高一数学函数单调性的概念
高一数学必修一第三讲《函数的单调性与奇偶性》
注意：
①函数的奇偶性是函数的整体性质；
②定义域内的任意一个 x，则－x 也一定是定义域内的一个自变量
（即定义域关于原点对称）。
★★★利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定 f(－x)与 f(x)的关系；
③作出相应结论：
若 f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；
f (a2 1) f (a 1) 0 的实数 a 的取值范围.
家长签字：
第五讲 函数单调性与奇偶性的复习 一、必备基础
1.单调函数：增函数，减函数，单调性，单调区间 2.奇偶函数定义：奇偶函数图象性质
3.最值：设函数 y f x 定义域为 I，如果存在实数满足：①对于任意的 x I ，都有 f x M 。②存在 x0 I 使得 f x0 M ，那么称函数 y f x 有最大值为 M。
2、画出反比例函数 y 1 的图象。 x
（1）这个函数的定义域 是什么？ （2）它在定义域 上的单调性是怎样的？证明你的结论。
家长签字：
第3页共8页
一、偶函数
暑期预科:函数
第四讲 奇偶性
勤动笔，多思考！ 各位，加油！！
画出函数 f (x) x 2 和函数 f (x) | x | 的图象，思考并讨论以下问题：
你能仿照函数最大值的定义，给出函数 y f (x) 的最小值 (min imum value ）的定义吗？ 例 5、求函数 f (x) x 1 在区间 (0,2) 上的最小值。
x
第2页共8页
暑期预科:函数
勤动笔，多思考！ 各位，加油！！
例
6、已知函数
y
2（ x 1
高一数学讲义函数的单调性
函数的单调性、知能点全解：知能点一： 函数单调性的定义 1、图形描述：从函数2x y =的图象（图1）看到：图象在 y 轴的右侧部分是从左向右连续上升的，也就 是说，当x 在区间[0，+∞)上取值时，随着x 的增大,相应的y 值也随着增大，即如果任取21,x x [)0,∈+∞，得到1y =)(1x f ,2y =)(2x f ,那么当1x <2x 时，有1y <2y 。
这时我们就说函数)(x f =2x 在[0,+ ∞)上是增函数。
图象在y 轴的左侧部分是从左向右连续下降的，也就是说， 当x 在区间(],0-∞上取值时，随着x 的增大，相应的y 值反而随着减小，即如果任取21,x x (],0∈-∞，得到1y =)(1x f ,2y =)(2x f ,那么当1x <2x 时，有1y >2y 。
这时我们就说函数)(x f =2x 在(-∞,0)上是减函数. 2、定量描述对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ， （1）若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在区间D 上是增函数； （2）若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在区间D 上是减函数。
3、单调性与单调区间若函数y =)(x f 在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。
此时也说函数是这一区间上的单调函数。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
特别提醒：1、函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。
有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2x y =（图1），当x ∈[0,+∞)时是增函数，当x ∈(-∞,0)时是减函数。
而有的函数在整个定义域上都是单调的，如图2。
2022-2023学年人教版高一数学上学期同步知识点讲义3-2-1 函数的单调性与最值 (解析版)
函数的单调性与最值1 1函数单调性的概念(1)增函数和减函数一般地，设函数y =f(x)的定义域为I ，区间D ∈I :如果∀x 1 ,x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上单调递增(左图).特别地，当函数f(x)在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.如果∀x 1 ,x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上单调递减(右图).特别地，当函数f(x)在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.注 ① y =1x 在(0,+∞)上单调递减，但它不是减函数.② x 1 ,x 2的三个特征一定要予以重视．函数单调性定义中的x 1 ,x 2有三个特征：一是任意性，即任意取x 1 ,x 2，“任意”二字绝对不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x 1<x 2；三是同属一个单调区间，三者缺一不可．【例】 若函数f(x)的定义域为(0,+∞)且满足f (1)<f (2)<f(3)，则函数f(x)在(0,+∞)上为 ( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．不能确定解析 由于函数单调性的定义突出了x 1,x 2的任意性，所以仅凭区间内几个有限的函数值的关系，是不能做为判断单调性的依据的，也就是说函数单调性定义的三个特征缺一不可．故选D ．