高中数学圆锥曲线详解【免费】
高中数学圆锥曲线知识点梳理+例题解析
x0 x a2
y0 y b2
1.
7.
x2
椭圆
a2
y2 b2
1
(a＞b＞0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 F1PF2
，则椭圆的焦点角形的面积
S 为 F1PF2
b2
tan 2
.
-4-
8.
椭圆 x2 y2 a2 b2
1（a＞b＞0）的焦半径公式 | MF1 | a ex0 , | MF2 | a ex0 ( F1(c, 0)
x0
中心 顶点 对称轴
原点 O（0，0）
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)
x 轴，y 轴； 长轴长 2a,短轴长 2b
原点 O（0，0）
(a,0), (─a,0) x 轴，y 轴;
实轴长 2a, 虚轴长 2b.
(0,0) x轴
焦点
F1(c,0), F2(─c,0)
F1(c,0), F2(─c,0)
e=1
a
a
-2-
【备注 1】双曲线：
⑶等轴双曲线：双曲线 x 2 y 2 a 2 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y x ，离心率 e 2 .
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线. x 2 y 2 与 a2 b2
x 2 y 2 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线： x 2 y 2 0 .
e 的点的轨迹.（e>1）
与定点和直线的距离相等的点的 轨迹.
-1-
轨迹条件
点集： ({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F
(完整版)《圆锥曲线》主要知识点
圆锥曲线与方程 知识要点一、椭圆方程. 1、椭圆的定义：平面内与两个定点F 1、F 2，点P 满足21212F F a PF PF >=+，则点P 的轨迹是 平面内与两个定点F 1、F 2，点P 满足21212F F a PF PF ==+，则点P 的轨迹是 平面内与两个定点F 1、F 2，点P 满足21212F F a PF PF <=+，则点P 的轨迹是 2若P 是椭圆：12222=+by a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为3、点与椭圆、直线与椭圆的位置关系(1)点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系：①点P 在椭圆上⇔ ；②点P 在椭圆内部⇔ ； ③点P 在椭圆外部⇔ .(2)直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系判断方法：先联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1.消y 得一个一元二次方程是：(3)弦长公式：设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2， ∴|AB |＝（x 1－x 2）2＋（kx 1－kx 2）2＝1＋k 2·（x 1－x 2）2＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2， 或|AB |＝⎝⎛⎭⎫1ky 1－1k y 22＋（y 1－y 2）2＝1＋1k 2·（y 1－y 2）2＝1＋1k2×（y 1＋y 2）2－4y 1y 2. 其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y 或x 后得到关于x 或y 的一元二次方程得到．（4）直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆：()012222>>=+b a by a x 的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点M （x 0，y 0），则k = (用x 0，y 0表示) 二、双曲线方程. 1、双曲线的定义：平面内与两个定点F 1、F 2，点P 满足21212F F a PF PF <=-，则点P 的轨迹是 平面内与两个定点F 1、F 2，点P 满足21212F F a PF PF >=-，则点P 的轨迹是 平面内与两个定点F 1、F 2，点P 满足21212F F a PF PF ==-，则点P 的轨迹是 2（1）等轴双曲线：双曲线a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为 ，离心率（2）共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλby a x 的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为0=±bya x 时，它的双曲线方程可设为 .（3）从双曲线一个焦点到一条渐近线的距离等于 . 3、直线与双曲线的位置关系(1)一般地，设直线l ：y ＝kx ＋m ……① 双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) ……②把①代入②得关于x 的一元二次方程为 . ①当b 2－a 2k 2＝0时，直线l 与双曲线的渐近线 ，直线与双曲线C ． ②当b 2－a 2k 2≠0时，Δ>0⇒直线与双曲线有 公共点，此时称直线与双曲线 ； Δ＝0⇒直线与双曲线有 公共点，此时称直线与双曲线 ； Δ<0⇒直线与双曲线 公共点，此时称直线与双曲线 ． 注意：直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点．（2）直线l ：y ＝kx ＋m 与双曲线：()0,012222>>=-b a by a x 的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点M （x 0，y 0），则k = (用x 0，y 0表示) 三、抛物线方程. 1、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (不经过点F ) 的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 ．思考1：平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 经过点F )，点的轨迹是 2、抛物线的性质：3、抛物线的焦点弦的性质1．如图，AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， AB 的中点M (x 0，y 0)，相应的准线为l .(1)以AB 为直径的圆必与准线l 的位置关系是 ； (2)|AB |＝ (焦点弦长用中点M 的坐标表示)； (3)若直线AB 的倾斜角为α，则|AB |＝ (焦点弦长用倾斜角为α表示)；如当α＝90°时，AB 叫抛物线的通径，是焦点弦中最短的；抛物线的通径等于 . (4)求证A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝ ，y 1·y 2＝ . 4、直线与抛物线的位置关系1．设直线l ：y ＝kx ＋m ，抛物线：y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成 关于x 的一元二次方程为 ，(1)若k ＝0，直线与抛物线有 个公共点，此时直线 于抛物线的对称轴或与对称轴 ． 因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的 条件． (2)若k ≠0， 当Δ>0时，直线与抛物线 ，有两个公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线 ，有一个公共点； 当Δ<0时，直线与抛物线 ，无公共点．2．直线l ：y ＝kx ＋m 与抛物线：y 2＝2px (p >0)的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点M （x 0，y 0），则k = (用p 和x 0，y 0表示)3．抛物线：y 2＝2px (p >0，y >0)在点A (x 0，02px )处的切线方程为 ，4．抛物线：x 2＝2py (p >0)在点A (x 0，px 220)处的切线方程为 ，。
(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学知识点大全—圆锥曲线一、考点（限考）概要：1、椭圆：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。
用集合表示为：；②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心率用集合表示为：；（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
（3）参数方程：（θ为参数）；3、双曲线：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。
用集合表示为：②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。
用集合表示为：（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
4、抛物线：（1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。
用集合表示为：（2）标准方程和性质：①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；二、复习点睛：1、平面解析几何的知识结构：2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。
则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。
3、椭圆形状与e的关系：当e→0，c→0，椭圆→圆，直至成为极限位置的圆，则认为圆是椭圆在e=0时的特例。
当e→1，c→a椭圆变扁，直至成为极限位置的线段，此时也可认为是椭圆在e=1时的特例。
(完整版)圆锥曲线知识点归纳总结
完整版)圆锥曲线知识点归纳总结1.圆锥曲线的定义和构造圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）决定的点集。
三种经典的圆锥曲线分别为椭圆、抛物线和双曲线。
构造圆锥曲线需要确定焦点和准线的位置以及确定参数值。
2.椭圆的特性椭圆是圆锥曲线中最常见的一种形式，由两个焦点和一个大于等于焦距的参数决定。
椭圆的离心率小于1，且离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
椭圆的焦缩比为焦点到椭圆上某一点的距离与该点到准线的距离的比值。
重要公式：椭圆的标准方程为(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1；焦缩比为e = c/a，其中c^2 = a^2 – b^2.3.抛物线的特性抛物线是圆锥曲线中的一种形式，由一个焦点和一个参数决定。
抛物线的离心率为1，焦缩比为1.抛物线的轴是准线，顶点是焦点和准线的交点。
重要公式：抛物线的标准方程为(x^2/4a) = y。
4.双曲线的特性双曲线是圆锥曲线中的一种形式，由两个焦点和一个焦距决定。
双曲线的离心率大于1，离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
双曲线的焦缩比为c^2 = a^2 + b^2.重要公式：双曲线的标准方程为(x^2/a^2) – (y^2/b^2) = 1.5.圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和物理学中都有广泛的应用。
椭圆的应用包括轨道运动、天体力学以及密码学等领域。
抛物线的应用包括抛物面反射器、人工卫星的轨道设计等。
双曲线的应用包括电磁波的传播、双曲线钟的标定等。
6.圆锥曲线的性质圆锥曲线有许多共同的性质，如对称性、切线性质和焦点性质等。
对称性：椭圆和双曲线关于x轴和y轴都有对称性，抛物线关于y轴有对称性。
切线性质：圆锥曲线上任意一点的切线与焦点到该点的连线垂直。
