函数的概念与图像4单调性
函数单调性的概念)
目 录
• 函数单调性的定义 • 判断函数单调性的方法 • 函数单调性的性质 • 函数单调性的应用 • 反例与特殊情况
01 函数单调性的定义
单调增函数
01
02
03
总结词
单调增函数是指函数在某 个区间内，随着自变量的 增加，函数值也单调增加 的函数。
详细描述
单调增函数的定义是，对 于任意两个数$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$）， 如果函数$f(x)$满足 $f(x_1) leq f(x_2)$，则称 $f(x)$在区间$[x_1, x_2]$ 上单调增。
单调函数的连续性是其基本性质之一。在单调递增的函数中，如果函数在某一点的左侧 小于该点的值，那么在该点的右侧也必然小于该点的值，即函数值随着自变量的增大而 增大。同样地，在单调递减的函数中，函数值随着自变量的增大而减小。因此，单调函
数在其定义域内是连续的，不存在间断点。
单调函数的可导性
总结词
单调函数的可导性是指函数在单调区间 内是可导的，即函数的导数在单调区间 内存在且不为零。
数学表达
如果对于所有$x_1 < x_2$， 都有$f(x_1) geq f(x_2)$， 则称$f(x)$为减函数。
严格单调函数
总结词
严格单调函数是指函数在某个区间内，对于任意两个不同的自变量，其函数值也不同的函 数。
详细描述
严格单调函数的定义是，对于任意两个不同的数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），如果函数 $f(x)$满足$f(x_1) < f(x_2)$或$f(x_1) > f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$[x_1, x_2]$上严格单调。
数学表达
数学函数的单调性
05
单调性的扩展知识
单调性与周期性
总结词
函数的单调性与周期性是两个相对独立的概念，但它 们之间也存在一定的联系。
详细描述
单调性是指函数在某一区间内的增减性，而周期性是指 函数按照一定的时间间隔重复出现的现象。虽然单调性 不直接决定函数的周期性，但它们在某些情况下会相互 影响。例如，一些周期函数可能在某些周期内表现出单 调性，而单调函数可能在不同的单调区间内具有不同的 周期。
总结词
单调性与函数值的大小关系是指，在单调递增的函数中 ，自变量x越大，函数值y也越大；在单调递减的函数中 ，自变量x越大，函数值y越小。
详细描述
单调性是描述函数值随自变量变化趋势的一种特性。对 于单调递增的函数，随着自变量x的增大，函数值y也相 应增大。这意味着在函数的整个定义域内，随着x的增加 ，y的值也持续增加。而对于单调递减的函数，随着x的 增大，y的值反而减小。这种单调性可以通过函数的导数 或微分进行判断。
单调性与不等式
总结词
单调性是解决不等式问题的关键因素之一，通过分析函数的单调性可以解决许多不等式问题。
详细描述
不等式是数学中一类重要的方程，通过分析函数的单调性可以解决许多不等式问题。例如，利用函数的单调递增 性质可以证明不等式，通过构造函数并在特定的区间内证明其单调递增，从而证明不等式的正确性。此外，利用 函数的单调性还可以求解一些不等式问题，例如求解一些函数的极值问题等。
要点二
详细描述
单调性的传递性是数学函数的一个重要性质。如果函数f在某 个区间I内单调增加，并且函数g在另一个区间J内也单调增加， 那么复合函数f○g（即f和g的复合函数）在f和g都有定义的区 间I∩J内也将单调增加。同样地，如果f和g都是单调减少的， 则f○g也将是单调减少的。
函数的单调性课件(共17张PPT)
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：我们知道，“记忆”在我们的学习过程中 扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都 是人们研究的课題。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记 忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图37所示的记忆规律．
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
△x表示自变量x的增量，△y表示因变量y的增量． 这时，对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1,x2: 这个数是增函数的充要条件是yx ＞0； 这个数是增函数的充要条件是y ＜0.
