高中数学：圆锥曲线的综合问题练习
圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案
1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB的交点为Q 。
（1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋； （2）求证：112||||PC PD PQ +=.2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==⋅ （1）动点N 的轨迹方程；（2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=⋅AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围.3. 如图，椭圆134:221=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角.4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||22PM PN -=.记动点P 的轨迹为W .（Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围；（Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程； （Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。
6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN +=(1)求点P 的轨迹方程； (2)若2·1cos PM PN MPN-∠＝,求点P 的坐标.7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线1222=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3MON π∠=，双曲线的焦距为4。
圆锥曲线综合大题练 分类题组-2023届高三数学一轮复习
题组：圆锥曲线综合大题练题型1：定点问题1.椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，其左焦点到点P(2,1)的距离为√10．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点（A,B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．2.已知抛物线C：y2=2px经过点M（2，2），C在点M处的切线交x轴于点N，直线l1经过点N且垂直于x轴．（Ⅰ）求线段ON的长；（Ⅱ）设不经过点M和N的动直线l2：x=my+b交C于点A和B，交l1于点E，若直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由．3.已知椭圆C：2222=1x ya b（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.4.如图，椭圆E：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=12．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且∆ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．5.如图，已知椭圆Γ：x 2b2+y2a2=1(a>b>0)的离心率e=√22，短轴右端点为A,M(1.0)为线段OA的中点．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆Γ相交于P,Q两点，试问在x轴上是否存在定点N，使得∠PNM=∠QNM，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．题型2：定值问题1.已知椭圆C ：22221+=x y a b （0a b >>）的离心率为 32 ，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N.求证：BM AN ⋅为定值.2.如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线的准线与轴交于点,过点的直线与抛物线交于两点, 设到准线的距离. （1）若,求抛物线的标准方程；（2）若,求证：直线的斜率的平方为定值.xOy ()220y px p =>l x M M ,A B ()11,A x y l ()20d p λλ=>13y d ==0AM AB λ+=AB3.椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率√22，点（2，√2）在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．4.已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率√22，的离心率为，点A(1,√32)在椭圆C上，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，且l与圆x2+y2=5的相交于不在坐标轴上的两点P1,P2，记直线OP1,OP2的斜率分别为k1,k2，求证：k1∙k2为定值．5.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率√22，若圆x 2+y 2=a 2被直线x − y −√2=0截得的弦长为2。
高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析
高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.已知圆经过椭圆的右焦点和上顶点．（1）求椭圆的方程；（2）过原点的射线与椭圆在第一象限的交点为，与圆的交点为，为的中点，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】本题考查直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合、化归与转化及函数与方程等数学思想．第一问，数形结合，令y=0，x=0即可分别求出c和b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，设出直线方程和P、Q点坐标，令直线与椭圆联立得到Q点横坐标，利用向量的数量积，将P、Q点坐标代入，得到关于k的表达式，利用导数求函数的最值；法二，将进行转化，变成，再利用配方法求最值.试题解析：（1）在中，令得，即，令，得，即， 2分由，∴椭圆：. 4分（2）法一：依题意射线的斜率存在，设，设 -5分得：，∴. 6分得：，∴， 7分∴. 9分．设，，令，得．又，∴在单调递增，在单调递减. 11分∴当时，，即的最大值为. 13分法二：依题意射线的斜率存在，设，设 5分得：，∴. 6分= 9分.设，则.当且仅当即.法三：设点，，6分= . 7分又，设与联立得： . 9分令. 11分又点在第一象限，∴当时，取最大值. 13分【考点】直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数.2.（本小题满分12分）已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.（1）求曲线的方程；（2）曲线在点处的切线与轴交于点.直线分别与直线及轴交于点，以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点在曲线上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？证明你的结论.【答案】（1）.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明见解析.【解析】（1）思路一：设为曲线上任意一点，依题意可知曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，得到曲线的方程为.思路二：设为曲线上任意一点，由，化简即得.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为，设，得，应用导数的几何意义，确定切线的斜率，进一步得切线的方程为.由，得.由，得.根据，得圆心，半径，由弦长，半径及圆心到直线的距离之关系，确定.试题解析：解法一：（1）设为曲线上任意一点，依题意，点S到的距离与它到直线的距离相等，所以曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为，设，则，由，得切线的斜率，所以切线的方程为，即.由，得.由，得.又，所以圆心，半径，.所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变.解法二：（1）设为曲线上任意一点，则，依题意，点只能在直线的上方，所以，所以，化简得，曲线的方程为.（2）同解法一.【考点】抛物线的定义，导数的几何意义，直线方程，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系.3.已知抛物线C:的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.