【精编】2017-2018年四川省蓉城名校联盟高二(上)数学期中试卷和参考答案(文科)

2017-2018学年四川省蓉城名校联盟高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知直线l1：x+3y﹣1=0与直线l2：mx﹣y=0平行，则实数m的取值是（）A．B．C．3 D．﹣32．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x3．（5分）下列选项中，说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．命题p：∃x∈R，x2﹣x≤0，则¬p：∀x∉R，x2﹣x＞0D．若p∨q为假命题，则p，q均为假命题4．（5分）圆（x﹣4）2+y2=9和圆x2+（y﹣3）2=25的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离5．（5分）已知双曲线的离心率为，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．6．（5分）到两定点F1（0，﹣3）和F2（0，3）的距离之和为6的点M的轨迹是（）A．椭圆B．圆C．线段D．双曲线7．（5分）已知命题“∃x∈R，使2x2+（a﹣1）x+2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）B．（﹣1，3）C．（﹣3，5）D．（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞）8．（5分）已知双曲线方程为，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有（）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条9．（5分）若直线y=k（x﹣2）+3与曲线有两个公共点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）椭圆上一点P到直线x+y+11=0的距离最大值为（）A．B．C．D．11．（5分）设P是椭圆上一动点，F是椭圆的左焦点，椭圆外一点M（6，4），则|PF|+|PM|的最大值为（）A．15 B．16 C． D．12．（5分）如图，已知双曲线C1：，椭圆C2以双曲线的焦点为顶点，以双曲线的顶点为焦点，双曲线C1的一条渐近线与以椭圆C2的长轴为直径的圆交于A，B两点，与椭圆C2交于C，D两点，且，则双曲线C1的离心率为（）A．B． C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）直线x﹣2y﹣1=0与x﹣2y+4=0之间的距离是．14．（5分）在圆x2+y2=16上任取一点P，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D，点M满足．当点P在该圆上运动时，点M的轨迹方程是．15．（5分）若实数x，y满足则z=x﹣2y的最小值是．16．（5分）已知P是直线l：3x﹣4y+16=0上的动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2x ﹣2y﹣2=0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）求过两直线x﹣2y+3=0和x+y﹣3=0的交点，且满足下列条件的直线l的方程．（Ⅰ）和直线x+3y﹣1=0垂直；（Ⅱ）在y轴的截距是在x轴上的截距的2倍．18．（12分）已知命题p：实数m满足（m﹣a）（m﹣4a）＜0，其中a＞0；命题q：方程表示双曲线．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数m的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（12分）已知圆C经过点A（5，2），B（3，2）且圆心在直线x﹣y+1=0上．（1）求圆C的方程；（2）过点P（3，1）作直线l与圆C相交于M，N两点，且|MN|=6，求直线l 的方程．20．（12分）已知椭圆C：过点（0，﹣3），且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，当线段AB的中点为M（4，2）时，求直线l的方程．21．（12分）设圆的圆心为C，是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹为曲线W．（1）求曲线W的方程；（2）在曲线W上是否存在点P，使得∠CPA为钝角？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．22．（12分）已知椭圆C：与双曲线有共同的焦点，直线l：x=my+3（m≠0）交椭圆于M、N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P的坐标是（4，0）且（O为坐标原点），求△PMN的面积．2017-2018学年四川省蓉城名校联盟高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知直线l1：x+3y﹣1=0与直线l2：mx﹣y=0平行，则实数m的取值是（）A．B．C．3 D．﹣3【解答】解：由﹣1﹣3m=0，解得m=﹣．经过验证两条直线平行．故选：B．2．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：化已知双曲线的方程为标准方程，可知焦点在y轴，且a=3，b=2，故渐近线方程为y==故选：A．3．（5分）下列选项中，说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．命题p：∃x∈R，x2﹣x≤0，则¬p：∀x∉R，x2﹣x＞0D．