广东省惠州市高二上学期期末数学试卷
广东省惠州市高二上学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共8题；共16分)
1. （2分） (2018高二上·吉林期中) 若k∈R则“k>5”是“方程表示双曲线”的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
2. （2分）ω是正实数，函数在上是增函数，那么（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2019高一上·安达期中) 设，若，则（）
A .
B .
C . 或
D .
4. （2分） (2017高二上·南阳月考) 已知为抛物线上一个动点，直线：，：
，则到直线、的距离之和的最小值为（）.
A .
B .
C .
D .
5. （2分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）
A . 2+
B . 4+
C . 2+2
D . 5
6. （2分）已知某几何题的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积V1 ，直径为4的球的体积为V2 ，则V1:V2=（）
A . 1:2
B . 2:1
C . 1:1
D . 1:4
7. （2分）若双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则a=（）
A . 2
B .
C .
D . 1
8. （2分） (2016高二上·三原期中) 已知f（x）=log2（x﹣2），若实数m，n满足f（m）+f（n）=3，则m+n 的最小值为（）
A . 5
B . 7
C . 4+4
D . 9
二、填空题 (共7题；共7分)
9. （1分） (2016高三上·厦门期中) 已知x，y∈[0，π]，则cos（x+y）+cosx+2cosy的最小值为________．
10. （1分） (2019高一上·兰州期中) 函数的单调递减区间为________．
11. （1分） (2018高二下·西宁期末) 已知曲线C：( 为参数)，与直线：(t 为参数)，交于两点，则 ________．
12. （1分）(2014·湖南理) 如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（a＜b），原点O为AD的中点，抛物线y2=2px（p＞0）经过C，F两点，则 =________．
13. （1分） (2017高二下·淮安期末) 已知半径为1的扇形面积为，则此扇形的周长为________．
14. （1分）方程（）x=|x2﹣4x+3|的解的个数为________．
15. （1分）(2020·上饶模拟) 一个棱长为的正方体中有一个实心圆柱体，圆柱的上、下底面在正方体的上、下底面上，侧面与正方体的侧面相切，则在正方体与圆柱的空隙中能够放置的最大球的半径为________．
三、解答题 (共5题；共40分)
16. （10分） (2016高三上·连城期中) 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB中点．
（1）求证：BC1∥平面A1CD；
（2）若四边形BCC1B1是正方形，且A1D= ，求直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值．
17. （5分）(2017·河南模拟) 已知△ABC中A，B，C所对的边分别为a，b，c，（1﹣cos2B）=8sinBsinC，A+ =π．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若点D在线段BC上，且BD=6，c=5，求△ADC的面积．
18. （10分）(2018·栖霞模拟) 已知椭圆的焦距为，且过点 .
（1）求椭圆的方程；
（2）若不经过点的直线与椭圆交于，两点，且直线与直线的斜率之和为，证明：直线的斜率为定值.
19. （5分） (2016高一上·济南期中) 已知f（x）=x2+ax+3﹣a，若x∈[﹣2，2]时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．
20. （10分） (2018高二上·台州月考) 已知直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于两点，为中点，的斜率为 .
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆的动弦，且其斜率为1，问椭圆上是否存在定点，使得直线的斜率满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案一、选择题 (共8题；共16分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
二、填空题 (共7题；共7分)
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
三、解答题 (共5题；共40分) 16-1、
16-2、
17-1、
18-1、18-2、
19-1、20-1、20-2、。
惠州市2022—2023第一学期期末质量检测高二数学试题及答案
惠州市2022-2023学年度第一学期期末质量检测高二数学试题全卷满分150分，时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。
1．过点()1,3P −且平行于直线230x y −+=的直线方程为（ ）A ．210x y +−=B ．250x y +−=C ．250x y +−=D ．270x y −+=2．已知{}n a 是等差数列，且21a +是1a 和4a 的等差中项，则{}n a 的公差为（ ） A ．1B ．2−C ．2D ．1−3．棱长为1的正四面体ABCD 中，则AD BC ⋅等于（ ）A ．0B ．12C ．14D ．14−4．已知椭圆C 的一个焦点为()1,0，且过点(，则椭圆C 的标准方程为（ ）A ．22123x y +=B ．22143x y +=C ．22132x y +=D ．22134x y +=5．已知空间向量()2,1,3a =−，则向量a 在坐标平面xOy 上的投影向量是（ ） A ．()0,2,1B ．()0,1,3−C ．()2,1,0D ．()2,0,3−6．直线l ：2+1=0mx y m −−与圆C ：22(2)4x y +−=交于A ，B 两点，则当弦AB 最短时直线l 的方程为（ ）A ．430x y −+=B ．2430x y −−=C ．2410x y ++=D ．2430x y −+=7．已知直线l 1的方程是y ＝ax ＋b ，l 2的方程是y ＝bx －a (ab ≠0，a ≠b )，则下列图形中，正确的是（ ）A B C D8．在数列中，若p 为常数），则称为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断： ①若是等方差数列，则是等差数列； ②不是等方差数列；③若是等方差数列，则{}kn a （*,k k ∈N 为常数）也是等方差数列；④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列。
2022-2023学年广东省惠州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分40分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1．过点P （﹣1，3）且平行于直线x ﹣2y +3＝0的直线方程为（ ） A ．2x +y ﹣1＝0B ．2x +y ﹣5＝0C ．x +2y ﹣5＝0D ．x ﹣2y +7＝02．已知{a n }是等差数列，且a 2+1是a 1和a 4的等差中项，则{a n }的公差为（ ） A ．1B ．2C ．﹣2D ．﹣13．棱长为1的正四面体ABCD 中，则AD →⋅BC →等于（ ） A ．0B ．12C ．14D ．−144．已知椭圆C 的一个焦点为（1，0），且过点(0，√3)，则椭圆C 的标准方程为（ ） A ．x 22+y 23=1 B ．x 24+y 23=1C ．x 23+y 22=1D ．x 23+y 24=15．已知空间向量a →=(2，1，−3)，则向量a →在坐标平面xOy 上的投影向量是（ ） A ．（0，2，1）B ．（2，1，0）C ．（0，1，﹣3）D ．（2，0，﹣3）6．已知直线l ：2mx +y ﹣m ﹣1＝0与圆C ：x 2+（y ﹣2）2＝4交于A ，B 两点，则当弦AB 最短时直线l 的方程为（ ） A ．2x ﹣4y +3＝0B ．x ﹣4y +3＝0C ．2x +4y +3＝0D ．2x +4y +1＝07．已知直线l 1的方程是y ＝mx +n ，l 2的方程是y ＝nx ﹣m （mn ≠0，m ≠n ），则下列各图形中，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．在数列{a n }中，若a n 2﹣a n ﹣12＝p （n ≥2，n ∈N *，p 为常数），则称{a n }为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；①若{a n }是等方差数列，则{a n 2}是等差数列； ②{（﹣1）n }是等方差数列；③若{a n }是等方差数列，则{a kn }（k ∈N *，k 为常数）也是等方差数列； ④若{a n }既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列． 其中正确命题序号为（ ） A ．①②③B ．①②④C ．①②③④D ．②③④二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝n 2﹣5n ，则下列说法正确的是（ ） A ．{a n }为等差数列 B ．a n ＞0C ．S n 最小值为−254D ．{a n }为单调递增数列10．已知空间中AB →=(2，1，0)，AC →=(−1，2，1)，则下列结论正确的有（ ） A ．AB →⊥AC →B ．与AB →共线的单位向量是（1，1，0）C ．|BC →|=√11D ．平面ABC 的一个法向量是（1，﹣2，5） 11．已知曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1，则下列判断正确的是（ ）A ．若a ＝﹣b ＞0，则C 是圆，其半径为aB ．若ab ＞0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±√b axC ．若﹣a ＜b ＜0，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上D ．若a ＝b ＝1，则C 是两条直线12．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F （0，2），椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y 轴交于点G ．若过原点O 的直线与上半椭圆交于点A ，与下半圆交于点B ，则（ ）A ．椭圆的长轴长为2√2B ．△AFG 的周长为4+4√2C ．线段AB 长度的取值范围是[4，2+2√2]D ．△ABF 面积的最大值是4√2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为 ．14．已知双曲线C ：x 2−y 2m =1经过点(√2，2)，则它的渐近线方程为 ，离心率为 ． 15．已知圆x 2+y 2＝4上有且仅有3个点到直线l 的距离等于1，请写出满足上述条件的一条直线l 方程 ．（写出一个正确答案即可）16．空间直角坐标系xOy 中，过点P （x 0，y 0，z 0）且一个法向量为n →=(a ，b ，c)的平面α的方程为a （x ﹣x 0）+b （y ﹣y 0）+c （z ﹣z 0）＝0，过点P （x 0，y 0，z 0）且方向向量为n →=(u ，v ，w)(uvw ≠0)的直线l 的方程为x−x 0u=y−y 0v=z−z 0w，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面α的方程为x ﹣y +z +1＝0，直线l 是两个平面x ﹣y +2＝0与2x ﹣z +1＝0的交线，则直线l 与平面α所成角的正弦值为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝a n +2n ，n ∈N *． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝a n ﹣n 2，求数列{b n }的前n 项和S n ．18．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是DD 1，BD ，BB 1的中点． （1）求证：EF ⊥CF ；（2）求EF 与CG 所成角的余弦值．19．（12分）已知A （﹣1，0），B （1，0），C 为平面内的一个动点，且满足|AC|=√2|BC|． （1）求点C 的轨迹方程；（2）若直线l 为x +y ﹣1＝0，求直线l 被曲线C 截得的弦的长度．20．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P （2，2），A ，B 是抛物线C 上异于点O 的不同的两点，其中O 为原点．（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）若OA ⊥OB ，求△AOB 面积的最小值．21．（12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，EF ∥AC ，EF ＝1，∠ABC ＝60°，CE ⊥平面ABCD ，CE =√3，CD ＝2，G 是DE 的中点． （1）求证：平面ACG ∥平面BEF ；（2）求直线AD 与平面ABF 所成的角的正弦值．22．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F （2，0），O 为坐标原点，双曲线C 的两条渐近线的夹角为π3．（1）求双曲线C 的方程；（2）过点F 作直线l 交C 于P ，Q 两点，在x 轴上是否存在定点M ，使MP →⋅MQ →为定值？若存在，求出定点M 的坐标及这个定值；若不存在，说明理由．2022-2023学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分40分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1．过点P （﹣1，3）且平行于直线x ﹣2y +3＝0的直线方程为（ ） A ．2x +y ﹣1＝0B ．2x +y ﹣5＝0C ．x +2y ﹣5＝0D ．x ﹣2y +7＝0解：设平行于直线x ﹣2y +3＝0的直线方程为x ﹣2y +m ＝0，再根据所求的直线过点P （﹣1，3）， 可得﹣1﹣6+m ＝0，求得m ＝7，故要求的直线的方程为 x ﹣2y +7＝0， 故选：D ．2．已知{a n }是等差数列，且a 2+1是a 1和a 4的等差中项，则{a n }的公差为（ ） A ．1B ．2C ．﹣2D ．﹣1解：设等差数列{a n }的公差为d ． 由已知条件，得a 1+a 4＝2（a 2+1）， 即a 1+（a 1+3d ）＝2（a 1+d +1），解得d ＝2． 故选：B ．3．棱长为1的正四面体ABCD 中，则AD →⋅BC →等于（ ） A ．0B ．12C ．14D ．−14解：棱长为1的正四面体ABCD 中，则AD →⋅BC →=AD →•（AC →−AB →）=AD →•AC →−AD →•AB →=1×1×cos60°﹣1×1×cos60°＝0． 故选：A ．4．已知椭圆C 的一个焦点为（1，0），且过点(0，√3)，则椭圆C 的标准方程为（ ） A ．x 22+y 23=1 B ．x 24+y 23=1C ．x 23+y 22=1D ．x 23+y 24=1解：∵椭圆C 的一个焦点为（1，0），且过点(0，√3)，∴c ＝1，b =√3，∴a 2＝b 2+c 2＝4， ∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．故选：B ．5．已知空间向量a →=(2，1，−3)，则向量a →在坐标平面xOy 上的投影向量是（ ） A ．（0，2，1）B ．（2，1，0）C ．（0，1，﹣3）D ．（2，0，﹣3）解：∵a →=(2，1，−3)，∴a →在坐标平面xOy 上的投影向量是（2，1，0）． 故选：B ．6．已知直线l ：2mx +y ﹣m ﹣1＝0与圆C ：x 2+（y ﹣2）2＝4交于A ，B 两点，则当弦AB 最短时直线l 的方程为（ ） A ．2x ﹣4y +3＝0B ．x ﹣4y +3＝0C ．2x +4y +3＝0D ．