最速下降法.
最优化方法第二章_线搜索算法_最速下降法
f x1 , x2 c, c>0,
2
改写为：
x12 2c 1
2 x2
2c 2
2
1
二、最速下降法
x2
这是以
2c
1
和
2c
2
为半轴的椭圆
2c
2c
2
2
从下面的分析可见 两个特征值的相对
x1
大小决定最速下降法的收敛性。
（1）当 1 2 时，等值线变为圆
2 2
4 f x , 2
2 x1 2 x2 4 f ( x) , 2 x1 +4x2
4 d = f x , 2
0 0
=40 2 20 3 令 0= ' ( ) 80 20, 得 0 =1/4,
一
一维搜索
二 三 四
下 降 算 法
五
最速下降法 Newton法 共轭梯度法
多尺度法 （拟Newton法）
二、最速下降法 假设 f 连续可微，取 线搜索方向
k
d f ( x )
k
步长k 由精确一维搜索得到。 从而得到第 k+1次迭代点，即
f ( x k k d k ) min f ( x k d k )
(推论)在收敛定理的假设下，若f (x)为凸函数，则最速下降 法或在有限迭代步后达到最小点；或得到点列 x k ，它的任 何聚点都是 f (x)的全局最小点。
二、最速下降法
最速下降法特征：相邻两次迭代的方向互相垂直。
令
( ) f ( x d ), 利用精确一维搜索，可得
最速下降法
最速下降法姓名：沈东东 班级：研1404 学号：1415033005一、最速下降法的原理目标函数:(1)n f R R n →>在决策变量的当前点()k n x R ∈处的一阶Taylor 展开式为()()()()()()()k k k T f x f x g x δδοδ+=++式中，()()k n g x R ∈为f 在点()k x 处的梯度向量。
当扰动量n R δ∈充分小时，有()()()()()()k k k T f x f x g x δδ+≈+设新的迭代点为(1)()k k x x δ+=+，于是得到(1)()()()()()k k k T f x f x g x δ+-≈为了使(1)k x +处的目标函数值比()k x 处有所下降，需要满足()()0k T g x δ<此外，梯度向量()()k g x 和扰动量δ的内积可以表示为()()()()cos k T k g x g x δδθ=式中，θ为两向量之间的夹角。
若要使目标函数值的下降量尽可能大，可知δ的方向应该为梯度方向的负方向，即cos 1θ=-。
函数f 在点()k x 处的负梯度方向称为该点的最速下降方向。
在每次迭代时都取最速下降方向作为搜索方向的方法就称为最速下降法。
二、最速下降法的特点1.若()k x 不是极小点，则f 在点()k x 处的最速下降方向总是下降方向。
2.如果每次迭代时都用精确搜索方法得到最佳步长作为搜索步长，则寻优过程中相邻的最速下降方向是正交的。
3最速下降法产生的迭代点序列在一定条件下是线性收敛的，其收敛性质与极小点*x 处的Hesse 矩阵有关。
三、最速下降法的计算步骤最速下降法的计算步骤如下：步骤1：已知待求问题的目标函数()f x ，选择初始点(0)x ，并设定精度要求tol ，令:0k =。
步骤2：计算()f x 在点()k x 处的梯度向量()()k g x ，得到最速下降方向()()()k k d g x =-。
最速下降法解题步骤
最速下降法（Steepest Descent Method）是一种数值优化算法，用于求解无约束优化问题的最小值。
下面是最速下降法的一般解题步骤：
1.定义目标函数：首先，需要明确要优化的目标函数。
这个函数通常表示为f(x)，其中
x 是优化变量。
2.初始化起始点：选择一个合适的起始点x0，作为最速下降法的初始点。
3.计算梯度：计算目标函数在当前点的梯度，即∇f(x)。
这可以通过对目标函数进行偏
导数计算得到。
4.确定搜索方向：将梯度反向取负作为搜索方向d，即d = -∇f(x)。
5.确定步长：确定沿着搜索方向移动的步长，也称为学习率或步长因子。
常见的选择
方法有固定步长、线性搜索和精确线搜索等。
