高中数学练习：圆锥曲线的综合问题

(1)求椭圆C的方程;
(2)设A是椭圆C的右顶点，点B在x轴上，若椭圆C上存在点P，使得∠APB=90°，求点B横坐标的取值范围。
解：(1)设椭圆C的半焦距为c。
依题意，得 = ，ab=2 ，且a2=b2+c2。
解得a=2，b= 。
所以椭圆C的方程为 + =1。
(2)“椭圆C上存在点P，使得∠APB=90°”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点P，使得 · =0成立”，
所以 (y1y2)2+y1y2=0即 ( )2+ =0，
解得k=-2或 ，当k= 时直线过原点，舍去，
所以k=-2，只有选项B满足。选B。
5。(2017·安徽马鞍山三模)已知椭圆E： + =1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点。若AB 的中点坐标为(1，-1)，则E的方程为( D )
当点P到原点的距离最小时，| |达到最小值，
| + |同时达到最小值。
因为椭圆x2+2y2=2化成标准形式，得 +y2=1，
所以a2=2且b2=1，可得a= ，b=1，
因此点P到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离，
即| |最小值为b=1，
所以| + |=2| |的最小值为2，
故选C。
10。(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点。若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为。
解析： 所以(y-2)2=8y，
所以y2-12y+4=0，
所以y1+y2=12，y1y2=4。
因为直线l：y=x+2，过抛物线的焦点F(0，2)，
所以|MN|=(y1+2)+(y2+2)=y1+y2+4=16。
答案：16
8。(大庆一模)已知抛物线C：y2=4x，过其焦点F作一条斜率大于0的直线l，l与抛物线交于M，N两点，且|MF|=3|NF|，则直线l的斜率为。
(A)(- ， )(B)(0， )
(C)(- ，0)(D)(- ，-1)
解析：由 得(1-k2)x2-4kx-10=0。设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
解得- <k<-1。即k的取值范围是(- ，-1)。选D。
4。(广西三市第二次调研)过点(2，1)的直线交抛物线y2= x于A，B两点(异于坐标原点O)，若OA⊥OB，则该直线的方程为( B )
(1)求椭圆C的方程;
(2)若不经过点A的直线l：y=kx+m与C交于P，Q两点，且直线AP与直线AQ的斜率之和为0，证明：直线PQ的斜率为定值。
(1)解：因为椭圆C的焦距为2 ，且过点A(2，1)，
所以 + =1，2c=2 。
因为a2=b2+c2，解得a2=8，b2=2，
所以椭圆C的方程为 + =1。
高中数学练习：圆锥曲线的综合问题
基础巩固(时间：30分钟)
1。设AB为过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为( C )
(A) (B)p
(C)2p(D)无法确定
解析：当弦AB垂直于对称轴时|AB|最短，这时x= ，所以y=±p，|AB|min=2p。选C。
2。(兰州一中模拟)已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A，B两点(点A在第一象限)，若 =3 ，则直线l的斜率为( A )
代入得 - -4m+4=0，整理得(2k-1)(m+2k-1)=0，
所以k= 或m=1-2k。若m=1-2k，可得方程(*)的一个根为2，不合题意，所以直线PQ的斜率为定值，该值为 。
13。(西城区一模)已知椭圆C： + =1(a>b>0)的离心率为 ，以椭圆C的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是2 。
(2)证明：设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，y1=kx1+m，y2=kx2+m，
由
消去y得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-8=0，(*)
则x1+x2=- ，x1x2= ，
因为kPA+kAQ=0，
即 =- ，
化简得x1y2+x2y1-(x1+x2)-2(y1+y2)+4=0。
即2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x焦点F(1，0)，准线为x=-1，