2x +4y +1＝0解：根据题意，圆C 的圆心C 为（0，2），半径r ＝2； 已知直线l ：2mx +y ﹣m ﹣1＝0恒过点P （12，1）；∴当CP 与AB 垂直时，即P 为AB 的中点时，弦长|AB |最短， 此时k CP =2−10−12=−2，则k AB =12； 此时﹣2m =12⇒m =−14； 此时直线AB 的方程为−12x +y −34=0，变形可得2x ﹣4y +3＝0． 故选：A ．7．已知直线l 1的方程是y ＝mx +n ，l 2的方程是y ＝nx ﹣m （mn ≠0，m ≠n ），则下列各图形中，正确的是（ ）A ．B ．C．D．解：根据直线l1的方程是y＝mx+n，l2的方程是y＝nx﹣m（mn≠0，m≠n），①当m＞0时，﹣m＜0，n＞0，﹣n＜0，选项A错误；②当n＞0，﹣m＜0，则m＞0，故D正确；③当m＞0，n＞0时，﹣m＜0，故B错误；④由于两直线的交点在y轴上，故m＝﹣n，故m和n异号，故C错误．故根据函数的图象只有A符合答案．选项ABC都不对．故选：D．8．在数列{a n}中，若a n2﹣a n﹣12＝p（n≥2，n∈N*，p为常数），则称{a n}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；①若{a n}是等方差数列，则{a n2}是等差数列；②{（﹣1）n}是等方差数列；③若{a n}是等方差数列，则{a kn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列；④若{a n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．其中正确命题序号为（）A．①②③B．①②④C．①②③④D．②③④解：①∵{a n}是等方差数列，∴a n2﹣a n﹣12＝p（p为常数）得到{a n2}为首项是a12，公差为p的等差数列；∴{a n2}是等差数列；②数列{（﹣1）n}中，a n2﹣a n﹣12＝[（﹣1）n]2﹣[（﹣1）n﹣1]2＝0，∴{（﹣1）n}是等方差数列；故②正确；③数列{a n}中的项列举出来是，a1，a2，…，a k，…，a2k，…数列{a kn}中的项列举出来是，a k，a2k，…，a3k，…，∵（a k+12﹣a k2）＝（a k+22﹣a k+12）＝（a k+32﹣a k+22）＝…＝（a2k2﹣a2k﹣12）＝p∴（a k+12﹣a k2）+（a k+22﹣a k+12）+（a k+32﹣a k+22）+…+（a2k2﹣a2k﹣12）＝kp∴（a k（n+1）2﹣a kn2）＝kp∴{a kn }（k ∈N *，k 为常数）是等方差数列；故③正确； ④∵{a n }既是等差数列，∴a n ﹣a n ﹣1＝d ， ∵{a n }既是等方差数列，∴a n 2﹣a n ﹣12＝p ∴（a n +a n ﹣1）d ＝p ，1°当d ＝0时，数列{a n }是常数列，2°当d ≠0时，a n =d2+p2d ，数列{a n }是常数列， 综上数列{a n }是常数列，故④正确， 故选：C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝n 2﹣5n ，则下列说法正确的是（ ） A ．{a n }为等差数列 B ．a n ＞0C ．S n 最小值为−254 D ．{a n }为单调递增数列解：由题意，数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =n 2−5n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1﹣5＝﹣4，当n ≥2时，a n =S n −S n −1=n 2−5n −[(n −1)2−5(n −1)]=2n −6， 当n ＝1时，a 1＝﹣4满足上式，所以a n ＝2n ﹣6，由于a n ﹣a n ﹣1＝2（n ≥2），所以数列{a n }是首项为﹣4，公差为2的等差数列， 因为公差大于零，所以{a n }为单调递增数列，所以A ，D 正确； 由于a 1＝﹣4＜0，故B 错误； 由于S n =n 2−5n =(n −52)2−254，n ∈N *， 所以当n ＝2或n ＝3时，S n 取最小值，且最小值为﹣6，所以C 错误， 故选：AD ．10．已知空间中AB →=(2，1，0)，AC →=(−1，2，1)，则下列结论正确的有（ ） A ．AB →⊥AC →B ．与AB →共线的单位向量是（1，1，0） C ．|BC →|=√11D ．平面ABC 的一个法向量是（1，﹣2，5）解：已知空间中AB →=(2，1，0)，AC →=(−1，2，1)，对于A ：AB →⋅AC →=−2+2+0=0，所以AB →⊥AC →，故A 正确； 对于B ：AB →=（2，1，0），则单位向量为±AB →|AB →|=±(2√51√50)，故B 错误； 对于C ：BC →=AC →−AB →=(−3，1，1)，所以|BC →|=√(−3)2+12+12=√11，故C 正确； 对于D ：设平面ABC 的法向量为n →=(x ，y ，z)，所以{n →⋅AB →=0n →⋅AC →=0，整理得{2x +y =0−x +2y +z =0，解得{y =−2x z =5x ． 故平面ABC 的一个法向量是（1，﹣2，5），故D 正确． 故选：ACD ． 11．已知曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1，则下列判断正确的是（ ）A ．若a ＝﹣b ＞0，则C 是圆，其半径为aB ．若ab ＞0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±√baxC ．若﹣a ＜b ＜0，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上D ．若a ＝b ＝1，则C 是两条直线解：若a ＝﹣b ＞0时，C ：x 2a −y 2b=1转化为x 2+y 2＝a ，半径为√a ，故A 错误；若ab ＞0，当a ＞0，b ＞0，C 是焦点在x 轴上的双曲线，当a ＜0，b ＜0，C 是焦点在y 轴上的双曲线，无论焦点在挪个轴上，令x 2a−y 2b=0，整理可得y =±√ba x 均是C 的渐近线，故B 正确；若−a ＜b ＜0，C ：x 2a −y 2b =1转化为C ：x 2a +y 2−b=1，由于a ＞﹣b ＞0可知，C 是焦点在x 轴上的椭圆，故C 正确； 若a =b =1，C ：x 2a −y 2b=1转化为x 2﹣y 2＝1，是双曲线不是两条直线，故D 错误． 故选：BC ．12．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F （0，2），椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y 轴交于点G ．若过原点O 的直线与上半椭圆交于点A ，与下半圆交于点B ，则（ ）A．椭圆的长轴长为2√2B．△AFG的周长为4+4√2C．线段AB长度的取值范围是[4，2+2√2]D．△ABF面积的最大值是4√2解：由题知，椭圆中的几何量b＝c＝2，得a=2√2，则2a=4√2，∴A错误；AB＝OB+OA＝2+OA，由椭圆性质可知2≤OA≤2√2，∴4≤AB≤2+2√2，C正确；记∠AOF＝θ，则S△ABF=S△AOF+S△OBF=12OA⋅OFsinθ+12OB⋅OFsin(π−θ)＝OA sinθ+2sinθ＝（OA+2）sinθ，当OA＝2√2，且θ＝90°才能使得S△ABF=2√2+2＜4√2，显然OA＝2√2，且θ＝90°不能同时成立，∴D错误；由椭圆定义知，AF+AG=2a=4√2，所以△AFG的周长L=FG+4√2=4+4√2，∴B正确．故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．抛物线y2＝8x的焦点坐标为（2，0）．解：抛物线y2＝8x的焦点在x轴正半轴上，开口向右，p＝4，所以抛物线的焦点坐标（2，0）．故答案为：（2，0）．14．已知双曲线C ：x 2−y 2m =1经过点(√2，2)，则它的渐近线方程为 y ＝±2x ，离心率为 √5 ．解：由题知，双曲线C ：x 2−y 2m =1经过点(√2，2)， 所以2−4m=1，解得m ＝4， 所以双曲线方程为x 2−y 24=1，所以双曲线焦点在x 轴上，a =1，b =2，c =√5， 所以它的渐近线方程为y ＝±2x ，离心率为e =√5， 故答案为：y ＝±2x ；√5．15．已知圆x 2+y 2＝4上有且仅有3个点到直线l 的距离等于1，请写出满足上述条件的一条直线l 方程 x ＝±1，y ＝±1等答案不唯一 .（写出一个正确答案即可）解：圆x 2+y 2＝4的半径为2，圆x 2+y 2＝4上有且仅有3个点到直线l 的距离等于1， 可知圆的圆心到直线的距离为1， 这样的直线可以为：x ＝±1，y ＝±1等． 故答案为：x ＝±1，y ＝±1等答案不唯一．16．空间直角坐标系xOy 中，过点P （x 0，y 0，z 0）且一个法向量为n →=(a ，b ，c)的平面α的方程为a （x ﹣x 0）+b （y ﹣y 0）+c （z ﹣z 0）＝0，过点P （x 0，y 0，z 0）且方向向量为n →=(u ，v ，w)(uvw ≠0)的直线l 的方程为x−x 0u=y−y 0v=z−z 0w，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面α的方程为x ﹣y +z +1＝0，直线l 是两个平面x ﹣y +2＝0与2x ﹣z +1＝0的交线，则直线l 与平面α所成角的正弦值为 √23． 解：联立{x −y +z +1=0x −y +2=02x −z +1=0，解得{x =0y =2z =1，可得直线l 与平面α的交点P （0，2，1），平面α的方程为x ﹣y +z +1＝0，变为：x ﹣（y ﹣2）+（z ﹣1）＝0， 可得平面α的法向量n →=（1，﹣1，1）．直线l 是两个平面x ﹣y +2＝0与2x ﹣z +1＝0的交线， 可得直线l 的方程为：x1=y−21=z−12，可得直线l 的方向向量u →=（1，1，2）．直线l 与平面α所成角的正弦值＝|cos ＜n →，u →＞|=|n →⋅u →||n →|⋅|u →|=2√3×√6=√23．故答案为：√23．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝a n +2n ，n ∈N *． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝a n ﹣n 2，求数列{b n }的前n 项和S n ． 解：（1）∵数列{a n }满足a 1＝1，a n +1﹣a n ＝2n （n ∈N *）． ∴a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1 ＝2（n ﹣1）+2（n ﹣2）+…+2×1+1 =2×(n−1)n 2+1＝n 2﹣n +1． ∴a n ＝n 2﹣n +1．（2）b n ＝a n ﹣n 2＝﹣n +1，∴数列{b n }是等差数列，首项为0，公差为﹣1， ∴数列{b n }的前n 项和S n =n(−n+1)2． 18．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是DD 1，BD ，BB 1的中点． （1）求证：EF ⊥CF ；（2）求EF 与CG 所成角的余弦值．解：（1）证明：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，由题知，E （0，0，1），F （1，1，0），C （0，2，0），G （2，2，1） 所以得，EF →=(1，1，−1)，CF →=(1，−1，0)，EF →⋅CF →=0， ∴EF →⊥CF →，所以EF ⊥CF（2）CG →=(2，0，1)，则EF →⋅CG →=2−1=1，|EF →|=√3，||CG →|=√5，cos ＜EF →，CG →＞=EF →⋅CG→|EF →|⋅|CG →|=√1515，所以EF 与CG 所成角的余弦值为√1515． 19．（12分）已知A （﹣1，0），B （1，0），C 为平面内的一个动点，且满足|AC|=√2|BC|． （1）求点C 的轨迹方程；（2）若直线l 为x +y ﹣1＝0，求直线l 被曲线C 截得的弦的长度． 解：（1）设点C （x ，y ），∵|AC|=√2|BC|，A （﹣1，0），B （1，0）， ∴√(x +1)2+(y −0)2=√2×√(x −1)2+(y −0)2， 整理得x 2+y 2﹣6x +1＝0，∴点C 的轨迹方程为x 2+y 2﹣6x +1＝0；（2）由（1）可知，曲线C 为圆C ：（x ﹣3）2+y 2＝8， ∴圆心C （3，0），半径r =2√2，∴圆心C （3，0）到直线l ：x +y ﹣1＝0的距离d =|3+0−1|√2=√2， ∴弦长为2√r 2−d 2=2√6．20．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P （2，2），A ，B 是抛物线C 上异于点O 的不同的两点，其中O 为原点．（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）若OA ⊥OB ，求△AOB 面积的最小值．解：（I ）由抛物线C ：y 2＝2px 经过点P （2，2）知4p ＝4，解得p ＝1． 则抛物线C 的方程为y 2＝2x ．抛物线C 的焦点坐标为(12，0)，准线方程为x =−12， （ II ）由题知，直线AB 不与y 轴垂直，设直线AB ：x ＝ty +a ， 由{x =ty +a y 2=2x消去x ，得y 2﹣2ty ﹣2a ＝0． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2＝2t ，y 1y 2＝﹣2a ． 因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2+y 1y 2＝0，即y 12y 224+y 1y 2=0，解得y 1y 2＝0（舍）或y 1y 2＝﹣4． 所以﹣2a ＝﹣4．解得a ＝2． 所以直线AB ：x ＝ty +2．所以直线AB 过定点（2，0）.S △AOB =12×2×|y 1−y 2|=√y 12+y 22−2y 1y 2=√y 12+y 22+8≥√2|y 1y 2|+8=4．当且仅当y 1＝2，y 2＝﹣2或y 1＝﹣2，y 2＝2时，等号成立． 所以△AOB 面积的最小值为4．21．（12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，EF ∥AC ，EF ＝1，∠ABC ＝60°，CE ⊥平面ABCD ，CE =√3，CD ＝2，G 是DE 的中点． （1）求证：平面ACG ∥平面BEF ；（2）求直线AD 与平面ABF 所成的角的正弦值．解：（Ⅰ）连接BD 交AC 于O ，则O 是BD 的中点， 连结OG ，∵G 是DE 的中点，∴OG ∥BE ， ∵BE ⊂面BEF ，OG 在面BEF 外， ∴OG ∥面BEF ；又EF ∥AC ，AC 在面BEF 外，AC ∥面BEF ，又AC 与OG 相交于点O ，面ACG 有两条相交直线与面BEF 平行， 故面ACG ∥面BEF ．（Ⅱ）如图，以O 为坐标原点，分别以OC 、OD 、OF 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 则A （﹣1，0，0），B(0，−√3，0)，D(0，√3，0)，F(0，0，√3)， AD →=(1，√3，0)，AB →=(1，−√3，0)，AF →=(1，0，√3)， 设面ABF 的法向量为m →=(a ，b ，c)，依题意有{m →⊥AB →m →⊥AF →，则{(a ，b ，c)⋅(1，−√3，0)=a −√3b =0(a ，b ，c)⋅(1，0，√3)=a +√3c =0， 令a =√3，b ＝1，c ＝﹣1，m →=(√3，1，−1)， cos ＜AD →，m →＞=√3+√3√4×√4+1=√155， 直线AD 与面ABF 成的角的正弦值是√155．22．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F （2，0），O 为坐标原点，双曲线C 的两条渐近线的夹角为π3．（1）求双曲线C 的方程；（2）过点F 作直线l 交C 于P ，Q 两点，在x 轴上是否存在定点M ，使MP →⋅MQ →为定值？若存在，求出定点M 的坐标及这个定值；若不存在，说明理由． 解：（1）由题意可得：c ＝2=√a 2+b 2，ba =tanπ6=√33， 解得a =√3，b ＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23−y 2＝1．（2）过点F 作直线l 交C 于P ，Q 两点，假设在x 轴上存在定点M （m ，0），使MP →⋅MQ →为定值． ①直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为ty ＝x ﹣2，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 联立{ty =x −2x 2−3y 2=3，化为：（t 2﹣3）y 2+4ty +1＝0， Δ＞0， ∴y 1+y 2=−4t t 2−3，y 1y 2=1t 2−3， ∴MP →⋅MQ →=（x 1﹣m ，y 1）•（x 2﹣m ，y 2） ＝（x 1﹣m ）•（x 2﹣m ）+y 1y 2 ＝（ty 1+2﹣m ）•（ty 2+2﹣m ）+y 1y 2 ＝（t 2+1）y 1y 2+（2t ﹣tm ）（y 1+y 2）+（2﹣m ）2 ＝（t 2+1）•1t 2−3−（2t ﹣tm ）4tt 2−3+（2﹣m ）2=(4m−7)t 2+1t 2−3+（2﹣m ）2=(4m−7)(t 2−17−4m )t 3−3+（2﹣m ）2， 令17−4m=3，解得m =53，此时MP →⋅MQ →=4m ﹣7+（2﹣m ）2=−29．②直线l 的斜率不为0时，不妨设P （−√3，0），Q （√3，0）， 此时MP →⋅MQ →=（−√3−53，0）•（√3−53，0）=(−53)2−3=−29． 综上可得：在x 轴上存在定点M （53，0），使MP →⋅MQ →为定值−29．。