6.更新当前点：根据步长和搜索方向，更新当前点x，即x = x + αd，其中α 表示步
长。
7.判断终止条件：判断是否满足终止条件，可以是达到预定的迭代次数、目标函数值
变化很小或梯度变化很小等。
8.若不满足终止条件，则返回第3步，重新计算梯度，并重复3-7步骤，直到满足终
止条件。
最速下降法的关键在于选择合适的步长和搜索方向。
步长过大可能导致无法收敛，步长过小可能导致收敛速度慢。
搜索方向的选择应该保证在当前点能够使目标函数值下降最快。
需要注意的是，最速下降法可能会陷入局部最小值，而无法达到全局最小值。
为了克服这个问题，可以考虑使用其他优化算法，如共轭梯度法、牛顿法等。
最速下降法求范围内极值 matlab
最速下降法是一种常用的优化算法，可以用于求解多元函数的极小值。
在Matlab中，我们可以通过编写程序来实现最速下降法求取函数在给定范围内的极小值。
本文将围绕最速下降法在Matlab中的实现展开讨论，包括算法原理、程序编写、实例演示等内容。
一、最速下降法的原理及步骤最速下降法是一种基于梯度下降的优化算法，其原理是通过沿着函数梯度的负方向不断迭代，来逼近函数的极小值点。
其基本步骤如下：1. 初始化：选择初始点x0，设定迭代终止条件。
2. 梯度计算：计算当前点的梯度值∇f(xk)。
3. 方向选择：选择负梯度方向p_k=-∇f(xk)。
4. 步长确定：求解使得f(xk+α_pk)最小化的步长αk。
5. 迭代更新：更新迭代点xk+1=xk+αkp_k，并检查迭代终止条件。
二、最速下降法在Matlab中的实现在Matlab中，我们可以通过编写程序来实现最速下降法。
以下是一个简单的最速下降法求解函数极小值的Matlab程序示例：```matlabfunction [x, fval, exitflag, output] = steepestdescent(fun, x0, options)fun为目标函数句柄，x0为初始点，options为优化选项[x, fval, exitflag, output] = fminunc(fun, x0, options);end```以上代码中，我们使用了Matlab内置的优化函数fminunc来实现最速下降法。
其中fun为目标函数句柄，x0为初始点，options为优化选项，x为最优解，fval为最优值，exitflag为退出标志，output为优化输出。
三、实例演示下面我们以一个简单的二元函数为例，演示最速下降法在Matlab中的实现过程。
假设我们要求解的目标函数为f(x, y) = x^2 + y^2，且x, y∈[0, 2]。
我们可以通过编写如下Matlab程序来实现最速下降法的求解：```matlabfun = (x) x^2 + y^2; 定义目标函数x0 = [1, 1]; 设置初始点options = optimoptions('fminunc', 'Algorithm', 'quasi-newton'); 设置优化选项[x, fval, exitflag, output] = steepestdescent(fun, x0, options); 调用最速下降法disp(['最优解为：', num2str(x)]);disp(['最优值为：', num2str(fval)]);```通过以上程序，我们可以得到最优解为x=[0, 0]，最优值为fval=0，这即为目标函数在给定范围内的极小值点及极小值。
最速下降法
0 为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件
0Байду номын сангаас0 f x1 min f x f x
min 2 4 25 2 100 min
2 2
0 8 2 4 5000 2 100 0
解 取初始值
x 0 2, 2
T
则初始点处函数值及梯度分别为
f x0 104 2 x1 4 f x0 50 x2 x0 100 沿负梯度方向进行一维搜索，有
x1 x 0 0f x 0 2 4 2 4 0 2 0 100 2 100 0
