高中数学圆锥曲线的知识点总结

高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C (看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程(,)0f x y =的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.点与曲线的关系：若曲线C 的方程是(,)0f x y =，则点000(,)P x y 在曲线C 上⇔00(,)0f x y =；点000(,)P x y 不在曲线C 上⇔00(,)0f x y ≠.两条曲线的交点：若曲线1C ，2C 的方程分别为1(,)0f x y =，2(,)0f x y =，则点000(,)P x y 是1C ，2C 的交点⇔{),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点. 二、圆：1、定义：点集{|}M OM r =，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在(,)C a b ，半径为r 的圆方程是222()()x a y b r -+-= 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是222x y r +=(2)一般方程：①当2240D E F +->时，一元二次方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(E D --半径是2. 配方，将方程220x y Dx Ey F ++++=化为22224()()224D E D E Fx y +-+++=②当2240D E F +-=时，方程表示一个点)2,2(ED --③当2240D E F +-<时，方程不表示任何图形.（3）点与圆的位置关系 已知圆心(,)C a b ，半径为r ，点M 的坐标为00(,)x y ，则||MC r < ⇔点M 在圆C 内，||MC r =⇔点M 在圆C 上，||MC r >⇔点M 在圆C外，其中||MC = （4）直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交⇔有两个公共点；直线与圆相切⇔有一个公共点；直线与圆相离⇔没有公共点.②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心(,)C a b 到直线0Ax By C ++=的距离22BA C Bb Aa d +++=与半径r 的大小关系来判定.三、圆锥曲线的统一定义：平面内的动点(,)P x y 到一个定点(,0)F c 的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之比是一个常数(0)e e >，则动点的轨迹叫做圆锥曲线. 其中定点(,0)F c 称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率. 当01e <<时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线.四、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线定义1．到两定点1F ，2F 的距离之和为定值122(2||)a a F F >的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹. (01)e <<1．到两定点1F ，2F 的距离之差的绝对值为定值122(02||)a a F F <<的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹. (1)e >与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集：1212{|||||2,||2}M MF MF a F F a +=<点集：1212{|||||2,||2}M MF MF a F F a -=±>点集：{|||}M MF M l =点到直线的距离图形xy Mx=a 2cx=-a 2cca bF 2F 1B 2B 1A 2A 1方程标准方程12222=+b y a x (b a >>0) 12222=-by a x (0,0)a b >> px y 22=【备注1】双曲线：（1）等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e . （2）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-2222b y a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222=-by a x . （3）共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x ；如果双曲线的渐近线为0=±bya x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby ax .【备注2】抛物线：（1）抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标是(2p ，0)，准线方程2p x =- ，开口向右；抛物线22(0)y px p =<的焦点坐标是(2p ，0)，准线方程2p x =-，开口向左；抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标是(0，2p )，准线方程2p y =-，开口向上；抛物线22(0)x py p =<的焦点坐标是(0，2p )，准线方程2p y =-，开口向下.（2）抛物线22(0)y px p =>上的点00(,)M x y 与焦点M 的距离20px MF +=； （3）设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2p ，顶点到准线的距离2p ，焦点到准线的距离为p . 五、坐标的变换：（1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换. 实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.（2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴.（3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M ，它在原坐标系xOy 中的坐标是(,)x y ，在新坐标系'''x O y 中的坐标是),(''y x . 设新坐标系的原点'O 在原坐标系xOy 中的坐标是(,)h k ，则 ''x x hy y k=+⎧⎨=+⎩叫做平移(或移轴)公式. 六、椭圆的常用结论：1. 点P 处的切线PT 平分12PF F ∆在点P 处的外角.证明：如图，设1(,0)F c -，2(,0)F c ，00(,)P x y .对椭圆方程22221x y a b +=两边求导得，'22220x yy a b +=2'2b x y a y ∴=-，002'0(,)20PT x y b x k k y a y ===-又12001200,PF PF y yk k k k x c x c====+- 2221220()tan 2tan()1k k b PF F PTF kk cy ---∴∠=∠-∠==+ 同理2tan 4b cy ∴∠=故24∠=∠总结：角相等利用和差角的正切值转换成直线斜率，多利用几何方法 补充角平分线定理2. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=. （和圆上点的切线做比较）解析：对椭圆方程22221x y a b +=两边求导得，'22220x yy a b +=2'2b x y a y ∴=-，002'0(,)20PT x y b x k k y a y ===-故直线方程为00221x x y ya b+= 总结：常见的求切线的方法3. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为12P P 、，则切点弦12PP 的直线方程是00221x x y ya b+=. 补充圆的切线公式：200()()()()x a x a y b y b r --+--= 圆的切点弦公式：200()()()()x a x a y b y b r --+--=总结：知识点的对比性记忆4. 椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为12F F 、，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.证明：设12,PF m PF n ==，则由余弦定理可得22242cos c m n mn θ=+- 224()2(cos 1)c m n mn θ=+-+221cos b mn θ=+12221sin sin tan 21cos 2PF F S mn b b θθθθ∆==⋅=+5. 椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的焦半径公式10||MF a ex =+，，其中(1(,0)F c - ，2(,0)F c ，00(,)M x y ).解析：22222222220010000022()||()2b x cx a MF c x y x cx x b a a+=++=+++-= 10||MF a ex ∴=+同理10||MF a ex =+6. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，00(,)M x y 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，即202y a x b K AB-=.解析：设直线方程为00()y k x x y =-+，联立可得22200120222222a k x ka y x x x b a k -+==+，2020b x k a y =- 7. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被0P 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+；8、已知椭圆22221x y a b +=(0)a b >>，O 为坐标原点，P Q 、为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥. （1）22221111||||OP OQ a b+=+;（2）22||||OP OQ +的最小值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +. 解析: 设直线方程为y kx m =+，联立可得222222222()20a k b x kma x a m a b +++-=可得22222212121212222,()a m a b x x y y k x x km x x m a k b-==++++由222121222201m a b x x y y k a b+=⇒=++22222222222222211||||||11||||||||||OP OQ PQ a b OP OQ OP OQ PQ d a b a b+++====+ （2）222222222221111||||||||()(||||)()()2OP OQ OP OQ OP OQ a b a b ++=+≤+ 2222224||||a b OP OQ a b +≥+（3）同理可求2222OPQ a b S a b∆≥+ 七、双曲线的常用结论：1、点P 处的切线PT 平分12PF F ∆在点P 处的内角.2、若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b -=.3、若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>外 ，则过0P 作双曲线的两条切线切点为12P P 、，则切点弦12P P 的直线方程是00221x x y ya b-=. 4、双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左右焦点分别为12F F 、，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.5、双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的焦半径公式：(1(,0)F c -，2(,0)F c ）当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+，20||MF ex a =-；当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+，20||MF ex a =--.6、AB 是双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的不平行于对称轴的弦，00(,)M x y 为AB 的中点，则0202y a x b K AB =.7、若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>内，则被0P 所平分的中点弦的方程2200002222x x y y x y a b a b -=-.8、已知双曲线22221x y a b-=(0)b a >>，O 为坐标原点，P Q 、为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b+=-;（2）22||||OP OQ +的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a -. 八、抛物线的常用结论：1、x c by ay =++2顶点)244(2aba b ac --.2、设AB 是过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，则（1）221212,4p x x y y p ==- （2）弦长1222||()sin pAB x x p AB αα=++=为弦的倾斜角 解析：（一）设直线为()2py k x =-，代入抛物线方程可得： 222224(48)0k x pk p x p k -++=则1212...,...x x x x +==222(1)||p k AB k+== （二）利用定义12||()()22p p AB x x =--+-- （3）112||||FA FB p+= 解析：12212121211112||||()2224x x p p pp p FA FB p x x x x x x +++=+==+++++（4）以弦AB 为直径的圆与准线相切（5）A O 、与B 在准线上的射影'B 三点共线，,B O 与A 点在准线上的射影'A 三点共线 （6）通径长度为2p3、)0(22≠=p px y 则焦点半径2P x PF +=;)0(22≠=p py x 则焦点半径为2P y PF +=.。