高数下册总复习PPT课件
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《高数总复习》PPT课件
2021/4/24
3
期末答疑安排：
十八周周一-周五(6月23日-6月27日) 时间：9：00-11：00，3：00-5：00 地点：新一教B座2楼教员休息室
2021/4/24
4
第七章、空间解析几何与向量代数
(一)向量代数
向量的 线性运算
向量概念
向量的积
向量的 表示法
数量积
2021/4/24
向量积
特征方程法
特征方程的根 及其对应项
f (x)的形式及其 特解形式
2021/4/24
12
1.二次曲面的特点(如旋转曲面方程的特点).
球面,椭球面 椭圆抛物面 双曲抛物面(马鞍面) 单叶双曲面 双叶双曲面 椭圆锥面 利用二次曲线得到旋转曲面或柱面
yoz坐标面上的曲线 f ( y, z) 0绕z轴旋转一周的 旋转曲面方程为 f ( x2 y2 , z) 0,
高斯公式
P
(
x
Q y
R )dv z
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
一定是封闭曲面才能用高斯公式
例 模拟题(一)三题4,模拟题(一)四题2,
2021/4/24
24
9.无穷级数的敛散性,绝对收敛,条件收敛.
正项级数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛;
审 2. 当 n , un 0, 则级数发散;
在微积分的微分法的几何应用中取到二次曲面 在重积分,曲线曲面积分中取到二次曲面
2021/4/24
13
2.多元函数,偏导数和全微分,方向导数存在性 及其之间的关系,计算方法.
ห้องสมุดไป่ตู้
函数连续
函数可导
函数可微
高数下课件复习课
其中 Σ 为柱面 x2 + y2= 4 及平面 z= 1，z= 2
所围成立体的表面，取内侧.
−16π
1. 设 Σ：x2 + y2 + z2= a2 (z ≥ 0)，Σ1 为 Σ 在第一 卦限的部分，则有 ( C )
(A) ∫∫ xdS Σ
(C) ∫∫ zdS Σ
4= ∫∫ xdS； (B) ∫∫ ydS 4∫∫ xdS；
3 3
2. 设 f ( x, y, z) = 3 + x2 + y2 + z2，则
gradf (1,−1,2) = .
(1,− 1,2) 3 33
3. 函数 u = ( x − y)2 + (z − x)2 − 2( y − z)2 在点 M (1,2,2) 处方向导数的最大值为. 2 6
x2 + y2 + z2 − 3 x = 0
空间曲面的切平面与法线 (隐式、显式). 7. 多元函数的极值、最值和条件极值 (注意区分).
12
2
1
1. 设 f ( x, y) =( x + y)[( x − 1)3 y 3 + x 3 ( y − 1)3 ]，
则在 (0,1) 处两个偏导数 fx (0,1), f y (0,1) 的情况为 ( D )
Σ1
Σ
Σ1
4= ∫∫ xdS； (D) ∫∫ xyzdS 4∫∫ xyzdS.
Σ1
Σ
Σ1
2. 设 A (= xy, yz, zx)，则 grad(divA) . (1,1,1)
正项级数 1. 常数项级数 任意项级数 2. 幂级数的收敛半径、收敛区间、阿贝尔定理. 3. 幂级数的和函数. 4. 将函数展开成幂级数. 5. 将函数展开成傅里叶级数.
所围成立体的表面，取内侧.
−16π
1. 设 Σ：x2 + y2 + z2= a2 (z ≥ 0)，Σ1 为 Σ 在第一 卦限的部分，则有 ( C )
(A) ∫∫ xdS Σ
(C) ∫∫ zdS Σ
4= ∫∫ xdS； (B) ∫∫ ydS 4∫∫ xdS；
3 3
2. 设 f ( x, y, z) = 3 + x2 + y2 + z2，则
gradf (1,−1,2) = .
(1,− 1,2) 3 33
3. 函数 u = ( x − y)2 + (z − x)2 − 2( y − z)2 在点 M (1,2,2) 处方向导数的最大值为. 2 6
x2 + y2 + z2 − 3 x = 0
空间曲面的切平面与法线 (隐式、显式). 7. 多元函数的极值、最值和条件极值 (注意区分).
12
2
1
1. 设 f ( x, y) =( x + y)[( x − 1)3 y 3 + x 3 ( y − 1)3 ]，
则在 (0,1) 处两个偏导数 fx (0,1), f y (0,1) 的情况为 ( D )
Σ1
Σ
Σ1
4= ∫∫ xdS； (D) ∫∫ xyzdS 4∫∫ xyzdS.
