数据结构 罗吴蔓 电子科大 PPT 考研chapt7'
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电子科大 数据结构 课件
return 1; }
2013年12月10日7时42分
Design By Chen Anlong
12
顺序表的插入
在表中第 i 个元素之前插入一个元素 x, 插入前：
0
1
2
i-1 i
n
a1
a2 …… ai-1
ai …… an
后移一个位置
在第i个位置插入一个元素x后的状态：
012
i-1 i
n n+1
a1
for(i=len;i>=pos;i--) L->elem[i+1] = L->elem[i]; /* 后移一个位置*/ L->elem[pos] = elem; L->length ++; /* 表长加1 */ status = success; } return status; }
2013年12月10日7时42分
}; typedef struct list List;
数据区
ai La.elem[i] …
List La; List *Lp; typedef struct list *ListPtr;
an La.elem[n] …
ListPtr Lp; < ------定义指针变量
La.elem[MAXSIZE]
9
指针表示法
为了编程实现和理解的方便，更多采用如下结构
typedef struct list { ElemType *elem; int length; int MaxSize; } List, *ListPtr;
Length为线性表的当前长度。 Maxsize为当前分配给线性表的存储空间 指针变量elem指向线性表的基地址。
2013年12月10日7时42分
Design By Chen Anlong
12
顺序表的插入
在表中第 i 个元素之前插入一个元素 x, 插入前：
0
1
2
i-1 i
n
a1
a2 …… ai-1
ai …… an
后移一个位置
在第i个位置插入一个元素x后的状态：
012
i-1 i
n n+1
a1
for(i=len;i>=pos;i--) L->elem[i+1] = L->elem[i]; /* 后移一个位置*/ L->elem[pos] = elem; L->length ++; /* 表长加1 */ status = success; } return status; }
2013年12月10日7时42分
}; typedef struct list List;
数据区
ai La.elem[i] …
List La; List *Lp; typedef struct list *ListPtr;
an La.elem[n] …
ListPtr Lp; < ------定义指针变量
La.elem[MAXSIZE]
9
指针表示法
为了编程实现和理解的方便，更多采用如下结构
typedef struct list { ElemType *elem; int length; int MaxSize; } List, *ListPtr;
Length为线性表的当前长度。 Maxsize为当前分配给线性表的存储空间 指针变量elem指向线性表的基地址。
《数据结构图论部分》PPT课件
Page 4
2020/11/24
哥尼斯堡七桥问题
能否从某个地方出发，穿过所有的桥仅一次 后再回到出发点？
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2020/11/24
七桥问题的图模型
欧拉回路的判定规则：
1.如果通奇数桥的地方多于
C
两个，则不存在欧拉回路；
2.如果只有两个地方通奇数
桥，可以从这两个地方之一
A
B 出发，找到欧拉回路；
V4 是有向边，则称该图为有向图。
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2020/11/24
简单图：在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同 一条边不重复出现。
V1
V2
V3
V4
V5
非简单图
V1
V2
V3
V4
V5
非简单图
V1
V2
V3
V4
V5
简单图
❖ 数据结构中讨论的都是简单图。
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2020/11/24
图的基本术语
邻接、依附
DeleteVex(&G, v); 初始条件：图 G 存在，v 是 G 中某个顶点。 操作结果：删除 G 中顶点 v 及其相关的弧。
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2020/11/24