(1)求抛物线C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A,B两点，若AB的垂直平分线与C相交于M,N两点，且A,M,B,N四点在同一个圆上，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）x-y-1=0或x+y-1=0.【解析】（1）设Q（x0，4），代入由中得x=，在根据抛物线的性质可得，解出p即可（2）设直线l的方程为，（m≠0）代入中得，直线的方程为，将上式代入中，并整理得.A（x1,y1）,B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),根据二次函数根与系数的关系可得y1+y2=4m，y1y2=－4，.然后求出MN的中点为E和AB的中点为D坐标的表达式，计算的表达式,根据求出m即可.试题解析：（1）设Q（x0，4），代入由中得x=，所以，由题设得，解得p=－2（舍去）或p=2.所以C的方程为.（2）依题意知直线l与坐标轴不垂直，故可设直线l的方程为，（m≠0）代入中得，设A（x1,y1）,B(x2,y2),则y1+y2=4m，y1y2=－4，故AB的中点为D（2m2+1,2m），，有直线的斜率为－m，所以直线的方程为，将上式代入中，并整理得.设M(x3,y3),N(x4,y4),则.故MN的中点为E（）.由于MN垂直平分AB，故A,M,B,N四点在同一个圆上等价于,从而,即，化简得m2-1=0，解得m=1或m=－1，所以所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.【考点】1.抛物线的性质和方程；2.直线方程以及直线与曲线的位置关系.4.如图，已知椭圆的右焦点为，点是椭圆上任意一点，圆是以为直径的圆．（1）若圆过原点，求圆的方程；（2）写出一个定圆的方程，使得无论点在椭圆的什么位置，该定圆总与圆相切,请写出你的探究过程．【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）因为是圆的直径，所以当圆过原点时，一定有，由此可确定点的位置并进一步求出圆的标准方程；（2）设圆M的半径为,连结，显然有根据椭圆的标准方程知,所以，从而找到符合条件的定圆.解：（1）解法一：因为圆过原点，所以，所以是椭圆的短轴顶点，的坐标是或，于是点的坐标为或，易求圆的半径为所以圆的方程为或 6分解法二：设，因为圆过原点，所以所以，所以，所以点于是点的坐标为或，易求圆的半径所以圆的方程为或 6分（2）以原点为圆心，5为半径的定圆始终与圆相内切，定圆的方程为 8分探究过程为：设圆的半径为，定圆的半径为，因为，所以当原点为定圆圆心，半径时，定圆始终与圆相内切．（13分）【考点】1、椭圆的定义与标准方程；2、圆的定义与标准方程.5.已知，是双曲线的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点与点关于直线对称，则该双曲线的离心率为A．B．C．D．【答案】【解析】即双曲线的一条渐近线方程.过焦点且垂直渐近线的直线方程为：，与联立，解之可得故对称中心的点坐标为（）；由中点坐标公式可得对称点的坐标为，将其代入双曲线的方程可得结合化简可得，故．故选.【考点】双曲线的几何性质，直线方程，两直线的位置关系.6.已知F1、F2为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足||＝3||，则此双曲线的渐近线方程为________．【答案】y＝±x【解析】由双曲线的性质可推得||＝b，则||＝3b，在△MF1O中，||＝a，||＝c，cos∠F1OM＝－，由余弦定理可知＝－，又c2＝a2＋b2，可得a2＝2b2，即＝，因此渐近线方程为y＝±x．7.抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．3【答案】B【解析】设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，分析可得，当m=时，取得最小值为，故选B．8.已知椭圆和椭圆的离心率相同，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一点，过点作直线交椭圆于、两点，且恰为弦的中点。
圆锥曲线综合训练题(分专题,含答案)
圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程． （2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程． （1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系． 解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程. 解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-ky k x . 由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③ 由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．∴所求椭圆方程为1315422=+y x 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即)32,325(P ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,13412252222b a ba 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a （1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程．解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1.（2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ， 即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=uu u v uuu v若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =， 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠， 由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即 ()11,OP x y =u u u r ，()22,OQ x y =u u u r，于是12120x x y y +=，即()()21212110ky y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，2224(1)40k k k k k +-+=g ，解得4k =-或0k =（舍去），又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ）Θe c a =∴=2422， Θc a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±334分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分） （III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN⊥MQ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩L L L L L L L L ………3分 由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN⊥MQ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。
2024年新高考版数学专题1_9.5 圆锥曲线的综合问题(分层集训)
解析 (1)设动点P的坐标为(x,y),因为| PF | = 5 ,
d5
所以
(x 1)2 y2
=
5 ,即5[(x+1)2+y2]=|x+5|2,整理得 x2 + y2 =1.所以动点P的
| x5|
5
54
轨迹方程为 x2 + y2 =1.
54
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),由(1)可得点A的坐标为(0,-2),故直线AM:y=
AC
·BC
=1,
则点C的轨迹为 ( )
A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线
答案 A
3.(2023届贵州遵义新高考协作体入学质量监测,8)已知圆C的方程为(x-1)2
+y2=16,B(-1,0),A为圆C上任意一点,若点P为线段AB的垂直平分线与直线
AC的交点,则点P的轨迹方程为 ( )
A. x2 + y2 =1
2 2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的离心率e=
2 ,四
2
个顶点组成的菱形的面积为8 2 ,O为坐标原点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过☉O:x2+y2= 8
上任意点P作☉O的切线l与椭圆E交于点M,N,求证:
PM
·
3
PN
为定值.