从直观上看在远离极小点的地方每次迭代可能使目标函数有较大的下降但是在接近极小点的地方由于锯齿现象从而导致每次迭代行进距离缩短因而收敛速度不快
最速下降法
1 无约束多变量问题最优化
考虑无约束问题
min
f (X) X E n
其中函数f (X)具有一阶连续偏导数。 在处理这类问题时，总希望从某一点出发，选择一个目
其中 d ( k ) 是从 x ( k ) 出发的搜索方向，这里取在点x ( k ) 处的最速 下降方向，即
d ( k ) f ( x ( k ) )
k 是从 x ( k )出发沿方向 d ( k )进行一维搜索的步长,即 k 满足
f ( x ( k ) k d ( k ) ) min f ( x ( k ) d ( k ) )
x 0
*
f
* x 0
0
T
根据一元函数极值的必要条件
和复合函数求导公式可得：
最速下降法
一、最速下降法基本原理(一)无约束问题的最优性条件无约束问题的最优解所要满足的必要条件和充分条件是我们设计算法的依据，为此我们有以下几个定理。
定理1 设f :1n R R →在点nx R ∈处可微。
若存在n p R ∈，使()0T f x p ∇<则向量p 是f 在点x 处的下降方向。
定理2 设1:nf R R →在点n x R *∈处可微。
若x *是无约束问题的局部最优解，则()0f x *∇=由数学分析中我们已经知道，使()0f x ∇=的点x 为函数f 的驻点或平稳点。
函数f 的一个驻点可以是极小点；也可以是极大点；甚至也可能既不是极小点也不是极大点，此时称它为函数f 的鞍点。
以上定理告诉我们，x *是无约束问题的的局部最优解的必要条件是：x *是其目标函数f 的驻点。
现给出无约束问题局部最优解的充分条件。
定理3 设1:nf R R →在点nx R *∈处的Hesse 矩阵2()f x *∇存在。
若()0f x *∇=，并且2()f x *∇正定则x *是无约束问题的严格局部最优解。
一般而言，无约束问题的目标函数的驻点不一定是无约束问题的最优解。
但对于其目标函数是凸函数的无约束凸规划，下面定理证明了，它的目标函数的驻点就是它的整体最优解。
定理4 设1:nf R R →，n x R *∈，f 是nR 上的可微凸函数。
若有()0f x *∇=则x *是无约束问题的整体最优解。
(二)最速下降法的基本思想和迭代步骤最速下降法又称为梯度法，是1847年由著名数学家Cauchy 给出的。
他是解析法中最古老的一种，其他解析方法或是它的变形，或是受它的启发而得到的，因此它是最优化方法的基础。
设无约束问题中的目标函数1:nf R R →一阶连续可微。
最速下降法的基本思想是：从当前点k x 出发，取函数()f x 在点kx 处下降最快的方向作为我们的搜索方向kp .由()f x 的Taylor 展式知()()()(k k k k T k k f x f x tp t f x p o tp -+=-∇+‖‖)略去t 的高阶无穷小项不计，可见取kp =()kf x -∇时，函数值下降得最多。
最优化方法-最速下降法
计算步骤
设f (X )是可微函数，精度要求为
X f ( ) K 1
，
X 0 为初始点。
(1)计算梯度
f
(
X
)
k
，初始k=0；
(2)
Pk
f
(
X
)
k
(3)求解 k
min f ( X k Pk)
s.t. 0
设 k 是一维搜索的最优解；
(4)求下一个点
评价
由例题中可以发现两次迭代的搜索方向满足：
P P P P T 0, T 0,...,
01
12
即相邻两个搜索方向 PK 与 PK1 正交，这是最速下降
法的搜索方向的基本形质。因此，最速下降法的迭代
路线呈锯齿形，尤其是在极小点附近，锯齿现象尤为
严重，从而影响了迭代速度。
评价
锯齿现象
最优化技术
第三章 7节 最速下降法
主要内容
1原 理
2 计算步骤
3 例题分析 4评 价
原理
定义：用来求解无约束多元函数 min f（x）
极小化问题的一种迭代算法。
拓展：
最速下降法又称梯度法，是 1847 年由著名数学家
Cauchy 给出的，它是解析法中最古老的一种，其他解析 方法或是它的变形，或是受它的启发而得到的，因此它是 最优化方法的基础。