x
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
因此，函数f(x)=3x+2在（- ,+ ）上是增函数.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
数学Biblioteka 基础模块（上册）第三章 函数
3.1.3 函数的单调性
函数与图像的基本概念与性质
函数与图像的基本概念与性质一、函数的概念与性质1.函数的定义：函数是两个非空数集A、B之间的对应关系，记作f：A→B。
2.函数的性质：（1）一一对应：对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应。
（2）自变量与因变量：在函数f中，集合A称为函数的定义域，集合B称为函数的值域。
对于定义域中的任意一个元素x，在值域中都有唯一的元素y与之对应，称为函数值。
（3）函数的单调性：若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称函数f在定义域上为增函数；若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称函数f在定义域上为减函数。
3.函数的分类：（1）线性函数：形如f(x)=ax+b（a、b为常数，a≠0）的函数。
（2）二次函数：形如f(x)=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数。
（3）分段函数：形如f(x)={g1(x), x∈D1}{g2(x), x∈D2}的函数，其中D1、D2为定义域的子集，且D1∩D2=∅。
二、图像的概念与性质1.函数图像的定义：函数图像是指在平面直角坐标系中，根据函数的定义，将函数的定义域内的每一个点（x, f(x)）连接起来形成的图形。
2.函数图像的性质：（1）单调性：增函数的图像呈上升趋势，减函数的图像呈下降趋势。
（2）奇偶性：若函数f(-x)=-f(x)，则称函数f为奇函数；若函数f(-x)=f(x)，则称函数f为偶函数。
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）周期性：若函数f(x+T)=f(x)，则称函数f为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的图像具有周期性。
（4）拐点：函数图像在拐点处，曲线的斜率发生改变。
三、函数与图像的关系1.函数与图像的相互转化：通过函数的解析式，可以在平面直角坐标系中绘制出函数的图像；同时，根据函数图像的形状，可以反推出函数的解析式。
函数的单调性知识点
函数的单调性知识点函数的单调性是数学分析中的一个重要概念，用来描述函数在定义域上的增减特性。
具体而言，一个函数可以是严格递增的、递增的、严格递减的或递减的。
函数的单调性具有广泛的应用，在求解极值、解方程、绘制函数图像等问题中起到重要的作用。
本文将介绍函数的单调性的概念、判定方法以及一些常见的单调函数。
一、函数的单调性概念函数的单调性是指函数在定义域上的增减变化规律。
具体而言，一个函数在某个区间上单调递增，意味着随着自变量的增大，函数的取值也随之增大；而在单调递减的区间上，函数的取值随着自变量的增大而减小。
二、函数单调性的判定方法1. 导数法导数是函数单调性判定的重要工具之一。
对于可导函数，函数在某个区间上单调递增的充要条件是导数恒大于等于零；函数在某个区间上单调递减的充要条件是导数恒小于等于零。
2. 一阶差分法对于分段连续的函数，可以通过一阶差分的正负来判断函数的单调性。
若一阶差分恒大于零，则函数在该区间上单调递增；若一阶差分恒小于零，则函数在该区间上单调递减。
3. 二阶导数法对于二次可导函数，函数在某个区间上的单调性可以通过二阶导数的正负来判断。
若二阶导数恒大于零，则函数在该区间上单调递增；若二阶导数恒小于零，则函数在该区间上单调递减。
三、常见的单调函数1. 线性函数线性函数是最简单的单调函数，其定义域为实数集，函数的图像为一条直线。
线性函数在整个定义域上均为单调递增或单调递减。
2. 指数函数指数函数为形如 f(x) = a^x （a>0, a≠1）的函数，指数函数在定义域上分为两类：当a>1时，函数为单调递增函数；当0<a<1时，函数为单调递减函数。
3. 对数函数对数函数为形如 f(x) = loga(x) （a>0, a≠1）的函数。
当0<a<1时，对数函数为单调递增函数；当a>1时，对数函数为单调递减函数。
4. 幂函数幂函数为形如 f(x) = x^a （a为常数）的函数。
函数的单调性与导数-图课件
单调减函数的性质
03
04
05
函数图像从左至右下降 。
