(全新整理)4月浙江自考高等几何试题及答案解析
2020年4月浙江自考高等几何试题及答案解析试卷及答案解析真题
1浙江省2018年4月高等教育自学考试高等几何试题课程代码：10027一、填空题(每空2分，共20分)1.射影变换基本不变量是__________。
2.欧氏几何基本不变图形是__________。
3.直线2x-y+1=0上无穷远点的齐次坐标是__________。
4.原点的方程是__________。
5.自极三角形是__________。
6.二次曲线在无穷远点处的切线叫做__________。
7.共线四点A ，B ，C ，D 交比的定义是(AB ，CD )=__________。
8.两个射影点列成透视的充要条件是__________。
9.平面上两个圆点的齐次坐标是__________。
10.焦点的极线称为__________。
二、计算下列各题(每小题6分，共36分)1.求仿射变换⎩⎨⎧-=+-=y 2x 4'y 4y x 3'x 的自对应点 2.一直线上取A=（5，-7，-1）为第一基点，B=（1，-2，1）为第二基点，C=（-1，1，1）为单位点，建立射影坐标系。
求点D=（1，1，-5）的齐次射影坐标。
3.设直线上三个点A ，B ，C 的齐次坐标依次为（2，1），（1，2）与（-1，1），求D 点坐标，使(AB ，CD )=2。
4.求点（5，1，7）关于二次曲线2x 12+3x 22+x 32-6x 1x 2-2x 1x 3-4x 2x 3=0的极线。
5.设一对合由非齐次坐标为3的二重点，以及非齐次坐标为1和4的一对对应点决定，求对合的表达式。
6.求二次曲线xy+y 2-x-3y-2=0的渐近线。
三、求作下列图形(写出作法，画出图形，每小题6分，共12分)1．已知共点直线l 1，l 2，l 3，求作直线l 4，使l 1,l 2，l 3和l 4构成调和线束。
作法：2.如图，给定二次曲线上五个点A，B，C，D，E，求作二次曲线上的第六点。
作法：四、证明下列各题(每小题10分，共20分)1、利用完全四点形的调和性质证明：平行四边形对角线互相平行。
4月浙江自考高等几何试题及答案解析
1浙江省2018年4月自学考试高等几何试题课程代码：10027一、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1.简比(ABC)__________，则点C 在AB 上.2.对合的表达式是__________.3.欧氏几何的基本不变量是__________、__________.4.已知共线四点A 、B 、C 、D 的交比(AB ，CD)=2，则(DA ，BC)=__________.5.两个线束成透视的充要条件是__________.6.平面内两点I(1,i,0)和J(1,-i,0)称为平面内的__________点.7.几何公理体系的三个基本问题是__________，__________，__________.8.罗氏几何的一个重要定理：任何三角形的内角和__________两直角.9.欧几里得在前人的基础上写成的《__________》是仅存的古代数学名著之一.10.射影平面上，__________线不存在.二、计算题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1.求连接点(1，2，-1)与二直线(2，1，3)，(1，-1，0)之交点的直线方程.2.设共线三点P 1、P 2、P 3在留氏坐标系下，已知P 1,P 2的非齐次坐标顺次为(x 1,y 1),(x 2,y 2)，且简比(P 1P 2P 3)=λ(λ≠1)，求P 3的坐标(x,y).3.已知线束中三直线a,b,c 的方程依次是3x-2=0,-x+2y+2=0，5x-y-4=0，它们与第四直线d 的交比为32，求d 的方程. 4.试求点(-1，2)关于二阶曲线x 2-3xy+y 2-2x-y-1=0的极线.5.试求二次曲线x 2+3xy-4y 2+2x-10y=0的中心.三、作图题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)1.给定透视仿射的对应轴g 和一对对应点A 、A′，求作已知正方形PQRS 的对应图形.作法：2.已知一直线上三点A、B、C，求作第四点D使交比(AB，CD)=-1. 作法：3.如图，求作直线p关于二次曲线Γ的极点(如图).作法：四、证明题(本大题共2小题，每小题10分，共20分)1.△ABC和△A′B′C′的六个顶点在二次曲线Γ′上，证明CA、AB、BC、C′A′、A′B′，C′B′切于另一个二次曲线Γ上.证明：22.以四条迷向直线为边作一个四边形ABCD(如图)，其中对边属于同类迷向直线，试证其对角线AC，BD互相垂直.证明：五、综合应用题(本大题共12分)△ABC内接于椭圆，过A，B，C作椭圆的切线，交成△A1B1C1(图甲)，若AB∥A1B1，BC∥B1C1，求证：CA∥C1A1证明：(按以下程序作业)第一步：经某仿射变换将椭圆变成圆(图乙)为什么这样的变换是存在的?第二步：在图乙中画出图甲的对应点和线段，叙述原来的命题对应地变成怎样的命题?第三步：证明经变换后相应的命题成立，这样原来的命题也就成立，为什么?3。
微分几何浙江省月自考试题