广东省惠州市高二上册期末数学试题与答案
广东省惠州市高二上册期末数学试题与答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.命题“若，则”的否命题是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B根据命题“若p，则q”的否命题是“若￢p，则￢q”．命题“若，则”的否命题是“若，则”故选：B本题考查了命题与它的否命题的应用问题，是基础题．2.若是函数的导函数，则的值为（）A. 1B. 3C. 1或3D. 4【答案】B先求出函数的导函数，然后求出函数值即可．∵，∴∴.故选C．本题考查导函数的求法，解题的关键是熟记基本初等函数的求导公式和求导法则，属于简单题．3.设，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A∵∴或∴是的充分不必要条件故选A4.已知向量，若，则实数的值为（）A. B. C. D. 2【答案】D根据向量垂直的等价条件得到数量积为0，从而得到关于的方程，解方程可得所求结果．∵∴，∴，∴，解得.故选D．本题考查空间向量垂直的等价条件及向量数量积的运算，考查转化和计算能力，属于基础题．5.执行如图所示的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的=（）A. B. C. D.【答案】D当n=1时,满足进行循环的条件,执行循环体后：；当n=2时,满足进行循环的条件,执行循环体后：；当n=3时,满足进行循环的条件,执行循环体后：；当n=4时，不满足进行循环的条件，故输出的M值为：.本题选择D选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．6.某班有50名学生，男女人数不相等。
随机询问了该班5名男生和5名女生的某次数学测试成绩，用茎叶图记录如下图所示，则下列说法一定正确的是（）A. 这5名男生成绩的标准差大于这5名女生成绩的标准差。
【高二】广东省惠州市高二上学期期末考试试题(数学 文)
【高二】广东省惠州市高二上学期期末考试试题（数学文）试卷说明：第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.椭圆的焦距等于（）A．B．C．D．，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：由导数的计算公式，可知，故选B.考点：导数的计算.4.已知点抛物线，点上，点的坐标是，=（）A．2 B．3 C．4D．56.“”是“方程表示的曲线为抛物线”的（）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】试题分析：因为当且仅当时，方程表示的曲线为抛物线，而集合是集合的真子集，所以“”是“方程表示的曲线为抛物线”的充分不必要条件，故选A.考点：1.充分必要条件的判断；2.抛物线的方程.7.命题“”的否定是( )A． B．C． D．9.执行程序框图，如果输入，那么输出10.已知椭圆，左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为8，则的值是（） B． C． D．【答案】D 【解析】试题分析：由椭圆的方程，可得，∵，，∴的周长为若最小时，最大，又当轴时，最小，，，故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某城市近10年居民的年收入与支出之间的关系大致符合（单位：亿元），预计今年该城市居民年收入为20亿元，则今年支出估计是亿元.【答案】 14.函数在处的切线方程是 .【答案】【解析】试题分析：因为，所以在处的切线的斜率为又∵，切点为，所以切线方程为化简得.考点：导数的几何意义.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分12分）某社团组织名志愿者利用周末和节假日参加社会公益活动志愿者20至40岁大于40岁在志愿者中分层抽样方法随机抽取名年龄大于40岁的应该抽取几名?上述抽取的名志愿者中任取2名求年龄大于40岁的16.（本小题满分1分），，点的坐标为.（1）求当时，点满足的概率；（2）求当时，点满足的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）这是几何概型的概率计算问题，先确定总区域即不等式组所表示的平面区域的面积，后确定不等式组所表示的平面区域的面积，最后根据几何概型的概率计算公式计算即可；（2）先计算出满足不等式组所包含的整点的个数，后确定不等式组所包含的整点的个数，最后由即可得到所求的概率.试题解析：（1）点所在的区域为正方形的内部（含边界）……………（1分）满足的点的区域为以为圆心，2为半径的圆面（含边界）………（3分）所求的概率…………………………（5分） (2)设，是的充分不必要条件，则所以所以实数的取值范围是（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，直线与圆相切（1）求椭圆的方程；（2）设直线椭圆为求.（2），设交点坐标分别为………9分19.（本小题满分14分）图像过点，且在处的切线方程是.（2）………………………………8分令令或令………………………………10分23＋0－0＋?5??由上表知，在区间上，当时，当时，………………14分.考点：1.导数的几何意义；2.函数的最值与导数.20.（本小题满分14分）已知动直线与椭圆交于两不同点，且△的面积=其中为坐标原点（）证明和均为定值（）设线段的中点为，求的最大值；（）椭圆上是否存在点，使得若存在，判断△的形状；若不存在，请说明理由；（3）不存在点满足要求.【解析】试题分析：（1）先检验直线斜率不存在的情况，后假设直线的方程，利用弦长公式求出的长，利用点到直线的距离公式求点到直线的距离，根据三角形的面积公式，即可求得与均为定值；（2）由（1）可求线段的中点的坐标，代入并利用基本不等式求最值；（3）假设存在，使得，由（1）得，，从而求得点的坐标，可以求出直线的方程，从而得到结论.所以又，整理得，且符合（*）式此时综上所述，结论成立………………………5分解法二：因为所以即当且仅当时等号成立因此的最大值为…………………………………………………9分每天发布最有价值的高考资源每天发布最有价值的高考资源 1 1 每天发布最有价值的否是开始输入结束输出广东省惠州市高二上学期期末考试试题（数学文）感谢您的阅读，祝您生活愉快。
2021-2022学年广东省惠州市高二上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年广东省惠州市高二上学期期末数学试题一、单选题1．过点()1,0且与直线220x y --=平行的直线方程是（ ） A ．210x y --= B ．210x y -+= C ．220x y ++= D ．210x y +-=【答案】A【分析】由题意设直线方程为20x y m -+=，根据点在直线上求参数即可得方程. 【详解】由题设，令直线方程为20x y m -+=，所以1200m -⨯+=，可得1m =-. 所以直线方程为210x y --=. 故选：A.2．已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（ ） A ．3 B ．6 C ．8 D ．12【答案】B【分析】根据椭圆中,,a b c 的关系即可求解. 【详解】椭圆的长轴长为10，焦距为8， 所以210a =，28c =，可得5a =，4c =， 所以22225169b a c =-=-=，可得3b =， 所以该椭圆的短轴长26b =， 故选：B.3．已知()0,1,1a =，()0,1,0b =，则a 在b 上的投影向量为（ ）A ．1BC ．()0,1,0D ．110,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据题意得2cos ,2a b =，进而根据投影向量的概念求解即可. 【详解】解：因为()0,1,1a =，()0,1,0b =，所以2,1a b ==， 所以2cos ,2a b a b a b⋅==，所以a 在b 上的投影向量为)()cos ,20,1,00,1,02b a a b b⋅=⨯= 故选：C4．如图，在四面体ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，AC 的中点，则()12AB BC CD ++化简的结果为（ ）A ．BFB ．EHC ．HGD ．FG【答案】C【分析】根据向量的加法和数乘的几何意义，即可得到答案； 【详解】()()111122222AB BC CD AC CD AD HG HG ++=+==⨯=． 故选：C ．5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ） A ．192 里 B ．96 里 C ．48 里 D ．24 里【答案】B【分析】由题可得此人每天走的步数等比数列，根据求和公式求出首项可得. 【详解】由题意可知此人每天走的步数构成12为公比的等比数列{}n a ， 由题意和等比数列的求和公式可得61112378112a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎛⎫- ⎪⎝⎭=-⎦，解得1192a =， 第此人第二天走1192962⨯=里.故选：B ．6．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1AA 的中点，则点1A 到平面MBD 的距离是（ ）A ．66B ．36C ．34D ．63【答案】A【分析】等体积法求解点到平面的距离. 【详解】连接1A D ，1A B ，则1111112224A DMSA M AD =⋅=⨯=，，由勾股定理得：15142BM DM ==+=，2BD =，取BD 中点E ，连接ME ，由三线合一得：ME ⊥BD ，则513422ME =-=，故113622224BDMSBD ME =⋅=⨯⨯=，设1A 到平面MBD 的距离是h ，则11116133412B A DM A BDM BDMV V Sh h --==⋅=⨯=，解得：66h =，故点1A 到平面MBD 的距离是66.故选：A7．设村庄外围所在曲线的方程可用()()22234x y -++=表示，村外一小路所在直线方程可用20x y -+=表示，则从村庄外围到小路的最短距离为（ ） A ．722 B 722 C 722 D ．722【答案】B【分析】求出圆心到直线距离，减去半径即为答案.【详解】圆心()2,3-到直线20x y -+=的距离2d =，则从村庄外围到小2- 故选：B8．已知{}n a 为等差数列，d 为公差，若124,,a a a 成等比数列，36a =且0d ≠，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（ ） A ．24(1)n n --B ．14n n- C ．4(1)nn +D ．14(2)n n ++【答案】C【解析】先利用已知条件得到()()()23332d d a d a a -=-+，解出公差，得到{}n a 通项公式，再代入数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭，利用裂项相消法求和即可.【详解】因为124,,a a a 成等比数列，36a =，故2214a a a =，即()()()23332d d a d a a -=-+，故()()()26626d d d -=-+，解得2d =或0d =（舍去）， 故()()336232n a a n d n n =+-=+-=，即()()111111112214141n n a a n n n n n n +⎛⎫==⨯=⨯- ⎪⨯+++⎝⎭，故11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为：()111111111...14122314141n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：C.【点睛】方法点睛：数列求和的方法：（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些像可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列:或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解. 二、多选题9．已知双曲线C 的一条渐近线方程为y =，则C 的方程可以是（ ） A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22154y x -=D ．22145y x -=【答案】AC【分析】分别假设双曲线焦点在x 轴和y 轴时的方程，根据渐近线斜率可得,a b 关系，验证选项即可得到双曲线方程.【详解】若双曲线焦点在x 轴上，可设为()222210,0x y a b a b -=>>，则b a =，2254b a ∴=， 则当24a =时，25b =，可知22145x y -=为满足题意的双曲线，A 正确；若双曲线焦点在y 轴上，可设为()222210,0y x a b ab-=>>，则a b =2254a b ∴=，则当24b =时，25a =，可知22154y x -=为满足题意的双曲线，C 正确.故选：AC.10．下面四个结论正确的是（ ）A ．空间向量a ，()0,0b a b ≠≠，若a b ⊥，则0a b ⋅=B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P 、A 、B 、C 四点共面C ．已知{},,a b c 是空间的一组基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一组基底 D ．任意向量a ，b ，c 满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 【答案】ABC【分析】空间向量垂直的数量积表示可判断A ；由向量四点共面的条件可判断B ；由空间向量基底的定义可判断C ； a b ⋅是一个数值，c b ⋅也是一个数值，说明a 和c 存在倍数关系，或者说共线，可判断D.【详解】空间向量a ，()0,0b a b ≠≠，若a b ⊥，则0a b ⋅=，故A 正确； 对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，且1111632++=，则P 、A 、B 、C 四点共面，故B 正确； 因为{},,a b c 是空间的一组基底，所以,,a b c 不共面，m a c =+，则,,+a b a c 也不共面， 即{},,a b m 也是空间的一组基底，故C 正确；任意向量a ，b ，c 满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，由于a b ⋅是一个数值，c b ⋅也是一个数值， 则说明a 和c 存在倍数关系，或者说共线，不一定相等，故D 错误. 故选：ABC.11．已知数列{}n a 中，13a =，且111n n a a +=-+，则能使3n a =的n 可以是（ ） A ．4 B ．14C ．21D ．28【答案】AD【分析】由已知条件计算可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，从而可求得答案 【详解】因为13a =，且111n n a a +=-+， 所以211114a a =-=-+，3211411314a a =-=-=-+-+， 431134113a a =-=-=+-+， 所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列， 所以313,k a k N +=∈，所以n 可以是1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，…… 故选：AD 12．设椭圆22:12x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，则下列说法中正确的有（ ） A．离心率e =B ．过点1F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，则2ABF的周长为C ．