八年级数学下册《分组分解法》例题精讲与同步练习北师大版

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北师大版八年级下册因式分解100题及答案

北师大版八年级下册因式分解100题及答案一、提取公因式(1)(75)(4)(75)(45)(75)(92)++++--++-+m n m n m n(2)(71)(83)(92)(71)--+---x x x x(3)(43)(5)(43)(73)(43)(1)---+--+---m n m n m n(4)(2)(83)(93)(2)+--+-+m n n m(5)(71)(4)(71)(21)+---++m x m x(6)42224+a x y x y412(7)2443-+x yz y z xyz639(8)3444-abc a b c2718(9)(45)(53)(45)(62)+-+++-a b a b(10)(72)(21)(84)(72)++--+x x x x(11)(1)(92)(1)(1)x x x x------(12)(5)(45)(73)(5)+-+-++a b b a(13)(85)(94)(85)(85)---+-+x y x y(14)2422-x y x yz2(15)(3)(52)(3)(51)(3)(93)---+--++-+a b a b a b(16)(83)(75)(83)(31)(83)(4)++++--++-+a b a b a b(17)(3)(52)(3)(64)+-+-+-m x m x(18)(5)(1)(5)(65)(5)(64)-++---+-+a b a b a b(19)(3)(81)(75)(3)x x x x+--+++(20)2223-153a b c c二、公式法(21)22-x y19664(22)22-+-m n m441(23)2-+x x49266361(24)22-+a ab b169468324(25)22-+a ab b60900(26)236418121x x ++(27)22169494361x xy y ++(28)229644249m n m ---(29)221625309m n n -+-(30)22649161a b a ---三、分组分解法(31)7014408xy x y ----(32)2212351525x z xy yz zx--++(33)22351642248a c ab bc ca-++-(34)36451620--+ab a b(35)22++++x z xy yz zx1828153554 (36)22--+-x y xy yz zx4542193630 (37)49147020mx my nx ny+--(38)22--++xy x y(39)22x y xy yz zx---+403191830 (40)56483530-+-+xy x y(41)22-+-+a c ab bc ca8158519 (42)22-+-+a b ab bc ca721029418(43)22352301219a c ab bc ca++--(44)221676322x z xy yz zx+-+-(45)49144212mn m n --+(46)48163612mx my nx ny-+-(47)40722036mx my nx ny-+-(48)22825355a b ab bc ca-+++(49)30103612mx my nx ny+--(50)70704242xy x y +--四、拆添项(51)221616644039m n m n -+-+(52)22649801816a b a b ---+(53)22252023a b a b -+++(54)2236121880m n m n --+-(55)2264961011x y x y --++(56)4224165749a a b b -+(57)4224429m m n n -+(58)22811081413x y x y --+-(59)221694836m n m n--+(60)4224493164a a b b ++五、十字相乘法(61)2--++x xy x y5635892535 (62)222+----96152122a b c ab bc ac(63)222+---+2146201039x y z xy yz xz (64)29961535-++-x xy x y(65)222+++--x y z xy yz xz2146201445 (66)22x xy y x y-+-+-1845734621 (67)22x xy y x y+--+1437423530 (68)222+-+-+20156352x y z xy yz xz(69)2482446205x xy x y +--+(70)24614912p pq p q -+-+(71)2263024372235x xy y x y -+-+-(72)2222456143132x y z xy yz xz--+--(73)222201634817a b c ab bc ac-++--(74)2220113541236u uv v u v --+-+(75)22122035842a ab b a b -----(76)22232425242060x y z xy yz xz+++++(77)22204161783a ab b a b +---+(78)22-++-+x xy y x y16263521212(79)222a b c ab bc ac+++++ 212420464647 (80)22-++-+x xy y x y672241424六、双十字相乘法(81)222a b c ab bc ac-++++121237913 (82)22--+-+x xy y x y16421822397 (83)222x y z xy yz xz--++-41036114 (84)22x xy y x y+-+--2748356121 (85)22+---+401125515x xy y x y(86)2262315361742a ab b a b ++---(87)2227364911x y z xy yz xz-----(88)221051523285a ab b a b -----(89)222646356932x y z xy yz xz+++++(90)22352231241x xy y x y +++++七、因式定理(91)32152234x x x -++(92)3224221715x x x +--(93)321021256x x x +-+(94)32466m m m ---(95)32273318x x x --+(96)326583y y y --+(97)32313106x x x -++(98)32376x x x +--(99)321110x x x ---(100)32311212x x x ++-北师大版八年级下册因式分解100题答案一、提取公因式(1)(75)(121)m n+-+ (2)(71)(175)x x---(3)(43)(59)m n--(4)(2)(6)m n+-(5)(71)(35)m x-++ (6)22424(3)x y a y+(7)23323(23)yz x z y z x-+ (8)3339(32)abc a b c-(9)(45)(1)a b++ (10)(72)(65)x x-+-(11)(1)(81)x x--(12)(5)(112)a b-+-(13)(85)(1)x y---(14)232(2)x y y z-(15)(3)(2)a b--+(16)(83)(38)a b++ (17)(3)(116)m x-+-(18)(5)(0)a b-+ (19)(3)(4)x x-+-(20)2223(5)c a b c-二、公式法(21)(148)(148)x y x y+-(22)(21)(21)m n m n++-+ (23)2(719)x-(24)2(1318)a b-(25)2(30)a b-(26)2(1911)x+(27)2(1319)x y+(28)(387)(387)m n m n+---(29)(453)(453)m n m n+--+(30)(831)(831)a b a b+---三、分组分解法(31)2(74)(51)x y-++ (32)(457)(35)x y z x z-+-(33)(564)(74)a b c a c+-+(34)(94)(45)a b--(35)(654)(37)x y z x z+++ (36)(976)(56)x y z x y+--(37)(710)(72)m n x y-+ (38)(2)(1)x y--+(39)(53)(86)x y x y z-++(40)(85)(76)x y-+-(41)(3)(85)a b c a c++-(42)(92)(852)a b a b c-++(43)(52)(76)a c ab c-+-(44)(2)(837)x z x y z---(45)(76)(72)m n--(46)4(43)(3)m n x y+-(47)4(2)(59)m n x y+-(48)(5)(85)a b a b c+-+(49)2(56)(3)m n x y-+(50)14(53)(1)x y-+四、拆添项(51)(4413)(443)m n m n++-+(52)(832)(838)a b a b+---(53)(51)(53)a b a b++-+(54)(610)(68)m n m n+--+(55)(811)(81)x y x y+---(56)2222(47)(47)a ab b a ab b+---(57)2222(25)(25)m mn n m mn n+---(58)(913)(91)x y x y+--+(59)(4312)(43)m n m n+--(60)2222(798)(798)a ab b a ab b++-+五、十字相乘法(61)(75)(857)x x y---(62)(23)(935)a b c a b c---+(63)(72)(326)x y z x y z---+(64)(35)(337)x x y--+(65)(326)(72)x y z x y z+-+-(66)(373)(67)x y x y-+--(67)(275)(76)x y x y+--(68)(432)(553)x y z x y z+-++ (69)(841)(65)x y x+--(70)(23)(234)p p q+-+(71)(47)(665)x y x y---+(72)(46)(65)x y z x y z--++(73)(543)(44)a b c a b c--+-(74)(56)(436)u v u v++-+(75)(346)(457)a b a b--++(76)(425)(825)x y z x y z++++(77)(543)(441)a b a b--+-(78)(236)(82)x y x y-+-+(79)(345)(764)a b c a b c++++ (80)(24)(326)x y x y-+-+六、双十字相乘法(81)(34)(433)a b c a b c++-+ (82)(837)(261)x y x y++-+ (83)(22)(253)x y z x y z-++-(84)(371)(951)x y x y++--(85)(83)(525)x y x y--+-(86)(656)(37)a b a b+++-(87)(733)(2)x y z x y z++--(88)(235)(551)a b a b--++ (89)(863)(8)x y z x y z++++(90)(731)(51)x y x y++++七、因式定理(91)(1)(31)(54)x x x-+-(92)(1)(65)(43)x x x+-+ (93)(3)(21)(52)x x x+--(94)2(2)(423)m m m-++ (95)(3)(6)(21)x x x+--(96)(1)(23)(31)y y y+--(97)2(3)(342)x x x---(98)2(2)(53)x x x-++ (99)2(2)(35)x x x+--(100)2(3)(324)x x x++-。

第12讲分组分解与十字相乘八年级数学下册同步讲义(北师大版)