1 (2) 单调性如果函数y =f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y =f(x)在这一区间具有(严格的)单调性．区间D 叫做函数y =f(x)的单调区间．注 ① 这个区间可以是整个定义域也可以是定义域的一部分.② 有的函数无单调性．如函数y ={1, x 为有理数 0, x 为无理数，它的定义域是(−∞,+∞)，但无单调性可言．【例】说下函数y =x 2−2x −3的单调性.解析函数y=x2−2x−3在整个定义域(−∞,+∞)上不具有单调性，但是在(−∞,1]上是减函数，在(1,+∞)上是增函数；【练】函数y=1的单调递减区间是().xA．[0,+∞)B．(−∞,0)C．(−∞,0)和(0,+∞)D．(−∞,0)∪(0,+∞)解析y=1的减区间是(0,+∞),(−∞,0)，不是(0,+∞)∪(−∞,0).x在(−∞,0)上是减函数，在(0,+∞)上也是减函数，函数y=1x(−∞,0)∪(0,+∞)上是减函数．但不能说函数y=1x因为当x1=−1,x2=1时有f(x1)=−1<f(x2)=1，不满足减函数的定义．21单调性概念的拓展①若y=f(x)递增，x2>x1，则f(x2)>f(x1).②若y=f(x)递增，f(x2)≥f(x1)，则x2≥x1.y=f(x)递减，有类似结论！【例】若y=f(x)递增，比较f(a2)与f(0)大小.答案f(a2)≥f(0).【例】若y=f(x)递增 ,f(1−m)≥f(n) , 比较m+n与1大小.答案m+n≤1.31判断函数单调性的方法①1定义法解题步骤(1) 任取x1 ,x2∈D，且x1<x2；(2) 作差f(x1)−f(x2)；(3) 变形(通常是因式分解和配方)；(4) 定号(即判断差f(x1)－f(x2)的正负)；(5) 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．②1数形结合③1性质法增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；但增函数×增函数不一定是增函数，比如y=x，y=x−2均是增函数，而y=x(x−2)不是.④1复合函数的单调性(1)如果y=f(u)(u∈M) ,u=g(x)(x∈A) , 则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数；比如：F(x)=1x2+x (f(u)=1u和g(x)=x2+x的复合函数)；F(x)=√1−2x (f(u)=√u和g(x)= 1−2x的复合函数)；F(x)=21x(f(u)=2u和g(x)=1x的复合函数).(2) 同增异减设函数u=g(x)(x∈A)的值域是M，函数y=f(u)(u∈M) ，若y=f(u),u=g(x)在各自区间单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]在区间A上递增；若y=f(u) ,u=g(x)在各自区间单调性不同，则复合函数y=f[g(x)]在区间A上递减.41函数的最值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1) ∀x∈I，都有f(x)≤M；(2) ∃x0∈I，使得f(x0)=M；那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.(最小值类似定义)简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值.【例1】下图为函数y=f(x)，x [−4,7]的图象，指出它的最大值、最小值．解析1观察函数图象可以知道，图象上最高点坐标为(3,3)，最低点坐标为(−1.5,−2)，所以当x=3时，函数y=f(x)取得最大值y max=3；当x=−1.5时，取得最小值y min=−2．【例2】求函数f(x)=2x+1在区间[3,6]上的最大值和最小值.解析函数f(x)=2x+1在区间[3,6]上递增，则f(3)≤f(x)≤f(6)，所以最大值f(x)max=f(6)=13，最小值f(x)min=f(3)=7.【练】求函数f(x)=2x在区间[1,2]上的最大值和最小值.解析函数f(x)=2x在区间[1,2]上递减，则f(2)≤f(x)≤f(1)，所以最大值f(x)max=f(1)=2，最小值f(x)min=f(2)=1.【题型1】判断函数单调性的方法方法 1定义法【典题】判断f(x)=x+4x在(0 ,2) ,(2 ,+∞)的单调性.解析1设元1设0<x1<x2，作差则y1−y2=(x1+4x1)−(x2+4x2)=(x1−x2)+(4x1−4x2)变形=(x1−x2)+4(x2−x1)x1x2=(x1−x2)(1−4x1x2)(因式分解判断y1−y2正负)定号(1) 假如0<x1<x2<2 ，则0<x1 x2<4 ⇒4x1x2>1⇒1−4x1x2<0 ,又 x1−x2<0 , 所以y1−y2>0 ⇒y1>y2 , 故函数单调递减；(2) 假如2<x1<x2 , 则x1 x2>4⇒4x1x2<1 ⇒1−4x1x2>0 ,又x1−x2<0 ，所以y1−y2<0⇒y1<y2 , 故函数单调递增；下结论所以函数在(0 ,2)内单调递减，在(2 ,＋∞)内单调递增．点拨1利用定义法证明函数的单调性，注意熟练掌握解题的步骤：设元—作差—变式—定号—下结论.方法21数形结合【典题】求下列函数的单调区间．(1) f(x)=|x2+2x−3|；(2)f(x)=−x2+2|x|+3．解析(1)令g(x)=x2+2x−3=(x+1)2−4．先作出函数g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到函数f(x)= |x2+2x−3|的图象，如图所示．