浙江省2013年10月高等教育自学考试微分几何试题课程代码：10022一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑.错涂、多涂或未涂均无分.1.如果在点P 有20LN M >－，则点P 称为曲面的 A ．双曲点 B.椭圆点 C.抛物点D.平点2.球面上的大圆不可能是球面上的 A ．测地线 B.曲率线 C.法截线D.渐近线 3.若曲线Γ的曲率、挠率都为非零常数，则曲线Γ是 A ．平面曲线 B.球面曲线 C.圆柱螺线D.直线4.设曲面在一点的单位法向量n →，切向量为d r →，则d n →=λd r →的充分必要条件是 A.存在方向r δ→使d n →·r δ→=0 B.存在方向r δ→使·d r r δ→→=0C.存在方向r δ→使·d n r δ→→=0且·d r r δ→→=0 D.沿d r →有n k =05.曲面(),r r u v →→=上曲线(C)在P 点的基本向量为,,,αβγ→→→曲面在P 点的单位法向量为n →.则下列选项中不是曲线(C)在P 点的测地曲率的是 A.k n β→→⨯ B.(,,)k n αβ→→→C.(,,)r r n →→→D.(,,)k n αβ→→→二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)6.若向量函数()r t 对于t 的每一个值有()()·r t r t '=0,且()|1|r =3,则()|5|r =________. 7.主法线与固定方向垂直的曲线是________.8．成为球面{cos cos , cos sin , sin }r R R R θϕθϕθ→=纬线的坐标曲线是________曲线.9.若曲面上非直线的曲线（C ）在每一点的切平面是在这点的密切平面,则曲线（C ）是曲面的________曲线.10.曲率恒等于零的曲线是________.11.曲线（C ）上P 点处的三个基本向量是,,αβγ→→→，则过P 点由β→和γ→确定的平面叫曲线(C)在P 点的________.12.若00u v r r u v →→⨯在（，）点模不等于零，则00u v （，）为曲面的________点. 13.曲面上曲线是曲率线的充要条件是________组成可展曲面. 14.柱面的高斯曲率K=________.15.曲面上曲线（C ）在一点P 的测地曲率g k =4，曲面在P 点沿（C ）的切向的法曲率n k =3，则曲线（C ）的曲率k =________.三、计算题(本大题共6小题，每小题7分,共42分)16．求曲线{} sin , cos ,t r t t t t te →=在原点的密切平面、法平面、切线方程. 17．求圆柱螺线{}2 cos ,2 sin ,2r t t t →=的曲率和挠率. 18.求正螺面{} cos , sin ,r u v u v bv →=的第二基本形式. 19．求在正螺面上{} cos , sin ,r u v u v bv →=的渐近线.20．求曲面(){(),,}222a b uvr u v u v →=+－上的曲率线的方程.21．求位于正螺面{} cos , sin ,r u v u v av →=上的圆柱螺线(C)：{}00cos ,sin ,r u v u v av →=（0u =常数）的测地曲率.四、证明题(本大题共3小题，每小题6分，共18分) 22．向量函数()r t 平行于固定平面，则有(,,)r r r '''=0. 23．证明：球面与平面不存在等距对应.24.证明：若曲面上非直线的所有测地线均为平面曲线，则它必为曲率线.。
2023年4月高等数学(00023)试卷参考答案
2023年4月高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学（工本）试题答案（课程代码00023）一、单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分1.B2.C3.B4.A5.D6.D7.A8.D9.C10.C二、计算题：本大题共10小题，每小题6分，共60分11.解：由题意可得设平面方程为1x y za a a++= 将点(),-321，带入上述平面方程可得a =2,故平面方程为20x y z ++-=12.解：由题意可得取所求直线的方向向量为{}3,0,1n =-则所求的直线方程为x y z --+==-12330113.解：令(),,F x y z x y z =++-2222315 ，则()()()()()()()2,2,12,2,12,2,1,,2,4,64,8,622,4,3x y z nF F F x y z ====切平面方程为()()()2242310243150x y z x y z -+-+-=⇒++-=14.解：由题意可得grad u u u u i j k y zi xyz j xy k x y z∂∂∂=++=++∂∂∂222 所以有()(),,,,grad u y zi xyz j xy ki j k =++=++221111112215.解：令(),,F x y z x y z xyz =++-3333，则有2233,33x z F x yz F z xy =-=-则有x z F z x yz yz x x F z xy z xy∂--=-=-=∂--22223333 16.解：积分区域为():,D θπr ≤≤≤≤0202极坐标，则πDπd θr dr ==⎰⎰222016317解：曲线::,L x y ds =-→==222，则LI y ds π-===⎰⎰2222418解：由意义可知()(),,,xy xy P x y ye xy y Q x y xe x xy =++=++22，由格林公式可得()()()xy xy L D DQ P I ye xy y dx xe x xy dy dxdy y dxdy x y ⎛⎫∂∂=+++++=-=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰221 其中区域:,D y y x -≤≤≤≤2111关于x 轴对称，则()yDDy dxdy dxdy dy dx --=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰211141319解：该级数nn ∞=∑013为几何级数，且其公比q =<113，故该级数收敛。