Σ1
Σ
Σ1
2. 设 A (= xy, yz, zx)，则 grad(divA) . (1,1,1)
正项级数 1. 常数项级数 任意项级数 2. 幂级数的收敛半径、收敛区间、阿贝尔定理. 3. 幂级数的和函数. 4. 将函数展开成幂级数. 5. 将函数展开成傅里叶级数.
《高数课总复习下册》课件
2
例题二
解析：使用方法与策略对复杂的多项式函数和向量的题目进行解析，培养学生的 分析问题和解题能力。
3
例题三
解析：通过计算曲线积分和曲面积分的题目，加深对它们的理解，提高应用技能。
解题技巧和策略
• 理清思路，先抓住问题的关键点。 • 多思考特殊情况和边界条件。 • 熟练掌握公式和计算方法。 • 通过多做习题提高解题速度和准确性。 • 培养逻辑思维和数学建模能力。 • 积极讨论和合作，共同解决问题。
第四章：无穷级数
研讨数列极限、函数连续性和可积性；学习无穷 级数的收敛性和求和方法。
重要知识点回顾
一元函数微分 学
多元函数微分 学
重积分与曲线 积分
1. 极限与连续 2. 导数与微分 3. 函数的极值与最值 4. 高阶导数与泰
勒公式
1. 偏导数与全微分 2. 多元函数的极
值与条件极值 3. 隐函数与参数方程 4. 方向导数和梯度
《高数课总复习下册》 PPT课件
本PPT课件旨在对《高数课总复习下册》进行全面复习，提供课程目标、大 纲、重要知识点回顾、典型例题解析、解题技巧与策略、应试技巧与注意事 项，以及总结和复习策略。
课程目标
1 深入理解知识点
帮助学生全面理解下册的重要数学知识点，掌握核心概念。
2 提高解题能力
培养学生的解题思维和分析问题的能力，增强解决实际问题的能力。
1. 重积分的概念 和性质
2. 累次积分的计 算方法
3. 曲线积分的概 念和计算方法
4. 曲面积分的概 念和计算方法
无穷级数
1. 数列的极限和 收敛性
2. 函数的连续性 和可积性
3. 幂级数和傅里 叶级数
4. 泰勒级数和麦 克劳林级数
考研高数总复习函数的极限(讲义)PPT课件
无穷小是函数极限的必要条件，即如果函数在某点的极限存在，那么函数在该点的值必定是无穷小。
无穷小与函数极限的关系是相互依存的，无穷小是函数极限的一种表现形式，而函数极限又是无穷小的 一种表现形式。
无穷小在求极限中的应用
利用无穷小的性质，可以将复杂的函数极限转化为简单的无穷小量，从而 简化计算过程。
在求函数极限时，可以利用等价无穷小替换，将复杂的函数表达式替换为 简单的无穷小量，从而得到更易处理的极限表达式。
利用极限的四则运算法则，消去零因子，化 简函数形式，再求极限。
利用两个重要极限求解
利用重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$求解：当函数 形式为$frac{sin x}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
利用重要极限$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$求解：当函数 形式为$frac{1}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
考研高数总复习函数的极限(讲义 )ppt课件
contents
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的求解方法 • 函数极限的应用 • 函数极限的深入理解 • 总结与展望
01 函数极限的基本概念
函数极限的定义
1 2
函数极限的定义
当自变量趋近某一特定值时，函数值的变化趋势。
函数极限的表示方法
lim f(x) = A，表示当x趋近于某个值时，f(x)趋 近于A。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在物理学中，函数极限被用来描述物体运动的速度、加速度等概念；在 工程中，函数极限被用来描述信号的变化趋势；在经济中，函数极限被
用来描述市场的变化趋势。
通过对函数极限的学习，我们可以更好地理解和应用这些概念，为未来 的学习和工作打下坚实的基础。
无穷小与函数极限的关系是相互依存的，无穷小是函数极限的一种表现形式，而函数极限又是无穷小的 一种表现形式。
无穷小在求极限中的应用
利用无穷小的性质，可以将复杂的函数极限转化为简单的无穷小量，从而 简化计算过程。
在求函数极限时，可以利用等价无穷小替换，将复杂的函数表达式替换为 简单的无穷小量，从而得到更易处理的极限表达式。
利用极限的四则运算法则，消去零因子，化 简函数形式，再求极限。
利用两个重要极限求解
利用重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$求解：当函数 形式为$frac{sin x}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
利用重要极限$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$求解：当函数 形式为$frac{1}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
