2020年上海市虹口区高考数学二模试卷 (解析版)
2020年上海市虹口区高考数学二模试卷一、填空题（共12小题）1．函数f（x）＝3cos2x+1的最小值为．2．函数f（x）的定义域为．3．设全集U＝R，若A＝{x||x﹣2|≥3}，则∁U A＝．4．3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者服务活动，则周六没有同学参加活动的概率为．5．已知函数g（x）的图象与函数的图象关于直线y＝x对称，则g（3）＝．6．设复数（i为虚数单位），若，则tan2α＝．7．若的展开式中的常数项为，则实数a的值为．8．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，c＝8，A＝30°，则sin C ＝．9．已知点A（3，﹣2），点P满足线性约束条件，设O为坐标原点，则的最大值为．10．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，过原点O且倾斜角为60°的直线与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆C的长轴长为．11．已知球O是三棱锥P﹣ABC的外接球，PA＝AB＝BC＝CA＝2，PB＝2，点D为BC 的中点，且PD，则球O的体积为．12．已知函数，若方程f（f（x））＝a恰有5个不同的实数根，则实数a的取值范围为．二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分．13．已知抛物线y2＝4x上的点M到它焦点的距离为5，则点M到y轴的距离为（）A．2B．4C．5D．614．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积（单位：cm）为（）A．32B．36C．40D．4815．已知函数在区间上有且仅有两个零点，则实数ω的取值范围为（）A．B．C．D．16．设等比数列{a n}的前n项和为S n，首项a1＝1，且2S2+S4＝3S3，已知m，n∈N*，若存在正整数i，j（1＜i＜j），使得ma i，mn，na j成等差数列，则mn的最小值为（）A．16B．12C．8D．6三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤．17．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2AB＝2，设E，F，G分别为PC，BC，CD的中点，H为EG的中点，如图．（1）求证：FH∥平面PBD；（2）求直线FH与平面PBC所成角的大小．18．已知函数（a为实常数）（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当f（x）为奇函数时，对任意的x∈[1，5]，不等式恒成立，求实数u的最大值．19．某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为R的圆内做一个关于圆心对称的“H”型图形，“H”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖直的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的倍，设O为圆心，∠AOB＝2α，记“H”型图形的面积为S．（1）将AB，AD用R，α表示，并将S表示成α的函数；（2）为了突出“H”型图形，设计时应使S尽可能大，则当α为何值时，S最大？并求出S的最大值．20．（16分）设双曲线的左顶点为D，且以点D为圆心的圆D：（x+2）2+y2＝r2（r＞0）与双曲线C分别相交于点A，B，如图所示．（1）求双曲线C的方程；（2）求的最小值，并求出此时圆D的方程；（3）设点P为双曲线C上异于点A，B的任意一点，且直线PA，PB分别与x轴相交于点M，N，求证：|OM|•|ON|为定值（其中O为坐标原点）．21．（18分）已知项数为m（m∈N*，m≥2）的数列{a n}满足条件：①a n∈N*（n＝1，2，…，m）②a1＜a2＜…＜a m，若数列{b n}满足b n（n＝1，2，…，m），则称{b n}为数列{a n}的“关联数列”．（1）数列1，5，9，13，17是否存在“关联数列”？若存在，写出其“关联数列”，若不存在，请说明理由；（2）若数列{a n}存在“关联数列”{b n}，证明：a n+1﹣a n≥m﹣1（n＝1，2，…，m﹣1）；（3）已知数列{a n}存在“关联数列”{b n}，且a1＝1，a m＝2049，求数列{a n}项数的最小值与最大值．参考答案一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分：第7-12题，每空填对得5分.请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内.1．函数f（x）＝3cos2x+1的最小值为﹣2．【分析】易知，cos2x∈[﹣1，1]，所以当cos2x＝﹣1时，原函数取得最小值．解：∵cos2x∈[﹣1，1]，∴3cos2x∈[﹣3，3]．∴3cos2x+1∈[﹣2，4]，故f（x）的最小值为﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查正余弦函数的值域，注意换元思想的应用．属于基础题．2．函数f（x）的定义域为（﹣3，1]．【分析】根据二次根式被开方数大于或等于0，列不等式求出自变量的取值范围．解：函数f（x）中，令0，得0，解得﹣3＜x≤1，所以函数f（x）的定义域为（﹣3，1]．故答案为：（﹣3，1]．【点评】本题考查了根据函数解析式求定义域的问题，是基础题．3．设全集U＝R，若A＝{x||x﹣2|≥3}，则∁U A＝（﹣1，5）．【分析】可以求出集合A，然后进行补集的运算即可．解：∵A＝{x|x≤﹣1或x≥5}，U＝R，∴∁U A＝（﹣1，5）．故答案为：（﹣1，5）．【点评】本题考查了描述法的定义，绝对值不等式的解法，全集和补集的定义，补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．4．3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者服务活动，则周六没有同学参加活动的概率为．【分析】基本事件总数n＝23＝8，周六没有同学参加活动包含的基本事件总数m＝1，由此能求出周六没有同学参加活动的概率．解：3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者服务活动，基本事件总数n＝23＝8，周六没有同学参加活动包含的基本事件总数m＝1，则周六没有同学参加活动的概率为P．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．已知函数g（x）的图象与函数的图象关于直线y＝x对称，则g（3）＝2．【分析】利用反函数的定义f（x）＝3得x＝2，所以f（2）＝3，即g（3）＝2．解：∵函数g（x）的图象与函数的图象关于直线y＝x对称，∴对于函数，令f（x）＝3得：log2（3x﹣1）＝3，∴3x﹣1＝23＝8，∴x＝2，∴f（2）＝3，即g（3）＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了反函数的定义及其性质，是基础题．6．设复数（i为虚数单位），若，则tan2α＝1．【分析】本题先根据二阶行列式的定义写出算式，然后根据复数的模的定义式列出算式，再进行化简整理，并利用三角函数的公式sin2α+cos2α＝1，并将弦化切，进行转化可得tan2α＝1﹣2tanα，最后代入正切函数的二倍角公式可计算出答案．解：由题意，可知（i）cosα﹣sinα•i cosα+（cosα﹣sinα）i，∵，即，∴2cos2α+（cosα﹣sinα）2＝2，化简整理，得2cos2α﹣2cosαsinα＝1，∴2﹣2tanα，∵tan2α+1，∴2﹣2tanα＝tan2α+1，∴tan2α＝1﹣2tanα，∴tan2α1．故答案为：1．【点评】本题主要考查三角函数与行列式、复数的综合问题．考查了二阶行列式的计算，复数模的定义，以及三角函数转化计算的能力，数学运算能力，本题属中档题．7．若的展开式中的常数项为，则实数a的值为．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于，求得实数a的值．解：∵的展开式中的通项公式为T r+1•a5﹣r•，令100，求得r＝4．故展开式的常数项为5a，则实数a，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．8．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，c＝8，A＝30°，则sin C ＝．【分析】由已知利用余弦定理可求a，利用正弦定理即可解得sin C的值．解：∵b＝2，c＝8，A＝30°，∴a2，∴由正弦定理，可得sin C．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．9．已知点A（3，﹣2），点P满足线性约束条件，设O为坐标原点，则的最大值为16．【分析】根据向量的数量积的坐标表示，的表达式，可以将其看为目标函数，画出约束条件的可行域，利用线性规划问题进行求解．解：点P（x，y）满足线性约束条件，∵（3，﹣2）•（x，y）＝3x﹣2y，令目标函数z＝3x﹣2y，画出可行域，由解得A（6，1），z＝3x﹣2y在点A处取得最大值：z max＝3×6﹣2×1＝16，则的最大值为16，故答案为：16．【点评】本题主要考查简单的线性规划问题以及向量的数量积的问题，解决此题的关键是能够找出目标函数，此题是一道中档题．10．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，过原点O且倾斜角为60°的直线与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆C的长轴长为．【分析】设M（x0，y0），先利用点斜式写出倾斜角为60°的直线方程，并与椭圆的方程联立，可得，再通过，将其两边平方化简整理后得，结合平面向量数量积的坐标运算，并代入已求得的结论，可建立关于a的方程，解之可得a的值，于是得椭圆C的长轴长2a．解：设M（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），c2＝a2﹣3，过原点O且倾斜角为60°的直线方程为，联立，消去y得，，∴，∵，∴，即（﹣c﹣x 0，﹣y0）•（c﹣x0，y0）＝0，∴，化简整理得，a4﹣6a2﹣3＝0，解得，∴，∴椭圆C的长轴长为．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的长轴、直线与椭圆的位置关系，涉及曲线与直线的联立、平面向量数量积的运算、解高次方程等，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．11．已知球O是三棱锥P﹣ABC的外接球，PA＝AB＝BC＝CA＝2，PB＝2，点D为BC 的中点，且PD，则球O的体积为．【分析】根据所给数据可得△PAB为等腰直角三角形，△ABC为等边三角形，进而求得AD，由于PA2+AD2＝PD2，所以∠PAD＝90°，∠PAB＝90°，则PA⊥底面ABC，作出图象，求得球心O到面ABC的距离为OE＝AH＝1，AE，所以球O的半径OA，由球的体积公式计算可得球的体积．解：如图，由条件可得△PAB为等腰直角三角形，△ABC为等边三角形，因为D为BC的中点，所以AD，由于PA2+AD2＝PD2，所以∠PAD＝90°，∠PAB ＝90°，则PA⊥底面ABC，球心O到面ABC的距离为OE＝AH＝1，AE，所以球O的半径OA，所以球的体积为V．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥外接球体积的求法，根据数据判断出线面垂直是关键，属于中档题．12．已知函数，若方程f（f（x））＝a恰有5个不同的实数根，则实数a的取值范围为（）．【分析】作出函数的图象，然后对a分类，根据a的不同取值范围，再由分段函数得到x的不同解的个数，从而确定实数a的取值范围．解：作出函数的图象如图，若a＜0，显然无解；若a＝0，则f（f（x））＝0⇒f（x）＝0⇒x＝0，只有唯一解，不合题意；若0＜a≤1，则f（x）在（0，log52）与（7，+∞）中分别有一解，但由于f（x）≤4，因此f（x）只在（0，log52）上有一解，此时x有三个解，不合题意；若1＜a＜4，则f（x）在（log52，1）与（1，7）中分别有一解，f（x）在（0，log52）上有一解，此时x有三个解，因此由题意，f（x）在（1，7）中有一解需要得出x有两解，而由于f（x）≤4，因此a 的取值需保证f（x）在（1，7）中的解位于区间（1，4）中，计算得f（4），可得a＜4；若a＝4，则f（x）＝1，此时x有两解，不合题意；若a＞4，显然无解．综上，a＜4．故答案为：（）．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属难题．二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分．13．已知抛物线y2＝4x上的点M到它焦点的距离为5，则点M到y轴的距离为（）A．2B．4C．5D．6【分析】根据抛物线的定义即可得解．解：由抛物线y2＝4x可知，p＝2，设其焦点为F，由抛物线的定义得，|MF|＝x x+1＝5，∴x＝4，即点M到y轴的距离为4．故选：B．【点评】本题考查抛物线的定义及其标准方程，考查学生的运算能力，属于基础题．14．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积（单位：cm）为（）A．32B．36C．40D．48【分析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，PA⊥底面ABC．然后由直角三角形面积公式求解．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，PA⊥底面ABC．则BC⊥PC．∴该几何体的表面积S．故选：A．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．15．已知函数在区间上有且仅有两个零点，则实数ω的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】由题意利用正弦函数的图象特征，正函数的周期性，求得实数ω的取值范围．解：函数在区间上有且仅有两个零点，即sin（ωx）在区间上有且仅有两个根．在区间上，ωx∈（，），∴∈（，2π]，求得ω≤6，故选：D．【点评】本题主要考查正弦函数的图象，正函数的周期性，属于中档题．16．设等比数列{a n}的前n项和为S n，首项a1＝1，且2S2+S4＝3S3，已知m，n∈N*，若存在正整数i，j（1＜i＜j），使得ma i，mn，na j成等差数列，则mn的最小值为（）A．16B．12C．8D．6【分析】由数列{a n}是等比数列，且首项a1＝1，2S2+S4＝3S3，结合等比数列的前n项和可得q＝2．得到．再由ma i，mn，na j成等差数列，得到2mn＝ma i+na j＝m•2i﹣1+n•2j﹣1，整理可得mn，再由1＜i＜j，得i＝2，j＝3满足条件，使得mn，则答案可求．解：∵数列{a n}是等比数列，且首项a1＝1，2S2+S4＝3S3，则，化简得：q3＝2q2，∵q≠0，∴q＝2．则．又∵ma i，mn，na j成等差数列，∴2mn＝ma i+na j＝m•2i﹣1+n•2j﹣1，上式两边同时除以，得，整理可得mn，又1＜i＜j，∴i＝2，j＝3满足条件，使得mn．故选：C．【点评】本题考查等比数列的前n项和与等差数列的性质，考查数列函数特性的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤．17．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2AB＝2，设E，F，G分别为PC，BC，CD的中点，H为EG的中点，如图．（1）求证：FH∥平面PBD；（2）求直线FH与平面PBC所成角的大小．【分析】（1）推导出EF∥PB，EG∥PD，从而EF∥平面PBD，EG∥平面PBD，进而平面EFG∥平面PBD，由此能证明FH∥平面PBD．（2）以A为原点，直线AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出FH与平面PBC所成角的大小．解：（1）证明：∵E，F，G分别为PC，BC，CD的中点，∴EF∥PB，EG∥PD，∴EF∥平面PBD，EG∥平面PBD，又EF，EG⊂平面EFG，且EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面PBD，∵FH⊂平面EFG，∴FH∥平面PBD．解：（2）以A为原点，直线AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E （），F（1，1，0），G（），H（），∴（），（1，0，﹣2），（0，2，0），设平面PBC的一个法向量（x，y，z），则，取z＝1，得（2，0，1），设FH与平面PBC所成角为θ，则sinθ．∴FH与平面PBC所成角的大小为arcsin．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．