北京市西城区2016届高三一模考试数学文试题有答案
北京市西城区2016届高三上学期期末考试数学文试题Word版含答案
北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2016.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|}A x x a =>，集合{1,1,2}B =-，若AB B =，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(1,)+∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(1,)-+∞ （D ）(,1)-∞-2. 下列函数中，值域为[0,)+∞的偶函数是（ ）（A ）21y x =+ （B ）lg y x = （C ）||y x = （D ）cos y x x =3．设M 是ABC ∆所在平面内一点，且BM MC =，则AM =（ ）（A ）AB AC - （B ）AB AC + （C ）1()2AB AC - （D ）1()2AB AC +4．设命题p ：“若e 1x >，则0x >”，命题q ：“若a b >，则11a b<”，则（ ） （A ）“p q ∧”为真命题 （B ）“p q ∨”为真命题 （C ）“p ⌝”为真命题 （D ）以上都不对5. 一个几何体的三视图如图所示，那么 这个几何体的表面积是（ ） （A）16+ （B）16+ （C）20+ （D）20+侧(左)视图正(主)视图俯视图6. “0mn <”是“曲线221x y m n+=是焦点在x 轴上的双曲线”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（ ） （A ）32 （B ）32- （C ）14 （D ）14-8. 某市乘坐出租车的收费办法如下：相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用表示不大于x 的最大整数，则图中○1处应填（ ）（A ）12[]42y x =-+（B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.10．若抛物线22C y px =：的焦点在直线30x y +-=上，则实数p =____；抛物线C 的准线方程为____.11．某校某年级有100名学生，已知这些学生完成家庭作业的时间均在区间[0.5,3.5)内（单位：小时），现将这100人完成家庭作业的时间分为3组：[0.5,1.5)，[1.5, 2.5)，[2.5,3.5)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.在这100人中，采用分层抽样的方法抽取10名学生研究其视力状况与完成作业时间的相关性，则在抽取样本中，完成作业的时间小于2.5个小时的有_____人.12．已知函数()f x 的部分图象如图所示，若不等式2()4f x t -<+<的解集为(1,2)-，则实数t 的值为____.13. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若πsin cos()2A B =-，3a =，2c =，则cos C =____；∆ABC 的面积为____.14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （恒温，单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C 的保鲜时间是16小时.○1 该食品在8C 的保鲜时间是_____小时；○2 已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了此日13时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间______.（填“是”或“否”）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）O 时间(小时) 0.5 1.5 2.5 3.5已知数列{}n a 是等比数列，并且123,1,a a a +是公差为3-的等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n b a =，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，证明：163n S <.16．（本小题满分13分）已知函数()cos (sin )f x x x x =，x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若(0,π)x ∈，求函数()f x 的单调增区间.17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=,6AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ；（Ⅲ）当12PM MD =时，求四棱锥M ECDF -的体积.18．（本小题满分13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中F CADPMB E目标得0分. 两人4局的得分情况如下：（Ⅰ）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，且在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求x y +的值；（Ⅱ）如果6x =，10y =，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为a ，b ，求b a ≥的概率；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值.（结论不要求证明）19．（本小题满分14分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x ，点A 在椭圆C 上，O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，且l 与圆225x y +=的相交于不在坐标轴上的两点1P ，2P ，记直线1OP ，2OP 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值.20．（本小题满分13分）已知函数21()2f x x x=+，直线1l y kx =-：. （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）求证：对于任意k ∈R ，直线l 都不是曲线()y f x =的切线； （Ⅲ）试确定曲线()y f x =与直线l 的交点个数，并说明理由.北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．C 3．D 4．B 5．B 6．B 7．C 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．13i -- 10．6 3x =- 11. 9 12．1 13．79．4 是注：第10，13，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等比数列{}n a 的公比为q ， 因为123,1,a a a +是公差为3-的等差数列，所以213213,(1)3,a a a a +=-⎧⎨=+-⎩ ……………… 2分即112114,2,a q a a q a q -=-⎧⎨-=-⎩……………… 3分解得118,2a q ==. (5)分所以114118()22n n nn a a q ---==⨯=． ……………… 7分（Ⅱ）证明：因为122214n n n n b a b a ++==， 所以数列{}n b 是以124b a ==为首项，14为公比的等比数列. ……………… 8分所以14[1()]4114n n S -=- ……………… 11分 16116[1()]343n =-<. ……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()cos (sin )f x x x x =-2sin cos 1)x x x =+-1sin 22x x= ……………… 4分πsin(2)3x =+， ……………… 6分所以函数()f x 的最小正周期2π=π2T =. ……………… 8分 （Ⅱ）解：由ππππ2π+23222x k k -+≤≤，k ∈Z ， ……………… 9分得5ππππ+1212x k k -≤≤， 所以函数()f x 的单调递增区间为5ππππ+]1212[k k -,，k ∈Z . ……………… 11分 所以当(0,π)x ∈时，()f x 的增区间为π(0]12,，7π[,π)12. ……………… 13分（注：或者写成增区间为π(0)12,，7π(,π)12. ）17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=， 所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥. ………………1分 因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. ………………3分 又因为PA AC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC . ………………5分 （Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点， 所以//MF PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以//MF 平面PAB . ………………7分FADPM同理，得//EF 平面PAB . 又因为=MFEF F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ，所以平面//MEF 平面PAB . ………………9分又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB . ………………10分 （Ⅲ）解：在PAD ∆中，过M 作//MN PA 交AD 于点N （图略）， 由12PM MD =，得23MN PA =， 又因为6PA =，所以4MN =， ……………… 12分因为PA ⊥底面ABCD ，所以MN ⊥底面ABCD ，所以四棱锥M ECDF -的体积1166424332M ECDF ECDFV SMN -⨯=⨯⨯=⨯⨯=. …… 14分 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得79669944x y ++++++>，即14x y +>. ……………… 2分因为在乙的4局比赛中，随机选取1局，则此局得分小于6分的概率不为零， 所以,x y 中至少有一个小于6， ……………… 4分 又因为10,10x y ≤≤，且,x y ∈N ， 所以15x y +≤，所以15x y +=. ……………… 5分 （Ⅱ）解：设 “从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足b a ≥”为事件M ， ……………… 6分 记甲的4局比赛为1A ，2A ，3A ，4A ，各局的得分分别是6，6，9，9；乙的4局比赛 为1B ，2B ，3B ，4B ，各局的得分分别是7，9，6，10.