解析 (1)由题意得2ab=8 2 ,e= c = 2 ,a2=b2+c2,
2
3
6
,
0
,∴
PM
=
0,
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∴
圆锥曲线综合练习及答案
圆锥曲线综合练习及答案 Last updated on the afternoon of January 3, 2021圆锥曲线综合练习例1、椭圆12322=+y x 内有一点P （1，1），一直线过点P 与椭圆相交于P 1、P 2两点，弦P 1P 2被点P 平分，求直线P 1P 2的方程。
（2x+3y-5=0）备份：1.过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被M 平分，求此弦所在直线方程。
2.椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，求这弦所在直线的方程.变式1、若椭圆122=+by ax 与直线1=+y x 交于A 、B 两点，且22||=AB ，又M 为AB 的中点，若O 为坐标原点，直线OM 的斜率为22，求该椭圆的方程。
（132322=+y x ） 变式2、斜率为1的直线与双曲线1222=-y x 相交于A 、B 两点，又AB 中点的横坐标为1。
（1）求直线的方程 （2）求线段AB 的长（1）y=x+1(2)AB=62变式3、已知抛物线x y C 42=：的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点。
（1）若的方程；求直线l ,316|AB |=（2）求|AB|的最小值 变式4、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为23，且经过点()4,1M ，直线m x y l +=:交椭圆于不同的两点A ，B.（1）求椭圆的方程；（2）求m 的取值范围。
例2、已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A ,离心率为2.直线(1y k x =-）与椭圆C 交于不同的两点M,N.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)当△AMN 得面积为103时,求k 的值.解:(1)由题意得222222a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2b =.所以椭圆C 的方程为22142x y +=. (2)由22(1)142y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)4240k x k x k +-+-=.设点M,N 的坐标分别为11(,)x y ,22(,)x y ,则11(1)y k x =-,22(1)y k x =-,2122412k x x k +=+,21222412k x x k -=+.所以|MN|=222121()()x x y y -+-=221212(1)[()4]k x x x x ++-=2222(1)(46)12k k k +++.由因为点A(2,0)到直线(1y k x =-）的距离212d k=+,所以△AMN 的面积为21||46||2k k S MN d +=⋅=.由22||4610123k k k +=+,解得1k =±. 变式1、已知21F F 分别是椭圆C :22a x +22by =1(0>>b a )的左、右焦点,A 是椭圆C 的上顶点,B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点,1260F AF ο∠=.(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)已知1AF B ∆面积为403,求,a b 的值 【解析】(I)1216022c F AF a c e a ο∠=⇔=⇔== (Ⅱ)设2BF m =;则12BF a m =-在12BF F ∆中,22212122122cos120BF BF F F BF F F ο=+-⨯⨯2223(2)5a m m a am m a ⇔-=++⇔=[来源:学|科|网Z|X|X|K]1AF B ∆面积211133sin 60()40310,5,53225S F F AB a a a a c b ο=⨯⨯⨯⇔⨯⨯+=⇔===变式2、已知抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M作x 轴的垂线交C 于点N ．（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．解、（Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，，222(2)B x x ，，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=， 由韦达定理得122kx x +=，121x x =-， ∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，将22y x =代入上式得222048mk k x mx -+-=， 直线l 与抛物线C 相切，2222282()048mk k m m mk k m k ⎛⎫∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭，m k ∴=．即l AB ∥．（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =，则NA NB ⊥，又M 是AB 的中点，1||||2MN AB ∴=． 由（Ⅰ）知121212111()(22)[()4]222M y y y kx kx k x x =+=+++=++22142224k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． MN ⊥x 轴，22216||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-=．又2212121||||1()4AB x x k x x x x =-=++-222214(1)11622k k k ⎛⎫=-⨯-=++ ⎪⎝⎭．22161168k k +∴=+，解得2k =±．即存在2k =±，使0NA NB =．例3、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(。
