最短路径问题(经典)精编版

最短路径问题PPT课件

A
·
C′ C
B
·
l
B′
问题1 归纳
B A
l
解决实际问题
B
A
C
l
B′
抽象为数学问题用旧知解决新知
B
A
C
l
联想旧知
A
C
l
B
尝试应用：
1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建
一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中
实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）
A
·
l C
B′
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC
= AC +B′C = AB′， AC′+BC′
= AC′+B′C′．在△AB′C′中，
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
B A
l
将A，B 两地抽象为两个点，将河流l 抽象为一条直线．
·B A·
l
你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河流l边饮马，然后到B 地；
AM+NB+MN.
问题3：还有其他的方法选两点M,N，使得 AM+MN+NB的和最小吗？试一试。
a
b
A
M
N
B
问题2 归纳
解决实际问题

（完整版）初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧

（完整版）初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧初中数学［最短路径问题］典型题型及解题技巧最短路径问题中，关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利⽤平移和展开图来处理。

这对于我们解决此类问题有事半功倍的作⽤。

理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移” “⽴体图形展开图”。

教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题” “⽴体展开图”。

考的较多的还是“饮马问题”。

知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有⾓、三⾓形、菱形、矩形、正⽅形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

⼀、两点在⼀条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求⼀点P，使得PA+PB h 最⼩。

解：连接AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求。

（根据：两点之间线段最短.）⼆、两点在⼀条直线同侧例：图所⽰，要在街道旁修建⼀个奶站，向居民区A、B提供⽜奶，奶站应建在什么地⽅，才能使从A、B到它的距离之和最短.■解：只有A、C、B在⼀直线上时，才能使AC+BC最⼩.作点A关于直线“街道”的对称点A '，然后连接A ' B,交“街道”于点C,则点C就是所求的点.、⼀点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐⾓/ MON内部任意⼀点，在/ MON的两边OM，ON上各取⼀点B，C,组成三⾓形，使三⾓形周长最⼩.解：分别作点A 关于0M , ON 的对称点AAOM , ON 于点B 、点C ,则点B 、点C 即为所求分析：当AB 、BC 和AC 三条边的长度恰好能够体现在⼀条直线上时，三⾓形的周长最⼩例：如图，A.B 两地在⼀条河的两岸，现要在河上建⼀座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平⾏的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B 沿垂直与河岸的⽅向平移⼀个河宽到 E ,2.连接AE 交河对岸与点M,则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥证明：由平移的性质，得 BN // EM 且 BN=EM, MN=CD, BD // CE, BD=CE,所以 A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在 CD 处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB 两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在⼛ACE 中AC+CE >AE,⼆ AC+CE+MN >AE+MN,即 AC+CD+DB >AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD 处，AB 两地的路程最短。

最短路径经典练习题

最短路径经典练习题一、基础理论题1. 请简述迪杰斯特拉（Dijkstra）算法的基本原理。

2. 什么是贝尔曼福特（BellmanFord）算法？它适用于哪些类型的图？3. 请解释A搜索算法中启发式函数的作用。

4. 如何判断一个图中是否存在负权环？5. 简述弗洛伊德（Floyd）算法的基本步骤。

二、单选题A. 迪杰斯特拉算法B. 贝尔曼福特算法C. 弗洛伊德算法D. A搜索算法A. 初始化距离表B. 选择当前距离最小的顶点C. 更新相邻顶点的距离D. 重复步骤B和C，直到所有顶点都被访问A. 迪杰斯特拉算法B. 贝尔曼福特算法C. 弗洛伊德算法D. A搜索算法A. 启发式函数B. 起始节点C. 目标节点D. 图的规模三、多选题A. 迪杰斯特拉算法B. 贝尔曼福特算法C. 深度优先搜索算法D. 广度优先搜索算法A. 初始化距离矩阵B. 更新距离矩阵C. 查找负权环D. 输出最短路径A. 图的存储结构B. 顶点的数量C. 边的数量D. 起始顶点四、计算题A (3)>B (2)> D\ | ^ \ | | \(2)\ | (1)/C \|(4)A (1)>B (2)> D\ ^ |\(2)\ | (3)/C \ |(1)A (2)>B (3)> D\ | ^\(3)\ | (1)/C \ |(2)五、应用题1. 假设你是一名地图软件的开发者，请简述如何利用最短路径算法为用户提供导航服务。