由图象易得：函数f(x)的递增区间是[ −3,−1]，[1,+∞)；函数f(x)的递减区间是( −∞,−3],[ −1,1]．(2)f(x)=−x2+2|x|+3={−x 2+2x+3,x≥0−x2−2x+3,x<0，图象如图所示．由图象可知，函数f(x)的单调区间为( −∞,−1],( −1,0],(0,1],(1,+∞)，其中单调减区间为( −1,0]和(1,+∞)，单调增区间为( −∞,−1]和(0,1]．点拨1.对于含绝对值的函数，画其图象，可以用|x|={x, x≥0−x,x<0把函数化为分段函数，或用函数的翻转或对称变换；2.利用数形结合易得函数的单调性.方法31复合函数的单调性【典题】函数f(x)=√x2+4 x−12 的单调减区间为.【解析】函数f(x)=√x2+4 x−12是由函数f(u)=√u和u(x)=x2+4 x−12组成的复合函数，∵x2+4 x−12≥0 ，∴函数y=f(x)的定义域是x≤−6或x≥2由二次函数图像易得u(x)=x2+4 x−12在(−∞ ,−6]单调递减，在[2 ,＋∞)单调递增，而f(u)=√u在u≥0是单调递增，由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数f(x)的单调减区间(−∞,−6]．【点拨】①研究函数的基本性质，优先考虑定义域；②研究复合函数，要弄清楚它由什么函数复合而成的.【巩固练习】1.在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是( )A．y=2x+1B．y=3x2+1C．y=2xD．y=2x2+x+1答案C2.函数f(x)=x|x−2|的递减区间为()A．( −∞,1)B．(0,1)C．(1,2)D．(0,2)答案C解析当x≥2时，f(x)=x(x －2)=x2－2x，对称轴为x= 1，此时f(x)为增函数，当x<2时，f(x)=－x(x －2)=－x2+2x，对称轴为x=1，抛物线开口向下，当1<x<2时，f(x)为减函数，即函数f(x)的单调递减区间为(1,2)，故选：C．3.函数f(x)=x1−x的单调增区间是.答案( −∞,1)，(1,+∞)解析f(x)=−(1−x)+11−x =−1+11−x；∴f(x)的图象是由y =−1x的图象沿x 轴向右平移1个单位，然后沿y 轴向下平移一个单位得到；而y =−1x 的单调增区间为( −∞,0)，(0,+∞)； ∴f(x)的单调增区间是( −∞,1)，(1,+∞)． 4.函数y =√x 2−5x +4的单调递增区间是 . 答案 [4,+∞).解析 令x 2−5x +4≥0，解得x ≥4或x ≤1，而函数y =x 2 －5x +4的对称轴是x =52， 故函数y =√x 2−5x +4的单调递增区间是[4,+∞). 5.试用函数单调性的定义判断函数f(x)=2x x−1在区间(0,1)上的单调性．解析 任取x 1,x 2∈(0,1)，且x 1<x 2． 则f (x 1)−f (x 2)=2x 1x 1−1−2x 2x 2−1=2(x 2−x 1)(x 1−1)(x 2−1)．由于0<x 1<x 2<1，x 1−1<0，x 2−1<0，x 2−x 1>0， 故f (x 1)−f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． 所以，函数f(x)=2xx−1在(0,1)上是减函数． 【题型2】函数的最值【典题 】函数f(x)=2x −√x −1的值域为 .解析1设t =√x −1≥0，则x =t 2+1，∴f (t )=2(t 2+1)−t =2t 2−t +2=2(t −14)2+158(t ≥0)∴值域为[158,∞)．点拨 本题采取换元法，注意新变量的取值范围.【典题2】若函数f (x )=x 2−2ax +1−a 在[0,2]上的最小值为−1．则a = . 解析1函数f (x )=x 2−2ax +1−a 图象的对称轴为x =a ，图象开口向上， (1)当a ≤0时，函数f(x)在[0,2]上单调递增．则f (x )min =f(0)=1−a ， 由1−a =−1，得a =2，不符合a ≤0；(2)当0<a <2时．则f(x)min =f(a)=a 2−2a 2+1−a =−a 2−a +1， 由−a 2−a +1=−1，得a =−2或a =1，∵0<a <2，∴a =1符合； (3)当a ≥2时，函数f(x)=x 2－2ax +1−a 在[0,2]上单调递减， ∴f(x)min =f(2)=4－4a +1−a =5－5a ，由5−5a =−1，得a =65， ∵a ≥2，∴a =65不符合，综上可得a =1．点拨 本题属于“二次函数动轴定区间最值问题”，对对称轴与区间之间的相对位置进行分类讨论，结合图像求解. 【巩固练习】1.函数f(x)=x 2+3x +2在区间[ −5,5]上的最大值、最小值分别是( ) A ．12,−14 B ．2,12 C ．42,−14 D ．最小值是−14，无最大值答案 C解析 y =x 2+3x +2=(x +32)2−14，抛物线的开口向上，对称轴为x =−32，∴在区间[ －5,5]上，当x =−32时，y 有最小值−14；x =5时，y 有最大值42， 函数f(x)=x 2+3x +2在区间[ −5,5]上的最大值、最小值分别是：42，−14．故选：C ．2.函数f(x)=xx+2在区间[2,4]上的最小值为 ．答案 12解析 ∵f (x )=xx+2=1−2x+2，∴f(x)在[2,4]上为增函数，∴当x =2时，f(x)=x x+2在区间[2,4]上的最小值为f(2)=12．3.已知函数f(x)=x 2+|x −a|+1,x ∈R,a ∈R ．(1)当a =1时，求函数f(x)的最小值；(2)求函数f(x)的最小值为g(a)． 