一模专题：圆锥曲线静安闸北寒暑假高中补习班

第三课：一模专题：圆锥曲线
1，（2018杨浦一模20）设直线l 与抛物线2:4y x Ω=相交于不同两点A 、B ，O 为坐标原点.
（1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；
（2）若直线l 又与圆22:(5)16C x y -+=相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，求直线l 的方程；
（3）若0OA OB ⋅= ，点Q 在线段AB 上，满足OQ AB ⊥，求点Q 的轨迹方程.
2，（2018松江一模20）已知椭圆2222:1x y E a b +=（0a b >>）经过点3(1,)，其左焦点为
(F ，过F 点的直线l 交椭圆于A 、B 两点，交y 轴的正半轴于点M .
（1）求椭圆E 的方程；
（2）过点F 且与l 垂直的直线交椭圆于C 、D 两点，
若四边形ACBD 的面积为
43，求直线l 的方程； （3）设1MA AF λ= ，2MB BF λ= ，求证：12λλ+为定值.
3，（2018虹口一模20）已知平面内的定点F到定直线l的距离等于p（0
p>），动圆M过点F且与直线l相切，记圆心M的轨迹为曲线C，在曲线C上任取一点A，过A作l的垂线，垂足为E.
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）记点A到直线l的距离为d，且34
43
p p
d
≤≤，求EAF
∠的取值范围；
（3）判断EAF
∠的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由.
4，（2018金山一模20）给出定理：在圆锥曲线中，AB 是抛物线2:2y px Γ=（0p >）的一条弦，C 是AB 的中点，过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D ，若A 、B 两点纵坐标之差的绝对值||A B y y a -=（0a >），则ADB ∆的面积316ADB
a S p ∆=，试运用上述定理求解以下各题：
（1）若2p =，AB 所在直线的方程为24y x =-，C 是AB 的中点，过C 且平行于x 轴的 直线与抛物线Γ的交点为D ，求ADB S ∆；
（2）已知AB 是抛物线2:2y px Γ=（0p >）的一条弦，C 是AB 的中点，过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D ，E 、F 分别为AD 和BD 的中点，过E 、F 且平行于x 轴的直线与抛物线2:2y px Γ=（0p >）分别交于点M 、N ，若A 、B 两点纵坐标之差的绝对值||A B y y a -=（0a >），求AMD S ∆和BND S ∆；
（3）请你在上述问题的启发下，设计一种方法求抛物线：22y px =（0p >）与弦AB 围成的“弓形”的面积，并求出相应面积.
5，（2018普陀一模20）设点1F 、2F 分别是椭圆22
22:12x y C t t
+=（0t >）的左、右焦点，
且椭圆C 上的点到点2F 的距离的最小值为2，点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且向量1F M 与向量2F N 平行.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）当120
F N F N ⋅= 时，求1F MN ∆的面积；
（3）当21||||F N F M -= 2F N 的方程.
6，（2018徐汇一模20）已知椭圆22
22:1x y a b
Γ+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，
且1F 、2F 与短轴的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形，点P 在椭圆Γ上，过点2F 作互相垂直且
与x 轴不重合的两直线AB 、CD 分别交椭圆Γ于A 、B 、C 、D ，且M 、N 分别是弦AB 、 CD 的中点.
（1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）求证：直线MB 过定点2(,0)3
R ；
（3）求2MNF ∆面积的最大值.
7，（2018年宝山一模20）设椭圆22
22:1x y C a b
+=（0a b >>）过点(2,0)-，且直线510x y -+=过C 的左焦点.
（1）求C 的方程；
（2）设()x 为C 上的任一点，记动点(,)x y 的轨迹为Γ，Γ与x 轴的负半轴、y 轴的正半轴分别交于点G 、H ，C 的短轴端点关于直线y x =的对称点分别为1F 、2F ，当点P 在直线GH 上运动时，求12PF PF ⋅
的最小值；
（3）如图，直线l 经过C 的右焦点F ，并交C 于A 、B 两点，且A 、B 在直线4x =上的射影依次为D 、E ，当l 绕F 转动时，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，求出定点的坐标，否则，请说明理由.
8，（2018浦东一模20）已知椭圆22
22:1x y a b
Γ+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，
设点(0,)A b ，在12AF F ∆中，1223
F AF π∠=，周长为4+（1）求椭圆Γ的方程；
（2）设不经过点A 的直线l 与椭圆Γ相交于B 、C 两点，若直线AB 与AC 的斜率之和为 1-，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标；
（3）记第（2）问所求的定点为E ，点P 为椭圆Γ上的一个动点，试根据AEP ∆面积S 的 不同取值范围，讨论AEP ∆存在的个数，并说明理由.
9，（2018闵行一模20）已知椭圆22
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x y +=的右焦点是抛物线2:2y px Γ=的焦点，直线l 与Γ相交于不同的两点11(,)A x y 、22(,)B x y .
（1）求Γ的方程；
（2）若直线l 经过点(2,0)P ，求OAB ∆的面积的最小值（O 为坐标原点）；
（3）已知点(1,2)C ，直线l 经过点(5,2)Q -，D 为线段AB 的中点，求证：||2||AB CD =.
10，（2018年崇明一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆2
22:1x C y a
+=（0a >，1a ≠）的两个焦点分别是1F 、
2F ，直线:l y kx m =+（,k m R ∈）与椭圆交于A 、B 两点.
（1）若M 为椭圆短轴上的一个顶点，且12MF F ∆是直角三角形，求a 的值；
（2）若1k =，且OAB ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，求a 与m 满足的关系；
（3）若2a =，且14
OA OB k k ⋅=-，求证：OAB ∆的面积为定值.
点00(,)P x y M ∈，M 表示的曲线是C ，N 表示的曲线是1C ，1C 的渐近线为1l 和2l .
（1）判断M 和N 的关系并说明理由；
（2）设01x ≠±，1(1,0)A -，2(1,0)A ，直线1PA 的斜率是1k ，直线2PA 的斜率是2k ，求12k k 的取值范围；
（3）过P 点作1l 和2l 的平行线分别交曲线C 的另外两点于Q 、R ，求证：PQR ∆的面积为定值.
00(,)P x y M ∈，M 表示的曲线是C ，N 表示的曲线是1C ，1C 的渐近线为1l 和2l .
（1）判断M 和N 的关系并说明理由；
（2）设01x ≠±，1(1,0)A -，2(1,0)A ，直线1PA 的斜率是1k ，直线2PA 的斜率是2k ，求12k k 的取值范围；
（3）过P 点作1l 和2l 的平行线分别交曲线C 的另外两点于Q 、R ，求证：PQR ∆的面积为定值.。