InsertArc(&G, v, w); 初始条件：图 G 存在，v 和 w 是 G 中两个顶点。 操作结果：在 G 中增添弧<v,w>，若 G 是无向的，则还
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2020/11/24
• 知识点
– 图的类型定义 – 图的存储表示 – 图的深度优先搜索遍历和广度优先搜索遍历 – 无向网的最小生成树 – 拓扑排序 – 关键路径 – 最短路径
Page 3
全套电子课件：数据结构(C语言版)(第三版)
例 计算f=1！+2！+3！+…+n！， 用C语言描述。
void factorsum（n） int n；{int i，j；int f，w； f=0； for （i=1，i〈=n；i++） {w=1； for （j=1，j〈=i；j++） w=w*j； f=f+w；} return；
1.2 数据结构的发展简史及其 在计算机科学中所处的地位
• 发展史： 1、 “数据结构”作为一门独立的课程在国外是从1968年才开始设
立的。 2、 1968年美国唐·欧·克努特教授开创了数据结构的最初体系，他所
著的《计算机程序设计技巧》第一卷《基本算法》是第一本较 系统地阐述数据的逻辑结构和存储结构及其操作的著作。
⑵ while语句
while （〈条件表达式〉） { 循环体语句； }
• while循环首先计算条件表达式的值，若条件表达式的值非零， 则执行循环体语句，然后再次计算条件表达式，重复执行，直 到条件表达式的值为假时退出循环，执行该循环之后的语句。
⑶ do-while语句
do { 循环体语句 } while（〈条件表达式〉）
• 地位： 1、“数据结构”在计算机科学中是一门综合性的专业基础课。
2、数据结构是介于数学、计算机硬件和计算机软件三者之间 的一门核心课程。
3、数据结构这一门课的内容不仅是一般程序设计（特别是非 数值性程序设计）的基础，而且是设计和实
1.3 什么是数据结构
• 解决非数值问题的算法叫做非数值算法，数据处理方面的算法都 属于非数值算法。例如各种排序算法、查找算法、插入算法、删 除算法、遍历算法等。
• 数值算法和非数值算法并没有严格的区别。
数据结构详解ppt课件
“数据结构知识导入全程目标•数据结构的基本概念–逻辑结构–物理结构–运算结构•数据结构的基本实现–堆栈–队列–链表–二叉树知识讲解数据结构的基本概念•数据结构是相互之间存在一种或多种特定关系的数据的集合•数据结构是计算机存储、组织数据的方式•数据结构的选择直接影响计算机程序的运行效率(时间复杂度)和存储效率(空间复杂度)•计算机程序设计=算法+数据结构•数据结构的三个层次–抽象层——逻辑结构–结构层——物理结构–实现层——运算结构识讲解•集合结构(集)–结构中的数据元素除了同属于一个集合外没有其它关系识讲解•线性结构(表)–结构中的数据元素具有一对一的前后关系识讲解•树型结构(树)–结构中的数据元素具有一对多的父子关系知识讲解实现双向线性链表•删除节点识讲解•树形结构的最简模型，每个节点最多有两个子节点•每个子节点有且仅有一个父节点，整棵树只有一个根节点•具有递归的结构特征，用递归的方法处理，可以简化算法•三种遍历序–前序遍历：D-L-R–中序遍历：L-D-R–后序遍历：L-R-D识讲解•二叉树的一般形式–根节点、枝节点和叶节点–父节点和子节点–左子节点和右子节点–左子树和右子树–大小和高度(深度)识讲解•满二叉树–每层节点数均达到最大值–所有枝节点均有左右子树知识讲解二叉树•完全二叉树–除最下层外，各层节点数均达到最大值–最下层的节点都连续集中在左边识讲解•顺序存储–从上到下、从左到右，依次存放–非完全二叉树需用虚节点补成完全二叉树识讲解•链式存储–二叉链表，每个节点包括三个域，一个数据域和两个分别指向其左右子节点的指针域识讲解•链式存储–三叉链表，每个节点包括四个域，一个数据域、两个分别指向其左右子节点的指针域和一个指向其父节点的指针域知识讲解实现有序二叉树•有序二叉树亦称二叉搜索树，若非空树则满足：–若左子树非空，则左子树上所有节点的值均小于等于根节点的值–若右子树非空，则右子树上所有节点的值均大于等于根节点的值–左右子树亦分别为有序二叉树•基于有序二叉树的排序和查找，可获得O(logN)级的平均时间复杂度知识讲解逻辑结构•网状结构(图)–结构中的数据元素具有多对多的交叉映射关系识讲解•顺序结构–结构中的数据元素存放在一段连续的地址空间中识讲解•顺序结构–随机访问方便，空间利用率低，插入删除不方便识讲解•链式结构–结构中的数据元素存放在彼此独立的地址空间中–每个独立的地址空间称为节点–节点除保存数据外，还需要保存相关节点的地址识讲解•链式结构–插入删除方便，空间利用率高，随机访问不方便知识讲解逻辑结构与物理结构的关系•每种逻辑结构采用何种物理结构实现，并没有一定之规，通常