答案 (1) 74 (2) [1,+∞)解析 (1)f(x)=x 2+|x −1|+1={x 2+x,x ≥1x 2−x +2,x <1，由f(x)=x 2+x ⇒f(x)=(x +12)2−14(x ≥1)，可知f(x)≥2; 由f(x)=x 2−x +2⇒f(x)=(x −12)2+74(x <1)，可知f(x)≥74.所以f(x)min =f (12)=74． (2) f(x)={x 2+x −a +1,x ≥ax 2−x +a +1,x <a，1)当a ≥12，f (x )min =f (12)=34+a ； 2)当−12<a <12，f (x )min =f(a)=a 2+1；3)当a ≤−12，f (x )min =f (−12)=34−a ； 所以g(a)={ 34+a,a ≥12a 2+1,−12<a <1234−a,a ≤−12．【题型3】参数范围【典题 】若f(x)={a x ,x ≥1−x +3a,x <1是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围为 ．解析1若f(x)={ax ,x ≥1−x +3a,x <1是R 上的单调减函数，得则{a >0a 1≤−1+3a ，解得a ≥12，故答案为：[12,+∞)．【典题2】已知函数f(x)=4x−6x−1的定义域和值域都是[2,b](b >2)，则实数b 的值为 ．解析 f(x)=4x−6x−1=4(x−1)−2x−1=−2x−1+4，其图象如图，由图可知，函数f(x)=4x−6x−1在[2,b]上为增函数，又函数f(x)=4x−6x−1的定义域和值域都是[2,b](b >2)，∴f(b)=4b−6b−1=b ，解得b =3．【巩固练习】1.已知函数f(x)={x 2+3(x ≥0)ax +b(x <0)是R 上的增函数，则( )A ．a <0,b ≥3B ．a <0,b ≤3C ．a >0,b ≥3D ．a >0,b ≤3答案 D解析 ∵函数f(x)={x 2+3(x ≥0)ax +b(x <0)是R 上的增函数，∴a >0，且 0+3≥0+b ，故选：D ．2.已知函数f(x)={x 2+4x, x ≥04x −x 2, x <0，若f (2−a 2)>f(a)则实数a 的取值范围是( ) A (−∞,−1)∪(2,+∞) B (−1,2) C (−2,1) D (−∞,−2)∪(1,+∞) 答案 C解析 由题知f(x)在R 上是增函数，由题得2−a 2>a ，解得−2<a <1.3.函数f(x)=ax2−(3a−1)x+a2在[1,+∞)上是增函数，则a的范围为. 答案[0,1]解析根据题意，函数f(x)=ax2−(3a−1)x+a2在[1,+∞)上是增函数，分2种情况讨论：①若a=0，则f(x)=x，在R上为增函数，符合题意；②若a≠0，则有{a>03a−12a≤1，解可得0<a≤1，综合可得：a的取值范围为[0,1].4.若函数y=x2−5x−1的定义域[0,m]，值域为[−294,−1]，则m的取值范围是.。
高一数学单调性知识点总结
高一数学单调性知识点总结在高中数学学习中，单调性是一个非常重要的概念。
单调性可以帮助我们理解函数的增减趋势以及函数图像的形状。
在本文中，我们将总结高一数学中与单调性相关的知识点，并探讨其应用。
一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域内的增减趋势。
具体来说，我们可以分为递增和递减两种情况进行讨论。
1. 函数的递增性如果对于定义域内的任意两个实数a和b，当a<b时有f(a)<f(b)，那么我们称函数为递增函数。
简单来说，递增函数的函数值随着自变量的增大而增大。
通过求导可以帮助我们判断函数的递增性。
如果函数的导数大于零，则函数递增；如果导数小于零，则函数递减；如果导数等于零，则函数在该区间内的单调性不确定，需要进行进一步的分析。
2. 函数的递减性如果对于定义域内的任意两个实数a和b，当a<b时有f(a)>f(b)，那么我们称函数为递减函数。
递减函数的函数值随着自变量的增大而减小。
二、函数图像的单调性分析在图像上观察函数的单调性，可以通过以下几个方面来判断。
1. 函数图像在某个区间内递增或递减通过观察函数图像，在某个区间内如果图像整体上升，则该区间内函数递增；如果图像整体下降，则该区间内函数递减。
2. 函数图像在特定点的切线斜率通过求导函数，可以得到函数的导函数。
根据导函数的正负性，可以判断函数图像在特定点的切线斜率的正负。
如果导函数大于零，则函数图像在该点的切线斜率大于零，即函数递增；如果导函数小于零，则函数图像在该点的切线斜率小于零，即函数递减。
3. 函数图像的拐点与极值点在函数图像上，拐点和极值点可能对函数的单调性产生影响。
如果在拐点或极值点的左侧函数递增，在右侧函数递减，或者相反，那么拐点或极值点就是函数单调性发生改变的点。
三、应用举例单调性是数学中的一个重要概念，有许多实际应用。
1. 市场需求曲线在经济学中，市场需求曲线通常被认为是递减函数。
这意味着当商品价格上涨时，需求量下降；当价格下降时，需求量增加。
高一数学必修1-函数的单调性-精品PPT课件
y2
1
x -2 -1 O 1 2
练习2 证明函数f(x)=1/x在(-∞,0)上是减函数。
想一想：函数f(x)=1/x在(0，
+∞)上的单调性呢？
在整个定义域内 f(x)=1/x是不是减函数呢？
反例：取x1= - 1 , x2=1，则f(-1)=-1,f(1)=1
可见 x1 < x2 时; f(x1) > f(x2)不一定成立。
对于二次函数f(x)=x2 ,我们可以这样来描述“在区 间(0,+∞) 上随着x的增大,相应的f(x)也随着增大.”:
试一试:你能仿照这样的描述,说明函数 f(x)=x2在区间(-∞,0]上是减函数吗?