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9圆锥曲线综合练习C . 2D . 2728 D. 1610 .在正△ ABC 中，D<^AB , E<^AC ，向量=1BC ，则以B ,C 为焦点，且过D , E 的双曲线离心率为212 .已知A 1, A 分别为椭圆C:xy +每=1（aAbA0）的左右顶点，椭圆 C 上异于A , A 2的点Pa b 441. 一、选择题：2 2已知椭圆―一 +-^—10 -m m -2A . 4B . 5=1的长轴在 y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ 2. 直线x-2y +2 =0经过椭圆C . 7 2 2x昇 孑b 2C.虽 5D. 8 =1（a Ab ：>0）的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ 3. 设双曲线B .-22 2冷=1 (a >0)的渐近线方程为 a 9 B . 33x±2y =0，贝U a 的值为（4. 2若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线X 2+— =1的离心率是（mC.逅或逅2 2B. 752 2 冷—打=1（^0 , b>0），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 a b点.若OM 丄ON ，则双曲线的离心率为（ ） A.心 B .竺 C . 土逅2 2已知双曲线 M , N 两点，O 为坐标原6. 已知点 F i , F 2是椭圆 22rrx +2y =2的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1 + PF 2 |的最小值是7. 2 2—=1上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为（25 9A . 22 或 2B . 7C . 222 2P 为双曲线 一-Z=1的右支上一点，9 16 的最大值为（）A . 6 双曲线 D. 2M , N 分别是圆(x + 5)2 +y 2 =4 和(x-5)2 +y 2=1上的点，则|PM l —IPNI9. 已知点 2P （8, a ）在抛物线y=4px 上，且P 到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离为（ 11.两个正数a , b 的等差中项是-，一个等比中项是 2品，且a Ab ，则抛物线y 2=-的焦点坐标是（2 aB . （— , 0） 5 A.(诗，0)1 C . (一 , 0)5D . (― ， 0)C . 5922F 2分别是椭圆 笃+占=1(a >b 乂)的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点， 点B 也在椭圆 上,a b16•若P(a, b)是双曲线4X 2—16y 2=m(m H0)上一点，且满足a-2b 》0 , a+2b >0，则该点P 一定位于双曲线(2=1，过P(2 , -1)的直线L 与双曲线只有一个公共点，则直线 I 的条数共有(B . 3条21.已知以F 1(-2 , 0) , F 2(2 , 0)为焦点的椭圆与直线 x + 73y +4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为(C. 2^72 2 2 222 .双曲线 令-占=1与椭圆Z2+^=1(a>0, m>b>0)的离心率互为倒数，那么以 a , b, m 为边长的三角形是 a b m b恒满足k pA k pq =—，则椭圆C 的离心率为（A. 913.已知R 、且满足O3 +OB =0(O 为坐标原点)，鴉"FW —0 ，若椭圆的离心率等于 当，则直线AB 的方程是(D . y =——X2C ，迟 214.已知点 P 是抛物线 y 2=2x 上的一个动点, 则点 P 到点M (0 , 2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为C. 75215 .若椭圆— =1与双曲线m n 2 2X y “ —=1(m ,n ,p qP , q 均为正数)有共同的焦点F i , F 2, P 是两曲线的一个公共点, 则|PF i |厅F 2I 等于C . m -pD .m 2 - p 2A .右支上B .上支上 C.右支上或上支上 D.不能确定17.如图，在^ABC 中，N CAB =N CBA =30：' , AC , BC 边上的高分别为 BD , AE ，则以A, B 为焦点，且过D ,的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为( A. 43B . 1C . 2/3218 .方程 一P —— +—丄——尸 sin V 2 -sin “3 cos "2 —cosA .焦点在X 轴上的椭圆B .焦点在X 轴上的双曲线 C.焦点在y 轴上的椭圆D.焦点在y 轴上的双曲线2 2X y 3!19 .已知F 1, F 2是椭圆 尹+詁=1(a 》b 〉0)的左、右焦点，点 P 在椭圆上，且 NR P F 2 =-记线段PR 与y 轴的交点=1表示的曲线是(为Q , O 为坐标原点，若 △ FOQ 与四边形OF 2PQ 的面积之比为1:2，则该椭圆的离心率等于B . ^/^-3C . 4-273D . 43-120.已知双曲线方程为 C. 2条( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等边三角形23.