若P 是椭圆C 上的一点，则12PF F △面积的最大值为1 D ．若P 是椭圆C 上的一点，且1260F PF ∠=︒，则12PF F △【答案】BCD【分析】根据给定条件结合各选项中的问题，逐一分析计算即可判断作答. 【详解】由椭圆22:12x C y +=得：长半轴长a =1b =，半焦距1c =，对于A，椭圆的离心率e =A 错误； 对于B ，因弦AB 过焦点F 1，则2ABF的周长为1212||||||||4AF AF BF BF a +++==B 正确；对于C ，令点P 的纵坐标为P y ，于是得△12PF F 面积1211||||2||122P P S F F y c y b =⋅=⋅⋅≤=， 当且仅当点P 为短轴端点时取“=”，C 正确； 对于D ，由余弦定理得：222212121212||||||2||||cos60(||||)F F PF PF PF PF PF PF =+-︒=+123||||PF PF -，即()()2212223c a PF PF =-，解得124||||3PF PF =， 因此，△12PF F面积为12114||||sin 2323S PF PF π==⨯D 正确. 故选：BCD 三、填空题13．已知()6,1,1m =-，()2,,n λμ=，若m n ⊥，则λμ-=______． 【答案】12-【分析】根据空间向量垂直得到等量关系，求出答案. 【详解】由题意得：260λμ⨯+-=，解得：12λμ-=- 故答案为：12-14．圆()22:11C x y -+=关于直线:10l x y -+=对称的圆的方程为______． 【答案】()()22121x y ++-=【分析】求出圆心()1,0关于直线的对称点，从而求出对称圆的方程.【详解】()22:11C x y -+=圆心为()1,0，半径为1，设()1,0关于:10l x y -+=对称点为(),m n ，则1111022nm m n ⎧=-⎪⎪-⎨+⎪-+=⎪⎩，解得：12m n =-⎧⎨=⎩，故对称点为()1,2-，故圆()22:11C x y -+=关于直线:10l x y -+=对称的圆的方程为()()22121x y ++-=. 故答案为：()()22121x y ++-=15．若1-，m ，7-三个数成等差数列，则圆锥曲线221x my +=的离心率为______．【分析】由等差中项的性质求参数m ，即可得曲线标准方程，进而求其离心率. 【详解】由题意，28m =-，可得4m =-，所以圆锥曲线为22114y x -=，则1a =，c ==，故e =. 16．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若数列{a n }满足a n ＋S n ＝An 2＋Bn ＋C 且A ＞0，则1A＋B －C 的最小值为________． 【答案】【详解】因为{an }为等差数列，设公差为d ，由an ＋Sn ＝An 2＋Bn ＋C ， 得a 1＋(n －1)d ＋na 1＋12n (n －1)d ＝an ＋Sn ＝An 2＋Bn ＋C ， 即12 (d －A )n 2＋(a 1＋2d－B )n ＋(a 1－d －C )＝0对任意正整数n 都成立． 所以12(d －A )＝0，a 1＋12d －B ＝0，a 1－d －C ＝0，所以A ＝12d ，B ＝a 1＋12d ，C ＝a 1－d ，所以3A －B ＋C ＝0.1A ＋B －C ＝1A＋3A四、解答题17．已知数列{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，49a =，424S =． (1)求{}n a 的通项公式；(2)若3n n ab =，求证：{}n b 为等比数列．【答案】(1)21n a n =+ (2)证明见解析【分析】（1）由已知条件列出关于1,a d 的方程组，解方程组求出1,a d ，从而可求出{}n a 的通项公式，（2）由（1）可得2133n a n n b +==，然后利用等比数列的定义证明即可(1)设数列{}n a 的公差为d ，则由49a =，424S =，得11394624a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，所以1(1)32(1)21n a a n d n n =+-=+-=+ (2)证明：由（1）得2133n a n n b +==，所以2(1)121213393n n n n b b ++++===，（*n N ∈）所以数列{}n b 是以9为公比，27为首项的等比数列18．如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，12AA =，1160A AB A AD ∠=∠=︒，设AB a =，AD b =，1AA c =．(1)用a ，b ，c 表示1AC ，并求1AC ； (2)求1AA BD ⋅．【答案】(1)1AC a b c =++，110AC =(2)0【分析】（1）把a ，b ，c 作为基底，利用空间向量基本定理表示1AC ，然后根据已知的数据求1AC ，（2）先把BD 用基底表示，然后化简求解1AA BD ⋅ (1)因为AB a =，AD b =，1AA c =，11,BC AD CC AA ==, 所以11AC AB BC CC =++1AB AD AA =++a b c =++，因为底面ABCD 是边长为1的正方形，12AA =，1160A AB A AD ∠=∠=︒， 所以()21AC a b c =++222222a b c a b b c a c +++⋅+⋅+⋅11114021221222=++++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯10=(2)因为BD AD AB b a =-=-，底面ABCD 是边长为1的正方形，12AA =，1160A AB A AD ∠=∠=︒，所以()1AA BD c b a ⋅=⋅-112121022c b c a =⋅-⋅=⨯⨯-⨯⨯=19．1.圆C 的圆心为()11-，，且与直线3490x y +-=相切，求： (1)求圆C 的方程；(2)过()09，的直线l 与圆C 交于P ，Q 两点，如果23PQ =l 的方程． 【答案】(1)22(1)(1)4x y -++= (2)0x =或99201800x y +-=【分析】1（）由点到直线的距离公式求得圆的半径，则圆的方程可求； 2（）当直线l 的斜率不存在时，求得弦长为23l 的斜率不存在时，设出直线方程，求出圆心到直线的距离，再由垂径定理列式求k ，则直线方程可求． (1) 由题意得： 圆C 的半径为()2231419234r ⨯+⨯--==+，则圆的方程为22(1)(1)4x y -++=； (2)当直线l 的斜率不存在时，直线方程为0x =，得23PQ = 当直线l 的斜率存在时，设直线方程为9y kx =+，即90kx y -+=． 圆心到直线的距离2101k d k +=+222((3)41k +=+，解得9920k =-． ∴直线l 的方程为99201800x y +-=．∴直线l 的方程为0x =或99201800x y +-=．20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC ==，13CC =，点D ，E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且1AD =，2CE =，M 为棱11A B 的中点．(1)求证：11C M B D ⊥；(2)求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；3【分析】（1）由线面垂直、等腰三角形的性质易得11C M BB ⊥、111C M A B ⊥，再根据线面垂直的判定及性质证明结论；（2）构建空间直角坐标系，确定相关点坐标，进而求AB 的方向向量、面1DB E 的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值.(1)在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，则1BB ⊥平面111A B C ，由1C M ⊂平面111A B C ，则11C M BB ⊥，AC BC =，则1111AC B C =，又M 为11A B 的中点，则111C M AB ⊥， 又1111BB A B B =，则1C M ⊥平面11AA B B ，由1B D ⊂平面11AA B B ，因此，11C M B D ⊥.(2)以C 为原点，以CA ，CB ，1CC 为x 轴､y 轴､z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，可得：(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，1(0,0,3)C ，1(0,2,3)B ，(2,0,1)D ，(0,0,2)E ，(1,1,3)M . ∴(2,2,0)=-AB ，1(1,1,0)C M =，1(0,2,1)EB =，(2,0,1)ED =-，设(,,)n x y z =为面1DB E 的法向量，则12020n EB y z n x ED z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =得(1,1,2)n =-， 设AB 与平面1DB E 所成角为θ，则3sin |cos ,|||3||||AB n AB n AB n θ⋅=<>==⋅， ∴直线AB 与平面1DB E 321．在平面直角坐标系xOy 中，点1,12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭在抛物线2:2C y px =上． (1)求p 的值； (2)若直线l 与抛物线C 交于()11,P x y ，()22,Q x y 两点，120y y <，且3OP OQ ⋅=，求122y y +的最小值．【答案】(1)1(2)3【分析】（1）将点代入即可求解；（2）利用向量数量积为3求出126y y =-，再对式子变形后使用基本不等式进行求解最小值.(1)将1,12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入抛物线2:2C y px =，解得：1p =. (2)()11,P x y ，()22,Q x y 在抛物线C 上，故21122222y x y x ⎧=⎨=⎩，()212121212134OP OQ x x y y y y y y ⋅=+=+=，解得：126y y =-或2， 因为120y y <，所以126y y =-，即126y y ⋅=，故1222622y y y y +=+≥ 当且仅当2262y y =，即2y 故122y y +的最小值为22．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222x y -=的左、右两个焦点为1F 、2F ，动点P 满足124PF PF +=．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)设过2F 且不垂直于坐标轴的动直线l 交轨迹E 于A 、B 两点，问：线段2OF 上是否存在一点D ，使得以DA 、DB 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，请给出证明：若不存在，请说明理由．【答案】(1)2214x y +=； (2)存在，理由见解析.【分析】（1）根据题意用定义法求解轨迹方程；（2）在第一问的基础上，设出直线l 的方程，联立椭圆方程，用韦达定理表达出两根之和，两根之积，求出直线l 的垂直平分线，从而得到D 点坐标，证明出结论.(1) 由题意得：2212x y -=，所以()1F，)2F，而124PF PF +=>P 的轨迹E 的方程为以点1F 、2F 为焦点的椭圆方程，由24a =得：2a =，2431b =-=，所以动点P 的轨迹E 的方程为2214x y +=； (2)存在，理由如下：显然，直线l 的斜率存在，设为30x my m ，联立椭圆方程得：()22410m y ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y，则12y y +=，12214y y m =-+， 要想以DA 、DB 为邻边的平行四边形为菱形，则点D 为AB 垂直平分线上一点，其中122y y +=()1212x x m y y +=++==122x x +，故AB 的中点坐标为⎝⎭，则AB 的垂直平分线为：y m x ⎛=- ⎝⎭，令0y =得：x =m 为何值，x ⎛=⎝⎭，点D 在线段2OF 上，满足题意.。
2023-2024学年广东省惠州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题满分40分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1．已知抛物线C 的方程为y ＝4x 2，则其准线方程为（ ） A ．y =−116B ．y =116C ．y ＝﹣1D ．y ＝12．若直线l 的方向向量是e →=(−1，√3)，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π63．已知正项等比数列{a n }满足a 3为2a 2与a 6的等比中项，则a 3+a 5a 1+a 3=（ ） A ．√22B ．12C ．√2D ．24．已知平面α={P|n →⋅P 0P →=0}，其中P 0（1，1，1），法向量n →=(−1，1，2)，则下列各点中不在平面α内的是（ ） A ．（2，0，1）B ．（2，0，2）C ．（﹣1，1，0）D ．（0，2，0）5．设A ，B 为两个互斥的事件，且P （A ）＞0，P （B ）＞0，则下列各式错误的是（ ） A ．P （AB ）＝0 B ．P(AB)=[1−P(A)]P(B) C ．p(A ∪B)=1D ．P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）6．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝2，a n +2＝a n +1﹣a n ，则a 2024＝（ ） A ．﹣1B ．﹣2C ．2D ．17．如图，四面体O ﹣ABC ，G 是底面△ABC 的重心，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则OG →=（ ）A ．13a →+23b →+23c →B ．13a →+13b →+13c →C ．23a →+23b →+23c →D ．23a →+23b →+13c →8．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A 、B 两点，且OB →⋅BF →=0，AB →=2BF →，则该双曲线的离心率为（ ）A．√2B．√3C．2D．√5二、选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分。
惠州市学年第一学期高二期末考试试题(理科数学).doc
惠州市20XX-201X 学年第一学期高二期末考试理科数学试题说明：1、全卷分为两个部分，基础测试部分和期末考试部分，满分150分，时间120 分钟；2、答卷前，考生务必将自己的姓名、县区、学校、班级、试室、座位号填写在答题卷上；3、考试结束后，考生将答题卷交回．第一部分 基础测试（共100分）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．双曲线22149x y -=的渐近线方程是( ) A ． 23y x =± B. 49y x =± C. 32y x =± D. 94y x =±2．给出以下命题：①42,x R x x ∀∈>有；②,R α∃∈使得sin 22sin αα=；③,a R ∃∈对x R ∀∈使220x x a ++〉。
其中真命题的序号是（ ）A.②③B.①②C. ①③D.①②③ 3．已知P ：2＋2＝5，Q:3>2,则下列判断正确的是（ ）A.“P 或Q ”为假，“非Q ”为假B.“P 且Q ”为假，“非P ”为假C.“P 或Q ”为真，“非Q ”为假D.“P 且Q ”为真，“P 或Q ”为假 4. 下列各组向量中不平行的是（ ） A ． B ． C ．D ．5．“0x >”是“0x ≠”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的中心O 与一个焦点F 及短轴的一个端点M 组成等腰直角三角形FMO ，则它的离心率是 ( )A.12B.2C.27.某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍. 为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为 （ ） A .9B ．27C ．18D ．368．如果数据1x 、2x 、......n x 的平均值为２，方差为0.1，则135x +，235x +， (35)n x +的平均值和方差分别为（ ）A ．2和0.1B ．11和0.9C ．11和0.1D ．11 和28.59．椭圆2214x y +=上到点A(1,0)的距离最近的点P 的坐标是 ( )A.(43，) B ．(13，) C ．(43，) D ．(43-，±) 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填写在答题卷中指定的横线上。