若$f(x)$在区间$I$上单 调递减，且$a, b in I$， 且$a < b$，则有$f(a) geq f(b)$。
若函数$f(x)$在区间$I$ 上单调递减，则其反函 数在相应的区间上单调 递增。
单调性与导数的关系
01
导数与单调性的关系
如果函数在某区间的导数大于0，则该函数在此区间单调递增；如果导
数小于0，则函数在此区间单调递减。
02
导数不存在的点
对于使导数不存在的点，需要单独判断其单调性。
03
高阶导数与单调性的关系
高阶导数的符号可以提供关于函数单调性更精细的信息。例如，二阶导
数大于0表示函数在相应点处有拐点，即由单调递增变为单调递减或反
之。
02 导数在判断函数单调性中 的应用
导数大于0与函数单调性的关系
定义法判断单调性
• 定义法判断单调性是指通过比较函数在某区间内任意两点x1和x2的函数值f(x1)和f(x2)，来判断函数在该区间内的单调性。 如果对于任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则函数在该区间内单调递增；如果对于任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则函数在该 区间内单调递减。
03 导数在实际问题中的应用
导数在经济学中的应用
边际分析
导数可以用来分析经济函数的边 际变化，例如边际成本、边际收 益等，帮助企业做出更好的经济
决策。
最优化问题
导数可以用来解决最优化问题，例 如最大利润、最小成本等，为企业 提供最优的资源配置方案。
需求弹性
导数可以用来分析需求弹性，例如 价格敏感度、需求变化等，帮助企 业制定更加精准的市场策略。
定义法证明函数的单调性课件
证明二次函数单调性
总结词
通过二次函数的对称轴和开口方向，可以判断其单调性。
详细描述
对于二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，其对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$。如果函数的 开口向上（即$a > 0$），那么函数在对称轴左侧是单调递减的，在对称轴右侧是单调 递增的；如果函数的开口向下（即$a < 0$），那么函数在对称轴左侧是单调递增的，
回顾本次课件的主要内容
介绍了定义法证明函 数单调性的基本步骤 ；
提供了练习题，帮助 学生巩固所学知识。
通过例题演示了如何 运用定义法证明函数 单调性；
提出下一次课件的预告和要求
下一次课件将介绍函数的奇偶性 和周期性；
要求学生提前预习相关基础知识 ；
准备相关问题及疑惑，便于课堂 讨论和解答。
THANK YOU
单调函数的图像特征
递增函数的图像呈上升趋势，递减函数的图像呈下降趋势。
单调函数的性质
如果$f(x)$在区间$I$上单调递增，那么对于任意的$x_{1}, x_{2}$满足$x_{1} < x_{2}$， 都有$f(x_{1}) < f(x_{2})$；同样地，如果$f(x)$在区间$I$上单调递减，那么对于任意的 $x_{1}, x_{2}$满足$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) > f(x_{2})$。
数
练习题：证明$y=2x+1$在 $\mathbf{R}$上是增函数
二次函数单调性证明练习
总结词：理解二次函数的单调性
输标02入题
二次函数的一般形式是$y=ax^{2}+bx+c$，当 $a>0$时，函数在区间$( - \infty,\frac{-b}{2a})$上是 减函数，在区间$(\frac{-b}{2a},+\infty)$上是增函数
7.函数的单调性、奇偶性、函数的图象
例、求下列函数的单调区间，并确定每一单调 区间上的单调性。
1− x (1) y = 1+ x
1 (2) y = 3
x2 − x
1 3 (3)y = x + x 2 − 3x + 6 3
练习(变式一)求下列函数的单调区间:
(1) y =
x2 + 2x − 3
(2) y = log 1
2、判断函数单调性（求单调区间）的方法： （1）从定义入手 （2）从导数入手 （3）从图象入手 （4）从熟悉的函数入手 （5）从复合函数的单调性规律入手
注：先求函数的定义域
题在 上是增函数 证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数 证明函数 例
证明： 证明：
设 x1 ， x2 是 R 上 任 意两 个实 数，且 x1 < x2 则 f ( x1 ) - f ( x2 ) =(3 x1 +2)-(3 x2 +2) =3 x1 +2-3 x2 -2 =3( x1 - x2 ) ∵ x1 < x2 ∴ x1 - x2 <0 ∴ f ( x1 ) - f ( x2 ) =3( x1 - x2 )<0 ∴函数 f(x)=3x+2 在 R 上 是增 函数 函