已知点 A(—1 , 0), B(1, 0)及抛物线y 2=2x ，若抛物线上点 P 满足I PA = m | PB ，则m 的最大值为(D .返 24 .设 F i , 三角形, 1 A .- 2 F 2是椭圆E a E 的离心率为(B . ? 3 25.等轴双曲线 实轴长为( A .迈 2=1(^ >0)的左、右焦点， 3 C.- 4C 的中心在原点，焦点在 3P 为直线上一点，△ F 2PF 1是底角为30的等腰2x 轴上，C 与抛物线y =16x 的准线交于A , B 两点,|AB|=4j3 ,则 C 的C. 4 C 的对称轴垂直， 26 .已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与 则^ ABP 的面积为( ) A . 18 B . 2427 .中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点 C .逅2B .丽 C. 36 28 .椭圆ax +by 2=1与直线 y =1 _x 交于 A , B 两点 I 与C 交于A, B 两点，I AB|=12 , D . 48 (4 , - 2)，则它的离心率为( D .並 2 过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 P 为C 准线上一点,D.巫 27 29.若椭圆 2—十工=1(m >0, m n n >0)与曲线x 2+y 2=|m — n|无焦点，则椭圆的离心率e 的取值范围是( A.(Y ，1) B. (0, C .(¥ ,1)D . (0，Y) 2 2 30 .已知F 1,F 2分别是椭圆亍匕二1的左、右焦点， A 是椭圆上一动点，圆 C 与F 1A 的延长线、F 1F 2的延长线以 及线段AF 2相切，若M (t , 0)为一个切点，则( A . t =2 B . t 》2 C . tc2 D . t 与2的大小关系不确定 31.如图，过抛物线 y 2=2 px( p>0)的焦点 F 的直线l 交抛物线于点 A, B ，交其准线于点 C ，若|BC |=2| BF |，且 | AF |=3，则此抛物线方程为( =9x =6x =3x =73x2x 2 32 .已知椭圆 一+y =1的焦点为F 1、4F 2 , 在长轴 A I A 2上任取一点 M,过M 作垂直于AA 2的直线交椭圆于 P,使得PF 1 PF 2 c O 的M 点的概率为246 C. D. 33 .以 O 为中心, F i ,F 2为两个焦点的椭圆上存在一点 M ，满足IMF 1 |=2|MO |=2|MF 2|，则该椭圆的离心率为 34.已知点F i , F 2是椭圆 +2 y 2 =2的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点， 那么I PF 1 + PF 2I 的最小值是（ 35•在抛物线 2y =x + ax —5（a H0）上取横坐标为x^ , x^2的两点，过这两点引一条割线, 有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x 2+5y 2=36相切，则抛物线的顶点坐标为（ A . (-2 , -9)36 .若点O 和点F 分别为椭圆 4 B . 3 C . 6 B . (0, -5) 2 2 —+=1的中心和左焦点, 3 D . 8 C. (2 , -9) D. (1,-6) 点P 为椭圆上的任意一点, 则0P FP 的最大值为（37 .直线3x -4y +4 =0与抛物线 =4y 禾廿圆 2 2x + (y —1) =1从左到右的交点依次为 C，D，则器的值为B .丄 16 38 .如图，双曲线的中心在坐标原点 线的左焦点， 7 577 777 145方 14A. 1639 .设双曲线 直线 AB 与FC 相交于点 1 4 C 分别是双曲线虚轴的上、下端点,2 2 C :笃一占=1（a A0, b >0）的左、右焦点分别为a b F i , B 是双曲线的左顶点, ） F 是双曲F 2，若在双曲线的右支上存在一点 P ，使得| PF i |=3| PF 2 |，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为（ A. (1, 2] B .(血,2] C .(近,2) (1, 2) 40 .已知A （x 1 , yj 是抛物线y 2=4x 上的一个动点, 2 2B （x 2，y 2）是椭圆Vt^1上的一个动点，呵0）是一个定点，若AB // x 轴，且X 1 <X 2，则△NAB 的周长l 的取值范围为2C. 22 244 .已知以椭圆 务+ ■y〒=1（a>b>0）的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该 a b 椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. （0，曽 B .（呼,1）P,则|PF 2|的值等于（ B . 83的中点在双曲线上, 则双曲线的离心率是D .应2 248 .直线I 是双曲线 务—£ =1（a >0,b >0）的右准线，以原点a b10 A. (-3- '5)2 x41.设双曲线-2 a C. (10 V11 D. q '5)—占=1（a 沁，b >0）的离心率e = 2 ,右焦点F （c ,0），方程ax 2+bx-c = 0的两个根分别为 为，x ?,则点P （x 1 , x 2）在（ 「 2 A .圆x=10内 2 2 B .圆 x +y =10 上 + y 2 =10外 D .以上三种情况都有可能2y 、 —孑=1（a ;>0, b >0）的右焦点 线段FP 的中点，则双曲线的离心率是（ 42.过双曲线 2 x—2 a2 2 F 作圆X + y =a 的切线FM （切点为M ），交y 轴于点P,若M 为x243 .若双曲线 -7 -子y 轴上,则该双曲线离心率的取值范围为（y=1 （a ：>0,b>0）上不存在点P 使得右焦点 F 关于直线 OP （0为双曲线的中心）的对称点在B. [72,均C. (1J 5] (1,问X 246 .