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专升本高等数学(文史财经类)复习课件
第二节.函数的性质 一带而过
1. 函数的奇偶性 注意：定义域关于原点对称
奇函数：f (x) f (x) 图像关于原点对称
偶函数：f (x) f (x) 图像关于y轴对称
2. 函数的单调性
已知 y 当 x1 x2 当 x1 x2
f (x), xa,b， 若有
时，若有f x1 f x2
运算顺序：1 x2 3 2正弦函数sin 3指数运算e 分解顺序：1 y e 2 sin 3 x2 3
(反过来)
方法：从最后一层运算开始分解，每分解一步去掉一 层运算，分解到基本初等函数的和差积商为止。
例2 将下列复合函数分解为简单函数
1.y cos2 x
2.y x2 2x
3 y cos 2x 1 4 y ln sin x3
lim ex , 即当x 时，ex为正无穷大
x
lim 1 , 即当x 0时，1 为无穷大
x0 x
x
关于无穷大的说明
1、f (x) ，即f (x) 或
2、函数f (x)无穷大，不仅与函数有关，还与
变化趋势有关。如lim 1 ，而lim 1 1
x0 x
x3 x 3
3、无穷大实际上极限是不存在
1、只有0是可以作为无穷小的唯一的常数
2、无穷小与自变量的变化趋势有关,
例如：
lim
1
1
x1 x
例2：自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小
（1）y 3x 1 无穷小的性质
(2) y 2x
(3) y (1)x 3
性质1 有限个无穷小的代数和为无穷小
性质2 有界函数与无穷小的乘积为无穷小
性质3 有限个无穷小的乘积为无穷小
例3
第一章函数、极限、连续(专升本专用PPT)-文档资料
2
六个常见函数的有界性: | sin x | 1; | cos x | 1; ( , ) | | arcsinx | | arctanx |
2
; | arccosx | ;[1,1] ; | arc cot x | ; ( , )
2
x 例2.判断函数f ( x) 的有界性 2 1 x x | x| | x| 1 解: 因为| f ( x) || | 2 2 1 x 1 x 2| x| 2 (1 x 2 2 | x |).所以函数f ( x)有界 .
y u是中间变量，y是因变量．
u , u 1 x 2
4 y就不是x的复合函数；复 合函数可分解为蕳单的函数
( 2)反函数 : 设函数y f ( x )的值域为Z f , 如果对Z f 中 任一y值从关系式y f ( x )中可确定惟一的一个 x值, 则称变量x为变量y的函数, 记为 : x ( y ), 其中 ( y )称为y f ( x )的反函数,习惯上y f ( x )的反 函数记为: y f 1 ( x )
f n ( x), y lim f (t , x) （1）极限形式的函数：y lim n tx
（2）积分形式的函数： y
5.非初等函数
x
0
f (t )dt ( f (t )连续 )
6.函数的简单性质 (1)奇偶性 设函数 f ( x )在区间x上有定义，如果对x X 恒有 f ( x ) f ( x ) (或f ( x ) f ( x )) 则称f(x)为偶函数（或f(x)为奇函数）.偶函数f(x)的 图形对称于y轴，奇函数f(x)的图形对称于原点.
13ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
六个常见函数的有界性: | sin x | 1; | cos x | 1; ( , ) | | arcsinx | | arctanx |
2
; | arccosx | ;[1,1] ; | arc cot x | ; ( , )
2
x 例2.判断函数f ( x) 的有界性 2 1 x x | x| | x| 1 解: 因为| f ( x) || | 2 2 1 x 1 x 2| x| 2 (1 x 2 2 | x |).所以函数f ( x)有界 .
y u是中间变量，y是因变量．
u , u 1 x 2
4 y就不是x的复合函数；复 合函数可分解为蕳单的函数
( 2)反函数 : 设函数y f ( x )的值域为Z f , 如果对Z f 中 任一y值从关系式y f ( x )中可确定惟一的一个 x值, 则称变量x为变量y的函数, 记为 : x ( y ), 其中 ( y )称为y f ( x )的反函数,习惯上y f ( x )的反 函数记为: y f 1 ( x )
f n ( x), y lim f (t , x) （1）极限形式的函数：y lim n tx
（2）积分形式的函数： y
5.非初等函数
x
0
f (t )dt ( f (t )连续 )
6.函数的简单性质 (1)奇偶性 设函数 f ( x )在区间x上有定义，如果对x X 恒有 f ( x ) f ( x ) (或f ( x ) f ( x )) 则称f(x)为偶函数（或f(x)为奇函数）.偶函数f(x)的 图形对称于y轴，奇函数f(x)的图形对称于原点.
13ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
专升本高数多元函数微分PPT课件
开 域 :不 包 括 边 界 在 内 的 区 域 称 为 开 域 .
无 界 区 域 有 界 区 域 :如 果 区 域 延 伸 到 无 穷 远 处 ， 则称为无界区域，否则称为有界区域.
邻 域 :把 满 足 不 等 式 (x x0)2 ( y y0)2 ( 0) 的 点 P (x, y ) 的 全 体 称 为 点 P0 ( x0 , y0 ) 的 邻 域 . 它 是 以 点 P0 为 中 心 ， 为 半 径 的 圆 形 开 区 域 ， 称 不 包 含 点 P0 的 邻 域 为 无 心 邻 域 .
数的极限 lim f (x, y) A存在．反过来,如果当 P(x, y) 沿 xx0
y y 0
两条不同路径趋近于点 P0 (x0, y0 )时,函数 f (x, y) 趋近于不 同的值, 则可以断定函数的二重极限不存在．
y
Байду номын сангаас
P0
p o
x
2 . 多元函数的连续性
定义 设二元函数 z f (x, y)在点 P0 (x0 , y0 )的某个 邻域内有定义，若
点M (x, y,z)．所有这样确定的点的集 x
合就是二元函数 z f (x, y)的图形，由 上一章知，通常是一张空间曲面（如 图 11.1-3 所示）．
z zf(x,y) M(x,y,z)
o y
P(x,y) 图11.1-3
11.1.2 二元函数的极限与连续
1. 二 元 函 数 的 极 限
定 义 设 二 元 函 数 z f (x, y) ， 如 果 当 点(x, y) 以 任 何
lim f (x, y) f (x0 , y0 )
(1)
xx0
y y0
则称二元函数 z f (x, y)在点 P0 (x0 , y0 )处连续．若函数
专转本高数知识点 讲义课件 第一讲：极限、洛比塔法则
n 例如, 数列 x n ; 有界 数列 x n 2 n . 无界 n1 数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在闭区间
[ M , M ]上.
2.唯一性
定理2 每个收敛的数列只有一个极限.
问题: 函数 y f ( x ) 在 x 的过程中, 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
1
y x2 1
o
x
分x 0和x 0两种情况分别讨论
x从左侧无限趋近 x0 , 记作x x0 0; x从右侧无限趋近 x0 , 记作x x0 0;
左极限
0, 0, 使当x0 x x 0时,
恒有 f ( x ) A . 记作 lim f ( x ) A 或 f ( x 0 0) A.
A
o
x0
x0
x0
x
显然, 找到一个后, 越小越好.
x 1 2. 例4 证明 lim x 1 x 1
2
证
函数在点x=1处没有定义.
任给 0,
x2 1 f ( x) A 2 x 1 x 1
要使 f ( x ) A ,只要取 ,0
x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x ) A .
lim f ( x ) A且 x lim f ( x ) A. 定理 : lim f ( x) A x x
二、自变量趋向有限值时函数的极限
问题: 函数 y f ( x ) 在 x x0 的过程中 , 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
满足不等式 f ( x ) A ,那末常数 A 就叫函数
专升本高数定积分的应用PPT课件
d
面积 A [( y) ( y)]dy . c
图6.1.3
图6.1.4
例 1. 求 y sin x ， y cos x ， x 0， x π 所围图形的面积.
2
解 作出简图（如图 6.1.5 所示），利用微元法求面积 A
π
π
A
4 0
(cos
x
sin
x)dx
2 π
(sin
x
cos
2
2
2
因此
V
R
A(x)dx
R 1 (R2 x2 ) tandx
R
R 2
1 2
tan
R2
x
1 3
x3
R R
=
2 3
R3
tan
.