第12讲分组分解与十字相乘目标导航理解分组分解法十字相乘法和的概念，掌握十字相乘法分解二次项系数为1 的二次三项式，能够用分组分解法分解含有四项以上的多项式．重点能够灵活运用十字相乘法与分组分解方法进行分解因式，能够与前两种的方法相结合．难点能够总结归纳这两种方法所针对的多项式，可以在分解因式的时候快速确定方法．知识精讲知识点01 因式分解-分组分解法1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．例如：①ax+ay+bx+by＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）②2xy﹣x2+1﹣y2＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1＝1﹣（x﹣y）2＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）【知识拓展1】（2021秋•十堰期末）下列多项式中，不能在有理数范围进行因式分解的是（）A．﹣a2+b2B．﹣a2﹣b2C．a3﹣3a2+2a D．a2﹣2ab+b2﹣1【即学即练1】（2021秋•平昌县期末）下列因式分解错误的是（）A．2a﹣2b＝2（a﹣b）B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）C．a2+4a﹣4＝（a﹣2）2D．x2﹣2x+1﹣y2＝（x﹣1+y）（x﹣1﹣y）【知识拓展2】（2021秋•广水市期末）分解因式：9x2﹣a2﹣2a﹣1．【即学即练1】（2021秋•丰泽区校级期末）因式分解：a2﹣b2﹣6a+9．【即学即练2】（2021秋•宝山区期末）分解因式：x3+2x2y﹣9x﹣18y．【即学即练3】（2021秋•普陀区期末）因式分解：1﹣a2﹣4b2+4ab．【即学即练4】（2021秋•浦东新区期末）分解因式：xy2﹣x﹣y2+1．知识点02 因式分解-十字相乘法等借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．【知识拓展1】（2021秋•弋江区期末）分解因式x2﹣5x﹣14，正确的结果是（）A．（x﹣5）（x﹣14）B．（x﹣2）（x﹣7）C．（x﹣2）（x+7）D．（x+2）（x﹣7）【即学即练1】（2021秋•应城市期末）将多项式x2﹣2x﹣8分解因式，正确的是（）A．（x+2）（x﹣4）B．（x﹣2）（x﹣4）C．（x+2）（x+4）D．（x﹣2）（x+4）【即学即练2】（2021•阿荣旗一模）把多项式18x2﹣12x+2分解因式的结果是．【即学即练3】（2021秋•新抚区期末）分解因式：a2﹣2a﹣8＝．【即学即练4】（2021秋•宝山区期末）分解因式：x2+4x﹣21＝．【知识拓展2】（2021秋•普兰店区期末）若x2+ax﹣14＝（x+2）（x﹣7），则a＝．【即学即练1】（2021秋•淮阳区期末）甲乙两人完成因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正确的结果为．【即学即练2】（2021秋•新泰市期中）提出问题：你能把多项式x2+5x+6因式分解吗？探究问题：如图1所示，设a，b为常数，由面积相等可得：（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，就可以对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解即x2+（a+b）x+ab ＝（x+a）（x+b）．观察多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．解决问题：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+3）（x+2）．运用结论：（1）基础运用：把多项式x2+4x﹣21进行因式分解．（2）知识迁移：对于多项式4x2﹣4x﹣15进行因式分解还可以这样思考：将二次项4x2分解成如图2所示中的两个2x的积，再将常数项﹣15分解成﹣5与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为﹣4x，就是4x2﹣4x﹣15的一次项，所以有4x2﹣4x﹣15＝（2x﹣5）（2x+3）．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解：①3x2﹣19x﹣14；②6a2﹣13ab+6b2．能力拓展1．（2021秋•永吉县期末）阅读下列材料：一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：因式分解：am+bm+an+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）．（1）利用分组分解法分解因式：①3m﹣3y+am﹣ay；②a2x+a2y+b2x+b2y．（2）因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝（直接写出结果）．2．（2021秋•微山县期末）【知识背景】八年级上册第121页“阅读与思考”中，我们利于因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系得到：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．【方法探究】对于多项式x2+（p+q）x+pq我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq 分解成p与q的积，按图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数+（p+q）．所以x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．例如，分解因式：x2+5x+6．它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5．所以x2+5x+6＝（x+2）（x+3）．类比探究：当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解．例如，分解因式：2x2﹣x﹣6．分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项﹣6分解成﹣1与6（或﹣6与1，﹣2与3，﹣3与2）的积，但只有当﹣2与3时按如图3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数﹣1．所以2x2﹣x﹣6＝（2x+3）（x﹣2）．【方法归纳】一般地，在分解形如关于x的二次三项式ax2+bx+c时，二次项系数a分解成a1与a2的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c分解成c1与c2的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把a1，a2，c1，c2按如图4所示方式排列，当且仅当a1c2+a2c1＝b（一次项系数）时，ax2+bx+c可分解因式．即ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．【方法应用】利用上面的方法将下列各式分解因式：（1）x2﹣5x+6；（2）10x2+x﹣21；（3）（x2﹣4x）2+7（x2﹣4x）+12．3．（2021秋•惠安县期末）因式分解与整式乘法互为逆运算．如对多项式x2﹣7x+12进行因式分解：首先，如果一个多项式能进行因式分解，则这个多项式可看作是有两个较低次多项式相乘得来的．故可写成x2﹣7x+12＝（x+a）（x+b），即x2﹣7x+12＝x2+（a+b）x+ab（对任意实数x成立），由此得a+b＝﹣7，ab＝12．易得一组解：a＝﹣3，b＝﹣4，所以x2﹣7x+12＝（x﹣3）（x﹣4）．像这种能把一个多项式进行因式分解的方法，称为待定系数法．（1）因式分解：x2﹣15x﹣34＝．（2）因式分解：x3﹣3x2+4＝（x+a）（x2+bx+c），请写出一组满足要求的a，b，c的值：．（3）请你运用待定系数法，把多项式3m2+5mn﹣2n2+m+9n﹣4进行因式分解．分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共10小题）1．（2021春•吉安县期末）若m＞﹣1，则多项式m3﹣m2﹣m+1的值为（）A．正数B．负数C．非负数D．非正数2．（2021秋•十堰期末）下列多项式中，不能在有理数范围进行因式分解的是（）A．﹣a2+b2B．﹣a2﹣b2C．a3﹣3a2+2a D．a2﹣2ab+b2﹣13．（2021秋•平昌县期末）下列因式分解错误的是（）A．2a﹣2b＝2（a﹣b）B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）C．a2+4a﹣4＝（a﹣2）2D．x2﹣2x+1﹣y2＝（x﹣1+y）（x﹣1﹣y）4．（2021秋•越秀区期末）若x2+x﹣12＝（x+p）（x+q），则p，q的值分别为（）A．p＝3，q＝4B．p＝﹣3，q＝4C．p＝3，q＝﹣4D．p＝﹣3，q＝﹣45．（2021秋•临沂期末）多项式x2﹣8x+m＝（x﹣9）（x﹣n），则m，n的值为（）A．m＝9，n＝1B．m＝9，n＝﹣1C．m＝﹣9，n＝﹣1D．m＝﹣9，n＝16．（2021秋•芜湖期末）下列因式分解结果正确的是（）A．﹣x2+4x＝﹣x（x+4）B．4x2﹣y2＝（4x+y）（4x﹣y）C．﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2D．x2﹣5x﹣6＝（x﹣2）（x﹣3）7．（2021秋•博白县期末）下列因式分解错误的是（）A．2a﹣2b＝2（a﹣b）B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）C．a2+4a﹣4＝（a﹣2）2D．﹣x2﹣x+2＝﹣（x﹣1）（x+2）8．（2021秋•监利市期末）因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（）A．1B．4C．11D．129．（2021秋•微山县期末）已知关于x的二次三项式2x2+bx+a分解因式的结果是（x+1）（2x﹣3），则代数式a b的值为（）A．﹣3B．﹣1C．﹣D．10．（2021秋•弋江区期末）分解因式x2﹣5x﹣14，正确的结果是（）A．（x﹣5）（x﹣14）B．（x﹣2）（x﹣7）C．（x﹣2）（x+7）D．（x+2）（x﹣7）二．填空题（共9小题）11．（2021春•碑林区校级月考）分解因式：a2﹣b2+ab2﹣a2b＝．12．（2021•广饶县一模）因式分解：（m﹣n）a2+（n﹣m）b2＝．13．（2021•邵阳模拟）把（a﹣2b）+（a2﹣4b2）因式分解的结果是．14．（2020秋•齐河县期末）分解因式：y2﹣x2﹣2x﹣1＝．15．（2021•怀宁县模拟）因式分解：4x2﹣y2+2y﹣1＝．16．（2021•宣城模拟）已知m，n，p均为实数，若x﹣1，x+4均为多项式x3+mx2+nx+p的因式，则2m﹣2n ﹣p+86＝．17．（2021秋•普兰店区期末）若x2+ax﹣14＝（x+2）（x﹣7），则a＝．18．（2021秋•鞍山期末）观察下列因式分解中的规律：①x2+3x+2＝（x+1）（x+2）；②x2+7x+10＝（x+2）（x+5）；③x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）；④x2﹣2x﹣8＝（x+2）（x﹣4）；利用上述系数特点分解因式x2+x﹣6＝．19．（2021秋•隆昌市校级期末）若多项式x2+ax+6可分解为（x+2）（x+b），则a+b的值为．三．解答题（共10小题）20．（2020秋•广安期末）分解因式：4（m﹣n）a2+（n﹣m）b2．21．（2021秋•硚口区期末）因式分解：（1）x2y﹣4y；（2）﹣2x2+8xy﹣8y2；（3）（x﹣2）（x+3）﹣6x．22．（2021秋•荔湾区期末）分解因式：（1）x3y﹣9xy；（2）x2（x﹣y）+2x（y﹣x）﹣（y﹣x）．23．（2021秋•克东县期末）因式分解：（1）（a+3）（a﹣7）+21；（2）m2（x﹣y）+n2（y﹣x）．24．（2021秋•广水市期末）分解因式：（1）8a3b2+12ab3c；（2）9x2﹣a2﹣2a﹣1．25．（2021秋•丰泽区校级期末）因式分解：（1）2x（x﹣3）﹣8；（2）a2﹣b2﹣6a+9．26．（2021秋•永吉县期末）阅读下列材料：一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：因式分解：am+bm+an+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）．（1）利用分组分解法分解因式：①3m﹣3y+am﹣ay；②a2x+a2y+b2x+b2y．（2）因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝（直接写出结果）．27．（2021秋•方城县期末）下面是某同学对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解的过程，解：设x2﹣2x＝y原式＝（y﹣1）（y+3）+4（第一步）＝y2+2y+1（第二步）＝（y+1）2（第三步）＝（x2﹣2x+1）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或者“不彻底”）若不彻底．请直接写出因式分解的最后结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解．28．（2021秋•郧阳区期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题：（1）因式分解：1+2（2x﹣3y）+（2x﹣3y）2．（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；29．（2021秋•江陵县期末）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如：将式子x2+3x+2分解因式．分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2．所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）分解因式：x2+5x﹣24＝；（2）若x2+px+6可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是；（3）利用上面因式分解方法解方程：x2﹣4x﹣21＝0．题组B 能力提升练一．填空题（共6小题）1．（2020•浙江自主招生）分解因式：2x2+7xy﹣15y2﹣3x+11y﹣2＝．2．（2020•浙江自主招生）分解因式：x2﹣2x﹣2y2+4y﹣xy＝．3．（2021春•西湖区校级期中）已知多项式x4+mx+n能分解为（x2+px+q）（x2+2x﹣3），则p＝，q ＝．4．（2021秋•烟台期中）多项式x2﹣8x+m＝（x﹣9）（x﹣n），则m+n＝．5．（2021秋•丰台区校级期中）若x2+mx﹣12＝（x+3）（x+n），则m的值．6．（2021秋•龙凤区期中）两位同学将同一个二次三项式进行因式分解时，一位同学因看错了一次项系数而分解成（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项而分解成（x﹣2）（x﹣4），则原多项式因式分解的正确结果是：．二．解答题（共10小题）7．（2021秋•蕲春县月考）分解因式：（1）（m+n）2﹣4m（m+n）+4m2；（2）6x3﹣11x2+x+48．（2021秋•泰山区期中）先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，设x+y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你写出下列因式分解的结果：（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2＝；（2）因式分解：25（a﹣1）2﹣10（a﹣1）+1＝；（3）因式分解：（y2﹣4y）（y2﹣4y+8）+16＝．9．（2021春•平顶山期末）把下列各式因式分解：（1）x2+2xy+y2﹣c2；（2）b2（a﹣2）+b（2﹣a）．10．（2021春•商河县校级期末）观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解：甲：x2﹣xy+4x﹣4y＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）＝（x﹣y）（x+4）．乙：a2﹣b2﹣c2+2bc＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（再用平方差公式）请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：（1）m3﹣2m2﹣4m+8．（2）x2﹣2xy+y2﹣9．11．（2019秋•西岗区期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．12．（2019春•邵东县期中）观察下列因式分解的过程：（1）x2﹣xy+4x﹣4y＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）＝（x﹣y）（x+4）（2）a2﹣b2﹣c2+2bc＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（1）请仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：①ad﹣ac﹣bd+bc②x2﹣y2﹣6x+9（2）请运用上述分解因式的方法，把多项式1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式．13．（2021秋•建昌县期末）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子x2+2x﹣3分解因式．这个式子的二次项系数是1＝1×1，常数项﹣3＝（﹣1）×3，一次项系数2＝（﹣1）+3，可以用下图十字相乘的形式表示为：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．利用这种方法，将下列多项式分解因式：（1）x2+7x+10＝；（2）x2﹣2x﹣3＝；（3）y2﹣7y+12＝；（4）x2+7x﹣18＝．14．（2021•寻乌县模拟）已知：整式A＝x（x+3）+5，整式B＝ax﹣1．（1）若A+B＝（x+2）2，求a的值；（2）若A﹣B可以分解为（x﹣2）（x﹣3），求A+B．15．（2021春•渠县校级期末）因式分解：x2﹣2xy+y2﹣25．16．（2021秋•惠安县期末）因式分解与整式乘法互为逆运算．如对多项式x2﹣7x+12进行因式分解：首先，如果一个多项式能进行因式分解，则这个多项式可看作是有两个较低次多项式相乘得来的．故可写成x2﹣7x+12＝（x+a）（x+b），即x2﹣7x+12＝x2+（a+b）x+ab（对任意实数x成立），由此得a+b＝﹣7，ab＝12．易得一组解：a＝﹣3，b＝﹣4，所以x2﹣7x+12＝（x﹣3）（x﹣4）．像这种能把一个多项式进行因式分解的方法，称为待定系数法．（1）因式分解：x2﹣15x﹣34＝．（2）因式分解：x3﹣3x2+4＝（x+a）（x2+bx+c），请写出一组满足要求的a，b，c的值：．（3）请你运用待定系数法，把多项式3m2+5mn﹣2n2+m+9n﹣4进行因式分解．题组C 培优拔尖练一．填空题（共2小题）1．（2020•衡阳县自主招生）分解因式：x3﹣3x2﹣6x+8＝．2．（2021春•历下区期中）分解因式：x6﹣28x3+27＝．二．解答题（共12小题）3．（2021春•马鞍山期末）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．①分解因式：ab﹣a﹣b+1；②若a，b（a＞b）都是正整数且满足ab﹣a﹣b﹣4＝0，求a+b的值；（2）若a，b为实数且满足ab﹣a﹣b﹣4＝0，s＝a2+3ab+b2+3a﹣b，求s的最小值．4．阅读下列文字与例题将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法例如：（1）am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）；（2）x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）＝x2﹣（y+1）2＝（x+y+1）（x﹣y﹣1）．试用上述方法分解因式：（1）x2+xy﹣2xz﹣2yz（2）x2﹣4y2﹣6x﹣4y+8（3）m2﹣4mn﹣3m+6n+4n2．5．先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：例1：1+ax+ax（1+ax）＝（1+ax）（1+ax）＝（1+ax）2；例2：1+ax+ax（1+ax）+ax（1+ax）2＝（1+ax）（1+ax）+ax（1+ax）2＝（1+ax）2+ax（1+ax）2＝（1+ax）2（1+ax）＝（1+ax）3（1）分解因式：1+ax+ax（1+ax）+ax（1+ax）2+…+ax（1+ax）n＝；（2）分解因式：x﹣1﹣x（x﹣1）+x（x﹣1）2﹣x（x﹣1）3+…﹣x（x﹣1）2003+x（x﹣1）2004（答题要求：请将第（1）问的答案填写在题中的横线上）6．（2021春•永定区期中）先阅读，再因式分解：x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2），按照这种方法把多项式x4+324因式分解．7．（2019秋•平山县期末）对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x ﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解．（1）求式子中m、n的值；（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解x2+（p+q）x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子分解因式呢？我们通过学习，利用多项式的乘法法则可知：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，因式分解是整式乘法相反方向的变形，利用这种关系可得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用这个结果可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如，将x2﹣x﹣6分解因式．这个式子的二次项系数是1，常数项﹣6＝2×（﹣3），一次项系数﹣1＝2+（﹣3），因此这是一个x2+（p+q）x+pq 型的式子．所以x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）．上述过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示．这样我们也可以得到x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：（1）分解因式：y2﹣2y﹣24．（2）若x2+mx﹣12（m为常数）可分解为两个一次因式的积，请直接写出整数m的所有可能值．9．（2019春•岳阳期中）已知二次三项式x2+px+q的常数项与（x﹣1）（x﹣9）的常数项相同，而它的一次项与（x﹣2）（x﹣4）的一次项相同，试将此多项式因式分解．对于二次三项式a2+2ab+b2可以直接分解为（a+b）2的形式，但对于二次三项式a2+2ab﹣8b2，就不能直接用公式了，我们可以在二次三项式a2+2ab﹣8b2中先加上一项b2，使其成为完全平方式，再减去b2这项，（这里也可把﹣8b2拆成+b2与﹣9b2的和），使整个式子的值不变．于是有：a2+2ab﹣8b2＝a2+2ab﹣8b2+b2﹣b2＝（a2+2ab+b2）﹣8b2﹣b2＝（a+b）2﹣9b2＝[（a+b）+3b][（a+b）﹣3b]＝（a+4b）（a﹣2b）我们把像这样将二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．【应用材料】（1）上式中添（拆）项后先把完全平方式组合在一起，然后用法实现分解因式．（2）请你根据材料中提供的因式分解的方法，将下面的多项式分解因式：①m2+6m+8；②a4+a2b2+b411．（2018春•安丘市期末）阅读下面的材料，解答提出的问题：已知：二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式及m的值．解：设另一个因式为（x+n），由题意，得：x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n∴．解得：m＝﹣21，n＝﹣7∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．提出问题：（1）已知：二次三项式x2+5x﹣p有一个因式是（x﹣1），求p的值．（2）已知：二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣5），求另一个因式及k的值．12．（2017春•兴化市期末）已知A＝2a﹣7，B＝a2﹣4a+3，C＝a2+6a﹣28，其中a＞2．（1）求证：B﹣A＞0，并指出A与B的大小关系；（2）阅读对B因式分解的方法：解：B＝a2﹣4a+3＝a2﹣4a+4﹣1＝（a﹣2）2﹣1＝（a﹣2+1）（a﹣2﹣1）＝（a﹣1）（a﹣3）．请完成下面的两个问题：①仿照上述方法分解因式：x2﹣4x﹣96；②指出A与C哪个大？并说明你的理由．13．（2021秋•徐闻县期末）阅读下列材料：材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q 因式分解成（x+m）（x+n）（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．14．（2018秋•安陆市期末）分解因式：x2+12x﹣189，分析：由于常数项数值较大，则将x2+12x﹣189变为完全平方公式，再运用平方差公式进行分解，这样简单易行．x2+12x﹣189＝x2+2*6x+62﹣36﹣189＝（x+6）2﹣225＝（x+6）2﹣152＝（x+6+15）（x+6﹣15）＝（x+21）（x﹣9）请按照上面的方法分解因式：x2﹣60x+884．。

