高三数学月考试卷(附答案)
高三数学月考试卷(附答案)
高三数学月考试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、 设集合{}{}{}5,2,3,2,1,5,4,3,2,1===B A U ，则()=⋂B C A U ( )A ．{}2B ．{}3,2C ．{}3D ．{}3,1 2、 函数)1(12<+=x y x 的反函数是 ( )A ．()()3,1)1(log 2∈-=x x yB ．()()3,1log 12∈+-=x x yC ．(]()3,1)1(log 2∈-=x x yD ．(]()3,1log 12∈+-=x x y 3、 如果)()(x f x f -=+π且)()(x f x f =-，则)(x f 可以是 ( )A ．x 2sinB ．x cosC ．x sinD ．x sin4、βα、是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定平面α与β平行的是 ( )A ．m,n 是α内的两条直线，且ββ//,//n mB ．βα、都垂直于平面γC ．α内不共线三点到β的距离相等D ．m,n 是两条异面直线,αββα//,//,,n m n m 且⊂⊂5、已知数列{}n a 的前n 项和(){}n nn a a R a a S 则,0,1≠∈-= ( )A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列、或者是等比数列D ．等差、等比数列都不是6、已知实数a 满足21<<a ．命题P ：函数)2(log ax y a -=在区间[0，1]上是减函数． 命题Q ：1||<x 是a x <的充分不必要条件．则（ ） A ．“P 或Q ”为真命题； B ．“P 且Q ”为假命题；C ．“┐P 且Q ”为真命题；D ．“┐P 或┐Q ”为真命题7、教师想从52个学生中抽取10名分析期中考试情况，一小孩在旁边随手拿了两个签，教师没在意，在余下的50个签中抽了10名学生．则其中的李明被小孩拿去和被教师抽到的概率分别为 ( )A ．11,265 B ．15,2626 C ．1,026D ．11,2558、某工厂8年来某种产品的总产量c 与时间t （年）的函数关系如右图，下列四种说法：①前三年中产品增长的速度越来越快；②前三年中产品增长的速度越来越慢；③第三年后，这种产品停止生产；④第三年后，年产量保持不变，其中正确的说法是 ( )） A ．②和③ B ．①和④C ．①和③D ．②和④9、若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率e =( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．2510、某商场宣传在“五一黄金周”期间对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次性购物不超过200元，不予以折扣；②如一次性购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠； ③如一次性购物超过500元的，其中500元给予9折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠．某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（ ）A ．608元B ．574.1元C ．582.6元D ．456.8元二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
全国高三高中数学月考试卷带答案解析
全国高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合，，若，则的取值范围是 ( )A．B．C．D．2.已知，则（）A．1B．2C．4D．83.函数f (x)＝ln x＋x3－8的零点所在的区间为（）(A．(0，1) (B．(1，2) (C．(2，3) (D．(3，4)4.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()A．B．C．－D．－5.已知向量，则“”是“夹角为锐角”的（）条件A．必要不充分B．充分不必要C．充要D．既不充分也不必要6.已知函数，且，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．7.已知命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是（）A．B．C．D．8.在中，，则面积为( )A．B．C．D．9.函数的图象如下图，则下列有关性质的描述正确的是（）A．B．为其所有对称轴C．向左移可变为偶函数D．为其减区间10.已知函数，若m<n，有f(m)＝f(n)，则m＋3n的取值范围是( )A．[2，＋∞)B．(2，＋∞)C．[4，＋∞)D．(4，＋∞)11.若函数在上是单调函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．12.已知,若在上恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.函数，则函数在区间上的值域是．2.在△ABC中，若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为________．3.，则__________．4.对于定义域为上的函数，如果同时满足下列三条：（1）对任意的，总有；（2）若，，都有成立；（3）若，则.则称函数为超级囧函数．则下列是超级囧函数的为_____________________.（1）；（2）；（3）；（4）.三、解答题1.（本小题满分12分）已知的三个内角A、B、C的对边分别为，且的面积．（1）求角B的大小;（2）若，且，求边的取值范围．2.在2017年高校自主招生期间，某校把学生的平时成绩按“百分制”折算，选出前名学生，并对这名学生按成绩分组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为．（1）请在图中补全频率分布直方图；（2）若大学决定在成绩高的第组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试（I）若大学本次面试中有三位考官，规定获得两位考官的认可即可面试成功，且各考官面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为，求甲同学面试成功的概率；（II）若大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官的面试，第3组总有名学生被考官面试，求的分布列和数学期望．3.在四棱锥中，平面，，底面是梯形，，，．（1）求证：平面平面；（2）设为棱上一点，，试确定的值使得二面角为．4.已知分别是椭圆的左、右焦点，离心率为，，分别是椭圆的上、下顶点，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过（0,2）作直线与交于两点，求三角形面积的最大值（是坐标原点）．5.已知函数（1）若，证明；（2）若，求的取值范围；并证明此时的极值存在且与无关.6.曲线曲线（是参数）（1）求曲线的普通方程，并指出它是什么曲线.（2）当变化时指出曲线是什么曲线以及它恒过的定点并求曲线截曲线所得弦长的最小值.7.，（1）若，解不等式（2）若对，使得不等式成立，求的取值范围.全国高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.设集合，，若，则的取值范围是 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】∵集合，，，∴故选：D2.已知，则（）A．1B．2C．4D．8【答案】A【解析】，令，得，，∴，∴，故选A.3.函数f (x)＝ln x＋x3－8的零点所在的区间为（）(A．(0，1) (B．(1，2) (C．(2，3) (D．(3，4)【答案】B【解析】f (x)＝ln x＋x3－8在上单调递增，且f (1)，f (2)∴函数f (x)＝ln x＋x3－8的零点所在的区间为(1，2)故选：B4.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()A．B．C．－D．－【答案】C【解析】根据题意可知：根据题意可知：角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则tanθ=±2，∴cos2θ=cos2θ﹣sin2θ===－故答案为：－5.已知向量，则“”是“夹角为锐角”的（）条件A．必要不充分B．充分不必要C．充要D．既不充分也不必要【答案】A【解析】∵向量，∴当x=5时，=（4，2）=2，此时两向量共线，∴夹角为0．向量•=2x﹣2+2=2x，若“夹角为锐角，则向量•=2x，设与夹角为θ，则cosθ=＞0，即2x＞0，解得x＞0，∴“x＞0”是“夹角为锐角”的必要而不充分条件．故选：A．6.已知函数，且，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】为偶函数，在单调递增且∴∴，解得：即实数的取值范围是故选：C7.已知命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】结合指数函数的性质可知当时，，所以为真命题，，当且仅当即时，等号成立，所以为假命题，为真，所以为真命题.【考点】命题的真假判断及复合命题.8.在中，，则面积为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意得到：，，同时,，则所以△ABC的面积为；故选：B9.函数的图象如下图，则下列有关性质的描述正确的是（）A．B．为其所有对称轴C．向左移可变为偶函数D．为其减区间【答案】C【解析】观察图象可得，函数的最小值﹣1，所以A=1，∵==，∴T=π，根据周期公式可得，ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），又函数图象过（，﹣1）代入可得sin（+φ）=﹣1，∵0＜φ＜π，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），∴f（x）向左移，为g（x）=cos2x，是偶函数．故选C．10.已知函数，若m<n，有f(m)＝f(n)，则m＋3n的取值范围是( )A．[2，＋∞)B．(2，＋∞)C．[4，＋∞)D．(4，＋∞)【答案】D【解析】作出的图象，如图所示：∵m＜n，且f（m）=f（n），由图象可知，0＜m＜1＜n，∴| |=| |，即，∴m=，∴m+3n=+3n，令g（n）=+3n（n＞1），则g'（n）=﹣+3＞0，∴g（n）在（1，+∞）上递增，∴g（n）＞g（1）=4，即m+3n的取值范围是（4，+∞），故选：D．点睛：利用条件f(m)＝f(n)，明确m=，从而问题转化为+3n的范围问题，借助均值不等式问题得解.11.若函数在上是单调函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，f′（x）=，因为在[1，+∞）上是单调函数，所以f′（x）≥0或f′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，①当f′（x）≥0时，则在[1，+∞）上恒成立，即，设g（x）==，因为x∈[1，+∞），所以∈（0，1]，当=1时，g（x）取到最大值是：0，所以a≥0，②当f′（x）≤0时，则在[1，+∞）上恒成立，即a≤，设g（x）==，因为x∈[1，+∞），所以∈（0，1]，当=时，g（x）取到最大值是：，所以a≤，综上可得，a≤或a≥0，所以数a的取值范围是，故选：A．点睛：函数单调性的逆向问题常用处理方法：问题转化为导函数恒大于等于零（或恒小于等于零）的问题，然后变量分离求最值即可.12.已知,若在上恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在上恒成立，即在上恒成立，设，则，令，则或，由于，，因此（否则是的极小值点，即），所以，选B.【考点】不等式恒成立问题，导数与函数的单调性、函数的极值.二、填空题1.函数，则函数在区间上的值域是 ．【答案】【解析】，设，则，所以.【考点】对数函数的性质，二次函数的值域.2.在△ABC 中，若AB ＝，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为________． 【答案】,【解析】△ABC 中，AB ＝，AC ＝1，B ＝30°， 由正弦定理可得，sinC=，b ＜c ，∴C ＞B=30° ∴C=60°，或C=120°当C=60°时，A=90°，S △ACB=bcsinA=×1××1=，当C=120°时，A=30°，S △ABC=×1××=，故答案为：,点睛：本题是一道易错题，sinC=，此时，角C 有两种选择锐角或钝角. 3.，则__________．【答案】【解析】解：将所给的等式两侧求导可得：， 令 可得： ，令可得：，据此可得：.4.对于定义域为上的函数，如果同时满足下列三条：（1）对任意的，总有；（2）若，，都有成立；（3）若，则.则称函数为超级囧函数．则下列是超级囧函数的为_____________________. （1）；（2）；（3）；（4）.【答案】(3)【解析】对于（1）不满足①对任意的x ∈[0，+∞），总有f （x ）≥0，故（1）不是超级囧函数； 对于（2），g （x ）=（x ∈[0，1]），则g （x 1+x 2），g （x+1）可能没意义，故故（2）不是超级囧函数；对于（3），函数h （x ）=2x ﹣1（x ∈[0，+∞）上满足h （x ）≥0，若x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，则h （x 1+x 2）﹣[h （x 1）+h （x 2）]=2x1+x2﹣1﹣[（2x1﹣1）+（2x2﹣1） =2x1+x2﹣2x1﹣2x2+1）=（2x1﹣1）（2x2﹣1）≥0， 即h （x 1+x 2）≥h （x 1）+h （x 2）， 要满足0≤x 1＜x 2＜1，则＞1，只需f （x 1+1）﹣f （x 2﹣1）＜（x 1+1）﹣（x 2+1），即函数G（t ）=f （t ）﹣t 在[1，2）上递增即可．函数h （x ）=2x ﹣1显然满足，故（3）是超级囧函数；对于（4），x 1≥0，x 2≥0时，p （x 1+x 2）﹣[p （x 1）+p （x 2）]=ln=ln ≤0，故不满足②若x 1≥0，x 2≥0，都有f （x 1+x 2）≥f （x 1）+f （x 2）成立，故（4）不是超级囧函数； 故答案为：（3）三、解答题1.（本小题满分12分）已知的三个内角A 、B 、C 的对边分别为，且的面积．（1）求角B 的大小; （2）若，且，求边的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）要求角的大小，一般要列出关于的三角函数式，从已知条件，可看出只要利用三角形的面积公式（含）即可，由，得，从而有；（2）要求边的取值范围，根据已知我们应该把表示为角的三角函数，再由角的范围求得的取值范围。
高三数学月考试卷及答案
高三数学月考试卷及答案第一部分：选择题1.下列不等式中，若x>3，正确的是（） A. 3/x > 1B. 2/x < 1C. 3x > 2D. x < 2 答案：B2.解方程 |x-3| = 4，得x = （） A. -1 B. 1 C. 5 D. 7 答案：C3.已知集合A={x| x>0}，B={x| x<3}，则A∩B=（） A. {x| x>3} B. {x|0<x<3} C. {x| x>0 and x<3} D. {x| x<0 and x>3} 答案：B…第二部分：解答题1.计算lim(n→∞)(1+1/n)^n的值。
解：令f(n) = (1+1/n)n，显然f(n)是一个形式为(∞/∞)的极限型，由L’Hospital法则可得lim(n→∞)(1+1/n)n = lim(n→∞)e = e。
2.已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的零点及极值点。
解：首先求f(x)的零点，令f(x) = 0，得x^2 - 4x + 3 = 0，解得x=1或x=3。
然后求f(x)的极值点，求导得f’(x) = 2x - 4，令f’(x) = 0，解得x=2。
将x=1, 2, 3分别代入f(x)，得极小值点(2, -1)和极大值点(1, 0)、(3, 0)。
…第三部分：综合题1.请证明：两个平面直角三角形的直角边相等，则这两个三角形全等。
2.证明：假设函数f(x)在区间[a, b]上连续且在(a, b)上可微，且满足f(a) = f(b)，则在(a, b)存在一点c使得f’(c) = 0。
…以上为高三数学月考试卷及答案，祝同学们取得理想成绩！。
高三月考数学试卷含解析
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$，则$f(x)$的对称中心为（）。
A. $(0, 4)$B. $(1, 2)$C. $(2, 0)$D. $(3, 1)$2. 在等差数列$\{a_n\}$中，$a_1 + a_5 = 10$，$a_3 + a_4 = 12$，则$a_1$的值为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知圆$x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$的半径为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 44. 函数$y = \log_2(x - 1)$的图象与直线$y = 3x - 1$的交点个数为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 45. 若复数$z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$）满足$|z - 3i| = |z + 2|$，则$z$在复平面内的轨迹是（）。
B. 圆C. 直线D. 双曲线6. 在三角形ABC中，$AB = 4$，$AC = 6$，$BC = 8$，则$\cos A$的值为（）。
A. $\frac{1}{4}$B. $\frac{1}{2}$C. $\frac{3}{4}$D. $\frac{5}{8}$7. 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$），若$f(-1) = 0$，$f(1) = 0$，则$f(0)$的值为（）。
A. $-a$B. $-b$C. $-c$D. $a$8. 若$|x - 1| + |x + 2| = 3$，则$x$的取值范围是（）。
A. $-2 \leq x \leq 1$B. $-2 < x < 1$C. $x \leq -2$ 或 $x \geq 1$D. $x > -2$ 且 $x < 1$9. 已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_n = 3n^2 - 2n$，则$a_5$的值为（）。
湖南省长沙市2024-2025学年高三上学期月考卷(三)数学试卷含答案