已知F 1、F 2是双曲线 一2 a=1 (a> 0, b> 0) 的两焦点，以线段 F 1F 2为边作正三角形 MF 1F 2，若边 MF 1A . 4+2V3B. V 3+1D.247 .已知双曲线务. a则该双曲线离心率2=1（a >0, b :>0）的左顶点、右焦点分别为 b 2' e 的值为（A 、F,点 B(0, b)，若 BA+ BF = BA-BF ,B • ^/3C .(牛1,1)D .(0,仔)2 245 .椭圆G : — +— =1的左准线43I ，左.右焦点分别为F i . F 2,抛物线C 2的准线为I ，焦点是F 2, C i 与C 2的一个交点为 A .430为圆心且过双曲线焦点的圆被直线I 分成弧长为2:1的两段，则双曲线的离心率为 ()42MO|-|M T 卜 b-aMO|-|MT | = b-a2Z P F 1F 2PF 2F 1，其中F I ,F 2为双曲线C i 的两个焦点，则双曲线51 .设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F i , F 2 , 若曲线r 上存在点P 满足PF j : F 1F 2I J PF 2I =4:3:2心，右 Sx IPF 1 =$△ IPF 2 足 IF 1F 2 成立,二、填空题:|AB |=1x 轴上，且长轴长为 4,离心率为丄的椭圆的方程为2255. 9.已知双曲线X 2—(=1的一条渐近线与直线 X —2y+3=0垂直，则aa2256 .已知P 为椭圆一+仏=1上的点，F 1 , F 2是椭圆的两个焦点，9 42 22257.已知双曲线 笃-与=(a >0, b A0)和椭圆一+—=1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,a b 16 9则双曲线的方程为 ___________________ .2 249.从双曲线=1@ A0,b 》0)的左焦点a 2b 2F 引圆 xF 2=a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO | —|MT |与b - a 的大小关系为C.MO |-|MT |c b -aD .不确定.50 .点P 为双曲线C i :22—2—= [(a ;>0,b>0)和 圆 C?: a b2 丄 22. .2”x+y=a+b 的个交点，且A .巧B .1+72C.率等于1十3 A .-或-2 252 •已知点P 为双曲线 2 B . 2或 232 2笃=1(a >0, b >0)右支上一点，F 1 , F 2分别为双曲线的左、右交点, a bC.丄或22I 为△PF 2F 2的内2a B.a J a 2m 2C.C i 的离心率为(，则曲线r 的离心则A 的值为53 .已知F i , F 2为椭圆2 2釘計1的两个焦点,过F i 的直线交椭圆于A, B 两点.若|F 2A| + |F 2B|=12 ,则54.中心在原点，焦点在 且 N F1P F 2 =6O ",贝u △ F 1PF 2 的面积2 2 2 258 .若双曲线 冷—占=1(^0 , b>0)的一条渐近线与椭圆 —+乞=1的焦点在x 轴上的射影恰为该椭圆的焦点，则 a b 4 3双曲线的离心率为 ________________ . 2 259.已知双曲线Zr=1(a ；>0, b>0)的左、右焦点分别为F 1 , F 2 ,过点F ?做与x 轴垂直的直线与双曲线一个焦点a bP ，且N PF 1F 2 =30，则双曲线的渐近线方程为60•已知F 1、F 2分别为椭圆 一+L=1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，Q 是y 轴上的一个动点，若|函|-|左25 9贝y PQ (PR -PF2)=. 61 •已知圆C : X2 3 4 5+y 2+6X +8y +21 =0，抛物线y 2=8x 的准线为I ，设抛物线上任意一点 P 到直线I 的距离为则m 十| PC |的最小值为 ______________ .2 262.设双曲线=1的右顶点为A ，右焦点为F •过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点9 16则^ AFB 的面积为.265.已知抛物线 C:y =2p x( p A0)过点 A(1, - 2). (I)求抛物线 C 的方程，并求其准线方程；(n)是否存在平行于 OA ( O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线 OA 与L 的距离等 于 逅？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 5 66.已知抛物线X 2=2 py(p >0). P 点为抛物线上的动点，点 P 在x 轴上的射影是点 M ，点A 的坐标是(4 , -2)，且|PA| + | PM I 的最小4.求抛物线的方程；设抛物线的准线与 y 轴的交点为点E ，过点E 作抛物线的切线，求此切线方程；1=4 ,263 .已知直线l 1：4x-3y + 6=0和直线b ： x = 0 ,抛物线y三、解答题:64.已知椭圆 (I)求椭圆 (n)若直线2 2 C :笃+爲=1(a Ab >0)的两个焦点为h , F 2,a bC 的方程；l 过点M (-2 ,1)，交椭圆C 于A, B 两点，且点M 恰是线段AB 的中点，求直线l 的方程.4 14呼七十F2蔦.(I)已知值是(ii)(n)设过抛物线焦点F 的动直线l 交抛物线于A , B 两点，连接AO , BO 并延长分别交抛物线的准线于 C , D 两点, 求证：以CD 为直径的圆过焦点 F .2的距离之和的最小值2 267.如图所示，已知椭圆 0:4 +詁=1但汕：＞0) , A i , A2分别为椭圆C的左、右顶点.(I)设F i , F2分别为椭圆C的左、右焦点，证明：当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时，|PF i|取得最小值与最大值；(n)若椭圆C上的点到焦点距离的最大值为C相交于A , B两点(A, B不是左、右顶点)，且满足AA2丄BA2 , 证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标.2 2X y68.已知椭圆C:弋=1(a Ab A0)的离心率a b是该椭圆的一个顶点.(I)求椭圆C的方程；2(n)已知圆0:x2+y y上的切线I与椭圆相交于3定点的坐标；如果不是，请说明理由.e =——2，左、右交点分别为 F i , F2，抛物线—4j2x的交点F恰好B两点，那么以AB为直径的圆是否经过定点？如果时，求出3,最小值为1,求椭圆C的标准方程;(川)若直线l:y=kx +m与(n)中所述椭圆。