【北师大版】初二八年级数学下册《4.3.3 分组分解法及分解因式的方法》课件PPT

知1－练
7 把下列各式分解因式：
(1)1＋x＋x2＋x；
(2)xy2－2xy＋2y－4；
(3)a2－b2＋2a＋1.
解： (1)原式＝(1＋x)＋(x2＋x) ＝(1＋x)＋x(x＋1) ＝(1＋x)(1＋x) ＝(1＋x)2.
(2)原式＝(xy2－2xy)＋(2y－4) ＝xy(y－2)＋2(y－2) ＝(y－2)(xy＋2)．
x
骣 ççç桫x－
4 x
÷÷÷
2 【中考·宜宾】把代数式3x3－12x2＋12x分解因式，
结果正确的是( D )
A．3x(x2－4x＋4)
B．3x(x－4)2
C．3x(x＋2)(x－2)
D．3x(x－2)2
知2－练
3 【2016·潍坊】将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a＋1的是( C ) A．a2－1 B．a2＋a C．a2＋a－2 D．(a＋2)2－2(a＋2)＋1
解：(1) m3－2m2－4m＋8 ＝m2(m－2)－4(m－2) ＝(m－2)(m2－4) ＝(m－2)(m＋2)(m－2) ＝(m＋2)(m－2)2.
(2) x2－2xy＋y2－9 ＝(x－y)2－32 ＝(x－y＋3)(x－y－3)．
知2－练
1 知识小结
分解因式时通常采用一“提”、二“公”、三 “分”、四“变”的步骤，即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解，若上述方法都行不通，则可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法．
知2－练
4 观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解：甲：x2－xy＋4x－4y＝(x2－xy)＋(4x－4y)(分成两组) ＝x(x－y)＋4(x－y)(分别提公因式) ＝(x－y)(x＋4)．乙：a2－b2－c2＋2bc＝a2－(b2＋c2－2bc)(分成两组) ＝a2－(b－c)2(直接运用公式) ＝(a＋b－c)(a－b＋c)．请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式： (1)m3－2m2－4m＋8； (2)x2－2xy＋y2－9.

北师大数学八年级下册第四章-因式分解进阶经典讲义

第02讲_因式分解进阶知识图谱因式分解的高级方法知识精讲一．十字相乘法二．分组分解法分组分解法分解因式常用的思路有：十字相乘法 2(0)ax bx c a ++≠ 若a 1 c 2+a 2 c 1 =b ，则 21122()()ax bx c a x c a x c ++=++ 分解思路为“看两端，凑中间” 21232x x ++21232=(8)(4)x x x x ++++a 1a 2c 2c 1a 1c 2 + a 2c 1分组分解法（1）适用场景：不能直接运用提公因式法和公式法（2）方法：把这个多项式分成几组，对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解四项=二项+二项（按字母分组、按系数分组、符合公式的两项分组）四项=三项+一项（先完全平方公式后平方差公式）五项=三项+二项（完全平方公式）六项=三项+三项（完全平方公式）六项=二项+二项+二项（各组之间有公因式）六项=三项+二项+一项（完全平方公式）三．换元法四．拆、添项法三点剖析一．考点：1．十字相乘法；2．分组分解法；3．换元法；4．拆、添项二．重难点：十字相乘法；分组分解法；换元法；拆、添项．三．易错点：（1）正确的十字相乘必须满足以下条件：在上式中，竖向的两个数必须满足关系12a a a =，12c c c =；斜向的两个数必须满足关系1221a c a c b +=，分解思路为“看两端，凑中间．”（2）换元法换元分解因式后，一定要记得将原有的字母换回来，并最终对每一项都彻底因式分解．c 1c 2a 2a 1换元法将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，用一个新字母替代它，简化运算过程设，则原式易错点：换元分解因式后，一定要记得将原有的字母换回来。