浙江省2019年4月普通高校招生学考科目考试数学试题(含答案)
绝密★考试结束前2019年4月浙江省普通高校招生学考科目考试数学试题姓名： 准考证号：考生注意：l ．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
3．非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图 时可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选，多选，错选均不给分.）1. 函数3y=log x-2（）的定义域为 A .{}2x x > B .{}0x x > C .{}2x x < D .R2. 直线y -26x =+的斜率为A.2B.-2C. 12D. 1-23. 下列点中，在不等式3260x y +->表示的平面区域内的是A .(0,0)B .(1,0)C .(1,1)D .(1,2)4. 设{}n a 为等差数列，若232,3a a ==，则5a =A. 4B.5C. 6D.7 5. 若α为锐角，4sin 5α=，则cos α= A .1-5 B .15 C .3-5 D .35 6. 椭圆2212x y +=右焦点的坐标为 A.(1,0) B. (√2,0) C.(√3,0) D. (2,0)7. 已知函数3()-f x x =,则 A.()f x 是偶函数，且在(-+)∞∞，上是增函数 B.()f x 是偶函数，且在(-+)∞∞，上是减函数 C.()f x 是奇函数，且在(-+)∞∞，上是增函数 D.()f x 是奇函数，且在(-+)∞∞，上是减函数8．在四棱锥P -ABCD 中，PD 丄底面ABCD ，且PD=DB.若M 为线段PB 的中点，则直线DM 与平面ABCD 所成的角为A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°9. 若向量a =(x,4)与b =(2,1)垂直，则实数x 的值为A.2B.-2C.8D.-810. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若a = l ，A = 30°，B =45°，则b 的值为 A.22 B. 63 C.2 D. 211．已知,m n 是空间两条直线，α是一个平面，则“,m n αα⊥⊥”是“m //n ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12．若双曲线2222x 1a by -=(a>0,b>0)的渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为 A. 22B. 1C.√2D. 2 13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.43π B.2π C.83π D.103π 14. 已知函数()f x ={ x 2 ,|x |≤1x +1,|x |>1若()f x =4则x 的值为 A. 2或-2 B. 2或3 C. 3 D. 515. 设{}n a 为等比数列，给出四个数列：①{}2n a ；②{}2n a ;③{}2n a ；④{}2log n a ，其中一定为等比数列的是A.①②B.①③C.②③D.②④16．函数()f x =2(3)ax b -的图象如图所示，则A. a > 0且b > 1B. a > 0且0 < b < 1C. a < 0且b > 1D. a < 0且0 < b < 117．已知a,b,c,d 是四个互不相等的正实数，满足a+b>c+d, 且|a-b|<|c-d|，则下列选项正确的是A. a 2 + b 2 > c 2 + d 2B.|a 2 - b 2 | < |c 2 – d 2 |C.√a + √b < √c + √dD.| √a - √b | < |√c - √d |18. 已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，空间一动点P 满足A 1P 丄AB 1，且∠APB 1=∠ADB 1，则点P 的轨迹为A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）19. 已知集合A={1,2}，集合B={2,3}，则A ∩B = ；A ∪B = .20. 已知实数x ，y 满足x 2+4y 2=2,则xy 的最大值为 . 21. 已知A ，B 为圆C 上两点，若AB =2,则AC AB ⋅u u u r u u u r 的值为 .22．正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足*()2n n n a n S n N a =+∈.若对于任意的N n *∈，都有n a k >成立，则整数k 的最大值为 .三、解答题（本大题共3小题，共31分.）23. (本题10分) 已知函数π()2sin sin()2f x x x =+x R ∈（）. (Ⅰ)求(0)f 的值；（Ⅱ）求()f x 的最小正周期；（Ⅲ）若()(0)2y f x πϕϕ=+<<为偶函数，求ϕ的值.24. (本题10分) 如图，不垂直于坐标轴的直线l 与抛物线22(0)y px p =>有且只有一个公共点M .(Ⅰ) 当M的坐标为（2,2）时，求p的值及直线l的方程；（Ⅱ）若直线l与圆x2+y2=1相切于点N,求|MN|的最小值.25. (本题11分) 如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数2=+++的定义域为｛x| ax2+bx+a+1≥0,且x≥0｝.f x ax bx a()1f x的定义域；(Ⅰ)若a=-1,b=2,求()f x为“同域函数”，求实数b的值；（Ⅱ）当a=1时，若()f x为“同域函数”，求实数b的取值范围.（Ⅲ）若存在实数a<0且a≠-1,使得()2019年4月浙江省学业水平考试数学试题答案。