2025届高三月考试卷（三）数学（答案在最后）本试卷共8页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合{1,2}A =，{2,3}B =，{1,2,3,4}C =，则（）A ．AB =∅B ．A B C= C ．A C C= D ．A C B= 2．在复平面内，复数1z 对应的点和复数212i z =+对应的点关于实轴对称，则12z z =（）A ．5B C ．34i--D ．34i-+3．已知向量a ，b满足3a = ，b = ，且()a ab ⊥+ ，则b 在a 方向上的投影向量为（）A ．3B ．3-C ． 3a - D ．a-4．已知函数()f x 的定义域为()(),54,3f f x =+R 是偶函数，12,x x ∀∈[3,)+∞，有()()12120f x f x x x ->-，则（）A ．()04f <B ．()14f =C ．()24f >D ．()30f <5．若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（）A ．24B ．32C ．96D ．1286．已知曲线e xy =在1x =处的切线l 恰好与曲线ln y a x =+相切，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．在直角坐标系中，绕原点将x 轴的正半轴逆时针旋转角π02αα⎛⎫<<⎪⎝⎭交单位圆于A 点、顺时针旋转角ππ42ββ⎛⎫<< ⎪⎝⎭交单位圆于B 点，若A 点的纵坐标为1213，且OAB △的面积为24，则B 点的纵坐标为（）A ．22-B ．17226-C ．7226-D ．2213-8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左顶点为(),,0A F c 是双曲线C 的右焦点，点P 在直线2x c =上，且tan APF ∠的最大值是66，则双曲线C 的离心率是（）A ．B ．C ．4+D ．2+二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．函数()()π3sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列匀选项中正确的有（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．2π3f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最小值C ．()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．把函数()y f x =的图象上所有点向右平移π12个单位长度，可得到函数3sin 2y x =的图象10．在长方体1111ABCD A B C D -中，1222AB AA AD ===，点P 满足AP AB AD λμ=+，其中[][]0,1,0,1λμ∈∈，则（）A ．若1B P 与平面ABCD 所成的角为π4，则点P 的轨迹长度为π4B ．当λμ=时，1B P ∥平面11ACD C ．当12λ=时，有且仅有一个点，使得1A P BP ⊥D ．当2μλ=时，1A P DP +的最小值为11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线()2:20C y px p =>绕其顶点分别逆时针旋转90,180,270︒︒︒后所得三条曲线与C 围成的（如图阴影区域），,A B 为C 与其中两条曲线的交点，若1p =，则（）A ．开口向上的抛物线的方程为212y x =B ．4AB =C ．直线x y t +=截第一象限花瓣的弦长的最大值为34D ．阴影区域的面积大于4三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12．若()523450123451x a a x a x a x a x a x -=+++++，则2a =_____．13．已知函数()24,1,ln 1,1,x x a x f x x x ⎧++<=⎨+≥⎩若函数()2y f x =-有3个零点，则实数a 的取值范围是_____．14．设n T 为数列{}n a 的前n 项积，若n n T a m +=，其中常数0m >，数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则m =_____．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分13分）记ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()b c a b c a bc +-++=．（1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，3,4,3BAD CAD AC AD ∠=∠==sin B ．16．（本小题满分15分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，11160,,,1,2A AC AC BC A C AB AC AA ∠=︒⊥⊥==．（1）求证：1A C ⊥平面ABC ；（2）若直线1BA 与平面11BCC B 所成角的正弦值为4，求平面11A BB 与平面11BCC B 夹角的余弦值．17．（本小题满分15分）人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟．某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战．若开始基础分值为()*m m ∈N 分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得－1分．若该答题机器人答对每道题的概率均为12，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为X ，当2X m =时，答题结束，机器人挑战成功，当0X =时，答题也结束，机器人挑战失败．（1）当3m =时，求机器人第一轮答题后累计得分X 的分布列与数学期望；（2）当4m =时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率．18．（本小题满分17分）．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴是短轴的3倍，且椭圆上一点到焦点的最远距离为3．,A B是椭圆的左、右顶点，过,A B 分别做椭圆的切线，取椭圆上x 轴上方任意两点,P Q （P 在Q 的左侧），并过P ，Q 两点分别作椭圆的切线交于R 点，直线RP 交点A 的切线于I ，直线RQ 交点B 的切线于J ，过R 作AB 的垂线交IJ 于K ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若()1,2R ，直线RP 与RQ 的斜率分别为1k 与2k ，求12k k 的值；（3）求证：IK IA JKJB=．19．（本小题满分17分）对于函数()f x ，若实数0x 满足()00f x x =，则称0x 为()f x 的不动点．已知0a ≥，且()21ln 12f x x ax a =++-的不动点的集合为A ．以min M 和max M 分别表示集合M 中的最小元素和最大元素．（1）若0a =，求A 的元素个数及max A ；（2）当A 恰有一个元素时，a 的取值集合记为B ．（i ）求B ；（ii ）若min a B =，数列{}n a 满足()112,n n nf a a a a +==，集合n C =*141,,3n k k a n =⎧⎫⎪⎪-∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑N ．求证：*4,max 3n n C ∀∈=N ．2025届高三月考试卷（三）数学参考答案题号1234567891011答案CADBCBBDBDBCDABD一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）1．C 【解析】由题意，{2},{1,2,3},{1,2,3,4},{1,2}A B A B A C C A C ===== ，对比选项可知只有C 选项符合题意．2．A 【解析】因为复数1z 对应的点和复数212i z =+对应的点关于实轴对称，所以112i z =-，所以()()1212i 12i 5z z =-+=．3．D 【解析】因为()a a b ⊥+，则()290a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+⋅= ，故9a b ⋅=- ，所以b 在a 方向上的投影向量为299a b a a a a⋅-⋅=⋅=-．4．B 【解析】因为12,[3,)x x ∀∈+∞，有()()12120f x f x x x ->-，所以()f x 在[3,)+∞上单调递增，又()3f x +是偶函数，则()3f x +的图象关于0x =对称，所以()f x 的图象关于3x =对称，则()()()0654f f f =>=，故选项A 错误；()()154f f ==，故选项B 正确；()()()2454f f f =<=，故选项C 错误；()3f 的正负不能确定，故选项D 错误．5．C 【解析】如图，设P 在底面的投影为G ，易知正四棱锥P ABCD -的外接球球心在PG 上，由题意，球O 的半径5,853PO AO OG ====-=，所以24,82AG PA AB =====⨯=，故PAB △中，边AB =，所以该正四棱锥的侧面积为14962⨯⨯=．6．B 【解析】由e xy =得e xy '=，又切点为（1，e ），故e k =，切线l 为e y x =，设l 与曲线ln y a x =+的切点为()001,e ,x x y x '=，所以01e x =，解得切点为1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1ln11ea a +=-=，解得2a =．7．B 【解析】由A 点的纵坐标为1213，得125sin ,cos 1313αα==，显然ππ42α<<，而()1211sin 24AOB S αβ=⨯⨯⨯+=△，即()2sin 2αβ+=，又ππ42β<<，因此ππ2αβ<+<，3π4αβ+=，有3π4βα=-，()3π22512172sin sin cos sin 422131326βααα⎛⎫⎛⎫=-=+=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭显然B 点在第四象限，所以B 点的纵坐标为226-．8．D 【解析】如图，设直线2x c =与x 轴交于点,H PH m =，则tan ,tan 2m mPFH PAH c a c∠=∠=+．因为APF PFH PAH ∠=∠-∠，所以()tan tan tan tan 1tan tan PFH PAHAPF PFH PAH PFH PAH∠-∠∠=∠-∠=+∠⋅∠()22222212m m m a c a cc a c m m ac c ac c m m c a c m-+++===++++⋅++．因为22222ac c m ac c m++≥+22m ac c =+时，等号成立，所以26tan 622APF ac c ∠≤=+，整理得22430c ac a --=，则2430e e --=，解得2e =+．二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．）9．BD 【解析】∵()()3sin f x x ωϕ=+，由题图知33π44T =，∴πT =，2ω=，故A 错误；∵π2π623T +=，∴可得2π3f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最小值，故B 正确；∵ππ3sin 2366f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴π2π6k ϕ=+，k ∈Z ，又π2ϕ<，∴π6ϕ=，∴()π3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴()π33sin 2,362f x x ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故C 错误；将()f x 的图象向右平移π12个单位长度得到的图象为πππ3sin 23sin 212126f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确．10．BCD 【解析】对于A 中，连接BP ，在长方体1111ABCD A B C D -中，可得1BB ⊥平面ABCD ，所以1B PB∠即为1B P 与平面ABCD 所成的角，即1π4B PB ∠=，在直角1BB P △中，可得11BP BB ==，所以点P 的轨迹为以B 为圆心，半径为1的14圆，其周长为1π2π142⨯⨯=，所以A 错误；对于B 中，当λμ=时，因为1222AB AA AD ===，且点P 满足AP AB AD λμ=+，所以点P 在线段AC上，连接11,,AC AB B C ，在长方体1111ABCD A B C D -中，可得1111,AC A C B C A D ∥∥，因为AC ⊄平面11A C D ，且11A C ⊂平面11A C D ，所以AC ∥平面11A C D ，同理可证1B C ∥平面11A C D ，又因为1AC B C C = ，且1,AC B C ⊂平面1AB C ，所以平面1AB C ∥平面11A C D ，因为1B P ⊂平面1AB C ，所以1B P ∥平面11A C D ，所以B 正确；对于C 中．当12λ=时，因为1222AB AA AD ===，且点P 满足AP AB AD λμ=+ ，取,AB CD 的中点,E F ，过接,,EF AF BF ，可得点P 在线段EF 上运动，若1A P BP ⊥，因为1AA ⊥平面ABCD 且BP ⊂平面ABCD ，所以111111,,,AA BP A P A A A A P A A ⊥=⊂ 平面1A AP 、故BP ⊥平面1A AP ，又AP ⊂平面1A AP ，故BP AP ⊥，所以点P 在以AB 为直径的圆上，又因为22AB AD ==，可得线段EF 与以AB 为直径的圆只有一个交点F ，所以当点P 与F 重合时，即当且仅当P 为CD 的中点时，能使得1A P BP ⊥，所以C 正确；对于D 中，当2μλ=时，因为1222AB AA AD ===，且点P 满足AP AB AD λμ=+，取,AB CD 的中点,E F ，连接,AF EF ，可得点P 在线段AF 上运动，沿着AF 将直角1AA F △和平面ADF △展开在一个平面上，如图所示，在1AA D △中，113π1,1,4AA AD A AD ==∠=，由余弦定理得2221113π2cos 24A D AA AD AA AD =+-⋅=，所以1A D =1A P DP +的最小值为，所以D 正确．11．ABD 【解析】由题意，开口向右的抛物线方程为2:2C y x =，顶点在原点，焦点为11,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，将其逆时针旋转90︒后得到的抛物线开口向上，焦点为210,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则其方程为22x y =，即212y x =，故A 正确；对于B ，根据A 项分析，由222,2y x x y ⎧=⎨=⎩可解得0x =或2x =，即2A x =，代入可得2A y =，由图象对称性，可得()()2,2,2,2A B -，故4AB =，即B 正确；对于C ，如图，设直线x y t +=与第一象限花瓣分别交于点,M N ，由2,2,y x t y x =-+⎧⎨=⎩解得11,M M x t y ⎧=+-⎪⎨=⎪⎩由2,2,y x t x y =-+⎧⎨=⎩解得1,1N N x y t ⎧=⎪⎨=+-⎪⎩，即得()11,1,1M t N t ++-，则弦长为2MN ==+-，由图知，直线x y t +=经过点A 时t 取最大值4，经过点O 时t 取最小值0，即在第一象限部分满足04t <<，不妨设u =，则13u <<，且212u t -=，代入得，)()2222113MN u u u =+-=--<<，由此函数的图象知，当2u =时，MN取得最大值为2，即C 错误；对于D ，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求18部分面积的近似值．如图：在抛物线()2102y x x =≥上取一点P ，使过点P 的切线与直线OA 平行，由1y x '==可得切点坐标为11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，因为:0OA l x y -=，则点P 到直线OA 的距离为12242d ==，于是2212122242OPA S =+=△，由图知，半个花瓣的面积必大于12，故原图中的阴影部分面积必大于1842⨯=，故D 正确．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12．10-【解析】()51x -的展开式通项是：()55C 1kk k x --，依题意，得52k -=，即3k =，所以()3325C 110a =-=-．13．（－3，6）【解析】函数()24,1,ln 1,1,x x a x f x x x ⎧++<=⎨+≥⎩当1x ≥时，方程ln 12x +=，解得e x =，函数()2y f x =-有一个零点，则当1x <时，函数()2y f x =-须有两个零点，即242x x a ++=在1x <时有两个解．设()242g x x x a =++-，对称轴为()2,x g x =-在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，∴()10g >，且()20g -<，即1420,4820,a a ++->⎧⎨-+-<⎩解得36a -<<，所以a 的取值范围是（－3，6）．14．1或2【解析】当2n ≥时，111,11n n n n n n n n m mT a T a a m a T m a ---+=+===++-，所以()1211111111111121n n n n n n n n a n m T T m a m a m a m ma m m a --------=-=-=≥-----+-．由数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则1211n n a m ma ----为常数d ，①若0d =，则()112n a n -=≥恒成立，即()11n a n =≥恒成立，∴2m =；②若0d ≠，则2111n n a dm dma ---=-，∴21,1,dm dm ⎧=⎨=⎩解得1,1,m d =⎧⎨=⎩综上所述，1m =或2m =．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．【解析】（1）()()()222222b c a b c a b c a b bc c a bc +-++=+-=++-=，则222b c a bc +-=-，所以2221cos 22b c a A bc +-==-，因为0πA <<，所以2π3A =．（2）由（1）得，2π3A =，因为3BAD CAD ∠=∠，所以π6CAD ∠=，如图，在ACD △中，由余弦定理，得2222cos 316472CD AD AC AD AC DAC =+-⋅∠=+-⨯=，即CD =，在ACD △中，由正弦定理sin sin CD AD DAC C =∠，即1sin 2C =，所以sin C =因为π03C <<，故cos C ==，在ABC △中，()3121sin sin sin cos cos sin227B AC A C A C =+=+=⨯⨯．16．【解析】（1）在1A AC △中，由余弦定理可得2221111cos 2AC A A A C A AC AC A A +-∠=⋅⋅，则222112cos 60212A C +-︒=⨯⨯，解得213A C =，由22211A C AC A A +=，则在1A AC △中，1A C AC ⊥，因为1,,A C AB AC AB ⊥⊂平面,ABC AC AB A = ，所以1A C ⊥平面ABC ．（2）易知1,,A C AC BC 两两相互垂直，分别以1,,CA CB CA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，设BC k =，则(()()(11,0,,0,0,0,0,1,0,,A B k C C-(()(110,,0,,0,1,0,,BA k CB k CC =-==-设平面11BCC B 的法向量(),,n x y z = ，则10,0,n CB n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得0,0,ky x =⎧⎪⎨-+=⎪⎩令x =0,1y z ==，所以平面11BCC B的一个法向量)n =，设直线1BA 与平面11BCC B 所成的角为θ，则11sin BA n BA n θ⋅=⋅，可得4=1k =，易知(11BB CC ==-，设平面11A BB 的法向量()000,,m x y z = ，则110,0m BA m BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得00000,0,y x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令01z =，则00x y ==，所以平面11A BB的一个法向量)m =，设平面11A BB 与平面11BCC B 的夹角为α，则27cos 7n m n mα⋅===⋅．17．