若p∨q为假命题，则p，q均为假命题【解答】解：命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，故A正确；“x2﹣3x+2=0”⇔“x=1，或x=2”，故“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，故B 正确；命题p：∃x∈R，x2﹣x≤0，则¬p：∀x∈R，x2﹣x＞0，故C错误；若p∨q为假命题，则p，q均为假命题，故D正确；故选：C．4．（5分）圆（x﹣4）2+y2=9和圆x2+（y﹣3）2=25的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离【解答】解：根据题意，圆（x﹣4）2+y2=9的圆为（4，0），半径为3，而圆x2+（y﹣3）2=25的圆心为（0，3），半径为5，两圆的圆心距d==5，则有5﹣3＜d＜5+3，两圆相交；故选：B．5．（5分）已知双曲线的离心率为，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，双曲线的焦点是（﹣4，0），（4，0），则其焦点在x轴上且c=4，又由双曲线的离心率e=，则有=，则有a=，则b2=c2﹣a2=16﹣6=10，则双曲线的标准方程为：﹣=1；故选：D．6．（5分）到两定点F1（0，﹣3）和F2（0，3）的距离之和为6的点M的轨迹是（）A．椭圆B．圆C．线段D．双曲线【解答】解：根据题意，两定点F1（0，﹣3）和F2（0，3），则|F1F2|=6，而动点M到两定点F1（0，﹣3）和F2（0，3）的距离之和为6，则M的轨迹为线段F1F2，故选：C．7．（5分）已知命题“∃x∈R，使2x2+（a﹣1）x+2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）B．（﹣1，3）C．（﹣3，5）D．（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞）【解答】解：命题“∃x∈R，使2x2+（a﹣1）x+2≤0”是假命题，那么：“∀x∈R，使2x2+（a﹣1）x+2＞0”是真命题，即（a﹣1）2﹣16＜0，解得：﹣3＜a＜5．故选：C．8．（5分）已知双曲线方程为，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有（）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条【解答】由题意可得：双曲线x2﹣=1的渐近线方程为：y=±2x，点P（1，0）是双曲线的右顶点，故直线x=1 与双曲线只有一个公共点；过点P （1，0）平行于渐近线y=±2x时，直线L与双曲线只有一个公共点，有2条所以，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，这样的直线共有3条故选：B．9．（5分）若直线y=k（x﹣2）+3与曲线有两个公共点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：直线l：y=k（x﹣2）+3，经过定点P（2，3），曲线表示半圆．如图所示，A（﹣2，0），D（2，0）．直线l经过点A时，直线l与半圆相交于两点A，B．k PA==．直线PD与半圆相切．设切线PC的方程为：y=k（x﹣2）+3，即kx﹣y+3﹣2k=0．圆心O到切线的距离==2，化简解得：k=．∴直线y=k（x﹣2）+3与曲线有两个公共点，则实数k的取值范围是．故选：D．10．（5分）椭圆上一点P到直线x+y+11=0的距离最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，椭圆上一点P，设P的坐标为（4cosθ，3sinθ），则P到直线x+y+11=0的距离d==，（tanα=），分析可得：当sin（θ+α）=1时，d=取得最大值8；故选：B．11．（5分）设P是椭圆上一动点，F是椭圆的左焦点，椭圆外一点M （6，4），则|PF|+|PM|的最大值为（）A．15 B．16 C． D．【解答】解：根据题意，椭圆的方程为：，其中a=5，b=4，则c2=a2﹣b2=9，即c=3，设椭圆的右焦点为F2，则F2（3，0），又由椭圆外一点M（6，4），|MF2|=5．∴|PM|+|PF1|=2a+|PM|﹣|PF2|≤2×5+|MF2|=15，当且仅当三点M、F2、P共线时取等号，故选：A．12．（5分）如图，已知双曲线C1：，椭圆C2以双曲线的焦点为顶点，以双曲线的顶点为焦点，双曲线C1的一条渐近线与以椭圆C2的长轴为直径的圆交于A，B两点，与椭圆C2交于C，D两点，且，则双曲线C1的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：C1：，椭圆C2以双曲线的焦点为顶点，以双曲线的顶点为焦点，则椭圆C2为+=1，圆的方程为为x2+y2=c2，双曲线的一条渐近线为y=x，∴|AB|=2c，联立方程组，解得x2=，∴x1+x2=0，x1x2=﹣，∴|CD|==，∵|CD|=|AB|，∴=×2c，∴=，∴e===，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）直线x﹣2y﹣1=0与x﹣2y+4=0之间的距离是．【解答】解：直线x﹣2y﹣1=0与x﹣2y+4=0之间的距离==．故答案为：．14．（5分）在圆x2+y2=16上任取一点P，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D，点M满足．当点P在该圆上运动时，点M的轨迹方程是．【解答】解：设M的坐标为（x，y），由，可得M为PD的中点，∴P的坐标为（x，2y），∵点P在圆x2+y2=16上，∴x2+4y2=16，即．故答案为：．15．（5分）若实数x，y满足则z=x﹣2y的最小值是﹣4．【解答】解：作实数x，y满足表示的平面区域如下，z=x﹣2y可化为y=x﹣，故当过点（0，2）时，z有最大值，z=x﹣2y有最小值﹣4；故答案为：﹣4．16．（5分）已知P是直线l：3x﹣4y+16=0上的动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2x ﹣2y﹣2=0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是2．