函数单调性的概念
函数单调性的概念)
目 录
• 函数单调性的定义 • 判断函数单调性的方法 • 函数单调性的性质 • 函数单调性的应用 • 反例与特殊情况
01 函数单调性的定义
单调增函数
01
02
03
总结词
单调增函数是指函数在某 个区间内，随着自变量的 增加，函数值也单调增加 的函数。
详细描述
单调增函数的定义是，对 于任意两个数$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$）， 如果函数$f(x)$满足 $f(x_1) leq f(x_2)$，则称 $f(x)$在区间$[x_1, x_2]$ 上单调增。
单调函数的连续性是其基本性质之一。在单调递增的函数中，如果函数在某一点的左侧 小于该点的值，那么在该点的右侧也必然小于该点的值，即函数值随着自变量的增大而 增大。同样地，在单调递减的函数中，函数值随着自变量的增大而减小。因此，单调函
数在其定义域内是连续的，不存在间断点。
单调函数的可导性
总结词
单调函数的可导性是指函数在单调区间 内是可导的，即函数的导数在单调区间 内存在且不为零。
数学表达
如果对于所有$x_1 < x_2$， 都有$f(x_1) geq f(x_2)$， 则称$f(x)$为减函数。
严格单调函数
总结词
严格单调函数是指函数在某个区间内，对于任意两个不同的自变量，其函数值也不同的函 数。
详细描述
严格单调函数的定义是，对于任意两个不同的数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），如果函数 $f(x)$满足$f(x_1) < f(x_2)$或$f(x_1) > f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$[x_1, x_2]$上严格单调。
数学表达
数学函数的单调性
05
单调性的扩展知识
单调性与周期性
总结词
函数的单调性与周期性是两个相对独立的概念，但它 们之间也存在一定的联系。
详细描述
单调性是指函数在某一区间内的增减性，而周期性是指 函数按照一定的时间间隔重复出现的现象。虽然单调性 不直接决定函数的周期性，但它们在某些情况下会相互 影响。例如，一些周期函数可能在某些周期内表现出单 调性，而单调函数可能在不同的单调区间内具有不同的 周期。
总结词
单调性与函数值的大小关系是指，在单调递增的函数中 ，自变量x越大，函数值y也越大；在单调递减的函数中 ，自变量x越大，函数值y越小。
详细描述
单调性是描述函数值随自变量变化趋势的一种特性。对 于单调递增的函数，随着自变量x的增大，函数值y也相 应增大。这意味着在函数的整个定义域内，随着x的增加 ，y的值也持续增加。而对于单调递减的函数，随着x的 增大，y的值反而减小。这种单调性可以通过函数的导数 或微分进行判断。
单调性与不等式
总结词
单调性是解决不等式问题的关键因素之一，通过分析函数的单调性可以解决许多不等式问题。
详细描述
不等式是数学中一类重要的方程，通过分析函数的单调性可以解决许多不等式问题。例如，利用函数的单调递增 性质可以证明不等式，通过构造函数并在特定的区间内证明其单调递增，从而证明不等式的正确性。此外，利用 函数的单调性还可以求解一些不等式问题，例如求解一些函数的极值问题等。
要点二
详细描述
单调性的传递性是数学函数的一个重要性质。如果函数f在某 个区间I内单调增加，并且函数g在另一个区间J内也单调增加， 那么复合函数f○g（即f和g的复合函数）在f和g都有定义的区 间I∩J内也将单调增加。同样地，如果f和g都是单调减少的， 则f○g也将是单调减少的。
函数的单调性(定义法)
函数的单调性知识点：1.函数单调性定义(1).定义法,对任意的x1,x2∈D,D⊆I,x1＞x2 ,若f(x1)−f(x2)＞0则称f(x)在D 内是单增，若f(x1)−f(x2)＜0则称f(x)在D内是单减.(2). 对定义在D上的函数f(x),设x1,x2∈D, D⊆I , x1＜x2,则有：①f(x1)−f(x2)x1−x2＞0⇔f(x)是D上的单调递增函数；②f(x1)−f(x2)x1−x2＜0⇔f(x)是D上的单调递减函数.(注意：函数的单调性的局部性(注意：函数的单调性，从定义上来讲，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征，在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。
求单调区间时，必须先求出函数的定义域；单调区间只能用区间表示，若有多个单调区，应分别写),函数的单调性最值主要涉及初等函数、复合函数、抽象函数、分段函数等情况.)2.复合函数的单调性：3.几种常见函数的单调性：f(x)=ax+bcx+d (abcd≠0,bc≠ad);f(x)=ax +bx(ab≠0)例1.多种方法判断下列函数的单调性：(1).f(x)=x + 1x x∈(0,1)(2).y=x−1xx∈（0，+∞）; (3).y=x3x∈R;(4).f(x)=axx²−1，x∈（-1,1）（a≠0）(5).f(x)=x+√1+x2，x∈R例2.(1).已知f(x)=x（x≠a）,若a＞0且f（x）在（1.+∞）内单调递减，求a的x−a在区间[1，2]上都是减函数，求a的取值取值范围. (2).若f(x)=−x2+2ax,与g(x)=ax+1范围.(3).已知函数f（x）= √3−ax（a≠1）若f（x）在区间（0,1］上是减函数，则a−1实数a的取值范围.(4).已知函数f（x）=√x²+1–ax（a＞0）①.证明当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上为单调减函数.②.若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围。
函数的单调性
4.1、函数的单调性函数的单调性就是函数的一种增减性，主要看y 随x 的变化而发生的一种变化情况，简单的说当y 随x 的增大而增大时，就说y 是在相应的x 的取值范围内是增函数，对应的区间为其增区间；而当y 随x 的增大而减小时，我们就说y 是在相应的x 的取值范围内是减函数，对应的区间为其减区间。