并再次对每一项彻底的因式分解拆、添项（1）在多项式中添上两个符号相反的项，再使用分组分解法进行分解因式（2）将多项式中的某一项拆成两项或多项，再使用分组分解法十字相乘法例题1、如果把多项式x 2﹣8x+m 分解因式得（x ﹣10）（x+n ），那么m+n=_____________．【答案】 -18【解析】 ∵x 2﹣8x+m=（x ﹣10）（x+n ）， ∴x 2﹣8x+m=x 2+（﹣10+n ）x ﹣10n ， ∴﹣10+n=﹣8，m=﹣10n ，解得：n=2，m=﹣20， m+n=﹣20+2=﹣18．例题2、因式分解：﹣2x 2y+8xy ﹣6y=_______．【答案】 ﹣2y （x ﹣1）（x ﹣3）【解析】原式=﹣2y （x 2﹣4x+3）=﹣2y （x ﹣1）（x ﹣3）例题3、甲、乙两个同学分解因式x 2+ax+b 时，甲看错了b ，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a ，分解结果为（x+1）（x+9），则a=__，b=__．【答案】 6；9【解析】分解因式x 2+ax+b ，甲看错了b ，但a 是正确的，他分解结果为（x+2）（x+4）=x 2+6x+8， ∴a=6，同理：乙看错了a ，分解结果为（x+1）（x+9）=x 2+10x+9， ∴b=9，例题4、因式分解：221999199911999x x .【答案】 ()()199911999x x +- 【解析】该题考查的是因式分解．十字相乘可得原式()()199911999x x =+- 例题5、把下列多项式因式分解（1）22273x xy y -+（2）22675x xy y --【答案】（1）(3)(2)x y x y --（2）(2)(35)x y x y +-【解析】（1）22273(3)(2)x xy y x y x y -+=--（2）22675(2)(35)x xy y x y x y --=+- 例题6、把下列多项式因式分解（1）2532x x -- （2）2568x x +- （3）26525x x -- （4）26113x x -+【答案】（1）(52)(1)x x +- （2）(54)(2)x x -+（3）(25)(35)x x -+（4）(23)(31)x x --【解析】利用十字相乘法进行因式分解可得（1）2532(52)(1)x x x x --=+- （2）2568(54)(2)x x x x +-=-+ （3）26525(25)(35)x x x x --=-+ （4）26113(23)(31)x x x x -+=-- 例题7、分解因式：2214425x y xy +- 【答案】 ()212x -【解析】略例题8、仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x 2－4x ＋m 有一个因式是（x ＋3），求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为（x ＋n ），得 x 2－4x ＋m ＝（x ＋3）（x ＋n ）则x 2－4x ＋m ＝x 2＋（n ＋3）x ＋3n ∴343n m n +=-⎧⎨=⎩．解得：n ＝－7，m ＝－21 ∴另一个因式为（x －7），m 的值为－21 问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x 2＋3x －k 有一个因式是（2x －5），求另一个因式以及k 的值．【答案】另一个因式为（x ＋4），k ＝20 【解析】设另一个因式为（x ＋a ），得2x 2＋3x －k ＝（2x －5）（x ＋a ）则2x 2＋3x －k ＝2x 2＋（2a －5）x －5a ∴2535a a k -=⎧⎨-=-⎩解得：a ＝4，k ＝20故另一个因式为（x ＋4），k 的值为20．随练1、如果x 2－px ＋q ＝（x ＋1）（x －3），那么p 等于（） A.－2 B.2 C.－3 D.3【答案】 B【解析】已知等式整理得：x 2－px ＋q ＝（x ＋1）（x －3）＝x 2－2x －3，可得－p ＝－2，q ＝3，解得：p ＝2．随练2、分解因式：22268x y x y -++- 【答案】 (4)(2)x y x y -++-【解析】 ()()22222682169x y x y x x y y -++-=++--+()()()()22131313x y x y x y =+--=++-+-+ 随练3、阅读下列材料，并解答相应问题：对于二次三项式x 2+2ax+a 2这样的完全平方式，可以用公式法将它分解成（x+a ）2的形式，但是，对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是有：x 2+2ax ﹣3a 2=x 2+2ax+a 2﹣a 2﹣3a 2=（x+a ）2﹣（2a ）2=（x+3a ）（x ﹣a ）（1）像上面这样把二次三项式分解因式的数学方法是； A ．提公因式法 B ．十字相乘法 C ．配方法 D ．公式法（2）这种方法的关键是；（3）用上述方法把m 2﹣6m+8分解因式．【答案】（1）B ；（2）利用完全平方公式及平方差公式变形（3）（m ﹣2）（m ﹣4）【解析】（1）像上面这样把二次三项式分解因式的数学方法是十字相乘法；（2）这种方法的关键是利用完全平方公式及平方差公式变形；（3）原式=m 2﹣6m+9﹣1=（m ﹣3）2﹣1=（m ﹣3+1）（m ﹣3﹣1）=（m ﹣2）（m ﹣4），故答案为：（1）B ；（2）利用完全平方公式及平方差公式变形随练4、把下列多项式因式分解（1）2232x xy y ++ （2）2276x xy y -+ （3）22421x xy y --（4）22215x xy y +-【答案】（1）()(2)x y x y ++（2）()(6)x y x y --（3）(3)(7)x y x y +-（4）(3)(5)x y x y -+【解析】（1）()()22322x xy y x y x y ++=++（2）2276()(6)x xy y x y x y -+=-- （3）22421(3)(7)x xy y x y x y --=+-（4）22215(3)(5)x xy y x y x y +-=-+ 随练5、把下列多项式因式分解（1）2383x x +- （2）2352x x -+ （3）42627x x -- （4）2236a b a ab +--【答案】（1）(31)(3)x x -+（2）(32)(1)x x --（3）2(3)(3)(3)x x x -++（4）(2)(13)a b a +-【解析】（1）2383(31)(3)x x x x +-=-+ （2）2352(32)(1)x x x x -+=--（3）()()()()()4222262793333x x x x x x x --=-+=+-+ （4）()()()()2236232213a b a ab a b a a b a b a +--=+-+=+- 随练6、把下列多项式因式分解（1）2273x x -+ （2）2675x x -- （3）4268x x ++（4）2()4()3a b a b +-++【答案】（1）(3)(21)x x --（2）(21)(35)x x +-（3）22(2)(4)x x ++（4）(1)(3)a b a b +-+- 【解析】（1）利用十字相乘法进行因式分解得（1）2273(3)(21)x x x x -+=-- （2）2675(21)(35)x x x x --=+- （3）422268(2)(4)x x x x ++=++（4）2()4()3(1)(3)a b a b a b a b +-++=+-+-分组分解法例题1、已知：a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc ＝0，则a 、b 、c 的大小关系为________．【答案】 a ＝b ＝c【解析】 ∵a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝0， ∵2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ＝0，a 2＋b 2－2ab ＋b 2＋c 2－2bc ＋a 2＋c 2－2ac ＝0，即（a －b ）2＋（b －c ）2＋（c －a ）2＝0， ∵a －b ＝0，b －c ＝0，c －a ＝0， ∵a ＝b ＝c ．例题2、已知a=998，b=997，c=996，则a 2﹣ab ﹣ac+bc=______________．【答案】 2【解析】原式=a （a ﹣b ）﹣c （a ﹣b ） =（a ﹣b ）（a ﹣c ） =（998﹣997）（998﹣996） =1×2 =2，例题3、分解因式a 2﹣b 2﹣2b ﹣1=__________．【答案】（a+b+1）（a ﹣b ﹣1）．【解析】 a 2﹣b 2﹣2b ﹣1 =a 2﹣（b 2+2b+1） =a 2﹣（b+1）2 =（a+b+1）（a ﹣b ﹣1）．例题4、把下列多项式因式分解（1）224484a b a b ab +-+-（2）222xy xz y yz z --+-【答案】（1）(2)(24)a b a b ---（2）()()y z x y z --+【解析】（1）()()()()()()2222244844448242224a b a b ab a ab b a b a b a b a b a b +-+-=-+--=---=---（2）()()()()2222xy xz y yz z x y z y z y z x y z --+-=---=--+例题5、仔细阅读下列解题过程：若a 2＋2ab ＋2b 2－6b ＋9＝0，求a 、b 的值．解：∵a 2＋2ab ＋2b 2－6b ＋9＝0 ∴a 2＋2ab ＋b 2＋b 2－6b ＋9＝0 ∴（a ＋b ）2＋（b －3）2＝0 ∴a ＋b ＝0，b －3＝0 ∴a ＝－3，b ＝3根据以上解题过程，试探究下列问题：（1）已知x 2－2xy ＋2y 2－2y ＋1＝0，求x ＋2y 的值；（2）已知a 2＋5b 2－4ab －2b ＋1＝0，求a 、b 的值；（3）若m ＝n ＋4，mn ＋t 2－8t ＋20＝0，求n 2m －t 的值．【答案】（1）3 （2）a ＝2；b ＝1 （3）1【解析】（1）∵x 2－2xy ＋2y 2－2y ＋1＝0 ∴x 2－2xy ＋y 2＋y 2－2y ＋1＝0 ∴（x －y ）2＋（y －1）2＝0 ∴x －y ＝0，y －1＝0， ∴x ＝1，y ＝1， ∴x ＋2y ＝3；（2）∵a 2＋5b 2－4ab －2b ＋1＝0 ∴a 2＋4b 2－4ab ＋b 2－2b ＋1＝0 ∴（a －2b ）2＋（b －1）2＝0 ∴a －2b ＝0，b －1＝0 ∴a ＝2，b ＝1；（3）∵m ＝n ＋4，∴n （n ＋4）＋t 2－8t ＋20＝0 ∴n 2＋4n ＋4＋t 2－8t ＋16＝0 ∴（n ＋2）2＋（t －4）2＝0 ∴n ＋2＝0，t －4＝0 ∴n ＝－2，t ＝4 ∴m ＝n ＋4＝2∴n 2m －t ＝（－2）0＝1．例题6、阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法称作分组分解．例如：以下两个式子的分解因式的方法就称为分组分解法．（1）am+an+bm+bn=（am+bm ）+（an+bn ）=m （a+b ）+n （a+b ）=（a+b ）（m+n ）；（2）x 2﹣y 2﹣2y ﹣1=x 2﹣（y 2+2y+1）=x 2﹣（y+1）2=（x+y+1）（x+y ﹣1）试用上述方法分解因式：（1）a 2+2ab+b 2+ac+bc （2）4a 2﹣x 2+4xy ﹣4y 2．【答案】（1）（a+b ）（a+b+c ）（2）（2a+x ﹣2y ）（2a ﹣x+2y ）【解析】（1）原式=（a 2+2ab+b 2）+（ac+bc ）=（a+b ）2+c （a+b ）=（a+b ）（a+b+c ）；（2）原式=4a 2﹣（x 2﹣4xy+4y 2）=4a 2﹣（x ﹣2y ）2=（2a+x ﹣2y ）（2a ﹣x+2y ）．例题7、把下列多项式因式分解（1）251539a m am abm bm -+-（2）432x x x x +++（3）432433x x x x ++++ （4）22ax bx bx ax a b -+-+-（5）2223(1)()22x x xy y x y xy +-+++（6）222x x y xy x y y -+-+-【答案】（1）()()353m a a b -+；（2）()()211x x x ++；（3）()()2213xx x +++；（4）()()21a b x x --+；（5）()222(1)x x xy y +++；（6）()()21y x x y --+【解析】（1）()()()()2515395333353a m am abm bm m a a b a m a a b -+-=-+-=-+⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()432321111x x x x x x x x x x x +++=+++=++ （3）()()()43243222243333313x x x x x x x x x xx x ++++=+++++=+++（4）()()()()22221ax bx bx ax a b x a b x a b a b a b x x -+-+-=---+-=--+（5）()()2223222222(1)()22(1)2(1)x x xy y x y xy x x xy y xy x x xy y +-+++=+-++=+++ （6）()()()()()222221111x x y xy x y y x y x y y y y x x y -+-+-=---+-=--+ 随练1、分解因式：y+y 2+xy+xy 2=______．【答案】 y （1+y ）（1+x ）【解析】先进行分组，再用提公因式法进行因式分解，即可解答．解：y+y 2+xy+xy 2=（y+y 2）+（xy+xy 2） =y （1+y ）+xy （1+y ） =（1+y ）（y+xy ） =y （1+y ）（1+x ）．随练2、分解因式：3232x x y y +-- 【答案】 22()()x y x x xy y y -++-+【解析】原式33222222()()()()()()()()x y x y x y x xy y x y x y x y x x xy y y =-+-=-++++-=-++-+ 随练3、分解因式：43221x x x x ++++ 【答案】 22(1)(1)x x x +++【解析】原式432222222()(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x =+++++=+++++=+++ 随练4、把下列多项式因式分解（1）2214497x xy y x y -++- （2）222(2)123(3)m n mn n m +--- 【答案】（1）(7)(71)x y x y --+ （2）(23)(23)m n m n mn --+【解析】（1）()()()()2221449777771x xy y x y x y x y x y x y -++-=-+-=--+ （2）()()2222222(2)123(3)234129m n mn n m m n mn m mn n +---=-+-+()()()()223232323mn m n m n m n mn m n =-+-=-+-随练5、把下列多项式因式分解（1）2222x x y xy x y y -+-+- （2）222ax by cx ay bx cy ++--- （3）222221a b c c ab +---- （4）222494126x y z xy yz xz ++--+ 【答案】（1）()(1)(1)x y y x ---（2）()(2)a b c x y -+-（3）(1)(1)a b c a b c -++---（4）2(23)x y z -+ 【解析】（1）()()()22222222x x y xy x y y x y x y xy x y -+-+-=-----()()()()()()()11x y x y xy x y x y x y x y y =+-----=----⎡⎤⎣⎦()()()11x y y x =---（2）()()222222ax by cx ay bx cy ax bx cx by ay cy ++---=-++--()()()()22x a b c y a b c a b c x y =-+--+=-+-（3）()()()()222222222212211a b c c ab a ab b c c a b c +----=-+-++=--+(1)(1)a b c a b c =-++--- （4）()222249412623x y z xy yz xz x y z ++--+=-+随练6、把下列多项式因式分解（1）222xy xz y yz z --+- （2）222222x y xz z a ay --+-- （3）22(3)(34)a b b a --- （4）2(1)1x x x ----【答案】（1）()()y z x y z --+（2）()()x z a y x z a y -++---（3）(2)(32)a b a -+（4）2(1)(1)x x -+ 【解析】（1）()()()()2222xy xz y yz z x y z y z y z x y z --+-=---=--+ （2）()()()()22222222222222x y xz z a ay x xz z y ay a x z y a --+--=-+-++=--+ ()()x z a y x z a y =-++---（3）()()2222(3)(34)62346342a b b a a b ab a a ab a b ---=--+=-+-()()()()3222232a a b a b a b a =-+-=-+（4）()()()()()()2233222(1)1111111x x x x x x x x x x x x x x ----=-++-=-+-=-+-=-+ 随练7、把下列多项式因式分解（1）23442x x x -+- （2）24263a ab a b +++ （3）2244a b a b -+- （4）22944a ab b ---（5）2221693025m a ab b -+-（6）22194m n mn -++（7）224252036x y xy +--【答案】（1）()()()2212x x x x --+-+（2）(23)(2)a a b ++（3）()(4)a b a b -++（4）(32)(32)a b a b ++--（5）(435)(435)m a b m a b +--+ （6）11(3)(3)22m n m n +++-（7）(256)(256)x y x y -+-- 【解析】（1）()()()()()()2234222242422212x x x x x x x x x x x xx -+-=--=+--+=--+-+（2）()()()()242632232223a ab a b a a b a b a b a +++=+++=++ （3）()()()()()224444a b a b a b a b a b a b a b -+-=+-+-=-++（4）()()()222944923232a ab b a b a b a b ---=-+=++--（5）()()()2222216930251635435435m a ab b m a b m a b m a b -+-=--=+--+ （6）222111199334222m n mn m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=+-=+++- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （7）()()()22=256256256x y x y x y --=-+--换元法例题1、若实数a ，b 满足（2a ＋2b ）（2a ＋2b －2）－8＝0，则a ＋b ＝________．【答案】－1或2【解析】设a ＋b ＝x ，则由原方程，得 2x （2x －2）－8＝0，整理，得4x 2－4x －8＝0，即x 2－x －2＝0，分解得：（x ＋1）（x －2）＝0，解得：x 1＝－1，x 2＝2．则a ＋b 的值是－1或2．例题2、分解因式：22()(32349)x x x x -+--+ 【答案】 223()1x x -- 【解析】 22222223234()()(9326329())3(1)x x x x x x x x x x -+--+=-+--++=-- 例题3、分解因式：（1）2(3)5(3)14p p ---- （2）()()224341256xx x x -+--+【答案】（1）(10)(1)p p --（2）2(1)(5)(44)x x x x +---【解析】（1）()()()()()()2235314353143732p p p p p p ----=----=---+()()101p p =-- （2）()()()()22222434125649420x x x x x x x x -+--+=---+()()()()()22244455144x x x x x x x x =----=-+--例题4、分解因式：（1）2(3)5(3)14p p ----（2）()()224341256x x x x -+--+（3）22(815)(87)15x x x x +++++（4）22(1)(2)12x x x x ++++- 【答案】（1）(10)(1)p p --（2）2(1)(5)(2)x x x +--（3）2(2)(6)(810)x x x x ++++（4）2(1)(2)(5)x x x x -+++ 【解析】（1）()()()()()()2235314353143732p p p p p p ----=----=---+()()101p p =--（2）()()()()22222434125649420x x x x x x x x -+--+=---+()()()()()22244455144x x x x x x x x =----=-+--（3）()()()()2222281587158228120x x x x x x x x +++++=++++()()()()()22281081226810x x x x x x x x =++++=++++（4）()()()()222221212310x x x x x x x x ++++-=+++-()()()()()22252215x x x x x x x x =+++-=+-++随练1、已知实数x ，y 满足（x 2＋y 2）（x 2＋y 2－12）＝45，求x 2＋y 2的值．【答案】 15【解析】设x 2＋y 2＝a ，则a （a －12）＝45， a 2－12a －45＝0，（a －15）（a ＋3）＝0， a 1＝15，a 2＝－3， ∵x 2＋y 2＝a≥0， ∴x 2＋y 2＝15．随练2、 (2013初二上期中人民大学附属中学)因式分解：222618680x xx x【答案】 ()()()224410x x x x ++++．【解析】该题考查的是因式分解．令26x x a +=，则原式21880a a =++ ()()810a a =++()()2268610x x x x =++++()()()224410x x x x =++++随练3、因式分解：222618680x xx x【答案】 ()()()224410x x x x ++++．【解析】该题考查的是因式分解．令26x x a +=，则原式21880a a =++ ()()810a a =++()()2268610x x x x =++++ ()()()224410x x x x =++++ 随练4、分解因式：（1）22(815)(87)15x x x x +++++ （2）22(1)(2)12x x x x ++++-【答案】（1）2(2)(6)(810)x x x x ++++（2）2(1)(2)(5)x x x x -+++ 【解析】（1）()()()()2222281587158228120x x x x x x x x +++++=++++()()()()()22281081226810x x x x x x x x =++++=++++（2）()()()()222221212310x x x x x x x x ++++-=+++-()()()()()22252215x x x x x x x x =+++-=+-++拆、添项例题1、分解因式441x +【答案】 22(221)(221)x x x x ++-+ 【解析】()()()()224422222414414212212212x x x x x x x x x x +=++-=+-=+++-例题2、分解因式：42471x x -+ 【答案】 22(71)(71)x x x x ++-+【解析】 ()()()()22424222224712149171717x x x x x x x x x x x -+=++-=+-=+++-例题3、分解因式：841x x ++【答案】 2242(1)(1)(1)x x x x x x ++-+-+【解析】原式844424424221(1)(1)(1)x x x x x x x x x =++-=+-=++-+2242(1)(1)(1)x x x x x x =++-+-+例题4、分解因式：32265x x x +-- 【答案】 (1)(3)(2)x x x ++-【解析】 3232226566(1)(3)(2)x x x x x x x x x x x +--=+++--=++-例题5、分解因式)()()(222y x z x z y z y x -+-+- 【答案】 ))()((z x y x z y ---【解析】 22222222()()()=()()()=()()()x y z y z x z x y x y z z x y x y z z y y z x y x z -+-+--+-+----随练1、分解因式：343a a -+【答案】2(1)(3)a a a -+- 【解析】 332224333(1)(3)a a a a a a a a a a -+=-+--+=-+-随练2、分解因式：224414x y x y -++【答案】 2222(4)(4)x y xy x y xy +++-【解析】 ()()22224442242222142164x y x y x x y y x y x y xy -++=++-=+-()()222244x y xy x y xy =+++-随练3、分解因式：4414x y +【答案】 222211()()22x y xy x y xy +++- 【解析】 ()224442242222111442x y x x y y x y x y xy ⎛⎫+=++-=+- ⎪⎝⎭22221122x y xy x y xy ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭随练4、分解因式：4231x x -+【答案】22(1)(1)x x x x +--- 【解析】拆项法：原式=422222[()(1)](1)(1)x x x x x x x x ----=+--- 随练5、分解因式：4224a ab b ++【答案】 2222()()a ab b a ab b ++-+【解析】添项法：原式=2422422a a b b a b ++-随练6、分解因式：432234232a a b a b ab b ++++【答案】222()a ab b ++ 【解析】 43223443222234232222a a b a b ab b a a b a b a b ab b ++++=+++++()()4224222222a a b b ab a b a b =+++++()()()22222222222a b ab a b a b a b ab =++++=++随练7、分解因式：（1）()()22ax by bx ay ++-（2）()(2)(1)(1)x y x y xy xy xy +++++-【答案】（1）2222()()a b x y ++（2）(1)(1)(1)x y x y xy ++++-【解析】（1）()()222222222222ax by bx ay a x abxy b y b x abxy a y ++-=+++-+()()()()2222222222x a b y a b a b x y =+++=++（2）()()()()211x y x y xy xy xy +++++-()()()()222211x y xy x y xy x y xy =++++-=++-()()()()()11111x y xy x y xy x y x y xy =+++++-=++++-拓展1、因式分解（1）3x ﹣12x 2 （2）x 2﹣9x ﹣10（3）x 2﹣2xz+z 2﹣4y 2（4）25（m+n ）2﹣4（m ﹣n ）2．【答案】（1）3x （1﹣4x ）（2）（x ﹣10）（x+1）（3）（x ﹣z+2y ）（x ﹣z ﹣2y ）（4）（7m+3n ）（3m+7n ）【解析】（1）原式=3x （1﹣4x ）；（2）原式=（x ﹣10）（x+1）；（3）原式=（x ﹣z ）2﹣4y 2=（x ﹣z+2y ）（x ﹣z ﹣2y ）；（4）原式=[5（m+n ）+2（m ﹣n ）][5（m+n ）﹣2（m ﹣n ）] =（7m+3n ）（3m+7n ）． 2、因式分解 ①3p 2﹣6pq ②2x 2+8x+8③a 2（x ﹣y ）+16（y ﹣x ） ④x 2﹣2x ﹣15．【答案】 ①3p （p ﹣2q ）， ②2（x+2）2 ③（x ﹣y ）（a+4）（a ﹣4） ④ （x ﹣5）（x+3）【解析】 ①3p 2﹣6pq=3p （p ﹣2q ）；②2x 2+8x+8=2（x 2+4x+4）=2（x+2）2； ③a 2（x ﹣y ）+16（y ﹣x ） =（x ﹣y ）（a 2﹣16） =（x ﹣y ）（a+4）（a ﹣4）； ④x 2﹣2x ﹣15=（x ﹣5）（x+3）． 3、因式分解：3232x x x ++. 【答案】 ()()12x x x ++【解析】该题考查的是因式分解．把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫做分解因式． 3232x x x ++()232x x x =++()()12x x x =++4、分解因式：22672x xy y -+ 【答案】（3x -y ）（x -2y ）【解析】（3x -y ）（x -2y ）5、把下列多项式因式分解（1）22568x xy y +- （2）2232x xy y -+ （3）2263x x +-（4）2815x x -+【答案】（1）(2)(54)x y x y +-（2）()(2)x y x y --（3）(9)(7)x x +-（4）(3)(5)x x -- 【解析】（1）22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-（2）()()22322x xy y x y x y -+=-- （3）()()226397x x x x +-=+-（4）()()281535x x x x -+=--6、分解因式：x 3﹣5x 2y ﹣24xy 2= ．【答案】 x （x+3y ）（x ﹣8y ）【解析】 x 3﹣5x 2y ﹣24xy 2 =x （x 2﹣5xy ﹣24y 2） =x （x+3y ）（x ﹣8y ）故答案为：x （x+3y ）（x ﹣8y ）．7、分解因式：2212x x y ---+ 【答案】 (1)(1)y x y x ++--【解析】原式2222(12)(1)(1)(1)y x x y x y x y x =-++=-+=++--8、把22222222448a b c d a c b d abcd +--+因式分解．【答案】 (22)(22)ab cd ac bd ab cd ac bd ++-+-+【解析】 ()()22222222222222224484444a b c d a c b d abcd a b abcd c d a c abcd b d +--+=++--+ ()()2222(22)(22)ab cd ac bd ab cd ac bd ab cd ac bd =+--=++-+-+9、分解因式：3254222x x x x x --++- 【答案】 42(2)(1)x x x -+-【解析】原式32542442(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(1)x x x x x x x x x x x x x =---+-=---+-=-+- 10、把下列多项式因式分解（1）224484a b a b ab +-+-（2）4322221a a a a ++++【答案】（1）(2)(24)a b a b ---（2）22(1)(1)a a ++【解析】（1）()()222244844448a b a b ab a ab b a b +-+-=-+--()()2242a b a b =---()()224a b a b =---（2）()()()()243242222221212111a a a a a a a a a a ++++=++++=++11、把下列多项式因式分解（1）22ax bx bx ax a b -+-+-（2）432433x x x x ++++（3）2222424a b c d ab cd +--++（4）2269261x xy y x y ++--+ 【答案】（1）()()21a b x x --+；（2）()()2213x x x +++；（3）(2)(2)a b c d a b c d ++-+-+；（4）2(31)x y +-【解析】（1）()()()()22221ax bx bx ax a b x a b x a b a b a b x x -+-+-=---+-=--+ （2）()()()43243222243333313x x x x x x x x x x x x ++++=+++++=+++ （3）()()()()222222424222a b c d ab cd a b c d a b c d a b c d +--++=+--=++-+-+（4）()()()222269261323131x xy y x y x y x y x y ++--+=+-++=+- 12、把下列多项式因式分解（1）242363ax bx x ay by y -+-+- （2）224484a b a b ab +-+- （3）5432221x x x x x +--++（4）228166249x xy y x y -++-+ 【答案】（1）(21)(23)a b x y -+-（2）(2)(24)a b a b ---（3）32(1)(1)x x +-（4）2(43)x y -+ 【解析】 (1)()()()()2423632213212123ax bx x ay by y x a b y a b a b x y -+-+-=-+--+=-+-(2)()()()()()()2222244844448242224a b a b ab a ab b a b a b a b a b a b +-+-=-+--=---=---(3)()()()()()2543242232221121111(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x +--++=+-+++=+-=+-(4)()()()22228166249464943x xy y x y x y x y x y -++-+=-+-+=-+13、把下列多项式因式分解（1）1xy x y --+ （2）325153x x x --+ （3）27321x y xy x -+- （4）(1)(2)6x x x --- （5）222(1)()ab x x a b +++（6）215430bm bn am an -+-（7）233a a ab b --+【答案】（1）()()11y x --；（2）()()2351x x --；（3）()()37x x y -+；（4）()()232x x -+；（5）()()ax b bx a ++；（6）()()2215b a m n +-；（7）()()3a b a -- 【解析】（1）()()()()()()111111xy x y xy x y x y y y x --+=---=---=-- （2）()()()()()()32322251535153533351x x x x x x x x x x x --+=---=---=-- （3）()()()()()()227321721373337x y xy x x x xy y x x y x x x y -+-=-+-=-+-=-+（4）()()()()()()323222(1)(2)632632632332x x x x x x x x x x x x x x ---=-+-=-+-=-+-=-+ （5）()()()()()()222222(1)()ab x x a b abx b x a x ab bx ax b a ax b ax b bx a +++=+++=+++=++ （6）()()215430241530bm bn am an bm am bn an -+-=+-+ ()()()()221522215m b a n b a b a m n =+-+=+-（7）()()()()()()22333333a a ab b a ab a b a a b a b a b a --+=---=---=--14、把下列多项式因式分解（1）2c abcd ac bd -+-（2）5432222a a a a a +++++ （3）54ax ax ax a -+-（4）2ax ay a bx by ab -++-+ （5）2293x x y y ---（6）2222x y z yz --+【答案】（1）(1)(1)ac bd +-（2）23(1)(2)a a a +++（3）4(1)(1)a x x -+ （4）()()x y a a b -++（5）(3)(31)x y x y +--（6）()()x y z x y z +--+【解析】（1）()()()()21c abcd ac bd c bd ac c bd c bd ac -+-=-+-=-+ （2）()()()()54323222322212112a a a a a a a a a a a a a +++++=+++++=+++ （3）()()()()54441111ax ax ax a ax x a x a x x -+-=-+-=-+（4）()()()()()2ax ay a bx by ab x a b y a b a a b a b x y a -++-+=+-+++=+-+（5）()()()()()()()22229393333331x x y y x y x y x y x y x y x y x y ---=--+=+--+=+-- （6）()()()()2222222222x y z yz x y yz z x y z x y z x y z --+=--+=--=+--+ 15、若m ＝4n ＋3，则m 2－8mn ＋16n 2的值是________．【答案】 9【解析】 ∵m ＝4n ＋3， ∴m －4n ＝3，则原式＝（m －4n ）2＝32＝9．16、分解因式：()()x x x x 2232349-+--+【答案】 ()2231x x --【解析】 2222222(32)(34)9(32)6(32)9(31)x x x x x x x x x x -+--+=-+--++=--17、因式分解：()()222618680x x x x ++++【答案】 ()()()224610x x x x ++++．【解析】令26x x a +=，则原式21880a a =++()()810a a =++()()2268610x x x x =++++()()()224610x x x x =++++18、分解因式41)42)(52(22++---x x x x 【答案】 ()()()21322x x x x +--+ 【解析】本题考查的是因式分解．设22y x x =-，上式()()5414y y =-++，整理得：上式26y y =--十字相乘法得：上式()()32y y =-+．把22y x x =-代入得：()()222322x x x x ---+十字相乘法得：上式()()()21322x x xx =+--+19、因式分解：（1）222618680x xx x（2）()()x x x x 2232349-+--+【答案】（1）()()()224610x x x x ++++；（2）()2231x x --【解析】（1）令26x x a +=，则原式21880a a =++()()810a a =++()()2268610x x x x =++++=()()()224610x x x x ++++（2）2222222(32)(34)9(32)6(32)9(31)x x x x x x x x x x -+--+=-+--++=--20、分解因式：（1）224414x y x y -++（2）841x x ++【答案】 2222(4)(4)x y xy x y xy +++-；2242(1)(1)(1)x x x x x x ++-+-+ 【解析】（1）()()22224442242222142164x y x y x x y y x y x y xy -++=++-=+-()()222244x y xy x y xy =+++-（2）848442242121(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x ++=++-=++-+-+21、分解因式：464x +【答案】22(84)(84)x x x x +++- 【解析】()()()()22442222264166416848484x x x x x x x x x x +=++-=+-=+++-22、分解因式：3234x x +-【答案】 2(1)(2)x x --【解析】 323222344444(1)(2)x x x x x x x x x +-=-+-+-=--23、分解因式：12631x x -+ 【答案】 6363(1)(1)x x x x -+++【解析】()()()()2212612666363633121111x x x x x x x x x x x -+=-+-=--=-+++24、分解因式：444222222222a b c a b b c c a ---+++ 【答案】 ()()()()c a b c a b a b c a b c -+--++++- 【解析】 444222222222a b c a b b c c a ---+++ 22444222222222222222222222242224()(2)(2)()()()()a b a b c b c c a a b a b a b c a b a b c a b a b c c a b c a b a b c a b c =---++-=-+-=++---+=-+--++++-25、分解因式：3)5)(3(22-----x x x x 【答案】 (1)(2)(2)(3)x x x x ++-- 【解析】22222(3)(5)3(3)2(3)3(1)(2)(2)(3)x x x x x x x x x x x x -----=------=++-- 26、分解因式2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++【答案】 ()()()22458x x x x ++++【解析】()()()()22222248348248482x x x x x x x x x x x x ++++++=++++++()()()22458x x x x =++++。