2. 在一个网络游戏中，玩家需要从起点到达终点，途中会遇到各种障碍。

请设计一种算法，帮助玩家找到最佳路径。

六、判断题1. 迪杰斯特拉算法只能用于无向图的最短路径问题。

（）2. 贝尔曼福特算法可以检测图中是否存在负权环。

（）3. 在A搜索算法中，如果启发式函数h(n)始终为0，则算法退化为Dijkstra算法。

（）4. 弗洛伊德算法的时间复杂度与图中顶点的数量无关。

（）七、填空题1. 迪杰斯特拉算法中，用来存储顶点到源点最短距离的数组称为______。

最短路径问题---原创优秀课件精编版

A
A'
A’
M
a
b
N
B
B
A l
C
B′
轴对称变换
A C
A
A' M a
b
N
B
平移
l
变换
B
两点之间,线段最短.
变式练习
1.如图,A.B是直线a同侧的两定点,定长线段PQ在a 上平行移动,问PQ移动到什么位置时,AP+PQ+QB的长最短？
.B A.
a
..
PQ
分析: PQ是一个定长线段,AP+PQ+QB最
短即AP+QB最短.此题类似课本问题二的“造桥选址”问题。
问:平移哪条线段？沿哪个方向平移？
.B
A.
A’
a
.
. Q’
PQ
B’
2.某班晚会时桌子摆成如图AO,BO两直排 ,AO桌面上摆满了橘子,OB桌面上摆满了糖果,坐在C 处的小明先拿橘子再拿糖果,然后到D处座位上,请你帮助他设计一条行走
路线,使其所走的总路程最短？
最短路径问题
太平一中
理论依据:
1.两点的所有连线中,线段最短. （两点之间,线段最短）
2.三角形两边之和大于第三边. （证明时用）
常用方法：
1.直接运用两点之间线段最短解决
“求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小”的问题---- 只要连接这两点,与直线的交点即为所求．
A l
C
B
2.运用轴对称解决距离最短问题
如果涉及两条或更多条线段的和最短, 则运用轴对称将所求线段转化到一条线段上。
AA CCB Bl lB′

最短路径问题(经典)

最短路径问题
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题- 即已知起始结点，求最短路径的问题．
②确定终点的最短路径问题- 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．
③确定起点终点的最短路径问题- 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．
④全局最短路径问题- 求图中所有的最短路径．
【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．
【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．
【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．
【十二个基本问题】。

最短路径问题

最短路径问题（珍藏版）
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题- 即已知起始结点，求最短路径的问题．
②确定终点的最短路径问题- 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．
③确定起点终点的最短路径问题- 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．
④全局最短路径问题- 求图中所有的最短路径．
【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．
【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．
【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．
【十二个基本问题】
全国初中数学资料群群号：0。