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0配方为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．可得圆心C（1，1），半径r=2．如图所示，四边形PACB面积S=2×|PA|•r=2，可知：要使四边形PACB面积取得最小值，必须要求PC取得最小值，可知：PC⊥直线l时满足要求．∴|PC|的最小值为圆心C到直线l的距离d==3，∴四边形PACB面积的最小值=2=2．故答案为：2．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）求过两直线x﹣2y+3=0和x+y﹣3=0的交点，且满足下列条件的直线l的方程．（Ⅰ）和直线x+3y﹣1=0垂直；（Ⅱ）在y轴的截距是在x轴上的截距的2倍．【解答】解：（Ⅰ）由可得两直线的交点为（1，2）∵直线l与直线x+3y﹣1=0垂直，∴直线l的斜率为3，则直线l的方程是：y﹣2=3（x﹣1），即：3x﹣y﹣1=0；（Ⅱ）当直线l过原点时，直线l的方程为2x﹣y=0，当直线l不过原点时，令l的方程为，∵直线l过（1，2），∴a=2，则直线l的方程为2x+y﹣4=0．18．（12分）已知命题p：实数m满足（m﹣a）（m﹣4a）＜0，其中a＞0；命题q：方程表示双曲线．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数m的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：解：命题p：实数m满足m2﹣5am+4a2＜0，其中a＞0，解得a＜m＜4a；命题q：方程=1表示双曲线则（m﹣3）（m﹣5）＜0，解得3＜m＜5．（1）若a=1，则p：1＜m＜4．由p∧q为真，∴，解得3＜m＜4．∴实数m的取值范围是（3，4）．（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件．∴，等号不能同时成立．解得3．∴实数a的取值范围是．19．（12分）已知圆C经过点A（5，2），B（3，2）且圆心在直线x﹣y+1=0上．（1）求圆C的方程；（2）过点P（3，1）作直线l与圆C相交于M，N两点，且|MN|=6，求直线l 的方程．【解答】解：（1）设圆心为C（a，b），∵圆C经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线x﹣y+1=0上，∴，解得a=4，b=5，∴圆心C（4，5），∴圆半径r=|AC|==，∴圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣5）2=10；（2）过点P（3，1）作直线l，当直线l的斜率不存在时，x=3，此时y1=2或y2=8，∴|MN|=8﹣2=6，满足题意；当直线l的斜率存在时，设为k，则直线方程为y﹣1=k（x﹣3），∴kx﹣y﹣3k+1=0，∴圆心到直线l的距离为d==；又d2+=r2，∴+9=10，解得k=，∴求直线l的方程为y﹣1=（x﹣3），化为一般形式为15x﹣8y﹣37=0；综上，所求的直线方程为：x=3或15x﹣8y﹣37=0．20．（12分）已知椭圆C：过点（0，﹣3），且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，当线段AB的中点为M（4，2）时，求直线l的方程．【解答】解：（1）由题意可得b=3，又，∴，得a2=36．∴椭圆C的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵点A，B在椭圆上，且AB的中点为M（4，2），∴，∴，则，即AB所在直线的斜率为，∴直线l的方程为y﹣2=（x﹣4），即x+2y﹣8=0．21．（12分）设圆的圆心为C，是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹为曲线W．（1）求曲线W的方程；（2）在曲线W上是否存在点P，使得∠CPA为钝角？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由圆的方程可知，圆心C（﹣，0），半径等于4，设点M的坐标为（x，y ），∵AQ的垂直平分线交CQ于M，∴|MA|=|MQ|．又|MQ|+|MC|=4（半径），∴|MC|+|MA|=4＞|AC|=2．∴点M满足椭圆的定义，且2a=4，2c=2，∴a=2，c=，∴b=1，∴点M的轨迹方程为+y2=1；（2）设P的坐标为（x0，y0），∴=（x0+，y0），=（x0﹣，y0），∴•=x02﹣9+y02，∵∠CPA为钝角，∴x02﹣3+y02＜0，∴x02﹣3+1﹣x02＜0，即x02＜，解得﹣＜x0＜，若与共线时，不满足题意，即y0x0+y0=y0x0﹣y0时，即y0=0时，此时x0=±2，综上所述点P横坐标的取值范围为（﹣，）．22．（12分）已知椭圆C：与双曲线有共同的焦点，直线l：x=my+3（m≠0）交椭圆于M、N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P的坐标是（4，0）且（O为坐标原点），求△PMN的面积．【解答】解：（1）∵椭圆C：与双曲线有共同的焦点，∴椭圆焦点在横轴上，可得a2﹣3=6+3，∴a2=12，∴椭圆C的方程为：．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．联立化为（m2+4）y2+6my﹣3=0，，∴=，∵且∴x1x2+y1y2=0，∴，解得m2=．∵直线l过椭圆的右焦点F（3，0），|FP|=4﹣3=1．∴|y1﹣y2|===2=2=1．当且仅当m 2+1=3，即m=时等号成立．故△PMN 的面积存在最大值1．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为MFEB2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。