4月浙江自考机械制图(三)试题及答案解析
浙江省2018年4月自学考试机械制图（三）试题
课程代码：04107
一、填空题(本大题共6小题，每空2分，共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1.字体中的汉字应写成__________。
2.尺寸线应由图形的轮廓线、轴线和__________处引出。
3.标注时，大于半圆的圆弧应注__________；小于半圆的圆弧应注__________。
4.画铅垂线时是利用绘图工具中的__________和__________配合使用的。
5.平行投影法分为__________和__________。
6.组合体上相邻表面之间的连接关系有平齐、__________和__________。
二、名词解释(本大题共5小题，每小题4分，共20分)
1.视图
2.轴测图
3.相贯线
4.剖视
5.局部视图
三、简答题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
1.尺寸标注的基本规则是什么？
2.三视图的投影的特性是什么？
3.什么是圆弧连接？平面图形尺寸分为哪两大类？
四、几何作图（本大题12分）
按照题中给出的图形（非1∶1比例），在空白处按图中的尺寸1∶1画该图形，保留关键的辅助线，尺寸需要标注）。
1
五、（本大题8分）
读懂机件形状，补画视图中遗漏的线条
六、（本大题10分）
根据俯视图和左视图，补画主视图
2
七、（本大题15分）
根据上、下图给出的主视图和俯视图，用正确的剖视方法，补画图中间的主视图。
3。
2019年4月浙江省普通高校招生学考科目考试数学试卷及答案
1
绝密★考试结束前
2019年4月浙江省普通高校招生学考科目考试
数学试卷
姓名： 准考证号：
考生注意：
l ．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试 题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答， 在本试题卷上的作答一律无效。
3．非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图 时可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
一、 选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个选项中只有一
个是符合题目要求的，不选，多选，错选均不给分.）
1. 函数3y=log x-2
（）的定义域为 A.{}2x x > B.{}0x x > C.{}2x x < D.R
2. 直线y -26x =+的斜率为 A.2 B.-2 C. 12 D. 1-2
3. 下列点中，在不等式3260x y +->表示的平面区域内的是
A.(0,0)
B.(1,0)
C.(1,1)
D.(1,2)
4. 设{}n a 为等差数列，若232,3a a ==，则5a =
A. 4
B.5
C. 6
D.7
5. 若α为锐角，4sin 5
α=，则cos α= A.1-5 B.15 C.3-5 D.35
6. 椭圆2
212
x y +=右焦点的坐标为。
浙江省普通高校招生学考科目考试立体几何多选题试题含答案
浙江省普通高校招生学考科目考试立体几何多选题试题含答案一、立体几何多选题1．如图①，矩形ABCD 的边2BC =，设AB x =，0x >，三角形BCM 为等边三角形，沿BC 将三角形BCM 折起，构成四棱锥M ABCD -如图②，则下列说法正确的有（ ）A ．若T 为BC 中点，则在线段MC 上存在点P ，使得//PD 平面MATB ．当)3,2x ∈时，则在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面ABCDC ．若使点M 在平面ABCD 内的射影落在线段AD 上，则此时该四棱锥的体积最大值为1 D ．若1x =，且当点M 在平面ABCD 内的射影点H 落在线段AD 上时，三棱锥M HAB -6322++【答案】BCD 【分析】对于A ，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，此时，DP 与MN 必有交点； 对于B ，取AD 的中点H ，表示出2223MH MT HT x --，验证当)3,2x ∈时，无解即可； 对于C ，利用体积公式21233V x x =⨯⨯-，借助基本不等式求最值即可； 对于D ，要求外接球半径与内切球半径，找外接圆的圆心，又内接圆半径为2323r =++【详解】对于A ，如图，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，则面ATM ⋂面()MDC N MN =．此时，DP 与MN 必有交点，则DP 与面ATM 相交，故A 错误； 对于B ，取AD 的中点H ，连接MH ，则MH AD ⊥．若面MAD ⊥面ABCD ，则有2223MH MT HT x =-=- 当)3,2x ∈时，无解，所以在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面ABCD故B 正确；对于C ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，由B 可知，(3x ∈，所以()22222221223232331333232x x V x x x x ⎛⎫+-⎛⎫=⨯⨯-=-≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当223x x =-，即6x =时等号成立．