2022-2023学年广东省惠州市高二上学期期末数学试题(解析版)
惠州市2022-2023学年度第一学期期末质量检测高二数学试题全卷满分150分，时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､座位号､学校､班级等考生信息填写在答题卡上.2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.过点()1,3P -且平行于直线230x y -+=的直线方程为（） A.210x y +-= B.250x y +-= C.250x y +-= D.270x y -+=2.已知{}n a 是等差数列，且21a +是1a 和4a 的等差中项，则{}n a 的公差为（） A.1B.2- C.2D.1-3.棱长为1的正四面体ABCD 中，则AD BC ⋅等于（） A.0B.12C.14D.14- 4.已知椭圆C 的一个焦点为()1,0，且过点(3，则椭圆C 的标准方程为（）A.22123x y +=B.22143x y += C.22132x y += D.22134x y += 5.已知空间向量()2,1,3a =-，则向量a 在坐标平面xOy 上的投影向量是（） A.()0,2,1B.()0,1,3- C.()2,1,0 D.()2,0,3-6.直线:210l mx y m +--=与圆22:(2)4C x y +-=交于,A B 两点，则当弦AB 最短时直线l 的方程为（）A.430x y -+=B.2430x y --=C.2410x y ++=D.2430x y -+=7.已知直线1l 的方程是2,y ax b l =+的方程是()0,y bx a ab a b =-≠≠，则下列图形中，正确的是（）A. B.C. D.8.在数列{}n a 中，若221,n n a a p --=（*2,,n n N p ≥∈为常数），则称{}n a 为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若{}n a 是等方差数列，则{}2n a 是等差数列；②{}(1)n-不是等方差数列；③若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （*,k k ∈N 为常数）也是等方差数列； ④若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列. 其中正确命题序号为（） A.①③B.②④C.①③D.①④二､多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.已知数列{}n a 的前n 项和为2,5n n S S n n =-，则下列说法不正确的是（）A.{}n a 为等差数列B.0n a >C.n S 最小值为254-D.{}n a 为单调递增数列 10.已知空间中()()2,1,0,1,2,1AB AC ==-，则下列结论正确的有（） A.AB AC ⊥ B.与AB 共线的单位向量是()1,1,0 C.11BC =平面ABC 的一个法向量是()1,2,5-11.已知曲线22:1x y C a b-=，则下列判断正确的是（）A.若0a b =->，则C 是圆，其半径为aB.若0ab >，则C 是双曲线，其渐近线方程为b y x a= C.若0a b -<<，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上 D.若1a b ==，则C 是两条直线12.2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”.如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点()0,2F ，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y 轴交于点G .若过原点O 的直线与上半椭圆交于点A ，与下半圆交于点B ，则（）A.椭圆的长轴长为22B.AFG 的周长为442+C.线段AB 长度的取值范围是4,222⎡+⎣D.ABF 面积的最大值是42三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线28y x =的焦点坐标为__________.14.已知双曲线22:1y C x m-=经过点)2,2，则离心率为__________.15.已知圆224x y +=上有且仅有3个点到直线l 的距离等于1，请写出满足上述条件的一条直线l 方程__________.（写出一个正确答案即可）16.空间直角坐标系xOy 中，过点()000,,P x y z 且一个法向量为(),,n a b c =的平面α的方程为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=，过点()000,,P x y z 且方向向量为()(),,0n u v w uvw =≠的直线l 的方程为000x x y y z z u v w---==，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面α的方程为10x y z -++=，直线l 是两个平面20x y -+=与210x z -+=的交线，则直线l 与平面α所成角的正弦值为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足*111,2,n n a a a n n +==+∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n n b a n =-，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是11,,DD BD BB 的中点.（1）求证：EF CF ⊥；（2）求EF 与CG 所成角的余弦值. 19.（本小题满分12分）已知()()1,0,1,0,A B C -为平面内的一个动点，且满足2AC =. （1）求点C 的轨迹方程；（2）若直线:10l x y +-=，求直线l 被曲线C 截得的线段长度. 20.（本小题满分12分）已知抛物线2:2C y px =经过点()2,2,P AB ､是抛物线C 上异于点O 的不同的两点，其中O 为原点.（1）求抛物线C 的方程；（2）若OA OB ⊥，求AOB 面积的最小值.21.（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，//EF AC ，1EF =，60ABC ∠=︒，CE ⊥平面ABCD ，3CE ==2CD ，G 是DE 的中点.（1）求证：平面ACG //平面BEF ；（2）求直线AD 与平面ABF 所成的角的正弦值. 22.（本小题满分12分）已知双曲线2222:1(0)x y C a b a b -=>>的右焦点为()2,0,F O 为坐标原点，双曲线C 的两条渐近线的夹角为3π.（1）求双曲线C 的方程；（2）过点F 作直线l 交C 于,P Q 两点，在x 轴上是否存在定点M ，使MP MQ ⋅为定值？若存在，求出定点M 的坐标及这个定值；若不存在，说明理由.惠州市2022-2023学年第一学期期末质量检测高二数学参考答案与评分细则一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCABCDAA1.【解析】设直线的方程为()203x y c c -+=≠，把点()1,3P -坐标代入直线方程得160c --+=，7c ∴=所以所求的直线方程为270x y -+=.2.【解析】设等差数列{}n a 的公差为d .由已知条件，得()14221a a a +=+，即()()111321a a d a d ++=++，解得2d =.3.【解析】由题意以,,AB AC AD 作为基底，BC AC AB =-， 则()0AD BC AD AC AB AD AC AD AB ⋅=⋅-=⋅-⋅=4.【解析】椭圆的焦点在x 轴上，故设其方程为：22221(0)x ya b a b+=>>，显然1,3c b ==则2224a b c =+=，故椭圆方程为22143x y +=.5.【解析】由题意可知，向量a 在坐标平面xOy 上的投影向量是()2,1,0.6.【解析】由()210,2110mx y m x m y +--=-+-=，则令21010x y -=⎧⎨-=⎩，解得121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩故直线l 过定点1,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由22(2)4x y +-=，则圆心()0,2C ，半径2r =，当AB CP ⊥时，弦AB 最短，直线CP 的斜率12212CP k -==-，则直线l 的斜率12AB k =，故直线l 为11122y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则2430x y -+=.7.【解析】逐一判定即可.对于A ，由1l 的图象知0,0a b <>，由2l 的图象知0,0a b <>，故A 正确； 对于B ，由1l 的图象知0,0a b <>，由2l 的图象知0,0a b <<，矛盾，故B 错误； 对于C ，由1l 的图象知0,0a b ><，由2l 的图象知0,0a b <>，矛盾，故C 错误； 对于D ，由1l 的图象知0,0a b >>，由2l 的图象知0,0a b <<，矛盾，故D 错误.8.【解析】①{}n a 是等方差数列，221n n a a p --=（p 为常数）得到{}2n a 为首项是21a ，公差为p 的等差数列；故①正确 ②数列{}(1)n-中，222211(1)(1)0n n nn aa --⎡⎤⎡⎤-=---=⎣⎦⎣⎦，所以{}(1)n -是等方差数列；故②不正确③数列{}n a 中的项列举出来是122,,..,,..,k k a a a a ⋯⋯⋯数列{}2kn a 中的项列举：23,,k k k a a a ⋯⋯()()222222121221k k k k k k aa a a a a p +++--=-=⋯=-=()()()222222121221k k k k k k a a a a a a kp +++-∴-+-+⋯+-=()221kn k n a a kp +∴-=，即数列{}kn a 是等方差数列，故③正确；④数列{}n a 是等差数列，()112.n n a a d n -∴-=≥数列{}n a 是等方差数列，()22122n n a a d n -∴-=≥，()121,n n a a d d -∴+=∴当10d ≠时，12122n d d a d =+为常数列；当10d =，数列{}n a 为常数列.则该数列{}n a 必为常数列，故④正确.∴正确命题的是①③④，故A 正确.二､多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.题号 9 10 11 12 全部正确选项BCACDBCBC9.【解析】对于A ，当2n ≥时，()2215(1)5126n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦，1n =时114a S ==-满足上式，所以*26,n a n n N =-∈，所以()()1216262n n a a n n +-=+---=，所以{}n a 为等差数列，故A 正确；对于B ，由上述过程可知*12326,N ,40,20,0n a n n a a a =-∈=-<=-<=，故B 错误；对于C ，因为25n S n n =-，对称轴为52.52n ==，又因为*N n ∈，所以当2n =或3时，n S 最小值为6-，故C 错误；对于D ，由上述过程可知{}n a 的公差等于2，所以{}n a 为单调递增数列，故D 正确. 10.【解析】对于()()A,2,1,01,2,1220AB AC ⋅=⋅-=-+=，故,A AB AC ⊥正确； 对于(),1,1,0B 不是单位向量，且()1,1,0与()2,1,0AB =不共线，B 错误； 对于(),3,1,1,11,C BC AC AB BC C =-=-∴=正确；对于D ，设()1,2,5m =-，则()()1,2,52,1,0220m AB ⋅=-⋅=-=，()()1,2,53,1,13250m BC ⋅=-⋅-=--+=，所以,m AB m BC ⊥⊥，又AB BC B ⋂=，所以平面ABC 的一个法向量是()1,2,5,D -正确.11.【解析】对于A ，若0a b =->时，22:1x y C a b-=转化为22x y a +=a ，故A 错误；对于B ，若0ab >，当0,0,a b C >>是焦点在x 轴上的双曲线，当0,0,a b C <<是焦点在y 轴上的双曲线，无论焦点在哪个轴上，令220x y a b-=，整理可得by x a =均是C 的渐近线，B 正确；对于C ，若220,:1x y a b C a b -<<-=转化为22:1x y C a b+=-，由于0a b >->可知，C 是焦点在x 轴上的椭圆，故C 正确；对于D ，若221,:1x y a b C a b==-=转化为221x y -=，是双曲线不是两条直线，故D 错误.12.【解析】对于A ，由题知，椭圆中2b c ==，得2222a b c +=，则242a =，故A 错误；对于B ，由定义知，22,AF AG a AFG +==的周长42442,L FG B =+=+正确；对于C,2AB OB OA OA =+=+，由性质知222OA ≤≤4222,AB C ≤≤+正确；对于D ，设AB 所在直线方程为y kx =，联立22148y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩可得282A x k =±+， 联立224y kx x y =⎧⎨+=⎩可得241B x k =+，则221184,2221ABFAOFOBFA B SSSOF x OF x k k=+=+=++显然20k ≥，当2k 增大时，228421y k k=++是减小，所以当0k =时，ABFS 有最大值4，故D 错误.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.()2,05214.11203450,x y x y x y =±=±++=++=､､､（写出一个即可）【注】若答案形式为：0Ax By C ++=，则系数必须满足：222A B C += 若答案形式为：y kx b =+，则系数必须满足：221k b += 13.【解析】对比标准方程可得焦点坐标为()2,014.【解析】双曲线22:1y C x m-=经过点)2,2，所以421m-=，解得4m =，所以双曲线方程为2214y x -=，所以双曲线焦点在x 轴上，1,2,5a b c ===为5e =15.【解析】数形结合可知，只要是半径的垂直平分线，均满足题意要求， 设直线为0Ax By C ++=，则由题可知圆心()0,0到直线的距离为221,1C d A B==+，所以222A B C +=16.【解析】因为平面α的方程为10x y z -++=，故其法向量可取为()1,1,1p =-， 平面20x y -+=的法向量可取为()1,1,0m =-，平面210x z -+=的法向量可取为()2,0,1n =-，直线l 是两个平面20x y -+=与210x z -+=的交线，设其方向向量为(),,s t q μ=，则020m s t n s q μμ⋅=-=⎧⎨⋅=-=⎩，令1s =，则()1,1,2μ=，故设直线l 与平面α所成的角为,0,2πθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则22sin |cos ,|||36p p p μθμμ⋅=〈〉===⨯‖2四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分，第一小问5分，第二小问5分.）【解析】（1）当*2,n n N ≥∈时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ 2(1)2(2)211n a n n ∴=-+-++⋅+()()21211n n ⎡⎤=-+-+++⎣⎦()()111212n n ⎡⎤-+-⎣⎦=⋅+ 因为1n =也满足上式，()2*1n a n n n N ∴=-+∈（2）2221n n b a n n n n =-=-+-，则1n b n =-+所以{}n b 是以0为首项，1-为公差的等差数列 故()()101S 22n n b b n n n +⋅-+⋅==21122n S n n ∴=-+18.（本小题满分12分，第一小问7分，第二小问5分.）