则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种， 它们是：11(,)A B ， 12(,)A B ，13(,)A B ，14(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，24(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，33(,)A B ， 34(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，43(,)A B ，44(,)A B . ……………… 7分而事件M 的结果有8种，它们是：13(,)A B ，23(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，33(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，43(,)A B ， .................. 8分 因此事件M 的概率81()162P M ==. (10)分（Ⅲ）解：x 的可能取值为6，7，8. ……………… 13分19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：由题意，得c a =222a b c =+， ……………… 2分又因为点A 在椭圆C 上，所以221314ab+=， ……………… 3分解得2a =，1b =，c =，所以椭圆C 的方程为1422=+y x . ……………… 5分 （Ⅱ）证明：当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±，易得直线1OP ，2OP的斜率之积1214k k ⋅=-. …………… 6分 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=. …………… 7分由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， ……………… 8分 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+. ……………… 9分 由方程组22,5,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(1)250k x kmx m +++-=， ……………… 10分 设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221km x x k -+=+，212251m x x k -⋅=+， ……………… 11分 所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++⋅===222222222252511551m km k km m m k k k m m k --⋅+⋅+-++==--+， ……………… 13分将2241m k =+代入上式，得212211444k k k k -+⋅==--.综上，12k k ⋅为定值14-. ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：函数()f x 定义域为{|0}x x ≠， ……………… 1分 求导，得32()2f x x '=-， ……………… 2分 令()0f x '=，解得1x =．当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：所以函数()y f x =的单调增区间为(,0)-∞，(1,)+∞，单调减区间为(0,1)，……………… 3分 所以函数()y f x =有极小值(1)3f =，无极大值． ……………… 4分 （Ⅱ）证明：假设存在某个k ∈R ，使得直线l 与曲线()y f x =相切， ……………… 5分 设切点为00201(,2)A x x x +，又因为32()2f x x '=-， 所以切线满足斜率3022k x =-，且过点A ， 所以002300122(2)1x x x x +=--， ……………… 7分 即2031x =-，此方程显然无解， 所以假设不成立．所以对于任意k ∈R ，直线l 都不是曲线()y f x =的切线. ……………… 8分 （Ⅲ）解：“曲线()y f x =与直线l 的交点个数”等价于“方程2121x kx x+=-的根的个数”.由方程2121x kx x +=-，得3112k x x =++. ……………… 9分 令1t x=，则32k t t =++，其中t ∈R ，且0t ≠. 考察函数3()2h t t t =++，其中t ∈R ，因为2()310h t t '=+>时，所以函数()h t 在R 单调递增，且()h t ∈R . ……………… 11分 而方程32k t t =++中， t ∈R ，且0t ≠.所以当(0)2k h ==时，方程32k t t =++无根；当2k ≠时，方程32k t t =++有且仅有一 根，故当2k =时，曲线()y f x =与直线l 没有交点，而当2k ≠时，曲线()y f x =与直线l 有 且仅有一个交点. ……………… 13分。
北京市西城区2016年高三一模语文试卷及答案
北京市西城区2016年高三一模试卷语文2016．4本试卷共10页，150分。
考试时长150分钟。
考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
一、本大题共8小题，共24分。
阅读下面材料，完成1－8题。
材料一建筑是城市建设的重要组成部分，建筑的存在不仅要能够满足生产和生活的基本需求，还（也）要能够美化生活环境，为生活在其中的人们增添（增加）美的感受。
可以说，城市建筑的理念直接影响城市建设的方向和品位（品相）。
无论（不论）是单体建筑还是群组建筑，都不能只顾建筑本身而忽视建筑所在环境的建设。
一座围墙可以对其所依附的建筑发挥重要影响，但是对主体建筑而言，围墙仍然处于相对附属的地位。
围墙本身的功能，在于能够发挥分隔、保护和美化的作用。
因此，在建设之初，就应该根据建筑功能的差异，因用．制宜地考虑是否需要设置围墙，而不能草率到为每幢建筑配设一座围墙。
围墙的建设也是一种创作，同样需要精心设计，不断提高水平。
在造型方面，围墙设计应有高有低，比例适当；有虚有实，色彩和谐；形式多样而又能与主体建筑相生相宜。
在结构方面，围墙作品应该是精心计算的制作，能够满足防风抗震的要求。
在构造方面，围墙建设应该考虑易于施工、便于维修，有利于减少资源浪费。
围墙的结构，要根据建设围墙的功能要求来确定。
造型样式的区别、建材产地的差异以及地势条件的不同，都是要考虑的方面。
围墙结构类型，一般有砖砌围墙、石砌围墙、钢筋混凝土预制装配式围墙、钢丝网装配式围墙、铁刺网围墙、砖砌花格围墙、混凝土预制花格围墙、竹围墙、木围墙、土筑围墙、菱苦土板围墙等等。
围墙的构造，要求其墙基应夯．筑在当地冻结深度以下，如基础过深时可以采取拱型基础或基础梁。
围墙的高度一般以2到2.4米为宜；作为分区的围墙，其高度可考虑在1.5米左右。
围墙要考虑排水设施，排水规格要根据降雨量大小和地形条件来确定。
围墙的柱距不应大于4米，围墙的花格尺寸不宜过大，注意构造合理，坚固耐久。
北京市西城区2016届高三上学期期末考试数学文试题 含答案
北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2016。
1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项． 1．设集合{|}A x x a =>，集合{1,1,2}B =-，若A B B=，则实数a 的取值范围是（ ）(A ）(1,)+∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(1,)-+∞ （D)(,1)-∞-2。
下列函数中,值域为[0,)+∞的偶函数是( )（A)21y x =+ （B)lg y x = （C ）||y x = （D ）cos y x x =3．设M 是ABC ∆所在平面内一点，且BM MC =，则AM =( ）（A ）AB AC- （B ）AB AC+ （C)1()2AB AC -（D)1()2AB AC +4．设命题p :“若e1x>，则0x >"，命题q :“若a b >，则11a b<"，则（ ） (A ）“p q ∧”为真命题 (B)“p q ∨”为真命题 （C ）“p ⌝”为真命题 （D ）以上都不对5。
一个几何体的三视图如图所示,那么 这个几何体的表面积是（ ) （A)1623+侧(左)视图正(主)视图22(B)16+ （C）20+ （D)20+6。
“0mn <"是“曲线221x y m n +=是焦点在x 轴上的双曲线”的( )（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7。
设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（ )（A ）32 (B ）32-（C)14(D ）14-8。
某市乘坐出租车的收费办法如下：相应系统收费的程序框图如图所示,其中x （单位:千米)为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用表示不大于x 的最大整数，则图中○1处应填（ ）（A ）12[]42y x =-+ （B ）12[]52y x =-+ （C)12[]42y x =++ （D)12[]52y x =++ 第Ⅱ卷（非选择题 共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9。
2016届高三西城一模文科数学试卷与答案解析-无水印
2 2 2 1 （注： s 2 x1 x x2 x xn x ，其中 x 为数据 为 x1 ， x2 ，…， xn 的平均 n
数） （本小题满分 分 14 分） 19．
x2 y 2 1 m 0 的长 长轴长为 2 6 ， O 为坐标 标原点． 3m m （Ⅰ）求椭圆 圆 C 的方程和 和离心率；
且当 当x （本小题满分 16． （ 分 13 分）
a1 d a1 5d 10 ， 【解 解析】⑴由题 题意，得 a1 d a1 5d 21.