注意，此题也可以用过 y轴上的点 y作垂直于 y轴的平面截
立体所得的截面来计算.
6.1.4 用定积分求平面曲线的弧长
设 一 曲 线 yf(x )在 [a ,b ]上 具 有 一 阶 连 续 的 导 数 f'(x )， 我 们 来 计 算 从 x a 到 x b 的 一 段 弧 的 长 s 度 ( 如 图 8 . 1 . 1 0所 示 ) .
A 1
r2 ( )d .
2
图6.1.6
图6.1.7
例 4 求由曲线r 2cos 2 所围图形的面积.
解 作简图(如图 6.1.7 所示)，由于图形的对称性，
只需计算S1，再 8 倍即可,点 A的幅角为0，点 O的幅角为
π ，且 由 0变到 π 时，恰好画出弧 AO.所以
4
4
π
π
S
8S1
仍采用微元法，取 x为积分变 量 ， x [a,b] ， 在 微 小 区 间 [x, x dx]内，用切线段 MT 近似 代替小弧段 MN ,得弧长微元为
面积 A [( y) ( y)]dy . c
图6.1.3
图6.1.4
例 1. 求 y sin x ， y cos x ， x 0， x π 所围图形的面积.
2
解 作出简图（如图 6.1.5 所示），利用微元法求面积 A
π
π
A
4 0
(cos
x
sin
x)dx
2 π
(sin
x
cos
2
2
2
因此
V
R
A(x)dx
R 1 (R2 x2 ) tandx
R
R 2
1 2
tan
R2
x
1 3
x3
R R
=
2 3
R3
tan
.
注意，此题也可以用过 y轴上的点 y作垂直于 y轴的平面截
立体所得的截面来计算.
6.1.4 用定积分求平面曲线的弧长
设 一 曲 线 yf(x )在 [a ,b ]上 具 有 一 阶 连 续 的 导 数 f'(x )， 我 们 来 计 算 从 x a 到 x b 的 一 段 弧 的 长 s 度 ( 如 图 8 . 1 . 1 0所 示 ) .
A 1
r2 ( )d .
2
图6.1.6
图6.1.7
例 4 求由曲线r 2cos 2 所围图形的面积.
解 作简图(如图 6.1.7 所示)，由于图形的对称性，
只需计算S1，再 8 倍即可,点 A的幅角为0，点 O的幅角为
π ，且 由 0变到 π 时，恰好画出弧 AO.所以
4
4
π
π
S
8S1
仍采用微元法，取 x为积分变 量 ， x [a,b] ， 在 微 小 区 间 [x, x dx]内，用切线段 MT 近似 代替小弧段 MN ,得弧长微元为
专升本(高数—)第五章多元函数微积分学PPT课件
第七节 二重积分的应用
*
2
考试点津：
• 本讲出题在18分—26分之间，本讲内容是 一元函数微分内容的延伸，一般在选择题、 填空题、解答题中出现。
• 本讲重点：
（1）二元函数的偏导数和全微分。
（2）二元函数的有关极值问题及应用。 （3）会计算二重积分
• 建议重点复习前几年考过的试题，把握考 试重心和知识点，重在模仿解题。
成人高考高数一辅导
•
College of Agriculture & Biological Engineering
*
1
第五章 多元函数微积分学 (11年考了22分）
第一节 多元函数、极限和连续 第二节 偏导数与全微分 第三节 二元函数的极值 第四节 二重积分的概念和性质 第五节 直角坐标系下二重积分的计算 第六节 极坐标系下二重积分的计算
可 以 证 明 ，一 元 函 数 关 于 极 限 的 运 算 法 则 仍 适 用 于 多 元 函 数 ，即 多 元 连 续 函 数 的 和 、差 、积 为 连 续 函 数 ，在 分 母 不 为 零 处 ，连 续 函 数 的 商 也 是 连 续 函 数 ，多 元 函 数 的 复 合 函 数 也 是 连 续 函 数 .由 此 还 可 得 出 如 下 结 论 ： 一 切 多 元 初等函数在其定义区域内是连续的.