考研高数总复习函数的极限(讲义 )ppt课件
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目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的求解方法 • 函数极限的应用 • 函数极限的深入理解 • 总结与展望
01 函数极限的基本概念
函数极限的定义
1 2
函数极限的定义
当自变量趋近某一特定值时，函数值的变化趋势。
函数极限的表示方法
lim f(x) = A，表示当x趋近于某个值时，f(x)趋 近于A。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在物理学中，函数极限被用来描述物体运动的速度、加速度等概念；在 工程中，函数极限被用来描述信号的变化趋势；在经济中，函数极限被
用来描述市场的变化趋势。
通过对函数极限的学习，我们可以更好地理解和应用这些概念，为未来 的学习和工作打下坚实的基础。
《高等数学下》课件
教学目标
1 掌握高等数学下各个重要知识点的概念和性质。 2 培养解决实际问题的数学建模和分析能力。 3 提高逻辑思维和分析问题的能力。
课程安排和考核
1
课程安排
每周3学时
2
考核方式
闭卷考试：60%；实践项目：40%
3
考核内容
课堂作业、实验报告、小组项目等
学习策略
理论与实践相结合
通过理论学习和实际应用相结合的方式，提高学生对数学知识的理解和运用能力。
积极参与课堂讨论
鼓励学生积极参与课堂讨论，提问和解答问题，加深对数学概念和问题的理解。
多样化的学习资源
为学生提供多样化的学习资源，如教材、习题集、在线教学平台等，帮助学生更好地掌握课 程内容。
课程资源
教材与参考书
《高等数学下》教材、相关参考 书籍
在线学习平台
学校提供的在线学习平台，包括 课程资料、习题库、讨论区等。
主要包括多元函数微分学、重积分与曲线积分、无 穷级数等内容，是进一步学习与应用高等数学的关 键。
高等数学下的主要内容
多元函数微分学
学习多元函数的概念、极限、连续性、偏导数等重要概念和性质。
重积分与曲线积分
掌握重积分和曲线积分的基本定义和计算方法，理解曲线积分在工程、物理等领域的应用。
无穷级数
深入了解级数的概念、收敛性、敛散判别法等基本概念，学习级数计算和应用技巧。
《高等数学下》PPT课件
本课件是关于《高等数学下》课程的完整介绍和内容概要。通过本课件，您 将了解到该课程的教学目标、课程安排和考核、学习策略以及课程资源等重 要信息。
课程介绍
课程背景
《高等数学下》是继《高等数学上》之后的一门高 等数学课程，是深化和扩展大学生的数学基础能力 的重要课程之一。
高数下期末复习课件(兴湘下)
VS
在定积分的应用中，需要注意定积分 的几何意义和物理意义，以及定积分 与不定积分之间的关系。同时，需要 掌握各种定积分的计算技巧和方法， 例如换元法、分部积分法等。
常微分方程的求解方法
常微分方程是微分方程中的一类重要方程，其应用包括解决各种实际问题中的动态问题、控制系统等。常微分方程的求解需 要掌握各种求解方法和技巧。
01
02
03
解下列一阶微分方程
04
答案：y = e^(-x) + C*e^x (其中C是积分常 数)
向量代数与空间解析几何复习题及答案
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最终呈现发布的良好效果单击此 处添加正文单击此处添加正文，一二三四五六七八九十一二三四的的委一二三四 五六七八九十一二三四五六七八九十一二三四五六七八九十一二三四五六七八九 十添加正文单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最终呈现发布的良好 效果单击此处添加正文单击此处添加正文，文字是您思想的提炼单击此处添加正 文，文字是您思想的提炼，为了最终呈现发布的良好效果单击此处添加正文单击 此处添加正文，文字是您思想的提炼，单击此处添加正文，文字是您思想的提炼 ，为了最终呈现发布的良好效果单击此处添加正文单击此处添加正文，文字提炼 ，为了最终呈现发布的良好效果单击此处添加正文单击此处添加正文，文字提炼 ，为了最终呈现发布的良好效果单击此处添加正文单击此处添加正文，文字是您 思想的提炼，11*37
极限与连续复习题及答案
01
答案：0
02
判断下列函数的连续性
03
1. f(x) = x^2 (x < 0); f(x) = x (x >= 0)
04
答案：在x=0处不连续
导数与微分复习题及答案
高数下册总复习知识点.pptx
F ( x, G( x,
y, z) y, z)
0 ,
0
(取 x为参数)
i jk
取T Fx Fy Fz
切线方程为
Gx Gy Gz M
x x0 y y0 z z0 ,
Fy Fz
Fz Fx
Fx Fy
Gy Gz M Gz Gx M Gx Gy M
法平面方程为
Fy Gy
Fz Gz
M
(x
x0 )
它们距离为
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
2、数量积 (点积、内积)
a
b
|
a
||
b
|