根据实现的难易程度，以及在时间和空间复杂度方面的要求，选择最适合的物理结构，亦不排除复合多种物理结构实现一种逻辑结构的可能知识讲解运算结构•创建与销毁–分配资源、建立结构、释放资源•插入与删除–增加、减少数据元素•获取与修改–遍历、迭代、随机访问•排序与查找–算法应用知识讲解数据结构的基本实现•堆栈–基于顺序表的实现–基于链式表的实现•队列–基于顺序表的实现–基于链式表的实现•链表–双向线性链表的实现•二叉树–有序二叉树(二叉搜索树)的实现知识讲解堆栈•后进(压入/push)先出(弹出/pop)识讲解•初始化空间、栈顶指针、判空判满识讲解•动态分配、栈顶指针、注意判空知识讲解队列•先进(压入/push)先出(弹出/pop)识讲解•初始化空间、前弹后压、循环使用、判空判满识讲解•动态分配、前后指针、注意判空知识讲解链表•地址不连续的节点序列，彼此通过指针相互连接•根据不同的结构特征，将链表分为：–单向线性链表–单向循环链表–双向线性链表–双线循环链表–数组链表–链表数组–二维链表识讲解•单向线性链表识讲解•单向循环链表识讲解•双向线性链表识讲解•双向循环链表识讲解•数组链表识讲解•链表数组识讲解•二维链表识讲解•结构模型识讲解•插入节点。
电子科技大学数据结构第3章
A B C
D
E
F
G
H
数据结构@UESTC 电子科技大学 · 计算机科学 · 数据结构与算法 ·
基本概念
– 基本概念
• 满二叉树——在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子 树，并且所有叶子结点都在同一层上。 一棵满二叉树一定是一棵完 • 完全二叉树——对深度为k的满二叉树中的结点从上至下，从左至右从1 全二叉树，但一棵完全二叉 开始连续编号。对一棵具有n个结点深度为 k的二叉树，采用同样办法对 树中结点从上至下，从左至右从1开始连续编号，如果编号为 i（i<=n） 树未必是一棵满二叉树 的结点都与满二叉树中编号为i的结点在同一位置，则称此二叉树为一棵 完全二叉树。
typedef struct BiTreeNode{ Datatype data; struct BiTreeNode *lchild, *rchild, *parent; }BiTreeNode, *BiTree;
20 数据结构@UESTC
电子科技大学 · 计算机科学 · 数据结构与算法 ·
三叉链表
△ △ B * ★
深入返回的过程满足栈的特征，可用栈实现二叉树的 △ △ 遍历 D ★ F ★ △ E
C * * * ★ △ * G ★ △ *
A ★ *
★
28 数据结构@UESTC
电子科技大学 · 计算机科学 · 数据结构与算法 ·
– 二叉树的非递归遍历
• 例子：中序遍历非递归算法
p
p p
C p=NULL p p E B
电子科技大学 · 计算机科学 · 数据结构与算法 ·
链式存储结构
A
头指针bt
C
B
A
D
D
E
F
G
H
数据结构@UESTC 电子科技大学 · 计算机科学 · 数据结构与算法 ·
基本概念
– 基本概念
• 满二叉树——在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子 树，并且所有叶子结点都在同一层上。 一棵满二叉树一定是一棵完 • 完全二叉树——对深度为k的满二叉树中的结点从上至下，从左至右从1 全二叉树，但一棵完全二叉 开始连续编号。对一棵具有n个结点深度为 k的二叉树，采用同样办法对 树中结点从上至下，从左至右从1开始连续编号，如果编号为 i（i<=n） 树未必是一棵满二叉树 的结点都与满二叉树中编号为i的结点在同一位置，则称此二叉树为一棵 完全二叉树。
typedef struct BiTreeNode{ Datatype data; struct BiTreeNode *lchild, *rchild, *parent; }BiTreeNode, *BiTree;
20 数据结构@UESTC
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三叉链表
△ △ B * ★
深入返回的过程满足栈的特征，可用栈实现二叉树的 △ △ 遍历 D ★ F ★ △ E
C * * * ★ △ * G ★ △ *
A ★ *
★
28 数据结构@UESTC
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– 二叉树的非递归遍历
• 例子：中序遍历非递归算法
p
p p
C p=NULL p p E B
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链式存储结构
A
头指针bt
C
B
A
D
数据结构第三部分栈和队列课件
否
将 问 题 n递 归 分 解 的 问 题 n -1 ,n -2 入 栈