焦点性质：圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与焦缩比成正比。
此文档总结了圆锥曲线的定义、特性、应用和性质等重要知识点，并提供了相关公式和图示。
熟悉了这些知识后，我们可以更加深入地理解和应用圆锥曲线的概念。
高中数学第八章圆锥曲线知识点
高中数学第八章圆锥曲线知识点第八章圆锥曲线是高中数学中的一个重要章节，涵盖了圆锥曲线的基本概念、性质以及相关应用等内容。
圆锥曲线是一类特殊的曲线，由一个固定点（称为焦点）和到该点距离与到一条固定直线（称为准线）距离的比值为常数定义。
本文将从椭圆、双曲线和抛物线这三种常见的圆锥曲线开始，介绍它们的定义、性质和公式，并探讨它们在几何和实际问题中的应用。
一、椭圆椭圆是圆锥曲线中最基本的一种情形。
它的定义是，对于一个固定点F（焦点）和一条固定直线l（准线），所有到F和l的距离之比等于一个常数e（离心率）的点的轨迹。
椭圆具有很多重要的性质，如焦点的性质、离心率的性质、对称性和切线的性质等，这些性质对于解题和应用非常重要。
二、双曲线双曲线是圆锥曲线中另一种重要的类型。
与椭圆相比，双曲线的定义稍微有些不同。
它的定义是，对于一个固定点F（焦点）和一条固定直线l（准线），所有到F和l的距离之差等于一个常数e （离心率）的点的轨迹。
双曲线的性质也非常丰富，包括焦点和准线的性质、离心率的性质、渐近线、对称性以及切线的性质等。
三、抛物线抛物线是圆锥曲线中最后一种常见的类型。
它的定义是，对于一个固定点F（焦点）和一条固定直线l（准线），所有到F和l的距离相等的点的轨迹。
抛物线也具有许多独特的性质，如焦点和准线的性质、对称性、切线的性质、曲率和渐近线等。
这三种圆锥曲线在几何中起到了重要的作用，但在实际问题中的应用更为广泛。
例如，在天文学中，行星运动的轨迹可以用椭圆来描述；在通信中，天线的波束方向可以通过双曲线来确定；在物理学中，抛物线的形状可以用来描述抛射体的运动轨迹等等。
总之，高中数学第八章圆锥曲线是一个非常重要的知识点，涉及到椭圆、双曲线和抛物线三种常见情形的定义、性质和应用。
掌握圆锥曲线的相关知识，不仅对于解决几何问题有很大的帮助，还。
第二十六讲圆锥曲线解析版
第二十六讲：椭圆、双曲线、抛物线【考点梳理】1、求曲线的轨迹方程直接法、定义法、相关点法 2、椭圆方程 椭圆相关计算（1）椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义222c b a +=（2）通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长22b a 焦点弦：椭圆过焦点的弦。
最短的焦点弦为通经22b a，最长为2a 。
（3）最大角:p 是椭圆上一点，当p 是椭圆的短轴端点时，21PF F ∠为最大角。
（4）椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。
焦点三角形的面积122tan2PF F S b θ∆=，其中12F PF θ=∠（注意公式的推导）3、双曲线（1）双曲线的通径过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为22b a．（2）点与双曲线的位置关系对于双曲线22221(0)x y a b a b -=>>，点00()P x y ，在双曲线内部，等价于2200221x y a b ->．点00()P x y ，在双曲线外部，等价于2200221x y a b -<结合线性规划的知识点来分析．（3）双曲线常考性质性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数b ；顶点到两条渐近线的距离为常数abc; 性质2：双曲线上的任意点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数222a b c；（4）双曲线焦点三角形面积为2tan2b θ（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）（5）双曲线的切线点00()M x y ，在双曲线22221x y a b -=(00)a b ，>>上，过点M 作双曲线的切线方程为00221x x y ya b -=．若点00()M x y ，在双曲线22221x y a b -=(00)a b ，>>外，则点M 对应切点弦方程为00221x x y ya b -=4、抛物线 （1）、焦半径抛物线上的点00(,)P x y 与焦点F 的距离称为焦半径，若22(0)y px p =>，则焦半径02p PF x =+，max 2pPF =． （2）、焦点弦若AB 为抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有以下结论：（1）2124p x x =．（2）212y y p =-．（3）焦点弦长公式1：12AB x x p =++，12x x p +≥=，当12x x =时，焦点弦取最小值2p ，即所有焦点弦中通径最短，其长度为2p ．焦点弦长公式2：22sin pAB α=（α为直线AB 与对称轴的夹角）． （4）AOB ∆的面积公式：22sin AOBp S α∆=（α为直线AB 与对称轴的夹角）． （3）、抛物线的通径过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．对于抛物线22(0)y px p =>，由()2p A p ，，()2pB p -，，可得||2AB p =，故抛物线的通径长为2p ．（4）、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：0py k =（5）、焦点弦的常考性质已知11()A x y ，、22()B x y ，是过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的弦，M 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，MN l ⊥，N 为垂足．（1）以AB 为直径的圆必与准线l 相切，以AF （或BF ）为直径的圆与y 轴相切；（2）FN AB ⊥，FC FD ⊥（3）2124p x x =；212y y p =-（4）设BD l ⊥，D 为垂足，则A 、O 、D 三点在一条直线上 【典型题型讲解】考点一：椭圆【典例例题】例1．（2022·广东清远·高三期末）若椭圆22:14x y C m +=的焦距为6，则实数m =（ ）A ．13B ．40C ．5D ．【答案】．A【详解】解：因为椭圆22:14x y C m +=的焦距为6，可知26c =，则3c =，所以22,4a m b ==， 所以243-=m ，解得：13m =. 故选：A.例2．（2022·广东珠海·高三期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的长轴长为4，左顶点A 到上顶点B 的F 为右焦点． (1)求椭圆C 的方程和离心率；(2)设直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N （不同于A ，B 两点），且直线BM BN ⊥时，求F 在l 上的射影H 的轨迹方程．【答案】21．(1)2214x y +=223211025x y ⎛⎛⎫++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭（1）由题意可得：24a =，225a b +=，222a b c =+，可得2a =，c =1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=，离心率为c e a = （2）当直线斜率存在时，可设:l y kx m =+代入椭圆方程2214x y +=，得：()()222418410k x kmx m +++-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则()12221228414141km x x k m x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩． 因为直线BM ，BN 垂直，斜率之积为1-，所以1BM BN k k ⋅=-， 所以()()()22121212111BM BNk x x k m x x m k k x x +-++-⋅==-．将()12221228414141km x x k m x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩代入，整理化简得：()()1530m m -+=， 所以1m =或35m =-．由直线:l y kx m =+，当1m =时，直线l 经过()0,1，与B 点重合，舍去， 当35m =-时，直线l 经过定点30,5E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当直线斜率不存在时，可设:l x t =，则M t ⎛ ⎝，,N t ⎛ ⎝， 因为1BM BNk k ⋅=-1⎛ =- ⎪⎝⎭，解得0=t ，舍去． 综上所述，直线l 经过定点30,5E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，而F 在l 上的射影H 的轨迹为以EF 为直径的圆， 其30,5E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，)F，所以圆心310⎫-⎪⎪⎝⎭，半径r =所以圆的方程为223211025x y ⎛⎛⎫++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即为点H 的轨迹方程．【方法技巧与总结】a b b a【变式训练】1．（2022·广东佛山·高三期末）（多选）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左､右焦点分别为12,F F，上顶点为B，且12tan BF F∠P在C上，线段1PF与2BF交于Q，22BQ QF=，则（）A．椭圆C的离心率为14B．椭圆C上存在点K，使得12KF KF⊥C．直线1PF D．1PF平分12BF F∠【答案】ACD【详解】令椭圆半焦距为c，则12(,0),(,0)F c F c-，由12tan BF F∠=b=，4a c=，椭圆2222:11615x yCc c+=，)B，而22BQ QF=，则点2(3cQ，对于A，椭圆C的离心率14cea==，A正确；对于B，设00(,)K x y，即有22200151516y c x=-，120000(,)(,)KF KF c x y c x y⋅=---⋅--22222000114016x y c x c =+-=+>， 即12F KF ∠为锐角，B 不正确；对于C ，直线1PF的斜率32()3k cc ==--，C 正确； 对于D ，直线1BF0y -=，点Q 到直线1BF的距离2||c d = 即点Q 到直线1F B 与12F F 的距离相等，则1PF 平分12BF F ∠，D 正确. 故选：ACD2．（2022·广东·金山中学高三期末）已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>与圆2C ：22245b x y +=，若在椭圆1C 上不存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是________.【答案】⎛ ⎝⎭【详解】设过P 的两条直线与圆2C 分别切于点,M N ，由两条切线相互垂直，知：OP =， 又在椭圆C 1上不存在点P ，使得由P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直， 所以OP a >a >，所以b a >， 所以椭圆C 1的离心率c e a ===，又0e >，所以0e <<故答案为：⎛ ⎝⎭. 3.（2022·广东汕尾·高三期末）已知12,F F 分别是椭圆C ：2216x ym+=的左、右两个焦点，若椭圆C 上存在四个不同的点P ，使得12PF F △m 的取值范围为______． 【答案】15m <<【详解】当点P 在椭圆C 上运动时，121022PF F Sc b <≤⨯⨯，故只需122c b ⨯⨯>12⨯265(1)(5)0m m m m -+=--<，解得：15m <<．故答案为：15m <<.4．