（4）最大值和最小值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大 值和最小值各一次．
（5）介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的
函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．分
（一） 偏导数
1. 偏导数的定义
定义 设函数 z f (x, y)在点(x0, y0 )的某一邻域内有 定义，当 y固定在 y0，而 x在 x0处有增量x时，相应地函 数有增量 f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )，如果极限
专升本高数多元函数微分ppt
z f (x, y) 在区域 D 上每一点都连续，则称函数 f (x, y) 在
区域 D 上连续.
若令 x x0 x ， y y0 y ，则上述定义中的（ 1）式 可写成
lim [ f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 )] 0 x0 y0
d f ( x, y0 ) x x0 即 dx
f x ( x0 ,y0 ) ,就是这条曲线 Cx 在点 M0 处的切线 M 0 Tx 对 x 轴的
斜率（如图 11.2-1），即
f x ( x0 , y0 ) tan ．
f 同理， y ( x0 ,y0 ) 是曲面 z f (x, y) 与平面 x x0 的交线 C y
2011年
2010年
x z 25．设函数 z ln(x y ) ，则 y y
A．
x y( x y)
B．
xln( x y ) y2
ln( x y) x C． y y( x y)
xln( x y ) x D． 2 y y( x y)
x 37．函数 z (1 y) 在点 (1, 1) 处的全微分 dz ________．
z f , , z y , f y ( x, y ) . y y
显然，偏导数的概念可推广到三元和三元以上的函数．
求多元函数的偏导数的方法:因为这里只有一个自变量在 变化，可以把其它自变量被看成是固定的常数，所以仍然是 一元函数的导数．
例
z z x 求 z xy 的偏导数 ， . x y y
即பைடு நூலகம்
lim z 0 . x0 y0
这里 z 为函数 f (x, y) 点 ( x0 , y0 ) 处的全增量，即 z f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 ) .
区域 D 上连续.
若令 x x0 x ， y y0 y ，则上述定义中的（ 1）式 可写成
lim [ f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 )] 0 x0 y0
d f ( x, y0 ) x x0 即 dx
f x ( x0 ,y0 ) ,就是这条曲线 Cx 在点 M0 处的切线 M 0 Tx 对 x 轴的
斜率（如图 11.2-1），即
f x ( x0 , y0 ) tan ．
f 同理， y ( x0 ,y0 ) 是曲面 z f (x, y) 与平面 x x0 的交线 C y
2011年
2010年
x z 25．设函数 z ln(x y ) ，则 y y
A．
x y( x y)
B．
xln( x y ) y2
ln( x y) x C． y y( x y)
xln( x y ) x D． 2 y y( x y)
x 37．函数 z (1 y) 在点 (1, 1) 处的全微分 dz ________．
z f , , z y , f y ( x, y ) . y y
显然，偏导数的概念可推广到三元和三元以上的函数．
求多元函数的偏导数的方法:因为这里只有一个自变量在 变化，可以把其它自变量被看成是固定的常数，所以仍然是 一元函数的导数．
例
z z x 求 z xy 的偏导数 ， . x y y
即பைடு நூலகம்
lim z 0 . x0 y0
这里 z 为函数 f (x, y) 点 ( x0 , y0 ) 处的全增量，即 z f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 ) .
专升本高等数学课件 第一章
称为由①, ②确定的复合函数, u 称为中间变量.
[说明] 通常 f 称为外层函数，g 称为内层函数.
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成.
例如 y cot x , y u, u cot v, v x .
例如,
2x 1,
f
(
x)
x2
1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
• 隐函数：函数 y 与自变量 x 的对应法则用一个方程 F(x, y) 0
表示的函数，如x2 y2 1 0 .
二、函数的性质
1．函数的单调性
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2 , 当x1 x2时, (1) 若恒有 f ( x1 ) f ( x2 ),
o
例如，x2 y2 a2．
(x, y)
x
x
D
定义: 点集C {( x, y) y f ( x), x D} 称为
函数y f ( x)的图形.