是
3-17
3.3 队列
3.3.1 队列的定义 队列（queue）：是一种先进先出（first in first out，缩写为FIFO）
的线性表。它只允许在表的一端进行插入，而在另一端删除元素。
出队列
a1 a 2 a 3 … an
*e=S->elem[S->top];
//获取栈顶元素
ห้องสมุดไป่ตู้
S->top--;
//删除栈顶
return 1;
}
3-6
中国科大《数据结构》
3.1 栈
5. 判断栈空、栈满 int IsSqstackEmpty(SQSTACK S) { //如果栈空，则返回1，否则返回0
return S.top==-1; //top是栈顶标识，是-1时表示空栈 }
中国科大《数据结构》
3-15
3.2 栈的应用举例
递归问题的非递归算法设计中栈的作用 保存暂时不能求解的问题，等待条件具备时，再将问题出栈进
行求解。被保存的问题，通常是递归分解的结果。
中国科大《数据结构》
3-16
3.2 栈的应用举例
int Fibonacci(int n) /*非递归算法*/ { SQSTACK s;
斐波那契问题非递归算法 首先将问题Fibo(n)入栈。 接着进入一个循环：弹出栈顶问题，如果是递归终点，则求值累加； 否则将Fibo(n)递归分解为Fibo(n-1)和Fibo(n-2)，并将它们分别入栈， 直到栈空为止。
适用条件 由P(n)递归分解产生两个问题规模更小的问题P(n1)和P(n2)，它们的求解 相互独立，相互之间不构成求解条件。
数据结构 罗吴蔓 电子科大 PPT 考研chapt7与#39;
无向图：若图中任意两个顶点vi,vj都是连通的，则称该图
是连通图(vi<>vj) 有向图：若图中任意两个顶点vi,vj，都存在从vi到vj和从
连通分量：
vj到vi的路径，则称该有向图为强连通图(vi<>vj)
无向图：无向图中极大连通子图，称为连通分量 有向图：有向图中极大强连通子图，称为强连通分量
7.1 图的定义和术语
7.1 图的定义和术语
• 有向图（Digragh）
G=（V，{A}） 其中，V为顶点的有穷非空集合
{A}为顶点之间的关系集合
① G1 ②
③
④
G1=（V，{A}） V={v1, v2, v3, v4} A={<v1, v2>, <v1, v3>, <v3, v4>, <v4, v1>}
其中<x, y>表示从x到y的一条弧（arc），A为弧集合，x为弧尾 （tail），y为弧头（head)
几个概念：
路径长度：路径上边或弧的数目 回路或环：首尾顶点相同的路径，称为回路或环。即：
（v=vi0, vi1, … , vim=v’=v） 简单路径：路径中不含相同顶点的路径 简单回路：除首尾顶点外，路径中不含相同顶点的回路
7.1 图的定义和术语
5. 连通
顶点连通：若顶点v到顶点v’有路径，则称顶点v与v’是连通的 连 通 图 ：包括无向连通图和有向连通图
true,已访问过 visited[Vi]=
false,未访问过（初值） • FIRSTADJ(g,Vo)和NEXTADJ（g,Vo,w）等函数的实现与图的 基本存储结构有关
7.3 图的遍历
一、深度优先搜索（depth-first-search)
是连通图(vi<>vj) 有向图：若图中任意两个顶点vi,vj，都存在从vi到vj和从
连通分量：
vj到vi的路径，则称该有向图为强连通图(vi<>vj)
无向图：无向图中极大连通子图，称为连通分量 有向图：有向图中极大强连通子图，称为强连通分量
7.1 图的定义和术语
7.1 图的定义和术语
• 有向图（Digragh）
G=（V，{A}） 其中，V为顶点的有穷非空集合
{A}为顶点之间的关系集合
① G1 ②
③
④
G1=（V，{A}） V={v1, v2, v3, v4} A={<v1, v2>, <v1, v3>, <v3, v4>, <v4, v1>}
其中<x, y>表示从x到y的一条弧（arc），A为弧集合，x为弧尾 （tail），y为弧头（head)
几个概念：
路径长度：路径上边或弧的数目 回路或环：首尾顶点相同的路径，称为回路或环。即：
（v=vi0, vi1, … , vim=v’=v） 简单路径：路径中不含相同顶点的路径 简单回路：除首尾顶点外，路径中不含相同顶点的回路
7.1 图的定义和术语
5. 连通
顶点连通：若顶点v到顶点v’有路径，则称顶点v与v’是连通的 连 通 图 ：包括无向连通图和有向连通图
true,已访问过 visited[Vi]=
false,未访问过（初值） • FIRSTADJ(g,Vo)和NEXTADJ（g,Vo,w）等函数的实现与图的 基本存储结构有关
7.3 图的遍历
一、深度优先搜索（depth-first-search)
第7章 排序 电子科大 数据结构 课件