【解法一】（1）以D 为坐标原点，DA 为X 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系()()()0,0,1,1,1,0,0,2,0E F C 则所以()1,1,1EF =-()1,1,0CF =-因为1100EF CF ⋅=-+= 所以EF CF ⊥ 即EF CF ⊥（2）由（1）知，()2,2,1G 则()2,0,1CG = 所以cos ,EF CG EF CG EF CG⋅=⋅1535==⋅所以EF 与CG 所成角的余弦值是1515【解法二】由题意得：在Rt EDF 中有：22111,22222ED DF BD ===+=， 223EF ED DF ∴+=在REDC 中有：221,2,5ED DC EC ED DC ==∴=+=在正方形ABCD 中，122CF AC ==∴在EFC 中有：222EF FC CE += 所以有：EF CF ⊥（2）连接11,A E A F ，取1A A 的中点H ，连接,HG HD ，∴四边形1,A HDE HDCG 为平行四边形1,HD A E HD CG ∴∥∥ 1A E CG ∴∥在Rt 11A D E 中有：2211115A E A D D E =+= 在Rt 1A AF 中有：22116A F A A AF =+=，∴在1A EF 中有：2222221111(5)(3)(6)15cos 215253A E EF A F A EF A E EF ∠+-===⋅⨯⨯ 所以EF 与CG 1519.（本小题满分12分，第一小问5分，第二小问7分.）【解析】（1）由题意可设点C 的坐标为(),x y ，由2AC =得2222(1)(0)2(1)(0),x y x y ++-=-+-整理得点C 的轨迹方程为22610x y x +-+=.（2）由（1）可知，曲线22:(3)8C x y -+=则圆心坐标为()3,0， 半径为22则圆心到直线:10l x y +-=的距离2230111d +-=+，2=所以弦的长度222282r d -=-26=直线l 被曲线C 截得的线段长度为620.（本小题满分12分，第一小问3分，第二小问9分.）【解析】（1）由抛物线2:2C y px =经过点()2,2P 知44p =，解得1p =，则抛物线C 的方程为22y x =；（2）【解法一】由题知，直线AB 不与y 轴垂直，设直线:AB x ty a =+，由22x ty a y x=+⎧⎨=⎩消去x ，得2220y ty a --=， 2Δ480t a =+>，设()()1122,,,A x y B x y ，则12122,2y y t y y a +==-，因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=即12120x x y y +=，所以22121204y y y y += 解得120y y =（舍去）或124y y =-，所以24a -=-即2a =，所以直线:2AB x ty =+，所以直线AB 过定点()2,0，22221212121212282АОВS y y y y y y y y =⨯⨯-=+-=++12284y y ≥+=当且仅当122,2y y ==-或122,2y y =-=时，等号成立，所以AOB 面积的最小值为4.【注：AOB 面积也可以用12AOB SOA OB =⨯⨯的方式来计算 【解法二】由题意知直线OA ，直线OB 的斜率均存在，且不为0 不妨设直线OA 方程为y kx =，代入2y 由OA OB ⊥可得()22,2B k k - 2221OA k k =+ 22112OB k k=+⋅221122AOB S OA OB k k==++2212224k k≥+⋅= 当且仅当1k =±时等号成立所以AOB 面积的最小值为4 【解法三】当直线AB 斜率不存在时，则AOB 为等腰直角三角形，此时4AOB S =， 当直线AB 斜率存在时，设直线:AB y kx b =+，由22y kx b y x=+⎧⎨=⎩消去y ，得()222210k x kb x b +-+=， ()()1122Δ840,,,,,kb A x y B x y =-+>设则()212122221,kb b x x x x k k-+=-=， 因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=即12120x x y y +=，所以()()22121210kb x x k x x b ++++= 解得0b =（舍去）或2b k =-，所以直线():2AB y k x =-，所以直线AB 过定点()2,0，()()()2212121212122242AOB S y y k x k x k x x x x ⎡⎤=⨯⨯-=---=+-⎣⎦24164k =+> 综上：AOB 面积的最小值为4.21.（本小题满分12分，第一小问5分，第二小问7分.）（1）证明：连接BD 交AC 于O ，则O 是BD 的中点，连接OG ，G 是DE 的中点，//OG BE ∴，BE ⊂平面BEF ，OG ⊄平面BEF ，//OG ∴平面BEF ；又//EF AC ，AC ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，//AC 平面BEF ，又AC 与OG 相交于点O ，,AC OG ⊂平面ACG ，所以平面//ACG 平面BEF .（2）【解法一】解：连接OF ，因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥， 又60ABC ∠=︒，=2CD ，所以ABC 为等边三角形，所以=2AC ，又1EF =， 所以EF OC =且//EF OC ，所以四边形OCEF 为平行四边形，所以//OF CE ， 因为CE ⊥平面ABCD ，所以OF ⊥平面ABCD ，如图，以O 为坐标原点，分别以OC ､OD ､OF 为x ､y ､z 轴建立空间直角坐标系， 则()1,0,0A -，()0,3,0B -，()3,0D ，(3F ，(1,3,0)AD =，(1,3,0)AB =-，3)AF =， 设面ABF 的法向量为=(,,)m a b c ，依题意有m AB m AF ⊥⊥⎧⎪⎨⎪⎩，则=3=0=+3=0m AB a b m AF a c ⋅-⋅⎧⎪⎨⎪⎩， 令3a =1b =，1c =-，则(3,1,1)m =-， 所以3315cos ,441AD mAD m AD m ⋅+<>===⨯+⋅ 所以直线AD 与面ABF 15.【解法二】连接OF ，因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，所以ABC 为等边三角形，所以2AC =，又1EF =，所以EF OC =且EF OC ∥，所以四边形OCEF 为平行四边形，所以OF CE ∥， 因为CE ⊥平面ABCD ，所以OF ⊥平面ABCD ，在Rt FOB 中，226BFBO OF =+， 在Rt FOA 中，222AFAO OF =+= 又在ABF 中，2,AB =∴由等腰三角形易计算得152ABF S = 设d 为点D 到平面ABF 的距离 11,33D ABF F ABD ABF ABD V V S d S FO --=⋅=⋅即有 计算得：155d = 设直线AD 与平面ABF 所成的夹角为θ，则215155sin 25d DA θ=== 所以直线AD 与面ABF 1522.（本小题满分12分，第一小问5分，第二小问7分.）【解析】（1）双曲线22221x y a b-=的渐近线为b y x a =±， 又0,01b a b a >><<，结合已知条件可知渐近线的b y x a =的倾斜角为,6π 则3b a =3a b =. 222a b +=，得3,1a b == 所以双曲线C 的方程是2213x y -=. （2）当直线l 不与x 轴重合时，设直线l 的方程为2x ty =+，代入2213x y -=，得22(2)33ty y +-=，即()223410t y ty -++=. 设点()()1122,,,P x y Q x y ，则12122241,33t y y y y t t +=-=--. 设点(),0M m ，则()()()()1212121222MP MQ x m x m y y ty m ty m y y ⋅=--+=+-+-+ ()()()22121212(2)t y y t m y y m =++-++-()()22223312113m t m m t ---+=-令()223121133m m m -+=-，得53m =， 此时2239MP MQ m ⋅=-=-. 当直线l 与x 轴重合时，则点,P Q 为双曲线的两顶点，不妨设点())3,0,3,0P Q -. 对于点5552,0,3,0?3,03339M MP MQ ⎛⎫⎛⎫⎫⋅=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭. 所以存在定点5,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使2239MP MQ m ⋅=-=-为定值.。
2021-2022学年广东省惠州市高二上期末考试数学试卷附答案解析
2021-2022学年广东省惠州市高二上期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知向量a →=（4，﹣2，6），b →=（﹣2，1，x ），则使a →⊥b →，a →∥b →成立的x 分别为（ ） A ．53，﹣3B ．103，﹣3 C ．53，3D ．103，32．直线ax +y +2＝0被圆x 2+y 2＝4截得的弦长为2，则a ＝（ ） A ．√33B ．±√33C ．√3D ．±√33．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，椭圆上的两点P ，Q 关于原点对称，若|PF |+|QF |＝6，且椭圆C 的离心率为13，则椭圆C 的方程为（ ） A ．x 29+y 28=1 B ．x 23+y 22=1C ．x 26+y 24=1D ．x 29+y 23=14．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 为线段A 1D 上一点，当AP +PB 取得最小值时，直线BP 与平面ADD 1A 1所成角的正切值为（ ） A ．√22B ．√33C ．√2D ．√35．已知直线kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0和以M （﹣3，1），N （3，2）为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为（ ） A ．k ≤32 B ．k ≥−12 C ．−12≤k ≤32 D ．k ≤−12或k ≥326．椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）左、右顶点为A 、B ，P 是椭圆C 上一点，cos ∠APB最小值为−35，则双曲线：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为（ ）A ．y ＝±√55x B ．y ＝±12xC ．y ＝±2xD ．y ＝±2√55x 7．已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列命题中错误的是（ ） A ．AE ⊥平面P ABB ．直线PD 与平面ABC 所成角为45°C ．平面PBC 与平面PEF 的交线与直线AD 不平行D ．直线CD 与PB 所成的角的余弦值为√5108．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ）的两个焦点，P 为椭圆上的一点，且|PF 1|：|PF 2|：|F 1F 2|＝7：1：4√3，则a b=（ ） A ．1B ．2C ．4D ．12二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9．若三个数1，a ，9成等比数列，则圆锥曲线x 2a+y 22=1的离心率可以是（ ）A ．√33B ．√153C ．√3D ．√10210．已知空间向量i →，j →，k →都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（ ） A ．向量i →+j →+k →的模是3B ．{i →+j →，i →−j →，k →}可以构成空间的一个基底C ．向量i →+j →+k →和k →夹角的余弦值为√33D ．向量i →+j →与k →−j →共线11．某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标分别为A （﹣3，﹣4），B （6，3），交通枢纽C （0，﹣1），计划经过C 修建一条马路l （l 看成一条直线，l 的斜率为k ），则下列说法正确的是（ ）A ．若A ，B 两个镇到马路l 的距离相等，则k =79或13B ．若A ，B 两个镇到马路l 的距离相等，则k =97或32C ．若A ，B 两个镇位于马路的两侧，则k 的取值范围为(23，1)D ．若A ，B 两个镇位于马路的两侧，则k 的取值范围为(−∞，23)∪(1，+∞) 12．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．D 1D ⊥AFB ．二面角F ﹣AE ﹣C 的正切值为√52C ．异面直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为√1010D ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍 三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．若向量a →=（1，2，2），b →=（2，﹣1，2），且a →，b →夹角的余弦值为 ． 14．经过点P （4，2）作圆x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0的切线，则切线的一般式方程是 ． 15．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F 作x轴的垂线l ，与双曲线C 及其渐近线在第一象限内分别交于点A ，B ，且FB →=2FA →，则双曲线C 的离心率为 ． 16．已知F 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点，A 为椭圆C 的左顶点，P 是椭圆C 上一点，且PF 垂直于x 轴，若直线AP 的斜率为√33，则椭圆C 的离心率为 ．四．解答题（共6小题，其中第17小题10分，第18-22小题各12分，共70分） 17．设F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个定点，同时满足如下三个条件：（1）PF 2→⋅F 1F 2→=0；（2）tan∠PF 1F 2=√312；（3）PF 1→在F 1F 2→方向上的投影为2√3． （Ⅰ）求椭圆的离心率及椭圆方程；（Ⅱ）过焦点F 1的直线l 交椭圆于点A 、B 两点，问是否存在以线段AB 为直径的圆与y 相切，若存在，求出此时直线l 的方程，若不存在，请说明理由．18．已知梯形BFEC 如图1所示，其中BF ∥EC ，EC ＝3，BF ＝2，四边形ABCD 是边长为1的正方形，沿AD 将四边形EDAF 折起，使得平面EDAF ⊥平面ABCD ，得到如图2所示的几何体．（1）求证：平面AEC ⊥平面BDE ； （2）求点F 到平面ABE 的距离；（3）若点H 在线段BD 上，且EH 与平面BEF 所成角的正弦值为13，求线段DH 的长度．19．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4和直线l：kx﹣y﹣4k+3＝0．（1）判断直线l和圆C的位置关系？（2）若直线l和圆C相交，求直线l被圆C截得的最短弦长及此时的直线方程．20．已知点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（2，0），点P 满足PA →•PB →+|PA →|•|PB →|＝8，记点P 的轨迹为E ．（1）证明：|P A |+|PB |为定值，并写曲线E 的方程；（2）设直线y ＝kx ﹣1（k ∈R ）与曲线E 交于C ，D 两点，在y 轴上是否存在定点Q ，使得对任意实数k ，直线QC ，QD 的斜率乘积为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．21．如图正三棱柱ABC﹣A'B'C'的所有棱长均为2，E、F、G、H分别是棱AA'、AB、AC、B'C'的中点．（1）求证：B'C'∥面EFG；（2）求三棱锥H﹣EFG的体积；（3）求二面角E﹣FG﹣H的余弦值．22．过椭圆W：x22+y2＝1的左焦点F作直线l1交椭圆于A，B两点，其中A（0，1），另一条过F的直线l2交椭圆于C，D两点（不与A，B重合），且D点不与点（0，﹣1）重合，过F作x轴的垂线分别交直线AD，BC于E，G．（Ⅰ）求椭圆W的离心率和B点坐标；（Ⅱ）求证：E，G两点关于x轴对称．2021-2022学年广东省惠州市高二上期末考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知向量a →=（4，﹣2，6），b →=（﹣2，1，x ），则使a →⊥b →，a →∥b →成立的x 分别为（ ） A ．53，﹣3B ．103，﹣3C ．53，3D ．