3、函数的表示法
解析法：用解析表达式表示函数关系
表格法：用列表的方法来表示函数关系
图示法：用平面直角坐标系上的曲线来 表示函数关系
几个特殊的函数举例
反余弦函数 y arccos x
y arccos x
反正切函数 y arctan x
y arctan x
反余切函数 y arccot x
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
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A,
收敛数列，发散数列
A lim f (x) A lim f (x)
x
x
A lim f (x) A lim f (x)
xa
xa
唯一性：limf (x) A, limf (x) B A B
性质保号性：flim( xf)
(x) A 0 f (x) 0 0且limf (x) limf
2.函数的简单性质 （1）函数的奇偶性
偶 偶 偶，偶 偶 偶，偶 偶 偶 奇偶性奇奇函偶数关奇于，原奇点对偶称 奇，偶函数关于y轴对称
（2）函数的有界性 上界、下界
（3）函数的周期性
可导奇函数的导函数是偶函数 可导偶函数的导函数是奇函数 奇函数的原函数是偶函数 偶函数的原函数不一定是奇函数
可导周期函数的导数是周期函数
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
二、极限 4.极限存在准则
单调有界数列必有极限 两面夹定理
5.两个重要极限
6.无穷小与无穷大：定义、关系、性质、无穷小的比较
极限与无穷小关系、等价无穷小替换定理（整式替换、 常见等价无穷小代换）
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
三、连续 1.定义：两个定义、左右连续、连续充要条件 2.运算性质：四则运算
(
x)
0
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
二、极限 3.四则运算
注意：(1）有限次运算 （2） 若limf (x) A, limg (x)不存在,
则lim[f (x) g(x)]不存在
又若A 0,则lim[f (x)g(x)]不存在， lim[g (x) / f (x)]不存在
若limf (x),limg(x)都不存在, 则lim[f (x) g(x)]，lim[f (x)g(x)], lim[f (x) / g(x)]不确定
定义域 自变量 因变量（函数） 函数值 值域
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
一、函数 1.概念 （2）函数三要素
定义域 对应法则 值域 （3）函数的表示方法
图像法 表格法
分段函数 公式法用参数方程确定的函数
隐函数（显函数）
第一章 函数、极限与连续
知识梳理
定义域D关于原点对称
一、函数
奇 奇 奇，奇 奇 奇，奇 奇 奇
高等数学辅导讲义（专升本）
• 第一章 函数、极限与连续 15%
• 第二章 一元函数的微分学 20%
• 第三章 一元函数的积分学 20%
• 第四章 多元函数微积分 15%
• 第五章 常微分方程
15%
• 第六章 无穷级数
10%
• 第七章 向量代数与空间解析几何5%
第一章 函数、极限与连续
（重点）
第一章 函数、极限与连续
• 知识结构
概念
初等函数
函数
性质
复合函数
反函数
第一章 函数、极限与连续
• 知识结构
概念
无穷小 无穷大
性质
极限
重要极限
四则运算
存在准则
第一章 函数、极限与连续
• 知识结构
概念
闭区间 连续函数
性质
连续性
运算性质
间断点 及分类
第一章 函数、极限与连续 பைடு நூலகம்识梳理
一、函数 1.概念 （1）定义：y f (x), x D
复合函数的连续性 3.间断点及其分类：第一类：可去、跳跃
第二类 4.闭区间上连续函数的性质：最值性
介值性 零点定理
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
六种基本初等函数 • 常数函数：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性 • 幂函数： • 指数函数： • 对数函数： • 三角函数：六个（正割函数、余割函数） • 反三角函数：四个
积化和差公式、和差化积公式
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
二、极限
21.极.极限限的的性概质概念念函数数列极极限限：：nlillxxmiimmaxffn((xx))
周期函数的原函数不一定是周期函数
（4）函数的单调性
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
一、函数 3.反函数 定义域 值域 互换
y f (x), x D 与 y f 1(x), x M 关于 y x 对称
4.复合函数 外函数、内函数、中间变量 外函数的定义域与内函数的值域交集非空
5. 初等函数 六种基本初等函数：