A 、定义：一般地，设函数)(x f 的定义域为I 。
如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数。
如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数。
如果函数)(x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做)(x f y =的单调区间。
B 、函数单调性的证明对于某区间内的函数的单调性，一般利用定义来证明，其基本步骤如下： （1）取值：设21,x x 为该区间内的任意两个值，并且21x x <；（2）作差变形：作差)()(21x f x f -，并利用因式分解、配方、有理化等方法向有利于判断差值的符号的方向变形；（3）定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论； （4）下结论：根据函数的单调性的定义得出结论。
C 、函数单调性的判断判断函数单调性的常用方法有：（1）定义法：即“取值——变形——定号——下结论”；（2）图像法：先作出函数的图像，在利用图像的形象直观判断函数的单调性；（但应注意极值点及其拐点） （3）复合法：)(x f y =增 增 减 减（4）导数法：求出函数导数后，在令其导数大于零的x 的连续区间为其单调递增区间，令其导数小于零的x 的连续区间为其单调递减区间；4.1.1、函数单调性的判断与证明A 、函数单调性的证明：1、证明函数12)(+-=x x f 在R 上是减函数。
函数的单调性知识点
函数单调性知识点总结一、函数单调性知识结构【知识网络】1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用二、重点叙述1. 函数单调性定义(一)函数单调性概念(1)增减函数定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 :如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＜f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数;如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＞f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。
如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。
(2)函数单调性的内涵与外延⑴函数的单调性也叫函数的增减性。
函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。
⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D,① x1＜x2 ,且f(x1 ) ＜f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性)② y=f(x)在区间D 上是增函数,且x 1＜x 2 , f(x 1) ＜f(x 2 ) ;(可用于比较函数值的大小) ③ y=f(x)在区间D 上是增函数,且f(x 1) ＜f(x 2 ), x 1＜x 2 。
(可用于比较自变量值的大小) 2. 函数单调性证明方法证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。
实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。
(1)定义法:利用增减函数的定义证明。
在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比较)。
⑴转化为求差比较证明程序:①设任意的x 1 、x 2∈D,使x 1＜x 2 ; ②求差—变形—判断正负;此为关键步骤,变形大多要“因式分解”。
求差:; 变形:化简、因式分解; 判断:差的符号的正或负。
函数的单调性
二、函数单调性的判断与证明 a 例2判断函数 f(x)＝x＋ (a>0)在(0，＋∞)上的单调性． x 【解析】解法一：定义法略，一般不用此方法． a a 解法二：f′(x)＝1－ 2，令 f′(x)≥0，则 1－ 2≥0， x x ∴x≥ a或 x≤－ a(舍)． a 令 f′(x)≤0，则 1－ 2≤0， x ∴－ a≤x≤ a，∵x>0，∴0<x≤ a. ∴f(x)在(0， a]上为减函数，在[ a，＋∞)上为增 函数．
三、函数单调性应用 例3 (1) 已知函数 f(x)＝ x2＋ 2(a－ 1)x＋ 2 在区间 (－ ∞，4]上是减函数，求实数 a 的取值范围． (2)已知函数 f(x)在实数集中满足 f(xy)＝f(x)＋f(y)， 且 f(x)在定义域内是减函数． ①求 f(1)的值； ②若 f(2a－3)<0，试确定 a 的取值范围．
【解析】依据函数解析式，通过判断定义域和单调 性，逐项验证． A 项，函数定义域为 R，但在 R 上为减函数，故不 符合要求；B 项，函数定义域为 R，且在 R 上为增函数， 故符合要求；C 项，函数定义域为(0，＋∞)，不符合要 求；D 项，函数定义域为 R，但在(－∞，0]上单调递减， 在[0，＋∞)上单调递增，不符合要求．
a 4．若函数 f(x)＝－x ＋2ax 与 g(x)＝ 在区间[1， x＋1 2]上都是减函数，则 a 的取值范围是( D ) A．(－1，0)∪(0，1) B．(－1，0)∪(0，1] C．(0，1) D．(0，1] 【解析】∵f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2，由图 象可知， 当 a≤1 时，f(x)在[1，2]上是减函数． a g(x)＝ ，当 a>0 时，在[1，2]上是减函数， x＋ 1 ∴a 的取值范围是(0，1]．
函数单调性的概念
在[0, )上单调增加； f (0) 0,
当x 0时， x ln(1 x ) 0, 即 x ln(1 x ).