X
)
0
(1,1)T
3-最优步长
2
X P ( ) f 5
0
0 2
1
0
应用一维搜索技术，解得函数最小值点 0 =0.2
举例分析
4-下一搜索点
X1
最速下降法的基本思路
最速下降法的基本思路最速下降法是一种求解无约束优化问题的迭代算法，其基本思路是从当前点出发，沿着当前点到最优解的方向进行移动，并以一定的步长进行迭代更新，直到达到最优解或者满足一定的停止准则。
本文将从以下几个方面详细介绍最速下降法的基本思路。
一、最速下降法的数学模型在介绍最速下降法的基本思路之前，我们先来看看最速下降法所要求解的数学模型。
对于一个无约束优化问题：min f(x)，x∈R^n其中f(x)为目标函数，x为自变量向量。
我们希望求出目标函数的全局最小值或局部最小值。
二、梯度和梯度方向在介绍最速下降法的基本思路之前，我们需要先了解两个概念：梯度和梯度方向。
1、梯度对于一个可微函数f(x)，在点x处，它的梯度定义为：grad f(x)=[∂f/∂x1, ∂f/∂x2, …, ∂f/∂xn]T其中T表示矩阵转置。
梯度是一个向量，它指向函数在该点上升最快的方向，其模长表示该方向上函数增加的速率。
2、梯度方向对于一个可微函数f(x)，在点x处，它的梯度方向定义为：-df/dx=-(∂f/∂x1, ∂f/∂x2, …, ∂f/∂xn)T梯度方向是一个向量，它指向函数在该点下降最快的方向，其模长表示该方向上函数减少的速率。
三、最速下降法的基本思路有了梯度和梯度方向的概念之后，我们就可以来介绍最速下降法的基本思路了。
最速下降法是一种基于负梯度方向进行迭代更新的优化算法。
具体来说，它的基本思路可以分为以下几个步骤：1、初始化首先需要选择一个初始点x0作为起始点。
2、计算负梯度在当前点xk处计算目标函数f(x)的负梯度-df/dx，并将其作为移动方向。
3、确定步长确定一个合适的步长αk，使得目标函数沿着移动方向能够有足够大的下降。
4、迭代更新根据当前点和移动方向以及步长进行迭代更新：xk+1 = xk + αk*(-df/dx)5、停止准则判断是否满足停止准则，如果满足，则停止迭代；否则返回步骤2。
四、最速下降法的收敛性最速下降法是一种保证收敛的优化算法，但是其收敛速度较慢。
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X ( k 1) X X
(k )
X
p
,
当 p = 2 时，X
( k 1)
X 与 X
( k 1)
(k)
X
2
同阶无穷小
(k )
当 1, k 时， X
X (k ) X
X ( k 1) X
X
X
X
2
X ( k 2) X
则X ( k ) k X .
若 { X } 收敛于 X ，且满足 lim k
(k ) { X } 收敛于 X 的阶。 则 p 称为
X ( k 1) X X
(k )
X
p
,
当 p = 1 时，称为一阶收敛； 当 p = 2 时，称为二阶收敛；
1 T 结论：正定二次函数 f ( X ) X QX bT X c 有唯一 2 全局极小点：X Q 1b
无约束问题4-4
一.最速下降法
f (X ) ( NP) min X R
n
收敛性问题的基本概念 最速下降法的迭代原理 最速下降法的迭代步骤 最速下降法的举例 最速下降法的收敛结论
第四章 无约束最优化问题
4.1 非线性规划数学模型 4.2 凸函数和凸规划 4.3 一维搜索 4.4 无约束优化问题的解法
第四章 无约束最优化问题
第四节 无约束优化问题的解法
最速下降法 Newton法 拟Newton法 共轭梯度法
一.最速下降法
f (X ) ( NP) min X R
(k ) { X } 收敛于 X 的阶。 则p称为
X ( k 1) X X
(k )
X
p
,
( k 1) (k) X X 与 X X 当 p = 1 时， 同阶无穷小
( k 1) (k) X X X X 当 1, k性收敛；
无约束问题4-4
1.收敛性问题的基本概念 定义4-10
(k )
若 X ( k ) X k 0,
则X ( k ) k X .