【解析】（1）当3m =时，第一轮答题后累计得分X 所有取值为4，3，2，()()()1111111114,32,2,224222224P X P X P X ==⨯===⨯⨯===⨯=所以第一轮答题后累计得分X 的分布列为：X 432P （X ）141214所以()1114323424E X =⨯+⨯+⨯=．（2）当4m =时，设“第六轮答题后，答题结束且挑战成功”为事件A ，此时情况有2种，分别为：情况①：前5轮答题中，得1分的有3轮，得0分的有2轮，第6轮得1分；情况②：前4轮答题中，得1分的有3轮，得—1分的有1轮，第5、6轮都得1分，所以()3232335411111111C C 4244441024P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．18．【解析】（1）由题意：22222,32,3,1.a b a a c b c a b c ⎧=⋅⎪⎪=⎧⎪⎪⎪+=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=+⎪⎪⎩所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．4分（2）设过点R 的切线方程为()21y k x -=-，即()2y kx k =+-，由()222,1,43y kx k x y ⎧=+-⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()()()222438242120k x k k x k ++-+--=，由()()()222206424434212kk k k ⎡⎤∆=⇒-=+--⎣⎦，整理得23410k k +-=，所以1213k k =-．（3）设()()000,0,R x y y RK >的延长线交x 轴于K '点，如图：因为AI K K JB '∥∥，则0022IK AK x JKBK x '+=='-．设P ，Q 两点处切线斜率分别为12,k k ，过R 点的椭圆的切线方程为()00y y k x x -=-，即()00y kx y kx =+-，由()0022,143y kx y kx x y ⎧=+-⎪⎨+=⎪⎩消去y ，化简整理，得()()()22200004384120kx k kx y x kx y +--+--=，由0∆=，得()()()2222000064443412kkx y k kx y ⎡⎤-=+--⎣⎦，化简整理，得()22200004230x k x y k y --+-=，由韦达定理，得20001212220023,44x y y k k k k x x -+==--，所以()()1002002,2l J y k x y y k x y =--+=-+，所以要证明IK IA JKJB=，只需证明()()100002002222k x y x x k x y --++=--+，即()()()()()()()()22222000100012001201200042424242,k x y x k x y x k k x y k k x k k x x y -++=-+-⇔++=+⇔+-=因为00122024x y k k x +=-，所以上式成立，即IK IA JK JB=成立．19．【解析】（1）当0a =时，()1ln 12f x x =+，其定义域为()0,+∞．由()f x x =得1ln 102x x -+=．设()1ln 12g x x x =-+，则()122xg x x-'=，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，注意到()10g =，所以()g x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恰有一个零点1x =，且()1102g g ⎛⎫>=⎪⎝⎭，又()22e e 0g --=-<，所以()21e 02g g -⎛⎫<⎪⎝⎭，所以()g x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上恰有一个零点0x ，即()f x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恰有一个不动点1,x =在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上恰有一个不动点0x x =，所以{}0,1A x =，所以A 的元素个数为2，又因为01x <，所以max 1A =．（2）（i ）当0a =时，由（1）知，A 有两个元素，不符合题意；当0a >时，()21ln 12f x x ax a =++-，其定义域为()0,+∞，由()f x x =得21ln 102x ax x a +-+-=．设()()21ln 1,0,2h x x ax x a x =+-+-∈+∞，则()214212122ax x h x ax x x -+'=+-=，设()2421F x ax x =-+，则416a ∆=-，①当14a ≥时，()()0,0,0F x h x '∆≤≥≥，所以()h x 在()0,+∞上单调递增，又()10h =，所以()h x 在()0,+∞上恰有一个零点1x =，即()f x 在()0,+∞上恰有一个不动点1x =，符合题意；②当104a <<时，0∆>，故()F x 恰有两个零点()1212,x x x x <．又因为()()010,1410F F a =>=-<，所以1201x x <<<，当()10,x x ∈时，()()0,0F x h x '>>；当()12,x x x ∈时，()()0,0F x h x '<<；当()2,x x ∈+∞时，()()0,0F x h x '>>，所以()h x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，注意到()10h =，所以()h x 在()12,x x 上恰有一个零点1x =，且()()()()1210,10h x h h x h >=<=，又0x →时，()h x →-∞，所以()h x 在()10,x 上恰有一个零点0x '，从而()f x 至少有两个不动点，不符合题意；所以a 的取值范围为1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，即集合1,4B ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭．（ii ）由（i ）知，1,4B ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭，所以1min 4a B ==，此时，()()22113113ln ,ln 244244f x x x h x x x x =++=+-+，由（i ）知，()h x 在()0,+∞上单调递增，所以，当1x >时，()()10h x h >=，所以()f x x >，即()1f x x>，故若1n a >，则11n a +>，因为，若存在正整数N 使得1N a ≤，则11N a -≤，从而21N a -≤，重复这一过程有限次后可得11a ≤，与12a =矛盾，从而，*,1n n a ∀∈>N ，下面我们先证明当1x >时，()3ln 12x x <-，设()()33ln ,1,22G x x x x =-+∈+∞，所以()1323022x G x x x'-=-=<，所以()G x 在()1,+∞上单调递减，所以()()10G x G <=，即当1x >时，()3ln 12x x <-，从而当1x >时，2211311ln 24444x x x x x ++-<-，从而()2113ln 1244114x x x x x ++-<-，即()()1114f x x x -<-，故()()1114n nn f a a a -<-，即()11114n n a a +-<-，由于11,1n n a a +>>，所以110,10n n a a +->->，故11114n n a a +-<-，故2n ≥时，121211111111114444n n n n n a a a a -----<-<-<<-= ，所以*1111114144,111434314n n nk k n k k n a -==-⎛⎫∀∈-≤==-< ⎪⎝⎭-∑∑N ，故4max 3n C =．。
高三数学-10月月考数学试题参考答案
2024-2025学年度高三10月月考数学试题参考答案一、选择题题号1234567891011答案DDBCCABDABDBCDABD二、填空题12.5013.2433ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，14.（1）1327；（2）13425153n -⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭三、解答题15、解：（1）由题3sin 21==∆θbc S ABC ，可得θsin 6=bc ，又36cos 0≤=⋅≤θbc AC AB ，所以36sin cos 60≤≤θθ，得到33tan ≥θ或2πθ=因为()πθ,0∈，所以,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦6分（2）()2cos sin cos34f πθθθθ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，化简得()21sin 2cos 4f θθθ=进一步计算得()1sin 223f πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故22033ππθ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故可得()102f θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，13分16、解：（1）过点P 作PO 垂直于平面ABCD ，垂足为O ，连接BO 交AD 于E ，连接PE ，则有AD PB AD PO ⊥⊥,，又P PB PO =⋂，所以POB AD 平面⊥，因为POB PE 平面⊂，所以PE AD ⊥，又PD P A =，所以E 为AD 得中点依题侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角为120°，即有32π=∠PEB ，所以3π=∠PEO ，因为侧面P AD 为正三角形，所以323sin 4=⋅=πPE ，则323323sin =⋅=⋅=πPE PO ，所以38323443131=⋅⋅⋅⋅==-PO S V ABCD ABCD P 7分（2）如图，在平面ABCD 内过点O 作OB 得垂线Ox ，依题可得Ox OB OP ,,两两垂直，以Ox OB OP ,,为轴轴，轴，x y z 建立空间直角坐标系可得()0,3,2A ，()0,0,0P ，()0,33,0B ，取PB 得中点为N ，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,233,0N 因为AB AP =，所以PB AN ⊥，由（1)POB AD 平面⊥，AD BC //，知POB BC 平面⊥所以PB BC ⊥，可得NA BC ,所成角即为二面角A PB C --的平面角，求得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,23,2AN ，()0,0,2=BC，则72724-=-==BC NA则21sin 7A PBC --=15分17、解：（1）当a e =时，1()e lnx e f x x -=+，0(1)e ln 2f e =+=，11()e ,(1)0x f x f x-''=-=所求切线方程为：)1(02-=-x y ，即2y =5分（2）()2≥x f 转化为ln 2e ln ln 2a x a x +-+-≥，可得ln 2e ln +2ln 0a x a x x x x +-+-≥+>，构造函数()e x g x x =+，易得()g x 在R 单调递增所以有()(ln 2)ln g a x g x +-≥，由()g x 在R 单调递增,故可得ln 2ln a x x +-≥，即有ln ln 2a x x ≥-+在()∞+，0恒成立令()2ln +-=x x x h ，()011=-='xx h ，得到1=x ，可得()10，∈x 时，()0>'x h ；()∞+∈，1x 时，()0<'x h ，所以()x h 在1=x 时取最大值所以()ln 11a h ≥=，得到ea ≥15分18、解：（1）∵椭圆E 经过点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭，23e =∴222222549123a b a b c c e a ⎧⎪+=⎪⎪⎨=+⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩E ：22195x y +=；4分（2）由（1）可知，1(2,0)F -，2(2,0)F 思路一：由题意，1:512100AF l x y -+=，2:2AF l x =设角平分线上任意一点为(),P x y ，则51210213x y x -+=-得9680x y --=或2390x y +-=∵斜率为正，∴21AF F ∠的角平分线所在直线为9680x y --=思路二：椭圆在点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为2319x y +=，23k =-切根据椭圆的光学性质，21AF F∠的角平分线所在直线l 的斜率为32l k =，∴，21AF F ∠的角平分线所在直线34:23l y x =-即9680x y --=10分（3）思路一：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，设2:3BC l y x m =-+，∴2222195912945023x y x mx m y x m ⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪=-+⎪⎩∴线段BC 中点为25,39m mM ⎛⎫⎪⎝⎭在21AF F ∠的角平分线上，即106803m m --=得3m =∴52,3M ⎛⎫⎪⎝⎭与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．思路二：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，线段BC 中点()00,Mx y ，由点差法，2211222212122222195095195x y x x y y x y ⎧+=⎪⎪⇒+=⎨⎪+=⎪--⎩，∴0121212120552993BC x y y x x k x x y y y -+==-=-=--+，∴0065OM y k x ==，:968052,63:5AM OM l x y M l y x --=⎧⎪⎛⎫⇒⎨⎪=⎝⎭⎪⎩与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．17分19、解：（1）①()()()222121()111b f x x bx x x x x +=-=-+'++，∵1x >，()()2101h x x x =>+恒成立，∴函数()f x 具有性质()P b ；3分②设()()211u x x bx x =-+>，(i)当0b -≥即0b ≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；(ii)当0b >时当240b ∆=-≤即02b <≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；当240b ∆=->即2b >时，12441122b b x x +===，，∴x ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x <，()0f x '<，此时()f x在1,2b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减；4,2b x ∞⎛⎫+∈+ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x >，()0f x '<，此时()f x在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.综上所述，当2b ≤时，()f x 在()1,+∞上递增；当2b >时，()f x在⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减，在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.9分（2）由题意，()()22()()21()1g x h x x x h x x =-+=-'，又()h x 对任意的()1,x ∈+∞都有()0h x >，所以对任意的()1,x ∈+∞都有()0g x '>，()g x 在()1,+∞上递增.10分∵12(1)mx m x α=+-，12(1)m x mx β=-+，∴()()1212,21x x m x x αβαβ+=+-=--1先考虑12x x αβ-<-的情况即()()121221m x x x x --<-，得01m <<，此时1122(1)x mx m x x α<=+-<，1122(1)x m x mx x β<=-+<∴1212()()(),()()()g x g g x g x g g x αβ<<<<∴12()()()()g g g x g x αβ-<-满足题意13分2当1m ≥时，11112(1)(1)mx m x mx m x x α--≤==++，12222(1)(1)m x mx m x mx x β=--+≥=+，∴12x x αβ≤<≤∴12()()()()g g x g x g αβ≤<≤，∴12()()()()g g g x g x αβ-≥-，不满足题意，舍去16分综上所述，01m <<17分。
2025届高三上学期月考(三)(11月)数学试卷[含答案]