八年级数学下册分式例题精讲与同步训练北师大版

《分式》例题精讲与同步训练【基础知识精讲】1.分式的概念一般地，用A ，B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成B A 的形式，如果B 中含有字母，式子BA 就叫做分式.其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母. 因为零不能作除数，所以分式的分母不能为零.2.有理式的概念整式和分式统称为有理式有理式的分类：有理式⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧分式多项式单项式整式3. 分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不等于零；分式无意义的条件是分母等于零；分式的值等于零的条件是分子等于零且分母不等于零.【重点难点解析】1.重点难点分析重点：掌握分式的概念，采用与分数类比引出概念，且注意强调分母必须含有字母，这是分式与整式的最大区别.难点：分数的分母是具体的不为0的数，而分式的分母则随字母取值发生变化的.若字母所取的值使分母的值为0，则分式无意义，因此分式分母的值不为0是分式概念的组成部分.“分式的值为0”和“分式无意义”有根本不同.2．典型例题解析例1 下列各式中，哪些是整式，哪些是分式？2b a -，x x 3+，πx +5，b a b a -+，m 1(x-y)，43(x 2+1). 解因为2b a -,πx +5，43(x 2+1)的分母中不含字母，所以它们是整式.因为xx 3+，b a b a -+，m1(x-y)的分母中含有字母，所以它们是分式. 点评 πx +5中的分母π，它表示圆周率，是一个常数，不能看成为字母，因此，它是整式。