高二数学圆锥曲线综合试题答案及解析
高二数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.已知曲线C上任意一点P到两定点F1(-1,0)与F2(1,0)的距离之和为4．（1）求曲线C的方程；（2）设曲线C与x轴负半轴交点为A，过点M(-4,0)作斜率为k的直线l交曲线C于B、C两点（B在M、C之间），N为BC中点．(ⅰ)证明：k·kON为定值；(ⅱ)是否存在实数k，使得F1N⊥AC？如果存在，求直线l的方程，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）;（2）(ⅰ）;(ⅱ）不存在．【解析】（1）由于曲线C上任意一点P到两定点F1(-1,0)与F2(1,0)的距离之和为4，结合椭圆的定义可知曲线Ｃ是以两定点F1(-1,0)和F2(1,0)为焦点，长轴长为４的椭圆，从而可写出曲线C的方程；（2）由已知可设出过点直线l的方程，并设出直线l与曲线C所有交点的坐标；然后联立直线方程与曲线C的方程，消去y就可获得一个关于x的一元二次方程，应用韦达定理就可写出两交点模坐标的和与积；(ⅰ)应用上述结果就可以用k的代数式表示出弦的中点坐标，这样就可求出ON的斜率，再乘以k就可证明k·kON 为定值；(ⅱ）由F1N⊥AC，得kAC•kFN= -1，结合前边结果就可将此等式转化为关于k的一个方程，解此方程，若无解，则对应直线不存在，若有解，则存在且对应直线方程很易写出来.试题解析：（1）由已知可得：曲线Ｃ是以两定点F1(-1,0)和F2(1,0)为焦点，长轴长为４的椭圆，所以，故曲线C的方程为：. 4分（2）设过点M的直线l的方程为y=k(x+4)，设B(x1, y1)，C(x2, y2）(x2>y2)．(ⅰ)联立方程组，得，则， 5分故，， 7分所以，所以k•kON=为定值. 8分(ⅱ)若F1N⊥AC，则kAC•kFN= -1，因为F1(-1,0)，故， 10分代入y2=k(x2+4)得x2=-2-8k2，y2="2k" -8k3，而x2≥-2，故只能k=0，显然不成立，所以这样的直线不存在． 13分【考点】1.椭圆的方程;2.直线与椭圆的位置关系.2.双曲线+=1的离心率，则的值为.【答案】-32【解析】由题意可得，a=2，又∵e==3，∴c=3a=6，∴b2=c2-a2=36-4=32，而k=-b2，∴k=-32【考点】双曲线离心率的计算.3.已知椭圆，直线是直线上的线段，且是椭圆上一点，求面积的最小值。
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高中数学:圆锥曲线的综合问题练习(时间:30分钟)1.设AB为过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为( C )(A)(B)p(C)2p (D)无法确定解析:当弦AB垂直于对称轴时|AB|最短，这时x=，所以y=±p，|AB|min=2p.选C.2.(兰州一中模拟)已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A，B两点(点A在第一象限)，若=3，则直线l的斜率为( A )(A)(B)(C)(D)2解析:设过抛物线y2=4x焦点F的直线l:x=ty+1交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为点A在第一象限且=3，所以y1=-3y2>0，联立得y2-4ty-4=0，则解得即直线l的斜率为.故选A.3.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是( D )(A)(-，) (B)(0，)(C)(-，0) (D)(-，-1)解析:由得(1-k2)x2-4kx-10=0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则解得-<k<-1.即k的取值范围是(-，-1).选D.4.(广西三市第二次调研)过点(2，1)的直线交抛物线y2=x于A，B两点(异于坐标原点O)，若OA⊥OB，则该直线的方程为( B )(A)x+y-3=0 (B)2x+y-5=0(C)2x-y+5=0 (D)x+2y-5=0解析:观察选项知AB不垂直于x轴，设AB:y-1=k(x-2)与y2=x联立化为2ky2-5y+(5-10k)=0，所以y1·y2=，y1+y2=，x 1=，x2=，由OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，所以(y1y2)2+y1y2=0即()2+=0，解得k=-2或，当k=时直线过原点，舍去，所以k=-2，只有选项B满足.选B.5.(2017·安徽马鞍山三模)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点.若AB 的中点坐标为(1，-1)，则E的方程为( D )(A)+=1 (B)+=1(C)+=1 (D)+=1解析:设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率k==，两式相减得+=0，即+=0⇔+×()×=0，即a2=2b2，又c2=9，a2=b2+c2，解得a2=18，b2=9，方程是+=1，故选D.6.(昆明一中模拟)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( A )(A)(B)(C)(D)1解析:由题意可得F(，0)，设P(，y0)，(y>0)，则=+=+=+(-)=+=(+，)，可得kOM==≤=.