2025届高三上学期月考（三）（11月）数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．若复数满足，则（ ）z 1i34i z +=-z =A ．B ．C ．D ．252．已知数列的前项和，则等于（ ）{}n a n 22n S n n =-345a a a ++A ．12B ．15C ．18D ．213．抛物线的焦点坐标为（ ）24y x =A ．B ．(1,0)(1,0)-C ．D ．1(0,)16-1(0,164．如图是函数的部分图象，则函数的解析式可为（ ）()sin y x ωϕ=+A ．B ．πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．D ．πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5．1903年，火箭专家、航天之父康斯坦丁・齐奥尔科夫斯基就提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度满足公式：，其中v 1201lnm m v v m +=分别为火箭结构质量和推进剂的质量，是发动机的喷气速度.已知某单级火12,m m 0v 箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为，则火箭发动机的喷气8km /s 速度为（ ）（参考数据：，）ln20.7≈ln3 1.1,ln4 1.4≈≈A ．B ．C ．D ．10km /s 20km /s80km /s 340km /s6．若，，则的值为（ ）83cos 5αβ=63sin 5αβ=()cos αβ+A ．B ．C ．D ．7．如图，一个质点从原点O 出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为，向右的概率为，共移动4次，则该质点共两次到达1的位置的概2313率为（ ）A ．B ．C ．D ．42782729498．设为数列的前n 项和，若，且存在，，n S {}n a 121++=+n n a a n *N k ∈1210k k S S +==则的取值集合为（ ）1a A ．B ．{}20,21-{}20,20-C ．D ．{}29,11-{}20,19-二、多选题（本大题共3小题）9．如图，在正方体中，点，分别为，的中点，则下列说1111ABCD A B C D -E F 1AD DB 法正确的是（ ）A ．直线与为异面直线B ．直线与所成的角为EF 11D B 1D E1DC 60C ．D ．平面1D F AD⊥//EF 11CDD C 10．已知是圆上的动点，直线与P 22:4O x y +=1:cos sin 4l x y θθ+=交于点，则（ ）2:sin cos 1l x y θθ-=Q A ．B ．直线与圆相切12l l ⊥1l OC ．直线与圆截得弦长为D ．的值为2l O OQ11．已知三次函数有三个不同的零点，，，()32f x ax bx cx d=+++1x 2x ()3123x x x x <<函数也有三个零点，，，则（ ）()()1g x f x =-1t 2t()3123t t t t <<A ．23b ac>B ．若，，成等差数列，则1x 2x 3x 23b x a=-C ．1313x x t t +<+D ．222222123123x x x t t t ++=++三、填空题（本大题共3小题）12．已知随机变量服从二项分布，若，，则 .X (),B n p ()3E X =()2D X =n =13．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则a b 2a = 1= b b a 14a - 为 .a b+ 14．如图，已知四面体的体积为32，，分别为，的中点，，ABCD E F AB BC G 分别在，上，且，是靠近点的四等分点，则多面体的体积H CD AD G H D EFGHBD 为 .四、解答题（本大题共5小题）15．设的内角，，的对边分别为，，，已知.ABC A B C a b c sin cos 0a B A =(1)求；A(2)若，且的面积为的值.sin sin 2sin B C A +=ABC a 16．设，.()()221ln 2f x x ax x x=++a ∈R (1)若，求在处的切线方程；0a =()f x 1x =(2)若，试讨论的单调性.a ∈R ()f x 17．已知四棱锥，底面为菱形，为上的点，过的P ABCD -ABCD ,PD PB H =PC AH 平面分别交于点，且∥平面．,PB PD ,M N BD AMHN(1)证明：；MN PC ⊥(2)当为的中点，与平面所成的角为，求平面H PC ,PA PC PA ==ABCD 60︒与平面所成的锐二面角的余弦值．PAM AMN18．已知双曲线的左、右焦点为，，过的直线与双曲线交于，22:13y x Γ-=1F 2F 2F l ΓA 两点.B (1)若轴，求线段的长；AB x ⊥AB (2)若直线与双曲线的左、右两支相交，且直线交轴于点，直线交轴l 1AF y M 1BF y 于点.N （i ）若，求直线的方程；11F AB F MNS S = l （ii ）若，恒在以为直径的圆内部，求直线的斜率的取值范围.1F 2F MN l 19．已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，设集合{}n a *k ∈N ，设为集合中的元素个数，当时，规定.{}*k i B i a k=∈<N ∣kb kB k B =∅0k b =(1)若，求，，的值；2n a n =1b 2b 17b (2)若，设的前项和为，求；2n n a =n b n n S 12n S +(3)若数列是等差数列，求数列的通项公式.{}n b {}n a参考答案1．【答案】C【详解】由可得，1i 34i z +=-()()()()1i 34i 1i 17i 34i 34i 34i 25z +++-+===--+故选：C 2．【答案】B 【详解】因为数列的前项和，{}n a n 22n S n n =-所以.34552=a a a S S ++-()2252522215=-⨯--⨯=故选：B.3．【答案】D【详解】解：由，得，24y x =214x y =所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，y 124p =所以，，18p =1216p =所以焦点坐标为，1(0,16故选：D 4．【答案】A【详解】观察图象可得函数的最小正周期为，()sin y x ωϕ=+2ππ2π36T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以，故或，排除B ；2ππω=2ω=2ω=-观察图象可得当时，函数取最小值，π2π5π63212x +==当时，可得，，2ω=5π3π22π+122k ϕ⨯+=Z k ∈所以，，排除C ；2π2π+3k ϕ=Z k ∈当时，可得，，2ω=-5ππ22π122k ϕ-⨯+=-Z k ∈所以，，π2π+3k ϕ=Z k ∈取可得，，0k =π3ϕ=故函数的解析式可能为，A 正确；πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，D 错误5ππππcos 2cos 2sin 26233y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A.5．【答案】B 【详解】由题意，，122m m =122200122lnln 82m m m m v v v m m ++===得，故，03ln82v =0888203ln3ln 2 1.10.7ln 2v ==≈=--故选：B 6．【答案】C 【详解】因为，，83cos 5αβ=63sin 5αβ=所以，，25(3cos 4)62αβ=2(3sin)2536αβ=即所以，2259cos co 6s 1042cos ααββ++=，229sin sin +10sin2536ααββ-=两式相加得，9)104αβ+++=所以cos()αβ+=故选：C ．7．【答案】A【详解】共移动4次，该质点共两次到达1的位置的方式有和0101→→→，且两种方式第次移动向左向右均可以，0121→→→4所以该质点共两次到达1的位置的概率为.211124333332713⨯⨯+⨯⨯=故选：A.8．【答案】A 【详解】因为，121++=+n n a a n 所以，()()()()()()212342123+41=++++++37+41=212n n n n n S a a a a a a n nn --⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅-=+假设，解得或（舍去），()2=21=210n S n n +=10n 21=2n -由存在，，所以有或，*N k ∈1210kk S S +==19k =20k =由可得，，两式相减得：，121++=+n n a a n +1223n n a a n ++=+22n n a a +-=当时，有，即，20k =2021210S S ==210a =根据可知：数列奇数项是等差数列，公差为2，22n n a a +-=所以，解得，()211+11120a a =-⨯=120a =-当时，有，即，19k =1920210S S ==200a =根据可知：数列偶数项也是等差数列，公差为2，22n n a a +-=所以，解得，()202+10120a a =-⨯=218a =-由已知得，所以.123a a +=121a =故选：A.9．【答案】ABD【详解】如图所示，连接，，，AC 1CD EF 由于，分别为，的中点，即为的中点，E F 1AD DB F AC 所以，面，面，1//EF CD EF ⊄11CDD C 1CD ⊆11CDD C 所以平面，即D 正确；//EF 11CDD C 所以与共面，而，所以直线与为异面直线，即A 正确；EF 1CD 1B ∉1CD EF 11D B 连接，易得，1BC 11//D E BC 所以即为直线与所成的角或其补角，1DC B ∠1D E 1DC 由于为等边三角形，即，所以B 正确；1BDC 160DC B ∠=假设，由于，，所以面，1D F AD ⊥1AD DD ⊥1DF DD D = AD ⊥1D DF 而面显然不成立，故C 错误；AD ⊥1D DF 故选：ABD.10．【答案】ACD 【详解】选项A ：因，故，A 正确；()cos sin sin cos 0θθθθ+-=12l l ⊥选项B ：圆的圆心的坐标为，半径为，O O ()0,02r =圆心到的距离为，故直线与圆相离，故B 错误；O 1l 14d r==>1l O 选项C ：圆心到的距离为，O 1l21d ==故弦长为，故C正确；l ==选项D ：由得，cos sin 4sin cos 1x y x y θθθθ+=⎧⎨-=⎩4cos sin 4sin cos x y θθθθ=+⎧⎨=-⎩故，()4cos sin ,4sin cos Q θθθθ+-故，故D 正确OQ ==故选：ACD 11．【答案】ABD 【详解】因为，()32f x ax bx cx d=+++则，，对称中心为，()232f x ax bx c '=++0a ≠,33bb f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于A ，因为有三个不同零点，所以必有两个极值点，()f x ()f x 即有两个不同的实根，()2320f x ax bx c '=++=所以，即，故A 正确；2Δ4120b ac =->23b ac >对于B ，由成等差数列，及三次函数的中心对称性，123,,x x x 可知为的对称中心，所以，故B 正确；()()22,x f x ()f x 23b x a =-对于C ，函数，当时，，()()1g x f x =-()0g x =()1f x =则与的交点的横坐标即为，，，1y =()y f x =1t 2t 3t 当时，画出与的图象，0a >()f x 1y =由图可知，，，则，11x t <33x t <1313x x t t +<+当时，则，故C 错误；0a <1313x x t t +>+对D ，由题意，得，()()()()()()32123321231a x x x x x x ax bx cx d a x t x t x t ax bx cx d ⎧---=+++⎪⎨---=+++-⎪⎩整理，得，123123122331122331b x x x t t t ac x x x x x x t t t t t t a ⎧++=++=-⎪⎪⎨⎪++=++=⎪⎩得，()()()()2212312233112312233122x x x x x x x x x t t t t t t t t t ++-++=++-++即，故D 正确.222222123123x x x t t t ++=++故选：ABD.12．【答案】9【详解】由题意知随机变量服从二项分布，，，X (),B n p ()3E X =()2D X =则，即得，()3,12np np p =-=1,93p n ==故答案为：913．【答案】【详解】因为在上的投影向量为，b a14a -所以，又，14b a a a aa ⋅⋅=-2a =所以，又，1a b ⋅=-1= b 所以a b+==== 故答案为：14．【答案】11【详解】如图，连接，则多面体被分成三棱锥和四棱锥.,EG ED EFGHBD G EDH -E BFGD -因是上靠近点的四等分点，则，H AD D 14DHE AED S S =又是的中点，故，E AB 11114428DHE AED ABD ABD S S S S ==⨯= 因是上靠近点的四等分点，则点到平面的距离是点到平面的G CD D G ABD C ABD 距离的，14故三棱锥的体积；G EDH -1113218432G EDH C ABD V V --=⨯=⨯=又因点是的中点，则，故，F BC 133248CFG BCD BCD S S S =⨯= 58BFGD BCD S S =又由是的中点知，点到平面的距离是点到平面的距离的，E AB E BCD A BCD 12故四棱锥的体积，E BFGD -51532108216E BFGD A BCD V V --=⨯=⨯=故多面体的体积为EFGHBD 11011.G EDH E BFGD V V --+=+=故答案为：11.15．【答案】(1)π3A =(2)2a =【详解】（1）因为,即，sin cos 0a B A =sin cos a B A =由正弦定理得，sin sin cos A B B A ⋅=⋅因为，所以,则，sin 0B ≠sin A A =tan A =又，所以.()0,πA ∈π3A =（2）因为，由正弦定理得，sin sin 2sin B C A +=2b c a +=因为，所以，π3A =11sin 22ABC S bc A bc === 4bc =由余弦定理，得，2222cos a b c bc A =+-⋅224b c bc +-=所以，则，解得.()234b c bc +-=()22344a -⨯=2a =16．【答案】(1)4230--=x y (2)答案见解析【详解】（1）当时，，，因0a =()221ln 2f x x x x=+()2(ln 1)f x x x =+'，1(1),(1)22f f '==故在处的切线方程为，即；()f x 1x =12(1)2y x -=-4230--=x y （2）因函数的定义域为，()()221ln 2f x x ax x x=++(0,)+∞，()(2)ln 2(2)(ln 1)f x x a x x a x a x =+++=++'① 当时，若，则，故，即函数在2a e ≤-10e x <<ln 10,20x x a +<+<()0f x '>()f x 上单调递增；1(0,e 若，由可得.1e x >20x a +=2a x =-则当时，，，故，即函数在上单调1e 2a x <<-20x a +<ln 10x +>()0f x '<()f x 1(,e 2a-递减；当时，，故，即函数在上单调递增；2a x >-ln 10,20x x a +>+>()0f x '>()f x (,)2a-+∞② 当时，若，则，故，即函数在2e a >-1e x >ln 10,20x x a +>+>()0f x '>()f x 上单调递增；1(,)e +∞若，则，故，即函数在上单调递减；12e a x -<<ln 10,20x x a +<+>()0f x '<()f x 1(,)2e a -若，则，故，即函数在上单调递增，02a x <<-ln 10,20x x a +<+<()0f x '>()f x (0,2a-当时，恒成立，函数在上单调递增，2e a =-()0f x '≥()f x ()0,+∞综上，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在2e a <-()f x 1(0,)e 1(,)e 2a -上单调递增；(,)2a-+∞当时，函数在上单调递增；2e a =-()f x ()0,+∞当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上2e a >-()f x (0,2a -1(,2e a -1(,)e +∞单调递增.17．【答案】(1)证明见详解【详解】（1）设，则为的中点，连接，AC BD O = O ,AC BD PO 因为为菱形，则，ABCD AC BD ⊥又因为，且为的中点，则，PD PB =O BD PO BD ⊥，平面，所以平面，AC PO O = ,AC PO ⊂PAC BD ⊥PAC 且平面，则，PC ⊂PAC BD PC ⊥又因为∥平面，平面，平面平面，BD AMHN BD ⊂PBD AMHN PBD MN =可得∥，所以.BD MN MN PC ⊥（2）因为，且为的中点，则，PA PC =O AC PO AC ⊥且，，平面，所以平面，PO BD ⊥AC BD O = ,AC BD ⊂ABCD ⊥PO ABCD 可知与平面所成的角为，即为等边三角形，PA ABCD 60PAC ∠=︒PAC 设，则，且平面，平面，AH PO G = ,G AH G PO ∈∈AH ⊂AMHN PO ⊂PBD 可得平面，平面，∈G AMHN ∈G PBD 且平面平面，所以，即交于一点，AMHN PBD MN =G MN ∈,,AH PO MN G 因为为的中点，则为的重心，H PC G PAC 且∥，则，BD MN 23PM PN PG PB PD PO ===设，则，2AB=11,32PA PC OA OC AC OB OD OP ========如图，以分别为轴，建立空间直角坐标系，,,OA OB OP ,,x y z 则，)()22,0,0,3,0,,1,0,,133AP M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得，()24,1,0,,0,33AM NM AP ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面的法向量，则，AMN ()111,,x n y z =1111203403n AM y z n NM y ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩ 令，则，可得，11x=110,y z ==(n = 设平面的法向量，则，PAM ()222,,m x y z =2222220330m AM y z m AP z ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ 令，则，可得，2x =123,1y z ==)m = 可得，cos ,n m =所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值PAMAMN18．【答案】(1)线段的长为；AB 6(2)（i）直线的方程为；l 2x y =+（ii ）直线的斜率的取值范围为.l 33()(44- 【详解】（1）由双曲线的方程，可得，所以22:13y x Γ-=221,3a b ==，1,2a b c ====所以，，若轴，则直线的方程为，1(2,0)F -2(2,0)F AB x ⊥AB 2x =代入双曲线方程可得，所以线段的长为；(2,3),(2,3)A B -AB 6（2）（i）如图所示，若直线的斜率为0，此时为轴，为左右顶点，此时不构成三角形，矛l l x ,A B 1,,F A B 盾，所以直线的斜率不为0，设，，l :2l x ty =+1122()A x y B x y ,,(,)联立，消去得，应满足，22132y x x ty ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩x 22(31)1290t y ty -++=t 222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩由根与系数关系可得，121222129,3131t y y y y t t +=-=--直线的方程为，令，得，点，1AF 110(2)2y y x x -=++0x =1122y y x =+112(0,)2y M x +直线的方程为，令，得，点，1BF 220(2)2y y x x -=++0x =2222y y x =+222(0,)2y N x +，121122221111|||||2||2|F F F B A A F B F S y F S S F y y y -=⨯-==- 111212221||||||222F M N M F MN N S y y x y y y y x x =-=-=-++ ，12122112212121212222(4)2(4)8()||||||44(4)(4)4()16y y y ty y ty y y ty ty ty ty t y y t y y +-+-=-==+++++++由，可得，11F AB F MN S S = 1212212128()||2||4()16y y y y t y y t y y -=-+++所以，所以，21212|4()16|4t y y t y y +++=222912|4()16|43131tt t t t ⨯+-+=--解得，，解得，22229484816||431t t t t -+-=-22916||431t t -=-22021t =经检验，满足，所以222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩t =所以直线的方程为；l 2x y =+（ii ）由，恒在以为直径的圆内部，可得，1F 2F MN 2190F MF >︒∠所以，又，110F F N M < 112211,22(2,)(2,22F y y N x x M F =+=+所以，所以，1212224022y y x x +⨯<++121210(2)(2)y y x x +<++所以，所以，1221212104()16y y t y y t y y +<+++2222931109124()163131t t t t t t -+<⨯+-+--所以，解得，解得或，22970916t t -<-271699t <<43t <<43t -<<经检验，满足，222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩所以直线的斜率的取值范围为.l 33()(44- 19．【答案】(1)12170,1,4b b b ===(2)1(1)22n n +-⨯+(3)n a n=【详解】（1）因为，则，2n a n =123451,4,9,16,25a a a a a =====所以，，{}*11i B i a =∈<=∅N ∣{}*22{1}i B i a =∈<=N ∣，{}*1717{1,2,3,4}i B i a =∈<=N ∣故.12170,1,4b b b ===（2）因为，所以，2nn a =123452,4,8,16,32a a a a a =====则，所以，，**12{|1},{|2}i i B i a B i a =∈<=∅=∈<=∅N N 10b =20b =当时，则满足的元素个数为，122i i k +<≤ia k <i 故，121222i i i b b b i+++==== 所以()()()1112345672122822n n n n S b b b b b b b b b b b ++++=++++++++++++ ，1212222n n =⨯+⨯++⨯ 注意到，12(1)2(2)2n n nn n n +⨯=-⨯--⨯所以121321202(1)21202(1)2(2)2n n nS n n ++=⨯--⨯+⨯-⨯++-⨯--⨯ .1(1)22n n +=-⨯+（3）由题可知，所以，所以，11a ≥1B =∅10b =若，则，，12a m =≥2B =∅1{1}m B +=所以，，与是等差数列矛盾，20b =11m b +={}n b 所以，设，11a =()*1n n n d a a n +=-∈N 因为是各项均为正整数的递增数列，所以，{}n a *n d ∈N 假设存在使得，设，由得，*k ∈N 2k d ≥k a t =12k k a a +-≥12k a t ++≥由得，，与是等差数列矛盾，112k k a t t t a +=<+<+≤t b k <21t t b b k ++=={}n b 所以对任意都有，*n ∈N 1nd =所以数列是等差数列，.{}n a 1(1)n a n n =+-=。