π 1 co os 2 x 2 2
1 sin s 2x 2
（4 分）
1 1 1 π sin 2 x cos 2 x s 2 2 2 2
1 1 1 s 2 x sin 2 x sin 2 2 2
1 ． 2 所以函数 数 f x 的最小 小正周期为 n ． sin n 2x
因为 为0≤ x≤
所以 以
π 1 1 3 1 ≤ sin 2 x ≤ ． 3 2 2 2 2
（11 分） ）
π 5π 1 时， ， f x 取到最大值 取 ； 6 12 2 π 3 1 当 x 0 时， f x 取到 到最小值 ． 2 2 6
2016 高三一模
北京 京市西城区 区 2016 年高三一模 模试卷 数学（文科）2016.4
本试卷分 分第Ⅰ卷和第 第Ⅱ卷两部 部分，第Ⅰ卷 卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 页 3 至 6 页， ，共 150 0 分． 考试时 时长 120 分钟 钟． 考生务必 必将答案答 答在答题纸上 上， 在试卷上 上作答无效 效． 考 试结 结束后，将 将本试卷和答 答题纸一并 并交回． 第Ⅰ卷 卷（选择题 共 40 分）
2016届高三西城一模语文试卷与答案解析-无水印
北京市西城区2016年高三一模试卷语文 2016.4本试卷共150分，考试时长150分钟。
考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
一、本大题共8小题，共24分阅读下面材料，完成1-8题。
材料一建筑是城市建设的重要组成部分，建筑的存在不仅要能够满足生产和生活的基本需求，还（也）要能够美化生活环境，为生活在其中的人们增添（增加）美的感受。
可以说，城市建筑的理念直接影响城市建设的方向和品味（品相）。
无论（不论）是单体建筑还是群组建筑，都不能只顾建筑本身而忽视建筑所在环境的建设。
一座围墙可以对其所依附的建筑发挥重要影响，但是对主体建筑而言，围墙仍然处于相对附属的地位。
围墙本身的功能，在于能够发挥分隔、保护和美化的作用。
因此，在建设之初，就应该根据建筑功能的差异，因用．制宜地考虑是否需要设置围墙，而不能草率到为每幢建筑配设一座围墙。
围墙的建设也是一种创作，同样需要精心设计，不断提高水平。
在造型方面，围墙设计应有高有低，比例适当；有虚有实，色彩和谐；形式多样而又能与主体建筑相生相宜。
在结构方面，围墙作品应该是精心计算的制作，能够满足防风抗震的要求。
在构造方面，围墙建设应该考虑易于施工、便于维修，有利于减少资源浪费。
围墙的结构，要根据建设围墙的功能要求来确定。
造型样式的区别、建材产地的差异以及地势条件的不同，都是要考虑的方面。
围墙结构类型，一般有砖砌围墙、石砌围墙、钢筋混凝土预制装配式围墙、钢丝网装配式围墙、铁刺网围墙、砖砌花格围墙、混凝土预制花格围墙、竹围墙、木围墙、土筑围墙、菱苦土板围墙等等。
围墙的构造，要求其墙基应夯．筑在当地冻结深度以下，如基础过深时可以采取拱形基础或基础梁。
围墙的高度一般以2到2.4米为宜；作为分区的围墙，其高度可考虑在1.5米左右。
围墙要考虑排水设施，排水规格要根据降雨量大小和地形条件来确定。
围墙的柱距不应大于4米，围墙的花格尺寸不宜过大，注意构造合理，坚固耐久。
2016届北京市西城区高三上学期期末考试文科数学试卷(带解析)
绝密★启用前2016届北京市西城区高三上学期期末考试文科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：152分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、某市乘坐出租车的收费办法如下： 不超过4千米的里程收费12元;超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0．5千米则不收费，若其大于或等于0．5千米则按1千米收费）； 当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元．相应系统收费的程序框图如图所示，其中（单位：千米）为行驶里程，（单位：元）为所收费用，用[x]表示不大于x 的最大整数，则图中①处应填（ ）（A）（B）（C）（D）2、设，满足约束条件若的最大值与最小值的差为7，则实数（）A． B． C． D．3、“”是“曲线是焦点在x轴上的双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4、一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（）ArrayA． B．C． D．5、设命题p：“若，则”，命题q：“若，则”，则（）A．“”为真命题B．“”为真命题C．“”为真命题D．以上都不对6、设是所在平面内一点，且，则（）A．B．C．D．7、下列函数中，值域为的偶函数是（）C． D．8、设集合，集合，若，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9、某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （恒温，单位：）满足函数关系且该食品在的保鲜时间是16小时．①该食品在的保鲜时间是_____小时；②已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了此日13时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间______．（填“是”或“否”）10、在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若，，，则____；ABC 的面积为____．11、已知函数的部分图象如图所示，若不等式的解集为，则实数的值为____．12、某校某年级有100名学生，已知这些学生完成家庭作业的时间均在区间内（单位：小时），现将这100人完成家庭作业的时间分为3组：，，加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．在这100人中，采用分层抽样的方法抽取10名学生研究其视力状况与完成作业时间的相关性，则在抽取样本中，完成作业的时间小于2．5个小时的有_____人．13、若抛物线的焦点在直线上，则实数____；抛物线C 的准线方程为 ．14、已知复数满足，那么．三、解答题（题型注释）15、已知函数，直线．（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）求证：对于任意，直线都不是曲线的切线；（Ⅲ）试确定曲线与直线的交点个数，并说明理由．16、已知椭圆:的离心率为，点在椭圆C 上，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，且与圆的相交于不在坐标轴上的两点，，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值．17、甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分．两人4局的得分情况如下：（1）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，且在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求的值；（2）如果，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为，求的概率；（3）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出的所有可能取值．（结论不要求证明）18、如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，,,分别为的中点，点在线段上．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若为的中点，求证：平面；（Ⅲ）当时，求四棱锥的体积．19、已知函数，．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）若，求函数的单调增区间．20、已知数列是等比数列，并且是公差为的等差数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，记为数列的前n项和，证明：．参考答案1、D2、C3、B4、B5、B6、D7、C8、D9、①4 ，②是10、，11、112、913、，14、15、（Ⅰ）极小值，无极大值；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）当时，曲线与直线没有交点，而当时，曲线与直线有且仅有一个交点．16、（Ⅰ）；（Ⅱ）当圆的方程为x2+y2=5时，圆与l的交点P1，P2满足斜率之积k1k2为定值．17、（Ⅰ）15；（Ⅱ）；（Ⅲ）的可能取值为，，．18、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）24．19、（Ⅰ）；（Ⅱ）增区间为，．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．【解析】1、试题分析：由已知中，超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0．5千米则不收费，若其大于或等于0．5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元．可得：当x＞4时，所收费用y=12+[x﹣4+]×2+1=，故选：D考点：程序框图；分段函数的应用；函数模型的选择与应用．2、试题分析：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），联立，解得B（m﹣1，m），化z=x+3y，得．由图可知，当直线过A时，z有最大值为7，当直线过B时，z有最大值为4m﹣1，由题意，7﹣（4m﹣1）=7，解得：m=．故选：C．考点：简单线性规划．3、试题分析：“曲线是焦点在x轴上的双曲线”，则，，但当时，可能有，此时双曲线的焦点在轴上，因此“”是“曲线是焦点在x轴上的双曲线”的必要而不充分条件．故选B．考点：充分必要条件4、试题分析：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，其底面面积为：×（1+2）×2=3，底面周长为：2+2+1+=5+，高为：2，故四棱柱的表面积S=2×3+（5+）×2=，故选：B考点：由三视图求面积、体积．5、试题分析：命题p：“若，则”是真命题，命题q：“若a＞b，则”，如：a=1，b=﹣1，故命题q是假命题，故p∨q是真命题，故选：B．考点：复合命题的真假．考点：6、试题分析：，又，所以，即．