高等几何复习

[课外训练方案]部分 第一章、仿射坐标与仿射变换第二章、射影平面一、主要内容：基本概念： 射影直线与射影平面 ；无穷远元素；齐次坐标；对偶原理；复元素 基本定理：德萨格定理： 如果两个三点形对应顶点连线共点，则其对应边的交点在一条直线上。

德萨格定理的逆定理： 如果两个三点形对应边的交点在一条直线上，则对应顶点连线共点对偶原理： 在射影平面里，如果一命题成立，则它的对偶命题也成立。

二、疑难解析无穷远点：在平面上，对任何一组平行直线，引入一个新点，叫做无穷远点.此点在这组中每一条直线上，于是平行的直线交于无穷远点.无穷远点记为P ∞，平面内原有的点叫做有限远点.无穷远直线：所有相互平行的直线上引入的无穷远点是同一个无穷远点，不同的平行直线组上，引入不同的无穷远点，平面上直线的方向很多，因此引入的无穷远点也很多，这些无穷远点的轨迹是什么呢？由于每一条直线上只有一个无穷远点，于是这个轨迹与平面内每一直线有且只有一个交点.因此，我们规定这个轨迹是一条直线，称为无穷远直线.一般记为∞l ，为区别起见，平面内原有的直线叫做有穷远直线.平面上添加一条无穷远直线，得到的新的平面叫做仿射平面.若对仿射平面上无穷远元素（无穷远点、无穷远直线）与有穷远元素（有穷远点、有穷远直线）不加区别，同等对待，则称这个平面为射影平面.三、典型例题：1、 求直线10x -= 与直线340x y -+=上无穷远点的齐次坐标解：（1）直线10x -= 即 1x =它与y 轴平行 所以位y 轴上的无穷远点 (0,1,0) (2) 由直线340x y -+= 得1433y x =+故无穷远点为1(1,,0)3或（3，1，0） 2、求证：两直线1230x x x +-= 和123220x x x -+= 的交点C 与两点(3,1,2),(2,A B 三点共线证明：解方程组：1231230220x x x x x x +-=⎧⎨-+=⎩的交点 (1,4,3)C --因为行列式 1433120255--= 所以三点共线 3、试证：两共轭复点的连线 是一实直线 证明：23123,,),(,,)u u a u u u la l a l a l a l =1设a=(u 与是共轭复点，两点连线为由定理在上，在上，又在上，所以a 的共轭也在直线上而两点确定一条直线所以，3121112212321111133233()()u u u u u ul l u u u u u u u u u u uu u u u u ==∴====与重合，故即与都为实数所以123::u u u 与一组实数成比例，即直线为实直线。