42 70 85 )
Design By Chen Anlong
15
7.2.2 折半插入排序 性能分析 折半插入排序过程中，每次在确定插入位置时，
采用二分的办法，需要比较的次数至多为
log2(n+1) ，总共需要n-1趟，因此，整个排序过
程需要比较的次数为O(nlog2n)。而数据的移动
次数和直接插入排序算法相同，也为O(n2)。
数据结构与算法
主讲人：陈安龙
电子科技大学信息与软件工程学院
2013年12月10日7时45分
Design By Chen Anlong
1
第7章 排序
2013年12月10日7时45分
Design By Chen Anlong
2
对查找问题，如果数据按关键字有序，查询效率会大 大提高。因此，经常需要将数据按关键字进行排序，排序操 作是计算机经常遇到的一类问题。如何设计快速高效的排序 算法，对数据处理特别是大规模数据的处理，至关重要。
其中，d 称为增量，它的值在排序过程中从大到小逐 渐缩小，直至最后一趟排序减为 1。
2013年12月10日7时45分
Design By Chen Anlong
18
7.2.3 希尔排序
排序算法
• 先选取一个小于n的整数di（步长），然后把 待排序的序列分成di个组，从第一个记录开 始，间隔为di的记录为同一组，分完组之后， 在每一组中采用直接插入排序或二分插入排 序进行排序。 • 第一趟完成之后，每一组内部已按关键字有 序，即间隔为di的记录已有序。这时，序列 的有序性和之前的序列相比已有所改善，减 小步长，再进行分组，再排序，序列的有序 性进一步得到改善。
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1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5 2 3 4 1 2 1 2
4
5
3
3
特点：设无向图中顶点数为n，边数为e， 则它的邻接表需要n个头结点和2e个表结点。 顶点Vi的度 TD（Vi）=链表i中的表结点数。
7.2
图的存储结构
二、邻接表（adjacency list）
2. 有向图邻接表
与无向图的邻接表结构一样。只是在第i条链表上的结点是以Vi为
第七章
• • • • • • 图的定义 图的存储结构 图的遍历 图的连通性问题 有向无环图 最短路径
图
7.1
图的定义和术语
一. 图的有关概念
1. 图 Graph=(V,R) V={x|xdataobject} R={VR} VR={<x,y>|P(x,y) AND (x,yV) } V是顶点的有穷非空集合; VR是两个顶点之间的关系的集合。
弧尾的各个弧头顶点
如图G1的邻接表为：
1 2 3 4 1 2 3 4 4 1 3 2
特点：1. n个顶点，e条弧的有向图，需n个表头结点，e 个表结点 2. 第i条链表上的结点数，为Vi 的出度
（求顶点的出度易，求入度难）
7.2
图的存储结构
二、邻接表（adjacency list）
3. 有向图逆邻接表
7.1
5. 连通
连通分量：
① ②
图的定义和术语
①
②
G1有两个强连通分量
③ ④
G1
③
④
7.1
6. 生成树
图的定义和术语
定义：设无向图G是含有n个顶点的连通图， 则图G的生成树是
含有n个顶点，且只有n-1条边的连通子图
三要素：
n个顶点 n-1条边
连通 极小连通子图， 若再加一条边， 必构成环
生成树
n-1条边
链域（nextarc）指向下一个与顶Vi邻接的顶点的链表结点
每个链表附设一个头结点，头结点结构为： vexdata 其中：vexdata存放顶点信息（姓名、编号等）； fristarc指向链表的第一个结点。
firstarc
7.2
图的存储结构
二、邻接表（adjacency list）
如图G2的邻接表为：
V4 V5 V6 V7
V8
7.3
图的遍历
二、广度优先搜索（breadth-first-search)
广度优先搜索算法：
PROC bfs(g,vo); visited(vo); visited[vo]:=true; INIQUEUE(Q); ENQUEUE(Q,vo); WHILE NOT EMPTY(Q) DO [ v:=DLQUEUE(Q); w:=FIRSTADJ(g,v); WHILE w<>0 DO [ IF NOT visited[w] THEN [ visite(w); visited[w]:=true; ENQUEWE(Q,w) ]; w:=NEXTADJ(g,v,w) ] ] ENDP; {bfs}