已知函数（a为实常数）（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当f（x）为奇函数时，对任意的x∈[1，5]，不等式恒成立，求实数u的最大值．【分析】（1）讨论当a≠2时，当a＝2时，计算f（﹣x）和f（x）的关系，即可判断函数f（x）的奇偶性；（2）求得f（x）＝2，由题意可得u≤2•3x，运用换元法和指数函数的单调性，以及对勾函数的单调性，求得此不等式右边函数的最小值，可得所求u的最大值．解：（1）当a≠2时，f（1）＝a﹣1，f（﹣1）＝a﹣3，故f（﹣1）≠f（1），且f（﹣1）≠﹣f（1），于是f（x）既不是奇函数，也不是偶函数；当a＝2时，f（x）+f（﹣x）＝2a2a﹣4＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），故此时f（x）为奇函数；（2）由f（x）为奇函数，由（1）可得a＝2，则f（x）＝2，由不等式f（x），可得u≤2•3x，可令3x+1＝t，t∈[4，244]，（因为x∈[1，5]），故u≤2（t﹣1）2（t）﹣6，由于函数φ（t）＝2（t）﹣6的导数φ′（t）＝2（1）＞0，可得φ（t）在[4，244]递增，所以φ（t）min＝φ（4）＝3，因此不等式在x∈[1，5]上恒成立时，u的最大值为3．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用分类讨论思想，考查函数恒成立问题解法，注意运用转化思想和指数函数、对勾函数的单调性，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．19．某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为R的圆内做一个关于圆心对称的“H”型图形，“H”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖直的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的倍，设O为圆心，∠AOB＝2α，记“H”型图形的面积为S．（1）将AB，AD用R，α表示，并将S表示成α的函数；（2）为了突出“H”型图形，设计时应使S尽可能大，则当α为何值时，S最大？并求出S的最大值．【分析】（1）过O作OM⊥AB与M，连接OM，交CD于N，可得AB＝2R sinα，AD ＝MN＝OM﹣ON R（3cosα﹣2sinα），再由矩形的面积公式可得S的表达式，即可得到所求；（2）运用二倍角的正弦公式和余弦公式、以及两角和的正弦公式，运用反三角函数的性质，即可得到所求最大值．解：（1）过点O作OM⊥AB与点M，交CD与点N，则M，N分别为AB，CD的中点，从而∠AOM∠AOB＝α，记横向矩形为EFGH，如图所示；由条件可得：AB＝2OM＝2AM＝2OA•sinα＝2R sinα，AD＝MN＝OM﹣ON＝OM EF＝OM AB＝OM AB＝R cosαR sinαR （3cosα﹣2sinα），于是S＝2S矩形ABCD+S矩形EFGH＝2S矩形ABCD S矩形ABCD S矩形ABCD•AB•AD R2sinα（3cosα﹣2sinα）；又由“H”型图形的特征，得AB＞GH＝AD＞0，即2R sinαR（3cosα﹣2sinα）＞0，解得tanα，（α为锐角）．于是S R2sinα（3cosα﹣2sinα），α∈（arctan，arctan）．（2）∵S R2sinα（3cosα﹣2sinα）R2（3sinαcosα﹣2sin2α）R2（3sin2α+2cos2α﹣2）R2[sin（2α+φ）﹣2]．其中锐角φ满足tanφ．所以当S取得最大值时，2α+φ⇒2αφ⇒tan2α＝cotφ；即αarctan arctan∈（arctan，arctan）．所以S的最大值为：（2）R2．【点评】本题考查三角形函数的应用题的解法，考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和两角和的正弦公式，考查正弦函数的值域的运用，属于中档题．20．（16分）设双曲线的左顶点为D，且以点D为圆心的圆D：（x+2）2+y2＝r2（r＞0）与双曲线C分别相交于点A，B，如图所示．（1）求双曲线C的方程；（2）求的最小值，并求出此时圆D的方程；（3）设点P为双曲线C上异于点A，B的任意一点，且直线PA，PB分别与x轴相交于点M，N，求证：|OM|•|ON|为定值（其中O为坐标原点）．【分析】（1）由圆的方程可得圆心的坐标，由题意可得双曲线的左顶点的坐标，进而求出双曲线的方程；（2）由题意设A，B的坐标，可得数量积的表达式，当最小时求出r的值，即求出圆的方程；（3）设M的坐标，可得直线AP的方程，令y＝0，求出M的横坐标，同理求出N的横坐标，所以可得|OM||ON|＝|x M||x N|的值．解：（1）由题意可得双曲线的左顶点D（﹣2，0），所以a＝2，所以双曲线的方程：y2＝1；（2）易知点A，B关于x轴对称，设A（x1，y1），B（x1，﹣y1）（x1＜﹣2，y1＞0），由A在双曲线上可得y 121，因为（x 1+2，y1）•（x1+2，﹣y1）＝（x1+2）2﹣y12x12+4x1+5（x1）2，因为x 1＜﹣2，故x1时，（）min，此时y1，即A（，），从而r2＝|DA|2＝（2）2+（）2，所以最小时，圆D的方程（x+2）2+y2．（3）设P（x 0，y0）（y0≠±y1），则（x0﹣x1，y0﹣y1），直线AP的方程为：（y0﹣y1）（x﹣x0）﹣（x0﹣x1）（y﹣y0）＝0，令y＝0，得x M＝x0，同理可得x N，因为A，M在双曲线上，故x12＝4（y12+4），x02＝4（y02+4），所以x M•x N4，所以：|OM|•|ON|＝x M•x N＝4为定值．【点评】本题考查求双曲线的方程，及直线与双曲线的位置，及线段的乘积为定值的应用，属于中档题．21．（18分）已知项数为m（m∈一、选择题*，m≥2）的数列{a n}满足条件：①a n∈N*（n ＝1，2，…，m）②a1＜a2＜…＜a m，若数列{b n}满足b n（n＝1，2，…，m），则称{b n}为数列{a n}的“关联数列”．（1）数列1，5，9，13，17是否存在“关联数列”？若存在，写出其“关联数列”，若不存在，请说明理由；（2）若数列{a n}存在“关联数列”{b n}，证明：a n+1﹣a n≥m﹣1（n＝1，2，…，m﹣1）；（3）已知数列{a n}存在“关联数列”{b n}，且a1＝1，a m＝2049，求数列{a n}项数的最小值与最大值．【分析】（1）求出b1＝11，b2＝10，b3＝9，b4＝8，b5＝7，均为正整数，从而1，5，9，13，17存在“关联数列”，且其“关联数列”为11，10，9，8，7．（2）由数列{a n}存在“关联数列”{b n}，得到a n+1﹣a n＞0，（1≤n≤m﹣1），且，从而b n﹣b n+1∈N*，由此能证明a n+1﹣a n≥m﹣1（n＝1，2，…，m﹣1）．（3）a1＝1，a m＝2049，其中，m≥2，当m＝2时，数列1，2049存在“关联数列”：2049，1，从而m的最小值为2．由a n+1﹣a n≥m﹣1，（n＝1，2，…，m﹣1），得a n ﹣1＝（a m﹣a m﹣1）+（a m﹣1﹣a m﹣2）+…+（a2﹣a1）（m﹣1）2，推导出m≤46，（m∈N*），由数列{a n}存在“关联数列”{b n}知，m﹣1取2，22，23，…，211，从而m取3，5，9，17，33，65，…，2049，由此能求出m的最大值为33．解：（1）解：∵，10，9，8，7，均为正整数，∴1，5，9，13，17存在“关联数列”，且其“关联数列”为11，10，9，8，7．（2）证明：∵数列{a n}存在“关联数列”{b n}，∴a n+1﹣a n＞0，（1≤n≤m﹣1），且，∴b n﹣b n+1∈N*，∴1，∴a n+1﹣a n≥m﹣1（n＝1，2，…，m﹣1）．（3）解：①∵a1＝1，a m＝2049，其中，m≥2，当m＝2时，a1＝1，a2＝2049，有b12049，b21均为正整数，即当m＝2时，数列1，2049存在“关联数列”：2049，1，∴m的最小值为2．②一方面，由（2）知：a n+1﹣a n≥m﹣1，（n＝1，2，…，m﹣1），∴a n﹣1＝（a m﹣a m﹣1）+（a m﹣1﹣a m﹣2）+…+（a2﹣a1）（m﹣1）2，∴（m﹣1）2≤2048，∴m≤46，（m∈N*），另一方面，由数列{a n}存在“关联数列”{b n}知，b 1﹣b m∈N*，∴m﹣1是2048的正约数，m﹣1取2，22，23， (211)即m取3，5，9，17，33，65， (2049)综上所述，m的最大值为33，当m＝33时，可取a n＝64n﹣63，（n＝1，2，…，33），有：b n1059﹣2n∈N*符合条件，∴m的最大值为33．【点评】本题考查关联数列的判断，考查数列不等式的证明，考查实数的最大值的求法，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．。
上海市虹口区2020年高考数学二模试卷(理科)含答案解析
上海市虹口区2020年高考数学二模试卷（理科）（解析版）一、填空题（本大题满分56分）本大题共14小题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填写对得4分，否则一律不得分.1．设集合M={x|x2=x}，N={x|log2x≤0}，则M∪N=．2．已知虚数1+2i是方程x2+ax+b=0（a，b∈R）的一个根，则a+b=．3．在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为（结果用数值表示）4．已知复数z在复平面内对应的点在曲线y=上运动，则|z|的最小值为．5．已知函数f（x）的对应关系如表：x ﹣2 ﹣1 0 1 2f（x） 3 ﹣2 1 5 m若函数f（x）不存在反函数，则实数m的取值集合为．6．在正项等比数列{a n}中，a1a3=1，a2+a4=，则（a1+a2+…+a n）=．7．已知f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]单调递增，则实数ω的最大值为．8．若行列式中的元素4的代数余子式的值等于，则实数x的取值集合为．9．二项式（2x﹣）n展开式中的第5项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为．10．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为．11．如图，A，B为椭圆+=1（a＞b＞0）的两个顶点，过椭圆的右焦点F作x轴的垂线，与其交于点C，若AB∥OC（O为坐标原点），则直线AB的斜率为．12．若经过抛物线y2=4x焦点的直线l与圆（x﹣4）2+y2=4相切，则直线l的方程为．13．假设某10张奖券中有一等奖1张奖品价值100元；有二等奖3张，每份奖品价值50元；其余6张没有奖．现从这10张奖券中任意抽取2张，获得奖品的总价值ξ不少于其数学期望Eξ的概率为．14．已知对任意的x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），y∈[﹣1，1]，不等式x2+﹣2xy﹣﹣a≥0恒成立，则实数a的取值范围为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共4小题，每小题有且只有一个正确答案，考生应再答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分. 15．“a=3“是“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．已知抛物线C1：y2=4x的焦点F恰好是椭圆C2： +=1（a＞b＞0）的右焦点，且两条曲线C1与C2交点的连线过点F，则椭圆C2的长轴长等于（）A． +1 B．2 C．2+2 D．417．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若S△ABC=（其中S△ABC表示△ABC的面积），且（+）=0，则△ABC的形状是（）A．有一个角是30°的等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形18．已知点列A n（a n，b n）（n∈N*）均为函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上，点列B n（n，0）满足|A n B n|=|A n B n+1|，若数列{b n}中任意连续三项能构成三角形的三边，则a的取值范围为（）A．（0，）∪（，+∞）B．（，1）∪（1，）C．（0，）∪（，+∞）D．（，1）∪（1，）三、解答题（本大题共5小题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤19．在锐角△ABC中，sinA=sin2B+sin（+B）sin（﹣B）．（1）求角A的值；（2）若=12，求△ABC的面积．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD=AP=2，BC=1．（1）求点A到平面PCD的距离；（2）若点Q为线段BP的中点，求直线CQ与平面ADQ所成角的大小．21．已知函数f（x）=log（）满足f（﹣2）=1，其中a为实常数．（1）求a的值，并判定函数f（x）的奇偶性；（2）若不等式f（x）＞（）x+t在x∈[2，3]上恒成立，求实数t的取值范围．22．已知直线y=2x是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，点A（1，0），M（m，n）（n≠0）都在双曲线C上，直线AM与y轴相交于点P，设坐标原点为O．（1）求双曲线C的方程，并求出点P的坐标（用m，n表示）；（2）设点M关于y轴的对称点为N，直线AN与y轴相交于点Q，问：在x轴上是否存在定点T，使得TP⊥TQ？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若过点D（0，2）的直线l与双曲线C交于R，S两点，且|+|=||，试求直线l的方程．23．设数列{a n}的前n项和为S n，且（S n﹣1）2=a n S n（n∈N*）．（1）求出S1，S2，S3的值，并求出S n及数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（﹣1）n+1（a n+a n+1）（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n；（3）设c n=（n+1）a n（n∈N*），在数列{c n}中取出m（m∈N*且m≥3）项，按照原来的顺序排列成一列，构成等比数列{d n}，若对任意的数列{d n}，均有d1+d2+…+d n≤M，试求M 的最小值．2020年上海市虹口区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共14小题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填写对得4分，否则一律不得分.1．设集合M={x|x2=x}，N={x|log2x≤0}，则M∪N=[0，1] ．【分析】求出M中方程的解确定出M，求出N中不等式的解集确定出N，找出两集合的并集即可．【解答】解：由M中方程变形得：x（x﹣1）=0，解得：x=0或x=1，即M={0，1}，由N中不等式变形得：log2x≤0=log21，即0＜x≤1，∴N=（0，1]，则M∪N=[0，1]，故答案为：[0，1]【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．已知虚数1+2i是方程x2+ax+b=0（a，b∈R）的一个根，则a+b=3．【分析】根据实系数的一元二次方程x2+ax+b=0的两个虚数根互为共轭复数，再利用根与系数的关系，即可求出a、b的值．【解答】解：虚数1+2i是方程x2+ax+b=0的一个根，∴共轭虚数1﹣2i也是此方程的一个根，∴a=﹣（x1+x2）=﹣（1+2i+1﹣2i）=﹣2；b=x1x2=（1+2i）（1﹣2i）=5；∴a+b=﹣2+5=3．故答案为：3．【点评】本题考查了实系数的一元二次方程两个虚数根互为共轭复数以及根与系数关系的应用问题，是基础题．3．在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为125（结果用数值表示）【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9名中选取5人，参加志愿者服务，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有男生的情况，即可得答案．【解答】解：根据题意，报名的5名男生和4名女生，共9名学生，在9名中选取5人，参加志愿者服务，有C95=126种；其中只有男生C55=1种情况；则男、女生都有的选取方式的种数为126﹣1=125种；故答案为：125．【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．4．已知复数z在复平面内对应的点在曲线y=上运动，则|z|的最小值为2．【分析】设z=x+i（x∈R，x≠0），利用复数模的计算公式、基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设z=x+i（x∈R，x≠0），则|z|=≥=2，当且仅当x=时取等号，故答案为：2．