13.4-最短路径问题例题与讲解

13.4 课题学习最短路径问题基础知识臺本技能1 .最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求.如图所示，点A，B分别是直线I异侧的两个点，在I上找一个点C,使CA + CB最短，这时点C是直线I与AB的交点.(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求.如图所示，点A, B分别是直线I同侧的两个点，在I上找一个点C,使CA + CB最短，这时先作点B关于直线I的对称点B'贝山点C是直线I与AB '的交点.B r为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C',连接AC',BC',B'C‘，证明AC+ CB V AC’t’B•如下：证明：由作图可知，点B和B'关于直线对称，所以直线I是线段BB'的垂直平分线.因为点C与C'在直线上，所以BC= B'C,BC'=B C.在△ABC '中,AB 'iAC'+C',所以AC+ B 'C<AC ' + C ',所以AC+ BC v AC ' -C B.【例1 ］在图中直线I上找到一点M ,使它到A, B两点的距离和最小.分析：先确定其中一个点关于直线I的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线I的交点M即为所求的点.解：如图所示：(1)作点B关于直线I的对称点B ';(2)连接AB '交直线于点M .(3)则点M即为所求的点.点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.基本方法塘本縮力J JI IK M F .4 \ f® F A J P J扌K uV X !■? M E ■ J. J2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同.警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问.3.利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上.如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决.解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题.【例2］如图，小河边有两个村庄A, B,要在河边建一自来水厂向A 村与B村供水.E F(1)若要使厂部到A, B村的距离相等，贝S应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A, B两村的水管最短，应建在什么地方？分析：(1)到A, B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点.(2)要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A(或B)点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF的交点即为所求.解：(1)如图1，取线段AB的中点G,过中点G画AB的垂线，交EF 于P,贝S P到A, B的距离相等.也可分别以A、B为圆心，1以大于2AB为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF的交点P即为所求.⑵如图2,画出点A关于河岸EF的对称点A'，连接A'B交EF于P，则P到A, B的距离和最短.【例3】如图，从A地到B地经过一条小河（河岸平行），今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短?思路导引：从A到B要走的路线是A—M —N —B,如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM + BN最短即可.此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC,从C到B应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥.解：（1）如图2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽.⑵连接BC与河岸的一边交于点N.（3）过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M •则MN为所建的桥的位置.思维拓展無斯应用K：Jl > / —- - *. . ........................................................................ .................. ~…• •--------------- ■ ■ ■ ....... ■■ ■: ■n iin 'ozi11 ：i n' i x i x Y I Yf i \ r;4 .生活中的距离最短问题由两点之间线段最短（或三角形两边之和大于第三边）可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AO + BO = AC的长.所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法.【例4】（实际应用题）茅坪民族中学八⑵班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排（图中的AO, BO）, A0桌面上摆满了橘子, 0B桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？A---------- 0C・irB图a解：如图b.(1)作C点关于OA的对称点C i，作D点关于OB的对称点D i, ⑵连接C iD i，分别交OA, OB于P, Q,那么小明沿C-P-Q-D 的路线行走，所走的总路程最短.5.运用轴对称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键.先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求.根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值.破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法.【例5］如图所示，A, B两点在直线I的两侧，在I上找一点C,使点C到点A、B的距离之差最大.分析：此题的突破点是作点A（或B）关于直线I的对称点A'（或B）,Ci作直线A 'B（AB'）与直线I交于点C,把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决.解：如图所示，以直线I为对称轴，作点A关于直线I的对称点A',AB 的连线交I于点C,则点C即为所求.理由：在直线I上任找一点C（异于点C），连接CA, CA, CA',CB.因为点A, A'关于直线I对称，所以I为线段AA '的垂直平分线，则有CA= CA',所以CA—CB=CA ' -CB= A B.又因为点C'在上，所以C 'A = C 'A '•在8 ' BC '中,C 'A—C B= C A' -C B v A B,所以C 'A ' -C B v CA —CB.点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.。

最短路径问题(经典)精编版

最短路径问题(经典)精编版
最短路径问题是图论研究中的经典算法问题之一，其目的是在图中寻找两个节点之间的最短路径。

该问题可以分为以下几种情况：已知起始节点，求最短路径；已知终止节点，求最短路径；已知起始和终止节点，求两个节点之间的最短路径；求图中所有节点之间的最短路径。

这些问题的原型包括将军饮马、造桥选址和费马点。

解决最短路径问题需要涉及到许多数学知识，包括线段最短距离、垂线段最短距离、三角形三边关系、轴对称和平移等。

这些知识可以在角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴和抛物线等几何形状中得到应用。

解决最短路径问题的思路是找到对称点，实现折转直的过程。

近年来，出现了一些变式问题，例如三折线转直等，需要考生掌握解决方法。

最短路径问题有许多基本问题，其中包括确定起始节点和终止节点的最短路径问题，求图中所有节点之间的最短路径问
题等等。

在解决这些问题时，需要运用前述的数学知识和解决思路。

如果你对最短路径问题感兴趣，可以加入全国初中数学资料群，群号为xxxxxxxx0.。