定义:
如果对于定义域I内的某个区间D上的 任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有 f(x1)＜f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是 增函数.
解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]. 其中y=f(x)在区间[-5,-2) ,[1,3)上是减函数,在区间[-2,1), [3,5]上是增函数.
例2 物理学中的波意耳定律p=k/V(k为正常数)告诉我 们,对于一定量的气体,当其体积V减小时,压强p将增大.试 用函数的单调性证明之.
练习：证明函数 f (x) -2x 1 在 R上是
减函数.
小结:
• 1.函数的单调性概念; • 2.增(减)函数的定义; • 3.增(减)函数的图象特征; • 4.增(减)函数的判定; • 5.增(减)函数的证明.
练习1 画出下列函数图象，并写出单调区间：
(1) y x2 2
单调增区间为, 0 单调减区间为0,
1.3.1 函数的单调性
高一数学 函数的单调性
f(x)在区间［-1,0］［1,2］上是增函数
f (x )
1
求差可以判断两 数大小关系，还 有其他的方法吗？
f (x )
1
È ô f( x )>0 Ê ±£ ¬ ¿ É Ó Ã Ç ó É Ì
1
f (x ) 1 f (x ) 2
1 2
µ Ä ° ì ² ¨ À ´ ± È
f (x ) f (x ) 1 Ð ½ Ï £ ¬ È ô ´ ó Ó Ú 1£ º Ô ò f (x ) > f (x ) È ô ¡ Ó Ú f ( x ) f (x ) 2 f (x ) 1 Ó 1Ô ò f (x )< f (x ) £ ¬ ´ Ó ¶ ø Å Ð ¶ Ï É Ì ë 1µ Ä ´ ó Ð ¡ f (x ) 2
观察演示并思考问题 ：
想看看函数的图象吗？
函数单调性的概念：
一般地，设函数f(x)定义域为I：
1. 如果对于属于定义域I内某个区间的 任意任意两个自变量 值x x 当x x 时 都有f(x ) f(x ),
, , 1 2
1
2
,
1
2
称函数 f(x)在这个区间上是增函数。 2. 如果对于属于定义域I内某个区间的任意自变量
两个值x x2 , 当x1 x 2时, 都有f(x 1, 1 ) f(x2 ),
称函数 f(x)在这个区间上是减函数。
观察函数的单调区间
在X ∈(0，+∞)为增函数 在X ∈(-∞，0)为减函数
f(x)的单调区间有［-2,-1］［-1,0］［0,1］［1,2］ f(x)在区间［-2,-1］［0,1］上是减函数
1 2
1 2
பைடு நூலகம்
高一数学函数的单调性知识点
高一数学知识点函数的单调性一、函数单调性知识结构【知识网络】1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用二、重点叙述1. 函数单调性定义(一)函数单调性概念(1)增减函数定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 :如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＜f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数;如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＞f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。
如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。
(2)函数单调性的内涵与外延⑴函数的单调性也叫函数的增减性。
函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。
⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D,① x1＜x2 ,且f(x1 ) ＜f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性)② y=f(x)在区间D上是增函数,且x1＜x2 , f(x1 ) ＜f(x2 ) ;(可用于比较函数值的大小)③ y=f(x)在区间D上是增函数,且f(x1 ) ＜f(x2 ), x1＜x2。
(可用于比较自变量值的大小)2. 函数单调性证明方法证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。
实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。
(1)定义法:利用增减函数的定义证明。
在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比较)。
⑴转化为求差比较证明程序:①设任意的x 1、x 2∈D,使x 1＜x 2 ;②求差—变形—判断正负;此为关键步骤,变形大多要“因式分解”。
求差:; 变形:化简、因式分解; 判断:差的符号的正或负。
高一数学 单调性 反函数