分别过M和N作准线的垂线，垂足分别为C和D，作NH⊥CM，垂足为H，
设|NF|=x，则|MF|=3x，
由抛物线的定义可知：|NF|=|DN|=x，|MF|=|CM|=3x，
所以|HM|=2x，由|MN|=4x，
所以∠HMF=60°，
则直线MN的倾斜角为60°，
依题意，A(2，0)，
设B(t，0)，P(m，n)，则m2+2n2=4，
且(2-m，-n)·(t-m，-n)=0，
即(2-m)(t-m)+n2=0。
将n2= 代入上式，得(2-m)(t-m)+ =0。
因为-2<m<2，
所以t-m+ =0，即m=2t+2。
所以-2<2t+2<2，
解得-2<t<0，
所以点B横坐标的取值范围是(-2，0)。
(A) + =1(B) + =1
(C) + =1(D) + =1
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直
线AB的斜率k= = ，
两式相减得 + =0，
即 + =0⇔ + ×( )× =0，即a2=2b2，又c2=9，a2=b2+c2，
解得a2=18，b2=9，方程是 + =1，故选D。
6。(昆明一中模拟)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( A )
(A) (B) (C) (D)2
解析：设过抛物线y2=4x焦点F的直线l：x=ty+1交抛物线于A(x1，y1)，
B(x2，y2)两点，
因为点A在第一象限且 =3 ，
所以y1=-3y2>0，
联立 得y2-4ty-4=0，
则 解得
即直线l的斜率为 。故选A。
3。若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是( D )，
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点A作圆M：(x+1)2+y2=r2(圆M在椭圆C内)的两条切线分别与椭圆C相交于B，D两点(B，D不同于点A)，当r变化时，试问直线BD是否过某个定点?若是，求出该定点;若不是，请说明理由。
解：(1)因为e= = = ，
由题设知 ⇒
故所求椭圆C的方程是 +y2=1。
解析：双曲线x2-y2=1的一条渐近线为直线y=x，显然直线y=x与直线x-y+1=0平行，且两直线之间的距离为 = 。因为点P为双曲线x2-y2=1的右支上一点，所以点P到直线y=x的距离恒大于0，结合图形可知点P到直线x-y+1=0的距离恒大于 ，即c≤ ，可得c的最大值为 。
答案：
11。(海淀区校级三模)如图，已知椭圆C： + =1(a>b>0)的上顶点为A(0，1)，离心率为 。
则直线l的斜率k=tan 60°= 。
答案：
能力提升(时间：15分钟)
9。(云南玉溪模拟)已知点F1，F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么| + |的最小值是( C )
(A)0(B)1(C)2(D)2
解析：因为O为F1F2的中点，
所以 + =2 ，可得| + |=2| |，
(A) (B) (C) (D)1
解析：由题意可得F( ，0)，设P( ，y0)，(y0>0)，
则 = + = + = + ( - )= + =( + ， )，可得
kOM= = ≤ = 。当且仅当 = 时取得等号，选A。
7。(山西省六校第四次联考)已知抛物线C：x2=8y，直线l：y=x+2与C交于M，N两点，则|MN|=。
(2)设切线方程为y=kx+1，则得 =r，
即(1-r2)k2-2k+1-r2=0，
设两条切线的斜率分别为k1，k2，于是k1，k2是方程(1-r2)k2-2k+1-r2=0的两实根，
故k1·k2=1。
设直线BD的方程为y=mx+t，
由
得(1+2m2)x2+4tmx+2t2-2=0，
所以x1+x2= ，x1x2= ，
(A)x+y-3=0(B)2x+y-5=0
(C)2x-y+5=0(D)x+2y-5=0
解析：观察选项知AB不垂直于x轴，
设AB：y-1=k(x-2)与y2= x联立化为
2ky2-5y+(5-10k)=0，
所以y1·y2= ，y1+y2= ，
x1= ，x2= ，
由OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，
又k1k2= · =1，
即(mx1+t-1)(mx2+t-1)=x1x2
⇒(m2-1)x1x2+m(t-1)(x1+x2)+(t-1)2=0
⇒(m2-1) +m(t-1) +(t-1)2=0
⇒t=-3。
所以直线BD过定点(0，-3)。