PROC traver(g:Graph; VAR visited; ARRAY[vtxptr] OF boolean); FOR Vi:=1 TO vexmum DO visited[Vi]:=false; FOR Vi:=1 TO vexnum DO IF NOT visited[Vi] THEN dfs(g,Vi) {dfs是以Vi 为出发点，遍历一个连通分量} ENDP; {traver} PROC dfs(g:Graph;V0:vtxptr); visite(V0); visited[V0]:=tuue; w:=FIRSTADJ(g,V0); {找V0 的第一个邻接点} WHILE w<>0 do [ IF NOT visited[w] THEN dfs(g,w); w:=NEXTADJ(g,V0,w) {找V0 的w之后的下一邻接点} ] ENDP:{dfs}
7.1
2. 完全图
图的定义和术语
边达到最大值的图
• 无向完全图：边数为n(n-1)/2的无向图 • 有向完全图：弧数为n(n-1)的有向图
权：与图的边或弧相关的数
网：边或弧上带有权值的图
7.1
图的定义和术语
3. 顶点的度 TD（V）
无向图：为依附于顶点V的边数 有向图：无向图的度数为依附于顶点v 等于以顶点V为弧头的弧数（称为V的 入度，
7.1
图的定义和术语
二. 图的基本操作
“顶点在图中的位置”: 对图中顶点进 行人为任意排列, 顶点在这个排列中的 位置(或序号)。 “邻接点的位置”: 对某个顶点的邻接 点也可进行人为任意排列, 邻接点在这 个排列中的序号。
7.1
图的定义和术语
LOC_VERTEX(G,v) 顶点定位函数
无向图：若图中任意两个顶点vi,vj都是连通的，则称该图
是连通图(vi<>vj) 有向图：若图中任意两个顶点vi,vj，都存在从vi到vj和从 vj到vi的路径，则称该有向图为强连通图(vi<>vj)
连通分量：
无向图：无向图中极大连通子图，称为连通分量 有向图：有向图中极大强连通子图，称为强连通分量
记为ID（V））与以顶点V为弧尾的弧数（称 的边数；有向图的度数等于以 顶点v 为弧头的弧数与以顶点v 为V的出度，记为OD（V））之和。即： 为弧尾的弧数之和 TD（V）=ID（V）+OD（V） • 有向图
n
i=1
结论：
• 无向图
e= 1/2（∑TD(vi)）
e= ∑ID(vi)=∑OD(vi)
i=1 i=1
几个概念：
路径长度：路径上边或弧的数目 回路或环：首尾顶点相同的路径，称为回路或环。即： （v=vi0, vi1, … , vim=v’=v） 简单路径：路径中不含相同顶点的路径 简单回路：除首尾顶点外，路径中不含相同顶点的回路
7.1
5. 连通
图的定义和术语
顶点连通：若顶点v到顶点v’有路径，则称顶点v与v’是连通的 连 通 图 ：包括无向连通图和有向连通图
7.3
图的遍历
一、深度优先搜索（depth-first-search)
如图G4：
V1
深到底
访问
回退
V2
V3
深到底 （V2V8均已访问） V1V2V4V8V5 V3V6V7
V7
深到底
V4 V8
V5 V6
回退
7.3
图的遍历
一、深度优先搜索（depth-first-search)
2. 深度优先搜索递归过程：
7.3
图的遍历
二、广度优先搜索（breadth-first-search)
(1)首先访问指定顶点v0，将v0作为当前顶点
(2)访问当前顶点的所有未访问过的邻接点，并
依次将访问的这些邻接点作为当前顶点
V1
(3)重复(2)， 直到所有顶点被访问为止
V2 V3
对图4广度优先搜索，访问顶点序列为： V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8
如图：
V1 2 V3
3 4
V2 5 V4
┌ A＝│ │
3 2 4 ┐ │
5 1
1
7.2
图的存储结构
二、邻接表（adjacency list）
1. 无向图邻接表
对图中每个顶点Vi建立一个单链表，链表中的结点表示依附于顶点 Vi的边，每个链表结点为两个域： adjvex nextarc
其中：邻接点域（adjvex）记载与顶点Vi邻接的顶点信息；
③
④
7.1
图的定义和术语
• 无向图（Undigraph）
G=(V,{E}) 其中，V同有向图，{E}为顶点之间的关系集合， E为边集合
①
G2
③
②
G2=（V，{A}） V={v1, v2, v3, v4, v5} E={(v1, v2), (v1, v3), (v2, v3), (v3, v4), (v2,v5), (v3,v5)}
7.3
图的遍历
一、深度优先搜索（depth-first-search)
2. 深度优先搜索递归过程：
几点说明：
• visited[1..n]是一个辅助数组，记载顶点是否被访问过 true,已访问过 visited[Vi]= false,未访问过（初值）
• FIRSTADJ(g,Vo)和NEXTADJ（g,Vo,w）等函数的实现与图的 基本存储结构有关
• 有向图中： TD(Vi)=OD(Vi)+ID(Vi)