【点评】本题考查了复数的模的计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知函数f（x）的对应关系如表：x ﹣2 ﹣1 0 1 2f（x） 3 ﹣2 1 5 m若函数f（x）不存在反函数，则实数m的取值集合为{﹣2，1，3，5} ．【分析】由已知可得：f（﹣2）=3，f（﹣1）=﹣2，f（0）=1，f（1）=5，f（2）=m，利用反函数的定义及其性质即可得出．【解答】解：由已知可得：f（﹣2）=3，f（﹣1）=﹣2，f（0）=1，f（1）=5，f（2）=m，∵函数f（x）不存在反函数，则m的值只可以为：﹣2，1，3，5，否则存在反函数．∴实数m的取值集合为{﹣2，1，3，5}．故答案为：{﹣2，1，3，5}．【点评】本题考查了反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．在正项等比数列{a n}中，a1a3=1，a2+a4=，则（a1+a2+…+a n）=．【分析】由题中的条件求出q=，a1=，利用等比数列的前n项和公式求出a1+a2+…+a n 的值，再利用数列极限的运算法则求出结果．【解答】解：由a1a3=1即a2=1，得解得q=，a1=，（数列是正项数列）则a1+a2+a3+…+a n==（a1+a2+…+a n）=故答案为：【点评】本题考查数列极限的运算法则，等比数列的前n项和公式求出q=，a1=，求出是解题的关键，是中档题．7．已知f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]单调递增，则实数ω的最大值为．【分析】由条件利用正弦函数的单调性可得ω≤，由此求得实数ω的最大值．【解答】解：∵f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]单调递增，∴ω≤，求得ω≤，则实数ω的最大值为，故答案为：．【点评】本题主要考查正弦函数的增区间，属于基础题．8．若行列式中的元素4的代数余子式的值等于，则实数x的取值集合为．【分析】根据余子式的定义求出元素4的代数余子式的表达式，列出关于x的方程化简，利用余弦函数的性质求出实数x的取值集合．【解答】解：由题意得，f（x）==cos（π+x）×1﹣2×（﹣1）=﹣cosx+2=，解得cosx=，则，所以实数x的取值集合是，故答案为：．【点评】本题考查了三阶矩阵的代数余子式的定义，余弦函数的性质，属于基础题．9．二项式（2x﹣）n展开式中的第5项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为64．【分析】T5==2n﹣4x n﹣6，令n﹣6=0，解得n．再利用展开式中各项的二项式系数之和为2n，即可得出．【解答】解：T5==2n﹣4x n﹣6，令n﹣6=0，解得n=6．∴展开式中各项的二项式系数之和为26=64．故答案为：64．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为64π．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC =V C﹣AOB===，故R=4，则球O的表面积为4πR2=64π，故答案为：64π．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．11．如图，A，B为椭圆+=1（a＞b＞0）的两个顶点，过椭圆的右焦点F作x轴的垂线，与其交于点C，若AB∥OC（O为坐标原点），则直线AB的斜率为．【分析】由已知得C（c，），A（﹣a，0），B（0，b），从而得到，即b=c，由此能求出直线AB的斜率．【解答】解：∵A，B为椭圆+=1（a＞b＞0）的两个顶点，过椭圆的右焦点F作x轴的垂线，与其交于点C，AB∥OC（O为坐标原点），∴C（c，），A（﹣a，0），B（0，b），∴，∴bc=b2，∴b=c，∴a2=b2+c2=2c2，∴a==，∴直线AB的斜率k==．故答案为：．【点评】本题考查直线方程的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．12．若经过抛物线y2=4x焦点的直线l与圆（x﹣4）2+y2=4相切，则直线l的方程为y=±．【分析】求出抛物线的焦点坐标，设出l的点斜式方程，利用切线的性质列方程解出k．【解答】解：抛物线的焦点为F（1，0），设直线l的方程为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0，∵直线l与圆（x﹣4）2+y2=4相切，∴=2，解得k=±．∴直线l的方程为：y=±（x﹣1）．故答案为：y=±（x﹣1）．【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题．13．假设某10张奖券中有一等奖1张奖品价值100元；有二等奖3张，每份奖品价值50元；其余6张没有奖．现从这10张奖券中任意抽取2张，获得奖品的总价值ξ不少于其数学期望Eξ的概率为．【分析】根据题意可得：ξ的所有可能值为：0，50，100，150，（元），再根据古典概型的概率公式分别求出其概率，进而列出ξ的分布列与其期望，即可求出获得奖品的总价值ξ不少于其数学期望Eξ的概率．【解答】解：根据题意可得：ξ的所有可能值为：0，50，100，150，（元）．所以P（ξ=0）==，P（ξ=50）==，P（ξ=100）==，P（ξ=150）==，所以ξ的分布列为：ξ0 50 100 150P所以ξ的数学期望为：Eξ=0×+50×+100×+150×=50，获得奖品的总价值ξ不少于其数学期望Eξ的为1﹣=，故答案为：．【点评】本题考查古典概型、排列组合、离散型随机变量的分布列和期望，及利用概率知识解决问题的能力．14．已知对任意的x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），y∈[﹣1，1]，不等式x2+﹣2xy﹣﹣a≥0恒成立，则实数a的取值范围为．【分析】设y=cosθ，θ∈[0，π]．可得：xy+=cos（θ+φ），可得a≤﹣2，令t=，即可得出．【解答】解：设y=cosθ，θ∈[0，π]．∵xy+=xcosθ+|sinθ|=cos（θ+φ），∴a≤﹣2，令t=，∴，∴a≤t2﹣2t=（t﹣1）2﹣1，∴a≤8﹣4．∴实数a的取值范围为．故答案为：．【点评】本题考查了三角函数换元方法、三角函数的单调性、基本不等式的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共4小题，每小题有且只有一个正确答案，考生应再答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分. 15．“a=3“是“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义及直线平行的充要条件，我们可以先判断“a=3”⇒“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”的真假，再判断“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”⇒“a=3”的真假，进而根据兖要条件的定义，得到结论．【解答】解：当“a=3”时，直线（a2﹣2a）x+y=0的方程可化为3x+y=0，此时“直线（a2﹣a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”即“a=3”⇒“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”为真命题；而当“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”时，a2﹣2a﹣3=0，即a=3或a=﹣1，此时“a=3”不一定成立，即“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”⇒“a=3”为假命题；故“a=3”是“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”的充分不必要条件故选：A．【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p ⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q 的关系16．已知抛物线C1：y2=4x的焦点F恰好是椭圆C2： +=1（a＞b＞0）的右焦点，且两条曲线C1与C2交点的连线过点F，则椭圆C2的长轴长等于（）A． +1 B．2 C．2+2 D．4【分析】由已知椭圆C2： +=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），，由此能求出椭圆C2的长轴长．【解答】解：∵抛物线C1：y2=4x的焦点F恰好是椭圆C2： +=1（a＞b＞0）的右焦点，∴椭圆C2： +=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），∵两条曲线C1与C2交点的连线过点F（1，0），∴，c=1，又a2=b2+c2，∴a=，∴椭圆C2的长轴长2a=2．故选：C．【点评】本题考查椭圆的长轴长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线、椭圆的性质的合理运用．17．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若S△ABC=（其中S△ABC表示△ABC的面积），且（+）=0，则△ABC的形状是（）A．有一个角是30°的等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【分析】可作，从而可作出平行四边形ADFE，并且该四边形为菱形，且有，根据条件即可得出AF⊥BC，进而便可得出AB=AC，即b=c，这样即可求得，而根据条件可得，从而有，进一步即可得到a2=2c2=b2+c2，这样便可得出△ABC的形状．【解答】解：如图，在边AB，AC上分别取点D，E，使，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，则：四边形ADFE为菱形，连接AF，DE，AF⊥DE，且；∵；∴；∴AF⊥BC；又DE⊥AF；∴DE∥BC，且AD=AE；∴AB=AC，即b=c；∴延长AF交BC的中点于O，则：，b=c；∴；∴；∴4c2﹣a2=a2；∴a2=2c2=b2+c2；∴∠BAC=90°，且b=c；∴△ABC的形状为等腰直角三角形．故选：D．【点评】考查向量数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，菱形的对角线互相垂直，以及向量垂直的充要条件，等腰三角形的高线也是中线，以及三角形的面积公式，直角三角形边的关系．18．已知点列A n（a n，b n）（n∈N*）均为函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上，点列B n（n，0）满足|A n B n|=|A n B n+1|，若数列{b n}中任意连续三项能构成三角形的三边，则a的取值范围为（）A．（0，）∪（，+∞）B．（，1）∪（1，）C．（0，）∪（，+∞）D．（，1）∪（1，）【分析】根据题意，得出a n、b n的解析式，讨论a＞1和0＜a＜1时，满足的条件，从而求出a的取值范围．【解答】解：由题意得，点B n（n，0），A n（a n，b n）满足|A n B n|=|A n B n+1|，由中点坐标公式，可得B n B n+1的中点为（n+，0），即a n=n+，b n=；当a＞1时，以b n，b n，b n+1为边长能构成一个三角形，﹣1+b n+1＞b n，只需b n﹣1b n＜b n＜b n+1，﹣1即+＞，即有1+a2＜a，解得1＜a＜；同理，0＜a＜1时，解得＜a＜1；综上，a的取值范围是1＜a＜或＜a＜1，故选：B．【点评】本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，也考查了数列递推公式的应用问题，考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．三、解答题（本大题共5小题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤19．在锐角△ABC中，sinA=sin2B+sin（+B）sin（﹣B）．（1）求角A的值；（2）若=12，求△ABC的面积．【分析】（1）根据两角和差的正弦公式便可以得出=，从而可由得出，这样即可得到A=；（2）可由及便可得出的值，这样根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，====；又A为锐角；∴；（2）；∴；∴=．【点评】考查两角和差的正弦公式，sin2x+cos2x=1，已知三角函数值求角，以及向量数量积的计算公式，三角形的面积公式：．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD=AP=2，BC=1．（1）求点A到平面PCD的距离；（2）若点Q为线段BP的中点，求直线CQ与平面ADQ所成角的大小．【分析】（1）以A为原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，求出平面PCD 的法向量，计AP与平面PCD所成的角的正弦值，即可得出A到平面PCD的距离；（2）证明BP⊥平面ADQ，则为平面ADQ的一个法向量，计算|cos＜＞|即为直线CQ与平面ADQ所成角的正弦值．【解答】解：（1）以A为原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A（0，0，0），P（0，0，2），C（2，1，0），D（0，2，0）．∴=（0，0，2），=（﹣2，1，0），=（0，2，﹣2）．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=1得=（，1，1）．∴=2，cos＜＞==．设AP与平面PCD所成角为θ，则sinθ=．∴A到平面PCD的距离为|AP|sinθ=2×=．（2）∵PA=AB，Q是PB的中点，∴AQ⊥PB，又AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，∴AD⊥PB，又AQ⊂平面ADQ，AD⊂平面ADQ，AQ∩AD=A，∴PB⊥平面ADQ，∴=（﹣2，0，2）为平面ADQ的一个法向量．又Q（1，0，1），C（2，1，0），∴=（﹣1，﹣1，1）．∴=4，cos＜＞==．∴直线CQ与平面ADQ所成角为arcsin．【点评】本题考查了空间向量的应用，空间距离与空间角的计算，多采用向量法来解决问题，属于中档题．21．已知函数f（x）=log（）满足f（﹣2）=1，其中a为实常数．（1）求a的值，并判定函数f（x）的奇偶性；（2）若不等式f（x）＞（）x+t在x∈[2，3]上恒成立，求实数t的取值范围．【分析】（1）根据f（﹣2）=1，构造方程，可得a的值，结合奇偶性的宝义，可判定函数f（x）的奇偶性；（2）若不等式f（x）＞（）x+t在x∈[2，3]上恒成立，则t＜log（）﹣（）x在x∈[2，3]上恒成立，构造函数求出最值，可得答案．【解答】解：（1）∵函数f（x）=log（）满足f（﹣2）=1，∴log（）=1，∴=，解得：a=﹣1，∴f（x）=log（）的定义域（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）关于原点对称；又∵f（﹣x）=log（）=log（）=﹣log（）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数；（2）若不等式f（x）＞（）x+t在x∈[2，3]上恒成立，则t＜log（）﹣（）x在x∈[2，3]上恒成立，设g（x）=log（）﹣（）x，则g（x）在[2，3]上是增函数．∴g（x）＞t对x∈[2，3]恒成立，∴t＜g（2）=﹣．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，单调性的证明以及不等式恒成立问题，构造函数，利用参数分离法是解决函数恒成立问题的基本方法．22．已知直线y=2x是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，点A（1，0），M（m，n）（n≠0）都在双曲线C上，直线AM与y轴相交于点P，设坐标原点为O．（1）求双曲线C的方程，并求出点P的坐标（用m，n表示）；（2）设点M关于y轴的对称点为N，直线AN与y轴相交于点Q，问：在x轴上是否存在定点T，使得TP⊥TQ？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若过点D（0，2）的直线l与双曲线C交于R，S两点，且|+|=||，试求直线l的方程．【分析】（1）求得双曲线的渐近线方程，可得b=2a，由题意可得a=1，b=2，可得双曲线的方程，求出直线AM的方程，可令x=0，求得P的坐标；（2）求得对称点N的坐标，直线AN方程，令x=0，可得N的坐标，假设存在T，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合M在双曲线上，化简整理，即可得到定点T；（3）设出直线l的方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理，由向量数量积的性质，可得向量OR，OS的数量积为0，化简整理，解方程可得k的值，检验判别式大于0成立，进而得到直线l的方程．