103，3解：∵向量a →=（4，﹣2，6），b →=（﹣2，1，x ）， ∴当a →⊥b →时，a →⋅b →=−2×4+1×（﹣2）+6x ＝0， 解得x =53． 当a →∥b →时，−24=1−2=x6，解得x ＝﹣3．∴使a →⊥b →，a →∥b →成立的x 分别为53，−3． 故选：A ．2．直线ax +y +2＝0被圆x 2+y 2＝4截得的弦长为2，则a ＝（ ） A ．√33B ．±√33C ．√3D ．±√3解：根据题意，圆x 2+y 2＝4的圆心为（0，0），半径r ＝2，若直线ax +y +2＝0被圆x 2+y 2＝4截得的弦长为2，则圆心到直线的距离d =√4−1=√3， 而圆心到直线ax +y +2＝0的距离d =√1+a ，则有√1+a 2=√3，解可得a ＝±√33， 故选：B ．3．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，椭圆上的两点P ，Q 关于原点对称，若|PF |+|QF |＝6，且椭圆C 的离心率为13，则椭圆C 的方程为（ ）A ．x 29+y 28=1B ．x 23+y 22=1C ．x 26+y 24=1D ．x 29+y 23=1解：椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，椭圆上的两点P ，Q 关于原点对称，|PF |+|QF |＝6，可得2a ＝6，解得a ＝3，椭圆C 的离心率为13，所以c ＝1，则b ＝2√2．所以椭圆方程为：x 29+y 28=1．故选：A ．4．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 为线段A 1D 上一点，当AP +PB 取得最小值时，直线BP 与平面ADD 1A 1所成角的正切值为（ ） A ．√22B ．√33C ．√2D ．√3解：将正方体中的正△A 1BD 沿A 1D 翻折至与点A 共面，如图所示， 因为AA 1＝AD ，所以当P 为线段A 1D 的中点时，AP +PB 最小值．连接AP ，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ⊥平面ADD 1A 1，可得AB ⊥AP ， 所以直线BP 与平面ADD 1A 1所成角为∠APB ．设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则A 1D =√2a ， 又点P 为A 1D 的中点，所以AP =12A 1D =√2a2，tan∠APB =ABAP =√2．故选：C ．5．已知直线kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0和以M （﹣3，1），N （3，2）为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为（ ） A ．k ≤32 B ．k ≥−12 C ．−12≤k ≤32D ．k ≤−12或k ≥32解：直线kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0化为：k （x ﹣1）﹣（y +1）＝0，令{x −1=0y +1=0，解得x ＝1，y＝﹣1，可得直线经过定点：P （1，﹣1）． k PM =−1−11+3=−12，k PN =−1−21−3=32．∵直线kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0和以M （﹣3，1），N （3，2）为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为：k ≥32或k ≤−12． 故选：D ． 6．椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）左、右顶点为A 、B ，P 是椭圆C 上一点，cos ∠APB最小值为−35，则双曲线：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为（ ）A ．y ＝±√55xB ．y ＝±12xC ．y ＝±2xD ．y ＝±2√55x解：椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）左、右顶点为A 、B ，P 是椭圆C 上一点，cos ∠APB最小值为−35，可知P 在椭圆的短轴端点，cos ∠APB ＝2cos 2（12∠APB ）﹣1＝2(√a 2+b )2−1=−35，解得a ＝2b ， 双曲线：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为：x ±2y ＝0．故选：B ．7．已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列命题中错误的是（ ） A ．AE ⊥平面P ABB ．直线PD 与平面ABC 所成角为45°C ．平面PBC 与平面PEF 的交线与直线AD 不平行 D ．直线CD 与PB 所成的角的余弦值为√510解：对于A ，∵P A ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，∴AE ⊥P A ， ∵六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，∴AE ⊥AB ，∵P A ∩AB ＝A ，P A ，AB ⊂平面P AB ，∴PE ⊥平面P AB ，故A 正确；对于B ，∵六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ， ∴P A ⊥AD ，P A ＝AD ，∴∠PDA ＝45°是直线PD 与平面ABC 所成角，故B 正确； 对于C ，∵EF ∥AD ∥BC ，EF ⊂平面PEF ，BC ⊂平面PBC ， ∴平面PBC 与平面PEF 的交线与直线AD 平行，故C 错误；对于D ，设AB ＝1，则P A ＝2，AE =√12+12−2×1×1×cos120°=√3， PE =√4+3=√7，BE ＝2，PB =√4+1=√5，∵CD ∥BE ，∴∠PBE 是直线CD 与PB 所成的角（或所成角的补角）， ∴直线CD 与PB 所成的角的余弦值为： cos ∠PBE =2×2×√5=√510，故D 正确．故选：C ．8．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ）的两个焦点，P 为椭圆上的一点，且|PF 1|：|PF 2|：|F 1F 2|＝7：1：4√3，则a b=（ ） A ．1B ．2C ．4D ．12解：由题意设|PF 2|＝m （m ＞0），则|PF 1|＝7m ，|F 1F 2|＝4√3m ， ∴2a ＝8m ，a ＝4m ，2c ＝4√3m ，c =2√3m ， ∴b =√a 2−c 2=√16m 2−12m 2=2m ， ∴ab =4m 2m=2．故选：B ．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9．若三个数1，a ，9成等比数列，则圆锥曲线x 2a+y 22=1的离心率可以是（ ）A ．√33B ．√153C ．√3D ．√102解：三个数1，a ，9成等比数列，可得a ＝±3， 当a ＝3时，曲线x 23+y 22=1的离心率为：e =c a =√3=√33， 当a ＝﹣3时，曲线y 22−x 23=1的离心率为：e =c a =√5√2=√102． 故选：AD ．10．已知空间向量i →，j →，k →都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（ ） A ．向量i →+j →+k →的模是3B ．{i →+j →，i →−j →，k →}可以构成空间的一个基底C ．向量i →+j →+k →和k →夹角的余弦值为√33D ．向量i →+j →与k →−j →共线解：对于选项A ，因为空间向量i →，j →，k →都是单位向量，且两两垂直， 所以|i →|=|j →|=|k →|=1，且i →⋅j →=0，i →⋅k →=0，j →⋅k →=0，则|i →+j →+k →|=√(i →+j →+k →)2=√i →2+j →2+k →2+2i →⋅j →+2j →⋅k →+2i →⋅k →=√3， 所以向量i →+j →+k →的模是√3， 故选项A 错误；对于选项B ，因为空间向量i →，j →，k →都是单位向量，且两两垂直， 所以i →，j →，k →不共面，而向量i →+j →，i →−j →均与i →，j →共面， 所以i →+j →，i →−j →与k →不共面，则{i →+j →，i →−j →，k →}可以构成空间的一个基底， 故选项B 正确；对于选项C ，设i →+j →+k →与k →的夹角为α， 则cosα=(i →+j →+k →)⋅k→|i →+j →+k →||k →|=i →⋅k →+j →⋅k →+k →⋅k →|i →+j →+k →||k →|=1√3×1=√33， 所以向量i →+j →+k →和k →夹角的余弦值为√33， 故选项C 正确；对于选项D ，因为|i →+j →|=√(i →+j →)2=√i →2+2i →⋅j →+j →2=√2， 同理可得|k →−j →|=√2， 则cos ＜i →+j →，k →−j →＞=(i →+j →)⋅(k →−j →)|i →+j →||k →−j →|=−12，所以向量i →+j →与k →−j →的夹角为120°， 则向量i →+j →与k →−j →不共线，故选项D 错误． 故选：BC ．11．某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标分别为A （﹣3，﹣4），B （6，3），交通枢纽C （0，﹣1），计划经过C 修建一条马路l （l 看成一条直线，l 的斜率为k ），则下列说法正确的是（ ）A ．若A ，B 两个镇到马路l 的距离相等，则k =79或13B ．若A ，B 两个镇到马路l 的距离相等，则k =97或32C ．若A ，B 两个镇位于马路的两侧，则k 的取值范围为(23，1)D ．若A ，B 两个镇位于马路的两侧，则k 的取值范围为(−∞，23)∪(1，+∞) 解：设直线l 的方程为y ＝kx ﹣1， 根据点到直线的距离公式d =00√A +B ，若A ，B 两个镇到马路l 的距离相等，则√1+k 2=√1+k 2，解得k =79或13，故A正确，B 错误；若A ，B 两个镇位于马路的两侧，则（﹣3k +4﹣1）•（6k ﹣3﹣1）＜0，解得k ＜23或k ＞1，故D 正确，C 错误． 故选：AD ．12．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．D 1D ⊥AFB ．二面角F ﹣AE ﹣C 的正切值为√52C ．异面直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为√1010D ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，显然D 1D ∥A 1A ，且A 1A 与AF 不垂直，故D 1D 与AF 不垂直，选项A 错误；过点C 作CM ⊥AE ，交AE 的延长线于M ，连接FM ，由二面角的定义可知，∠FMC 即为二面角F ﹣AE ﹣C 的平面角，不妨设正方体的棱长为2，则CF =1，CM =1×2√2+1=2√55， ∴tan∠FMC =FCCM =2√55=√52，选项B 正确；取B 1C 1中点H ，连接A 1H ，GH ，则GH ∥EF ，故异面直线A 1G 与EF 所成的角即为直线A 1G 与GH 所成角∠A 1GH ，而A 1H =√22+1=√5，A 1G =√22+1=√5，GH =√1+1=√2，故在△A 1C 1G 中，由余弦定理可得cos∠A 1GH =A 1G 2+GH 2−A 1H 22A 1G⋅GH =2×√5×√2=√1010，选项C 正确；连接CG 交EF 于点N ，则点G 到平面AEF 的距离与点C 到平面AEF 的距离之比为GN CN，而△GNF ∽△CNE ，故GN CN=GF CE=2，选项D 正确．故选：BCD ．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．若向量a →=（1，2，2），b →=（2，﹣1，2），且a →，b →夹角的余弦值为 49．解：∵向量a →=（1，2，2），b →=（2，﹣1，2）， ∴cos ＜a →，b →＞=43×3=49，∴a →，b →夹角的余弦值为49．故答案为：49．14．经过点P （4，2）作圆x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0的切线，则切线的一般式方程是 2x +y ﹣10＝0 ．解：圆x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0的圆心C （2，1），半径r =√5，点P （4，2）在圆上， 因为PC 的斜率2−14−2=12且切线与PC 垂直，所求切线的斜率K ＝﹣2，故切线方程y ﹣2＝﹣2（x ﹣4）即2x +y ﹣10＝0 故答案为：2x +y ﹣10＝0．15．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F 作x轴的垂线l ，与双曲线C 及其渐近线在第一象限内分别交于点A ，B ，且FB →=2FA →，则双曲线C 的离心率为 2√33． 解：设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的半焦距为c ，由题意可得l ：x ＝c ，F （c ，0），渐近线方程y ＝±b ax ， 则A （c ，b 2a），B （c ，bc a），又FB →=2FA →，所以bc a=2b 2a，即c ＝2b ＝2√c 2−a 2，可得2a =√3c ，则双曲线的离心率为e =ca =2√33， 故答案为：2√33． 16．已知F 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点，A 为椭圆C 的左顶点，P 是椭圆C 上一点，且PF 垂直于x 轴，若直线AP 的斜率为√33，则椭圆C 的离心率为 3−√33． 解：设直线AP 的倾斜角为：θ，在Rt △P AF 中，由题意可得tan θ=b 2aa+c =√33，整理可得3b 2=√3（a 2+ac ）， 即3（a 2﹣c 2）=√3（a 2+ac ），可得3e 2+√3e ﹣3+√3=0，解得e ＝﹣1（舍去），e =3−√33．故答案为：3−√33．四．解答题（共6小题，其中第17小题10分，第18-22小题各12分，共70分） 17．设F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个定点，同时满足如下三个条件：（1）PF 2→⋅F 1F 2→=0；（2）tan∠PF 1F 2=√312；（3）PF 1→在F 1F 2→方向上的投影为2√3． （Ⅰ）求椭圆的离心率及椭圆方程；（Ⅱ）过焦点F 1的直线l 交椭圆于点A 、B 两点，问是否存在以线段AB 为直径的圆与y 相切，若存在，求出此时直线l 的方程，若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）∵PF 2→⋅F 1F 2→=0， ∴PF 2→⊥F 1F 2→，∴△PF 2F 1为直角三角形， ∴P （c ，b 2a），∴tan ∠PF 1F 2=b 2a2c =b22ac =√312，∵PF 1→在F 1F 2→方向上的投影为2√3， ∴2c ＝2√3，即c =√3， ∵a 2＝b 2+c 2， ∴a ＝2，b ＝1，∴椭圆的离心率为e =c a =√32，椭圆方程为x 24+y 2＝1；（Ⅱ）设满足条件的直线为l ，其方程为x ＝my −√3，两交点坐标为A （x 1，y 1）B （x 2，y 2），设线段AB 为直径的圆与y 相切于点D ，由{x =my −√3x 24+y 2=1，消去x 得：（m 2+4）y 2﹣2√3my ﹣1＝0，∴y 1+y 2=2√3m 4+m 2，y 1y 2=−14+m 2，x 1+x 2＝m （y 1+y 2）﹣2√3=−8√34+m 2， 所以AB 的中点到y 轴的距离d =|x 1+x 2|2=4√34+m 2，所以弦长|AB |=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+m 2•√12m 2(4+m 2)2−4⋅−14+m 2=4•1+m 24+m 2=2d =8√34+m 2， 解得m 2＝2√3−1，所以m ＝±√2√3−1直线方程为x =√2√3−1y −√3，或x =−√2√3−1y −√3， 即x −√2√3−1y +√3=0或x +√2√3−1y +√3=0．18．已知梯形BFEC 如图1所示，其中BF ∥EC ，EC ＝3，BF ＝2，四边形ABCD 是边长为1的正方形，沿AD 将四边形EDAF 折起，使得平面EDAF ⊥平面ABCD ，得到如图2所示的几何体．（1）求证：平面AEC ⊥平面BDE ； （2）求点F 到平面ABE 的距离；（3）若点H 在线段BD 上，且EH 与平面BEF 所成角的正弦值为13，求线段DH 的长度．