例2 x 取何值时，分式7215--x x 无意义？分析当分母为零时，分式无意义.解当2x-7=0，即x=27时，分式7215--x x 无意义.例3 x 为何值时，下列分式的值为零？ (1)232+-x x x (2)222---x x x (3)431622+--x x x 分析当分子为零且分母不为零时，分式的值为零.解 (1)由分子x=0，而当x=0时，分母x 2-3x+2=02-3×2+2=2≠0.∴ 当x=0时，分式232+-x x x 的值为零. (2)由分子x-2=0，得x=2.而x=2时，分母x 2-x-2=22-2-2=0.∴当x=2时，分式的分子、分母同时为零，因此分式的值不能为零.(3)由分子x 2-16=0,得x=±4,而x=4时，分母x 2-3x-4=(x-4)(x+1)=(4-4)×(4+1)=0,分式无意义；当x=-4时，分母x 2-3x-4=(x-4)(x+1)=(-4-4)(-4+1)=24≠0.∴当x=-4时，分式431622+--x x x 的值为零. 例4 下列分式何时有意义？ (1)1222--x x (2)122--x x (3)1222+--x x x 解 (1)由x 2-1=0得x=±1,∴当x ≠±1时，分式1222--x x 有意义. (2)由x -1=0得x=±1,∴x ≠±1时，分式122--x x 有意义. (3)由于x 2-x+1=(x-21)2+43＞0, ∴无论x 取何值，分式1222+--x x x 均有意义.【难题巧解点拨】例5 当x 为何值时，分式12+-x x x x 有意义？分析因为分式为繁分式，有多层分母，每层分母必须都不为零，繁分式才有意义. 解 1122+-=+-x x x x x x x x∴⎩⎨⎧≠-≠+0012x x x 即⎩⎨⎧≠≠-≠101x x x 且∴当x ≠±1且x ≠0时，原分式有意义. 例6 若2413321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--y y x x =0,求代数式132123--+y x 的值. 解 ∵0413,03212≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++≥--y y x x 又2413321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--y y x x =0 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=--04130321y y x x 即⎪⎩⎪⎨⎧-==311y x 当x=1，y=-31时, 123+x -132-y =22211)31(331123=--=--⨯-+⨯【课本难题解答】课本P114，复习题九A 组1组.3，x 1，3+x 1，222y x -,π1(x+y),y 1(z+x),11+x ,x x 212+,32122+++x x x 解整式：3，222y x -， π1(x+y), 分式：x 1，3+x 1，y 1(z+x)，11+x ，x x 212+，32122+++x x x 注：π是一个确定的实数，因此π1(x+y)为整式，π与2、3等一样是一个具体的实数，不要与表示数的字母x 、y 混淆。

北师大版八年级下数学同步讲义第07讲因式分解其它方法教师版

第07讲因式分解其它方法知识梳理要点一：分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.所谓换元，即对结构比较复杂的代数式，把其中某些部分看成一个整体，用新的字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化、明朗化，象这种利用换元来解决复杂问题的方法，就叫换元法。

在减少代数式的项数、降低多项式结构复杂程度等方面都有着独到的作用。

（1）使用换元法时，一定要有意识，即把某些相同或相似的部分看成一个；（2）换元法的种类有：单个换元、多个换元、局部换元、整体换元、特殊值换元和几何换元；（3）利用换元法解决问题时，最后要让原有的数或式“回归”。