故选D．考点：向量的线性运算．7、试题分析：B，D不是偶函数，A是偶函数，但值域为，C是偶函数，值域也是．故选C．考点：函数的奇偶性与值域．8、试题分析：由，知，所以，故选D．考点：集合的运算，集合的关系．9、试题分析：①∵食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．∴24k+6=16，即4k+6=4，解得：k=﹣，∴，当x=8时，t=4，故①该食品在6℃的保鲜时间是4小时；②到了此日10时，温度超过8度，此时保鲜时间不超过4小时，故到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故填是．考点：命题的真假判断与应用．10、试题分析：由已知，又是三角形的内角，所以，所以，则，，．考点：余弦定理，三角形的面积．11、试题分析：由题意，，所以，．考点：函数的单调性．12、试题分析：由直方图知抽取的10人中完成作业的时间多于2．5个小时的有人，因此完成作业的时间小于2．5个小时的有10－1＝9人．考点：频率分布直方图13、试题分析：抛物线的焦点是，由题意的，，准线方程为．考点：抛物线的几何性质．14、试题分析：由z（1+i）=2﹣4i，得．故答案为：﹣1﹣3i．考点：复数代数形式的乘除运算．15、试题分析：（Ⅰ）先求出函数定义域再求导，得令，解得的值，画出当变化时，与的变化情况表所示，可得函数的单调区间，从而得到函数有极小值，无极大值（Ⅱ）对于是否存在问题，先假设存在某个，使得直线与曲线相切，先设出切点，再求，求得切线满足斜率，又由于过点，可得方程显然无解，所以假设不成立．所以对于任意，直线都不是曲线的切线.（Ⅲ）写出“曲线与直线的交点个数”等价于“方程的根的个数”.由分离系数法得，令，得，其中，且.考察函数，其中，求导得到函数的单调性，从而得到方程根的情况，命题得证试题解析：函数定义域为，求导，得，令，解得．当变化时，与的变化情况如下表所示：所以函数的单调增区间为，，单调减区间为，所以函数有极小值，无极大值．（Ⅱ）证明：假设存在某个，使得直线与曲线相切，设切点为，又因为，所以切线满足斜率，且过点，所以，即，此方程显然无解，所以假设不成立．所以对于任意，直线都不是曲线的切线.（Ⅲ）解：“曲线与直线的交点个数”等价于“方程的根的个数”.由方程，得.令，则，其中，且.考察函数，其中，因为时，所以函数在单调递增，且.而方程中，，且.所以当时，方程无根；当时，方程有且仅有一根，故当时，曲线与直线没有交点，而当时，曲线与直线有且仅有一个交点.考点：导数的单调性与导数及导数的几何意义.16、试题分析：（Ⅰ）利用离心率列出方程，通过点在椭圆上列出方程，求出a，b然后求出椭圆的方程．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，验证直线OP1，OP2的斜率之积．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m与椭圆联立，利用直线l与椭圆C有且只有一个公共点，推出m2=4k2+1，通过直线与圆的方程的方程组，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出k1•k2为定值即可．试题解析：（Ⅰ）由题意，得，a2=b2+c2，又因为点在椭圆C上，所以，解得a=2，b=1，，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为x2+y2=5．证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x2+y2=r2（r＞0）．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m．由方程组得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，因为直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，所以，即m2=4k2+1．由方程组得（k2+1）x2+2kmx+m2﹣r2=0，则．设P1（x1，y1），P2（x2，y2），则，，设直线OP1，OP2的斜率分别为k1，k2，所以，将m2=4k2+1代入上式，得．要使得k1k2为定值，则，即r2=5，验证符合题意．所以当圆的方程为x2+y2=5时，圆与l的交点P1，P2满足k1k2为定值．当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x=±2，此时，圆x2+y2=5与l的交点P1，P2也满足．综上，当圆的方程为x2+y2=5时，圆与l的交点P1，P2满足斜率之积k1k2为定值．考点：圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程．17、试题分析：（1）由题意，得中至少有一个不小于，由此能得到的值；（2）设“从甲乙的局比赛中随机各选取局，且得分满足”为事件，记甲的局比赛为，各局的得分分别为；乙局的局比赛为，各局的得分分别是，利用列举法能求出的概率；（3）由题设条件能求出的可能的取值为.试题解析：（1）由题意得，即.∵在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，∴至少有一个小于6，又∵，且，∴，∴.（2）设“从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足”为事件，记甲的4局比赛为，各局的得分分别是6,6,9,9；乙的4局比赛为，各局的得分分别是7,9,6,10.则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种，它们是：，，，，，，，，，，，，，，，.而事件的结果有8种，它们是：，，，，，，，，∴事件的概率.（3）的所有可能取值为6，7，8.考点：古典概型及其概率的求解．18、试题分析：（Ⅰ）证明AB⊥AC．EF⊥AC．推出PA⊥底面ABCD，即可说明PA⊥EF，然后证明EF⊥平面PAC．（Ⅱ）证明MF∥PA，然后证明MF∥平面PAB，EF∥平面PAB．即可证明平面MEF∥平面PAB，从而证明ME∥平面PAB．（Ⅲ）四棱锥的底面面积是四边形面积的一半，高为点到平面的距离，实际上有已知得，因此点到平面的距离与点到平面的距离的距离之比为，而到平面的距离的距离就是的长，由此体积易得．试题解析：（Ⅰ）证明：在平行四边形中，因为，，所以．由分别为的中点，得，所以．因为侧面底面，且，所以底面．又因为底面，所以．又因为，平面，平面，所以平面．（Ⅱ）证明：因为为的中点，分别为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面．同理，得平面．又因为，平面，平面，所以平面平面．又因为平面，所以平面．（Ⅲ）在中，过作交于点（图略），由，得，又因为，所以，因为底面，所以底面，所以四棱锥的体积．… 14分考点：线面垂直的判断，线面平行的判断，几何体的体积．19、试题分析：（Ⅰ）解决这类问题，要利用三角公式把函数化为形式，本题中首先用二倍角公式化角为，再由两角和的正弦公式化为一个三角函数形式：，由公式可得最小正周期，（Ⅱ）由正弦函数的性质可得所求单调增区间．试题解析：（Ⅰ），所以函数的最小正周期．（Ⅱ）由，，得，所以函数的单调递增区间为，．所以当时，的增区间为，．（注：或者写成增区间为，．）考点：三角函数的周期，单调性．20、试题分析：（Ⅰ）要求等比数列的通项公式，可先求得首项和公比，因此要列出两个方程，这可由是公差为的等差数列得到，解得后可得通项公式；（Ⅱ）数列是由等比数列的偶数项形成的，因此它也是等比数列，公式为，由等比数列前项和公式可得，从而证得题设不等式．试题解析：（Ⅰ）设等比数列的公比为，因为是公差为的等差数列，所以即解得．所以．（Ⅱ）证明：因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以．考点：等比数列的通项公式，等比数列的前项和．。
北京市西城区高三数学一模试卷 文(含解析)
北京市西城区2016届高三一模文科数学试卷一、单选题1.设集合，集合，则（）A． B．C． D．【知识点】集合的运算【试题解析】所以。
故答案为：B【答案】B2.设命题p：，则p为（）A． B．C． D．【知识点】全称量词与存在性量词【试题解析】因为特称命题的否定是全称命题，p为：。
故答案为：A【答案】A3.如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）A． B．C． D．【知识点】函数的奇偶性【试题解析】因为奇函数乘以奇函数为偶函数，y=x是奇函数，故是偶函数。
故答案为：B【答案】B4.下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m表示．若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m的可能取值集合为（）A． B． C． D．【知识点】样本的数据特征茎叶图【试题解析】由题知：所以m可以取：0，1，2．故答案为：C【答案】C5.在平面直角坐标系中，向量＝(1，2)，＝(2，m)，若O，A，B三点能构成三角形，则（）A． B． C． D．【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】若O，A，B三点能构成三角形，则O，A，B三点不共线。
若O，A，B三点共线，有：-m=4，m=-4．故要使O，A，B三点不共线，则。
故答案为：B【答案】B6.执行如图所示的程序框图，若输入的分别为0，1，则输出的（）A．4 B．16 C．27 D．36【知识点】算法和程序框图【试题解析】A=0，S=1，k=1，A=1，S=1，否；k=3，A=4，S=4，否；k=5，A=9，S=36，是，则输出的36。
故答案为：D【答案】D7.设函数，则“”是“函数在上存在零点”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【知识点】零点与方程【试题解析】因为所以若，则函数在上存在零点；反过来，若函数在上存在零点，则则故不一定。
故答案为：A【答案】A8.在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于，且获得一等奖的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是（）A．最多可以购买4份一等奖奖品 B．最多可以购买16份二等奖奖品C．购买奖品至少要花费100元 D．共有20种不同的购买奖品方案【知识点】线性规划【试题解析】设购买一、二等奖奖品份数分别为x，y，则根据题意有：，作可行域为：A(2，6)，B(4，12)，C(2，16)．在可行域内的整数点有：（2，6），（2，7），……．（2，16），（3，9），（3，10），……．．(3，14)，(4，12)，共11+6+1=18个。