= ∑A[i,j]+∑A[j,i]
j =1 j=1
即顶点Vi的出度为邻接矩阵中第i行元素之和 顶点Vi的入度为邻接矩阵中第i列元素之和
n
n
7.2
网的邻接矩阵
定义为： A[i，j]=
图的存储结构
Wij，若（Vi，Vj）或< Vi，Vj>∈E
，其它
7.1
图的定义和术语
• 有向图（Digragh）
G=（V，{A}） 其中，V为顶点的有穷非空集合
{A}为顶点之间的关系集合
①
G1
②
G1=（V，{A}） V={v1, v2, v3, v4} A={<v1, v2>, <v1, v3>, <v3, v4>, <v4, v1>}
其中<x, y>表示从x到y的一条弧（arc），A为弧集合，x为弧尾 （tail），y为弧头（head)
0 1 1 0 0
无向图的邻接矩阵为对称矩阵
7.2
图的存储结构
特点:判定两个顶点Vi与Vj是否关联，只需判A[i，j]是否为1; 顶点的度容易求得:
4
5
3
3
特点：设无向图中顶点数为n，边数为e， 则它的邻接表需要n个头结点和2e个表结点。 顶点Vi的度 TD（Vi）=链表i中的表结点数。
7.2
图的存储结构
二、邻接表（adjacency list）
2. 有向图邻接表
与无向图的邻接表结构一样。只是在第i条链表上的结点是以Vi为
第七章
• • • • • • 图的定义 图的存储结构 图的遍历 图的连通性问题 有向无环图 最短路径
图
7.1
图的定义和术语
一. 图的有关概念
1. 图 Graph=(V,R) V={x|xdataobject} R={VR} VR={<x,y>|P(x,y) AND (x,yV) } V是顶点的有穷非空集合; VR是两个顶点之间的关系的集合。
弧尾的各个弧头顶点
如图G1的邻接表为：
1 2 3 4 1 2 3 4 4 1 3 2
特点：1. n个顶点，e条弧的有向图，需n个表头结点，e 个表结点 2. 第i条链表上的结点数，为Vi 的出度
（求顶点的出度易，求入度难）
7.2
图的存储结构
二、邻接表（adjacency list）
3. 有向图逆邻接表
7.1
5. 连通
连通分量：
① ②
图的定义和术语
①
②
G1有两个强连通分量
③ ④
G1
③
④
7.1
6. 生成树
图的定义和术语
定义：设无向图G是含有n个顶点的连通图， 则图G的生成树是
含有n个顶点，且只有n-1条边的连通子图
三要素：
n个顶点 n-1条边
连通 极小连通子图， 若再加一条边， 必构成环
生成树
n-1条边
链域（nextarc）指向下一个与顶Vi邻接的顶点的链表结点
每个链表附设一个头结点，头结点结构为： vexdata 其中：vexdata存放顶点信息（姓名、编号等）； fristarc指向链表的第一个结点。
firstarc
7.2
图的存储结构
二、邻接表（adjacency list）
如图G2的邻接表为：
V4 V5 V6 V7
V8
7.3
图的遍历
二、广度优先搜索（breadth-first-search)
广度优先搜索算法：
PROC bfs(g,vo); visited(vo); visited[vo]:=true; INIQUEUE(Q); ENQUEUE(Q,vo); WHILE NOT EMPTY(Q) DO [ v:=DLQUEUE(Q); w:=FIRSTADJ(g,v); WHILE w<>0 DO [ IF NOT visited[w] THEN [ visite(w); visited[w]:=true; ENQUEWE(Q,w) ]; w:=NEXTADJ(g,v,w) ] ] ENDP; {bfs}
PROC traver(g:Graph; VAR visited; ARRAY[vtxptr] OF boolean); FOR Vi:=1 TO vexmum DO visited[Vi]:=false; FOR Vi:=1 TO vexnum DO IF NOT visited[Vi] THEN dfs(g,Vi) {dfs是以Vi 为出发点，遍历一个连通分量} ENDP; {traver} PROC dfs(g:Graph;V0:vtxptr); visite(V0); visited[V0]:=tuue; w:=FIRSTADJ(g,V0); {找V0 的第一个邻接点} WHILE w<>0 do [ IF NOT visited[w] THEN dfs(g,w); w:=NEXTADJ(g,V0,w) {找V0 的w之后的下一邻接点} ] ENDP:{dfs}
7.1
2. 完全图
图的定义和术语
边达到最大值的图
• 无向完全图：边数为n(n-1)/2的无向图 • 有向完全图：弧数为n(n-1)的有向图
权：与图的边或弧相关的数
网：边或弧上带有权值的图
7.1
图的定义和术语
3. 顶点的度 TD（V）