（2022·广东肇庆·二模）已知点1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点A 是椭圆上一点，点О为坐标原点，若1OA OF =，直线2F A 的斜率为3-，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．58BC ．13D 【答案】D【详解】如图，由1OA OF =，得12OA OF OF c ===，故1290F AF ∠=︒．因为直线2F A 的斜率为3-，所以12tan 3F F A ∠=，所以123AF AF =， 又122AF AF a +=，所以132a AF =，22aAF =， 又2221212AF AF F F +=， 故22291444a a c +=，得2258c a =，所以c a =.故选：D ．5．（2022·广东汕头·二模）已知椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线AB 过1F 与该椭圆交于A ，B 两点，当2F AB 为正三角形时，该椭圆的离心率为（ ）A B C D 【答案】B【详解】设正三角形2F AB 的边长为m ，设椭圆的标准方程为：22221(0)x y a b a b +=>>，设左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，设1BF x =，则有1AF m x =-，由椭圆的定义可知：1222BF BF a x m a +=⇒+=， 1222AF AF a m x m a +=⇒-+=，解得：43m a =，23x a =， 在21F F B 中，由余弦定理可知：2221212122cos3F F BF BF BF BF π=+-⋅⋅，2222241624142399332a a c c a a a c e a =+-⋅⋅⋅⇒=⇒==故选：B6．（2022·广东中山·高三期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为F ,离心率为12,直线:l y x =被椭圆截得的弦长为7()1求椭圆C 的标准方程()2若P 是椭圆C 上一点,O 是坐标原点,过点F 与直线l 平行的直线与椭圆C 的两个交点为,A B ,且OP OA OB λμ=+,求λμ的最大值【答案】（1）22143x y +=（2）74【详解】()1设椭圆C 的焦距为2c ,则2221,2c a b c a ==+2,a c b ∴==椭圆C 的方程化为2223412x y c +=，由2223412y x x y c =⎧⎨+=⎩得222127c x y ==224442749c ⨯=∴=1,2,c a b ∴===∴椭圆C 的方程为22143x y +=.()2由()1知()1,0F ,过F 与直线平行的直线方程1y x =-由2213412y x x y =-⎧⎨+=⎩得27880x x --= 设()()1122,,,A x y B x y ,则121288,77x x x x +==-()()12121212,,,OP OA OB x x y y P x x y y λμλμλμλμλμ=+=++∴++由点P 是椭圆C 上一点,得()()2212123412x x y y λμλμ+++=()()2222222112121234346812x y x y x x y y λμλμλμ∴+++++=()()()1212121291117y y x x x x x x =--=-++=-22221122,343412x y x y +=+= 221017λμλμ∴+-= 221017λμλμ+-=222λμλμ+≥,当且仅当λμ==,取等号,471,74λμλμ∴≤∴≤ λμ∴的最大值为747．（2022·广东·金山中学高三期末）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左，右顶点分别为A 、B ，点F 是椭圆的右焦点，3AF FB =，3AF FB ⋅=． (1)求椭圆C 的方程；(2)不过点A 的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，记直线l 、AM 、AN 的斜率分别为k 、1k 、2k ．若()121k k k +=，证明直线l 过定点，并求出定点的坐标．【答案】(1)22143x y +=；(2)证明见解析，(－5,0). (1)由题意，知A (－a ，0)，B (a ，0)，F (c ，0)． ∵3,3AF FB AF FB =⋅=，∵()()()3,3,a c a c a c a c ⎧+=-⎪⎨+-=⎪⎩解得2,1,a c =⎧⎨=⎩从而b 2＝a 2－c 2＝3．∵椭圆C 的方程22143x y +=；(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，()11,M x y ，()22,N x y ． ∵直线l 不过点A ，因此－2k ＋m ≠0．由22143x y y k m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2223484120k x kmx m +++-=． 0∆>时，122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+，∵()()121212*********(2)42224kx x k m x x m y y k k x x x x x x +++++=+=+++++ 22222241282(2)434344128243434m kmk k m m k k m kmk k --⋅++⋅+++=--+⋅+++ ()2212(2)32444m k m km km k -==--+．由()121k k k +=，可得3k ＝m －2k ，即m ＝5k ， 故l 的方程为y ＝kx ＋5k ，恒过定点(－5,0).8．（2022·广东潮州·高三期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，以原点O 为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线260x +=相切． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点A ，B 为动直线y =k (x -2)(k ≠0)与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在定点E ，使得2EA EA AB +⋅为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)22162x y += (2)存在定点7,03E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得2EA EA AB +⋅为定值59- (1)，得c a =c =，又以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为222x y a +=，且与直线260x -+=相切，所以a == 所以2c =，2222b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22162x y +=；(2)解：假设存在，设(),0E m ，联立()221622x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,消y 整理得()222213121260k x k x k +-+-=， ()()4222144413126660k k k k ∆=-+-=+>，设()()1122,,,A x y B x y ，则2212122212126,1313k k x x x x k k -+==++， 由()2EA EA AB EA EA AB EA EB +⋅=⋅+=⋅， 则()()1122,,EA EB x m y x m y ⋅=-⋅-()()1212x m x m y y =--+()()()()2121222x m x m k x x =--+--()()()22221212124k x x k m x x k m =+-++++()()22222222126121241313k k k k m k m k k -=+-+++++ ()()222231210613mm k m k-++-=+，要使上式为定值，即与k 无关，则应()223121036m m m -+=-，即73m =， 此时2569EA EB m ⋅=-=-为定值，所以在x 轴上存在定点7,03E ⎛⎫⎪⎝⎭，使得2EA EA AB +⋅为定值59-.9．（2022·广东东莞·高三期末）已知点A 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左顶点，点(1,0)F 为右焦点，直线:4l x =与x 轴的交点为N ，且||||AF FN =，点M 为椭圆上异于点A 的任意一点，直线AM 交l 于点P .(1)求椭圆C 的标准方程； (2)证明：2MFN PFN ∠=∠.【答案】(1)22143x y +=(2)证明见解析(1)由题知AF FN =，得4a c c +=-， 又因为右焦点为()1,0F ，则1c =， 解得2a =，所以b所以椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)设点M 的坐标为()00,x y ，则()00022AM y k x x =≠-+， 所以直线AM 的方程是()0022y y x x =++， 当4x =时，0062y y x =+，所以点P 的坐标为0064,2y x ⎛⎫⎪+⎝⎭， 所以00006222tan 412PFy x y PFN k x ++∠===-+，00tan 1MF yMFN k x ∠==-，所以()()000022220000224222tan tan 21tan 24212y x y x PFNPFN PFNx y y x ⋅++∠∠===-∠+-⎛⎫- ⎪+⎝⎭.因为点()00,M x y 在椭圆22143x y +=上，所以2200143x y +=，即22004123y x =-，所以()()000022220000224222tan tan 21tan 24212y x y x PFNPFN PFNx y y x ⋅++∠∠===-∠+-⎛⎫- ⎪+⎝⎭()()()()00000200000422tan 448121x y x y y MFNx x x x x ++====∠+--+-，又因为PFN ∠和MFN ∠是锐角， 所以2MFN PFN ∠=∠.10．（2022·广东深圳·高三期末）在平面直角坐标系xOy 中，点()0,1A 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上，过点()2,1B -的直线l 与C 交于M ，N 两点（异于点A ），记直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，当11k =时，AM =． (1)求C 的方程； (2)证明：12k k +为定值．【答案】(1)2212x y +=；(2)证明见解析.(1)∵(0,1)A 在C 上，∵1b =，当11k =时，直线AM 的方程为：1y x =+，将1y x =+代入222:1x C y a+=，并整理得221(1)20x x a ++=，解得0x =，或222+1a x a =-，∵22|||0+(|32)1a A a M -=-=22a =，∵椭圆C 的方程为：22:12x C y +=.(2)由题意知，直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为1(2)y k x +=-，11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立221,21(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪+=-⎩得2222(21)(84)880k x k k x k k +-+++=∵21228+421k k x x k +=+，且21228821k kx x k +=+，∵12211212121211(1)(1)y y x y x y k k x x x x ---+-+=+= 211212(22)(22)x kx k x kx k x x --+--=1212122(22)()kx x k x x x x -++=22(22)(84)22(21)188k k k k k k k k ++=-=-+=-+，∵121k k +=-，即12k k +为定值1-.11．