【解答】解：（1）双曲线C：﹣=1的渐近线为y=±x，由题意可得=2，a=1，可得b=2，即有双曲线的方程为x2﹣=1，又AM的方程为y=（x﹣1），令x=0，可得P（0，）；（2）点M关于y轴的对称点为N（﹣m，n），直线AN的方程为y=（x﹣1），令x=0，可得Q（0，），假设x轴存在点T（t，0），使得TP⊥TQ．即有k TP k TQ=﹣1，即为=﹣1，可得t2=，由（m，n）满足双曲线的方程，可得m2﹣=1，即有=4，可得t2=4，解得t=±2，故存在点T（±2，0），使得TP⊥TQ；（3）可设过点D（0，2）的直线l：y=kx+2，代入双曲线的方程可得（4﹣k2）x2﹣4kx﹣8=0，即有△=16k2+32（4﹣k2）＞0，即k2＜8，设R（x1，y1），S（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=﹣，由|+|=||=|﹣|，两边平方可得=0，即有x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0，即为（1+k2）（﹣）+2k（）+4=0，化简可得k2=2，检验判别式大于0成立，即有k=±，则所求直线的方程为y=±x+2．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查对称思想的运用，以及两直线垂直的条件，联立直线方程和双曲线方程，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．23．设数列{a n}的前n项和为S n，且（S n﹣1）2=a n S n（n∈N*）．（1）求出S1，S2，S3的值，并求出S n及数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（﹣1）n+1（a n+a n+1）（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n；（3）设c n=（n+1）a n（n∈N*），在数列{c n}中取出m（m∈N*且m≥3）项，按照原来的顺序排列成一列，构成等比数列{d n}，若对任意的数列{d n}，均有d1+d2+…+d n≤M，试求M 的最小值．及（S n﹣1）2=a n S n整理可知S n=，通过计算出【分析】（1）利用a n=S n﹣S n﹣1前三项的值，利用归纳推理猜想S n=，进而利用数学归纳法证明即可；（2）通过（1）裂项可知b n=（﹣1）n+1（﹣），进而分n为奇数、偶数两种情况讨论即可；（3）通过（1）可知c n=，进而问题转化为求首项为1、公比为的等比数列的前n项和．，【解答】解：（1）∵a n=S n﹣S n﹣1）S n，即S n=，∴（S n﹣1）2=a n S n=（S n﹣S n﹣1又∵（S1﹣1）2=S12，即S1=，∴S2==，S3==，…猜想：S n=．下面用数学归纳法来证明：①当n=1时，命题成立；②假设当n=k（k≥1）时，有S k=，则S k+1==，即当n=k+1时，命题也成立；由①②可知S n=．=﹣=（n≥2），∴a n=S n﹣S n﹣1又∵a1=S1=满足上式，∴数列{a n}的通项公式a n=；（2）由（1）可知，b n=（﹣1）n+1（a n+a n+1）=（﹣1）n+1（﹣），特别地，当n为奇数时，n+1为偶数，此时b n+b n+1=﹣﹣+，①若n为偶数，则T n=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b n+b n）﹣1=（1﹣﹣+）+（﹣﹣+）+…+（﹣﹣+）=1﹣﹣+=﹣；②当n为奇数且n＞1时，T n=T n+b n，﹣1故T n=﹣+﹣=+，又∵T1=b1=满足上式，∴当n为奇数时，T n=+；由①②可知：T n=；（3）由（1）可知a n=，∴c n=（n+1）a n=（n∈N*），由题意可知需等比数列{d n}的首项及公比均达到最大，显然首项为1、公比为，∴1+++…+==2（1﹣），∵（1+++…+）= [2（1﹣）]=2，∴M的最小值为2．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，考查数学归纳法，注意解题方法的积累，属于中档题．。
2020年上海市虹口区高中数学高考二模试卷含详解
上海市虹口区2020届高三二模数学试卷2020.5一、填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)1.函数()3cos21f x x =+的最小值为.2.函数()f x =的定义域为.3.设全集UR =，若{}23A x x =-≥，则U C A =.4.3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者服务活动，则周六没有同学参加活动的概率为.5.已知函数()g x 的图像与函数()2()log 31x f x =-的图像关于直线y x =对称，则(3)g =.6.设复数cos sin i ziαα=+（i为虚数单位），若z =，则tan 2α=.7.若52ax ⎛+ ⎝的展开式中的常数项为52-，则实数a 的值为.8.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若8,30b c A ︒===，则sin C =.9.已知点(3,2)A -，点P 满足线性约束条件201024x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，设O 为坐标原点，则OA OP ⋅ 的最大值为.10.已知12,F F是椭圆222:1(3x y C a a +=>的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为60︒的直线与椭圆C 的一个交点为M ，若1212MF MF MF MF +=-，则椭圆C 的长轴长为.11.已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，2,PA AB BC CA PB =====，点D 为BC的中点，且PD =O 的体积为.12.已知函数51,1()8,11x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪+⎩，若方程(())f f x a =恰有5个不同的实数根，则实数a 的取值范围为.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分。
13.已知抛物线24y x =上的点M 到它焦点的距离为5，则点M 到y 轴的距离为（）A.2B.4C.5D.614.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积（单位：cm ）为（）A.32B.36C.40D.4815.已知函数1()sin (0)62f x x πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有两个零点，则实数ω的取值范围为（）14141010()2,()2,(),4(),63333A B C D ⎛⎤⎡⎫⎡⎫⎛⎤⎪⎪⎥⎢⎢⎥⎝⎦⎣⎭⎣⎭⎝⎦16.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，且24323S S S +=，已知*,m n N ∈，若存在正整数,(1)i j i j <<，使得,,i j ma mn na 成等差数列，则mn 的最小值为（）A.16B.12C.8D.6三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤。
上海市虹口区2019-2020学年高考第二次模拟数学试题含解析
上海市虹口区2019-2020学年高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为y =，则C 为（ ）A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2211648x y -=D ．2214816x y -=【答案】A 【解析】 【分析】 由题意求得c 与ba的值，结合隐含条件列式求得a 2，b 2，则答案可求. 【详解】由题意，2c ＝8，则c ＝4，又ba=a 2+b 2＝c 2， 解得a 2＝4，b 2＝12.∴双曲线C 的方程为221412x y -=.故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质，属于基础题. 2．曲线312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3 B ．2C ．32D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率3k ≥，即可得出答案. 【详解】 解：由于312ln 3y x x =+，根据导数的几何意义得：()()2221130k f x x x x x x x '==+=++≥=>， 即切线斜率3k ≥， 当且仅当1x =等号成立， 所以312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为3. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力. 3．设i 是虚数单位，则()()2332i i +-=（ ） A ．125i + B ．66i - C ．5i D ．13【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算可求得结果. 【详解】由复数的乘法法则得()()22332656125i i i i i +-=+-=+.故选：A. 【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题.4．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点.若2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列，且1||PQ PF =，则椭圆C 的离心率为A ．23B ．34C ．5D 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】如图所示，设2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列{}n a ，其公差为d .根据椭圆定义得12344a a a a a +++=，又123a a a +=，则1111111()(2)(3)4()2a a d a d a d aa a d a d ++++++=⎧⎨++=+⎩，解得25d a =，12342468,,,5555aa a a a a a a ====.所以18||5QF a =，16||5PF a =，24||5PF a =，6||5PQ a =.在12PF F △和1PFQ V 中，由余弦定理得2222221246668()()(2)()()()55555cos 4666225555a a c a a a F PF a a a a +-+-∠==⋅⋅⋅⋅，整理解得105c e a ==.故选D ． 5．若x ，y 满足约束条件103020x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，则22x y +的最大值是（ ）A ．92B ．322C ．13D ．13【答案】C 【解析】 【分析】由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值． 【详解】 解：22xy +表示可行域内的点(,)x y 到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由1020x y x +-=⎧⎨+=⎩解得32y x =⎧⎨=-⎩即()2,3A -点()2,3A -到坐标原点(0,0)的距离最大，即2222()(2)313max x y +=-+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题． 6．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()x e xf x x+=B ．()21x f x x -=C ．()x e xf x x-=D ．()21x f x x +=【答案】A 【解析】 【分析】由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果. 【详解】对于选项B, ()21x f x x -=为 奇函数可判断B 错误;对于选项C,当1x <-时, ()0x e xf x x-=<,可判断C 错误;对于选项D, ()22111=+x f x x x x+=,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D 错误; 故选:A. 【点睛】本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.7．已知命题p ：,x R ∃∈使1sin 2x x <成立． 则p ⌝为（ ） A ．,x R ∀∈1sin 2x x ≥均成立 B ．,x R ∀∈1sin 2x x <均成立 C ．,x R ∃∈使1sin 2x x ≥成立D ．,x R ∃∈使1sin 2x x =成立【答案】A试题分析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即:p ⌝,sin 2x x x ∀∈≥R ． 考点：全称命题.8．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3% 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案. 【详解】对A ，从图中数据变化看，PMI 值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI 值不低于50%的频率为41123=，故A 正确； 对B ，由图可以看出，PMI 值的平均值低于50%，故B 正确； 对C ，12个月的PMI 值的众数为49.4%，故C 正确，； 对D ，12个月的PMI 值的中位数为49.6%，故D 错误 故选：D. 【点睛】本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题.9．设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B =IA ．{}12x x -≤≤B ．{}02x x <≤C ．{}04x x <≤D ．{}14x x -≤≤【分析】先求出集合A 和它的补集，然后求得集合B 的解集，最后取它们的交集得出结果. 【详解】对于集合A ，()()210x x -+>，解得1x <-或2x >，故[]1,2R C A =-.对于集合B ，22log 2log 4x ≤=，解得04x <≤.故()(]0,2R C A B ⋂=.故选B. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为0，然后通过因式分解，求得对应的一元二次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.10．设数列{}()*n a n N ∈的各项均为正数，前n 项和为nS，212log 1log n n a a +=+，且34a =，则6S =（ ） A ．128 B ．65C ．64D ．63【答案】D 【解析】 【分析】根据212log 1log n n a a +=+，得到212log l g 2o n n a a +=，即12n n a a +=，由等比数列的定义知数列{}n a 是等比数列，然后再利用前n 项和公式求6S . 【详解】因为212log 1log n n a a +=+， 所以212log l g 2o n n a a +=， 所以12n n a a +=，所以数列{}n a 是等比数列， 又因为34a =， 所以312414a a q ===， ()()6616111263112a q S q-⨯-===--.本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．2B ．32C ．2D ．12【答案】C 【解析】 【分析】 化简得到1322z i =-+，1322z i =--，再计算复数模得到答案.【详解】(1)12i z i +=+，故()()()()121121313111222i i i i z i i i i +++-+====-+++-，故1322z i =--，z 2=. 故选：C . 【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，复数模，意在考查学生的计算能力. 12．若复数52z i=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．2i + B ．2i -C ．12i +D ．12i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法法则计算z ，由共轭复数的概念写出z . 【详解】55(2)10522(2)(2)5i i z i i i i ++====+--+Q , ∴2z i =-,故选：B 【点睛】本题主要考查了复数的除法计算，共轭复数的概念，属于容易题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年上海市虹口区高三年级二模考试数学试卷