要点三：拆、添项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.要点三：补充公式（1）()()b a b a b a -+=-22 （2）()2222b a b ab a +=++ （3）()2222b a b ab a -=+- （4）()()2233b ab a b a b a +-+=+（5）()()2233b ab a b a b a ++-=-（6）()2222222c b a ac bc ab c b a ++=+++++ （7）()3322333b a b ab b a a +=+++ （8）()3322333b a b ab b a a -=-+-经典例题类型一：四项分组1．因式分解：x 2−2xy +y 2−1＝．【解答】解：x 2−2xy +y 2−1＝（x −y ）2−1＝（x −y +1）（x −y −1）2．因式分解：4x 2−y 2+2y −1＝．【解答】解：4x 2－y 2+2y －1＝4x 2－（y 2－2y +1）＝（2x ）2－（y －1）2＝（2x －y +1）（2x +y －1）3．因式分解：x 2−4xy −1+4y 2＝．【解答】解：原式＝（x 2−4xy +4y 2）−1＝（x −2y ）2−1＝（x −2y +1）（x −2y −1），4．因式分解：2a −1−2b +4ab ＝．【解答】解：原式＝（2a −1）+（4ab −2b ）＝（2a −1）+2b （2a −1）＝（2a −1）（2b +1）．5．分解因式：a 2b +ab 2−a −b ＝．【解答】解：a 2b +ab 2−a −b ＝ab （a +b ）−（a +b ）＝（ab −1）（a +b ）6．因式分解：x 2−y 2+x +y ＝．【解答】解：x 2−y 2+x +y ＝（x +y ）（x −y ）+x +y ＝（x +y ）（x −y +1）．类型二：五项分组7．分解因式：x 2−4xy −2y +x +4y 2＝．【解答】解：x 2−4xy −2y +x +4y 2＝（x 2−4xy +4y 2）+（x −2y ）＝（x −2y ）2+（x −2y ）＝（x −2y ）（x −2y +1）．8．分解因式：1−x 2−y 2+x 2y 2−4xy ＝．【解答】解：1−x 2−y 2+x 2y 2−4xy ＝（1+x 2y 2−2xy ）−（x 2+y 2+2xy ）＝（1−xy ）2−（x +y ）2＝（1−xy +x +y ）（1−xy −x −y ）．9．分解因式：2m 2−mn +2m +n −n 2＝．【解答】解原式＝（2m 2−mn −n 2）+（2m +n ）＝（2m +n ）（m −n ）+（2m +n ）＝（2m +n ）（m −n +1）．10．分解因式：x 2−2x −2y 2+4y −xy ＝．【解答】解：原式＝（x 2−xy −2y 2）+（−2x +4y ）＝（x −2y ）（x +y ）−2（x −2y ）＝（x −2y ）（x +y −2）．类型三：六项分组11．因式分解：x2−2xy+y2−2x+2y+1＝．【解答】解：x2−2xy+y2−2x+2y+1＝＝（x−y）2−2（x−y）+1＝（x−y−1）2．12．分解因式：x2+4xy+4y2+x+2y−2＝．【解答】解：x2+4xy+4y2+x+2y－2＝（x+2y）2+（x+2y）－2＝（x+2y+2）（x+2y－1）．13．因式分解：x2−4xy−2x+4y2+4y−3＝．【解答】解：x2−4xy−2x+4y2+4y－3＝（x−2y）2−2（x−2y）−3＝（x−2y−3）（x−2y+1）．14．分解因式：x2+xy−6y2+x+13y−6＝．【解答】解：x2+xy−6y2+x+13y−6＝x2+（y+1）x－（6y2−13y+6）＝x2+（y+1）x－（3y−2）（2y−3）＝（x－2y+3）（x+3y－2）．15．a2bc+abcd+bc−ab2−ac2−c2d【解答】解：a2bc+abcd+bc－ab2－ac2－c2d＝a2bc－ac2+abcd－c2d+bc－ab2＝ac（ab－c）+cd（ab－c）－b（ab－c）＝（ab－c）（ac+cd－b）．类型四：换元法16．阅读某同学对多项式（x2－4x+2）（x2－4x+6）+4进行因式分解的过程，并解决问题：解：设x2－4x＝y，原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2－4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步的变形运用了（填序号）；A．提公因式法B．平方差公式C．两数和的平方公式D．两数差的平方公式（2）该同学在第三步用所设的代数式进行了代换，得到第四步的结果，这个结果能否进一步因式分解?________（填“能”或“不能”）．如果能，直接写出最后结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2+6x）（x2+6x+18）+81进行因式分行解．【解答】解：（1）C；（2）能，（x－2）4；（3）设x2+6x＝y（x2+6x）（x2+6x+18）+81＝y（y+18）+81＝y2+18y+81＝（y+9）2＝（x2+6x+9）2＝（x+3）4．17．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x +y ）2+2（x +y ）+1．解：将“x +y ”看成整体，令x +y ＝A ，则原式＝A 2+2A +1＝（A +1）2．再将“A ”还原，得原式＝（x +y +1）2．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题：（1）因式分解：1+2（2x －3y ）+（2x －3y ）2．（2）因式分解：（a +b ）（a +b －4）+4；【解答】解：（1）原式＝（1+2x －3y ）2．（2）令A ＝a +b ，则原式变为A （A －4）+4＝A 2－4A +4＝（A －2）2，故（a +b ）（a +b －4）+4＝（a +b －2）2．18．（1）分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++【解答】令y x x =++842，原式=)1692)(85()2)((232222++++=++=++x x x x y x y x x xy y（2）分解因式：22(52)(53)12x x x x ++++-【解答】令y x x =+52，原式=)1)(6(6512)3)(2(2-+=-+=-++y y y y y y=)15)(3)(2()15)(65(222-+++=-+++x x x x x x x x19．（1）分解因式：(1)(3)(5)(7)15x x x x +++++【解答】原式=15)158)(78(22+++++x x x x ，令y x x =+82则上式=)128)(108()12)(10(1202215)15)(7(222++++=++=++=+++x x x x y y y y y y)6)(2)(108(2++++=x x x x（2）分解因式：(1)(2)(3)(4)24a a a a -----【解答】原式=24)65)(45(22-+-+-a a a a ，令x a a =-52则上式=)105)(5()10(1024)6)(4(22+--=+=+=-++a a a a x x x x x x类型五：待定系数法20．阅读例题，解答问题：例题：已知二次三项式x 2+4x +m 有一个因式是（x +1），求另一个因式及m 的值．解：设另一个因式为（x +n ），得x 2+4x +m ＝（x +1）（x +n ），则x 2+4x +m ＝x 2+（n +1）x +n ，∴{n +1=4m =n ，解得{n =3m =3． ∴另一个因式（x +3），m 的值为3．问题：已知二次三项式2x 2+x +k 有一个因式是（2x －3），求另一个因式及k 的值．【解答】解：设另一个因式为（x +p ），得2x 2+x +k ＝（x +p ）（2x －3），则2x 2+x +k ＝2x 2+（2p －3）－3p ， ∴{2p −3=1k =−3p ，解得{p =2k =−6，∴另一个因式为（x +2），k 的值为－6．21．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x 2－4x +m 有一个因式是（x +3），求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为（x +n ），得x 2－4x +m ＝（x +3）（x +n ），则x 2－4x +m ＝x 2+（n +3）x +3n ，∴{n +3=−4m =3n，解得：n ＝－7，m ＝－21，∴另一个因式为（x －7），m 的值为－21．问题：仿照以上方法解答下面问题：（1）已知二次三项式2x 2+3x ﹣k 有一个因式是（2x －5），求另一个因式以及k 的值；（2）已知二次三项式3x 2+4ax +1有一个因式是（x +a ），求另一个因式以及a 的值．【解答】解：（1）设另一个因式是（x +b ），则（2x －5）（x +b ）＝2x 2+2bx －5x －5b ＝2x 2+（2b －5）x －5b ＝2x 2+3x －k ，则{2b −5=3−5b =−k ，解得：{b =4k =20，则另一个因式是：x +4，k ＝20．（2）设另一个因式是（3x +m ），则（x +a ）（3x +m ）＝3x 2+（m +3a ）x +am ＝3x 2+4ax +1，则{m +3a =4a am =1，解得{m =1a =1，或{m =−1a =−1，另一个因式是3x －1或3x +1，故另一个因式是3x +1，a ＝1或3x －1，a ＝－1．22．已知多项式2x 3﹣x 2+m 因式分解后有一个因式为2x +1，求m 的值．解：设2x 3﹣x 2+m ＝（2x +1）（x 2+ax +b ）．则2x 3﹣x 2+m ＝2x 3+（2a +1）x 2+（a +2b ）x +b ．比较系数．得{2a +1=−1a +2b =0b =m解得{ a =−1b =12m =12∴m =12根据以上学习材料，解答下面的问题．已知多项式x 3+4x 2+mx +5因式分解后有一个因式为x +1，求m 的值．【解答】解：设x 3+4x 2+mx +5＝（x +1）（x 2+ax +b ），则x 3+4x 2+mx +5＝x 3+（a +1）x 2+（a +b ）x +b ，比较系数．得{a +1=4a +b =m b =5，解得{a =3b =5m =8，故m 的值为8．类型六：拆、添项法22．请看下面的问题：把x 4+4分解因式分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x 2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x 2，随即将此项4x 2减去，即可得x 4+4＝x 4+4x 2+4－4x 2＝（x 2+2）2－4x 2＝（x 2+2）2－（2x ）2＝（x 2+2x +2）（x 2－2x +2）人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解．（1）x 4+4y 4；（2）x 2－2ax －b 2－2ab ．【解答】解：（1）x 4+4y 4＝x 4+4x 2y 2+4y 2－4x 2y 2＝（x 2+2y 2）2－4x 2y 2＝（x 2+2y 2+2xy ）（x 2+2y 2－2xy ）；（2）x 2－2ax －b 2－2ab ＝x 2－2ax +a 2－a 2－b 2﹣2ab ＝（x －a ）2－（a +b ）2，＝（x －a +a +b ）（x －a －a －b ）＝（x +b ）（x －2a －b ）．23．先阅读，再分解因式：x 4+4＝（x 4+4x 2+4）－4x 2＝（x 2+2）2－（2x ）2＝（x 2－2x +2）（x 2+2x +2），按照这种方法把多项式x 4+64分解因式．【解答】解：x 4+64＝x 4+16x 2+64－16x 2＝（x 2+8）2－16x 2，＝（x 2+8）2－（4x ）2＝（x 2+8+4x ）（x 2+8－4x ）．24．因式分解：（1）；____________144=+x （2）441=________________.x +.【解答】（1）()()()x x x x x x x x x x 212212412414414222222244-+++=-+=-++=+（2）)122)(122(4)12(414422222224+-++=-+=-++x x x x x x x x x类型七：双十字相乘法25．“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax 2+bxy +cy 2的x ，y 二次三项式来说，方法的关键是把x 2项系数a 分解成两个因数a 1，a 2的积，即a ＝a 1•a 2，把y 2项系数c 分解成两个因数，c 1，c 2的积，即c ＝c 1•c 2，并使a 1•c 2+a 2•c 1正好等于xy 项的系数b ，那么可以直接写成结果：ax 2+bxy +cy 2＝（a 1x +c 1y ）（a 2x +c 2y ）例：分解因式：x 2－2xy －8y 2解：如右图，其中1＝1×1，－8＝（－4）×2，而－2＝1×（－4）+1×2∴x 2－2xy －8y 2＝（x －4y ）（x +2y ）而对于形如ax 2+bxy +cy 2+dx +ey +f 的x ，y 的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图1，将a 分解成mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成jk 乘积作为第三列，如果mq +np ＝b ，pk +qj ＝e ，mk +nj ＝d ，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式＝（mx +py +j ）（nx +qy +k ）；例：分解因式：x 2+2xy －3y 2+3x +y +2解：如图2，其中1＝1×1，－3＝（－1）×3，2＝1×2；而2＝1×3+1×（－1），1＝（－1）×2+3×1，3＝1×2+1×1；∴x 2+2xy －3y 2+3x +y +2＝（x －y +1）（x +3y +2）请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：6x 2－7xy +2y 2＝________________；x 2－6xy +8y 2－5x +14y +6＝．（2）若关于x ，y 的二元二次式x 2+7xy －18y 2－5x +my －24可以分解成两个一次因式的积，求m 的值．（3）已知x ，y 为整数，且满足x 2+3xy +2y 2+2x +4y ＝－1，求x ，y ．【解答】解：（1）（2x －y ）（3x －2y ）．如图4，其中1×1＝1，（－2）×（－4）＝8，（－2）×（－3）＝6；而－6＝1×（－4）+1×（－2），－5＝1×（－3）+1×（－2），14＝（－2）×（－3）+（－4）×（－2）； ∴x 2－6xy +8y 2－5x +14y +6＝（x －2y －2）（x －4y －3）．（2）如图5，∵关于x ，y 的二元二次式x 2+7xy －18y 2－5x +my －24可以分解成两个一次因式的积，∴存在：其中1×1＝1，9×（－2）＝－18，（－8）×3＝－24；而7＝1×（－2）+1×9，－5＝1×（－8）+1×3，m ＝9×3+（－2）×（－8）＝43或m ＝9×（－8）+（－2）×3＝－78．故若关于x ，y 的二元二次式x 2+7xy －18y 2－5x +my －24可以分解成两个一次因式的积，m 的值为43或者－78．（3）∵x 2+3xy +2y 2+2x +4y ＝（x +2y ）（x +y ）+2（x +2y ）＝（x +2y ）（x +y +2）＝－1＝1×（－1），且x 、y 为整数，∴有{x +2y =1x +y +2=−1，或{x +2y =−1x +y +2=1，解得：{x =−7y =4，或{x =−1y =0．故当x ＝－7时，y ＝4；当x ＝－1时，y ＝0．26．用双十字相乘法分解因式：（1）6x2+xy－2y2+2x－8y－8；（2）x2+2xy－3y2+3x+y+2；（3）x2－3xy－10y2+x+9y－2；（4）x2－y2+5x+3y+4；（5）xy+y2+x－y－2；（6）6x2－7xy－3y2－xz+7yz－2z2．【解答】解：（1）6x2+xy－2y2+2x－8y－8＝（2x－y－2）（3x+2y+4）；（2）x2+2xy－3y2+3x+y+2＝（x+3y+2）（x－y+1）；（3）x2－3xy－10y2+x+9y－2＝（x－5y+2）（x+2y－1）；（4）x2－y2+5x+3y+4＝（x+y+1）（x－y+4）；（5）xy+y2+x－y－2＝（y+1）（x+y－2）；（6）6x2－7xy－3y2－xz+7yz－2z2＝（2x－3y+z）（3x+y－2z）．课后作业1．用分组分解法分解因式a2－b2－c2+2bc，其分组分解正确的是（D）A．（a2－c2）－（b2－2bc）B．（a2－b2－c2）+2bcC．（a2－b2）－（c2－2bc）D．a2－（b2+c2－2bc）2．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2－a－b的值为（B）A．－1B．0C．3D．63．用分组分解法分解因式：（1）xy－x－y+1；（2）a2－3a－ab+3b；（3）1－a2+2ab－b2；（4）9a2－2b－b2－6a；（5）6ax2－9a2xy+2xy－3ay2；（6）2x2+4xy－6ax+3a－x－2y；【解答】解：（1）xy－x－y+1＝（xy－x）+（y－1）＝x（y－1）+（y－1）＝（y－1）（x+1）；（2）a2－3a－ab+3b＝（a2－3a）－（ab－3b）＝a（a－3）－b（a－3）＝（a－3）（a－b）；（3）1－a2+2ab－b2＝1－（a2－2ab+b2）＝1－（a－b）2＝（1－a+b）（1+a－b）；（4）9a2－2b－b2－6a＝（9a2－b2）－（6a+2b）＝（3a+b）（3a－b）－2（3a+b）＝（3a+b）（3a－b－2）；（5）6ax2－9a2xy+2xy－3ay2＝（6ax2+2xy）－（9a2xy+3ay2）＝（3ax+y）（2x－3ay）；（6）2x2+4xy－6ax+3a－x－2y＝（2x2+4xy－6ax）－（x+2y－3a）＝（x+2y－3a）（2x－1）；4．用换元法因式分解：（1）（x2+x+1）（x2+x+2）－12；（2）（x2－x）（x2－x－14）+24．【解答】解：（1）设x2+x＝y，则原式＝（y+1）（y+2）－12＝y2+3y－10＝（y－2）（y+5）＝（x2+x－2）（x2+x+5）＝（x－1）（x+2）（x2+x+5）．（2）原式＝（x2－x－3）（x2－x－8）＝（x－2）（x+1）（x－4）（x+3）．5．用双十字相乘法分解因式：（1）x2－8xy+15y2+2x－4y－3；（2）3x2－11xy+6y2－xz－4yz－2z2；（3）6x2－5xy－6y2+2x+23y－20；（4）x2－6xy+9y2－5xz+15yz+6z2；（5）a2－3b2－3c2+10bc－2ca－2ab；（6）x2－2y2－3z2+xy+7yz+2xz；【解答】解：（1）x2－8xy+15y2+2x－4y－3；∴x2－8xy+15y2+2x－4y－3＝（x－3y－1）（x－5y+3）；（2）3x2－11xy+6y2－xz－4yz－2z2；∴3x2－11xy+6y2－xz－4yz－2z2＝（3x－2y+2z）（x－3y－z）；（3）6x2－5xy－6y2+2x+23y－20；∴6x2－5xy－6y2+2x+23y－20＝（3x+2y－5）（2x－3y+4）；（4）x2－6xy+9y2－5xz+15yz+6z2；∴x2－6xy+9y2－5xz+15yz+6z2＝（x－3y－2z）（x－3y－3z）；（5）a2－3b2－3c2+10bc－2ca－2ab＝a2－2ab－3b2－2ca+10bc－3c2；∴a2－3b2－3c2+10bc－2ca－2ab＝（a+b－3c）（a－3b+c）；（6）x2－2y2－3z2+xy+7yz+2xz＝x2+xy－2y2+2xz+7yz－3z2，∴x2－2y2－3z2+xy+7yz+2xz＝（x－y+3z）（x+2y－z）；6．1637年笛卡儿（R．Descartes，1596－1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：分解因式：x3+2x2－3．观察知，显然x＝1时，原式＝0，因此原式可分解为（x－1）与另一个整式的积．令：x3+2x2－3＝（x－1）（x2+bx+c），而（x－1）（x2+bx+c）＝x3+（b－1）x2+（c－b）x－c，因等式两边x 同次幂的系数相等，则有：{b−1=2c−b=0−c=−3，得{b=3c=3，从而x3+2x2－3＝0．根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：（1）若x+1是多项式x3+ax+1的因式，求a的值并将多项式x3+ax+1分解因式．（2）若多项式3x4+ax3+bx－34含有因式x+1及x－2，求a，b的值．【解答】解：（1）令x3+ax+1＝（x+1）（x2+bx+c），而（x+1）（x2+bx+c）＝x3+（b+1）x2+（c+b）x+c，∵等式两边x同次幂的系数相等，即x3+（b+1）x2+（c+b）x+c＝x3+ax+1∴{b+1=0b+c=ac=1解得{a=0b=−1c=1，∴a的值为0，x3+1＝（x+1）（x2－x+1）（2）（x+1）（x－2）＝x2－x－2令3x4+ax3+bx－34＝（x2－x－2）（3x2+cx+d），而（x2－x－2）（3x2+cx+d）＝3x4+（c－3）x3+（d－c－6）x2－（2c+d）x－2d，∵等式两边x同次幂的系数相等，即3x4+（c－3）x3+（d－c－6）x2－（2c+d）x－2d＝3x4+ax3+bx－34∴{c−3=ad−c−6=0−2c−d=b−2d=−34，解得{d=17c=11b=−39a=8，答：a、b的值分别为8、－39．7．【阅读材料】对于二次三项式a2+2ab+b2可以直接分解为（a+b）2的形式，但对于二次三项式a2+2ab－8b2，就不能直接用公式了，我们可以在二次三项式a2+2ab－8b2中先加上一项b2，使其成为完全平方式，再减去b2这项，（这里也可把﹣8b2拆成+b2与－9b2的和），使整个式子的值不变．于是有：a2+2ab－8b2＝a2+2ab－8b2+b2－b2＝（a2+2ab+b2）－8b2－b2＝（a+b）2－9b2＝[（a+b）+3b][（a+b）－3b]＝（a+4b）（a－2b）我们把像这样将二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．【应用材料】（1）上式中添（拆）项后先把完全平方式组合在一起，然后用法实现分解因式．（2）请你根据材料中提供的因式分解的方法，将下面的多项式分解因式：①m2+6m+8；②a4+a2b2+b4【解答】解：（1）公式；（2）①m2+6m+8＝m2+6m+9－1＝（m+3）2－12＝（m+3+1）（m+3－1）＝（m+4）（m+2）；②a4+a2b2+b4＝a4+2a2b2+b4－a2b2＝（a2+b2）2－（ab）2＝（a2+b2+ab）（a2+b2－ab）．11。