（2021·广东汕头·高三期末）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>，又点12⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上． (1)求椭圆E 的标准方程；(2)若动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点，过点()1,0M 作直线l 的垂线，垂足为Q ，试探究：OQ是否为定值，如果是，请求出该值；如果不是，请说明理由.【答案】(1)2212x y +=；(2)OQ是定值，且OQ(1)解：由已知可得22222311240c e a a b c a b a ⎧==⎪⎪=+⎪⎨⎪+=⎪⎪>⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，椭圆E 的方程为2212x y +=.(2)解：①当切线l 的斜率存在且不为0时，设l 的方程为y kx m =+， 联立直线l 和椭圆E 的方程得2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 并整理，得()222214220k x kmx m +++-=，因为直线l 和椭圆E 有且仅有一个公共点，即方程有两个相等的根，()()2222Δ16421220k m k m ∴=-+-=，化简并整理，得2221m k =+，因为直线MQ 与l 垂直，所以直线MQ 的方程为()11y x k=--， 联立()11y x k y kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩，解得22111kmx k k m y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，即点221,11km k m Q k k -+⎛⎫ ⎪++⎝⎭. ()()()()()()222222222222222222211111222(1)1111k m km k m k m k m mk OQk k kk k ++-++∴=+++++=====+++++，所以，OQ②当切线l 的斜率为0时，直线:1l y ，过点()1,0M 作直线l 的垂线为1x =，即此时()1,1Q 或()1,1Q -，OQ③当切线l的斜率不存在时，直线:l x =()1,0M 作直线l 的垂线为0y =，即此时)Q或()Q，则OQ =综上所述，OQ = 12．（2022·广东潮州·二模）设椭圆221222:1(0),,x y C a b F F a b +=>>为左右焦点,B 为短轴端点,长轴长为4,焦距为2c ,且b c >,12BF F ∆(∵)求椭圆C 的方程(∵)设动直线:l y kx m =+椭圆C 有且仅有一个公共点M ,且与直线4x =相交于点N .试探究:在坐标平面内是否存在定点P ,使得以MN 为直径的圆恒过点P ?若存在求出点P 的坐标,若不存在.请说明理由.【答案】（1）22143x y += （2）存在定点P (1,0)【详解】(1)由题意知22224122a c b a b c=⎧⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎩21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩C 的方程是22143x y +=． (2)由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0．因为动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M (x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0， 即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*)此时x 0＝－2443km k +＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以M(－43,?)k m m由4x y kx m =⎧⎨=+⎩得N (4,4k ＋m )．假设平面内存在定点P 满足条件，由图形对称性知，点P 必在x 轴上． 设P (x 1,0)，则0PM PN ⋅=对满足(*)式的m 、k 恒成立． 因为PM ＝(－143,?)k x m m-，PN ＝(4－x 1,4k ＋m )，由0PM PN ⋅=，得-16k m ＋14kx m －4x 1＋x ＋12km＋3＝0， 整理，得(4x 1－4) km＋x －4x 1＋3＝0.(**)由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，所以121144430x x x -⎧⎨-+=⎩解得x 1＝1.故存在定点P (1,0)，使得以MN 为直径的圆恒过点M .考点二：双曲线【典例例题】例1．（2022·广东珠海·高三期末）双曲线2222:1x y C a b -=的右支上一点M 关于原点O 的对称点为点N ，F 为双曲线的右焦点，若MO OF =，3FMN π∠=，则双曲线C 的离心率e 为（ ） A B C 1D 1【答案】D【详解】设F '为双曲线左焦点，连接MF '，NF '，12OF MN =，由平面几何知识可知MF NF ⊥，根据对称性，四边形MFNF '为矩形，在Rt MFN 中，2MN F F c '==，所以MF c =，NF =，根据双曲线的定义可知2e 1c MF MF c a a -=-=⇒=='.故选:D ． 例2．（2022·广东佛山·高三期末）已知双曲线C 的渐近线方程为y x =，且过点P . (1)求C 的方程；(2)设(1,0)Q ，直线()x t t =∈R 不经过P 点且与C 相交于A ，B 两点，若直线BQ 与C 交于另一点D ，求证：直线AD 过定点.【答案】(1)2213x y -=(1)解：因为双曲线C的渐近线方程为y =， 则可设双曲线的方程为()22930x y λλ-=≠，将点P 代入得9293λ-=，解得13λ=，所以双曲线C 的方程为2213x y -=；(2)解：显然直线BQ 的斜率不为零，设直线BQ 为1x my =+，()()()112211,,,,,B x y D x y A x y -， 联立22131x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消x 整理得()223220m y my -+-=，依题意得230m -≠且()224830m m ∆=+->，即22m >且23m ≠，12122222,33m y y y y m m +=-=---， 直线AD 的方程为()211121y y y y x x x x ++=--， 令0y =， 得()211121x x y x xy y -=++122121x y x y y y +=+()()12212111my y my y y y +++=+()1212212my y y y y y ++=+2222223323mm m m m m -⋅---=-- 226323m m m --=-- 3=.所以直线AD 过定点()3,0.【方法技巧与总结】 1.双曲线的定义：焦点三角形2.双曲线的性质：离心率、双曲线的渐近线 【变式训练】1．（2022·广东潮州·高三期末）1 F 、2F 分别为双曲线22:12yC x -=的左、右焦点，过1F 的直线l 与C 的左、右两支曲线分别交于A 、B 两点，若2l F B ⊥，则22F A F B ⋅=（ ） A．4-B．4 C．6-D．6+【答案】C【详解】在双曲线C 中，1a =，b =c =()1F、)2F ，因为直线l 过点1F ，由图可知，直线l 的斜率存在且不为零，2l F B ⊥，则12F BF 为直角三角形，可得222121212BF BF F F +==，由双曲线的定义可得122BF BF -=，所以，()2221212121242122BF BF BF BF BF BF BF BF =-=+-⋅=-⋅，可得124BF BF ⋅=，联立121224BF BF BF BF ⎧-=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得21BF ，因此，()()22222222516F A F B F B BA F B F B BA F B ⋅=+⋅=+⋅==-.故选：C.2．（2022·广东汕尾·高三期末）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率为（ ）AB C D ．2【答案】D【详解】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±，b a=b ，离心率2c e a ==， 故选：D ．3．（2022·广东清远·高三期末）（多选）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P是双曲线C 上位于第一象限的点，过点2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为A ，若O 为坐标原点，2||=b OA ，则（ ）A ．双曲线C 的渐近线方程为2y x =±B ．双曲线C 的渐近线方程为12y x =±C ．双曲线CD ．双曲线C【答案】AC 【详解】如图，延长2F A 交1PF 于Q ，则2||PQ PF =，因为122PF PF a -=，所以11||2-==PF PQ QF a ．因为OA 为12QF F 的中位线，所以11||2==OA QF a ．因为2||2==b OA a ，所以2b a=，故双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，离心率e =故选：AC.4.（2022·广东东莞·高三期末）已知F 为双曲线C ：221916x y -=的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为_______. 【答案】4【详解】双曲线C ：221916x y -=的焦点为(5,0)(5,0)-、双曲线C ：221916x y -=的渐近线为43y x =±由双曲线C 的对称性，不妨取焦点(5,0)F ，渐近线为43y x =则则点F到渐近线的距离为4d == 故答案为：45.（2022·广东深圳·高三期末）在平面直角坐标系xOy 中，F 为双曲线()2222:10x y C b a a b -=>>的一个焦点，以F 为圆心的圆与C 的两条渐近线交于O 、A 、B 三点，若四边形OAFB2，则C 的离心率为______． 【答案】2【详解】不妨设点F 为双曲线C 的右焦点，则(),0F c ， 则以F 为圆心，且过原点O 的圆的方程为()222x c y c -+=，联立()222b y x a x c y c ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或222a x cab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，不妨设点222,a ab A c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由对称性可知点222,a ab B c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由已知可得222OAFB ab S c ab c =⋅=四边形，即)2224ab a b =+，240b ba a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由已知1b a >，解得b a =因此，双曲线C的离心率为2c e a ===.故答案为：2.6.（2022·广东中山·高三期末）已知点M 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>在第一象限上一点，点F 为双曲线C 的右焦点，O 为坐标原点，447MO MF OF ==，则双曲线C 的离心率为___________；若,MF MO 分别交双曲线C 于P 、Q 两点，记直线QM 与PQ 的斜率分别为12,k k ，则12k k ⋅=___________． 