cos
其中
为a
与b
的夹角
数量积的坐标表达式 a b axbx a yby azbz
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
ab
axbx a yby azbz
ax2
函数连续
函数可导
有极限
函数可微 偏导数连续
4、多元复合函数求导法则
中间变量均为一元函数的情形
定理1 若函数
在点t处可导，z f (u, v)
在点 处偏导连续, 则复合函数 z f ( (t), (t))
在点 t 可导, 且有链式法则
dz z du z dv dt u dt v dt
z
u v
1
旋 转 椭 球 面
z
o
y
x
（1）球面 （2）圆锥面 （3）旋转双曲面
x2 y2 z2 1
x2 y2 z2
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
x2 a2
y2 a2
z2 c2
《高数期末复习》PPT课件
2、 掌握任意项级数的绝对收敛、条件收敛的判别方法， 掌握交错级数的莱布尼兹判别法。
3、掌握幂级数的收敛半径(bànjìng)、收敛域及和函数的求 法 ，理解Abel定理
第十四页，共三十七页。
4、熟 悉 1 、e x、sin x、cos x的 麦克劳林展开式， 1 x
会利用(lìyòng)间接展开法将一些函数展开成幂级数，并写出 收敛域。
则divA 2x 2 y 2z, rot A 0
第十页，共三十七页。
例2 计算曲面(qūmiàn)积分 ( z 2 x 4 y)dS
其 中为 平 面 x
y
z
3
1在 第 一 卦 限 部 分
2 34
解：Σ的方程
为 (fāngchéng)
z 4(1 x y ) 23
D: x y 1 23
解
1 1 ,而 1 发散,
n ln n n n1 n
(1)n
1 发散,
n1 n ln n n1 n ln n
即原级数(jíshù)非绝对收敛．
(1)n 是交错级数, 由莱布尼茨定理(dìnglǐ)：
n1 n ln n
lim ln n n n 1
ln x lim x x
1 lim x x
补充 1 : z 1 ( x 2 y2 1)
取上侧，
1
原式 x2dydz y2dzdx z2dxdy
1
1
2 ( x y z)dv dxdy 2 zdv
Dxy
2
2
d
1
rdr
1
zdz
2
1
0
0
r2
3
3
第十三页，共三十七页。
无穷(wúqióng)级数（30%左右） 1、 掌握正项级数敛散性的比值(bǐzhí)、根值、比较判别法。
3、掌握幂级数的收敛半径(bànjìng)、收敛域及和函数的求 法 ，理解Abel定理
第十四页，共三十七页。
4、熟 悉 1 、e x、sin x、cos x的 麦克劳林展开式， 1 x
会利用(lìyòng)间接展开法将一些函数展开成幂级数，并写出 收敛域。
则divA 2x 2 y 2z, rot A 0
第十页，共三十七页。
例2 计算曲面(qūmiàn)积分 ( z 2 x 4 y)dS
其 中为 平 面 x
y
z
3
1在 第 一 卦 限 部 分
2 34
解：Σ的方程
为 (fāngchéng)
z 4(1 x y ) 23
D: x y 1 23
解
1 1 ,而 1 发散,
n ln n n n1 n
(1)n
1 发散,
n1 n ln n n1 n ln n
即原级数(jíshù)非绝对收敛．
(1)n 是交错级数, 由莱布尼茨定理(dìnglǐ)：
n1 n ln n
lim ln n n n 1
ln x lim x x
1 lim x x
补充 1 : z 1 ( x 2 y2 1)
取上侧，
1
原式 x2dydz y2dzdx z2dxdy
1
1
2 ( x y z)dv dxdy 2 zdv
Dxy
2
2
d
1
rdr
1
zdz
2
1
0
0
r2
3
3
第十三页，共三十七页。
无穷(wúqióng)级数（30%左右） 1、 掌握正项级数敛散性的比值(bǐzhí)、根值、比较判别法。
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（2）设曲面方程为 z f ( x, y), 第一步：取 F ( x, y, z) z f ( x, y) 第二步：计算曲面的法向量
n ( f x ( x0, y0 ), f y ( x0, y0, ), 1) 第三步：利用点法式和对称式分别写出切平面和法 线的方程
f x ( x0, y0 )( x x0 ) f y ( x0, y0 )( y y0 ) (z z0 ) 0
解：两边取全微分 e x yd( xy) 2dz ezdz 0,
整理并解得
dz
ye xy ez 2
dx
x ez
dy, 2
z x
ye xy ez 2
,
2z xy
y
(
ye xy ez 2
)
(
ye
xy
)&#(ez 2)2
xy
(e z
2)'y
(e xy xye xy ) (ez 2) ye xy ez z
（一）向量的数量积计算、直线与平面的对应向量之 间的关系,空间曲面上某点法线方程的确定
（1）
a
b
|
a||
b|
cos
| b |
Pr
jba
|
a|
Pr
ja b .