北师大版八年级下册因式分解(分组分解法)100题及答案

北师大版八年级下册因式分解(分组分解法)100题及答案(1) 2232422122a b ab bc ca +-+-(2) 2254491054236a b ab bc ca ++++(3) 144144mx my nx ny -+-(4) 2256716249a c ab bc ca -+-+(5) 224255025a b b ---(6) 22781863x y xy yz zx +-+-(7) 22324142418a b ab bc ca -++-(8) 22366424163x y x y -+-+(9) 22487850a c ab bc ca -++-(10) 36403640ab a b --+(11) 90502715mn m n -+-(12) 223635121012x y xy yz zx --++(13) 2128912ab a b +++(14) 229129256a c ab bc ca +--+(15) 40401010mn m n -+-(16) 813694xy x y -++-(17)2293025a b a-+-(18)39618ab a b--+(19)228116364832a b a b-+--(20)22491070m n m n---(21)18168172xy x y--+(22)2236493612672a b a b--+-(23)30103010mn m n+--(24)751410xy x y-+-(25)422ax ay bx by--+(26)2254463730x z xy yz zx----(27)228114416x y x y--+(28)9090100100ax ay bx by-+-(29)222148621x y xy yz zx-+-+ (30)1262010ab a b-+-(31)2754918ab a b+--(32)306306ax ay bx by-+-(33)351573xy x y--++(34)70604236ax ay bx by+--(35) 226321453522x z xy yz zx ---+ (36) 27181812xy x y --++(37) 2727mn m n +++(38) 2887020xy x y -+-(39) 222536701248x y x y --++(40) 49283520xy x y --+(41) 226464161a b a ---(42) 225642615a c ab bc ca ++++(43) 12101210mx my nx ny +--(44) 22842103520x y xy yz zx -+-+(45) 2262525306a b ab bc ca -+++(46) 35301412ax ay bx by +++(47) 1236618ax ay bx by +--(48) 22725543049a c ab bc ca +-+-(49) 22493611210817m n m n -+--(50) 202456xy x y +--(51) 22151682015x y xy yz zx -+--(52) 22010xy x y ----(53) 224218288a b ab bc ca ---+(54) 22924361658a c ab bc ca ++++(55) 22216569a b ab bc ca --+- (56) 56424836mx my nx ny -+- (57) 2790620mn m n +++(58) 2221227x y xy yz zx -++-(59) 2249542749x y xy yz zx +--+(60) 2291667280m n m n ----(61) 1010ax ay bx by --+(62) 2215286841x z xy yz zx +--+(63) 223014474236x y xy yz zx +--+(64) 2281141848m n m n --++(65) 70359045mx my nx ny -+-(66) 2242648749a b ab bc ca +-+-(67) 224512201651a c ab bc ca ++--(68) 624520mx my nx ny -+-(69) 224512481025x y xy yz zx ++++(70) 2264961011a b a b ---+(71) 221825102535x z xy yz zx -+++ (72) 61437ab a b --+(73) 221035392820a b ab bc ca +--+(74) 226491284215x y x y -+++(75) 222148828x y xy yz zx -+-+(76) 9218ax ay bx by -+-(77) 814595xy x y -++-(78) 2215201353x y xy yz zx ---+(79) 221810273542x y xy yz zx ++++(80) 12182436mx my nx ny +--(81) 22259904232x y x y ---+(82) 224727728a b ab bc ca -++-(83) 9327xy x y +--(84) 24323648xy x y +--(85) 1292418mx my nx ny +++(86) 3232xy x y -+-+(87) 22628132015x y xy yz zx ----(88) 729729mx my nx ny +--(89)22496470649m n m n--++ (90)22161449m n m-+-(91)36892xy x y-+-+(92)2256425432a b ab bc ca----(93)2264112445a b a b--++ (94)223693025m n n---(95)2231084x y xy yz zx---+(96)222130573549a b ab bc ca+-+-(97)221524265x y xy yz zx--++ (98)4242mx my nx ny+++(99)2281161621677x y x y-+++ (100)2040816mn m n+--北师大版八年级下册因式分解(分组分解法)100题答案(1)(342)(6)a b c a b---(2)(67)(976)a b a b c+++ (3)2()(72)m n x y+-(4)(8)(727)a c ab c-++(5)(255)(255)a b a b++--(6)(743)(2)x y z x y---(7)(66)(34)a b c a b+--(8)(683)(681)x y x y++-+(9)(8)(67)a c ab c++-(10)4(1)(910)a b--(11)(103)(95)m n+-(12)(65)(672)x y x y z+-+(13)(73)(34)a b++(14)(92)(6)a c ab c+-+ (15)10(41)(1)m n+-(16)(91)(94)x y---(17)(35)(35)a b a b++-+(18)3(2)(3)a b--(19)(948)(944)a b a b++--(20)(7)(710)m n m n+--(21)(29)(98)x y--(22)(6712)(676)a b a b+--+ (23)10(1)(31)m n-+(24)(2)(75)x y+-(25)(2)(2)a b x y--(26)(674)(9)x y z x z--+ (27)(916)(9)x y x y+--(28)10(910)()a b x y+-(29)(72)(323)x y x y z-++(30)2(35)(21)a b+-(31)9(31)(2)a b-+(32)6()(5)a b x y+-(33)(51)(73)x y--+(34)2(53)(76)a b x y-+(35)(753)(97)x y z x z--+ (36)3(32)(32)x y--+(37)(1)(27)m n++(38)2(25)(72)x y+-(39)(568)(566)x y x y+---(40)(75)(74)x y--(41)(881)(881)a b a b+---(42)(7)(86)a c ab c+++(43)2()(65)m n x y-+(44)(47)(265)x y x y z-++(45)(5)(656)a b a b c+-+(46)(52)(76)a b x y++(47)6(2)(3)a b x y-+(48)(86)(95)a b c a c---(49)(7617)(761)m n m n++--(50)(41)(56)x y-+(51)(34)(545)x y x y z+--(52)(10)(21)x y-++(53)(234)(27)a b c a b++-(54)(94)(46)a c ab c+++(55)(32)(733)a b a b c-+-(56)2(76)(43)m n x y+-(57)(92)(310)m n++(58)(3)(72)x y z x y+--(59)(7)(757)x y x y z--+ (60)(348)(3410)m n m n++--(61)(10)()a b x y--(62)(527)(34)x y z x z-++ (63)(526)(67)x y z x y-+-(64)(98)(96)m n m n+---(65)5(79)(2)m n x y+-(66)(667)(7)a b c a b---(67)(54)(943)a c ab c-+-(68)(65)(4)m n x y+-(69)(52)(965)x y x y z+++(70)(81)(811)a b a b+---(71)(25)(955)x z x y z++-(72)(21)(37)a b--(73)(57)(254)a b a b c--+ (74)(831)(8315)x y x y++-+ (75)(324)(72)x y z x y++-(76)(2)(9)a b x y+-(77)(91)(95)x y---(78)(54)(35)x y z x y++-(79)(327)(65)x y z x y+++ (80)6(2)(23)m n x y-+(81)(532)(5316)x y x y+---(82)(4)(77)a b a b c-+-(83)(3)(9)x y-+(84)4(23)(34)x y-+(85)3(2)(43)m n x y++(86)(1)(32)x y-+-(87)(34)(275)x y x y z+--(88)9()(8)m n x y-+(89)(789)(781)m n m n+---(90)(47)(47)m n m n++-+ (91)(41)(92)x y-+-(92)(8)(744)a b a b c+--(93)(89)(85)a b a b+---(94)(635)(635)m n m n++--(95)(354)(2)x y z x y++-(96)(367)(75)a b c a b---(97)(56)(34)x y x y z+-+ (98)2()(2)m n x y++(99)(947)(9411)x y x y++-+ (100)4(52)(2)m n-+。

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《分组分解法》例题精讲与同步练习
【基础知识精讲】
1.分组分解法
利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.
例如：把x2-y2+ax+ay分解因式.
此多项式各项之间没有公因式，又不能统一用某个公式分解.我们把前两项分为一组，后两项分为一组，得到：x2-y2+ax+ay=(x2-y2)+(ax+ay)=(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)(x-y+a)，最终达到分解因式的目的.
2.分组分解法的根据
分组的原则是分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解.
注意：
1.分组时需进行尝试，找到合理的分组方法.
2.有时，分组方法并不唯一.
3.对于四项式在分解时，若分组后有公因式，则往往用“二二”分组；若分组后公式法分解才行时，往往用“一三”分组，例如多项式2ab-a2-b2+1，在分解时，2ab-a2-b2+1=1-(a2-2ab+b2)=1-(a-b)2=(1+a-b)(1-a+b)
【重点难点分析】
1.重点难点分析
重点：掌握分组分解法，理解分组分解法的分组原则：分组后可继续分解.
难点：是把多项式合理的分组，处理方法是在分组时要预先考虑到分组后能否继续进行因式分解.同时强调：分组无固定的形式.
2.典型例题解析
例1 分解因式2a3+a2-6a-3
分析这是四项式，可以“二二”分组，由于一、二两项的系数之比是2∶1，三、四两项的系数之比也是2∶1，因此，将一、二两项为一组，三、四两项为一组进行分组分解，有成功的希望.也可以一、三两项，二、四两项进行分组.
解 2a3+a2-6a-3
=(2a3+a2)-(6a+3)
=a2(2a+1)-3(2a+1)
=(2a+1)(a2-3)
例2 分解因式4x2-4xy+y2-16z2
分析这是四项式，“二二”分组无法进行下去，采用“一三”分组，也就是前三项合为一组，满足完全平方公式，第四项单独作为一组，而且是某数或某整式的平方形式，这样便可运用平方差公式继续分解.
解4x2-4xy+y2-16z2
=(4x2-4xy+y2)-16z2
=(2x-y)2-(4z)2
=(2x-y+4z)(2x-y-4z)
例3 分解因式ax-ay-x2+2xy-y2
分析这是五项式，采有“二三”分组，也就是前两项为一组，后三项为一组，能用完全平方公式，关键在分组后且间仍有公因式(x-y)可提.
解 ax-ay-x2+2xy-y2
=(ax-ay)-(x2-2xy+y2)
=a(x-y)-(x-y)2
=(x-y)(a-x+y)
例4 把(x2+y2-1)2-4x2y2分解因式
解 (x2+y2-1)2-4x2y2
=(x2+y2-1)2-(2xy)2
=[(x2+y2-1)+2xy][(x2+y2-1)-2xy]
=[(x2+2xy+y2)-1][(x2-2xy+y2)-1]
=[(x+y)2-1][(x-y)2-1]
=(x+y+1)(x+y-1)(x-y+1)(x-y-1)
例5 分解因式x(x-1)(x-2)-6
分析考虑去掉括号，重新分组.
解 x(x-1)(x-2)-6
=x3-3x2+2x-6
=(x3-3x2)+(2x-6)
=x2(x-3)+2(x-3)
=(x-3)(x2+2)
【难题巧解点拨】
例6 分解因式a4+4
分析这是一个四次二项式，无法直接运用某种方法分解因式.如果在a4+4中项添上一项o,再把o拆成绝对值相等、符号相反的两项4a2和-4a2,则原多项式就变为a4+4a2+4-4a2四项式了，再进行3-1分组，利用公式就能分解了.
解 a4+4
=a4+4a2+4-4a2 (添拆项)
=（a4+4a2+4）-4a2 (分组)
=(a2+2)2-(2a)2 （完全平方公式）
=(a2+2a+2)(a2-2a+2) (平方差公式)
点评本例是添拆项的典型例题，目的性很强，原来是二项式，通过添拆项变为四项式，再利用分组、公式进行分解.
例7 已知x2+10xy+25y2-1=0，化简x3+5x2y+x2.
分析由已知条件，通过因式分解，可得到(x+5y)的值.从而可以化简所求代数式.
解由x2+10xy+25y2-1=0可得
(x+5y)2-1=0 即
(x+5y+1)(x+5y-1)=0
当x+5y+1=0时
x3+5x2y+x2=x2(x+5y+1)=0
当x+5y-1=0时，即x+5y=1
x3+5x2y+x2=x2(x+5y+1)=2x2
【命题趋势分析】
熟练掌握并能灵活运用分组分解法.考查分组分解法常与提公因式、公式法相结合，命题以对四项式的多项式因式分解为主.
【典型热点考题】
例8 把2x3+x2-6x-3分解因式. (沈阳中考题)
解 2x3+x2-6x-3
=(2x3+x2)-(6x+3)
=x2(2x+1)-3(2x+1)
=(2x+1)(x2-3)
例9 把abx2-aby2-a2xy+b2xy分解因式. (广州中考题)
解 abx2-aby2-a2xy+b2xy
=(abx2-a2xy)+(b2xy-aby2)
=a(bx-ay)+by(bx-ay)
=(bx-ay)(ax+by)
点评本题中前两项虽有公因式ab，后两项虽有公因式xy，但分别提出公因式后，两组中却无公因式可提，无法继续分解.因此分组时，必须把眼光放远一点.本题解法是把一、三两项作为一组，二、四两项作为一组；也可把一、四两项作为一组，二、三两项作为一组.请读者试一试.
例10 把多项式分解因式xy-ax+bx+ay-a2+ab. (长春中考题)
解法一 xy-ax+bx+ay-a2+ab
=(xy-ax+bx)+(ay-a2+ab)
=x(y-a+b)+a(y-a+b)
=(y-a+b)(x+a)
解法二 xy-ax+bx+ay-a2+ab
=(xy+ay)-(ax+a2)+(bx+ab)
=y(x+a)-a(x+a)+b(x+a)
=(x+a)(y-a+b)
点评本题共有六项，解法一分为两组：前三项为一组，后三项为一组；解法二分为三组：一、四两项作为一组，二、五两项作为一组，三、六两项作为一组.一般地，类似例8这样的六项式都可用以上两种方法分组.
【同步达纲练习】
一、填空题(4分×10=40分)
1.x2+2y-y2+2x=(x+y)( ).
2.因式分解x2+xy-3x-3y= .
3.因式分解1-a2+2ab-b2= .
4.因式分解x5+x4+x3+x2= .
5.分解因式ax-ay+a2+bx-by+ab= .
6.分解因式ab-3ac+2ay-bx+3cx-2xy= .
7.分解因式2x-2y+4xy-1= .
8.分解因式a4b-a2b3+a3b2-ab4= .
9.若a-b=2,a-c=4,则b2-2bc+c2+3(b-c)= .
10.分解因式a2-b2+4a+2b+3= .
二、分解因式（10分×6=60分）
11.ab+bc-cd-da 12.x3-xyz+x2y-x2z
13.y2-x2+6x-9 14.x-+2xy+y2-ax-ay
15.6x(m-n)-2m+2n 16.4x2-4y2+4y-1
参考答案：
【同步达纲练习】
一、 1.(x-y+2) 2.(x+y)(x-3) 3.(1+a-b)(1-a+b) 4.x2(x+1)(x2+1)
5.(a+b)(x-y+a)
6.(a-x)(b+2y-3c)
7.(2y+1)(2x-1)
8.(ab(a-b))(a+b)2
9.10 10.(a+b+1)(a-b+3)
二、11.原式=(a+c)(b-d) 12.原式=x(x+y)(x-z) 13.原式=(y+x-3)(y-x+3)
14.原式=(x+y)(x+y-a) 15.原式=2(m-n)(3x-1) 16.原式=(2x+2y-1)(2x-2y+1)。

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