【答案】 4 -15【详解】设()00,M x y ，如图所示：因为4477MO MF OF c ===，所以74MO MF c ==.所以02c x =，0y =，即2c M ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以2222451641cca b-=，整理得：22222244516b c a c a b -=， 4224465160c a c a -+=，即42465160e e -+=，解得214e =或216e =. 因为1e >，所以216e =，即4e =. 设()11,P x y ，由题知：()00,Q x y --，因为MO MF =，所以QM MP k k =-，即1MP k k =-， 所以2210101012222101010=MP y y y y y y k k k k x x x x x x -+-⋅-⋅=-⋅=--+- 又因为()()221122222210102222002211101x y a b x x y y ab x y a b ⎧-=⎪⎪⇒---=⎨⎪-=⎪⎩，所以22222210222210115y y b c a e x x a a--===-=-， 所以12=15k k ⋅-. 故答案为：4；15-.29．（2022·广东深圳·一模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>经过点A ()2,0，且点A 到C 的渐近线的． (1)求双曲线C 的方程；(2)过点()4,0作斜率不为0的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，直线4x =分别交直线AM ，AN 于点E ，F ．试判断以EF 为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理由．【答案】(1)22143x y -=(2)以EF 为直径的圆经过定点，定点坐标为()1,0和()7,0 (1)由题意得：2a =因为双曲线C 的渐近线方程为2b y x =±= 解得：b =因此，双曲线C 的方程为：22143x y -= (2)①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()4y k x =-由()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩可得：()2222343264120,0k x k x k k -+--=≠∆>设()11,M x y 、()22,N x y ，则由：21223234k x x k -+=-，2122641234k x x k --=- 由直线AM 方程()1122y y x x =--，令4x =，得点1124,2y E x ⎛⎫⎪-⎝⎭由直线AN 方程()2222y y x x =--，令4x =，得点2224,2y F x ⎛⎫⎪-⎝⎭则以EF 为直径的圆的方程为：()()12122244022y y x x y y x x ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭令0y =，有：()()()212124224y y x x x =----将()114y k x =-，()224y k x =-代入上式，得()()()22121212124416424k x x x x x x x x x -++⎡⎤⎣⎦-=--++可得：()22222222226412324416343449641232243434k k k k k x k kk k ⎡⎤----⋅+⎢⎥--⎣⎦-=-=----⋅+-- 解得：1x =，或7x =即以EF 为直径的圆经过点()1,0和()7,0；②当直线l 的斜率不存在时，点E 、F 的坐标分别为()4,3、()4,3-，以EF 为直径的圆方程为()()()()44330x x y y --+-+=，该圆经过点()7,0和()1,0综合可得，以EF 为直径的圆经过定点()1,0和()7,0考点三：抛物线【典例例题】例1．（2022·广东惠州·一模）若抛物线22y px =（0p >）上一点P （2，0y ）到其焦点的距离为4，则抛物线的标准方程为（ ） A ．y 2=2x B ．y 2=4x C ．y 2=6x D ．y 2=8x【答案】D【详解】抛物线22y px =上一点()02,P y 到焦点的距离等于到其准线的距离，即为4，∵242p+=，解得4p =，∵抛物线的标准方程为28y x =. 故选：D.例2．（2022·广东韶关·一模）已知在平面直角坐标系中，有两定点()()0,3,0,3F G -，动点T 满足12TG TF=. (1)求动点T 的轨迹H 的方程；(2)若抛物线2:2(0)M x py p =>与轨迹H 按顺时针方向依次交于四点,,,A B C D （点,A D 在第一象限）. ①求证：直线AC 与直线BD 相交于G 点；②设ADG △的面积为S ，求S 取最大值时的抛物线方程. 【答案】．(1)22(5)16x y +-=（也可写221090x y y +-+=） (2)①证明见解析；②22x y = (1)据题意，设(),T x y12=即()222246969x y y x y y +-+=+++故22(5)16x y +-=为轨迹H 的方程；（也可写221090x y y +-+=） (2)如图：由圆与抛物线的对称性，四边形ABCD 是以y 轴为对称轴的等腰梯形不妨设<AB CD ，A ，D 在第一象限，()()1122,,,A x y D x y ，则()()1122,,,B x y C x y --联立22221090x py x y y ⎧=⎨+-+=⎩消去x 整理得： ()221090y p y +-+=（1）据题意，方程（1）有两相异正实根故()21212Δ210490102090p y y p y y ⎧=--⨯>⎪+=->⎨⎪=>⎩02p ∴<<①证明：依据圆与抛物线的对称性，直线AC 与直线BD 的公共点必在y 轴上，∴要证直线AC 与直线BD 相交于G 点，只要证：,,A G C 三点共线； 只要证：AG AC k k ==只要证：3=上式显然成立，且各步可逆， 故直线AC 与直线BD 相交于G 点 ②解法一：()()()()()12211122233GABGCDABCD S S SSx x y y x y x y =-+=+---+-⎡⎤⎣⎦梯形()1221213x y x y x x =-+-=+===()2426122p p +-≤⋅=当且仅当242p p =-，即1p =时，max 6S =， 此时抛物线方程为22x y = 解法二：())ΔΔ1233ABD ABG S S S x y =-=-=242362p p+-==⋅= 当且仅当242p p =-，即1p =时，max 6S =，此时抛物线方程为22x y = 【方法技巧与总结】1.抛物线的定义：到准线与到定点距离相等.2.抛物线的性质：焦点弦长 【变式训练】1．（2022·广东广州·一模）设抛物线2:8E y x =的焦点为F ，过点(4,0)M 的直线与E 相交于A ，B 两点，与E 的准线相交于点C ，点B 在线段AC 上，||3BF =，则BCF △与ACF △的面积之比BCF ACFSS=（ ）A ．14B ．15C ．16D ．17【答案】C【详解】如图，过点B 作BD 垂直准线2x =-于点D ，则由抛物线定义可知：||||3BF BD ==， 设直线AB 为4x my =+， ()11,A x y ，()22,B x y ，()2,C C y -，不妨设0m >，则120,0y y ><，所以223x +=，解得：21x =，则22288y x ==，解得：2y =-(1,B -，所以41-+=，解得：m =AB为4x y =+， 所以当2x =-时，即424y +=-，解得：C y =-(2,C --， 联立4x my =+与28y x =得：28320y my --=，则1232y y =-，所以1y =2116BCF C ACFC S y y BC SAC y y -====-.故选：C2．（2022·广东广东·一模）已知O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，P 为C上一点，若4PF =，则点F 到直线PO的距离为（ ） AB ．C D 【答案】D【详解】设(),P x y ， 142pPF x x =+=+=，解得：3x =，代入抛物线方程得y =±则(3,P ±，直线PO的方程式y=，即30y ±=，点()1,0F 到直线PO 的距离d ==故选：D3．（2022·广东茂名·一模）（多选）已知抛物线C :24x y =的焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线C 上第一象限的点，5PF =，直线PF 与抛物线C 的另一个交点为Q ，则下列选项正确的是（ ） A ．点P 的坐标为（4，4） B ．54QF =C ．103OPQS=D ．过点0(,1)M x -作抛物线C 的两条切线,MA MB ，其中,A B 为切点，则直线AB 的方程为：0220x x y -+= 【答案】ABD【详解】对于A ，因为5PF =，所以由抛物线的定义得15P y +=，得4P y =，所以2416P P x y ==，且点P 在第一象限，所以坐标为（4，4），则A 正确 对于B ，PF l 的直线方程为：314y x =+，由314y x =+与24x y =联立得，Q （11,4-），由两点距离公式得54QF =，则B 正确对于C ，方法一：115||||15222OPQP Q SOF x x =-=⨯⨯= 方法二：由B 得254PQ =，原点O 到直线PF l 的距离为45d =，所以52OPQS=，所以C 错误 对于D ，设1122(,),(,)A x y B x y ，由24x y =得，24x y =，则2xy '=，MA 切线方程为：111()2x y y x x -=-，即211122x x y y x -=-，由2114x y =得，112x y x y =-，把点0(,1)M x -代入112x y x y =-得，011220x x y -+=同理022220x x y -+=，即1122(,),(,)A x y B x y 两点满足方程：0220x x y -+=， 所以AB 的方程为：0220x x y -+=，则D 正确， 故选：ABD4．（2022·广东·一模）（多选）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，抛物线C 上存在n 个点1P ，2P ，，n P （2n ≥且*N n ∈）满足1223112n n n PFP P FP P FP P FP nπ-∠=∠==∠=∠=，则下列结论中正确的是（ ） A ．2n =时，12112PF P F += B ．3n =时，123PF P F P F ++的最小值为9 C ．4n =时，13241114PF P F P F P F +=++D ．4n =时，1234PF P F P F P F +++的最小值为8 【答案】BC【详解】当2n =时，1212PFP P FP π∠=∠=，此时不妨取12PP 过焦点垂直于x 轴， 不妨取12(12),(12)P P -，， ，则121111=+122PF P F +=，故A 错误； 当3n =时，12233123PFP P FP P FP π∠=∠=∠=， 此时不妨设123,,P P P 在抛物线上逆时针排列，设1,(0,)2PFx παα∠=∈, 则12||1cos PF α=- ，则 2222||,||241cos()1cos()33P F P F ππαα==-+-+， 故123222241cos 1cos()1cos()33PF P F P F ππααα++=++--+-+214(1cos )2211cos (cos )2ααα+=+-+ ， 令113cos ,(,)222t t α=+∈ ，则123242332t PF P F P F t t+++=+-， 令242332()t t tf t +=+- ，则232382627(1)()(32)(32)t t f t t t t t +--'=-=-- ， 当112t <<时，()0f t '> ，()f t 递增，当312t <<时，()0f t '< ，()f t 递减， 故min ()(1)9f t f == ，故当1t = ，即1cos ,23παα== 时，123PF P F P F ++取到最小值9，故B 正确；当4n =时，122313442PFP P FP P FP P FP π∠=∠=∠=∠=，此时不妨设1234,,,P P P P 在抛物线上逆时针排列，设1,(0,)2PFx πθθ∠=∈, 则12342222||,||,||,||31cos 1cos()1cos()1cos()22PF P F P F P F ππθθπθθ====--+-+-+， 即234222||,||,||1sin 1cos 1sin P F P F P F θθθ===++-，故1322241cos 1cos sin PF P F θθθ+=-++=，2422241sin 1sin cos P F P F θθθ+=+-+=，所以132242sin cos 144141PF P F P F P F θθ=++=++，故C 正确； 由C 的分析可知：23422122244416sin cos sin cos sin 2PF P F P F P F θθθθθ++===++， 当2sin 21θ= 时，216sin 2θ取到最小值16，即1234PF P F P F P F +++最小值为16，故D 错误； 故选：BC5．