2024-2025学年上海同一附中高三上学期数学月考试卷及答案(2024.10)
1同一附中2024学年第一学期高三年级数学月考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．集合{}1,3,M t =，{}21P t t =−+，若MP M =，则t =________．2．关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为空集的充要条件为________． 3．集合{}|3,x S y y x R ==∈，{}2|1,T y y x x R ==−∈，则ST =________．4．周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是________． 5．若函数1,0()1(),03x x x f x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩则不等式1()3f x ≥的解集为________． 6．对于实数x ，y ，“221x y +<”是“1x <且1y <”的________条件．7．()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()22x f x x =+，则0x <时，()f x =________． 8．设(72)n x −的展开式中，各项系数之和为625，则展开式中各项系数的绝对值之和 是________．9．已知等比数列{}n a 满足22a =，31a =，则()12231lim n n n a a a a a a +→+∞+++=________．10．对于定义在集合D 上的函数()f x ，若存在实数0x 满足00()f x x =，则把0x 叫做()f x 的一个不动点，已知()224f x x mx =++，[]1,2D =没有不动点，则实数m 的取值范围 是________．11．当1,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，不等式log 1a x <恒成立，则实数a 的取值范围为________．12．记()22ln 2f x x x kx k =+−+，若存在实数a 、b ，满足122a b ≤<≤，使得函数()y f x =在区间[],a b 上是严格增函数，则实数k 的取值范围是________．2二、选择题（本大题满分445518+++=分）13．某班有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布()2120,N σ，已知(140)0.2P X >=，则[]100,140X ∈的学生人数为（ ） A ．5B ．10C ．20D ．3014．若偶函数()f x 在区间[)0,+∞上严格增加，则1(21)3f x f ⎛⎫−< ⎪⎝⎭的x 取值范围是（ ）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,323⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭15．若函数()()20.5log 3f x x ax a =−+在[)2,+∞上是严格减函数，则实数a 的取值范围（ ） A ．(),4−∞B ．(]4,4−C ．()[),42,−∞−+∞ D ．[]4,2−16．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列结论正确的个数是（ ） （1）2112()()x f x x f x <； （2）()()1122x f x x f x +<+ （3）()()12120f x f x x x −<−； （4）当ln 1x >−时，112221()()2()x f x x f x x f x +>A ．1B ．2C ．3D ．4三、解答题（本大题满分78分）17．（本题8614+=分）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E ，F 分别为线段1DD ，BD 的中点．（1）求点D 到平面AEF 的距离； （2）求异面直线EF 与BC 所成的角．18．（本题6814+=分）已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，22sin)()sin A C a b B−=−，外接圆半径R=．（1）求C∠的度数；（2）求△ABC面积S的最大值．19．（本题26614++=分）疫情期间居家学习，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间（单位：h）的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人．（1）求频率分布直方图中实数a，b的值；（2）每天学习时间在[)6.0,6.5的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电话访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；（3）依据所抽取的样本，从每天学习时间在[)6.0,6.5和[)7.0,7.5的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在[)6.0,6.5的人数X的分布和数学期望．320．（本题46818++=分）若椭圆22:143x yΓ+=的右焦点为F，过F的直线l交Γ于A，B两点．（1）若直线l垂直于x轴，求线段AB的长；（2）若直线l与x轴不重合，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值；（3）若椭圆Γ上存在点C使得AC BC=，且△ABC的重心G在y轴上，求此时直线l的方程．4521．（本题46818++=分）设()y f x =、()y g x =是定义域为R 的函数，当12()()g x g x ≠时，记121212()()(,)()()f x f x x xg x g x −δ=−．（1）已知()y g x =在区间I 上严格增，且对任意1x ，2x I ∈，12x x ≠，有12(,)0x x δ>，证明：函数()y f x =在区间I 上严格增； （2）已知()32133g x x ax x =+−，且对任意1x ，2x R ∈，当12()()g x g x ≠时，有12(,)0x x δ>，若当1x =时，函数()y f x =取得极值，求实数a 的值； （3）已知()sin g x x =，12πf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1πf2⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，且对任意1x ，2x R ∈，当12()()g x g x ≠时，有12(,)1x x δ≤，证明：()sin f x x =．6参考答案一、填空题1.1,0,2−;2.20,40a b ac >−≤;3.(]0,1;4.2;5.[]3,1−;6.充分不必要;7.22x x −+;8.6561;9.323; 10.()3,2,2⎛⎫−∞−⋃−+∞ ⎪⎝⎭； 11.[)10,3,3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦ 12.9{|}4k k <12．记()22ln 2f x x x kx k =+−+，若存在实数a 、b ，满足122a b ≤<≤，使得函数()y f x =在区间[],a b 上是严格增函数，则实数k 的取值范围是________． 【答案】9{|}4k k <【解析】()222f x lnx x kx k =+−+在区间[]a,b 上是严格增函数, ()1'220f x x k x ∴=+−…在[]a,b 上恒成立,可得1122k x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭…成立,又()1122g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在02⎛⎝⎭上递减,在(2,⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增, 122a b ≤<≤,()139,2224g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭,故94k <.故答案为:9{|}4k k <.二、选择题13.D 14.A 15. 16.B16．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列结论正确的个数是（ ） （1）2112()()x f x x f x <； （2）()()1122x f x x f x +<+ （3）()()12120f x f x x x −<−； （4）当ln 1x >−时，112221()()2()x f x x f x x f x +>A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B7【解析】（1）正确;因为令()()f x g x lnx x==, 在()0,+∞上是增函数,∴当120x x <<时,()()12g x g x <,()()1212f x f x x x ∴<即()()2112x f x x f x <.（2）错误；因为令()()g x f x x xlnx x =+=+()'2,g x lnx ∴=+()2x e ,−∴∈+∞时,()()'0,g x g x >单调递增,()20x ,e −∈时,()()'0,g x g x <单调递减.()11x f x ∴+与()22x f x +无法比较大小.（3）错误；因为令()()g x f x x xlnx x =−=−,()'g x lnx =()01x ,∴∈时,()()'0,g x g x <在()01,单调递减,()1x ,∈+∞时,()()'0,g x g x >在()1,+∞单调递增,()()()()1212112201,,,x x g x g x f x x f x x ∴<<−><∴−>当时()()()()12121212,0f x f x f x f x x x x x −∴−>−∴<−当121x x <<时,()()12g x g x <()()()()()()121122121212,,0.f x f x f x x f x x f x f x x x x x −∴−<−∴−<−∴>−（4）正确;因为1lnx >−时,()f x 单调递增, 又（1）正确,()()()()()()()1122211122212x f x x f x x f x x f x f x x f x f x ⎡⎤⎡⎤∴⋅+⋅−>−+−⎣⎦⎣⎦()()()12120x x f x f x ⎡⎤=−−>⎣⎦,故选B.三．解答题17.（1） （2）18.（1）3π（219.（1）0.26,0.38a b == （2）23（3）()34E X =820．（本题46818++=分）若椭圆22:143x y Γ+=的右焦点为F ，过F 的直线l 交Γ于A ，B 两点．（1）若直线l 垂直于x 轴，求线段AB 的长；（2）若直线l 与x 轴不重合，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值； （3）若椭圆Γ上存在点C 使得AC BC =，且△ABC 的重心G 在y 轴上，求此时直线l 的方程． 【答案】（1）3AB =（2）32（3） 直线;1l x =或0y =或1x y =+. 【解析】(1)()10F ,,令1x =, 则21143y +=,3,32y AB ∴=±∴=(2) 设直线()()11:10,l x my m A x ,y =+≠,()22B x ,y 联立得221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩, 则()2234690,m y my ++−=则()212261441,,34mm y y m −∆=++=+12122293434y y y y m m −⋅=∴−=++121122AOBS OF y y ∆∴=⋅−=令,1t t …, 则2661313AOB tS t t t ∆==++,13y t t=+在[)1,+∞上为增函数,926663142313AOB tS t t t∆∴===++…, 当且仅当1t =, 即0m =时取等号, AOB ∴∆面积的最大值为32. (3)当直线l 不与x 轴重合时,设直线()()(112:10,,l x my m A x ,y B x =+≠,)2,y AB 的中点为M ,联立得221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩, 则()2234690m y my ++−= ()212261441,34mm y y m −∆=++=+122934y y m −⋅=+ ABC ∆的重心G 在y 轴上,120C x x x ∴++=()()12122C x x x m y y ∴=−+=−+−=28,34m −+()12122242234M m y y x x x m +++===+1223234M y y my m +−==+,AC BC CM AB=∴⊥∴直线():M M CM y y m x x −=−−,()2934C M C M my y m x x m ∴=−−=+22893434m C ,m m −⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭, 代入椭圆得,()22310m m −=,0m∴=或m =, ∴直线:1lx =或1x y =+, 当直线 与x 轴重合时,C 点在椭圆的上,下顶点,满足题意，此时:0l y =， 综上, 直线;1l x =或0y =或1x y =+. 21．（本题46818++=分）设()y f x =、()y g x =是定义域为R 的函数，当12()()g x g x ≠时，记121212()()(,)()()f x f x x xg x g x −δ=−．（1）已知()y g x =在区间I 上严格增，且对任意1x ，2x I ∈，12x x ≠，有12(,)0x x δ>，证明：函数()y f x =在区间I 上严格增；10（2）已知()32133g x x ax x =+−，且对任意1x ，2x R ∈，当12()()g x g x ≠时，有12(,)0x x δ>，若当1x =时，函数()y f x =取得极值，求实数a 的值； （3）已知()sin g x x =，12πf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1πf2⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，且对任意1x ，2x R ∈，当12()()g x g x ≠时，有12(,)1x x δ≤，证明：()sin f x x =．【答案】（1）见解析 （2）1a =（3）见解析【解析】(1) 证明: 不妨设12x x <,因为()y g x =在I 上严格增,所以对任意1212,,x x I x x ∈<, 有()()120g x g x −<, 又()()()()()121212,0,f x f x x x g x g x −δ=>−所以()()120f x f x −<,所以()y f x =在区间I 上严格增.（2）由（1）可知：当()y g x =在区间I 上严格增时,()y f x =在I 上严格增, 当()y g x =在区间I 上严格减时,()y f x =在I 上严格减,又当1x =时,()y f x =取得极值,所以当1x =时,()y g x =也取得极值,()()2'23,'1220g x x ax g a =+−=−=, 可得1a =,当1a =时,()()()'31g x x x =+−, 所以在()3,−∞−上,()()'0,g x g x >单调递增,在()31,−上,()()'0,g x g x <单调递减, 在()1,+∞上,()()'0,g x g x >单调递增,所以()g x 在1x =处取得极值,所以1a =. (3)证明: 当()2x k k Z π≠+π∈时, 由条件知()1121f x x,sinx +π⎛⎫δ−=≤ ⎪+⎝⎭ 所以()()1,121f x f x sinx ,x sinx −π⎛⎫δ=≤ ⎪−⎝⎭…,所以()f x sinx …,所以()f x sinx =, 当()202x k k Z ,k π=+π∈≠时, 对任意22t ,ππ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭, 有()()11f x sint x,t sint −δ=≤− 所以()211sint f x −剟,又因为21sint −的值域为()31,−,所以()1f x =,11 当()202x k k Z ,k π=−+π∈≠时, 对任意22t ,ππ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭, 有()()11f x sint x,t sint −δ=≤−−, 所以()112f x sint −+剟,又因为12sint +值域为()13,,所以()1f x =−, 综上可知, 对任意(),x R f x sinx ∈=.。
2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试题[含答案]