利用单调性证明不等式的步骤： ①将要证的不等式作 恒等变形（通常是移项）使 一端为0另一端即为所作的辅助函数f(x);
②求 f ( x ) 验证f(x)在指定区间上的单调性; ③与区间端点处的函数值或极限值作比较即得证.
/
例3.设f (x) = ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的 取值范围，并求其单调区间.
解: f x 3ax 2 1,
若a 0, 则f x 在(-, )恒正, f x 只有一个单调区间,与题意不符.
1 1 1 2 若a<0,则f x 3a x x , 3a x 3a 3a 3a 1 1 a 0时, f x 有三个单调区间,(-,],[ , ) -3a -3a 1 1 为它的减区间, , 为它的增区间. -3a -3a
当 x 1时， f ( x ) 0, 在( ,1]上单调增加； 当1 x 2时，
f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少；
当2 x 时， f ( x ) 0, 在[2, )上单调增加；
单调区间为 ( ,1]， [1,2]， [2, ).
2
x 0, ln( x 1 x ) ln 1 0
2
x 0时, f ( x) f ( x ) f (0) 0
x 0时,1 x ln( x 1 x ) 1 x .
2 2
例8.设f ( x), g ( x)在[a, b]上可导, 且f ( x) g ( x),
函数的单调性奇偶性与周期性
函数的单调性、奇偶性与周期性基础知识一、函数的单调性 1． 单调性概念如果函数y= f (x )对于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、<x 2时， ①都有f (x 1)< f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是增函数（或单调递增），而这个区间称函数的一个单调递增区间 ；②都有f (x 1)> f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是减函数（或单调递减），而这个区间称函数的一个单调减区间.注意，若函数f (x )在整个定义域I 内只有唯一的一个单调（递增或递减）区间，则f (x )称单调函数.2． 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果/()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递增； 如果/()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递减。
二、函数的奇偶性 3．奇偶性概念如果对于函数f (x )定义域内的任意x ，①都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；②都有f (－x )= f (x )，则称f (x )为偶函数；③如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.④如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。
4．性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称。
5．函数f (x )为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =三、函数的周期性 6．周期性概念如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )= f (x )，则称f (x )为周期函数。
T 是f (x )的一个周期。
若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期。
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长郡中学高一第一学期第一次模块检测卷
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共I5小题，每小题3分.共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.A {x |x 410x N }B {x |x 20m m N }++=∈==∈已知集合是与的公倍数，，，， 则A 与B 的关系是（ ）
2.已知S={X|X 是平行四边形或梯形}，A={X|X 是平行四边形}，B={X|X 是菱形}，C={X|X 是矩形}，下列式子不成立的是
A 、
B
C x1x ⋂＝｛是正方形｝
B 、∁A B={x|邻边不相等的平行四边形}，
C 、∁S A={x|x 是梯形}．
D 、A B C ⋃＝ 3.2U 3U R A {x |}B {x |x 12x 200}7
x x -==≤=-+<⋃-，已知集合0，，则（A B ）＝ A 、{}x |x 210x ≤>或 B 、{}x |x 210x ≤≥或