（2022·广东湛江·一模）（多选）已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，1l 与C 相交于A ，B 两点，2l 与C 相交于E ，D 两点，M 为A ，B 中点，N 为E ，D 中点，直线l 为抛物线C的准线，则（ ）A ．点M 到直线l 的距离为定值B ．以AB 为直径的圆与l 相切C ．AB DE +的最小值为32D ．当MN 最小时，MN //l【答案】BCD【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,E x y ，()44,D x y ，(,),(,)M M N N M x y N x y ， 直线1l 的方程为2x my =+，则直线2l 的方程为12x y m=-+, 将直线1l 的方程2x my =+代入28y x =，化简整理得28160y my --=， 则128y y m +=，1216y y =-，故()21212484x x m y y m +=++=+,所以212422M x x x m +==+，1242M y y y m +==, 因为点A 到直线l 的距离112d x =+，点B 到直线l 的距离222d x =+， 点M 到直线l 的距离2M M d x =+，又242M x m =+，所以244M d m =+，故A 错误；因为212||||||4882M AB AF BF x x m d =+=++=+=，所以以||AB 为直径的圆的圆心M 到l 的距离为||2AB ， 即以||AB 为直径的圆与l 相切，故B 正确；同理，()3434211484x x y y m m +=-++=+，所以242N x m =+，4N y m=-，3428||||||48ED EF DF x x m =+=++=+， 则228||||81632AB ED m m +=++≥，当且仅当1m =±时等号成立，故C 正确；||MN ==.设221m t m +=，则2212m t m+=≥，42412m tm +=-，||MN =. 当2t =时，即1m =±时，||MN 最小，这时N M x x =，故D 正确, 故选:BCD.6．（2022·广东深圳·一模）（多选）已知定圆A 的半径为1，圆心A 到定直线l 的距离为d ，动圆C 与圆A 和直线l 都相切，圆心C 的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两抛物线的焦点到对应准线的距离分别为1p ，2p ，则（ ）A ．1d >B ．12p p d +=C ．212p p d =D ．12112p p d+> 【答案】ABD【详解】解：动圆C 与圆A 和直线l 都相切，当圆C 与圆A 相外切时，取到A 的距离为d +1，且平行于l 的直线1l ， 则圆心C 到A 的距离等于圆心C 到1l 的距离，由抛物线的定义得：圆心C 的轨迹是以A 为焦点，以1l 为准线的抛物线； 当圆C 与圆A 相内切时，取到A 的距离为d -1，且平行于l 的直线2l ， 则圆心C 到A 的距离等于圆心C 到2l 的距离，由抛物线的定义得：圆心C 的轨迹是以A 为焦点，以2l 为准线的抛物线； 所以121,1p d p d =+=-，当1d <时，抛物线不完整，所以1d >，122p p d +=，211p p d =-，22121111222111d d p p d d d d d+=+=>=+--， 故选：ABD【巩固练习】 一、单选题1．椭圆C：2221(3x y a a +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，经过点1F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2ABF 的周长为16，则椭圆C 的离心率为（ ） ABC ．12D【答案】A【解析】由题可知416a =，即4a =， 所以椭圆C的离心率e ==. 故选：A.2．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别12,F F ，左顶点为A ，上顶点为B ，点P 为椭圆上一点，且212PF F F ⊥，若1//AB PF ，则椭圆的离心率为（ ）AB ．12CD【答案】A【解析】由题知：2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，因为1//AB PF ，所以22b b a c a=，整理得2b c =，所以22224b c a c ==-，得215e =，e =. 故选：A3．已知12,F F 分别为椭圆22142x y+=的左右焦点，点P 为椭圆上一点，以2F 为圆心的圆与直线1PF 恰好相切于点P ，则12PF F ∠是（ ） A ．45︒ B ．30C ．60︒D ．75︒【答案】A【解析】依题意2,a b c === 设2PF t =，由椭圆定义得14PF t =-，由于以2F 为圆心的圆与直线1PF 恰好相切于点P ，所以2221212PF PF F F +=，即222(4)8t t -+==，整理得2440t t -+=，得2t =，得12PF PF =，所以1245PF F ∠=︒． 故选：A4．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）､（2）､（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别1364109457､､，设图（1）､（2）､（3）中椭圆的离心率分别为123e e e ､､，则（ ）A ．132e e e <<B ．231e e e <<C ．321e e e <<D ．213e e e <<【答案】B【解析】因为椭圆的离心率c e a == 所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大.由1310649745>>， 所以132e e e >>. 故选：B.5．设F 为椭圆22:143x y C +=的右焦点，点(2,0)A ，点B 在C 上，若||2||BF AF =，则||AB =（ ）A B ．C D ．【答案】C【解析】由题意得，(1,0)F ，则||1AF =，从而||2BF =．设左焦点为F '， 则42BF BF =-='，所以B 为短轴端点，所以||AB = 故选:C ．6．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>长轴的两个顶点分别为A 、B ，点C 为椭圆上不同于A 、B 的任一点，若将ABC ∆的三个内角记作A 、B 、C ，且满足3tan 3tan tan 0A B C ++=，则椭圆的离心率为（ ）AB ．13CD ．23【答案】A【解析】因为3tan 3tan tan 0A B C ++=可得3sin 3sin sin()cos cos cos()ABA B A B A B ++=+，即3(sin cos sin cos )sin()cos cos cos()A B B A A B A B A B ++=+， 而在三角形中，sin cos cos sin sin()0A B A B A B +=+≠，所以上式可得3cos()cos cos 0A B A B +-= 而cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-，所以可得2cos cos 3sin sin A B A B =，即2tan tan 3A B =， 由题意可得(,0)A a -，(,0)B a ，设0(C x ，0)y ，可得2200221x y a b +=，由椭圆的对称性设C 在第一象限，如图所示：在ACD △中，00tan y A x a =+，在ABD △中，0tan y B a x =-，所以220222000222220000(1)tan tan x b y y y b a A Bx a a x a xa x a-====+---， 所以可得2223b a =，所以离心率c e a ===故选：A ．7．已知直线l 过抛物线C ：22(0)y px p=>的焦点，且与该抛物线交于,M N 两点.若线段MN 的长为16，MN 的中点到y 轴距离为6，则MON △（O 为坐标原点）的面积是（ ） A ．B．C ．D ．6【答案】B【详解】设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，。
高中数学第八章圆锥曲线知识点
高中数学第八章圆锥曲线知识点第八章圆锥曲线是高中数学的一个重要章节，本章内容涵盖了圆锥曲线的基本定义、性质和相关的解题方法。
在本文档中，我们将详细介绍圆锥曲线的相关知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。
一、圆锥曲线的基本定义1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是由一个固定点（焦点）和一个动点（在直线上移动）确定的几何图形。
根据焦点的位置和直线与曲线的交点情况，圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三种情况。
2. 椭圆的定义椭圆是平面上与两个固定点的距离之和等于常数的点（焦点），构成的几何图形。
3. 双曲线的定义双曲线是平面上与两个固定点的距离之差等于常数的点（焦点），构成的几何图形。
4. 抛物线的定义抛物线是平面上与一个固定点的距离等于另一个固定点到直线的距离，构成的几何图形。
二、圆锥曲线的性质1. 椭圆的性质椭圆的离心率小于1，焦点在椭圆的内部。
椭圆有两个主轴，相互垂直，长度分别为2a和2b，其中2a是椭圆的长轴，2b是椭圆的短轴。
椭圆的面积为πab。
2. 双曲线的性质双曲线的离心率大于1，焦点在双曲线的外部。
双曲线有两个虚轴和两条实轴，相互垂直。
双曲线的面积无限大。
3. 抛物线的性质抛物线的离心率等于1，焦点在抛物线的内部。
抛物线有一个对称轴，与焦点和顶点的距离相等。
抛物线的面积为2/3 × a × h，其中a是焦点到顶点的距离，h是对称轴的长度。
三、圆锥曲线的解题方法1. 椭圆的解题方法（1）求解椭圆的标准方程，确定椭圆的中心、长轴和短轴；（2）求解椭圆的焦点和离心率；（3）利用椭圆的性质解题，例如求点到椭圆的距离或求椭圆上一点的坐标。
2. 双曲线的解题方法（1）求解双曲线的标准方程，确定双曲线的中心、虚轴和实轴；（2）求解双曲线的焦点和离心率；（3）利用双曲线的性质解题，例如求点到双曲线的距离或求双曲线上一点的坐标。
3. 抛物线的解题方法（1）求解抛物线的标准方程，确定抛物线的顶点、对称轴和焦点；（2）利用抛物线的性质解题，例如求点到抛物线的距离或求抛物线上一点的坐标。
第16讲 圆锥曲线等角定理(解析几何)(解析版)