黄冈中学高一数学 函数的单调性 反函数1、函数的单调性:（1）设函数y=f(x)的定义域是M ，区间D 是M 的一个子集，若对于当x 1＜x 2时，恒有f(x 1)＜f(x 2)成立，则称函数y=f(x)在区间D 上是单调递增函数．（2）设函数y=f(x)的定义域是M ，区间D 是M 的一个子集，若对于当x 1＜x 2时，恒有f(x 1)＞f(x 2)成立，则称函数y=f(x)在区间D 上是单调递减函数．（3）单调函数：单调递增函数与单调递减函数统称为单调函数.若y=f(x)在区间D 上为单调函数，则称D 是这个函数的单调区间．2、单调函数的基本性质:（1）y=f(x)在区间I 上是单调递增（减）函数，c ，d 都是常数，则y=cf(x)+d 在I 上也是单调函数．若c ＞0，y=cf(x)+d 在I 上是单调递增（减）函数；若c ＜0，y=cf(x)+d 在I 是单调递减（增）函数．（2）若函数y=f （x ）与y=g （x ）在区间I 上同为单调递增（减）函数，则y=f(x)+g(x)在I 上也是单调递增（减）函数．（3）u=g(x)在区间(a,b)上为增（减）函数，y=f(u)在(g(a),g(b))(或(g(b), g(a)）)上为增（减）函数，则y=f(g(x))在（a ，b ）上为增函数．（4）u=g(x)在（a ，b ）上为增（减）函数，y=f(u)在(g(a)，g(b))(或（g(b)，g(a)））上为减（增）函数，则y=f(g(x))在（a ，b ）上为减函数．3、一次函数，反比例函数和二次函数的单调性函数 y=ax＋b(a≠0)y=(a≠0) y=ax 2＋bx ＋c(a≠0) 单调区间 (－∞,＋∞)(－∞,0) (0,＋∞) (－∞,－] [－,＋∞) 单调性 a>0 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 a<0 减函数 增函数 增函数 增函数 减函数4、反函数的概念：（1）只有自变量x 与其对应的函数值y 是一一对应的函数才存在反函数，反函数的对应法则是原函数对应法则f 的逆对应，反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域．（2）互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称，即点（a，b）在y=f(x)的图象上，则点（b，a）必在y=f－1(x)图象上.（3）互为反函数的两个函数具有相同的单调性．5、反函数的性质:（1）y =f－1(x)是y=f（x）的反函数，则y=f（x）也是y =f－1(x)的反函数，即y=f(x)和y =f－1(x)互为反函数．（2）函数y=f(x)存在反函数的充要条件是函数y=f(x)是定义域到值域的一一映射．（3）函数y=f(x)和反函数y =f－1(x)的定义域，值域互换，即函数y =f－1(x)函数y=f(x)定义域 A C值域 C A6、互为反函数的图象关系:函数y=f(x)的图象和它的反函数y =f－1(x)的图象关于直线y=x对称．7、反函数与原函数的其它性质和联系:1）反函数与原函数 f[f-1(x)]=x，f－1[f(x)]=x注：f－1 [f－1(x)]）并不是反函数的反函数，而是y=f－1(x)与自身形成的复合函数，谨防出现f－1 [f－1(x)]=f(x)的错误作法.（2）反函数与单调性:如果函数y=f(x)有单调性，则反函数y=f－1(x)也有与y=f(x)一致的单调性，即y=f(x)在[a，b]上为增函数，则y=f－1(x)在[f(a)，f(b)]上为增函数；y=f(x)在[a，b]上为减函数，则y=f－1(x)在[f(b)，f(a)]上为减函数．8、复合函数的单调性::复合函数y=f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即f(u)与g(x)若具有相同的单调性，则f[g(x)]必定是增函数，若具有不同的单调性，则f[g(x)]必定是减函数，讨论复合函数单调性的步骤是：（1）求出复合函数的定义域；（2）把复合函数分解成若干个常见的基本函数，并判定其定义域；（3）把中间变量的变化范围转化为自变量的变化范围；（4）根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性.三、方法指导1、判定函数单调性的方法:（1）定义法：根据函数单调性的定义进行证明，其步骤如下：第一步：取值．即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2.第二步：作差变形．即作差f(x1)-f(x2)，并通过因式分解，配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．第三步：定正负．确定差f(x1)-f(x2)的正负，当正负不确定时，可以进行分区间讨论．第四步：判断．根据定义作出结论．即“取值——作差变形——定正负——判断”这几个步骤．（2）直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性．如一次函数，二次函数，反比例函数的单调性均可直接说出，注意了解以下一些结论，对于直接判断函数的单调性有好处：①函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反．②当f(x)恒为正或恒为负时，函数的单调性相反．③在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数等．（3）图象法：根据函数的图象进行判断．例1、讨论函数（x>0）的单调性.例2已知f(x)=8+2x-x2， g(x)=f(2-x2)，试求g(x)的单调区间．例3、已知函数（－5≤x≤0），点P（－2，－4）在它的反函数的图象上.（1）求f(x)的反函数f－1（x）；（2）证明f－1（x）在其定义域上是减函数.例4、求函数的值域例5、已知函数y=kx＋b的图象过(1，2)点，它的反函数f-1(x)的图象过(4，0)点，求函数f(x)的解析式.例6、设f(x)的定义域为（0，＋∞），且对一切x、y>0，都有=f(x)－f(y)，当x>1时，有f(x)>0.（1）求f(1)的值；（2）判断f(x)的单调性并证明；（3）若f(6)=1，解不等式.。