C 、{}x |x 27x <≥或
D 、{}x |x 37x ≤>或
4、下列每组函数中f （x ）与g （x ）相同的是 A.2
x f x 1g x 1x x
=-=-（），（） B. 33f x g x ()x x ==（）
，（） C. 0f x 1g x x ==（）
，（） D. 361x f x g x x x
==（），（）5.已知f(x)＝x 2+bx+c,且f(1)=f(3)=0,则f(x)的单调递减区间为（ ）
6、已知函数f(x)是定义在上的奇函数，当x>0时，()2f x (1)x x =-那么方程f(x)=0的实数跟个数为
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
7、已知集合2{1}A x x ==，{ax 10}B x ==－若A B A =，则实数a 的取值为
A 、1
B 、－1
C 、－1，1
D 、－1，0，1
8、已知13-33,x +x =x x -+=则
A 、85
B 、35
C 、18
D 、35±
9、化简2222(2)()a a a a ---+÷-的结果为
A 、1
B 、－1
C 、2211a a -+
D 、2211
a a +- 10、函数y 3x ＝与1y 3x
＝-的图像关于 A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y ＝x 对称 11、已知函数，则实数a 的取值范围是
A 、(,1)(2,)-∞-+∞
B 、(1,2)-
C 、(2,1)-
D 、(,2)(1,)-∞-+∞
12、设函数f(x)x ∈（R ）
为奇函数，()1f 12=，()()()f x+2f x f 2=+，则()f 5= A 、0 B 、1 C 、52
D 、5 13、若二次函数()2f x 21ax ax =++在[]3,2-上有最大值4，则实数a 的值为
A 、－3
B 、38
C 、
D 、 14、已知集合{y ()0}A x x y x =+=（，），{y 1}B x y ==（，），则A
B =
A 、{(1,1),(1,1)}--
B 、{(1,1)}-
C 、{(1,1),(0,1),(0,1),(1,1)}---
D 、{(1,1),(0,1),(0,1)}--
15、定义在(0,)+∞上的函数f(x)满足()()f 2x 2f x ＝，且当[)1,2x ∈时，f(x)＝2－x ，x 1、x 2是方程f(x)＝a （0<a 《1）的两个实根，则x 1－x 2不可能是
A 、30
B 、56
C 、80
D 、112
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填写在题中的横线上
16、已知函数()24x f x 1x +－＝，则它的定义域为 17、已知集合，当A 为非空集合时a 的取值范围是
18、一种产品的产量原来为a ，在今后m 年内，计划使产量每年比上一年增加p ％，则产量y 随年数x 变化的函数解析式为 ，定义域为 。
19、用min ｛a ，b ，c ｝表示a ，b ，c 三个数的最小者，设()f x min -2x+210-x x ≥＝｛，，｝(0) （1）f （3）＝
（2）若0《x 《8，记f （x ）的最大值为M ，最小值为m ，则M+m ＝
20、若13x <<，
（1）方程①有解时a 的最大值为
（2）方程①有两个不同解时a 的取值范围是
三、解答艇：本大题共5小题，每小题8分，共40分，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
21.(本小题满分8分)
计算：
（1）43333133246339
（2）20.52037103720.12392748
π+++－－（）（）－
22.(本小题满分8分)
设全集U R ＝，已知集合2M (3)0)x =+≤｛x ｝,261N?{2()}2
x x x -== (1)求()U M N ⋂
(2)记集合()U A M N =⋂，已知{}B xla 1x 5a,a R =-≤≤-∈，若A B B ⋂=，求a 的取值范围.
23.(本小题满分8分)
已知函数()2x f x =，1()22x g x =
+ (1)求两数g(x)的值域.
(2)当f(x)=g (x)时，求2x 的值.
24.(本小题满分8分)
设函数()221
x f x a =-+ (1)求函数f(x)为奇函数时a 的值.
(2)探索f(x)的单调性、并使用单调函数定义给出证明.
(3)若关于x 的不等式()2f x kx 10-+>恒成立.求k 的取值范围.
25.(本小题满分8分)
已知某产品关税与市场供应量P的关系式近似地满足()
P x=(其
中，t为关税的税率，且
1
0,
2
t
⎡⎫
∈⎪
⎢⎣⎭，x为市场价格，b、k为常数)，当t＝
1
8
时的
市场供应量曲线如下：
(1)根据图象求k和b的值;
(2)若市场需求量为Q，它近似满足()
1 11-x
2
Q x2
=，当P=Q时的市场价格称为平衡价格，为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率t的最小值。