故C 正确； 对于D ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，且2MH =因为AHB ，MHB 都是直角三角形，所以M ABH -底面外接圆的圆心是中点，所以1R =，由等体积法，可求得内接圆半径为2323r =++，故61322R r ++=，故D 正确．故选：BCD ． 【点睛】本题从多个角度深度考查了立体几何的相关内容，注意辅助线的作法，以及求内接圆半径的公式、基本不等式、构造函数等核心思想．2．如图，正方体1111ABCD A B C D -中的正四面体11A BDC -的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）A ．异面直线1AB 与1AD 所成的角是3πB ．1BD ⊥平面11AC DC ．平面1ACB 截正四面体11A BDC -3D ．正四面体11A BDC -的高等于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的23【答案】ABD【分析】选项A ，利用正方体的结构特征找到异面直线所成的角；选项B ，根据正方体和正四面体的结构特征以及线面垂直的判定定理容易得证；选项C ，由图得平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为1ACB 面积的四分之一；选项D ，分别求出正方体的体对角线长和正四面体11A BDC -的高，然后判断数量关系即可得解. 【详解】A ：正方体1111ABCD ABCD -中，易知11//AD BC ，异面直线1A B 与1AD 所成的角即直线1A B 与1BC 所成的角，即11A BC ∠，11A BC 为等边三角形，113A BC π∠=，正确；B ：连接11B D ，1B B ⊥平面1111DC B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，即111AC B B ⊥，又1111AC B D ⊥，1111B B B D B ⋂=，有11A C ⊥平面11BDD B ，1BD ⊂平面11BDD B ，所以111BD AC ⊥，同理可证：11BD A D ⊥，1111AC A D A ⋂=，所以1BD ⊥平面11AC D ，正确；C ：易知平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为134ACB S=，错误；D ：易得正方体1111ABCD A B C D -()()()2222226++=2的正四面体11A BDC -22222262213⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭，故正四面体11A BDC -的高等于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的23，正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：利用正方体的性质，找异面直线所成角的平面角求其大小，根据线面垂直的判定证明1BD ⊥平面11AC D ，由正四面体的性质，结合几何图形确定截面的面积，并求高，即可判断C 、D 的正误.3．在三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是边长为343（ ）A ．直线1A C 与直线1BB 之间距离的最大值为3B ．若1A 在底面ABC 上的投影恰为ABC ∆的中心，则直线1AA 与底面所成角为60︒ C ．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则异面直线AB 与1A C 所成的角为30D ．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则其外接球表面积为64π 【答案】AD 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】如图示，以A 为原点，AC 为y 轴正方向，Ax 为x 轴正方向，过A 点垂直于面ABC 的向上方向为z 轴正方向建系，则()()()0,0,0,3,0,0,23,0,A B C 设()()()100010001000,,,3,3,,,23,,A x y z B x y z C x y z ++所以()()()1000100011,23,,,,,3,3,0,AC x y z BB x y z A B =---== 对于A:设n 为直线1A C 与直线1BB 的公垂线的方向向量，则有：11·0·0AC n BB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()0000002300x x y y zz x x y y zz ⎧-+-=⎪⎨++=⎪⎩解得：()00,0n z x =- 设直线1A C 与直线1BB 之间距离为d ，则22011222200009||||z A B nd d x z n x z ===++ 22009x d ≥∴≤，即3d ≤，故A 正确；对于B ：若1A 在底面ABC 上的投影恰为ABC ∆的中心，则(13,211A 底面法向量()(10,0,1,1,3,211m AA ==，设直线 1AA 与底面所成角为θ，则：121133sin |cos ,|143AA n θ===⨯，故B 错误； 对于C ： 三棱柱的侧棱垂直于底面时，则(((1110,0,43,3,43,0,23,43,A B C则()()13,3,0,0,23,43,AB AC ==- 设异面直线AB 与1A C 所成的角为θ，则11165cos |cos ,|||10||||23215AB AC AB AC AB AC θ====⨯,故C 错误；对于D ：若三棱柱的侧棱垂直于底面时，外接球的球心O 为上下底面中心DD 1连线的中点,所以外接球的半径()222324R =+=，所以2464S R ππ==.