26.1.3函数y=ax2+k的图象

抛物线y=x2+1: 开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0,1). 抛物线y=x2－1: 开口向上, 对称轴是y轴, 顶点为(0, －1).
抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线y=x2的关系:
向上平移 抛物线 y=x2+1 1个单位 抛物线y=x2 向下平移 抛物线 y=x2－1 1个单位 y
2、把抛物线y=-x2-2向下平移5个单位，得到的 y=-x2-7 抛物线是 3、一条抛物线向上平移2.5个单位后得到抛物 2，原抛物线是 y=0.5x2-2.5 线y=0.5x 4、分别说下列抛物线的开口方向，对称轴、 顶点坐标。 （1）y=-x2-3 （2）y=1.5x2+7
（3）y=2x2-1
(2)顶点是(0,k).
(3)抛物线y=ax2+k可以
由抛物线y=ax2向上或向 下平移|k|个单位得到. k>0,向上平移; k<0,向下平移.
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
抛物线y=ax2与y=ax2±k之间的关系是：
形状大小相同，开口方向相同，对称轴相同，
而顶点位置和抛物线的位置不同．
抛物线之间的平移规律：
抛物线y=ax2 抛物线y=ax2
向上平移 抛物线 y=ax2+k k个单位 向下平移 抛物线 y=ax2－k k个单位
想一想
抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？ 怎样决定的？k决定什么？它的对称 轴是什么？顶点坐标怎样表示？
二次函数y=ax2+k的性质
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y=x2－1
-5 -4 -3 -2 =x2+1,y=x2－1 的开口方向、对 称轴、顶点各是 什么?
10 9 8 7 6 5 4 3 2 ● 1
y
y=x2+1
y=x2－1
x
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 ●
y＝ax2+k 图象 开口向上 开口向下 a＞0 a＜0
开口
对称性 顶点 增减性
|a|越大，开口越小
关于y轴对称 （0，k） 顶点是最低点 顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
1、把抛物线y=-2x2向上平移3个单位长度，得 y=-2x2+3 到的抛物线是
2
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2 图象 a＞0
O
a＜0
O
开口
开口向上
开口向下
对称性
顶点 增减性
|a|越大，开口越小 关于y轴对称 顶点坐标是原点（0，0） 顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点
例. 在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1和y=x2 －1的图像 x 2 3 … … -3 -2 -1 0 1 解: 先列表 y=x2+1 … 10 5 2 1 2 5 10 … 然后描点画 y=x2-1 … 8 3 0 -1 0 3 8 … 图,得到y= x2＋1,y=x2－1的图像. y=x2+1 y (1) 的开口方向、对称轴、顶 点各是什么? (2)抛物线y=x2+1,y=x2－1 与抛物线y=x2有什么关系? 抛物线y=x2+1,y=x2－1
2、已知二次函数y=2x2+3，当x取何值时，y 随x的增大而增大；当x取何值时，y随x的增 大而减小？ 3、二次函数y=ax2+k（a，k是常数），当x 取值x1、x2时（x1≠x2），函数值相等，则当 x取x1+x2时，函数值为 k
抛物线y=ax2＋c与y=－５x2的 形状大小，开口方向都相同，且 其顶点坐标是（０，３），则其 y=－５x2＋３ ，它是由抛 表达式为 2向 上 平移 ３ 个 物线y=－５x 单位得到的．
抛物线y=x2 把抛物线y=2x2向上平移 5个单位,会得到那条抛物线?向 下平移3.4个单位呢? (1)得到抛物线y=2x2+5 (2)得到抛物线y=2x2－3.4
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y=x2+1
y=x2
y=x2－1
x
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
(2)抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线y=x2的异同点:
１、在直角坐标系中，二次函数y=3x2+2 的图象大致是下图中的( A ) y 0 x A B y 0 x 0 C y x y 0 x D
2、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和 二次函数y=ax2+c的图象大致是如图中的（ ）
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
1、二次函数y=ax2+k的图象经过点A（2，3）， B（3，5），求这个函数的解析式。
相同点： ①形状大小相同 ②开口方向相同 ③对称轴相同 不同点： 顶点的位置不同， 抛物线的位置也不 同．
10 9 y=x2 8 7 6 5 4 3 y=x2－1 2 ● 1 o -5 -4 -3 -2 -1 ● 1 2 3 4 5 x ●
y
y=x2+1
一般地,抛物线y=ax2+k有如下特点:
(1)对称轴是y轴;
抛物线y=ax2＋c与y=３x2的形 状相同，且其顶点坐标是 （０，１），则其表达式 y=３x2＋１ 或y=－３x2＋１ ， 为
思考： （1）把抛物线y=-4x2向上平移5个单位。 会得到哪条抛物线？向下平移3.4个单位呢？
抛物线的开口方向、对称轴、顶点各是什 么？。 （2）把抛物线y=-4x2+1向上平移5个 单位。会得到哪条抛物线？向下平移 3.4个单位呢？ 抛物线的开口方向、对称轴、顶点各是什 么？。