2024~2025学年高三第一次联考（月考）试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（）{}4,3,2,0,2,3,4A =---{}2290B x x =-≤A B ⋂A.7B.8C.31D.322.已知，，则“，”是“”的（ ）0x >0y >4x ≥6y ≥24xy ≥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆､绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为()mg /L N t （为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消0e kt N N -=0N 00N >20%除至最初的还需要（ ）64%A.3.8小时 B.4小时C.4.4小时D.5小时4.若函数的值域为，则的取值范围是（）()()2ln 22f x x mx m =-++R m A.B.()1,2-[]1,2-C.D.()(),12,-∞-⋃+∞(][),12,-∞-⋃+∞5.已知点在幂函数的图象上，设，(),27m ()()2n f x m x =-(4log a f =，，则，，的大小关系为（ ）()ln 3b f =123c f -⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c A.B.c a b <<b a c<<C. D.a c b <<a b c<<6.已知函数若关于的不等式的解集为，则的()()2e ,0,44,0,x ax xf x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩x ()0f x ≥[)4,-+∞a 取值范围为（ ）A.B. C. D.(2,e ⎤-∞⎦(],e -∞20,e ⎡⎤⎣⎦[]0,e 7.已知函数，的零点分别为，，则（ ）()41log 4xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()141log 4xg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b A. B.01ab <<1ab =C.D.12ab <<2ab ≥8.已知，，，且，则的最小值为（ ）0a >0b >0c >30a b c +-≥6b a a b c ++A. B. C. D.29495989二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（ ）A.函数是相同的函数()f x =()g x =B.函数6()f x =C.若函数在定义域上为奇函数，则()313xx k f x k -=+⋅1k =D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()21f x +[]1,1-()f x []1,3-10.若，且，则下列说法正确的是（）0a b <<0a b +>A. B.1a b >-110a b+>C. D.22a b <()()110a b --<11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）()()3233f x x x a x b=-+--A.若在上单调递增，则的取值范围是()f x ()0,+∞a (),0-∞B.点为曲线的对称中心()()1,1f ()y f x =C.若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是()2,m ()()3y f x a x b =+-+m ()5,4--D.若存在极值点，且，其中，则()f x 0x ()()01f x f x =01x x ≠1023x x +=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.22lg 2lg3381527log 5log 210--+⋅+=13.已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式[]y x =x []3.43=[]1.62-=-的解集为__________；当时，的最大值为__________.[][]06x x <-0x >[][]29x x +14.设函数，若，则的最小值为__________.()()()ln ln f x x a x b =++()0f x ≥ab 四､解答题：本题共5小题､共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知全集，集合，.U =R {}231030A x x x =-+≤{}220B x xa =+<（1）若，求和；8a =-A B ⋂A B ⋃（2）若，求的取值范围.()UA B B ⋂= a 16.（本小题满分15分）已知关于的不等式的解集为.x 2280ax x --<{}2x x b-<<（1）求，的值；a b （2）若，，且，求的最小值.0x >2y >-42a bx y +=+2x y +17.（本小题满分15分）已知函数.()()()211e 2x f x x ax a =--∈R （1）讨论的单调性；()f x （2）若对任意的恒成立，求的取值范围.()e x f x x ≥-[)0,x ∈+∞a 18.（本小题满分17分）已知函数是定义在上的奇函数.()22x xf x a -=⋅-R（1）求的值，并证明：在上单调递增；a ()f x R （2）求不等式的解集；()()23540f x x f x -+->（3）若在区间上的最小值为，求的值.()()442x x g x mf x -=+-[)1,-+∞2-m 19.（本小题满分17分）已知函数.()()214ln 32f x x a x x a =---∈R （1）若，求的图像在处的切线方程；1a =()f x 1x =（2）若恰有两个极值点，.()f x 1x ()212x x x <（i ）求的取值范围；a （ii ）证明：.()()124ln f x f x a+<-数学一参考答案､提示及评分细则1.A 由题意知，又，所以{}2290B x x ⎡=-=⎢⎣∣ {}4,3,2,0,2,3,4A =---，所以的元素个数为3，真子集的个数为.故选.{}2,0,2A B ⋂=-A B ⋂3217-=A 2.A 若，则，所以“”是“”的充分条件；若，满足4,6x y 24xy 4,6x y 24xy 1,25x y ==，但是，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是24xy 4x <4,6x y 24xy 4,6x y “”的充分不必要条件.故选A.24xy 3.B 由题意可得，解得，令，可得4004e 5N N -=44e 5k -=20004e 0.645t N N N -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得，所以污染物消除至最初的还需要4小时.故选B.()248e e ek kk---==8t =64%4.D 依题意，函数的值域为，所以，解得()()2ln 22f x x mx m =-++R ()2Δ(2)420m m =--+ 或，即的取值范围是.故选D.2m 1m - m ][(),12,∞∞--⋃+5.C 因为是軍函数，所以，解得，又点在函数的图()()2nf x m x =-21m -=3m =()3,27()n f x x =象上，所以，解得，所以，易得函数在上单调递增，又273n=3n =()3f x x =()f x (),∞∞-+，所以.故选C.1241ln3lne 133log 2log 2->==>=>=>a c b <<6.D 由题意知，当时，；当时，；当时，(),4x ∞∈--()0f x <[]4,0x ∈-()0f x ()0,x ∞∈+.当时，，结合图象知；当时，，当()0f x 0x ()()()4f x x x a =-+-0a 0x >()e 0x f x ax =- 时，显然成立；当时，，令，所以，令，解0a =0a >1e x x a (),0e x x g x x =>()1e xxg x -='()0g x '>得，令0，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以01x <<()g x '<1x >()g x ()0,1()1,∞+，所以，解得综上，的取值范围为.故选D.()max 1()1e g x g ==11e a0e a < a []0,e 7.A 依题意得，即两式相减得4141log ,41log ,4a b a b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩441log ,41log ,4a ba b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩.在同一直角坐标系中作出的图()44411log log log 44a ba b ab ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4141log ,log ,4xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭象，如图所示：由图象可知，所以，即，所以.故选A.a b >1144ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4log 0ab <01ab <<8.C 因为，所以，所以30a b c +- 30a b c +> 11911121519966399939911b a b a b b b b a b c a b a b a a a a ⎛⎫++=+=++--=-= ⎪+++⎝⎭++ ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选C.1911991b b a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+29b a =6b aa b c ++599.AD 由解得，所以，由，解得10,10x x +⎧⎨-⎩ 11x - ()f x =[]1,1-210x -，所以的定义域为，又，故函数11x - ()g x =[]1,1-()()f x g x ===与是相同的函数，故A 正确；，()f x ()g x ()6f x ==当且仅当方程无解，等号不成立，故B 错误；函数=2169x +=在定义域上为奇函数，则，即，即()313x x k f x k -=+⋅()()f x f x -=-331313x xx x k k k k ----=-+⋅+⋅，即，整理得，即，()()33313313x x xxxxk k k k ----=-+⋅+⋅313313x x x x k kk k ⋅--=++⋅22919x x k k ⋅-=-()()21910x k -+=所以，解得.当时，，该函数定义域为，满足，210k -=1k =±1k =()1313xx f x -=+R ()()f x f x -=-符合题意；当时，，由可得，此时函数定义域为1k =-()13311331x x xxf x --+==--310x -≠0x ≠，满足，符合题意.综上，，故C 错误；由，得{}0x x ≠∣()()f x f x -=-1k =±[]1,1x ∈-，所以的定义域为，故D 正确.故选AD.[]211,3x +∈-()f x []1,3-10.AC 因为，且，所以，所以，即，故A 正确；0a b <<0a b +>0b a >->01a b <-<10ab -<<因为，所以，故В错误；因为，所以，0,0b a a b >->+>110a ba b ab ++=<0a b <<,a a b b =-=由可得，所以，故C 正确；因为当，此时，故0a b +>b a >22a b <11,32a b =-=()()110a b -->D 错误.故选AC.11.BCD 若在上单调递增，则在上佰成立，所以()f x ()0,∞+()23630f x x x a '=-+- ()0,x ∞∈+，解得，即的取值范围是，故A 错误；因为()min ()13630f x f a '==--'+ 0a a (],0∞-，所以，又()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+()11f a b =--+，所以点()()()332(21)21(1)1222f x f x x a x b x ax b a b -+=-----++---+=--+为曲线的对称中心，故B 正确；由题意知，所以()()1,1f ()y f x =()()3233y f x a x b xx =+-+=-，设切点为，所以切线的斜率，所以切线的方程为236y x x =-'()32000,3x x x -20036k x x =-，所以，整理得()()()3220000336y x x x x x x --=--()()()322000003362m xx x x x --=--.记，所以3200029120x x x m -++=()322912h x x x x m =-++()26h x x '=-，令，解得或，当时，取得极大值，当时，1812x +()0h x '=1x =2x =1x =()h x ()15h m =+2x =取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以()h x ()24h m=+()2,m ()()3y f x a x b =+-+解得，即的取值范围是，故C 正确；由题意知()()150,240,h m h m ⎧=+>⎪⎨=+<⎪⎩54m -<<-m ()5,4--，当在上单调递增，不符合题意；当，()223633(1)f x x x a x a =-+-=--'()0,a f x (),∞∞-+0a >令，解得，令，解得在()0f x '>1x <-1x >+()0f x '<11x -<<+()f x 上单调递增，在上单调递堿，在上单调递增，因为,1∞⎛- ⎝1⎛+ ⎝1∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭存在极值点，所以.由，得，令，所以，()f x 0x 0a >()00f x '=()2031x a-=102x x t+=102x t x =-又，所以，又，()()01f x f x =()()002f x f t x =-()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+所以，又，所以()()()330000112121x ax b t x a t x b ---+=-----+()2031x a-=，化简得()()()()()()()322320000000013112121312x x x b x x b t x x t x b----=----=------，又，所以，故D 正确.故选BCD.()()20330t x t --=010,30x x x t ≠-≠103,23t x x =+=12. 由题意知10932232862log 184163381255127log 5log 210log 5log 121027---⎛⎫+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭62511411410log 5log 2109339339=-⋅+=-+=13.（2分）（3分） 因为，所以，解得，又函数[)1,616[][]06x x <-[][]()60x x -<[]06x <<称为高斯函数，表示不超过的最大整数，所以，即不等式的解集为.当[]y x =x 16x < [][]06x x <-[)1,6时，，此时；当时，，此时01x <<[]0x =[]2[]9x x =+1x []1x ，当且仅当3时等号成立.综上可得，当时，的[][][]2119[]96x x x x ==++[]x =0x >[]2[]9x x +最大值为.1614. 由题意可知：的定义域为，令，解得令，解21e -()f x (),b ∞-+ln 0x a +=ln ;x a =-()ln 0x b +=得.若，当时，可知，此时，不合题1x b =-ln a b -- (),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <意；若，当时，可知，此时，不合ln 1b a b -<-<-()ln ,1x a b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <题意；若，当时，可知，此时；当ln 1a b -=-(),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+<()0f x >时，可知，此时，可知若，符合题意；若[)1,x b ∞∈-+()ln 0,ln 0x a x b ++ ()0f x ln 1a b -=-，当时，可知，此时，不合题意.综上所ln 1a b ->-()1,ln x b a ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+>()0f x <述：，即.所以，令，所以ln 1a b -=-ln 1b a =+()ln 1ab a a =+()()ln 1h x x x =+，令，然得，令，解得，所以在()ln 11ln 2h x x x '=++=+()0h x '<210e x <<()0h x '>21e x >()h x 上单调递堿，在上单调递增，所以，所以的最小值为.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭min 2211()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ab 21e -15.解：（1）由题意知，{}2131030,33A x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦∣ 若，则，8a =-{}()22802,2B x x =-<=-∣所以.(]1,2,2,33A B A B ⎡⎫⋂=⋃=-⎪⎢⎣⎭（2）因为，所以，()UA B B ⋂= ()UB A ⊆ 当时，此时，符合题意；B =∅0a 当时，此时，所以，B ≠∅0a <{}220Bx x a ⎛=+<= ⎝∣又，U A ()1,3,3∞∞⎛⎫=-⋃+ ⎪⎝⎭13解得.209a -< 综上，的取值范围是.a 2,9∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭16.解：（1）因为关于的不等式的解集为，x 2280ax x --<{2}xx b -<<∣所以和是关于的方程的两个实数根，且，所以2-b x 2280ax x --=0a >22,82,b a b a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得.1,4a b ==（2）由（1）知，所以1442x y +=+()()()221141422242241844242y xx y x y x y x y y x ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤+=++-=+++-=+++-⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦，179444⎡⎢+-=⎢⎣ 当且仅当，即时等号成立，所以.()2242y x y x +=+x y ==2x y +74-17.解：（1）由题意知，()()e e x x f x x ax x a=-=-'若，令.解得，令，解得，所以在上单调递琙，在0a ()0f x '<0x <()0f x '>0x >()f x (),0∞-上单调递增.()0,∞+若，当，即时，，所以在上单调递增；0a >ln 0a =1a =()0f x ' ()f x (),∞∞-+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a >1a >()0f x '>0x <ln x a >()0f x '<0ln x a <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a <01a <<()0f x '>ln x a <0x >()0f x '<ln 0a x <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()f x (),ln a ∞-()ln ,0a ()0,∞+综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在0a ()f x (),0∞-()0,∞+01a <<()f x 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，在上(,ln )a ∞-()ln ,0a ()0,∞+1a =()f x (),∞∞-+单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.1a >()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+（2）若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，()e xf x x - [)0,x ∞∈+21e 02xx ax x -- [)0,x ∞∈+即对任意的恒成立.1e 102x ax -- [)0,x ∞∈+令，所以，所以在上单调递增，当()1e 12x g x ax =--()1e 2x g x a=-'()g x '[)0,∞+，即时，，所以在上单调递增，所以()10102g a =-' 2a ()()00g x g '' ()g x [)0,∞+，符合题意；()()00g x g = 当，即时，令，解得，令，解得，所()10102g a =-<'2a >()0g x '>ln 2a x >()0g x '<0ln 2a x < 以在上单调递减，()g x 0,ln 2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以当时，，不符合题意.0,ln 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()00g x g <=综上，的取值范围是.a (],2∞-18.（1）证明：因为是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()010f a =-=解得，所以，1a =()22x xf x -=-此时，满足题意，所以.()()22x x f x f x --=-=-1a =任取，所以12x x <，()()()()211122121211122222122222222122x x x x x x x x x x x x f x f x x x --⎛⎫--=---=--=-+ ⎪++⎝⎭又，所以，即，又，12x x <1222x x <12220x x -<121102x x ++>所以，即，所以在上单调递增.()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x R （2）解：因为，所以，()()23540f x x f x -+->()()2354f x x f x ->--又是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()()2354f x x f x ->-+又在上单调递增，所以，()f x R 2354x x x ->-+解得或，即不等式的解集为.2x >23x <-()()23540f x x f x -+->()2,2,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭（3）解：由题意知，令，()()()44244222xxxxxxg x mf x m ---=+-=+--322,,2x x t t ∞-⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭所以，所以.()2222442x xxxt --=-=+-()2322,,2y g x t mt t ∞⎡⎫==-+∈-+⎪⎢⎣⎭当时，在上单调递增，所以32m -222y t mt =-+3,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，解得，符合题意；2min317()323224g x m m ⎛⎫=-++=+=- ⎪⎝⎭2512m =-当时，在上单调递减，在上单调递增，32m >-222y t mt =-+3,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),m ∞+所以，解得或（舍）.222min ()2222g x m m m =-+=-=-2m =2m =-综上，的值为或2.m 2512-19.（1）解：若，则，所以，1a =()214ln 32f x x x x =---()14f x x x =--'所以，又，()14112f =--='()1114322f =--=所以的图象在处的切线方程为，即.()f x 1x =()1212y x -=-4230x y --=（2）（i ）解：由题意知，()22444a x a x x x af x x x x x '---+=--==-又函数恰有两个极值点，所以在上有两个不等实根，()f x ()1212,x x x x <240x x a -+=()0,∞+令，所以()24h x x x a =-+()()00,240,h a h a ⎧=>⎪⎨=-<⎪⎩解得，即的取值范围是.04a <<a ()0,4（ii ）证明：由（i ）知，，且，12124,x x x x a +==04a <<所以()()2212111222114ln 34ln 322f x f x x a x x x a x x ⎛⎫⎛⎫+=---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2212121214ln ln 62x x a x x x x =+-+-+-，()()()21212121214ln 262x x a x x x x x x ⎡⎤=+--+--⎣⎦()116ln 1626ln 22a a a a a a =----=-+要证，即证，只需证.()()124ln f x f x a+<-ln 24ln a a a a -+<-()1ln 20a a a -+-<令，所以，()()()1ln 2,0,4m a a a a a =-+-∈()11ln 1ln a m a a a a a -=-++=-'令，所以，所以即在上单调递减，()()h a m a ='()2110h a a a =--<'()h a ()m a '()0,4又，所以，使得，即，()()1110,2ln202m m '-'=>=<()01,2a ∃∈()00m a '=001ln a a =所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在()00,a a ∈()0m a '>()0,4a a ∈()0m a '<()m a ()00,a 上单调递减，所以.()0,4a ()()()max 00000000011()1ln 2123m a m a a a a a a a a a ==-+-=-+-=+-令，所以，所以在上单调递增，所以()()13,1,2u x x x x =+-∈()2110u x x =->'()u x ()1,2，所以，即，得证.()000111323022u a a a =+-<+-=-<()0m a <()()124ln f x f x a +<-。
2025届六安市一中高三数学上学期第三次月考试卷及答案解析
六安一中2025届高三年级第三次月考数学试卷时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数()i 12i z =-+，其中i 是虚数单位，则z =（ ）A. 1B. 2C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据复数的乘法运算可得2i z =-，进而可求模长.【详解】因为()i 12i 2i z =-+=-，所以z ==.故选：D.2. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为 n S ，若38304S a ==,，则9S =（ ）A. 54 B. 63C. 72 D. 135【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出2a ，再求出9S .【详解】等差数列{}n a 中，由330S =，得2123330a a a a =++=，解得210a =，而84a =，所以192899()9()6322a a a a S ++===.故选：B3. 已知平面向量,a b 满足4a = ，(1,b = ，且()()23a b a b +⊥- ．则向量a 与向量b的夹角是（ ）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】C 【解析】【分析】根据垂直得出向量的数量积，再由夹角公式计算即可.【详解】因为(1,b =，所以3b == ，由()()23a b a b +⊥- 可得()()2223325481850a b a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-+⋅=，所以6a b ⋅=-，所以61cos ,432a b a b a b ⋅-===-⨯⋅，由[],0,πa b ∈ 知2π,3a b =，故选：C4. 在等比数列{}n a 中，已知13a =，48n a =，93n S =，则n 的值为（ ）A. 4 B. 5C. 6D. 7【答案】B 【解析】【分析】由1(1)1-=-n n a q S q及通项公式11n n a a q -=，列出方程组求解即可.【详解】在等比数列{a n }中，13a =，48n a =，93n S =，所以1q ≠，由1(1)1-=-n n a q S q ，及通项公式11n n a a q -=，可得13(1)931483n n q q q -⎧-=⎪-⎨⎪=⎩，解得2,5q n ==.故选：B.5. 已知数列{}n a 满足1211n n a a n +-=-，且110a =，则n a 的最小值是（ ）A. -15 B. -14C. -11D. -6【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件得出最小项为6a ，利用迭代的思想即可求得6a .【详解】∵1211n n a a n +-=-，∴当5n ≤时，10n n a a +-<，当5n >时，10n n a a +->，∴12345678a a a a a a a a >>>>><<<⋅⋅⋅，显然n a 的最小值是6a .又1211n n a a n +-=-，∴()()()()()612132435465a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+-+-()()()()()109753115=+-+-+-+-+-=-，即n a 的最小值是15-.故选：A6. 已知ABC V 是边长为1的正三角形，1,3AN NC P = 是BN 上一点且29AP mAB AC =+，则AP AB ⋅=（ ）A.29B.19C.23D. 1【答案】A 【解析】【分析】根据题意得89AP mAB AN =+，由,,P B N 三点共线求得19m =，利用向量数量积运算求解.【详解】13AN NC =，14AN AC ∴=u u u r u u u r ，且2899AP mAB AC mAB AN =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，而,,P B N 三点共线，819m ∴+=，即19m =，1299AP AB AC ∴=+u u u r u u u r u u u r ，所以o12122cos 6099999AP AB AB AC AB ⎛⎫⋅=+⋅=+⨯= ⎪⎝⎭.故选：A.7. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1024n n S a +=，则数列{}n a 的前n 项积的最大值为（ ）A. 552 B. 452 C. 92 D. 102【答案】B 【解析】【分析】根据给定的递推公式求出1a ，进而求出数列{}n a 通项，借助单调性求解即得.【详解】依题意，N n *∈，1024n n S a +=，则1512a =，当2n ≥时，111024n n S a --+=，两式相减得12n n a a -=，即112n n a a -=，因此数列{}n a 是以512为首项，12为公比的等比数列，于是1101512()22n n n a --=⨯=，显然数列{}n a 单调递减，当10n ≤时，1n a ≥，当11n ≥，1n a <，所以当9n =或10n =时，数列{}n a 的前n 项积最大，最大值为98720452222222⨯⨯⨯⨯⨯⨯= .故选：B8. 已知O 是ABC V 所在平面内一点，且2AB = ，1OA AC ⋅=- ，1OC AC ⋅=，则ABC ∠的最大值为（ ）A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得C 点轨迹是以A 为圆心，的圆，再由直线与圆相切可得ABC ∠的最大值为π4.【详解】根据1OA AC ⋅=- ，1OC AC ⋅=可得()22OC AC OA AC OC OA AC AC ⋅-⋅=-⋅== ，即可知C 点轨迹是以A的圆，如下图所示：由图可知，当BC 与圆相切时，ABC ∠取到最大，又2AB =可知此时π4ABC ∠=故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知z 为复数，设z ，z ，i z 在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，其中O 为坐标原点，则（ ）A. OA OB= B. OA OC⊥.C. AC BC= D. OB AC∥ 【答案】AB 【解析】【分析】根据复数的几何意义、共轭复数、复数的乘法运算可以表示出A ，B ，C 三点的坐标，通过向量的模长、向量的平行和垂直知识进而可以判断.【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ，(),∴A a b ，()i ,z a b a b =-∈R ，(),B a b ∴-，()i i i i =+=-+z a b b a ，(),∴-C b a ，()()()()(),,,,,,,,,==-=------+==OA a b OB a b OC b a b a a b b a a b AC BC 对于A，=∴=OA O B ，故选项A 正确；对于B ， ()0-+= a b ba ，∴⊥OA OC ，故选项B 正确；对于C ，AC =，当0ab ≠时，AC BC ≠，故选项C 错误；对于D ，()()()222a a b b b a a ab b -----=-- ，222a ab b --可以为零，也可以不为零，所以OB 不一定平行于AC，故选项D 错误.故选:AB.10. 已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ，若1089S S S <<，则下列说法正确的是（ ）A. 当9n =时，n S 最大B. 使得0nS <成立的最小自然数18n =C. 891011a a a a +>+D. 数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为1100S a 【答案】ABD 【解析】【分析】利用,n n a S 关系及等差数列通项公式得a 1>0d <0,a 9>0,a 10<0判断A ；根据已知及A 项分析得81191090a a a a a +=+<<，进而确定()101189101189,a a a a a a a a +-++++的符号判断C ；根据A 、C 项分析确定数列正负分界项，再由等差数列前n 项和确定0nS <对应n 的最小值判断B ；根据以上分析确定n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭各项符号判断D.【详解】根据题意：S 8<S 9S 10<S 9⇒S 9−S 8=a 9>0S 10−S 9=a 10<0，即911018090a a d a a d -=--<⎧⎨=+<⎩，两式相加，解得a 1>0d <0,a 9>0,a 10<0，当9n =时，n S 最大，故A 正确；由108S S <，可得91090a a a +<<，所以8110a a +<，故()10118910118940,0a a a a d a a a a +-+=<+++<，所以891011a a a a +<+，故C 错误；由以上可得：1213910110a a a a a a >>>>>>>> ，()117179171702a a S a +==>，而()()1181891018902a a S a a +==+<，当17n ≤时，0n S >；当18n ≥时，0n S <；所以使得0nS <成立的最小自然数18n =，故B 正确.当9n ≤或18n ≥时0nn S a >；当918n <<时0n nS a <；由101117101112170,0a a a S S S S >>>>>>>>> ，所以n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为1100S a ，故D 正确.故选：ABD11. 已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，公比为q ，在12,a a 之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为1d ，在23,a a 之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为2,d ，在1,n n a a +之间插入n 个数，使这2n +个数成等差数列，公差为n d ，则下列说法错误的是（ ）A. 当01q <<时，数列{}n d 单调递减B. 当1q >时，数列{}n d 单调递增C. 当12d d >时，数列{}n d 单调递减D. 当12d d <时，数列{}n d 单调递增【答案】ABC 【解析】【分析】由等差数列得(1)1n n a q d n -=+，然后在01q <<或1q >分别确定{}n d 的单调性判断AB ，进行讨论判断各选项．再由12d d <或12d d >确定q 的范围，从而确定{}n d 的单调性判断CD ．【详解】数列{a n }是各项为正数的等比数列，则公比为0q >，由题意1(1)n n n a a n d +=++，得()1111n n n n a q a a d n n +--==++，01q <<时，0n d <，有()1112n n q n d d n ++=<+，1n n d d +>，数列{}n d 单调递增，A 选项错误；1q >时，0n d >，()112n n q n d d n ++=+，若数列{}n d 单调递增，则()112q n n +>+， 即21n q n +>+，由*N n ∈，需要32q >，故B 选项错误；12d d >时，()()111123a q a q q -->，解得312q <<，1q >时，0n d >，由()112n n q n d d n ++=+，若数列{}n d 单调递减，则()112q n n +<+， 即21111n q n n +<=+++，而 312q <<不能满足()*11N 1q n n <+∈+恒成立，C 选项错误；12d d <时，()()111123a q a q q --<，解得01q <<或32q >，由AB 选项的解析可知，数列{}n d 单调递增，D 选项正确.故选：ABC【点睛】方法点睛：本题数列的单调性，解题方法是利用等差数列的定义确定n d 与q 的关系，利用此关系通过q 的范围确定{}n d 的单调性，同样根据12,d d 的大小确定q 的范围，再得单调性．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4210S S =，则62S S 的值为______.【答案】91【解析】【分析】方法一：利用等比数列前n 项和性质即可求解；方法二：利用等比数列前n 项和的公式，代入计算即可求解.【详解】方法一：等比数列{}n a 中，2S ，42S S -，64S S -成等比数列，则2S ，29S ，281S 成等比数列，∴64281S S S -=，∴6291S S =，∴6291S S =.方法二：设{}n a 公比为q ，由题意显然0q >且1q ≠,所以()()42111110311a q a q q qq--=⋅⇒=--，∴()()616622211131911311a q S q S a q q---===---，故答案为：91.13. 已知数列{}n a 中，11a =，12,2,n n na n a a n ++⎧=⎨-+⎩为奇数为偶数，则数列{}n a 前2024项的和为__________.【答案】2024【解析】【分析】利用数列{}n a 的周期性可得答案.【详解】因为11a =，12,2,n n na n a a n ++⎧=⎨-+⎩为奇数为偶数，所以2123a a =+=，322321=-+=-+=-a a ，4321=+=a a ，542121=-+=-+=a a ，652123=+=+=a a ，L ，所以数列{}n a 是周期为4的周期数列，且123413114+++=+-+=a a a a ，所以()220241202443215062024+=⨯==+++++ S a a a a a a a .