故D 正确故选：AD 【点睛】向量法解决立体几何问题的关键： (1)建立合适的坐标系； (2)把要用到的向量正确表示； (3)利用向量法证明或计算.4．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2EF =.则下列结论正确的是（ ）A ．三棱锥A BEF -的体积为定值B ．当E 向1D 运动时，二面角A EF B --逐渐变小C ．EF 在平面11ABB A 内的射影长为12D ．当E 与1D 重合时，异面直线AE 与BF 所成的角为π4【答案】AC 【分析】对选项分别作图，研究计算可得. 【详解】选项A:连接BD ,由正方体性质知11BDD B 是矩形，1112212224BEF S EF BB ∆∴=⋅=⨯⨯=连接AO 交BD 于点O由正方体性质知AO ⊥平面11BDD B ,所以，AO 是点A 到平面11BDD B 的距离，即22AO =11221334212A BEF BEF V S AO -∆∴=⨯=⨯⨯=A BEF V -∴是定值.选项B:连接11A C 与11B D 交于点M ，连接11,AD AB ， 由正方体性质知11AD AB =,M 是11B D 中点，AM EF ∴⊥ ,又1BB EF ⊥,11//BB AAA EFB ∴--的大小即为AM 与1AA 所成的角，在直角三角形1AA M 中，12tan 2MAA ∠=为定值. 选项C:如图，作1111,,,FH A B EG A B ET EG ⊥⊥⊥ 在直角三角形EFT 中，221cos 45222FT EF =⨯=⨯= 12HG FT ∴==选项D:当E 与1D 重合时，F 与M 重合，连接AC 与BD 交于点R ，连接1D R ,1//D R BM 异面直线AE 与BF 所成的角,即为异面直线1AD 与1D R 所成的角, 在三角形1AD R 中，22111132,2AD D R MB BB M B ===+=2AR = 由余弦定理得13cos AD R ∠= 故选：AC 【点睛】本题考查空间几何体性质问题.求解思路：关键是弄清(1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何度量的变化．求空间几何体体积的思路：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法；若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.5．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB BC AA P ===是1A B 上的一动点，则下列选项正确的是( )A ．DP 35B ．DP 5C ．1AP PC +6D ．1AP PC +的最小值为1705【答案】AD 【分析】DP 的最小值，即求1DA B △底边1A B 上的高即可；旋转11A BC 所在平面到平面11ABB A ，1AP PC +的最小值转化为求AC '即可.【详解】求DP 的最小值，即求1DA B △底边1A B 上的高，易知115,2A B A D BD ===，所以1A B 边上的高为355h =111,AC BC ，得11A BC ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，则AC '即为所求的最小值，易知11122,2,cos 10AA AC AAC ''==∠=-， 所以217042222()10AC '=+-⨯⨯⨯-= 故选：AD. 【点睛】本题考查利用旋转求解线段最小值问题.求解翻折、旋转问题的关键是弄清原有的性质变化与否， (1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，翻折、旋转前后应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何度量的变化．6．如图，已知矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆，若M 为线段1A C 的中点，则ADE ∆在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．线段BM 的长是定值B ．存在某个位置，使1DE AC ⊥C ．点M 的运动轨迹是一个圆D ．存在某个位置，使MB ⊥平面1A DE【答案】AC【分析】取CD 中点F ，连接BF ，MF ，根据面面平行的判定定理可得平面//BMF 平面1A DE ，由面面平行的性质定理可知//BM 平面1A DE ，可判断D ；在BFM ∆中，利用余弦定理可求得BM a =为定值，可判断A 和C ；假设1DE A C ⊥，由线面垂直的判定定理可得DE ⊥平面1A CE ，由线面垂直的性质定理可知1DE A E ⊥，与11DA A E ⊥矛盾，可判断B ．