y +1 2．已知实数x，y满足 y = 3 − x ，则 的最值 x+3
2
三.【课堂小结】 【课堂小结】 1、作函数图象的基本方法有两种： 、作函数图象的基本方法有两种： (1)描点法 描点法 (2) 图象变换法：利用基本初等函数变换作图 图象变换法： 其中掌握好(1)平移变换：(2) 对称变换： (3) 伸缩变换 平移变换： 对称变换： 平移变换 2、图象对称性的证明： 、图象对称性的证明： 有关结论： 3、有关结论： 利用数形结合，求参数问题， 4、利用数形结合，求参数问题，交点个数问题等
《函数的基本性质》函数的概念与性质PPT(第1课时函数的单调性)
第三章 函数的概念与性质
由函数单调性求参数范围的类型及处理方法 (1)由函数解析式求参数
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
(2)利用抽象函数单调性求范围 ①依据：定义在[m，n]上的单调递增(减)函数中函数值与自变 量的关系 f(a)<f(b)⇔am<≤b（a≤a>nb，），
m≤b≤n. ②方法：依据函数单调性去掉符号“f”，转化为不等式问题求解． [提醒] 单调区间是 D≠在区间 D 上单调． (1)单调区间是 D：指单调区间的最大范围是 D. (2)在区间 D 上单调：指区间 D 是单调区间的子集．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
＝（x1－x2）x1（x2x1x2－4）. 因为 0＜x1＜x2＜2， 所以 x1－x2＜0，0＜x1x2＜4，x1x2－4＜0， 所以 f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)． 所以函数 f(x)＝x＋4x在(0，2)上单调递减．
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第三章 函数的概念与性质
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
(2)如果∀x1，x2∈D，当 x1＜x2 时，都有__f_(x_1_)_＞__f(_x_2_) ___，那么 就称函数 f(x)在区间 D 上单调递减(如图②) 特别地，当函数 f(x)在它的定义域上_单__调__递__减__时，我们就称它 是减函数．
栏目 导引
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第三章 函数的概念与性质
2．已知函数 f(x)＝2x－＋x1，证明：函数 f(x)在(－1，＋∞)上为减 函数． 证明：∀x1，x2∈(－1，＋∞)， 且 x1＜x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x21－＋x11－x22－＋x12
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
函数的概念和图像
函数 - 函数的概念和图像一、函数的概念和图像● 定义总结1. 函数的定义设,A B 是非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个．．．元素x ，在集合B 中都有唯一．．的元素y ，和它对应，这样的对应叫做A 到B 的一个函数，通常记为(),y A f x x =∈.其中，所有的输入值x 所组成的集合A 叫做函数()y f x =的定义域，与输入值x 对应的所有的输出值y 所组成的集合B 称为函数的值域. 1. 函数的图像将自变量的一个值0x 作为横坐标，相应的函数值()0f x 作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点()()00,x f x ，当自变量取遍．．函数定义域A 中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合为()(){},x f x x A ∈，所有这些点组成的图形就是函数()y f x =的图象.● 知识归纳1. 相同函数的判断关键点：定义域、不等式.【例1】判断下列各组函数中的两个函数是否为同一函数： （1）()()2221,21x x x g t t f t =+-=+-；（2）()(),f x x g x ==（3）()(),f x x g x ==；（4）()()24,22x f x g x x x -==+-；（5）()()2f x g x x ==+.2. 函数的图像及应用关键点：作图、识图、用图.