无向图：为依附于顶点V的边数 有向图：无向图的度数为依附于顶点v 等于以顶点V为弧头的弧数（称为V的 入度，
7.1
图的定义和术语
二. 图的基本操作
“顶点在图中的位置”: 对图中顶点进 行人为任意排列, 顶点在这个排列中的 位置(或序号)。 “邻接点的位置”: 对某个顶点的邻接 点也可进行人为任意排列, 邻接点在这 个排列中的序号。
7.1
图的定义和术语
LOC_VERTEX(G,v) 顶点定位函数
无向图：若图中任意两个顶点vi,vj都是连通的，则称该图
是连通图(vi<>vj) 有向图：若图中任意两个顶点vi,vj，都存在从vi到vj和从 vj到vi的路径，则称该有向图为强连通图(vi<>vj)
连通分量：
无向图：无向图中极大连通子图，称为连通分量 有向图：有向图中极大强连通子图，称为强连通分量
记为ID（V））与以顶点V为弧尾的弧数（称 的边数；有向图的度数等于以 顶点v 为弧头的弧数与以顶点v 为V的出度，记为OD（V））之和。即： 为弧尾的弧数之和 TD（V）=ID（V）+OD（V） • 有向图
n
i=1
结论：
• 无向图
e= 1/2（∑TD(vi)）
e= ∑ID(vi)=∑OD(vi)
i=1 i=1
几个概念：
路径长度：路径上边或弧的数目 回路或环：首尾顶点相同的路径，称为回路或环。即： （v=vi0, vi1, … , vim=v’=v） 简单路径：路径中不含相同顶点的路径 简单回路：除首尾顶点外，路径中不含相同顶点的回路
7.1
5. 连通
图的定义和术语
顶点连通：若顶点v到顶点v’有路径，则称顶点v与v’是连通的 连 通 图 ：包括无向连通图和有向连通图
7.3
图的遍历
一、深度优先搜索（depth-first-search)
如图G4：
V1
深到底
访问
回退
V2
V3
深到底 （V2V8均已访问） V1V2V4V8V5 V3V6V7
V7
深到底
V4 V8
V5 V6
回退
7.3
图的遍历
一、深度优先搜索（depth-first-search)
2. 深度优先搜索递归过程：
7.3
图的遍历
二、广度优先搜索（breadth-first-search)
(1)首先访问指定顶点v0，将v0作为当前顶点
(2)访问当前顶点的所有未访问过的邻接点，并
依次将访问的这些邻接点作为当前顶点
V1
(3)重复(2)， 直到所有顶点被访问为止
V2 V3
对图4广度优先搜索，访问顶点序列为： V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8
如图：
V1 2 V3
3 4
V2 5 V4
┌ A＝│ │
3 2 4 ┐ │
5 1
1
7.2
图的存储结构
二、邻接表（adjacency list）
1. 无向图邻接表
对图中每个顶点Vi建立一个单链表，链表中的结点表示依附于顶点 Vi的边，每个链表结点为两个域： adjvex nextarc
其中：邻接点域（adjvex）记载与顶点Vi邻接的顶点信息；
③
④
7.1
图的定义和术语
• 无向图（Undigraph）
G=(V,{E}) 其中，V同有向图，{E}为顶点之间的关系集合， E为边集合
①
G2
③
②
G2=（V，{A}） V={v1, v2, v3, v4, v5} E={(v1, v2), (v1, v3), (v2, v3), (v3, v4), (v2,v5), (v3,v5)}
7.3
图的遍历
一、深度优先搜索（depth-first-search)
2. 深度优先搜索递归过程：
几点说明：
• visited[1..n]是一个辅助数组，记载顶点是否被访问过 true,已访问过 visited[Vi]= false,未访问过（初值）
• FIRSTADJ(g,Vo)和NEXTADJ（g,Vo,w）等函数的实现与图的 基本存储结构有关
• 有向图中： TD(Vi)=OD(Vi)+ID(Vi)
= ∑A[i,j]+∑A[j,i]
j =1 j=1
即顶点Vi的出度为邻接矩阵中第i行元素之和 顶点Vi的入度为邻接矩阵中第i列元素之和
n
n
7.2
网的邻接矩阵
定义为： A[i，j]=
图的存储结构
Wij，若（Vi，Vj）或< Vi，Vj>∈E
，其它
7.1
图的定义和术语
• 有向图（Digragh）
G=（V，{A}） 其中，V为顶点的有穷非空集合
{A}为顶点之间的关系集合
①
G1
②
G1=（V，{A}） V={v1, v2, v3, v4} A={<v1, v2>, <v1, v3>, <v3, v4>, <v4, v1>}
其中<x, y>表示从x到y的一条弧（arc），A为弧集合，x为弧尾 （tail），y为弧头（head)
0 1 1 0 0
无向图的邻接矩阵为对称矩阵
7.2
图的存储结构
特点:判定两个顶点Vi与Vj是否关联，只需判A[i，j]是否为1; 顶点的度容易求得: