40cos 40sin )40sin 40cos 3)(40sin 40cos 3(40cos 40sin 40sin 40cos 3222222 2)40cos 40sin 2()40sin 2140cos 23(2)40sin 2140cos 23(24︒︒︒-︒⨯︒+︒⨯= ︒︒︒-︒︒︒︒+︒︒=80sin )40sin 60cos 40cos 60)(sin 40sin 60cos 40cos 60(sin 162︒︒-︒︒+︒=80sin )4060sin()4060sin(162︒=︒︒︒⨯=︒︒=︒︒︒=10sin 3210cos 10cos 10sin 21680sin 20sin 1680sin 20sin 100sin 162=右边， 所以原式成立.方法归纳 对于三角函数式的化简、求值和证明，可从角的角度、运算的角度或函数名称的角度去考虑，其中通过通分，提取公因式、约分、合并同类项等运算的手法去化简是非常必要的.例11 已知3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：cos(α+2β)=0.思路分析：从求证的结论看，cos(α+2β)的展开式中含有cosα、cos2β、sinα、sin2β这样的函数值.由已知条件结合倍角公式的特点，恰好能转化出cos2β、sin2β这样的函数值.证明：由3sin 2α+2sin 2β=1，得1-2sin 2β=3sin 2α，∴cos2β=3sin 2α. 又∵sin2β=23sin2α， ∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=cosα·3sin 2α-sinα·23sin2α=23sinαsin 2α-23sinαsin2α=0. 方法归纳 首先观察条件与结论的差异，从解决某一差异入手.确定从结论开始，通过变换将已知条件代入得出结论；或通过变换已知条件得出结论；或同时将条件与结论变形，直到找到它们间的联系.如果上述方法都难奏效的话，可采用分析法；如果已知条件含有参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法，等等. 问题•探究 材料信息探究问题 倍角和半角公式：sinα=2tan12tan22αα+，cosα=2tan12tan 122αα+-，tanα=2tan12tan 22αα-，这组公式称为“万能公式”，那么“万能公式”是怎样来的？它真的是“万能”的吗？探究过程:万能公式是一组用tan2α来表示sinα、cosα和tanα的关系式. 这组公式可以利用二倍角公式推导，其中正切tanα=2tan 12tan22αα-，可以由倍角公式直接获得；正弦、余弦只要在倍角公式中添加分母，再分子、分母同除以cos 22α可得： 2tan 12tan22cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 2sin 222ααααααααα+=+==， 2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 2sin 2cos cos 22222222ααααααααα+-=+-=-=. 这组“万能公式”为一类三角函数的求值提供了一座方便可行的桥梁，如要计算cosα或sin(α+β)的值，可以先设法求得tan2α或2tan βα+的值.由于公式中涉及角的正切，所以使用时要注意限制条件，即要保证式子有意义.探究结论:所谓的“万能”，是说不论角α的哪一种三角函数，都可以表示成tan 2α的有理式，这样就可以把问题转化为以tan 2α为变量的“一元有理函数”，即如果令tan 2α=t ，则sinα、cosα和tanα均可表达为关于t 的分式函数，这就实现了三角问题向代数问题的转化，为三角问题用代数方法求解提供了一条途径.如ta n15°+cot15°=tan15°+=︒+︒=︒15tan 115tan 15tan 12430sin 2115tan 15tan 222=︒=+︒︒，就较方便的解决了问题.再如求函数2sin cos +=x x y 的值域.令t x=2tan ，则t∈R ，利用万能公式有sinx=212t t +,cosx=2211t t +-，所以=+++-=21211222t t t t y 222221t t t ++-，由此可以建立关于t 的一次或二次函数(2y+1)t 2+2yt+2y-1=0，进一步分类讨论可得函数的值域.。
高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式第32课时二倍角的正弦余弦正切公式1作
1 2
sin22θ，又cos2θ＝－34，∴sin22θ＝1－cos22θ＝176.
∴原式＝1－12sin22θ＝1－12×176＝2352.
π 11．函数f(x)＝sin22x－4π的最小正周期是 2 .
解析：f(x)＝1－cos24x－π2＝12－12sin4x， ∴T＝24π＝2π.
三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说 明，证明过程或演算步骤)
一、选择题(每小题5分，共35分)
1．sin22°30′cos22°30′等于( A )
2 A. 4 C. 2
2 B. 2 D．1
2．已知α为第二象限角，sinα＝35，则sin2α＝( A )
A．－2245
B．－1225
12
24
C.25
D.25
解析：∵sinα＝
3 5
且α为第二象限角，∴cosα＝－
＝sin88s0i°nc2o0s°80°＝116·ssiinn12600°°＝116.
13．(13分)已知cosα＝17，cos(α－β)＝1134，且0<β<α<2π.
(1)求tan2α的值．
(2)求β. 解：(1)由cosα＝17，0<α<π2，
得sinα＝ 1－cos2α＝
1－172＝4
7
3 .
1－sin2α ＝
－45.
∴sin2α＝2sinαcosα＝－2245，故选A.
3．已知角α的终边与单位圆x2＋y2＝1交于点P cos2α等于( A )
12，y0
，则
A．－12
1 B.2
C．－
3 2
D．1
解析：点P12，y0在单位圆上，∴x＝12，y＝y0，r＝1. ∴cosα＝12，cos2α＝2cos2α－1＝－12.
高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.2第1课
第1课时两角和与差的正弦、余弦公式学习目标：1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．[自主预习·探新知]1．两角和与差的余弦公式y＝a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝aa2＋b2，sin θ＝ba2＋b2.[基础自测]1．思考辨析(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( )(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( )(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( )(4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.()[解析](1)正确．根据公式的推导过程可得．(2)正确．当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β.(3)错误．当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(4)正确．因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°，故原式正确．[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√2．cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°的值为( ) A ．0B ．12 C ．32D ．cos 54°B [原式＝cos(57°＋3°)＝cos 60°＝12.]3．若cos α＝－35，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －π4＝________.－210 [∵cos α＝－35，α是第三象限的角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝22sin α－22cos α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－210.] [合 作 探 究·攻 重 难]给角求值问题) A ．－32B ．－12C ．12D ．32(2)若θ是第二象限角且sin θ＝513，则cos(θ＋60°)＝________.(3)求值：(tan 10°－3)cos 10°sin 50°.(1)D (2)－12＋5326[(1)∵cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°＝－sin 70°，sin 40°＝cos 50°，∴原式＝cos 70°sin 50°－(－sin 70°)cos 50° ＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝32. (2)∵θ是第二象限角且sin θ＝513，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－1213，∴cos(θ＋60°)＝12cos θ－32sin θ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213－32×513 ＝－12＋5326.(3)原式＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°cos 10°sin 50°＝sin －50°cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－2.][规律方法] 解决给角求值问题的策略 1对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形.2一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式.提醒：在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求.[跟踪训练] 1．化简求值：(1)sin 50°－sin 20°cos 30°cos 20°；(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)． [解] (1)原式＝sin20°＋30°－sin 20°cos 30°cos 20°＝sin 20°cos 30°＋cos 20°sin 30－sin 20°cos 30°cos 20°＝cos 20°sin 30°cos 20°＝sin 30°＝12.(2)设α＝θ＋15°，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－3cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α－3cos α＝0.给值求值、求角问题(1)已知P ，Q 是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点P 的横坐标为45，点Q 的横坐标为513，则cos ∠POQ ＝________.(2)已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.求：①cos(2α－β)的值；②β的值.[思路探究] (1)先由任意角三角函数的定义求∠xOP 和∠xOQ 的正弦、余弦值，再依据∠POQ ＝∠xOP ＋∠xOQ 及两角和的余弦公式求值．(2)先求sin α，cos(α－β)，依据2α－β＝α＋(α－β)求cos(2α－β)．依据β＝α－(α－β)求cos β再求β.(1)5665 [(1)由题意可得，cos ∠xOP ＝45， 所以sin ∠xOP ＝35.再根据cos ∠xOQ ＝513，可得sin ∠xOQ ＝－1213，所以cos ∠POQ ＝cos(∠xOP ＋∠xOQ )＝cos ∠xOP ·cos∠xOQ －sin ∠xOP ·sin∠xOQ ＝45×513－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝5665. (2)①因为α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，又sin(α－β)＝1010＞0，所以0＜α－β＜π2，所以sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α－β)＝1－sin2α－β＝31010， cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)] ＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210. ②cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝55×31010＋255×1010＝22， 又因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.][规律方法] 给值求值问题的解题策略在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：1当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差. 2当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角. [跟踪训练]2．已知锐角α，β满足cos α＝255，sin(α－β)＝－35，求sin β的值．[解] 因为α，β是锐角，即0＜α＜π2，0＜β＜π2，所以－π2＜α－β＜π2，因为sin(α－β)＝－35＜0，所以cos(α－β)＝45，因为cos α＝255，所以sin α＝55，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×45＋255×35＝255.辅助角公式的应用[探究问题]1．能否将函数y ＝sin x ＋cos x (x ∈R )化为y ＝A sin(x ＋φ)的形式⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2？提示：能．y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.2．如何推导a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a公式．提示：a sin x ＋b cos x＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ， 令cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b 2，则a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ角所在象限由a ，b 的符号确定，φ角的值由tan φ＝ba确定，或由sin φ＝b a 2＋b2和cos φ＝a a 2＋b2共同确定)．(1)sin π12－3cos π12＝________.(2)已知a ＝(3，－1)，b ＝(sin x ，cos x )，x ∈R ，f (x )＝a·b ，求函数f (x )的周期，值域，单调递增区间.[思路探究] 解答此类问题的关键是巧妙构建公式C (α－β)、C (α＋β)、S (α－β)、S (α＋β)的右侧，逆用公式化成一个角的一种三角函数值．(1)－2 [(1)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12.法一：(化正弦)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3sin π12－sin π3cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π12cos π3－cos π12sin π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－ 2. 法二：(化余弦)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6sin π12－cos π6cos π12＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6cos π12－sin π6sin π12＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π12＝－2cos π4＝－ 2.(2)f (x )＝3sin x －cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·32－cos x ·12 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π6－cos x sin π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，∴T ＝2πω＝2π，值域[－2,2]．由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，2π3＋2k π，k ∈Z .] 母题探究：1.若将例3(2)中a ＝(3，－1)改为a ＝(－1，3)，其他条件不变如何解答？[解] f (x )＝－sin x ＋3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴T ＝2π，值域为[－2,2]，由－π＋2k π≤x ＋π6≤2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π6＋2k π，－π6＋2k π，k ∈Z .2．若将例3(2)中a ＝(3，－1)改为a ＝(m ，m )其中m ＞0，其他条件不变，应如何解答？[解] f (x )＝m sin x ＋m cos x ＝2m sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴T ＝2π，值域为[－2m ，2m ]，由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z . [规律方法] 辅助角公式及其运用1公式形式：公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin α＋φ或a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2cos α－φ将形如a sin α＋b cos αa ，b 不同时为零的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式.2形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误.[当 堂 达 标·固 双 基]1．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( ) A ．－32B ．－12C ．12D ．32B [∵sin 245°＝sin(155°＋90°)＝cos 155°，sin 125°＝sin(90°＋35°)＝cos 35°，∴原式＝cos 155°cos 35°＋sin 155°sin 35°＝cos(155°－35°)＝cos 120°＝－12.] 2．化简2cos x －6sin x 等于( )A ．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋xB ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－xC ．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x D ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x D [2cos x －6sin x ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3cos x －sin π3sin x＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x .] 3．cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝________.cos α [cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝cos[β＋(α－β)]＝cos α.] 4．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.[解析] ∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，∴sin 2α＋cos 2β＋2sin αcos β＝1①，cos 2α＋sin 2β＋2cos αsin β＝0②，①②两式相加可得sin 2α＋cos 2α＋sin 2β＋cos 2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，∴sin(α＋β)＝－12.[答案] －125．已知α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β. [解] ∵α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010， ∴sin β＝31010，cos α＝255.∵sin α<sin β，∴α<β，∴－π2<α－β<0，∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝55×1010－255×31010＝－22，∴α－β＝－π4.。
[精品课件]高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 两角和与差的正弦
(2)由(1)可知， sinπ4＋α＝45，cos34π＋β＝－1123， ∴sinπ4＋α－34π＋β ＝sinπ4＋αcos34π＋β－cosπ4＋αsin34π＋β ＝45×－1123－－35×153＝－3635. 又 sinπ4＋α－34π＋β＝sin（α－β）－π2＝－cos(α－β)，从而 cos(α－β)＝3635.
8° 8°.
解析： (1)sin(－15°)＝sin(30°－45°)
＝sin 30°cos 45°－cos 30°sin 45°
＝12× 22－
3 2×
22＝
2－ 4
6 .
sin 7°＋cos 15°sin 8° (2)cos 7°－sin 15°sin 8°
＝scions（（1155°°－－88°°））＋－csoins
s（601°－α）
＝
1
＋
1
12cos α－ 23sin α 12cos α＋ 23sin α
＝14cos2cαo－s α34sin2α＝cocso2αs－α 34.
由题设有cocso2αs－α 34＝－cos2B＝－2 2， 整理得：4 2cos2α＋2cos α－3 2＝0. (2cos α－ 2)(2 2cos α＋3)＝0. ∵2 2cos α＋3≠0，∴2cos α－ 2＝0. ∴cos α＝ 22.故 α＝45°，A＝60°＋45°＝105°.
＝－ 1－－352＝－45. ∴cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β) ＝－45×1123－－35×153＝－3635， cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝－45×1123＋－35×153＝－6635.
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式问题导学一、给角求值问题活动与探究1(1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32 B ．－12 C ．12 D ．32(2)－sin 167°sin 223°＋sin 257°sin 313°＝________．迁移与应用求值：sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°．解决给角求值的问题有两种思路：一种是非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，一种是利用诱导公式把角化整化小，然后观察角的关系及式子特点，选择公式求值．在这两种思路中，公式的正用逆用都要熟练．二、给值求值问题活动与探究2已知sin α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos β＝－513，β是第三象限角，求cos(α＋β)，tan(α＋β)的值．迁移与应用1．若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )A ．33B ．－33C ．539D ．－692．已知α，β是锐角，且sin α＝437，cos(α＋β)＝－1114，求sin β的值．1．在给值求值问题中，已知α，β的某一种弦的函数值，求α＋β，α－β的余弦值，其基本思路是：先看公式中的量，哪些是已知的，哪些是待求的，再利用同角三角函数的基本关系式求出，但在求未知量的过程中，要注意根据角所在的象限确定符号．2．解决给值求值问题的关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异，角的变换是其中较为常见的．如α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)，α＝α＋β2＋α－β2，β＝α＋β2－α－β2，2α＝(α＋β)＋(α－β),2β＝(α＋β)－(α－β)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝π2＋(α＋β)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝π2＋(α－β)等． 三、给值求角问题活动与探究3已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求角β的值． 迁移与应用已知tan α＝2，tan β＝3，且α，β都是锐角，求α＋β的值．解答这类题目的步骤为：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的范围写出所求的角．特别注意选取角的某一三角函数值时，应先缩小所求角的范围，最好把角的范围缩小在某一三角函数的单调区间内，进而选取三角函数求解．四、三角函数式的化简与证明活动与探究4 化简下列各式：(1)sin x －3cos x ；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ； (3)sin(2α＋β)sin α－2cos(α＋β)；(4)(tan 10°－3)·cos 10°sin 50°．迁移与应用1．化简下列各式：(1)sin 70°sin 65°－sin 20°sin 25°；(2)sin(54°－x )cos(36°＋x )＋cos(54°－x )sin(36°＋x )；(3)3＋tan 15°1－3tan 15°； (4)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°．2．已知sin(2α＋β)＝5sin β，求证：2tan(α＋β)＝3tan α．1．三角函数式的化简或证明，主要从三方面寻求思路：一是观察函数的特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系；二是观察角的特点，它们之间可经过何种形式联系起来；三是观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一．2．同时，注意公式的变形应用：cos(α＋β)＋sin αsin β＝cos αcos β，tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)，tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan(α＋β)等．当堂检测1．sin 59°cos 89°－cos 59°sin 89°的值为( )A ．－12B ．12C ．－32D ．－ 32．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin α＝35，则2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．75B ．15C ．－75D ．－153．在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C ＝( )A ．－55 B ．55 C ．－255 D ．2554．已知tan α＝13，tan(β－α)＝－2，且π2＜β＜π，则β＝________．5．若α是锐角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos α的值是________．课前预习导学 【预习导引】 cos αcos β＋sin αsin β cos αcos β－sin αsin β sin αcos β＋cos αsinβ sin αcos β－cos αsin β tan α＋tan β1－tan αtan β tan α－tan β1＋tan αtan β预习交流1 提示：正弦、余弦的公式中，角是任意的；而在T (α±β)中，α，β，α±β都不等于k π＋π2(k ∈Z )，同时1＋tan αtan β，或1－tan αtan β≠0．预习交流2 提示：例如：α＋2β＝(α＋β)＋β；类似地，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β．课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：(1)观察题目中出现的角的关系，把47°写成17°＋30°，然后运用公式求值．(2)题目中给出的角各不相同，可充分利用诱导公式进行转化，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式进行求值．(1)C (2)32 解析：(1)原式＝sin(17°＋30°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°＝12．(2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(270°－13°)sin(270°＋43°)＝sin 13°sin 43°＋(－cos 13°)·(－cos 43°)＝cos 43°cos 13°＋sin 43°sin13°＝cos(43°－13°)＝cos 30°＝32．迁移与应用 解：原式＝sin(15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos(15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－3． 活动与探究2 思路分析：利用弦函数的平方关系，由sin α，cos β的值求出cos α，sin β的值，再利用两角和与差的公式展开代入求解．解：由sin α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π得 cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35．又由cos β＝－513，β为第三象限角得sin β＝－1－cos 2β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝－1213，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝6365， sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝1665， ∴tan(α＋β)＝sin(α＋β)cos(α＋β)＝1663．也可由cos α＝－35，sin α＝45，得tan α＝－43．由sin β＝－1213，cos β＝－513，得tan β＝125，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1663．迁移与应用 1．C 解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，0＜α＜π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，－π2＜β＜0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539，故选C ． 2．解：∵α是锐角，且sin α＝437，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎪⎫4372＝17． 又cos(α＋β)＝－1114，α，β均为锐角，∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314，∴sin β＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝5314×17－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×437＝32． 活动与探究3 思路分析：已知角α－β，α＋β的余弦值，求角β需求β的余弦值，2β＝(α＋β)－(α－β)．解答本题可由已知条件求α－β，α＋β的正弦值，从而求出cos 2β的值，得到2β的值，最后求出β．解：由α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513．由α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513．cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝－1213×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×513＝－1．又α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2π，α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2．∴2β＝π，∴β＝π2．迁移与应用 解：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2＋31－2×3＝－1．又α，β均为锐角，∴0°＜α＋β＜180°， ∴α＋β＝135°．活动与探究4 思路分析：(1)提出2后逆用两角和与差的正弦或余弦公式；(2)各因式中角的形式无法统一，且没有明显的凑角关系，所以只能利用和(差)角公式展开后寻求解决办法；(3)观察角的关系，知2α＋β＝α＋(α＋β)，再利用公式求值；可先把3代换3＝tan 60°，再切化弦，通分逆用公式化简．解：(1)sin x －3cos x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x ·12－cos x ·32＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·co s π3－cos x ·si n π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3；(2)原式＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3－3cos 2π3cos x －3sin 2π3sin x＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －32sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1－32sin x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3＋32cos x＝0．(3)原式＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin αsin α＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin αsin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α． (4)原式＝(tan 10°－tan 60°)·cos 10°sin 50°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°·cos 10°sin 50°＝sin 10°cos 60°－sin 60°cos 10°cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－sin(60°－10°)cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－1cos 60°＝－2．迁移与应用 1．解：(1)原式＝sin 70°cos 25°－cos 70°sin 25°＝sin(70°－25°)＝sin 45°＝22．(2)原式＝sin[(54°－x )＋(36°＋x )] ＝sin 90°＝1．(3)原式＝tan 60°＋tan 15°1－tan 60°tan 15°＝tan 75°＝2＋3．(4)原式＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝3． 2．证明：sin(2α＋β)＝5sin β⇒sin[(α＋β)＋α]＝5sin[(α＋β)－α]⇒sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝5sin(α＋β)cos α－5cos(α＋β)sinα⇒2sin(α＋β)cos α＝3cos(α＋β)sin α ⇒2tan(α＋β)＝3tan α．【当堂检测】1．A 解析：sin 59°cos 89°－cos 59°sin 89°＝sin(59°－89°)＝sin(－30°)＝－12．2．B 解析：cos α＝1－sin 2α＝45，原式＝cos α－sin α＝45－35＝15．3．D 解析：sin B ＝31010，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝255．4．3π4 解析：tan β＝tan[α＋(β－α)]＝tan α＋tan(β－α)1－tan α·tan (β－α)＝13－21＋23＝－1．又∵π2＜β＜π，∴β＝3π4．5．26－16 解析：∵α是锐角，∴0＜α＜π2，－π6＜α－π6＜π3，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝223，cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝223×32－13×12＝26－16．。