【例2】下图中可以作为函数图像的是 .A B C D【例3】画出()223f x x x =-++的图象，并根据图像回答问题：（Ⅰ）比较()()()0,1,3f f f 的大小；（Ⅱ）若121x x <<，比较()1f x 与()2f x 的大小.3. 函数的定义域关键点：熟知各种基本函数的定义域，列不等式组求解； 【例4】求下列函数的定义域：（1）03x y +=（2）y =注意点：注意y =2y =. 4. 定义域的逆向问题关键点：已知函数定义域，求参数的值. 【例5】已知函数y =的定义域为[]3,6-，求,a b 的值.424232121132132142【例6】已知函数y =的定义域是R ，求实数k 的取值范围.5. 函数的值域常用方法：直接法、配方法、判别式法、反表示法、换元法、部分分式法、图象法. 【例7】求下列函数的值域：（1）3y =；（2）y =二、函数的表示方法● 定义总结1. 解析法、列表法、图象法；2. 分段函数对于自变量x 的不同的取值范围有不同的解析式.● 知识归纳1. 函数的解析式常用方法：待定系数法、换元法、整体代换法（换元注意范围．．．．．．）. 【例1】已知()f x 是二次函数，其图象的顶点是()1,3，且过原点，求()f x .【例2】（1）已知()3221f x x -=+，求()f x 的解析式； （2）已知21111f x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求()f x 的解析式.2. 简单函数图像的作法关键点：化简，注意定义域；列表，描点，作图。
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函数的概念与图象5 单调性
[知识要点]
1．会判断简单函数的单调性（1）直接法 （2）图象法
2．会用定义证明简单函数的单调性：（取值，作差，变形，定号，判断）
3．函数的单调性与单调区间的联系与区别
[简单练习]
1．画出下列函数图象，并写出单调区间：
⑴ ⑵
2.（1）判断在（0，+∞）上是增函数还是减函数。
（2）判断在（ —∞，0）上是增函数还是减函数。
3．证明在定义域上是减函数。
4．下列函数中，在（0，2）上为增函数的是（ ）
A.y=
B. y=2x-1
C. y=1-x
D.y=
5．讨论函数的单调性。
6．函数y=
-1的单调 递 区间为 。
7．已知f(x)在区间[a,c]上单调递减，在区间[c,d]上单调递增，则f(x)在[a,d] 上最小值为 。
22+-=x y )0(1
≠=x x y 1)(2-=x x f x x x f 2)(2+-=x x f -=)(x 12)12(-x 3x y =x
1
8．填表已知函数f(x),的定义域是F ，函数g(x)的定义域是G ，且对于任意的，，试根据下表中所给的条件，用“增函数”、“减函数”、“不能确定”填空。
[巩固提高]
1．已知f （x ）=（2kx+1x+1在（-，+）上是减函数，则（ ）
A.k ＞
B.k ＜
C.k ＞-
D. k ＜-
2．在区间（0，+∞）上不是增函数的是 （ ）
A.y=2x+1
B.y=3 +1
C.y=
D. y=3+x +1
3．若函数f （x ）=+2（a-1）x+2在区间（-，4）上为增函数，则实数a 的
取值范围是 （ ）
A.a -3
B.a -3
C.a 3
D.a 3
4．如果函数f （x ）是实数集R 上的增函数，a 是实数，则 （ ） A.f （）＞f （a+1） B.f （a ）＜ f （3a ）
C.f （+a ）＞f （）
D.f （-1）＜f （）
5． 若f(x)是R 上的增函数，对于实数a,b,若a+b ＞0,则有 （ ）
A. f(a)+ f(b) ＞f(-a)+ f(-b)
B.f(a)+ f(b) ＜f(-a)+ f(-b)
C. f(a)- f(b) ＞f(-a)- f(-b)
D.f(a)- f(b) ＜f(-a)-f(-b)
6．函数y=的单调减区间为 。
7．函数y=+的增区间为 减区间为 。
G x ∈F x g ∈)(∞∞21212121
2x x 2
2x 2x ∞≤≥≤≥2a 2a 2a 2a 2a 11
+x 1+x x -2
8．定义域为R 的函数f （x ）在区间（ —∞，5）上单调递减，对注意实数t 都有，那么f （—1），f （9），f （13）的大小关系是 。
9．在区间上有最大值吗？有最小值吗？
10．若f （x ）是定义在上的减函数，f （x-1）＜f （-1），求x 的取值范围。
11．求函数y=-2 x +3x-1在[-2，1]上的最值。
12．求 上的最小值。
13．已知函数f(x)是R 上的增函数，且f(x +x) ＞ f(a-x)对一切x ∈R 都成立，求实数a 的取值范围。
)5()5(t f t f -=+x y 1
=(]1,2--[]1,1-2x 2[]2,0,12)(2∈--=x ax x x f 2。