2016年北京市西城区高三年级第一学期期末练习数学(文科)试卷(含答案)
北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2016.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|}A x x a =>，集合{1,1,2}B =-，若A B B = ，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）(1,)+∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(1,)-+∞ （D ）(,1)-∞-2. 下列函数中，值域为[0,)+∞的偶函数是（ ）（A ）21y x =+ （B ）lg y x = （C ）||y x = （D ）cos y x x =3．设M 是ABC ∆所在平面内一点，且BM MC = ，则AM =（ ）（A ）AB AC - （B ）AB AC + （C ）1()2AB AC - （D ）1()2AB AC +4．设命题p ：“若e 1x >，则0x >”，命题q ：“若a b >，则11a b<”，则（ ） （A ）“p q ∧”为真命题 （B ）“p q ∨”为真命题（C ）“p ⌝”为真命题 （D ）以上都不对5. 一个几何体的三视图如图所示，那么 这个几何体的表面积是（ ） （A）16+ （B）16+ （C）20+ （D）20+侧(左)视图正(主)视图 俯视图6. “0mn <”是“曲线221x y m n+=是焦点在x 轴上的双曲线”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（ ） （A ）32 （B ）32- （C ）14 （D ）14-8. 某市乘坐出租车的收费办法如下：相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中1处应填（ ）（A ）12[]42y x =-+（B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.10．若抛物线22C y px =：的焦点在直线30x y +-=上，则实数p =____；抛物线C 的准线方程为____.11．某校某年级有100名学生，已知这些学生完成家庭作业的时间均在区间[0.5,3.5)内（单位：小时），现将这100人完成家庭作业的时间分为3组：[0.5,1.5)，[1.5,2.5)，[2.5,3.5)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.在这100人中，采用分层抽样的方法抽取10名学生研究其视力状况与完成作业时间的相关性，则在抽取样本中，完成作业的时间小于2.5个小时的有_____人.12．已知函数()f x 的部分图象如图所示，若不等式2()4f x t -<+<的解集为(1,2)-，则实数t 的值为____.13. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若πsin cos()2A B =-，3a =，2c =，则cos C =____；∆ABC 的面积为____.14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （恒温，单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C 的保鲜时间是16小时.1 该食品在8C的保鲜时间是_____小时；2 已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了a此日13时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间______.（填“是”或“否”）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等比数列，并且123,1,a a a +是公差为3-的等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n b a =，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，证明：163n S <.16．（本小题满分13分）已知函数3()cos (sin 3)2f x x x x =+-，x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若(0,π)x ∈，求函数()f x 的单调增区间.17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠= ,6AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ；（Ⅲ）当12PM MD =时，求四棱锥M ECDF -的体积.FADPM18．（本小题满分13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：甲 6 6 99乙79xy（Ⅰ）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，且在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求x y +的值；（Ⅱ）如果6x =，10y =，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为a ，b ，求b a ≥的概率；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值.（结论不要求证明）19．（本小题满分14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>，点(1,A 在椭圆C 上，O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，且l 与圆225x y +=的相交于不在坐标轴上的两点1P ，2P ，记直线1OP ，2OP 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值.20．（本小题满分13分）已知函数21()2f x x x =+，直线1l y kx =-：. （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）求证：对于任意k ∈R ，直线l 都不是曲线()y f x =的切线； （Ⅲ）试确定曲线()y f x =与直线l 的交点个数，并说明理由.北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．C 3．D 4．B 5．B 6．B 7．C 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．13i -- 10．6 3x =- 11. 9 12．113．7914．4 是 注：第10，13，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为123,1,a a a +是公差为3-的等差数列，所以213213,(1)3,a a a a +=-⎧⎨=+-⎩………………2分即112114,2,a q a a q a q -=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩………………3分解得118,2a q ==. ……………… 5 分所以114118()22n n nn a a q ---==⨯=．……………… 7分 （Ⅱ）证明：因为122214n n n n b a b a ++==， 所以数列{}n b 是以124b a ==为首项，14为公比的等比数列. ……………… 8分所以14[1()]4114n n S -=- ……………… 11分16116[1()]343n =-<. ……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()cos (sin )f x x x x =2sin cos 1)x x x =-1sin 222x x=+ ……………… 4分πsin(2)3x =+， (6)分所以函数()f x 的最小正周期2π=π2T =. ……………… 8分（Ⅱ）解：由22ππππ2π+232k k x -+≤≤，k ∈Z ， ……………… 9分得5ππππ+1212k k x -≤≤， 所以函数()f x 的单调递增区间为[5ππππ+]1212k k -,，k ∈Z . ……………… 11分所以当(0,π)x ∈时，()f x 的增区间为π(0]12,，7π[,π)12. ……………… 13分（注：或者写成增区间为π(0)12,，7π(,π)12. ）17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=，所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥. ………………1分因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. ………………3分又因为PA AC A = ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC . ………………5分（Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点， 所以//MF PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， 所以//MF 平面PAB . ………………7分 同理，得//EF 平面PAB .又因为=MF EF F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ， 所以平面//MEF 平面PAB . ………………9分又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB . ………………10分（Ⅲ）解：在PAD ∆中，过M 作//MN PA 交AD 于点N （图略）， 由12PM MD =，得23MN PA =， 又因为6PA =，所以4MN =， ……………… 12分因为PA ⊥底面ABCD ，所以MN ⊥底面ABCD ， 所以四棱锥M ECDF -的体积1166424332M ECDF ECDF V S MN -⨯=⨯⨯=⨯⨯= . …… 14分18．