第16讲 圆锥曲线等角定理知识与方法圆锥曲线等角定理及其证明1.椭圆的等角定理:长轴上任意一点的一条弦端点与对应点过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)N (t ,0)G(a 2t ,0)的连线所成角被焦点所在直线平分，即.∠OGA =∠OGB 【证明】只需证明,即.k GA =−k GB k GA +k GB =0即证:y Ax A −x G +y Bx B −x G =0,即证y A (x B −x G )+y B (x A −x G )=0,其中x G =a 2t.又因为:x A =my A +t ,x B =my B +t ,故只需证明:my B +t−x Gy B+my A +t−x Gy A=0,①即证:2m +(t−x G )(1y A+1y B)=0联立,得:{x =my +tx 2a2+y 2b2=1(m 2a 2+1b 2)y 2+2mt a 2y +t 2a2−1=0由韦达定理,得:y A +y B =−2mt a2m2a2+1b2,y A y B =t 2a 2−1m2a2+1b 2代入①式:等式左边=2m +(t−a2t)(y A +y B y A y B)=2m +(t−a2t)(−2mt a 2t2a 2−1)=2m +(t−a 2t )(−2mtt 2−a 2)=2m−2m =0故命题得证.2.双曲线的等角定理:实轴上任意一点的一条弦端点与对应点过双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)N (t ,0)G(a 2t ,0)的连线所成角被焦点所在直线平分，即.∠OGA =∠OGB 该定理的证明方式和椭圆的类似,可以参照上面的解法进行证明.3.拋物线的等角定理:过抛物线对称轴上任意一点的一条弦端点与对应点y 2=2px (p >0)N (a ,0)A 、B G(−a 的连线所成角被对称轴平分.,0)【证明】只需证明,即.即证:,k GA =−k GB k GA +k GB =0y Ax A −x G+y BxB −x G=0即证:①y A (x B −x G )+y B (x A −x G )=0其中.x G =−a 设所在直线方程为:,则有:,代入(1)中可得:AB x =my +a x A =my A +a ,x B =my B +a ,化简，得: ②my B +a−x Gy B+my A +a−x Gy A=02m +2a(1y A+1y B)=0联立,得:,即{x =my +ay 2=2px y 2=2p (my +a )y 2−2pmy−2pa =0由韦达定理，得：代入②式,y A +y B =2pm ,y A y B =−2pa .等式左边,=2m +2a (y A +y B y A y B)=2m +2a(2pm −2pa)=0故命题得证.典型例题类型1:椭圆等角定理的应用【例1】设椭圆的右焦点为,过的直线与交两点,点的坐标为C :x 22+y 2=1F F l C A ,B M .(2,0)(1)当与轴垂直时,求直线的方程;l x AM (2)设为坐标原点,证明：.O ∠OMA =∠OMB 【答案】(1)或(2)见解析.y =−22x +2y =22x−2;【解析】（1）由已知得的方程为.F (1,0),l x =1由已知可得,点的坐标为或.A (1,22)(1,−22)所以的方程为或.AM y =−22x +2y =22x−2(2)当与轴重合时,.l x ∠OMA =∠OMB =0∘当与轴垂直时,为的垂直平分线,所以.l x OM AB ∠OMA =∠OMB 当与轴不重合也不垂直时,设的方程为,l x l y =k (x−1)(k ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)则,直线的斜率之和为.x 1<2,x 2<2MA ,MB k MA +k MB =y 1x 1−2+y2x 2−2由,得y 1=kx 1−k ,y 2=kx 2−k k MA +k MB =2kx 1x 2−3k (x 1+x 2)+4k(x 1−2)(x 2−2)将代入得.y =k (x−1)x 22+y 2=1(2k 2+1)x 2−4k 2x +2k 2−2=0所以.x 1+x 2=4k 22k 2+1,x 1x 2=2k 2−22k 2+1则2kx 1x 2−3k (x 1+x 2)+4k =4k 3−4k−12k 3+8k 3+4k2k 2+1=0从而,故的倾斜角互补,所以.k MA +k MB =0MA ,MB ∠OMA =∠OMB 综上,.∠OMA =∠OMB【例2】如图,两条相交线段的四个端点都在椭圆上，其中直线AB 、PQ x 24+y 23=1AB 的方程为,直线的方程为.x =m PQ y =12x +n(1)若,求的值;n =0,∠BAP =∠BAQ m (2)探究：是否存在常数,当变化时,恒有?m n ∠BAP =∠BAQ 【答案】（1）；（2）见解析.m =±1【解析】依题意,当时,由,解得,(1)n =0{x 24+y 23=1y =12xP (−3,−32),Q (3,32)因为,所以,∠BAP =∠BAQ k AP =k AQ 设,则,化简得,A (m ,y )y +32m +3+y−32m−3=02my =3又由,联立方程组,解得或.m 24+y 23=1{2my =3m 24+y 23=1m =±1m =±3因为平分,所以(不合题意）,所以.AB ∠PAQ m =±3m =±1(2)设,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)由,整理得,{x 24+y 23=1y =12x +n4y 2−6ny +3n 2−3=0其中,Δ=12(4−n 2),y 1+y 2=3n2,y 1y 2=3(n 2−1)4若存在常数,当变化时,恒有,m n ∠BAP =∠BAQ 则由（1）可知只可能是,m =±1①当时,取等价于,m =1A (1,32),∠BAP =∠BAQ y +32m +1+y−32m−1=0即,(2y 1−3)(2y 2−2n−1)+(2y 2−3)(2y 1−2n−1)=0即即,此式子恒成立,4y 1y 2+3(2n−1)=2(n +2)(y 1+y 2)3(n 2−1)+3(2n +1)=3n (n +2)所以存在常数,当变化时,恒有;m =1n ∠BAP =∠BAQ ②当时,取,由椭圆的对称性,同理可知结论也成立,m =−1A (−1,−32)综上可得,存在常数,当变化时,恒有.m =±1n ∠BAP =∠BAQ 【例3】已知点,直线过点且与椭圆P (t ,0)(t ≠0)AB E(a 2t ,0)x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)（或双曲线交于不同的两点,求证:直线与x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0))A ,B PA ,PB x 轴所成的较小的角相等.【答案】见解析.【解析】下面仅以椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)为例（如图)来证明,双曲线的情形可仿此证明.【证明】设点和点的坐标分别为和,A B (x 1,y 1)(x 2,y 2)∵直线AB 过点E (a 2t ,0),∴设直线AB 的方程为y =k (x−a 2t ),代入椭圆方程可得:(b 2+a 2k 2)x 2−2a 4k 2t x +a 6k 2t2−a 2b 2=0∴x 1+x 2=2a 4k2tb 2+a 2k 2,x 1x 2=a 6k 2t 2−a 2b 2b 2+a 2k 2∵k PA +k PB =y 1x 1−t +y 2x 2−t =y 1(x 2−t )+y 2(x 1−t )(x 1−t )(x 2−t )=k (x 1−a 2t )(x 2−t )+k (x 2−a 2t )(x 1−t )(x 1−t )(x 2−t )=k [2x 1x 2−(t +a 2t)(x 1+x 2)+2a 2](x 1−t )(x 2−t )=k [2(a 6k 2t 2−a 2b 2)b 2+a 2k 2−(t +a 2t )2a 4k 2t(x 1−t )(x 2−t )=0直线的斜率互为相反数,倾斜角互补,∴PA ,PB 直线与轴所成的较小的角相等.∴PA ,PB x 类型2：拋物线等角定理的应用【例4】已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点,且直线45∘l C :y 2=2px (p >0)F l交拋物线于两点.若点,则C A 、B M (−p2,0)tan ∠AMB =()A. B.2C.D.22226【答案】C【解析】过作轴,准线准线A AH ⊥x AA '⊥L ',BB '⊥L '.设,∠AMF =α,∠BMF =β,∠AFH =θ由于,sin θ=AHAF =AHAA '=tan α所以.tan α=sin θ=sin 45∘=22同理,tan β=sin θ=22从而.tan ∠AMB=tan (α+β)=tan α+tan β1−tan α⋅tan β=22所以.tan ∠AMB=22【例5】已知是拋物线的焦点,其准线与轴交于点,过点的直线F y2=4x x P P l与拋物线交于两点,若线段上有一点,满足,则A,B AB M(x,y)|AM|⋅|PB|=|BM|⋅|PA|M 的轨迹方程是________.【答案】且)x=1(−2<y<2≠0【解析】解法1:设,所以A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)y−y1y2−y1=y1y2⇒(y1+y2)y=2y1y2⋯⋯(1)由直线和拋物线联立,得AB：x=my−1y2=4x或y2−4my+4=0⇒Δ=16m2−16>0⇒m<−1m>1⇒{y1+y2=4my1y2=4⋯(2)由(1)和得(2)4my=8⇒my=2代入直线,得AB:x=my−1x=1,y=2m∈(−2,0)∪(0,2)故点的轨迹方程是且).M x=1(−2<y<2y≠0解法2：延长,与拋物线交于点,设, BF C∠APx=α,∠CPx=β,∠BFx=θ点在轴上的射影为在准线上的射影分别为,B x H ,A ,B A 1,B 1则,tan α=BHHP =BHBB 1=BHBF =sin θ同理,所以于是关于轴对称,tan β=sin θα=β.A ,C x 进而得,故.△AFP≅△∠CFP ∠AFP =∠CFP 由条件得:,|AM |⋅|PB |=|BM |⋅|PA ||AM ||BM |=|PA ||PB |又因为,所以,由角平分线定理得.|PA ||PB |=|AA 1||BB 1|=|AF ||BF ||AM ||BM |=|AF ||BF |∠AFM =∠BFM 因为,所以,∠AFB +∠CFA =180∘2∠AFM +2∠AFP =180∘故,即,即轴,∠AFM +∠AFP =90∘∠MFP =90∘MF ⊥x 于是在直线上（不在轴），且在拋物线开口之内.M x =1x 由,得的轨迹方程为,且.{y 2=4x x =1⇒y =±2M x =1(−2<y <2y ≠0)【例6】已知是拋物线上的两点,是焦点,直线的倾斜角互补,记A ,B y 2=4x F AF ,BF AF ,的斜率分别为,则________.AB k 1,k 21k 22−1k21=【答案】1.【解析】设,由,得A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)k AF +k AF =0y 1x 1−1=y 2x 2−1即,得y 1y214−1=y 2y224−1y 1y 2=4而,直线的方程为,k AB =y 1−y 2x 1−x 2=4y 1+y 2AB y−y 1=4y 1+y 2(x−x 1)即,将代入，得,y =4y 1+y 2x+y 1y 2y1+y 2y 1y 2=4y =4y 1+y 2(x +1)可得直线过定点,即准线与轴的交点.AB K(−1,0)x =−1x 设点在准线上的投影为,在轴上的投影为,A A 1x H记,则∠AKx =α,∠AFx =θtan α=AH KH =AH AA 1=AHAF =sin θ于是.1k 22−1k 21=1tan 2 α−1tan 2 θ=1sin 2 θ−1tan 2 θ=1sin 2 θ−cos 2 θsin 2 θ=sin 2 θsin 2 θ=1【例7】设椭圆的右焦点为,过的直线与交于两点,点的坐标为C :x 22+y 2=1F F l C A ,B M .