4、德萨格定理的逆定理：如果两个三点形对应边的交点共线，则其对应顶点的连线共点。

证明：如图三点形ABC 与111A B C 的三对应边交点,,L M N 共线，证明对应顶点连线共点 ，考虑三点形1BLB 与1CMC 则有对应顶点连线共点N ，故对应边的交点1,,A A O 共线自测题1、 证明：中心投影一般不保留共线三点的单比．2、 设一平面内有几条直线12,,,n l l l 用121,,,n T T T -分别表示1l 与2l ，2l 与31,,n l l -与nl OABCLMNB1A1C1间的中心投影．这一串中心投影的复合1221n n T T T T T --=⋅⋅⋅⋅把1l 上的点对应到n l 上的点，这种对应关系称为射影对应．举例说明对应点之间的连线一般不共点．3、 设有两个相交平面1π和2π，如果以S 为中心做1π到2π的投影（S 不在1π和2π上），把1π上一已知直线1l 投影到2π上直线2l ．证明：当S 变动时，已知直线1l 的象2l 总要通过一个定点，或与定直线平行．4、 设12:σππ→是平面1π与2π之间的中心投影．试讨论1π上两条平行直线的象在2π中还是否平行，不平行有什么性质？同样在2π上两条平行直线在1π中的原象是否为平行线？5、 试证明：中心投影不保持直线上两个线段之比．第三章、射影变换与射影坐标一、基本内容： 交比与调和比； 一维射影变换； 一维射影坐标； 二维射影变换于二维射影坐标 二、主要公式1、 共线四点的交比：123132412341232314()(,)()p p p p p p p p p p p p p p p p p p ⋅==⋅2、 共点四线的交比：()sin ,sin ,(,)()sin ,sin ,abc a c b d ab cd abd b c a d <>⋅<>==<>⋅<>3、 两直线之间的射影变换：非齐次坐标形式：1112'111221222122,0a a a x a x a a a x a +==≠+齐次坐标形式：'11121111122'21222211222,0a a x a x a x a a x a x a x ρρ⎧=+=≠⎨=+⎩ 参数形式：''0,0a b c d ad bc λλλλ+++=-≠4、 二维射影变换：'1111122133111213'2211222233212223'3311322333313233,0x a x a x a x a a a x a x a x a x A a a a x a x a x a x a a a ρρρ⎧=++⎪=++=≠⎨⎪=++⎩'11'22'33,det 0x x x A x A x x ρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、典型例题：1、 证明：1122(,)(,)A B CD A B CD =的充要条件是：1212(,)(,)A A CD B B CD = 证明：设11221122,,,A C k D A C k D B C n D B C n D =+=+=+=+ 则12112212(,),(,)k kA B CD A B CD n n == 若1122(,)(,)A B CD A B CD = 则12111222k k k nn n k n ==或 而 11121222(,),(,)k n A A CD B B CD k n == 所以有 1212(,)(,)A A C D B B C D= 2、已知共点直线,,a b d 的方程为：:210,:320,:510a x y b x y d x -+=+-=-= 且1(,)2ab cd =求直线c 的方程 解：先化为齐次线坐标[2,1,1],[3,1,2],[5,0,1]a b d --- 则有 d a b =+ 即1k = 令 c a nd =+ 则1(,)2n ab cd k == 所以12n = 171[,,0]222c a b =+=- 所以方程 为 70x y -= 3、设一直线上的点的射影变换是/324x x x +=+证明变换有两个自对应点，且这两自对应点与任一对对应点的交比为常数。

解：令''232204x x x x x x x +==--=+由得 解得121,2x x =-= 即有两个 自对应点 设k 与'324k k k +=+ 对应，有'5((1)2,)2kk -=为常数 注：结果 有25也对，不过顺序有别4、试证圆上任一点与圆内接正方形各顶点连线构成一个调和线束 证明：如图：ABCD 为圆内接正方形，P 为圆上任意点。

因为AD AB =所以PA 为角DPB 的平分线。

同理可证明PC 是角EPB 平分线。

即,PA PC 是角DPB 的内外角平分线。

所以直线,,,PD PA PB PC 构成调和线束。

5、试证:双曲型对合的任何一对对应元素 'P P →,与其两个二重元素,E F 调和共轭即(',PP EF )=-1证明：,E F 为自对应元素，P 与1P 对应则有11(,)(,)PP EF PP EF = 而 111(,)(,)PP EF PP EF =所以111(,)(,)PP EF P P EF =得 21(,)1PP EF = 因为1,P P 不重合故1(,)1PP EF =-6、求射影变换'112'22'33x x x x x x xρρρ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩的不变点坐标解: 由特征方程：311001001-0101λλλλλ--===-得（）即将12230010000x x x x λ+=⎧⎪==⎨⎪=⎩代入方程组 得20x = ,故20x =上的点都是不变点20x =是不变点列。

自测题1、 设124(1,1,1),(1,1,1),(1,0,1)P P P -为共线三点，且1234(,)2PP P P =求3P 的坐标。

2、 已知线束中 三直线,,a b c 求作直线d 使1(,)2ab cd =3、 射影变换使直线上以0，1为坐标的点及无穷远点顺次对应-1，0，1求变换式，并判断变换的类型。