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由题意，得79669944x y ++++++>，即14x y +>. (2)分因为在乙的4局比赛中，随机选取1局，则此局得分小于6分的概率不为零， 所以,x y 中至少有一个小于6， (4)F CADPMB E分又因为10,10x y ≤≤，且,x y ∈N ，所以15x y +≤， 所以15x y +=. ……………… 5分（Ⅱ）解：设 “从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足b a ≥”为事件M ， ……………… 6分记甲的4局比赛为1A ，2A ，3A ，4A ，各局的得分分别是6，6，9，9；乙的4局比赛为1B ，2B ，3B ，4B ，各局的得分分别是7，9，6，10.则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种，它们是：11(,)A B ， 12(,)A B ，13(,)A B ，14(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，24(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，33(,)A B ，34(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，43(,)A B ，44(,)A B . ……………… 7分而事件M 的结果有8种，它们是：13(,)A B ，23(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，33(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，43(,)A B ， ……………… 8分因此事件M 的概率81()162P M ==. ……………… 10分（Ⅲ）解：x 的可能取值为6，7，8. ……………… 13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得c a =，222a b c =+， ……………… 2分又因为点(1,2A 在椭圆C 上， 所以221314a b +=， ……………… 3分解得2a =，1b =，c =所以椭圆C 的方程为2214x y +=. (5)分（Ⅱ）证明：当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±， 易得直线1OP ，2OP 的斜率之积1214k k ⋅=-. …………… 6分当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+. …………… 7分由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(41)8440k x kmx m +++-=， ………………8分因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点， 所以22(8)4(41kmk m ∆=-+-=，即2241m k =+. ……………… 9分由方程组22,5,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(1)250k x kmx m +++-=， ………………10分设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221kmx x k -+=+，212251m x x k -⋅=+， ……………… 11分所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++⋅=== 222222222252511551m km k km m m k k k m m k --⋅+⋅+-++==--+， ……………… 13分将2241m k =+代入上式，得212211444k k k k -+⋅==--. 综上，12k k ⋅为定值14-. ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：函数()f x 定义域为{|0}x x ≠， ……………… 1分求导，得32()2f x x '=-， ……………… 2分令()0f x '=，解得1x =．当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：所以函数()y f x =的单调增区间为(,0)-∞，(1,)+∞，单调减区间为(0,1)，……………… 3分所以函数()y f x =有极小值(1)3f =，无极大值． ……………… 4分（Ⅱ）证明：假设存在某个k ∈R ，使得直线l 与曲线()y f x =相切， ……………… 5分设切点为00201(,2)A x x x +，又因为32()2f x x'=-， 所以切线满足斜率3022k x =-，且过点A ， 所以002300122(2)1x x x x +=--， ……………… 7分 即2031x =-，此方程显然无解， 所以假设不成立．所以对于任意k ∈R ，直线l 都不是曲线()y f x =的切线. ……………… 8分（Ⅲ）解：“曲线()y f x =与直线l 的交点个数”等价于“方程2121x kx x +=-的根的个数”.由方程2121x kx x +=-，得3112k x x=++. ……………… 9分 令1t x=，则32k t t =++，其中t ∈R ，且0t ≠. 考察函数3()2h t t t =++，其中t ∈R ， 因为2()310h t t '=+>时，所以函数()h t 在R 单调递增，且()h t ∈R . ………………11分而方程32k t t =++中， t ∈R ，且0t ≠.所以当(0)2k h ==时，方程32k t t =++无根；当2k ≠时，方程32k t t =++有且仅有一 根，故当2k =时，曲线()y f x =与直线l 没有交点，而当2k ≠时，曲线()y f x =与直线l 有且仅有一个交点. ……………… 13分。
高三西城一模文科数学解析
北京市西城区2016 年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（文科）2016.4 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40分．1．B2．A3．B4．C5．B6．D7．A8．D二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30分．9．-210．211．12．233 13．1464 14．32y = ±3x3 b > a > c注：第11，14 题第一问2 分，第二问3 分．三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．其他正确解答过程，请参照评分标准给分．15．（本小题满分13 分）33 3 3 ⎪ 【解析】⑴因为 f (x ) = sin x cos x - sin 2 ⎛ x - π ⎫4 ⎪ ⎝ ⎭1 - cos ⎛2x - π ⎫= 1 sin 2x -⎝ 2 ⎭ （4 分）2 2= 1 sin 2x - 1 + 1 cos ⎛ 2x - π ⎫ 2 2 2 2 ⎪⎝ ⎭= 1 sin 2x - 1 + 1sin 2x 2 2 2= sin 2x - 1 ．（6 分） 2所以函数 f ( x ) 的最小正周期为n ． （7 分）⑵由⑴，得 f ⎛ x - π ⎫ = sin ⎛2x - π ⎫ - 1 ．（8 分）6 ⎪ 3 ⎪ 2 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭因为 0 ≤ x ≤ π．2所以 - π ≤ 2x - π ≤ 2π，333所以 - ≤ sin ⎛2x - π ⎫ ≤1． 2 3 ⎪ ⎝ ⎭所以 - - 1 ≤ sin ⎛2x - π ⎫ - 1 ≤ 1 ．（11 分）2 23 ⎪ 2 2⎝ ⎭且当 x =5π 时， f ⎛ x - π ⎫ 取到最大值 1； 12 6 ⎪ 2⎝ ⎭当 x = 0 时， f ⎛ x - π ⎫取到最小值 - - 1 ．（13 分）6 ⎪ 2 2 ⎝ ⎭16．（本小题满分 13 分）⎧⎪(a 1 + d ) + (a 1 + 5d ) = 10⊂【解析】⑴由题意，得 ⎨⎪⎩(a 1 + d )(a 1 + 5d ) = 21.（3 分）⎩ ⎩ 解得 ⎧a 1 = 8⊂ ⎨d = -1. 或 ⎧a 1 = 2⊂ ⎨d = 1 （舍）． （5 分）所 以 a n = a 1 + (n - 1) d = 9 - n ． （ 7分）⑵由⑴，得 b n = 29-n ．所以 T n = 2a 1⨯ 2a 2⨯… ⨯ 2a n= 2a 1+ a 2+… + a n．所 以 只 需 求 出 S n = a 1 + a 2 +… 分）+ a n 的 最 大 值 ．（ 9由⑴，得 S = a + a +… + a = na n (n -1) n 2 17+ ⨯ (-1) = - + n ．n 1 2n 1 2 2 2因 为 S = - 1 ⎛ n - n 2 17 ⎫ 2 ⎪ + 289 ． （ 118 ⎝⎭ 分）所以当 n = 8 ，或 n = 9 时， S n 取到最大值 S 8 = S 9 = 36 ． 所以 T n 的最大值为 T 8 = T 9 = 2 ．（13 分）17．（本小题满分 14 分）【解析】⑴因为 AD ∥ BC ， BC ⊄ 平面 ADD 1 A 1 ， AD ⊂ 平面 ADD 1 A 1 ,所以 BC ∥平面 ADD 1 A 1 ．（2 分）因为 CC 1 ∥ DD 1 ， CC 1 ⊄ 平面 ADD 1 A 1 ， DD 1 ⊂ 平面 ADD 1 A 1 ， 所以 CC 1 ∥平面 ADD 1 A 1 ． 又因为 BC CC 1 = C ，所 以 平 面 BCC 1B 1 ∥平 面 分）ADD 1 A 1 ． （ 3又因为 B 1C ⊂ 平面 BCC 1B 1 ．2 36A 1D 1B 1DBC所 以 B 1C ∥平 面 分）ADD 1 A 1 ． （ 4⑵因为 BB 1 ⊥底面 ABCD ， AC ⊂ 底面 ABCD ，所 以 BB 1 ⊥ AC ．（ 5分）又因为 AC ⊥ BD ， BB 1 ∩BD = B ，所 以 AC ⊥平 面 分）BB 1D ． （ 7又因为 B 1D ⊂ 底面 BB 1D ．所 以 AC ⊥ B 1D ． （ 9分）⑶直线 B 1D 与平面 ACD 1 不垂直．（10 分）证明：假设 B 1D ⊥平面 ACD 1 ，由 AD 1 ⊂ 分）平 面 ACD 1 ， 得 B 1D ⊥ AD 1 ．