(2,0)(1)当与轴垂直时,求直线的方程;l x AM (2)设为坐标原点,证明:.O ∠OMA =∠OMB 【答案】(1)或(2)见解析.y =−22x +2y =22x−2;【解析】（1）由已知得的方程为.F (1,0),l x =1由已知可得,点的坐标为或.A (1,22)(1,−22)所以的方程为或.AM y =−22x +2y =22x−2(2)解法1:设直线的方程为:,l my =x−1A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),k AM =y 1−0x 1−2,k BM =y 2−0x 2−2联立方程组得:{my =x−1x 22+y 2=1消元整理得：(1)(m 2+2)y 2+2my−1=0因为点为椭圆的右焦点,所以方程(1)有两个实数根分别为.F y 1,y 2由韦达定理可得:y 1+y 2=−2m2+m 2,y 1y 2=−12+m 2所以.k AM +k BM =y 1−0x 1−2+y 2−0x 2−2=y 1my 1−1+y 2my 2−1=2my 1y 2−(y 1+y 2)(my 1−1)(my 2−1)=−2m 2+m 2+2m 2+m 2(my 1−1)(my 2−1)=0解法2:椭圆第二定义过点分别作椭圆右准线的垂线垂足分别为（如图所示）A ,B A 1,B 1由椭圆的第二定义可得：,e =AF AA 1=BFBB 1所以有：①,又因为轴,AFBF =AA 1BB 1AA 1//x //BB 1所以②AFBF =A 1M B 1M 由①②得,即有且,AA 1BB 1=A 1MB 1M AA 1A 1M =BB 1B 1M ∠AA 1M =∠BB 1M 所以,即可得,△AA 1M≅△BB 1M ∠AMA 1=∠BMB 1故.∠OMA =∠OMB 【例8】在直角坐标系中,曲线与直线交于,两点.xOy C :y =x 24l :y =kx +a (a >0)M N (1)当时，分别求在点和处的切线方程;k =0C M N (2)轴上是否存在点,使得当变动时,总有?说明理由.y P k ∠OPM =∠OPN 【解析】（1）联立,不妨取,{y =ay =x 24M (2a ,a ),N(−2a ,a )由曲线可得:,C :y =x 24y '=x2曲线在点处的切线斜率为,∴C M 2a 2=a 其切线方程为:,即为.y−a =a (x−2a )a x−y−a =0同理可得曲线在点处的切线方程为:.C N a x +y +a =0(2)存在符合条件的点,下面给出证明:(0,−a )设满足,P (0,b )∠OPM =∠OPN 联立,得，{y =kx +a y =x 24x 2−4kx−4a =0设,直线的斜率分别为.则M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)PM ,PN k 1,k 2x 1+x 2=4k ,x 1x 2=−4a所以k 1+k 2=y 1−b x 1+y 2−b x 2=2kx 1x 2+(a−b )(x 1+x 2)x 1x 2=k (a +b )a当时,,直线的倾斜角互补,.b =−a k 1+k 2=0PM ,PN ∴∠OPM =∠OPN 即点符合条件.P(0,−a )强化训练1.设抛物线的焦点为,过的直线与抛物线交于两点,C :y 2=4x F F l A ,B M 为抛物线的准线与轴的交点,若,则________.x tan ∠AMB =22|AB |=【答案】【解析】,sin θ=AH AF =AHMH =tan α同理于是sin θ=tan β，tan α=tan β,∴α=β由tan 2α=22⇒2tan α1−tan 2 α=22⇒tan α=22∴sin θ=22,∴AB =2psin 2 θ=82.已知点,直线过点,且与抛物线交于不同的两点P (t ,0)(t ≠0)AB E(−t ,0)y 2=2px (p >0),求证：直线与轴所成的较小的角相等.A ,B PA ,PB x【答案】见解析.【解析】设点和点的坐标分别为和,直线过点设直线A B (x 1,y 1)(x 2,y 2)∵AB E(−t ,0),∴的方程为AB x =my−t代入抛物线的方程得:y 2−2pmy +2pt =0,∴y 1+y 2=2pm ,y 1y 2=2pt ∵k PA +k PB =y 1x 1−t +y 2x 2−t=y 1(x 2−t )+y 2(x 1−t )(x 1−t )(x 2−t )=y 1(y 222p −t )+y 2(y 212p −t)(x 1−t )(x 2−t )=(y 1+y 2)(y 1y 22p−t)(x 1−t )(x 2−t )=0直线的斜率互为相反数,倾斜角互补,∴PA ,PB 直线与轴所成的较小的角相等.∴PA ,PB x 已知抛物线的交点为,准线与轴相交于点,过的直线与交于3.C :x 2=4y F P F C A 、B两点,若,则|PA |=2|PB ||AB |=A.5B.C. D.925322【答案】B【解析】设,由圆锥曲线中的等角定理可知,轴是的平分线A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)y ∠APB 由角平分线定理可知,即,故|AF ||BF |=2y 1+1y2+1=2y 1=2y 2+1设直线方程为,与抛物线方程联立得,AB x =my +1my 2+(2m−4)y +1=0故,解方程组得y 1+y 2=4−2m m2,y 1y 2=1m2{y 1=2y 2+1y 1+y 2=4−2mm 2y 1y 2=1m2{y 1=2y 2=12m =1故.|AB |=y 1+y 2+2=924.已知抛物线的准线与轴相交于点,过点且斜率为y 2=4x x P P k (k >0)的直线与拋物线交于两点,为拋物线的焦点,若,则的长度为A ,B F |FB |=2|FA |AB ()A.B.2C.D.3217217【答案】C 【解析】由及抛物线定义知,为的中点,设|FB |=2|FA |A PB A(y 24,y ),B (y 22+1,2y)代入抛物线方程,解得4y2=4(y22+1)y=±2不妨设,所以，A(12,2)|AB|=|PA|=(12+1)2+(2−0)2=172故选C.。
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分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中的A、M、C共线，B、D、M共线）。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”（如图中的 ）。
解：如图， ，
∴
∴ （*）
∴点M的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b2=15轨迹方程为
3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：
分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径 或准线作出来考虑问题。
解：（1）4-
设另一焦点为 ，则 (-1,0)连A ,P
当P是 A的延长线与椭圆的交点时, 取得最小值为4- 。
（2）3
作出右准线l，作PH⊥l交于H，因a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e= ，
∴
∴
当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法
因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
（1） 与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有 。
（2） 与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有
（3）y2=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.
【典型例题】
例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4 )与到准线的距离和最小,则点P的坐标为______________
解：sinC-sinB= sinA 2RsinC-2RsinB= ·2RsinA
∴
即 （*）
∴点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）
∵2a=6，2c=10
∴a=3， c=5， b=4
所求轨迹方程为 （x>3）
点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）
例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。
（2）（ ）
过Q作QR⊥l交于R，当B、Q、R三点共线时， 最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x= ，∴Q( )
点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。
例2、F是椭圆 的右焦点，A(1,1)为椭圆一定点，P为椭圆上一动点。
（1） 的最小值为
（2） 的最小值为
点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出 ，再移项，平方，…相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！
例4、△ABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB= sinA,求点A的轨迹方程。
分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系。
(2)抛物线C:y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为。
分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则 ，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。
（2）B在抛物线，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。
解：（1）（2， ）
连PF，当A、P、F三点共线时， 最小，此时AF的方程为 即 y=2 (x-1),代入y2=4x得P(2,2 )，（注：另一交点为( )，它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去）
则
由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9
即[(x1+x2)2-4x1x2]·[1+(x1+x2)2]=9 ④
由②、③得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0
代入④得 [(2x0)2-(8x02-4y0)]·[1+(2x0)2]=9
∴ ，
≥
当4x02+1=3 即 时， 此时
法二：如图，
解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结
解圆锥曲线问题常用以下方法：
1、定义法
（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1r2=ed2。
（2）双曲线有两种定义。第一定义中， ，当r1>r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
例6、已知椭圆 过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、B、C、D、设f(m)= ,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。
分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统”，A在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x轴上，立即可得防
∴ ， 即 ，
∴ ， 当AB经过焦点F时取得最小值。
∴M到x轴的最短距离为
点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于x0的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。
分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x1,x12)，B(x2，X22)，又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。
（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。
解法一：设A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中点M(x0，y0)