2019-2020学年上海市虹口区高三年级二模考试数学试卷一. 填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分；第7-12题，每空填对得5分1. 函数()3cos21f x x =+的最小值为 . 【答案】2-【解析】cos2x 最小值为1-，()3cos21f x x =+最小值为2-.2. 函数()f x =的定义域为 . 【答案】(3,1- 【解析】1030x x -≥⎧⎨+>⎩，所以(]3,1x ∈-1030x x -≤⎧⎨+<⎩，所以不存在舍掉。
综上，(]3,1x ∈-3. 设全集R U =，若{||2|3}A x x =-≥，则U A =ð . 【答案】()1,5-【解析】(][),15,A ∈-∞-⋃+∞，则()1,5U A ∈-ð.4.3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者服务活动， 则周六没有同学参加活动的概率为 . 【答案】18【解析】周六没人参加，则三位同学均选择周日参加。
11112228P =⨯⨯=. 5. 已知函数()g x 的图像与函数2()log (31)x f x =-的图像关于直线y x =对称， 则(3)g = . 【答案】2【解析】23log (31)x =- 解得：2x =6. 设复数cos isin iz αα=（i 为虚数单位），若||z =，则tan2α= .【答案】1【解析】)i cos i sin z αα=⨯-⨯()cos cos sin i z ααα=+-⨯||z ==22222cos cos sin 2sin cos ααααα=++- 212cos 2sin cos ααα=- 22cos 12sin cos 0ααα--=cos2sin20αα-=cos2sin2αα= tan21α=.7.若25(ax 的展开式中的常数项为52-，则实数a 的值为 【答案】12-【解析】()5510252155rrrr r rr T C axC ax---+==Q另5100,2r -=则4r =4551,22C a a ∴=-=-8. 设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若b =，8c =，30A =︒，则sin C =【解析】222cos 22b c a A bc +-==Q2=解得a =sin sin a cA C =Q8sin 2C =解得sin C =9. 已知点(3,2)A -，点P 满足线性约束条件201024x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，设O 为坐标原点，则OA OP ⋅uu r uu u r 的最大值为 【答案】16【解析】根据题意画出图，设(),P x y ，则()()3,2,32OA OP x y x y =-=-u u r u u u rg g ，另目标函数32z x y =-，联立方程组，当1y =时，6x =取最大值，max 36216z =⨯-=10. 已知1F 、2F 是椭圆222:13x y C a +=（a >的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为60︒的直线与椭圆C 的一个交点为M ，若1212||||MF MF MF MF +=-uuu r uuu u r uuu r uuu u r，则椭圆C 的长轴长为【答案】2【解析】依据题意画出大致图像：1212||||MF MF MF MF +=-uuu r uuu u r uuu r uuu u rQ ，即等价意思为1290F MF ︒∠=211tan3,22M F MF S b ∴===⨯y =则M ⎫，代入椭圆方程得： ()()22233133a a a +=--，化简可得：42630a a --=解得)2231a =+=22a ∴=11. 已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，2PA AB BC CA ====，PB =，点D 为BC的中点，且PD =O 的体积为【解析】依据题意，做出大致图形，如下图：AD =Q222,PD PA AD ∴=+同样222,PB PA AB =+ 故PA AD PB AB ⊥⎧⎨⊥⎩PA ∴⊥地面ABC过点,E H 作矩形OHAE ，其中E 为重心，AE OH ==而,OP OA R ==则112PH PA ==根据勾股定理，R ==则34=3V R π=球12. 已知函数|51|1()811x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪+⎩，若方程(())f f x a =恰有5个不同的实数根，则实数a的取值范围为 【答案】845a <<依据题意，作出大致图像，如下图：设(),f t t =若()f t a =，解两段函数的方程：1o 若1a >，则()1551,log 1,x a x a -==+288,11a x x a==-+； 则要确保5个解，即在1y =的下方有3个交点，在1y =的上方有2个交点，如下图：故需满足：()50log 11,04,a a <+<∴<<88114,4,5a a <-<∴<< 由此可得：14a <<2o 若01a <<，则()()()152538log 1,log 10,1,11x a x a x a=-=+∈=-> 则()()5log 1,f x a =-，此时无解；()()5log 1,f x a =+显然有3个交点，故()8811,4,45a a -∈∴<< 由此可知，这种情况下，无交集，故不符合； 综上，实数的取值范围为：845a << 二. 选择题（本大题共4题，满分20分）13. 已知抛物线24y x =上的点M 到它的焦点的距离为5，则点M 到y 轴的距离为（ ） 【A 】2 【B 】4 【C 】5 【D 】6 【答案】B【解析】抛物线24y x =的焦点坐标()1,0，抛物线上24y x =的一点M 到该抛物线的焦点F 的距离，则M 到准线的距离为5，则点M 到y 轴的距离为：4，故答案为：414. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积（单位：2cm ）为（ ） 【A 】32 【B 】36 【C 】40 【D 】48【解析】由三视图还原原几何体如图：该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，PA ⊥底面ABC .则BC PC ⊥，该几何体的表面积()134543445322S =⨯+⨯+⨯+⨯=，故选B 15. 已知函数1()sin()62f x x πω=++（0ω>）在区间(0,)2π上有且仅有两个零点，则实数ω的取值范围为（ ）【A 】14(2,]3 【B 】14[2,)3 【C 】 10[,4)3 【D 】 10(,6]3【答案】D【解析】依题意得，()10,sin 62f x x πω⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，画出大致图像，如下图：若2B x π=，则11110sin ,,2622663πππππωωω⎛⎫⋅+=-⋅+== ⎪⎝⎭ 若2C x π=，则3,6266πππωπω⋅+=+=又因为(0,)2π上是左右两端的开区间，故1063ω<≤，则答案选：D 16. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，且24323S S S +=，已知*,N m n ∈，若存在正整数i 、j （1i j <<），使得i ma 、mn 、j na 成等差数列，则mn 的最小值为（ ）【A 】 16 【B 】12 【C 】 8 【D 】 6 【答案】C【解析】因为数列{}n a 是等比数列，所以()431121311q q q q q--++=⨯--，化简整理得：()()()2232221131,2,2q q q q q q q q ++++=⨯++==，则12n n a +=，又因为i ma 、mn 、j na 成等差数列，则11222,422i j i j mn m n mn m n --=⋅+⋅=⋅+⋅，则min22244i j i j mn m n +⎛⎫=+≥≥ ⎪⎝⎭，又因为1i j <<则另2,3i j ==，使得5284mn ≥=，故答案：选C 三. 解答题（本大题共5题，满分76分）yxzF PD CBAEHG17. 已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD AB ==2=，设E 、F 、G 分别为PC 、PC 、CD 的中点，H 为EG 的中点，如图. （1）求证：FH ∥平面PBD ；（2）求直线FH 与平面PBC 所成角的大小. 【答案】（1）略；（2）FH 与平面PBC 所成角的大小为15sin15arc 【解析】(1)因,,,,E F G PC BC CD 分别为的中点，故//,//.EF PB EG PD 从而//,//.EF PBD EG PBD 平面平面 …… 2分又,,,EF EG EFG EF EG E ⊂⋂=≠平面且故//.EFG PBD 平面平面 …… 4分 由,FH EFG ⊂≠平面得//.FH PBD 平面 …… 6分 （2）以A 为原点，直线,,AB AD AP 分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系，如图所示. 则由已知条件，得相关点的坐标为(0,0,0),A(1,0,0),B (1,2,0),(0,2,0),(0,0,2),C D P11131(,1,1),(1,1,0),(,2,0),(,,).22222E F G H 于是111(,,).222FH =-u u u r ……8分设面PBC 的一个法向量为(,,),n x y z =r则(,,)(1,0,2)202,0.(,,)(0,2,0)20n PB x y z x z x z y n BC x y z y ⎧⋅=⋅-=-==⎧⎪⇔⎨⎨=⋅=⋅==⎩⎪⎩r u u u r r u u ur 取=1,(2,0,1).z n =r 得……11分 设FH PBC 与平面所成的角为,θ则1152sin cos ,.1352FH n FH n FH n θ-⋅=<>===⋅⋅u u u r r u u u r r u u ur r 故FH PBC 与平面所成角的大小为15sin .arc …… 14分18. 已知函数4()31x f x a =-+（a 为实常数）. （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，对任意的[1,5]x ∈，不等式()3x uf x ≥恒成立，求实数u 的最大值.【答案】（1）2a ≠时，函数()f x 既不是偶函数，也不是奇函数；2a =时，函数()f x 是奇函数；（2）max 3u =.【解析】（1） 因当2a ≠时， (1)1,(1)3,f a f a =--=-（第19题图）（第19题图）故(1)(1),(1)(1),f f f f -≠-≠-且于是此时函数()f x 既不是偶函数，也不是奇函数. …… 3分 当2a =时， 44()()2240,3131x x f x f x a a -+-=--=-=++即()();f x f x -=- 故此时函数()f x 是奇函数. …… 6分 （2）因()f x 是奇函数，故由（1）知2a =，从而4()2.31xf x =-+ 由不等式(),3x u f x ≥得4323,31x xx u ⋅≤⋅-+ …… 8分令[][]314,244(1,5),x t x +=∈∈因故4(1)22(1)2() 6.t u t t t t-≤--=+-由于函数[]2()2()64,244t t t ϕ=+-在单调递增，所以min ()(4)3;t ϕϕ== …… 12分因此，当不等式[]()1,53x uf x x ≥∈在上恒成立时， max 3.u = …… 14分 19.某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为R 的圆内做一个关于圆心对称的“H ”型图形，“H ”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖直的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的32倍，设O 为圆心，2AOB α∠=，记“H ”型图形得面积为S 。
2023年上海市虹口区高考数学二模试卷+答案解析(附后)
2023年上海市虹口区高考数学二模试卷1. 已知集合，，则______ .2. 函数的定义域为______ .3. 复数，在复平面上对应的点分别为，，则______ .4. 抛物线上的点到其焦点的距离为______ .5. 已知x是第二象限的角，且，则______ .6. 某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示，则该小组成员年龄的第25百分位数是______ .7. 在中，已知，，，则______ .8. 对于定义在R上的奇函数，当时，，则该函数的值域为______ .9. 端午节吃粽子是我国的传统习俗.一盘中放有10个外观完全相同的粽子，其中豆沙粽3个，肉粽3个，白米粽4个，现从盘子任意取出3个，则取到白米粽的个数的数学期望为______ .10. 已知A，B是球O的球面上两点，，P为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为6，则球O的表面积为______ .11. 过原点的直线l与双曲线C：的左、右两支分别交于M，N两点，为C的右焦点，若，且，则双曲线C的方程为______ .12. 已知平面向量，，，满足，，，，且对任意的实数t，均有，则的最小值为______ .13. 已知复数为虚数单位，则( )A. B. C. D. 214. 某同学上学路上有4个红绿灯的路口，假设他走到每个路口遇到绿灯的概率为，且在各个路口遇到红灯或绿灯互不影响，则该同学上学路上至少遇到2次绿灯的概率为( )A. B. C. D.15. 对于函数，给出下列结论：函数的图像关于点对称；函数在区间上的值域为；将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像；曲线在处的切线的斜率为则所有正确的结论是( )A. B. C. D.16. 在数列中，若有均为正整数，且，就有，则称数列为“递等数列”.已知数列满足，且，将“递等数列”前n项和记为，若，，，则( )A. 4720B. 4719C. 4718D. 471617. 记为数列的前n项和，已知，为正整数求数列的通项公式；设，若…，求正整数m的值.18. 如图，在圆锥PO中，AB是底面的直径，C是底面圆周上的一点，且，，，M是BC的中点.求证：平面平面POM；求二面角的余弦值.19. 电解电容是常见的电子元件之一.检测组在的温度条件下对电解电容进行质量检测，按检测结果将其分为次品、正品，其中正品分合格品、优等品两类铝䇚是组成电解电容必不可少的材料.现检测组在的温度条件下，对铝箵质量与电解电容质量进行测试，得到如下列联表，那么他们是否有的把握认为电解电容质量与铝䇚质量有关？请说明理由；电解电容为次品电解电容为正品铝箔为次品17476铝箔为正品108142电解电容经检验为正品后才能装箱，已知两箱电解电容每箱50个，第一箱和第二箱中分别有优等品8件与9件.现用户从两箱中随机挑选出一箱，并从该箱中先后随机抽取两个元件，求在第一次取出的是优等品的情况下，第二次取出的是合格品的概率.附录：，其中k20. 已知动点到点的距离和它到直线的距离之比等于，动点M的轨迹记为曲线C，过点F的直线l与曲线C相交于P，Q两点.求曲线C的方程；若，求直线l的方程；已知，直线AP，AQ分别与直线相交于M，N两点，求证：以MN为直径的圆经过点21. 设，，求函数，的单调区间和极值；若关于x不等式在区间上恒成立，求实数a的值；若存在直线，其与曲线和共有3个不同交点，，，求证：，，成等比数列.答案和解析1.【答案】【解析】解：，，故答案为：由已知直接利用交集运算的定义得答案．本题考查交集及其运算，是基础题．2.【答案】【解析】解：要使原函数有意义，则，解得函数的定义域为故答案为：由对数式的真数大于0，分母中根式内部的代数式大于0，联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．3.【答案】【解析】解：复数，在复平面上对应的点分别为，，则，，故故答案为：根据已知条件，结合复数的几何意义，以及四则运算，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．4.【答案】5【解析】解：抛物线的准线为，则，故，到焦点的距离等于到准线的距离，为故答案为：确定抛物线的准线为，，再计算距离即可．本题考查了抛物线的性质，属于基础题．5.【答案】【解析】解：由，知，因为x是第二象限的角，所以，所以，所以故答案为：结合诱导公式，同角三角函数的关系式，求得，再利用两角和的正切公式，即可得解．本题考查三角函数的求值，熟练掌握诱导公式，同角三角函数的关系式，两角和的正切公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．6.【答案】【解析】解：因为，所以该小组成员年龄的第25百分位数是故答案为：根据茎叶图中数据，利用百分位数的定义计算即可．