若 { X } 收敛于 X ，且满足 lim k
(k ) { X } 收敛于 X 的阶。 则p称为
f ( X ( k ) )T p ( k ) f ( X ( k ) ) p ( k ) cos cos 1
n
收敛性问题的基本概念 最速下降法的迭代原理 最速下降法的迭代步骤 最速下降法的举例 最速下降法的收敛结论
无约束问题4-4
1.收敛性问题的基本概念 定义4-9
min f (X ) n
X R
(k ) 若序列 { X }，对于 0 ，存在正整数 N ( ),
(k ) (k ) X X X X k N 当 时，有 ，即 k 0,
最速下降法 Newton法
当 1 p 2 时，称为超线性收敛；拟Newton法
无约束问题4-4
1.收敛性问题的基本概念 定义4-12
若某算法对于任意正定二次目标函数,从任意初始点 出发,都能经过有限次迭代达到其极小点,则该算法称 为具有二次终止性的算法或二次收敛算法.
1 T f ( x1 , x2 ,, xn ) X QX bT X c 2 当 Q 为正定阵时，称 f (X) 为正定二次函数。
X (k ) X
X ( k 1) X
X ( k 2) X
X ( k 3) X
X ( k 4) X
0 .1
0.09
0.05
0.02
0.01
无约束问题4-4
1.收敛性问题的基本概念 定义4-10
(k )
若 X ( k ) X k 0,
(k ) { X } 收敛于 X ，记为X ( k ) X . 则称 k
X
0
X1
X
2
X3
X4
X
X k
X f ( X k ) X ( k ) k
无约束问题4-4
1.收敛性问题的基本概念 定义4-10
(k )
若 X ( k ) X k 0,
p( k )
X f ( x ( k ) h) f ( x ( k ) ) f ( x ( k ) )h (h) f ( X ( k ) p( k ) ) f ( X ( k ) ) f ( X ( k ) )T p( k ) ( ) f ( X ( k ) p( k ) ) f ( X ( k ) ) f ( X ( k ) )T p( k ) ( ) ( ) (k ) T (k ) ( f ( X ) p )0 充分小时 0 (k ) T (k ) 结论： 当 f ( X ) p 0 时，p(k)是 f (X)在X(k) 处的下降方向。
无约束问题4-4
2.迭代原理 梯度的性质： 函数f 证明：
(k ) ( k ) X ( k ) (X)在X 处的负梯度方向 f ( X ( k ) )
P
(k )
f ( X ( k ) )
P
是X(k)处函数值下降最快的方向。 (k )
P P
(k )
一元函数泰勒公式：
X p
(k )
(k )
(k )
则X ( k ) k X .
若 { X } 收敛于 X ，且满足 lim k
(k ) { X } 收敛于 X 的阶。 则p称为
X ( k 1) X X
(k )
X
p
,
当 p = 1 时，称为一阶收敛； 当 p = 2 时，称为二阶收敛；
X ( k 3) X
X ( k 4) X
0 .1
0.01
0.0001
108
1016
无约束问题4-4
1.收敛性问题的基本概念 定义4-10
(k )
若 X ( k ) X k 0,
则X ( k ) k X .
若 { X } 收敛于 X ，且满足 lim k