的故答案为：2024.14. 在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c （a b ≠）.已知2cos c a A =，则sin sin B A -的最大值是__________.【解析】【分析】利用正弦边角关系、三角恒等变换得到2C A =、π03A <<，再应用和角正弦公式、倍角公式，将目标式化为34sin 2sin A A -+，应用换元法及导数研究其最大值即可.【详解】由2cos c a A =，则sin 2sin cos sin 2C A A A ==，,(0,π)A C ∈，所以2C A =或2πC A +=，而πA B C ++=，且a b ≠，即A B ≠，所以2C A =，且03πA C A <+=<，即π03A <<，sin sin sin 3sin sin cos 2cos sin 2sin B A A A A A A A A∴-=-=+-2232sin (12sin )2cos sin sin sin 2sin 2(1sin )sin sin A A A A A A A A A A=-+-=-+--34sin 2sin A A =-+，令sin t A =∈，则3()42f t t t =-+，2()122f t t '=-+，当t ∈时()0f t '>，则()f t在上递增；当t ∈时()0f t '<，则()f t在上递减；故t =()f t 的极大值点，()f t ∴最大值为342-⨯+⨯=..四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 设等比数列{a n }满足124a a +=，318a a -=．的（1）求{a n }的通项公式；（2）记n S 为数列{log 3a n }的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ．【答案】（1）13n n a -=；（2）6m =.【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；（2）由（1）求出3{log }n a 的通项公式，利用等差数列求和公式求得n S ，根据已知列出关于m 的等量关系式，求得结果.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，有1121148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，所以13n na -=；（2）令313log log 31n n n b a n -===-，所以(01)(1)22n n n n n S +--==，根据13m m m S S S +++=，可得(1)(1)(2)(3)222m m m m m m -++++=，整理得2560m m --=，因为0m >，所以6m =，【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题目.16. 在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()22a cb bc -=+.（1）求角A ；（2）若3,2a BA AC BD DC =⋅==，求AD 的长.【答案】（1）2π3（2【解析】【分析】(1)变形后利用余弦定理可求；(2)先将2π3A =代入3BA AC ⋅= 可得6bc =，再将a =代入()22a c b b c -=+得2213b c +=，联立方程组解得,b c ，由此将向量AD 用,AB AC 表示，求解向量的模可得.【小问1详解】由()22a c b b c -=+得222b c a bc +-=-，则由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，0πA << ，2π3A ∴=.【小问2详解】由31cos 2BA AC A A bc A b B C c ⋅=-⋅=-== ，解得6bc =①，a = ，22219abc bc ∴=++=，则2213b c +=②，联立①②可得，2,3b c ==，或3,2b c ==.2BD DC = ，∴()2AD AB AC AD -=- ，则1233AD AB AC =+ ，且3AB AC ⋅=- ， 所以()()22222114441299AD AB AC AB AC c b =++⋅=+- ，当2,3b c ==时，2113(91612)99AD =+-= ，则AD当3,2b c ==时，2128(43612)99AD =+-= ，则AD .综上所述，AD .17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*12111,3,22(2,N )n n n a a S S S n n +-==+=+≥∈.（1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）在数列{}n b 中，1213,n n n n b a b a b ++==，若{}n b 的前n 项和为n T ，求证：92n T <.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用n a 与n S 的关系式，结合等差数列的定义即可得证；（2）利用（1）中结论求得n a ，进而利用累乘法求得n b ，再利用裂项相消法求得n T ，从而得证.【小问1详解】因为*1122(2,N )n n n S S S n n +-+=+≥∈，所以*112(2,N )n n n n S S S S n n +--=-+≥∈，即1*(2,N )2n n a n a n +=+≥∈，又21312a a -=-=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列.【小问2详解】由（1）知：()11221n a n n =+-⨯=-，则()222123n a n n +=+-=+，又21n n n n a b a b ++=，所以122123n n n n b a n b a n ++-==+，所以312112213332325272151n n n n n b b b b b n b b b b n n b n ---=⋅⋅⋅=⋅-⋅--⋅+9911(21)(21)22121n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以911111123352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭ 91912212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭.18. 设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2132a a a =+，数列是公差为d 的等差数列.（1）求证：21a d =，并求出数列{}n a 的通项公式（用,n d 表示）；（2）设c 为实数，对满足3m n k +=且m n ≠的任意正整数,,m n k ，不等式m n k S S cS +>都成立，求证：c 的最大值为92.【答案】（1）证明见解析，()221n a n d =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1关于1,a d 的关系式，再利用题设条件得到关于1,a d 的方n a ，从而得解；（2）利用（1）中结论与完全平方公式求得92c ≤，再利用基本不等式检验92c =时的情况，从而得证.【小问1详解】由题意知：0d >(1)(1)n d n d =+-=+-，因为2132a a a =+，则233a S =，所以2133()S S S -=，则2212)]2)d a d +-=+，整理得210a d d -+=21,d a d ==，22(1),n d n d nd S n d =+-==，当2n ≥时，222221(1)(21)n n n a S S n d n d n d -=-=--=-，适合1n =情形.所以()221n a n d =-.【小问2详解】由m n k S S cS +>，得222222m d n d c k d +>⋅，则222m n c k +>⋅，所以222m n c k+<恒成立，又3m n k +=且m n ≠，,,m n k 正整数，所以22222()()9m n m n k +>+=，则22292m n k +>，故92c ≤，当92c =时，()2222222222999222m n k S S S m d n d k d k d m n mn ⎡⎤=+--⎢⎥+-⎣=+⎦-，22922d k mn ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由不等式可得3m n k +=≥，即294k mn ≤，当且仅当32m n k ==时，等号成立，而m n ≠，故294k mn <，为故092m n k S S S ->+，故c 的最大值为92.19. 已知函数()x f x e =.（1）当0x ≥时，求证：()()2f x f x x --≥；（2）若0k >，且()f x kx b ≥+在R 上恒成立，求2k b +的最大值；（3）设*2,n n ≥∈Nln n +> .【答案】（1）证明见解析（2）2e（3）证明见解析【解析】【分析】（1）不等式成立转换为函数最小值问题，利用导函数求得到点区间，从而得出最小值，不等式得证；（2）构建函数，利用导函数求得单调区间，从而找到最小值，由题意得到不等关系，再令所求代数式为函数，借助导函数求得最大值；（3）由（1()ln ln ln 11n n n n ⎛⎫>=-- ⎪-⎝⎭，从而得证.【小问1详解】令e e ()2(0)x x g x x x -=--≥，所以()()1e 20e x x g x x '=+-≥，所以()e 2e 220x x g x -'=-+≥-=，当且仅当1e e 1ex x x =⇒=，即0x =时，等号成立，所以当[)0,x ∈+∞时，()()0,g x g x '≥单调递增，则()()00g x g ≥=；小问2详解】令()e x F x kx b =--，e ()x F x k '=-；由()0F x '>得出ln x k >；由()0F x '<得出ln x k <；min ()(ln )ln 0F x F k k k k b ∴==--≥；ln b k k k ∴≤-，23ln k b k k k ∴+≤-，令()3ln G k k k k =-，0k >；()2ln G k k '=-，【当20e k <<时，()0G k '>，()G k 单调递增，当2e k >时，()0G k '<，()G k 单调递减，所以2e 是的()G k 极大值点，22()(e )e G k G ∴≤=，2k b +的最大值为2e ；【小问3详解】由（1）知，()e 2e 0,0,x x x x ∞--->∈+，令ln (1)x s s =>，则12ln 0s s s --->，即12ln (1)s s s s ->>，设*2,s n n =≥∈N ，则满足1s >，->1ln 11n ⎛⎫>+ ⎪-⎝⎭，()ln ln ln 11n n n n ⎛⎫>=-- ⎪-⎝⎭，()ln2ln1ln3ln2ln ln 1ln n n n +>-+-++--= ，ln n ++> .【点睛】方法点睛：不等式成立问题：（1）通过令两项的差为函数关系，再利用函数单调性求出函数的最值的方式来解决；（2）多项求和的不等关系的证明，可以先找到某一项的不等关系，再求和得到结论.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高三数学月考试卷一、选择题：（每题5分，共50分；）1．集合{10},{0,1},{1,2})A B C AB C ===－，，则(=( )A ．∅B ．{1}C ．{0,1,2}D ． {－1,0,1,2} 2.下列函数中，与y=x 表示同一函数的是( )A 、2x y x = B 、y 、y t = D 、0y x x =3.函数212log (22)y x x =-+的单调增区间是( )A 、(－∞，1)B 、(2，+∞)C 、(－∞，32) D 、(32，+∞) 4.已知等差数列}{n a 满足,0101321=++++a a a a 则有 ( )A ．01011>+a aB ．01002<+a aC ．0993=+a aD ．5151=a5．已知1(1)23,()6,2f x x f m -=+=则m 等于( )（A ）14-（B ）14 （C ）32（D ）32-6．在一次数学实验中, 运用图形计算器采集到如下一组数据: B则,x y 的函数关系与下列哪类函数最接近?(其中,a b 为待定系数) A ．y a bx =+ B ．x y a b =+ C ．2y ax b =+ D ．b y a x=+7．已知集合{|110}A x x =<<，集合B={x|x>a}，若A ∩B=Φ，则a 的取值范围是：( )A ．10a ≥B ．a≥1C ．a<1D ． 10a >8．若函数()24f x mx =+在[2, 1]-上存在x 0，使f (x 0)=0，则实数m 的取值范围( )A 、[52-，4] B 、(, 2][1, )-∞-+∞ C 、[－1，2] D 、[－2，1]9．函数y=|x|(1-x)在区间A 上是增函数，则A 区间是（ ） A ( )0,∞- B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0 C []+∞,0 D （),21+∞10．函数()ln ||f x x x =的图像是：( )A B C D题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.）11．函数)12(log 21-=x y 的定义域为______________12．计算：3log 333558log 932log 2log 2-++-_____________ 13.函数1212)(+-=x x x f ，=-)(1x f___________(要求写出)(1x f-的定义域)14.若函数⎩⎨⎧<-≥=)0(1)0(1)(x x x f ，则xf(x)+x 0≤的解集是___________________15已知,0,)(2≠⋅+=b a bx ax x f 且,2006)()(21==x f x f 则=+)(21x x f . 16．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为2x y =，值域为{1，4}的“同族函数”共有_________________三、解答题：本大题共5小题，共70分。
17．（本题满分12分）设集合M ＝{(x ，y )| y=x 2+ax +2}，集合N ＝{(x ，y )| y=x +1}，若M N 中有两个元素，求实数a 的取值范围．18.（本小题满分14分）设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75，T n 为数列{nS n}的前n 项和，求T n19. （本小题满分14分）f(x)=122a x+-，x ∈R（1） 证明：对任意实数a ，f(x)在（-∞，+∞）上是增函数； （2）当f(x)为奇函数时，求a ；(3)当f(x)为奇函数时，对于给定的正实数k ，解不等式kx1log )x (f 21+>-。
20. （本小题满分14分）已知g(x)=-x 2-3，f(x)是二次函数，当x ∈[-1，2]时，f(x) 的最小值是1，且f(x)+g(x)为奇函数，求f(x)解析式。
21. （本小题满分16分）已知集合M 是满足下列性质的函数()x f 的全体：在定义域内存在0x ，使得()()()1100f x f x f +=+成立．（1）函数()xx f 1=是否属于集合M ？说明理由； （2）设函数()M x ax f ∈+=1lg2，求a 的取值范围； （3）判断方程02=+x x 的实根个数并证明：函数()M x x f x ∈+=22．CCACA BABDA11.15.0≤<X 12.53 13.)1,1(11log 2<<-+-x xx 14. 0≤x 15.0 16.9 17.解：要使M N 中有两个元素，即曲线y=x 2+ax +2与y=x +1有两个不同的交点，………2′联立方程组得222221(1)101y x ax x ax x x a x y x ⎧=++⇒++=+⇒+-+=⎨=+⎩ （*）………5′∴方程（*）有两个不同的解，………………………………………………………………7′∴△＝(a －1)2－4>0；………………………………………………………………………9′ 所以：a >3 或a<－1； 所以MN 中有两个元素时，实数a 的取值范围是{ a | a >3 或a<－1}．……………12′18.设等差数列{a n }公差为d ，则S n =na 1+21n （n －1）d∵S 7=7，S 15=75，∴⎩⎨⎧=+=+7510515721711d a d a ⇒⎩⎨⎧=+=+571311d a d a ∴a 1=－2，d =1，∴nS n =a 1+21（n －1）d =－2+21（n －1）∵11++n S n －n S n =21∴{nS n }为等差数列，其首项为－2，公差为21，∴T n =41n 2－49n ．19.（Ⅰ）： f(x) 是R 上的奇函数，∴f(0)=0 得a=1………………………4分(Ⅱ) ∵y=xx x x a 21122112+-=+-⋅ ∴y+y ·2x =2x -1 ∴2x (y-1)=-1-y,2x =y y -+11 即：f -1(x)=log 2xx-+11(-1<x<1)……………………………8分 (Ⅲ)log 2x x -+11>log 2k x+1等价于⇔⎩⎨⎧-+>--+<<-kx x x x 2222log )1(log )1(log )1(log 11 ⎩⎨⎧<<-<-11log )1(log 22x k x ⎩⎨⎧<-<<<-⇔k x x 1011 ⎩⎨⎧<<-<<-⇔1111x k x …………………12分 (i)-1<1-k<1,即0<k<2时，{11<<-x k x }………………13分 (ii)1-k ≤-1,即k ≥2时，{11<<-x x }…………………14分20.用待定系数法求f(x)解析式设f(x)=ax 2+bx+c （a ≠0）则f(x)+g(x)=(a-1)x 2+bx+c-3 由已知f(x)+g(x)为奇函数⎩⎨⎧=-=-03c 01a∴ ⎩⎨⎧==3c 1a ∴ f(x)=x 2+bx+3下面通过确定f(x)在[-1，2]上何时取最小值来确定b ，分类讨论。
4b 3)2b x ()x (f 22-++=，对称轴2b x -=（1） 当2b-≥2，b ≤-4时，f(x)在[-1，2]上为减函数 ∴ 7b 2)2(f ))x (f (min +== ∴ 2b+7=1 ∴ b=3（舍） （2）当∈-2b（-1，2），-4<b<2时34b )2b (f ))x (f (2min +-=-=∴ 134b 2=+-∴ 22b ±=（舍负） （3）当2b-≤-1，b ≥2时，f(x)在[-1，2]上为增函数 ∴ (f(x)min =f(1)=4-b ∴ 4-b=1 ∴ b=3∴ 3x 2x )x (f 2+-=，或3x 3x )x (f 3++= 21.解：（1）若()xx f 1=M ∈，则在定义域内存在0x ，使得01111102000=++⇒+=+x x x x ， ∵方程01020=++x x 无解，∴()xx f 1=M ∉．……（4分）()()()()2222(2)lglg lg lg 1121122210(6a a a af x M x x x a x ax a =∈⇒=+++++⇒-++-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅分）， 当2=a 时，21-=x ， ……（7分）；当2≠a 时，由0≥∆， 得[)(]53,22,530462+⋃-∈⇒≤+-a a a . ∴[]53,53+-∈a ． …（9分）()()()()()0000212000010011311212322(1)221x x x x f x f x f x x x x +-+--=++---⎡⎤=+-=+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎣⎦分）（）（，又∵函数x y 2=图象与函数x y -=的图象有交点，设交点的横坐标为a ，则()01202010=-+⇒=+-x a x a ，其中10+=a x ，……（14分）∴()()()1100f x f x f +=+，即()M x x f x ∈+=22 ．……（15分）。