a
b
axbx
a yby
a z bz
cos
axbx a yby azbz
ax2
a
2 y
az2
bx 2 by2 bz 2
i jk
' u
(u)
]
2x [ y
f
' u
(u)
]
x
u
u x2 y2
y
11
例4：设
z
(x2
y
2
)e
arctan
y x
,
求
dz.
答案：
arctan y
dz e
x [(2x y)dx (2 y x)dy]
12
例5：设 z z( x, y) 是由方程 e x y 2z e z 0 所确定的二元函数，求 dz, 2z . xy
要点：I、方向导数与梯度的计算 II ：二元抽象函数的二阶偏导数的计算；
III ：隐函数的偏导数的计算；
IV ：多元函数极值（条件极值和无条件极值）；
例1：设 z 1 f ( xy) y ( x y) , 求 2z .
x
xy
答案： 2z y f ( xy) ( x y) y( x y)
,
2z xy
y
(
ye xy ez 2
)
(e xy
xye xy
) (e z (ez
2) 2)2
ye xy
ez
z y
e
xy[(1
e xy (e z
)(ez 2)3
第三步：分别写出切平面和法线的方程
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 ) 3
k 2
28 i 14 j 7k 7(4 i 2 j k )
2 1 10 n (4, 2, 1), n// s , L ,
7
例3：设直线 x 1 y 2 (z 1)与平面 3x 6 y 3z 25 0
m2
垂直，求m与
8
（二）隐函数存在定理的应用、方向导数与梯度的计算、 复合函数高阶偏导函数的计算、多元函数极值（含条件 极值和无条件极值）；
的方向 AB 上的方向导数
例3：设z f ( x 2 y 2) , 求
2z x y
10
例3：设 z f ( x 2 y 2) , 求 2 z
x y
解：
x
z
u
u x2 y2
y
z d f u x du x
f
' u
(
u)
u x
2x
f
' u
(u)
2z x y
f
' u
(
u)
y
[
2
x
f
sin
| Am Bn Cp |
,
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
0 ,
22
（3）曲面在某点处的法线方程的确定
要点：I：曲面在某点处的法线方程的确定
（1）设曲面方程为 F ( x, y, z) 0
第一步：计算 Fx , Fy , Fz , 第二步：计算曲面的法向量 n (Fx ( x0, y0, z0 ),Fy ( x0, y0, z0 ),Fz ( x0, y0, z0 ))
a
b
ax
ay
az
bx by bz
1
（一）向量的数量积计算、直线与平面的对应向量之 间的关系,空间曲面上某点法线方程的确定
: Ax By Cz D 0,
（2）设 L : x x0 y y0 z z0
m
n
p
则 L // s n Am Bn Cp 0
L在 上 Am Bn Cp 0, ( x0, y0, z0 ) L s// n A B C mn p
xy
9
例1：设
z 1 f ( xy) y( x y) , 求
x
2z . xy
例:(1)函数 u 2 xy 2 z3 xyz在点 P0 (0, 1, 2)处沿哪个方向
的方向导数最大？并求方向导数的最大值.
(2)求函数 u xyz 在点 A(5, 1, 2) 处沿到点 B(9, 4, 14)
y
(ez 2)2
13
例6：设 z z( x, y) 是由方程 e x y 2z e z 0 所确定的二元函数，求 dz, 2z . xy
解：两边取全微分 e x yd( xy) 2dz ezdz 0,
整理并解得
dz
ye xy ez 2
dx
x ez
dy, 2
z x
ye xy ez 2
所求直线的方程
x3 y2 z5.
4
3
1
6
例2：设直线 L 和平面 的方程分别为
x 3y 2z 1 0
L:
2 x
y 10z
3
, 0
则必有（ C ）
: 4x 2 y z 2 0,
( A) L //, (B) L在在上, (C ) L ,
(D) L与斜交.
解：s
i 1
j 3
x x0 y y0 z z0 f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 1
4
3、典型例题
5
例 1： 求过点(3, 2,5)且与两平面 x 4z 3 和2 x y 5z 1的交线平行的直线方程.
解 设所求直线的方向向量为 s {m, n, p},
根据题意知 s n1 , s n2 , 取 s n1 n2 {4,3,1},