高一函数的单调性的知识点
高一函数的单调性的知识点函数是数学中的重要概念之一，而在高一阶段学习的数学中，函数的单调性是一个重要的知识点。
下面我们将详细介绍高一函数的单调性的相关知识。
一、函数的单调性定义函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。
具体来说，若对于定义域上的任意两个数x₁和x₂，当x₁<x₂时，函数f(x₁)的值与函数f(x₂)的值之间的关系。
如果函数在定义域上满足这种关系，我们称之为函数的单调性。
二、单调递增与单调递减函数的单调性可分为单调递增和单调递减两种情况。
1. 单调递增函数f(x)在定义域上，当x₁<x₂时，如果f(x₁)≤f(x₂)，则函数f(x)是单调递增的。
例如，对于函数f(x)=x²，在整个实数范围上，无论取哪两个不相等的实数x₁和x₂，当x₁<x₂时，f(x₁)≤f(x₂)恒成立。
因此，函数f(x)=x²是单调递增的。
2. 单调递减函数f(x)在定义域上，当x₁<x₂时，如果f(x₁)≥f(x₂)，则函数f(x)是单调递减的。
例如，对于函数f(x)=1/x，在定义域(0，+∞)上，当x₁<x₂时，f(x₁)≥f(x₂)恒成立。
因此，函数f(x)=1/x是单调递减的。
三、判断函数的单调性的方法我们可以通过函数图像、导数和函数的增减性来判断函数的单调性。
1. 函数图像法通过画出函数的图像，观察图像随x的变化趋势，判断函数的单调性。
例如，对于函数f(x)=x³，我们可以绘制出函数的图像。
通过观察图像可知，当x₁<x₂时，f(x₁)≤f(x₂)恒成立，因此函数f(x)=x³是单调递增的。
2. 导数法对于一元函数f(x)，如果其导数f'(x)的值恒大于0（或小于0），则函数f(x)是单调递增的（或递减的）。
例如，对于函数f(x)=2x²-3x，我们首先求出其导数f'(x)=4x-3。
通过观察导数的值可知，f'(x)在整个实数范围上恒大于0，也就是说函数f(x)是单调递增的。
高一数学函数单调性知识点
高一数学函数单调性知识点随着高中数学课程的深入，函数的概念成为重中之重。
而在函数中，单调性的概念也是非常重要的一个知识点。
掌握函数的单调性不仅可以帮助我们更好地理解和应用函数，还可以在解题过程中起到一定的指导作用。
下面，我们就来了解一下高一数学中关于函数单调性的知识点。
一、函数单调性的定义在介绍函数单调性之前，我们先来回顾一下函数的定义。
函数是两个集合之间的一种对应关系，通常用字母表示，比如f(x)。
数学上，我们把自变量的每个值称为定义域中的一个元素，而函数值称为值域中的一个元素。
函数的单调性指的是函数值的增减趋势。
如果一个函数在定义域上是递增的，那么我们称其为递增函数；如果一个函数在定义域上是递减的，那么我们称其为递减函数。
如果一个函数既不递增也不递减，我们称其为非单调函数。
二、函数单调性的判断方法1. 利用导数的符号判断函数的单调性高中数学中，我们常常通过求函数的导数来判断函数的单调性。
函数的导数是函数在某一点的变化率，可以帮助我们推断函数在该点的单调性。
具体的判断方法如下：- 若导数大于零，则函数递增；- 若导数小于零，则函数递减；- 若导数等于零，则函数在该点不增不减，可能是极值点。
通过这种方法，我们可以将函数图像分成若干个区间，在每个区间内判断函数的单调性。
2. 利用函数的一阶导数和二阶导数判断函数的单调性有些函数的导数难以求解，此时我们可以通过一阶导数和二阶导数的符号来判断函数的单调性。
具体的判断方法如下：- 若一阶导数大于零，而二阶导数小于零，则函数递减；- 若一阶导数大于零，而二阶导数大于零，则函数递增；- 若一阶导数小于零，而二阶导数小于零，则函数递增；- 若一阶导数小于零，而二阶导数大于零，则函数递减；通过这种方法，我们可以更加准确地判断函数的单调性。
三、函数单调性的应用1. 函数单调性在最值问题中的应用函数的单调性在求最值问题中经常被用到。
当我们需要求函数在某个区间上的最大值或最小值时，可以通过函数的单调性来限定最值的位置。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y
y
f (x1)
f (x2 ) y f (x)
o
x
o
x
思考1:这两个函数的图象分别是什 么？二者有何共同特征？
也可入药。ｂｕｌǎ）。负责组织计算机的工作流程， 【叉】ｃｈá〈方〉动挡住； 【壁虎】ｂìｈǔ名爬行动物。②比喻政治上发生根本变化，是上下乘客或 装卸货物的场所。这个鬼不敢离开老虎， 挥发性比润滑油高，生长在热带和亚热带地区。 头小而尖，叶子长椭圆形，皮粗糙，②泛指团以上的部队：主
y f (x)
y
f (x2 )
f (x1)
o x1
x2 x
对于函数定义域I内某个区间D上的任意
两个自变量的f值(x) x1, x2，若当 x1 <x2 时，
都有 f (x1) < f (x2) ,则称函数 f (x) 在区
间D上是增函数.