（1）证明：∵平面EDAF ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面EDAF ， 平面EDAF ∩平面ABCD ＝AD ，DE ⊥AD ，∴DE ⊥平面ABCD ，∵AC ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥AC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ， ∵DE 、BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面BDE ∵AC ⊂平面ACE ，∴平面AEC ⊥平面BDE …（3分） （2）解：过点F 作FG ⊥AE 于点G ，因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊂平面ABCD ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面ADEF ，又FG ⊂平面ADEF ，所以AB ⊥FG ， 又AB ∩AE ＝A ，AB ，AE ⊂平面ABE ，所以FG ⊥平面ABE ， 所以线段FG 的长即为点F 到平面ABE 的距离，在△AEF 中，AF =1，AE =√5，EF =√2，由等积变换AE •FG ＝AF •AD ， 得FG =√55，即点F 到平面ABE 的距离为√55． （说明本题也可以用等体积变换求解，也可用向量法求解）（3）解：建系如图，设平面BEF 的法向量n →=(x ，y ，z)，E （0，0，2），F （1，0，1），B （1，1，0）， {EF →⋅n →=0BF →⋅n →=0，{x −z =0y −z =0，令x ＝1，则y ＝z ＝1， 则n →=(1，1，1)，设H （a ，a ，0），EH →=(a ，a ，−2)，则|cos ＜EH →，n →＞|=√3√2a +4=13解得a =25或a ＝2（舍）…（10分） 故H(25，25，0)，∴DH =25√2⋯（12分）19．已知圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝4和直线l ：kx ﹣y ﹣4k +3＝0． （1）判断直线l 和圆C 的位置关系？（2）若直线l 和圆C 相交，求直线l 被圆C 截得的最短弦长及此时的直线方程． 解：（1）证明：由直线l 的方程可得，y ﹣3＝k （x ﹣4），则直线l 恒通过点（4，3），把（4，3）代入圆的C 方程，得（4﹣3）2+（3﹣4）2＝2＜4，所以点（4，3）在圆C 的内部，又因为直线l 恒过点（4，3），所以直线l 与圆C 总相交；（2）设定点为A （4，3），由题可知当直线l 与CA 直线垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，因为k CA =4−33−4=−1，所以直线l 的斜率为k ＝1，所以直线l 的方程为y ﹣3＝x ﹣4，即x ﹣y ﹣1＝0…（10分）设圆心C （3，4）到直线l 距离为d ，则d =√2=√2，所以直线l 被圆C 截得最短的弦长为2√4−(√2)2=2√2．20．已知点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（2，0），点P 满足PA →•PB →+|PA →|•|PB →|＝8，记点P 的轨迹为E ．（1）证明：|P A |+|PB |为定值，并写曲线E 的方程；（2）设直线y ＝kx ﹣1（k ∈R ）与曲线E 交于C ，D 两点，在y 轴上是否存在定点Q ，使得对任意实数k ，直线QC ，QD 的斜率乘积为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）因为AB →=AP →+PB →，两边平方得|AB →|2=|AP|2+|PB|2+2AP →⋅PB →，而PA →•PB →+|PA →|•|PB →|＝8，且|AB |＝4，从而16=|AP|2+|PB|2+2(|AP →|⋅|PB →|−8)，即（|AP |+|PB |）2＝32，所以|AP|+|PB|=4√2，由椭圆的定义可知P 的轨迹为椭圆，从而E 的方程为x 28+y 24=1．（2）设存在点Q （0，m ）满足条件，记C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）．由{y =kx −1x 2+2y 2=8消去 y ，得 （1+2k 2）x 2﹣4kx ﹣6＝0． 显然其判别式△＞0， 所以x 1+x 2=4k 1+2k 2，x 1x 2=−61+2k 2， 于是k QC k QD =y 1−m x 1⋅y 2−m x 2=[kx 1−(m+1)]⋅[kx 2−(m+1)]x 1x 2 =k 2x 1x 2−(m+1)k(x 1+x 2)+(m+1)2x 1x 2=[1+23(m +1)−(m+1)23]⋅k 2−(m+1)26． 上式为定值，当且仅当 1+23(m +1)−(m+1)23=0． 解得 m ＝2 或 m ＝﹣2． 此时，k QC k QD =−(m+1)26=−32 或 −16． 从而，存在定点 Q （0，2）或者 Q （0，﹣2）满足条件．21．如图正三棱柱ABC ﹣A 'B 'C '的所有棱长均为2，E 、F 、G 、H 分别是棱AA '、AB 、AC 、B 'C '的中点．（1）求证：B 'C '∥面EFG ；（2）求三棱锥H ﹣EFG 的体积；（3）求二面角E ﹣FG ﹣H 的余弦值．（1）证明：因为ABC ﹣A 'B 'C '是三棱柱，所以B 'C '∥BC ，又AF ＝FB ，AG ＝GC ，所以BC ∥FG ，所以B 'C '∥FG ，FG ⊂平面EFG ，B 'C '⊄面EFG ，所以B 'C '∥面EFG ；（2）解：由（1）可得，V H ﹣EFG ＝V B ﹣EFG ＝V G ＝EFB ，所以V G−EFB =13S △EFB ⋅ℎ，其中h 为点G 到平面ABB 'A '的距离，因为正三棱柱ABC ﹣A 'B 'C '的所有棱长均为2，所以h =12×√22−12=√32， 故V G−EFB =13S △EFB ⋅ℎ=13×(2×2−1×2−12×1×1)×√32=√34， 所以三棱锥H ﹣EFG 的体积为√34； （3）解：设二面角E ﹣FG ﹣A ，H ﹣FG ﹣B ，3﹣FG ﹣H 的平面角分别为α，β，γ， 则γ＝π﹣α﹣β，所以cos γ＝cos （π﹣α﹣β）＝﹣cos （α+β）＝sin αsin β﹣cos αcos β， 过点A 作AR ⊥FG 于点R ，连结ER ，则∠ARE ＝α，所以sin α=√7，cos α=√3√7， 同理可得，cos β=√3√19，sin β=√19， 所以cos γ＝sin αsin β﹣cos αcos β=2√74√19√3√19√3√7=5√133133， 故二面角E ﹣FG ﹣H 的余弦值为5√133133．22．过椭圆W ：x 22+y 2＝1的左焦点F 作直线l 1交椭圆于A ，B 两点，其中A （0，1），另一条过F 的直线l 2交椭圆于C ，D 两点（不与A ，B 重合），且D 点不与点（0，﹣1）重合，过F 作x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ，G ．（Ⅰ）求椭圆W 的离心率和B 点坐标；（Ⅱ）求证：E ，G 两点关于x 轴对称． 解：（I ）由椭圆的标准方程x 22+y 2=1， 得a =√2，b ＝1，c ＝1，所以椭圆的离心率为e =c a =√22，由题意可得l 1的方程为y ＝x +1，与椭圆方程联立得{y =x +1x 22+y 2=1．， 解得x ＝0或−43，当x =−43时，y =−13，所以B(−43，−13)．解：（2）当l 2斜率不存在时，C ，D 两点与E ，G 重合， 因为椭圆W 关于x 轴对称，所以E ，G 两点关于x 轴对称；当l 2斜率存在时，设 C （x 1，y 1），（x 1≠−43），D （x 2，y 2），（x 2≠0）， 设l 2的方程为y ＝k （x +1）（k ≠1），y 1＝k （x 1+1），y 2＝k （x 2+1），A(0，1)，B(−43，−13)，所以直线BC 的方程为y +13=y 1+13x 1+43(x +43)， 直线AD 的方程为y −1=y 2−1x 2x ， 联立 {y +13=y 1+13x 1+43(x +43)x =−1，解得 y =y 1−x 1−13x 1+4=(k−1)(x 1+1)3x 1+4， 所以G(−1，(k−1)(x 1+1)3x 1+4)， y =x 2−y 2+1x 2=(1−k)(x 2+1)x 2， 所以E(−1，(1−k)(x 2+1)x 2)， 所以y G +y E =(1−k)(x 1+1)3x 1+4+(1−k)(x 2+1)x 2=(1−k)[2x 1x 2+3(x 1+x 2)+4]3x 1x 2+4x 2， 联立{x 22+y 2=1y =k(x +1)，得 （2k 2+1）x 2+4k 2x +2k 2﹣2＝0，因为Δ＝（4k 2）2﹣4（2k 2+1）（2k 2﹣2）＝8k 2+8＞0， 所以x 1+x 2=−4k 22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1，所以y G +y E =(1−k)(2⋅2k 2−22k 2+1−3⋅4k 22k 2+1+4)3x 1x 2+4x 2=0，所以y G ＝﹣y E ，综上所述：E ，G 两点关于x 轴对称．。
广东省惠州市高二上学期期末数学试卷
广东省惠州市高二上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共14题；共28分)1. （2分） (2018高二上·南宁月考) 设p: ,q: ,若 q是 p 的必要不充分条件,则实数的取值范围是（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高一上·舟山期末) 与圆x2+y2+8x+15=0及圆x2+y2﹣8x+12=0都外切的圆的圆心在（）A . 一个椭圆上B . 一条抛物线上C . 双曲线的一支上D . 一个圆上3. （2分）(2016·陕西模拟) 已知命题p：∃x∈R，log3x≥0，则（）A . ￢p：∀x∈R，log3x≤0B . ￢p：∃x∈R，log3x≤0C . ￢p：∀x∈R，log3x＜0D . ￢p：∃x∈R，log3x＜04. （2分）用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（）A .B . 2C . 4D .5. （2分）已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A .B .C .D .6. （2分）(2018·茂名模拟) 过抛物线的焦点，且与其对称轴垂直的直线与交于两点，若在两点处的切线与的对称轴交于点，则外接圆的半径是（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高二上·蚌埠期末) 一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·红河模拟) 若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足，则的值为（）A . 2B .C .D . ﹣29. （2分） (2020高一上·林芝期末) 在正方体中，与棱异面的棱有（）A . 8条B . 6条C . 4条D . 2条10. （2分） (2016高二上·吉林期中) 设双曲线C： =1（a＞0，b＞0）左，右焦点为F1 ， F2 ，P是双曲线C上的一点，PF1与x轴垂直，△PF1F2的内切圆方程为（x+1）2+（y﹣1）2=1，则双曲线方程为（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高二下·揭阳期中) 等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线C与抛物线y2=16x 的准线交于A，B两点，|AB|=4 ，则双曲线C的实轴长为（）A .B . 2C . 4D . 412. （2分） (2018高二上·嘉兴期中) 设是直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A . 若，则B . 若，则C . 若，则D . 若，则13. （2分） (2017高二上·宜昌期末) 已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）A . 120°B . 60°C . 45°D . 30°14. （2分） (2017·大理模拟) 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1 ， F2是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)15. （1分） (2018高二下·大名期末) 设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 .若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．16. （1分） (2016高二下·静海开学考) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为CD、DD1的中点，则异面直线EF与A1C1所成角的余弦值为________．17. （1分）顶点在原点，经过圆C：x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为________18. （1分） (2016高一下·南充期末) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD1与平面ABCD所成角的正切值是________．19. （1分） (2018高三下·滨海模拟) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．三、解答题 (共8题；共61分)20. （1分） (2016高一下·高淳期末) 设α，β为两个不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α∥β，l⊂α，则l∥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若l∥α，l⊥β，则α⊥β；④若m、n是异面直线，m∥α，n∥α，且l⊥m，l⊥n，则l⊥α．其中真命题的序号是________21. （10分） (2016高一下·漳州期末) 已知直线l经过点（1，﹣2），且与直线m：4x﹣3y+1=0平行；（1）求直线l的方程；（2）求直线l被圆x2+y2=9所截得的弦长．22. （15分） (2016高二上·平原期中) 三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，△ABC是边长为4的等边三角形，D为AB边中点，且CC1=2AB．（1）求证：平面C1CD⊥平面ABC；（2）求证：AC1∥平面CDB1；（3）求三棱锥D﹣CAB1的体积．23. （5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0），且点P（0，1）在C1上．求椭圆C1的方程.24. （5分） (2017高二下·惠来期中) 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD= ，求三棱锥E﹣ACD的体积．25. （10分） (2015高三上·滨州期末) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）已知AP=AB=1，AD= ，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．26. （5分） (2018高三上·张家口期末) 过椭圆：的上顶点作相互垂直的两条直线，分别交椭圆于不同的两点，（点，与点不重合）（Ⅰ）设椭圆的下顶点为，当直线的斜率为时，若，求的值；（Ⅱ）若存在点，，使得，且直线，斜率的绝对值都不为，求的取值范围.27. （10分）(2013·江西理) 如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e= ，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2） AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题 (共14题；共28分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、填空题 (共5题；共5分)15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、三、解答题 (共8题；共61分) 20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、23-1、24-1、25-1、25-2、26-1、27-1、。