（ 11由棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， BB 1 ⊥底面 ABCD ， ∠BAD = 90︒可得 A 1B 1 ⊥ AA 1 ， A 1B 1 ⊥ A 1D 1 ．又因为 AA 1 ∩ A 1D 1 = A 1 ．所以 A 1B 1 ⊥平面 AA 1D 1D ．所 以 A 1B 1 ⊥ AD 1 ．（ 12分）又因为 A 1B 1 ∩B 1D = B 1 ．C 1A所以 AD 1 ⊥平面 A 1B 1D ．所 以 AD 1 ⊥ A 1D ． （ 13分）这与四边形 AA 1D 1D 为矩形，且 AD = 2 A A 1 矛盾．故直线 B 1D 与平面 ACD 1 不垂直． （ 14分）18．（本小题满分 13 分）【解析】⑴由折线图，知样本中体育成绩大于或等于 70 分的学生有 30 人． （2 分）所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有1000 ⨯ 30= 750 人．40（ 5分）⑵设“至少有 1 人体育成绩在[60⊂ 70) ”为事件 M ．（5 分）记体育成绩在 [60⊂ 70) 的数据为 A 1 ， A 2 ，体育成绩在 [80⊂ 90) 的数据为 B 1 ， B 2 ， B 3 ，则从这两组数据中随机抽取 2 个，所有可能的结果有 10 种，它们 是 ： ( A 1 ⊂ A 2 ) ， ( A 1 ⊂ B 1 ) ， ( A 1 ⊂ B 2 ) ， ( A 1 ⊂ B 3 ) ， ( A 2 ⊂ B 1 ) ， ( A 2 ⊂ B 2 ) ， ( A 2 ⊂ B 3 ) ，(B 1 ⊂ B 2 ) ， (B 1 ⊂ B 3 ) ， (B 2 ⊂ B 3 ) ．而事件 M 的结果有 7 种，它们是： ( A 1 ⊂ A 2 ) ， ( A 1 ⊂ B 1 ) ， ( A 1 ⊂ B 2 ) ， ( A 1 ⊂ B 3 ) ， ( A 2 ⊂ B 1 ) ， ( A 2 ⊂ B 2 ) ， ( A 2 ⊂ B 3 ) ． （ 7分）因 此 事 件 M 的 概 率 P (M ) =分）7．（ 910⑶ a ， b ， c 的值分别是为 70，80，100．（13 分）19．（本小题满分 14 分）【解析】⑴因为椭圆 C ： x y 2 + = 1 ．3m m所 以 a 2 = 3m ， 分）b 2 = m ． （ 123m 6 ⎪故 2a = 2 = 2 ，解得 m = 2 ．所 以 椭 圆 C 的 方 程 为 x 2 y 2+ = 1 ．（ 3分） 因为 c = 6 2= 2 ． 所 以 离 心 率 e = c=a 6 ． （ 53分）⑵由题意，直线 l 的斜率存在，设点 P (x 0 ⊂则线段 AP 的中点 D 的坐标为 ⎛ x 0 + 3⊂ y 0 )( y 0 ≠ 0) ．y 0 ⎫ ．2 2 ⎪⎝ ⎭且 直 线 分）AP 的斜 率 k AP = y0 x 0 - 3 ． （ 7由点 A (3⊂ 0) 关于直线 l 的对称点为 P ，得直线 l ⊥ AP ．故直线 l 的斜率为 -1 k AP= 3 - x 0 ，且过点 D ． y 0所以直线 l 的方程为： y -y 0 = 3 - x 0 ⎛ x - x 0+ 3 ⎫9 分2 y 0 ⎝ 2 ⎭x 2 + y 2 - 9 ⎛ x 2 + y 2 - 9 ⎫ 令 x = 0 ，得 y = 0 0 ，则 B 0 ， 0 0⎪ ，2 y 0 ⎝ 2 y 0 ⎭x 2 y 2 由 0 + 0 = 1 ，得 x 2 = 6 - 3y 2 ，6 20 0⎛ -2 y 2 - 3 ⎫化简，得 B 0 ， ⎝ 0 2 y 0 ⎪ ．11 分⎭-2 y 2- 3所以 OB =2 y 03 = y 0 +≥ 2 a 2 - b 2 2 y 0y ×0 3 2 y 062 y62 6=13 分当且仅当y = 3，即y= ±∈ ⎡- ，2 ⎤ 时等号成立．0 0 2 ⎣⎦所以OB 的最小值为．14 分20．（本小题满分13 分）【解析】⑴对f ( x) 求导，得f '( x) = 1 + ln x + 2ax ， 1 分所以f '(1) = 1 + 2a = -1 ，解得a = -1 ，所以f ( x) = x ln x - x2 - 1． 3 分⑵由f ( x) - mx ≤-1 ，得x ln x - x2 - mx ≤ 0 ，因为x ∈(0 ，+ ∞) ．所以对于任意x ∈(0 ，+ ∞) ，都有ln x - x ≤设g ( x) = ln x - x ，则g'( x) = 1 - 1．xm ． 4 分令g'( x) = 0 ，解得x = 1 ． 5 分当x 变化时，g ( x) 与g'( x) 的变化情况如下表：x(0 ，1) 1 (1，+ ∞)g'( x) + 0 -g ( x) 极大值所以当x = 1时, ( )max() ．…………7分因为对于任意x ∈(0⊂+∞)，都有g(x)≤m成立．所以m ≥-1 ．所以m 的最小值为-1 ．…………8分⑶“函数y = f ( x) - x e x + x2 的图象在直线y = -2x +1 的下方”等价于“f ( x) - x e x + x2 + 2x +1 < 0 ”即要证x ln x - x e x + 2x < 0 ．所以只要证ln x < e x - 2 ．由⑵，得g (x)= ln x -x ≤-1 ，即ln x≤x-1（当且仅当x =1 时等号成立）．所以只要证明当x ∈(0⊂+∞)时，x-1<e x -2即可．…………10 分设h(x)=(e x - 2)-(x-1)= e x -x -1 ．所以h'( x) = e x -1 ．令h'( x) = 0 ，解得x = 0由h'(x)> 0 ，得x>0，所以h(x)在(0⊂+ ∞) 上为增函数．所以h( x) > h(0) = 0 ，即x -1 < e x - 2 ，所以ln x < e x - 2 ．故函数y = f ( x) - x e x + x2 的图象在直线y = -2x -1的下方．…………13分。
(全优试卷)北京市西城区高三一模考试数学(文)试题 Word版含答案
西城区高三统一测试数学（文科） 2017.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,5}A =，{1,4}B =，那么U A B =ð（A ）{3,5} （B ）{2,4,6} （C ）{1,2,4,6} （D ）{1,2,3,5,6}2．在复平面内，复数1ii+的对应点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3．双曲线2213x y -=的焦点坐标是（A ），(0, （B ），( （C ）(0,2)，(0,2)-（D ）(2,0)，(2,0)-4．函数21()()log 2x f x x =-的零点个数为 （A ）0（B ）1（C ）2 （D ）35．函数()f x 定义在(,)-∞+∞上．则“曲线()y f x =过原点”是“()f x 为奇函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6．在ABC △中，点D 满足3BC BD −−→−−→=，则（A ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=+（B ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=-（C ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=+ （D ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=-7．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小 正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为 （A） （B ）6 （C） （D）8．函数()f x 的图象上任意一点(,)A x y 的坐标满足条件||||x y ≥，称函数()f x 具有性 质P ．下列函数中，具有性质P 的是 （A ）2()f x x = （B ）21()1f x x =+ （C ）()sin f x x = （D ）()ln(1)f x x =+第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．函数()f x 的定义域为____． 10．执行如图所示的程序框图. 当输入1ln 2x =时，输出的y 值为____．11．圆22:2210C x y x y +--+=的圆心坐标是____；直线 :0l x y -=与圆C 相交于,A B 两点，则||AB =____． 12．函数sin4()1cos4xf x x=+的最小正周期是____．13．实数,x y 满足1,2,220,x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≤≤≥则22x y +的最大值是____；最小值是____．14． 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动．平面区域W 由所有满足1A P P 组成，则W 的面积是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知{}n a 是等比数列，13a =，424a =．数列{}n b 满足11b =，48b =-，且{}n n a b +是等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和．16．（本小题满分13分）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且tan 2sin a C c A =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值． 17．（本小题满分13分）在测试中，客观题难度的计算公式为ii R P N=，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：题号 1 2 3 4 5 考前预估难度i P0.90.80.70.60.4测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：学生编号 题号123 4 5 1 ×√ √ √ √2 √ √ √ √ ×3 √ √ √ √× 4 √ √ √ ××5 √ √√√ √6 √××√ × 7 ×√√√× 8 √ ×× × × 9 √ √ ××× 10√√√√×（Ⅰ）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 实测难度（Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率； （Ⅲ）定义统计量22211221[()()()]n n S P P P P P P n'''=-+-++-，其中i P '为第i 题的实测难度，i P 为第i 题的预估难度(1,2,,)i n =．规定：若0.05S <，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理.18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AC =．过点A 的平面与棱,,PB PC PD 分别交于点,,E F G （,,E F G 三点均不在棱的端点处）．（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若PC ⊥平面AEFG ，求PFPC的值； （Ⅲ）直线AE 是否可能与平面PCD 平行？证明你的结论．19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，F 为椭圆C 的右焦点．(,0)A a -， ||3AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M ．直线OM 与直线4x =交于点D ，过O 作OE DF ⊥，交直线4x =于点E ．求证：//OE AP ．20．（本小题满分13分）已知函数21()e 2xf x x =-．设l 为曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线，其中0[1,1]x ∈-．（Ⅰ）求直线l 的方程（用0x 表示）；（Ⅱ）求直线l 在y 轴上的截距的取值范围；（Ⅲ）设直线y a =分别与曲线()y f x =和射线1([0,))y x x =-∈+∞交于,M N 两点，求||MN 的最小值及此时a 的值．西城区高三统一测试高三数学（文科）参考答案及评分标准2017.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．D 3．C 4．B 5．B 6．C 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．{|0x x ≥，且1}x ≠ 10．1211．(1,1)；212．π2 13．5；4514．π44-注：第11，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得3418a q a ==， 解得 2q =． [ 2分]所以 11132(1,2,)n n n a a q n --=⋅=⋅=． [ 4分]设等差数列{}n n a b +的公差为d ，由题意得4411()()1644413a b a b d +-+-===-． [ 6分]所以 11()(1)4n n a b a b n d n +=++-=． [ 8分]从而 1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=． [ 9分]（Ⅱ）由（Ⅰ）知1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=．数列{4}n 的前n 项和为2(1)n n +；数列1{32}n -⋅的前n 项和为3(21)n ⋅-．[12分]所以，数列{}n b 的前n 项和为 222323n n n +-⋅+． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 由 tan 2sin a C c A =，得sin 2sin cos a CA c C⋅=． [ 1分]由正弦定理得sin sin 2sin sin cos A CA C C⋅=． [ 3分]所以 1cos 2C =． [ 4分]因为 (0,π)C ∈， [ 5分]所以 π3C =． [ 6分]（Ⅱ） sin sin A B +2πsin sin()3A A =+- [ 7分]3sin 2A A = [ 9分]π)6A +． [11分]因为 π3C =，所以 2π03A <<， [12分]所以 当π3A =时，sin sin A B +取得最大值． [13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 8 8 7 7 2 实测难度0.80.80.70.70.2[4分]所以，估计120人中有1200.224⨯=人答对第5题．[ 5分] （Ⅱ）记编号为i 的学生为(1,2,3,4,5)i A i =，从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种．其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，25(,)A A ，35(,)A A ，45(,)A A ，共6种． [ 9分]所以，从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生，恰好有1人答对第5题的概率为63105P ==． [10分]（Ⅲ）i P '为抽样的10名学生中第i 题的实测难度，用i P '作为这120名学生第i 题的实测难度．222221[(0.80.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4)]5S =-+-+-+-+-0.012=． [12分]因为 0.0120.05S =<，所以，该次测试的难度预估是合理的． [13分]18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥． [ 1分] 因为ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥， [ 2分] 所以BC ⊥平面PAB ． [ 3分] 所以平面PAB ⊥平面PBC ． [ 4分]（Ⅱ）连接AF ． [ 5分]因为 PC ⊥平面AEFG ，所以 PC AF ⊥． [ 7分] 又因为 PA AC =，所以 F 是PC 的中点． [ 8分]所以12PF PC =．[ 9分] （Ⅲ）AE 与平面PCD 不可能平行． [10分]证明如下：假设//AE 平面PCD ，因为 //AB CD ，AB ⊄平面PCD ．所以 //AB 平面PCD ． [12分] 而 AE AB ⊂，平面PAB ，所以 平面//PAB 平面PCD ，这显然矛盾！ [13分] 所以假设不成立，即AE 与平面PCD 不可能平行．[14分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得12c a =，3a c +=． [ 2分] 解得 2a =，1c =．所以 2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程是 22143x y +=． [ 5分]（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设AP 的中点00(,)M x y ，11(,)P x y ．设直线AP 的方程为：(2)(0)y k x k =+≠，将其代入椭圆方程，整理得2222(43)1616120k x k x k +++-=， [ 7分]所以 21216243k x k --+=+． [ 8分]所以 202843k x k -=+，0026(2)43k y k x k =+=+，即 22286(,)4343k kM k k -++． [ 9分]所以直线OM 的斜率是22263438443k k k k k +=--+， [10分]所以直线OM 的方程是 34y x k =-．令4x =，得3(4,)D k-． [11分] 由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 3141k k-=--， [12分]因为OE DF ⊥，所以直线OE 的斜率为k ， [13分] 所以直线//OE AP ． [14分] 解法二：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设111(,)(2)P x y x ≠±，其中221134120x y +-=． 因为AP 的中点为M ，所以 112(,)22x y M -．[ 6分] 所以直线OM 的斜率是 112OM y k x =-， [ 7分]所以直线OM 的方程是 112y y x x =-．令4x =，得114(4,)2y D x -． [ 8分] 由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 1143(2)DF y k x =-． [ 9分]因为直线AP 的斜率是 112AP y k x =+， [10分]所以 2121413(4)DF APy k k x ⋅==--， [12分] 所以 AP DF ⊥． [13分]因为 OE DF ⊥，所以 //OE AP ． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 对()f x 求导数，得()e x f x x '=-， [ 1分]所以切线l 的斜率为000()e x x f x '=-， [ 2分]由此得切线l 的方程为：000002(1(e 2))e ()x x x x x y x ----=，即 000020(e )(1)1e 2x x x x y x x =+-+-. [ 3分]（Ⅱ） 由（Ⅰ）得，直线l 在y 轴上的截距为0020(1)1e 2x x x +-． [ 4分]设 2()(1)1e 2x g x x x +=-，[1,1]x ∈-． 所以 ()(1e )x g x x '=-，令()0g x '=，得0x =． ()g x ，()g x '的变化情况如下表：全优试卷所以函数()g x 在[1,1]-上单调递减， [ 6分]所以max 21[()](1)e 2g x g =-=+，min 1[()](1)2g x g ==， 所以直线l 在y 轴上的截距的取值范围是121[,]2e 2+． [ 8分]（Ⅲ）过M 作x 轴的垂线，与射线1y x =-交于点Q ，所以△MNQ 是等腰直角三角形． [ 9分] 所以 21|||||()()||e 1|2x MN MQ f x g x x x ==-=--+． [10分]设 21()e 12x h x x x =--+，[0,)x ∈+∞， 所以 ()e 1x h x x '=--．令 ()e 1x k x x =--，则()e 10(0)x k x x '=->>， 所以 ()()k x h x '=在[0,)+∞上单调递增， 所以 ()(0)0h x h ''=≥，从而 ()h x 在[0,)+∞上单调递增， [12分]所以 min [()](0)2h x h ==，此时(0,1)M ，(2,1)N ．所以 ||MN 的最小值为2，此时1a =． [13分]。