本题考查了茎叶图与百分位数的应用问题，是基础题．7.【答案】4【解析】解：在中，已知，，，利用余弦定理：，整理得，即，解得：或故故答案为：直接利用余弦定理求出BC的长．本题考查的知识要点：余弦定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．8.【答案】【解析】解：因为为R上的奇函数所以，所以，又当时，，所以，当且仅当时等号成立，即当时，，因为为R上的奇函数，所以函数的图象关于原点对称，所以时，，所以函数的值域为故答案为：根据奇函数的性质求得，再结合基本不等式求时的取值范围，再结合奇函数的性质求时函数值的范围，由此可得函数值域．本题考查函数的值域和奇偶性，属于基础题．9.【答案】【解析】解：设取到白米粽的个数为随机变量X，则，1，2，3，所以，，所以故答案为：设取到白米粽的个数为随机变量X，求出对应的概率，利用期望公式求解．本题考查了离散型随机变量的期望计算，属于中档题．10.【答案】【解析】解：设球的半径为R，当面AOB时，三棱锥体积的最大，因为，所以为等边三角形，可得，所以，可得，所以球的表面积，故答案为：设球的半径R，由题意当面AOB时，三棱锥体积的最大，由，可得为等边三角形，进而求出它的面积，代入三棱锥的体积公式，可得R的值，进而求出球的表面积．本题考查三棱锥的体积的求法及球的表面积的求法，属于基础题．11.【答案】【解析】解：如图，，，设双曲线的左焦点为，连接，，由对称性可得，四边形为矩形，则，又，，又，，解得，，即双曲线C的方程为故答案为：由题意画出图形，设双曲线的左焦点为，连接，，由对称性可得，四边形为矩形，则，结合已知求得，，由双曲线的定义可得a，再由隐含条件求解b，则双曲线方程可求．本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线方程的求法，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】【解析】【分析】作，，以为x轴建立平面直角坐标系，由题意写出点A、点E的坐标，设点，，可得出点B在以A为圆心，以1为半径的圆上，由得出恒成立，作，设点，得出点C在直线上；由此求出的最小值．本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了平面向量的数量积运算问题，是难题．【解答】解：作，，以为x轴建立平面直角坐标系，如图所示；因为，，，所以点A的坐标为，点E的坐标为，作，设点，因为，所以，所以，所以点B在以为圆心，以1为半径的圆上；因为对任意的实数t，均有，所以，又，所以恒成立，所以，所以，即，作，设点，则，即，所以点C在直线上；因为，且点B在圆上，点C在直线上，所以点B到点C的最小距离是圆心A到最新的距离减去圆的半径，即，当且仅当点B为线段AC与圆的交点时“=”成立；因为点到直线的距离为，所以点A到点C的距离大于或等于，即，所以，当且仅当AC垂直于直线，且点B为线段AC与圆的交点时“=”成立；所以的最小值为故答案为：13.【答案】A【解析】解：，则故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．14.【答案】D【解析】解：某同学上学的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为，则该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率为：故选：由n次独立事件中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率．本题考查概率的求法，考查n次独立事件中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．15.【答案】C【解析】解：因为，因为，所以函数的图像不关于点对称，故错误；当时，，所以，故正确；将函数的图像向左平移个单位长度得，故错误；因为，所以，所以，即曲线在处的切线的斜率为1，故正确．故说法正确的有、故选：由三角恒等变化得，对于，验证是否成立即可；对于，由三角函数的性质，求出函数的值域即可；对于，由函数的平移及诱导公式即可判断；对于，验证即可．本题考查了三角恒等变化、三角函数的性质及导数的几何意义，属于中档题．16.【答案】B【解析】解：已知数列满足，且，则，则，则，即，又，，则，，又若有均为正整数，且，就有，即，又，即，则，，，依次类推可得数列是周期为3的周期数列，则故选：由题意可得，然后结合题意可得数列是周期为3的周期数列，然后求解即可．本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了阅读理解能力，属中档题．17.【答案】解：已知，为正整数，则，，两式相减可得，即，，又，则；因为，所以，又…，当时，…，即不满足题意，即，则…，即，即正整数m的值【解析】由已知可得，，又，则，得解；由可得，然后讨论当时和时两种情况，结合等差数列的通项公式求解即可．本题考查了利用数列的递推式求数列的通项公式，重点考查了等差数列的求和公式，属基础题．18.【答案】证明：如图，由题意，，为AB的中点，M为BC的中点，，则，而平面ABC，平面ABC，则，又，平面POM，又平面PBC，平面平面POM；解：平面ABC，平面PAB，则平面平面ABC，在平面ABC中，过M作，垂足为E，在平面PAB中，过E作，垂足为F，连接MF，则平面EFM，得，可得为二面角的平面角．由已知可得，，，则，，，，，，又，，得在中，，，得即二面角的余弦值为【解析】由已知证明，，可得平面POM，即可得到平面平面POM；证明平面平面ABC，在平面ABC中，过M作，垂足为E，在平面PAB中，过E作，垂足为F，连接MF，可得为二面角的平面角，再由已知求解三角形得答案．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了二面角的求法，是中档题．19.【答案】解：列联表如下：电解电容为次品电解电容为正品合计铝箔为次品17476250铝箔为正品108142250合计282218500，有的把握认为电解电容质量与铝䇚质量有关；设第一次取出的是优等品为事件A，第二次取出的是合格品为事件B，，，【解析】先填写联列表，再求出，即可判断．利用条件概率公式，求解即可．本题考查独立检验的应用，条件概率公式的运用，属于中档题．20.【答案】解：动点到点的距离和它到直线的距离之比等于，，，曲线C的方程为；当过点F的直线l的斜率为0时，直线l的方程为，直线l与椭圆的交点为，，，，，，，，与矛盾，当过点F的直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，联立得，即，设，，则①，②，，，③，由①②③得，，直线l的方程为或；证明：，，，直线AP的方程为，直线AQ的方程为，联立得，解得，同理得，，，，，以MN 为直径的圆经过点【解析】根据距离公式代入化简；设出直线的方程，联立方程组，再利用向量的相等，即可求解；先求出，，再证明即可．本题考查求曲线的轨迹方程，直线与椭圆位置关系的应用，综合性强，运算大，属于难题．21.【答案】解：由题意可得，，所以当时，，当时，，令，所以函数在上，单调递增，在上，单调递减，在上，单调递增，在上，单调递减，所以函数在上的单调递增区间为与，递减区间为与，所以，，关于x 的不等式，即在区间恒成立，令，则，且，，由知，在上的极大值为，所以在上的最大值为1，即在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上严格单调递增，所以，若，即，则在上严格递增，所以在上恒成立，若，即，则由，，由零点的存在定理可得，存在，使得，所以在上，单调递减，所以，所以在上，不符合在上恒成立的条件，所以当且仅当时，在上恒成立，综上所述，实数a的取值范围为证明：函数，令，则，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，对于函数，令，则，所以在上，，在上单调递增，在上，，在上单调递减，所以，所以函数与有相同的最大值，其图象如下：下面先证明：曲线与有唯一交点，由，即，即方程有唯一实数根，令，，则，所以在上恒为负数，所以曲线与在区间上没有交点，在区间上，函数单调递减，函数单调递增，所以在上单调递减，所以函数在上单调递减，由，及零点的存在定理可得：函数在上存在唯一零点，所以方程在上有唯一实数根，且，下面证明：直线与曲线，共有3个不同交点，所以直线必经过点，且，，，由，得，即，函数在上单调递增，，，所以，由，得，即，函数在上单调递增，，，所以，所以，由，得，所以，所以，所以，，成等比数列．【解析】由题意可得，令，求导分析单调性，极值，即可得出答案．关于x的不等式，即在区间恒成立，令，只需，即可得出答案．函数，令，求导分析单调性，进而可得，对于函数，令，求导分析单调性可得，函数与有相同的最大值，证明曲线与有唯一交点，再证明：直线与曲线，共有3个不同交点，可得，，进而可得答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．。
上海市虹口区2019-2020学年高考数学二模考试卷含解析
上海市虹口区2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}(2)0A x x x =->，{}10B x x =->，则A B =I A ．{}10x x x ><或 B ．{}12x x << C ．{|2}x x > D ．{}1x x >【答案】C 【解析】 【分析】解一元次二次不等式得{|2A x x =>或0}x <，利用集合的交集运算求得A B =I {|2}x x >. 【详解】因为{|2A x x =>或0}x <，{}1B x x =>，所以A B =I {|2}x x >，故选C. 【点睛】本题考查集合的交运算，属于容易题.2．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18B ．200，20C ．240，20D ．200，18【答案】A 【解析】 【分析】利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数． 【详解】样本容量为：（150+250+400）×30%＝240， ∴抽取的户主对四居室满意的人数为：15024040%18.150250400⨯⨯=++故选A ． 【点睛】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用．3．函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的部分图像如图所示，若5AB =，点A 的坐标为(1,2)-，若将函数()f x 向右平移(0)m m >个单位后函数图像关于y 轴对称，则m 的最小值为（ ）A ．12B ．1C ．3π D ．2π 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象以及题中所给的条件，求出,A ω和ϕ，即可求得()f x 的解析式，再通过平移变换函数图象关于y 轴对称，求得m 的最小值.【详解】由于5AB =，函数最高点与最低点的高度差为4， 所以函数()f x 的半个周期32T =，所以263T ππωω==⇒=， 又()1,2A -，0ϕπ<<，则有2sin 123πϕ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭，可得56πϕ=， 所以()()52sin 2sin 2cos 1363323f x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫=+=++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 将函数()f x 向右平移m 个单位后函数图像关于y 轴对称，即平移后为偶函数， 所以m 的最小值为1， 故选：B. 【点睛】该题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的变换关系，属于简单题目.4．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y x ⎧==⎨⎩则()U A B =I ð（ ）A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,A B ，由补集和交集定义可求得结果. 【详解】{}()10,1A x x =->=-∞Q ，()0,B =+∞，[)1,U A ∴=+∞ð， ()[)1,U A B ∴=+∞I ð. 故选：D . 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题. 5．已知函数()sin(2019)cos(2019)44f x x x ππ=++-的最大值为M ，若存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则M m n ⋅-的最小值为（ ） A ．2019πB ．22019π C ．42019πD ．4038π【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的两角和差公式得到()f x =2sin(2019)4x π+，进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于半个周期，最终得到结果. 【详解】 函数()sin 2019cos 201944f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)sin 2019cos 2019cos 2019sin 20192x x x x +++)sin 2019cos 20192sin(2019)4x x x π=+=+则函数的最大值为2，2M m n m n ⋅-=-存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即min 2220192019m n m n ππ-≥∴-=故答案为：B. 【点睛】这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合.6．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ） A ．120种 B ．240种 C ．480种 D ．600种【答案】B 【解析】 【分析】首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果. 【详解】将周一至周五分为4组，每组至少1天，共有：2115323310C C C A =种分组方法； 将四大名著安排到4组中，每组1种名著，共有：4424A =种分配方法；由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：1024240⨯=种 本题正确选项：B 【点睛】本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题.7．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足13AD DC =u u u r u u u r ，E 为BD 的中点，则CE =u u u r（ ）.A ．7388BA BC -u u u r u u u rB ．3788BA BC -u u u r u u u r C ．3788BA BC +u u u r u u u rD ．7388BA BC +u uu r u u u r【答案】B 【解析】 【分析】由13AD DC =u u u r u u u r ，可得34CD CA =u u u r u u u r ，1()2CE CB CD =+u u u r u u u r u u u r 13()24CB CA =+u u ur u u u r ，再将CA BA BC =-u u u r u u u r u u u r 代入即可. 【详解】因为13AD DC =u u u r u u u r ，所以34CD CA =u u u r u u u r ，故1()2CE CB CD =+=u u u r u u u r u u u r 13()24CB CA +=u u ur u u u r133()244BC BA BC -+-=u u ur u u u r u u u r 3788BA BC -u u u r u u u r . 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算性质以及平面向量基本定理的应用，是一道基础题.8．等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体ABCD 侧棱，直角边AE 绕斜边AB 旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：（1）四面体E-BCD的体积有最大值和最小值；⊥；（2）存在某个位置，使得AE BDθ≥∠；（3）设二面角D AB E--的平面角为θ，则DAE（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆.其中，正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】【详解】解：对于（1），当CD⊥平面ABE，且E在AB的右上方时，E到平面BCD的距离最大，当CD⊥平面ABE，且E在AB的左下方时，E到平面BCD的距离最小，∴四面体E﹣BCD的体积有最大值和最小值，故（1）正确；对于（2），连接DE，若存在某个位置，使得AE⊥BD，又AE⊥BE，则AE⊥平面BDE，可得AE⊥DE，进一步可得AE＝DE，此时E﹣ABD为正三棱锥，故（2）正确；对于（3），取AB中点O，连接DO，EO，则∠DOE为二面角D﹣AB﹣E的平面角，为θ，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，θ∈[0，π），∠DAE∈[，π），所以θ≥∠DAE不成立．（3）不正确；对于（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，P到BC的距离为：d P﹣BC，因为＜1，所以点P的轨迹为椭圆．（4）正确．故选：C．点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用. 9．把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ） A ．(,0)3πB ．(,0)4πC ．(,0)12πD ．(0,0)【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得1sin()26y x π=+的图象；再将图象向右平移3π个单位，可得11sin[()]sin 2362y x x ππ=-+=的图象，那么所得图象的一个对称中心为(0,0)，故选D. 考点：三角函数的图象与性质.10．已知A ，B ，C ，D 是球O 的球面上四个不同的点，若2AB AC DB DC BC =====，且平面DBC ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（ ）A ．203πB ．152πC ．6πD ．5π【答案】A 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出多面体外接球的半径，代入表面积公式得答案． 【详解】 如图，取BC 中点G ，连接AG ，DG ，则AG BC ⊥，DG BC ⊥，分别取ABC V 与DBC V 的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ， 则O 为四面体A BCD -的球心，由AB AC DB DC BC 2=====，得正方形OEGF 36OG =， ∴四面体A BCD -的外接球的半径222265R OG BG ()133=+=+= ∴球O 的表面积为2520π4π33⨯=． 故选A ． 【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．11．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是 A ．(,1]-∞- B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由题意得，{}()()6N f x g x ⊗=表示不等式22|log |(1)2x a x <-+的解集中整数解之和为6.当0a >时，数形结合（如图）得22|log |(1)2x a x <-+的解集中的整数解有无数多个，22|log |(1)2x a x <-+解集中的整数解之和一定大于6.当0a =时，()2g x =，数形结合（如图），由()2f x <解得144x <<.在1(,4)4内有3个整数解，为1，2，3，满足{}()()6N f x g x ⊗=，所以0a =符合题意.当0a <时，作出函数2()|log |f x x =和2()(1)2g x a x =-+的图象，如图所示.若{}()()6N f x g x ⊗=，即22|log |(1)2x a x <-+的整数解只有1，2，3.只需满足(3)(3)(4)(4)f g f g <⎧⎨≥⎩，即2log 342292a a <+⎧⎨≥+⎩，解得2log 3204a -<≤，所以2log 3204a -<<. 综上，当{}()()6N f x g x ⊗=时，实数a 的取值范围是2log 32(,0]4-.故选D. 12．如图，在ABC V 中，,(,),2AD AB BD xAB yAC x y R AD ⊥=+∈=u u u v u u u v u u u v u u u v ，且12AC AD ⋅=u u u v u u u v，则2x y +=（ ）A ．1B ．23-C ．13-D ．34-【答案】C 【解析】 【分析】由题可0,12AD AB AC AD ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以将已知式子中的向量用AD AB AC u u u r u u u r u u u r，，表示，可得到的,x y 关系，再由,,B D C 三点共线，又得到一个关于,x y 的关系，从而可求得答案 【详解】由BD xAB yAC =+u u u v u u u v r r u u u v ，则(1),[(](1)AD x AB y AC AD AD AD x AB y AC x AD AB y AD AC =++⋅=⋅++=+⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，即412y =，所以13y=，又,,B D C 共线，则1111,,233x y x x y ++==-+=-. 故选：C 【点睛】此题考查的是平面向量基本定理的有关知识，结合图形寻找各向量间的关系，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市虹口区2020届高三二模数学试卷
上海市虹口区2020届高三二模数学试卷2020.05一、填空题（本大题共12题，1~6每题4分，7~12每题5分，共54分） 1. 函数12cos 3)(+=x x f 的最小值为 ； 2. 函数xxx f +-=31)(的定义域为 ； 3. 设全集R U =，若}3|2||{≥-=x x A ，则=A C U ；4. 3为同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者服务活动，则周六没有同学参加活动的概率为 ；5. 已知函数)(x g 的图像与函数)13(log )(2-=x x f 的图像关于直线x y =对称，则=)3(g ；6. 设复数i2sin i cos +=ααz （i 为虚数单位），若2||=z ，则=α2tan ；7. 若52)1(xax +的展开式中的常数项为25-，则实数a 的值为 ； 8. 设ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若32=b ，8=c ，ο30=A ，则=C sin ；9. 已知点)2,3(-A ，点P 满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≥+420102y x y x ，设O 为坐标原点，则⋅的最大值为 ；10. 已知1F 、2F 是椭圆)3(13:222>=+a y ax C 的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为ο60的直线与椭圆C 的一个交点为M ，若||||2121MF MF MF MF -=+，则椭圆C 的长轴长为 ；11. 已知球O 是三棱锥ABC P -的外接球，2====CA BC AB PA ，22=PB ，点D 为BC 的中点，且7=PD ，则球O 的体积为 ；12. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<-=1181|15|)(x x x x f x ，若方程a x f f =))((恰有5个不同的实数根，则实数a的取值范围为 ；二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知抛物线x y 42=上的点M 到它的焦点的距离为5，则点M 到y 轴的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 14. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积（单位：2cm ）为（ ） A. 32 B. 36 C. 40 D. 48 15. 已知函数)0(21)6sin()(>++=ωπωx x f 在区间)2,0(π上有且仅有两个零点，则实数ω的取值范围为（ ） A. ]314,2( B. )314,2[ C. )4,310[ D. )6,310[ 16. 设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，首项11=a ，且34232S S S =+，已知*∈N n m ,，若存在正整数i 、)1(j i j<<，使得i ma 、mn 、j na 成等差数列，则mn 的最小值为（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 6三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 已知四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是矩形，⊥PA 底面ABCD ，且22===AB AD PA ，设E 、F 、G 分别为PC 、BC 、CD 的中点，H 为EG 的中点，如图。
2020年上海市虹口区高考数学二模试卷(有答案解析)
M 为线段 PF1 的中点，则线段 OM 的长为______． 11. 若函数 f（x）=x|x-a|-4（a∈R）有 3 个零点，则实数 a 的取值范围是______．
12. 若函数
（k∈R）为偶函数，则 k 的值为______．
13. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______
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2020 年上海市虹口区高考数学二模试卷
一、选择题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
1. 已知 α、β 是两个不同平面，m 为 α 内的一条直线，则“m∥β”是“α∥β”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
2. 钝角三角形 ABC 的面积是 ，AB=1，
∴A≤
= -= ，
B≥
=
=，
∴B-A 的最小值= - = ．
故选：B．
5.答案：[2，4]
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解析：解：∵全集 U=R，集合 A={x||x-3|＞1}={x|x＞4 或 x＜2）， ∴∁UA={x|2≤x≤4}=[2，4] 故答案为：[2，4] 利用补集定义直接求解． 本题考查补集的求法，考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是 基础题．
，考虑到函数 y=3t- 在（0，+∞）上单调递增，即可得出．
【解答】
解：Sn=
=-• ，
①n 为奇数时，Sn= + • ，可知：
Sn 单调递减，且
=，
∴ ＜Sn≤S1=2；
②n 为偶数时，Sn= - • ，可知：
Sn 单调递增，且
=，
∴ =S2≤Sn＜ ．
上海2020届高三数学 二模试卷(虹口区)
（1 i j ），使得 mai 、 mn 、 na j 成等差数列，则 mn 的最小值为（ ）
A. 16
B. 12
C. 8
D. 6
三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17. 已知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是矩形， PA 底面 ABCD ，且 PA AD 2AB 2 ，设 E 、 F 、 F 分别为 PC 、 PC 、 CD 的中点， H 为 EG 的中点，如图. （1）求证： FH ∥平面 PBD ； （2）求直线 FH 与平面 PBC 所成角的大小.
4. 3 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者服务活动，则周六没有同学参加活动的概率为
5. 已知函数 g(x) 的图像与函数 f (x) log2(3x 1) 的图像关于直线 y x 对称，则 g(3)
cos 6. 设复数 z
sin
i （ i 为虚数单位），若 | z | 2 ，则 tan 2
x 1
二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13. 已知抛物线 y2 4x 上的点 M 到它的焦点的距离为 5，则点 M 到 y 轴的距离为（ ）
A. 2
B. 4
C. 5
D. 6
14. 某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体 的表面积（单位： cm2 ）为（ ）
y
1
0
uur uuur ，设 O 为坐标原点，则 OA OP 的最大值为
x 2y 4
10.
已知
F1
、
F2
是椭圆
C
:
x2 a2
y2 3
1（a
2020年上海市虹口区高考数学二模试卷 (含答案解析)
2020年上海市虹口区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为3，则点M的横坐标x=()A. 4B. 3C. 2D. 12.某几何体三视图如图所示(单位：cm)，其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A. 103√3 B. 4√3 C. 83√3 D. 2√33.设函数f(x)=sin(ωx+π5)(ω>0)，若f(x)在[0,2π]上有且仅有5个零点，则ω的取值范围为()A. [125,2910] B. (125,2910] C. (125,2910) D. [125,2910]4.设等比数列{a n}的首项a1=13，前n项和为S n，若S1、2S2、3S3成等差数列，则{a n}的通项为()A. a n=13n B. a n=3n C. a n=13n−1D. a n=131−n二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知函数y=3cos(π−x)，则当x=________时，函数取得最大值．6.函数f(x)=√1+ln x1−ln x的定义域为________．7.设全集U={x|1≤x≤5}，A={x|2≤x<5}，则∁U A=______________．8.某校志愿者小组有2名男生和1名女生，现从中任选2人参加活动，则女生入选的概率是______．9. 已知y =f (x )与y =3x 的图象关于直线y =x 对称，若f (a )=3，则a =________．10. 若复数z =∣∣∣sinθi −1cosθi ∣∣∣(i 为虚数单位)，则z 的模的最大值为______． 11. 若(2x −1x 2)n 的展开式中所有二项式系数和为64，则n =________，展开式中的常数项是________．12. △ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2+a 2−c 2=2ac ，sinB =√33，则C =______． 13. 若实数x ，y 满足约束条件{x +y −1≥0x −3y +3≥0x ≤3，则z =2x −y 的最大值为______．14. 若椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2与C 交于M ，N 两点，若|MF 1|=|MF 2|，MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则椭圆C 的离心率是______．15. 已知三棱锥S −ABC 中，SA ⊥BC ，AB =BC =SA =√22BS =√22AC =2，则三棱锥S −ABC 外接球的体积为______．16. 已知函数f(x)={x +1x ,x >04−2−x ,x ≤0，若关于x 的方程f(2x 2+x)=a 恰有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是边长为√2的正方形，且PA ⊥BD ，若E ，F 分别为PC ，AB 的中点，EF ⊥平面PCD ．(1)求证：EF//平面PAD ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的大小．18. 已知函数f(x)为奇函数，当x ≥0时，f(x)=√x ，g(x)={f(x),x ≥0f(−x),x <0， (1)求当x <0时，函数f(x)的解析式；(2)求g(x)的解析式，并证明g(x)的奇偶性．19. 如图，长方形材料ABCD 中，已知AB =2√3，AD =4.点P 为材料ABCD 内部一点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AD 于F ，且PE =1，PF =√3.现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足∠MPN =150∘，点M ，N 分别在边AB ，AD 上．(1)设∠FPN =θ，试将四边形材料AMPN 的面积S 表示为θ的函数，并指明θ的取值范围；(2)试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小，并求出其最小值．