4、 求两直线2220ax hxy by ++=所构成角的平分线方程5、 试证在同一直线上的四点的交比值与直线上摄影坐标系的选取无关。

6、 求射影变换'1123'2123'312322x x x x x x x x x x x xρρρ⎧=-+⎪=+-⎨⎪=++⎩的逆变换，并求出影消线对应直线的方程。

第四章 变换群与几何学疑难解析1． 变换群 （1）基本定义射影变换群：射影平面上所有射影变换的集合构成射影变换群P ，它是一个八维群； 仿射变换群：仿射平面上所有仿射变换的集合构成仿射变换群A ，它是一个六维群； 相似变换群：平面上所有相似变换的集合构成相似变换群S ，它是一个四维群； 正交变换群：欧氏平面上所有正交变换的集合构成正交变换群M ，它是一个三维群。

四种变换群，就群的大小而言，它们的关系是：P A S M ⊃⊃⊃. （2）一一变换的集合G 构成群的充要条件是： ①若12,G ϕϕ∈，则12G ϕϕ⋅∈（封闭性）；②若G ϕ∈，则1G ϕ-∈（存在逆元）.2．克莱因关于几何学的变换群观点 正交变换群→欧氏几何； 仿射变换群→仿射几何； 射影变换群→射影几何；就变换群的大小来看，三种变换群的关系为：P A M ⊃⊃； 从几何学研究的内容来看，它们的关系是：欧氏几何⊃仿射几何⊃射影几何.名称 射影几何 仿射几何 相似几何 欧氏几何 变换群射影群仿射群相似群正交群 研 究 对 象射影性质射影不变量 纯仿射性质纯仿射不变量 射影性质射影不变量纯相似性质纯相似不变量 纯仿射性质纯仿射不变量 射影性质 射影不变量纯度量性质纯度量不变量纯相似性质纯相似不变量纯仿射性质 纯仿射不变量 射影性质 射影不变量主要不变性质结合性分割性结合性平行性结合性平行性保角性结合性 平行性 合同性 基本不变量 交比 单比 相似比距离例题选解例1 证明：平面内有公共旋转中心的所有旋转变换构成群.证明：不失一般性，可将旋转中心取为原点，则变换的一般式为：cos sin sin cos x x y y x y θθθθ'=-⎧⎨'=+⎩容易证明，这种变换对于乘法是封闭的，且逆变换也是以原点为中心的旋转变换（其实就是旋转θ-的变换），所以这种变换的集合构成群.例2 下面所说的名称或定理，哪些属于射影几何学？哪些属于仿射几何学？哪些属于欧氏几何学？（最大的） （1）梯形；（2）正方形；（3）离心率；（4）塞瓦定理与麦尼劳斯定理； （5）重心；（6）垂心；（7）平行四边形的对角线互相平分； （8）在平面内，一般位置的四条直线有六个交点； （9）含于半圆内的圆周角是直角；（10）如果直线AB 与CD 相交，则AC 与BD 相交；（11）二次曲线的中心；（12）德萨格定理. 分析：判定一个图形或定理属于哪一中几何学研究的对象，主要根据图形或定理所涉及的不变性和不变量来判定，例如涉及距离，线段或角的相等就属于欧氏几何学研究的范围，涉及直线的平行、线段的比例、线段的中点等就属于仿射几何学研究的对象，而仅与点、线、面之结合关系有关的就属于射影几何学研究的对象了. 解：（2）、（3）、（6）、（9）属于欧氏几何学；（1）、（4）、（5）、（7）、（11）属于仿射几何学；（8）、（10）、（12）属于射影几何学.例3 为什么向量的数量积的概念在仿射几何里不存在？ 解：因为二向量,u v 的数量积为：()cos ⋅=⋅⋅,u v u v u v而在仿射变换下，向量的长度和夹角都要改变，故向量的数量积概念在仿射几何里不存 在。