【详解】解：取CD 的中点F ，连接BF ，MF ，∵M ，F 分别为1A C 、CD 中点，∴1MF A D ∥，∵1A D ⊂平面1A DE ，MF ⊄平面1A DE ，∴MF 平面1A DE ，∵DF BE ∥且DF BE =，∴四边形BEDF 为平行四边形，∴BF DE ，∵DE ⊂平面1A DE ，BF ⊄平面1A DE ，∴BF ∥平面1A DE ，又BF MF F =，BF 、MF ⊂平面BMF ，∴平面//BMF 平面1A DE ，∵BM ⊂平面BMF ，∴BM ∥平面1A DE ，即D 错误，设22AB AD a ==， 则112MF A D a ==，2BF DE a ==，145A DE MFB ︒∠=∠=， ∴222cos45BM MF BF MF BF a ︒=+-⋅⋅=，即BM 为定值，所以A 正确，∴点M 的轨迹是以B 为圆心，a 为半径的圆，即C 正确，∵2DE CE a ==，2CD AB a ==， ∴222DE CE CD +=， ∴DE CE ⊥，设1DE A C ⊥，∵1A C 、CE ⊂平面1A CE ，1AC CE C =， ∴DE ⊥平面1A CE ，∵1A E ⊂平面1A CE ，∴1DE A E ⊥，与11DA A E ⊥矛盾，所以假设不成立，即B 错误.故选:AC .【点睛】本题考查立体几何中的翻折问题，涉及到线段长度的求解、直线与平面位置关系的判定、点的轨迹的求解、反证法的应用等知识点，考查学生的空间立体感和推理论证能力．7．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则（ ）A ．直线BD 1⊥平面A 1C 1DB ．三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值C ．异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[45°，90°]D ．直线C 1P 与平面A 1C 1D 6 【答案】ABD【分析】在A 中，推导出A 1C 1⊥BD 1，DC 1⊥BD 1，从而直线BD 1⊥平面A 1C 1D ；在B 中，由B 1C ∥平面 A 1C 1D ，得到P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，再由△A 1C 1D 的面积是定值，从而三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值；在C 中，异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°，90°]；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线C 1P 与平面A 1C 1D所成角的正弦值的最大值为3． 【详解】解：在A 中，∵A 1C 1⊥B 1D 1，A 1C 1⊥BB 1，B 1D 1∩BB 1＝B 1，∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1，∴A 1C 1⊥BD 1，同理，DC 1⊥BD 1，∵A 1C 1∩DC 1＝C 1，∴直线BD 1⊥平面A 1C 1D ，故A 正确；在B 中，∵A 1D ∥B 1C ，A 1D ⊂平面A 1C 1D ，B 1C ⊄平面A 1C 1D ，∴B 1C ∥平面 A 1C 1D ，∵点P 在线段B 1C 上运动，∴P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，又△A 1C 1D 的面积是定值，∴三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值，故B 正确；在C 中，异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°，90°]，故C 错误；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，P （a ，1，a ），则D （0，0，0），A 1（1，0，1），C 1（0，1，1），1DA ＝（1，0，1），1DC ＝（0，1，1），1C P ＝（a ，0，a ﹣1），设平面A 1C 1D 的法向量(),,n x y z =， 则1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取x ＝1，得1,1,1n ，∴直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为： 11||||||C P n CP n ⋅⋅＝∴当a ＝12时，直线C 1P 与平面A 1C 1D ，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤：（1）、①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解；（2）、用空间向量坐标公式求解.8．如图，已知P 为棱长为1的正方体对角线1BD 上的一点，且()()10,1BP BD λλ=，下面结论中正确结论的有（ ）A ．11A D C P ⊥；B ．当1A P PD +取最小值时，23λ=； C ．若()0,1λ∈，则7,312APC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭； D ．若P 为1BD 的中点，四棱锥11P AA D D -的外接球表面积为94π． 【答案】ABD【分析】 以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，利用向量关系可判断ABC ；根据几何体外接球关系建立方程求出球半径即可判断D.【详解】以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，则()1,1,0B ，()10,0,1D ，设(),,P x y z ，()()10,1BP BD λλ=，1BP BD λ∴=，即()()1,1,1,1,1x y z λ--=--，则可解得()1,1,P λλλ--，对A ，()()()111,0,1,0,0,0,0,1,1A D C ，()11,0,1A D ∴=--，()11,,1C P λλλ=---，则()()()()11110110A D C P λλλ⋅=-⨯-+⨯-+-⨯-=，则11A D C P ⊥，故A 正确；对B ，()()()()()2222221111111A P PD λλλλλλ+=--+-+--+-+222223422333λλλ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ 则当23λ=时，1A P PD +取最小值，故B 正确； 对C ，()()1,0,0,0,1,0A C ，(),1,PA λλλ∴=--，()1,,PC λλλ=--，则222321cos 1321321PA PC APC PA PC λλλλλλ⋅-∠===--+-+⋅， 01λ<<，则2232123λλ≤-+<，则2111123212λλ-≤-<-+， 即11cos 22APC -≤∠<，则2,33APC ππ⎛⎤∠∈ ⎥⎝⎦，故C 错误； 对于D ，当P 为1BD 中点时，四棱锥11P AA D D -为正四棱锥，设平面11AA D D 的中心为O ，四棱锥11P AA D D -的外接球半径为R ，所以222122R R ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭⎝⎭，解得34R =， 故四棱锥11P AA D D -的外接球表面积为94π，所以D 正确. 故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题考查空间相关量的计算，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量建立关系进行计算.。
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浙江省2018年4月高等教育自学考试
高等几何试题
课程代码：10027
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.以下哪个性质或量不是仿射不变性质或仿射不变量?（）
A.二直线间的平行性
B.两个三角形的面积之比
C.线段的长度
D.一直线上两线段之比
2．在仿射平面上，一组平行直线上的无穷远点有（）
A.唯一一个
B.两个
C.无穷多个
D.没有
3.设A,B,C,D是共线四点，取A和B为基底，将这四点的齐次坐标顺次表达为a,b,a＋λb,a+μb,则交比(AB,CD)=（）
A.λμ
B.λ-μ
C.λ/μ
D.μ/λ
4.以ABC为坐标三角形，E为单位点建立平面射影坐标系，则A,E的射影坐标分别为（）
A.(0,0,1),(1,1,0)
B.(0,1,0),(1,1,-1)
C.(1,0,0),(1,1,1)
D.(1,1,1),(1,0,0)
5.以下说法不正确的是（）
A.自极三角形中每个顶点都是其对边的极点
B.自极三角形的顶点关于二次曲线两两共轭
C.自极三角形中每条边都是其对顶点的极线
D.完全四点形的对角三角形是自极三角形
二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.若共线四点A，B，C，D的交比为（AB，CD）＝2，则交比（BC，AD）＝________。
7.平面射影几何基本定理是：像与原像分别无三点共线的________对对应点决定________的射影对应。
8.平面二次曲线的射影等价类共有________类。
1
2
9.在仿射平面上，无穷远点关于二次曲线Γ的极线（极线为无穷远直线除外）叫做Γ的________。
10.在欧氏平面上，二次曲线的主轴是一条________，它垂直于________。
三、计算题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)
11．设平面仿射变换将点(0,0),(0,1),(1,0)分别变为(1,0),(1,1),(0,0)，求此仿射变换的代数表达
式。
12．求联接点P(1,2,-1)与二直线l (2,1,3),m(1,-1,0)之交点Q 的直线的方程和坐标。
13.已知平面上三点A(2,1,-1),B(1,-1,1),C(1,0,0)，求该直线上点D ，使得C 与D 调和分割线
段AB 。
14.求射影变换ρx 1′=-x 1,ρx 2′=x 2,ρx 3′=x 3的二重点。
15.已知二次曲线Γ的点坐标方程为x 1x 3-22x =0，求其线坐标方程。
16.求二次曲线221122
1323:23240x x x x x x x x Γ+-+-=的中心和渐近线。
四、作图题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)
作图并写出作图步骤。
17.如图，已知直线l 上三点A,B,C ，求作l 上点D ，使C,D 调和分割线段AB 。
题17图
18.如图，已知Γ上五点A,B,C,D,E （Γ未给出），求作Γ过A 的切线。
•
••••
A B C D E Γ
题18图
五、证明题（本大题共3小题，第19小题和第20小题各10分，第21小题8分，共28分）
19.设ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行。
证明：交比A(BD,CE)=-1。
20.设FGH是完全四点形ABCD的对角三点形，即F=AC×BD,G=AB×CD,H=AD×BC.试
利用代沙格定理证明三点L=BC×FG,M=AC×HG,N=AB×HF共线。
题20图
21.如图，设P是二次曲线Γ外一点，过P作Γ的两条切线PS,PT，S,T是切点，又过P作Γ
的两条割线分别交Γ于A,B和C,D，令Q=AD×BC，R=AC×BD。
试用极点极线理论证明Q,R,S,T四点共线。
题21图
3。