当且仅当=时取得等号，选A.7.(山西省六校第四次联考)已知抛物线C:x2=8y，直线l:y=x+2与C交于M，N两点，则|MN|= .解析:所以(y-2)2=8y，所以y2-12y+4=0，所以y1+y2=12，y1y2=4.因为直线l:y=x+2，过抛物线的焦点F(0，2)，所以|MN|=(y1+2)+(y2+2)=y1+y2+4=16.答案:168.(大庆一模)已知抛物线C:y2=4x，过其焦点F作一条斜率大于0的直线l，l与抛物线交于M，N两点，且|MF|=3|NF|，则直线l的斜率为.解析:抛物线C:y2=4x，焦点F(1，0)，准线为x=-1，分别过M和N作准线的垂线，垂足分别为C和D，作NH⊥CM，垂足为H，设|NF|=x，则|MF|=3x，由抛物线的定义可知:|NF|=|DN|=x，|MF|=|CM|=3x，所以|HM|=2x，由|MN|=4x，所以∠HMF=60°，则直线MN的倾斜角为60°，则直线l的斜率k=tan 60°=.答案:能力提升(时间:15分钟)9.(云南玉溪模拟)已知点F1，F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|+|的最小值是( C ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)2解析:因为O为F1F2的中点，所以+=2，可得|+|=2||，当点P到原点的距离最小时，||达到最小值，|+|同时达到最小值.因为椭圆x2+2y2=2化成标准形式，得+y2=1，所以a2=2且b2=1，可得a=，b=1，因此点P到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离，即||最小值为b=1，所以|+|=2||的最小值为2，故选C.10.(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P 到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为.解析:双曲线x2-y2=1的一条渐近线为直线y=x，显然直线y=x与直线x-y+1=0平行，且两直线之间的距离为=.因为点P为双曲线x2-y2=1的右支上一点，所以点P到直线y=x 的距离恒大于0，结合图形可知点P到直线x-y+1=0的距离恒大于，即c≤，可得c的最大值为.答案:11.(海淀区校级三模)如图，已知椭圆C:+=1(a>b>0)的上顶点为A(0，1)，离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)若过点A作圆M:(x+1)2+y2=r2(圆M在椭圆C内)的两条切线分别与椭圆C相交于B，D两点(B，D不同于点A)，当r变化时，试问直线BD是否过某个定点?若是，求出该定点;若不是，请说明理由.解:(1)因为e===，由题设知⇒故所求椭圆C的方程是+y2=1.(2)设切线方程为y=kx+1，则得=r，即(1-r2)k2-2k+1-r2=0，设两条切线的斜率分别为k1，k2，于是k1，k2是方程(1-r2)k2-2k+1-r2=0的两实根，故k1·k2=1.设直线BD的方程为y=mx+t，由得(1+2m2)x2+4tmx+2t2-2=0，所以x1+x2=，x1x2=，又k1k2=·=1，即(mx1+t-1)(mx2+t-1)=x1x2⇒(m2-1)x1x2+m(t-1)(x1+x2)+(t-1)2=0⇒(m2-1)+m(t-1)+(t-1)2=0⇒t=-3.所以直线BD过定点(0，-3).12.(广东省海珠区一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2，且过点A(2，1).(1)求椭圆C的方程;(2)若不经过点A的直线l:y=kx+m与C交于P，Q两点，且直线AP与直线AQ的斜率之和为0，证明:直线PQ的斜率为定值.(1)解:因为椭圆C 的焦距为2，且过点A(2，1)，所以+=1，2c=2.因为a 2=b 2+c 2，解得a 2=8，b 2=2，所以椭圆C 的方程为+=1.(2)证明:设点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，y 1=kx 1+m ，y 2=kx 2+m ，由消去y 得(4k 2+1)x 2+8kmx+4m 2-8=0，(*)则x 1+x 2=-，x 1x 2=， 因为k PA +k AQ =0， 即=-，化简得x 1y 2+x 2y 1-(x 1+x 2)-2(y 1+y 2)+4=0.即2kx 1x 2+(m-1-2k)(x 1+x 2)-4m+4=0(**).代入得--4m+4=0，整理得(2k-1)(m+2k-1)=0，所以k=或m=1-2k.若m=1-2k ，可得方程(*)的一个根为2，不合题意，所以直线PQ 的斜率为定值，该值为.13.(西城区一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为，以椭圆C 的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是2.(1)求椭圆C的方程;(2)设A是椭圆C的右顶点，点B在x轴上，若椭圆C上存在点P，使得∠APB=90°，求点B 横坐标的取值范围.解:(1)设椭圆C的半焦距为c.依题意，得=，ab=2，且a2=b2+c2.解得a=2，b=.所以椭圆C的方程为+=1.(2)“椭圆C上存在点P，使得∠APB=90°”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点P，使得·=0成立”，依题意，A(2，0)，设B(t，0)，P(m，n)，则m2+2n2=4，且(2-m，-n)·(t-m，-n)=0，即(2-m)(t-m)+n2=0.将n2=代入上式，得(2-m)(t-m)+=0.因为-2<m<2，所以t-m+=0，即m=2t+2.所以-2<2t+2<2，解得-2<t<0，所以点B横坐标的取值范围是(-2，0).。