20.如图，圆O：x2+y2=4与坐标轴交于点A，B，C．(1)求与直线AC垂直的圆的切线方程；(2)设点M是圆上任意一点(不在坐标轴上)，直线CM交x轴于点D，直线BM交直线AC于点N，①若D点坐标为(2√3,0)，求弦CM的长；②求证：2k ND−k MB为定值．21.已知数列{a n}满足na n+1=(n+1)a n+1，n∈N∗，a1=a>0．(1)求a2，a3，a4的值并猜出{a n}的通项公式；(2)求证，分别以a2，a3，a4为边的三角形不可能是直角三角形．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：抛物线y2=4x的焦点F为(1,0)，准线l为x=−1，由抛物线的定义可得，|MF|=x+1，由题意可得x+1=3，解得x=2，故选C．求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，可得x+1=3，即可解得x．本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义的运用，考查运算能力，属于基础题．2.答案：A解析：本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．由三视图还原原几何体，可知该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥H−EFG，然后由柱体体积减去三棱锥体积求解．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥H−EFG，三角形ABC的面积S=12×2×√22−12=√3．∴几何体的体积V=√3×4−13×√3×2=10√33．故选A．3.答案：A解析：本题考查三角函数的性质，属于中档题．求出的范围，结合三角函数的性质，得到，解得ω的取值范围．解：当x∈[0,2π]时，ωx+π5∈[π5,2πω+π5]，∵f(x)在[0,2π]上有且仅有5个零点，，∴125⩽ω<2910．故选A．4.答案：A解析：解：设等比数列{a n}的公比为q，若S1、2S2、3S3成等差数列，则4S2=S1+3S3，即为4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2)，即有4+4q=4+3q+3q2，解得q=13，即有a n=a1q n−1=13⋅(13)n−1=13n．故选A．设等比数列{a n}的公比为q，运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q，再由等比数列的通项公式即可得到．本题考查等比数列的通项公式和等差数列的性质，考查化简的运算能力，属于基础题．5.答案：2kπ+π(k ∈Z)解析：本题考查余弦函数的最大值，属于基础题．根据题意得y =3cos(π−x)=−3cos x ，余弦函数的性质可得x =2kπ+π(k ∈Z)时，y 有最大值3． 解：y =3cos(π−x)=−3cos x ，当cos x =−1，即x =2kπ+π(k ∈Z)时，y 有最大值3．6.答案：[1e ,e)解析：本题主要考查函数的定义域，属于基础题，根据二次根号下要大于等于0，分母不为0求解即可．解：要使函数f(x)=√1+ln x1−ln x 有意义，则1+ln x1−ln x ≥0， 即{(1+ln x)(1−ln x)≥0,1−ln x ≠0即{(1+ln x)(ln x −1)≤0,1−ln x ≠0解得−1≤ln x <1，即1e ≤x <e ，所以函数f(x)=√1+ln x 1−ln x 的定义域为[1e ,e)． 7.答案：{x|1≤x <2或x =5}解析：此题考查补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键，利用补集的运算求出A 的补集即可． 解：全集U ={x|1≤x ≤5}，A ={x|2≤x <5}，则C U A ={x|1≤x <2或x =5}．故答案为{x|1≤x <2或x =5}．8.答案：23解析：本题考查古典概型，是基础题．先对2名男生和1名女生编号，写出从中任选2人参加活动的基本事件，根据古典概型的概率计算即可．解：2名男生记为A ，B ，1名女生记为a ，则从中任选2人参加活动的基本事件为AB ，Aa ，Ba 共3种，女生入选的基本事件为Aa ，Ba 共2种，所以女生入选的概率是23．故答案为23． 9.答案：27解析：本题主要考查互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数反函数的求法，是基础题．由题意可得函数y =f(x)与y =3x 互为反函数，则f(x)=log 3x ，结合f(a)=3，即可求出a 的值． 解：∵y =f(x)与y =3x 的图象关于直线y =x 对称，∴函数f(x)与函数y =3x 互为反函数，∴f(x)=log 3x ，f(a)=log 3a =3，∴a =33=27．故答案为27．10.答案：√5+12解析：解：∵z =∣∣∣sinθi −1cosθi ∣∣∣=sinθ⋅i −cosθ(i −1)=cosθ+(sinθ−cosθ)i ， ∴|z|=√cos 2θ+(sinθ−cosθ)2=√sin 2θ+2cos 2θ−2sinθcosθ=√1−cos2θ2+2⋅1+cos2θ2+sin2θ=√32+sin2θ+12cos2θ=√32+√52sin(2θ+α)≤√32+√52=√5+12．故答案为：√5+12．由已知展开二阶行列式，求得复数模，利用倍角公式降幂后求最值．本题考查二阶行列式的定义，考查复数模的求法及三角函数的化简求值，是中档题．11.答案：6；240解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．利用二项式系数的性质求得n的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．解：∵(2x−1x2)n的展开式中所有二项式系数和为2n=64，则n=6；根据(2x−1x2)n=(2x−1x2)6的展开式的通项公式为T r+1=C6r⋅(−1)r⋅(2x)6−r⋅x−2r=C6r⋅(−1)r⋅26−r⋅x6−3r，令6−3r=0，求得r=2，可得展开式中的常数项是C62⋅24=240，故答案为6；240．12.答案：π6解析：本题考查正余弦定理的应用，属于基础题．由已知条件及余弦定理可得bcosC=c，再由正弦定理及B的正弦值可得C的正切值，即可得C的值．解：因为b2+a2−c2=2ac，而b2+a2−c2=2abcosC，所以bcosC=c，由正弦定理可得sinBcosC=sinC，而sinB=√33，所以tanC=√33，而C∈(0,π)，所以C=π6故答案为π6．13.答案：8解析：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z =2x −y 的最大值． 解：由z =2x −y ，得y =2x −z ，作出实数x ，y 满足约束条件{x +y −1≥0x −3y +3≥0x ≤3对应的可行域(阴影部分)，平移直线y =2x −z ，由平移可知当直线y =2x −z 经过点A 时， 直线y =2x −z 的截距最小，此时z 取得最大值， 由{x =3x +y −1=0，解得A(3,−2)， 将C 的坐标代入z =2x −y ，得z =8， 即目标函数z =2x −y 的最大值为8． 故答案为：8．14.答案：√22解析：本题考查椭圆的简单性质，考查计算能力，是中档题．由题意画出图形，写出直线l 的方程，与椭圆方程联立求得N 点坐标，结合向量等式求解． 解：如图，由|MF 1|=|MF 2|，可知M 在椭圆的短轴的一个端点上，不妨设为(0,−b)， 又F 2(c,0)，则k MF 2=bc ，∴直线l 的方程为y =bc (x −c)=bc x −b ，联立{y =bcx −b x 2a2+y 2b 2=1，得(a 2+c 2)x =2a 2c ，即x N =2a 2c a 2+c2，∴y N =b 3a 2+c 2，∵MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴b =3b 3a 2+c 2，即a 2+c 2=3(a 2−c 2)，解得e =√22．故答案为：√22．15.答案：4√3π解析：本题考查了棱锥的结构特征，以及外接球的体积公式，属于中档题．根据棱锥的结构特征求出外接球的球心位置，得出球的半径，从而得出球的体积． 解：∵AB =BC =SA =2，SB =AC =2√2， ∴AB ⊥BC ，SA ⊥AB ，又SA ⊥BC ，BC ∩AB =B ，BC ，AB ⊂平面ABC ， ∴SA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴SA ⊥AC ，由AB ⊥BC ，SA ⊥BC ，AB ∩SA =A ，AB,SA ⊂平面SAB ， 所以BC ⊥平面SAB ，SB ⊂平面SAB ，所以SB ⊥BC ， 即△SAC ，△SBC 都为直角三角形； 综上所证，构造一个边长为2的正方体， 将三棱锥S −ABC 置于正方体中，如图所示．所以SC即为三棱锥S−ABC外接球的直径，又因为SC=√SA2+AC2=2√3，所以外接球的半径为√3，∴外接球的体积V=43π⋅(√3)3=4√3π.故答案为：4√3π.16.答案：[2,3]解析：解：∵函数f(x)={x+1x,x>04−2−x,x≤0，由函数f(x)的图象得，f(x)=a恰有3个不同的实数根时，需满足2≤a≤3，∴令t=2x2+x，∴t≥−18，且除去顶点之外，每个t对应2个x值．∵方程f(2x2+x)=a恰有6个不同的实数根，∴等价于f(t)=a恰有3个不同的实数根，∴f(t)=a恰有3个不同的实数根时，需满足2≤a≤3．故答案为：[2,3]．由分段函数的图象以及换元的方法，以及二次函数的图象和性质，得到a的范围．本题考查分段函数的图象，换元思想，以及二次函数的图象和性质．17.答案：证明：(1)设PD的中点为Q，连结AQ，EQ，则EQ//CD，EQ=12CD，又AF//CD，AF=12AB=12CD，∴EQ//AF ，EQ =AF ，∴四边形AQEF 为平行四边形，∴EF//AQ ， ∵EF ⊄平面PAD ，AQ ⊂平面PAD ， ∴EF//平面PAD ．(2)∵EF ⊥平面PCD ，∴AQ ⊥平面PCD ， ∵PD ⊂平面PCD∴AQ ⊥PD ，∵Q 是PD 的中点，∴AP =AD =√2， ∵AQ ⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD ∴AQ ⊥CD ， 又AD ⊥CD ，AQ ∩AD =A ，AQ 、AD ⊂平面PAD ， ∴CD ⊥平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，∴CD ⊥PA ， 又BD ⊥PA ，BD ∩CD =D ，BD 、CD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥平面ABCD ，以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则B(√2,0,0)，P(0,0，√2)，A(0,0，0)，Q(0,√22,√22)，∴AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√22,√22)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,−√2)，∵AQ ⊥平面PCD ，∴AQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√22,√22)是平面PCD 的一个法向量， ∴cos <AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−12，设直线PB 与平面PCD 所成角的大小为θ，则sinθ=|cos <AQ ⃗⃗⃗⃗⃗,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=12，∴直线PB 与平面PCD 所成角的大小为π6．解析：本题考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．(1)设PD 的中点为Q ，连结AQ ，EQ ，推导出四边形AQEF 为平行四边形，从而EF//AQ ，由此能证明EF//平面PAD ；(2)由EF ⊥平面PCD ，得AQ ⊥平面PCD ，从而AQ ⊥PD ，由AQ ⊥平面PCD ，得AQ ⊥CD ，再由AD ⊥CD ，得CD ⊥平面PAD ，CD ⊥PA ，从而PA ⊥平面ABCD ，以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB 与平面PCD 所成角的大小．18.答案：解：(1)设x <0，则−x >0，此时有f(−x)=√−x ． 又∵函数f(x)为奇函数， ∴f(x)=−f(−x)=−√−x ． ∴当x <0时，f(x)=−√−x ． ∴f(x)={√x,x ≥0−√−x,x <0；(2)函数g(x)解析式为g(x)={f(x),x ≥0f(−x),x <0={√x,x ≥0√−x,x <0，g(x)的定义是R ，关于原点对称，当x >0时，−x <0，g(−x)=√−(−x)=√x =g(x)， 当x <0时，−x >0，g(−x)=√−x =g(x)， 综上所述，函数g(x)为偶函数．解析：解析：本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查函数奇偶性的判断方法，是中档题． (1)设x <0，则−x >0，结合已知与函数是奇函数可得x <0时的解析式，则答案可求； (2)由已知结合(1)写出分段函数解析式，然后利用奇偶性的定义证明g(x)的奇偶性．19.答案：解：(1)在直角△NFP 中，因为PF =√3，∠FPN =θ，所以，所以．在直角△MEP 中，因为PE =1，，所以，所以．所以，．(2)因为．令，由，得t∈[1,4]，所以S=√3+3t2−4t+42√3t =√32(t+43t)+√33≥√32×2×√t×43t+√33=2+√33．当且仅当t=2√33时，即时等号成立．此时，AN=2√33，S min=2+√33．答：当AN=2√33时，四边形材料AMPN的面积S最小，最小值为2+√33．解析：本题主要考查函数模型的应用，是高考中常见的题型，属于难题．(1)在直角△NFP中，因为PF=√3，∠FPN=θ，所以，化简即可求解；(2)因为，化简即可求解．20.答案：解：(1)由题意，A(−2,0)，B(2,0)，C(0,2)，∴直线AC：x−2+y2=1，即x−y+2=0，设l：x+y+b=0，∴√12+12=2，则b=±2√2，∴l：x+y±2√2=0；(2)①CM：x+√3y−2√3=0，圆心到直线CM的距离d=√3√12+(√3)2=√3，∴弦CM的长为2√4−3=2．②设M(x0,y0)，则x0≠±2,x0≠0,x02+y02=4，直线l CM：y=y0−2x0x+2，则D(2x02−y0,0)，k MB=y0x0−2，直线l BM：y=y0x0−2(x−2)，又l AC：y=x+2AC与BM交点N(4−2x0−2y0x0−y0−2,−4y0x0−y0−2)，k ND=4y0x0−y0−22x02−y0−4−2x0−2y0x0−y0−2=4y0−2y02x02−2x0y0+4y0−4−y02将x02=4−y02，代入得k ND=y0−2x0+y0−2，所以2k ND−k MB=2(y0−2)x0+y0−2−y0x0−2=x0y0−2y0−4x0+8−y02x02−4x0+x0y0−2y0+4，得2k ND −k MB =x 0y 0−2y 0−4x 0+8−y 024−y 02−4x 0+x0y 0−2y 0+4=x 0y 0−2y 0−4x 0+8−y 028−y 02−4x 0+x 0y 0−2y 0=1为定值．解析：(1)先求直线AC 的方程，设出切线方程，利用点线距离等于半径，即可求与直线AC 垂直的圆的切线方程；(2)①求出CM 的方程，圆心到直线CM 的距离，即可求弦CM 的长； ②确定N ，D 的坐标，表示出2k ND −k MB ，即可证明2k ND −k MB 为定值．本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．21.答案：(1)解：∵na n+1=(n +1)a n +1，n ∈N ∗，a 1=a >0，∴令n =1得a 2=2a 1+1=2a +1 …(1分) 令n =2得2a 3=3a 2+1=3a +2 …(3分) 令n =3得3a 4=4a 3+1=4a +3 …(5分) ∴a n =(a +1)n −1…(7分)(2)证明：假设以a 2，a 3，a 4为边的三角形是直角三角形∵a >0，∴4a +3>3a +2>2a +1，∴4a +3为直角三角形的斜边 …(8分) ∴(4a +3)2=(2a +1)2+(3a +2)2 …(9分) ∴3a 2+8a +4=0，∴a =−23或a =−2 …(10分) 以上二根均为负数，与已知a >0矛盾 …(11分) ∴假设不成立，原命题成立 …(12分)解析：(1)n =1，2，3，分别代入，即可求a 2，a 3，a 4的值，从而猜出{a n }的通项公式； (2)利用反证法证明，即可得出结论．本题考查数列递推式，考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。