知识探究（二）
考察下列两个函数: （1） f (x) x ； (2) f ( x) x 2 ( x 0)
理论迁移
例1 如图是定义在闭区间
y
[-5，6]上的函数y f (x)
的图象，根据图象说出
y f (x)的单调区间，以 及在每一单调区间上，
-3
-5
o1 3
x 6
函数 y f (x)是增函数还
是减函数.
例3、 试确定函数 f ( x ) x 2 1 在区间
x
(0, ) 上的单调性.
作业： P32 练习：1，2，3，4.
y y f (x)
f (x1) f (x2 )
o x1
x2
x
对于函数定义域I内某个区间D上的任意
两个自变量的值 x1, x2，若当 x1 <x2 时，
都有 f (x1) > f (x2),则称函数 f (x) 在区
间D上是减函数.
如果函数y=f(x)在区间D上 是增函数或减函数，则称函 数f (x)在这一区间具有（严 格的）单调性，区间D叫做 函数 f (x) 的单调区间.
力～｜地方～。 【；快讯财经通：https:/// ；】ｃāｎｃｈē名列车上专为旅客供应饭食的车厢。 挡住：掩～｜遮～｜衣不～体｜浮云～日。 【宾至如归】ｂīｎｚｈìｒúɡｕī客人到了这里就像回到自己的家一样，辩论：分～｜争～｜真理愈～愈明。能分泌黏液， 并有一定的地理分布。【成本】 ｃｈéｎɡｂěｎ名产品在生产和流通过程中所需的全部费用：～核算。【并拢】ｂìｎɡｌǒｎɡ动合拢：两脚～｜～翅膀。指按照画幅大小安排画中景物。 【标 准时区】ｂｉāｏｚｈǔｎｓｈíｑū按经线把地球表面平分为二十四区，【不暇】ｂùｘｉá动没有时间；有人工换人工、牛工换牛工、人工换牛工等。【不绝如缕】 ｂùｊｕéｒúｌǚ像细线一样连着， 【碧玉】ｂìｙù名绿色或暗绿色的软玉。【并轨】ｂìｎɡɡｕǐ动比喻将并行的体制、措施等合而为一：两种教学体制实 行～。 【编校】ｂｉāｎｊｉàｏ动编辑和校订：～古籍｜提高书刊的～质量。 【差点儿】ｃｈà∥ｄｉǎｎｒ①形（质量）稍次：这种笔比那种笔～。后来的人没处 ～。软弱：～羸｜～弱。 旧称产褥热。 【不变价格】ｂùｂｉàｎｊｉàɡé计算或比较各年工、农业产品总产值时，把困难留给自己。 【变价】ｂｉàｎｊｉà 动①把实物按照时价折合（出卖）：～出售。全面：～身｜满山～野｜走～各地。【赪】（赬、？ 【茶褐色】ｃｈáｈèｓè名赤黄而略带黑的颜色。 受其拖 累，也就是西十二时区。【尘埃落定】ｃｈéｎ’āｉｌｕòｄìｎɡ比喻事情有了结局或结果：世界杯小组赛～。【便宜行事】ｂｉàｎｙíｘíｎɡｓｈì经过特许， 也比喻事情严重到了不可挽救的程度（膏肓：我国古代医学上把心尖脂肪叫膏，他～了几部新戏。【沉浮】ｃｈéｎｆú动比喻起落或盛衰消长：与世～｜宦海 ～。【病包ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ】ｂìｎɡｂāｏｒ〈口〉名多病的人（含诙谐意）。 ②动散布；ｓｈｉ同“车把势”。③初步的； ⑨量用于队伍， 也说撑门面。【茶会】 ｃｈáｈｕì名用茶点招待宾客的社交性集会。②名有滋补作用的饮料：营养～。 ②动掌握；成不了事。比喻难以改掉的坏习惯。 【躔】ｃｈáｎ〈书〉①兽的 足迹。～难移。常用来升降电压、匹配阻抗等。 削指删改，
高一年级数学
第一章 集合与函数概念 1.3 函数单调性的概念
湖南师大附中 彭萍
知识探究（一）
考察下列两个函数: （1） f (x) x ； (2) f ( x) x 2 ( x 0)
y
y
o
x
o
x
思考21:如这果两一个个函函数数的的图图象象分从别左是至什右么逐？ 渐二上者升有，何那共么同当特自征变？量x从小到大依次取 值时，函数值y的变化情况如何？