高等数学天大教材答案
《高等数学》上册习题参考答案(天津科学技术出版社)
· 296 ·习题答案与提示习题1.11.（1）21(12)33，，123x -<；（2）13(1)44-，-，114x +<；（3）41(1)(11)55 ，，，1015x <-<.2.（1）不同；（2）不同；（3）相同.3.（1）1x ≠-且3x ≠，即(1)(13)(3+)-∞- - ∞，，，，，； （2）1≤x ≤3, 即[1,3]；（3）x ≤5且0x ≠，即(0)(05]-∞ ，，，； （4）2x >或2x <-，即(2)(2+-∞- ∞，或，）；（5）2k π≤x ≤(21)()k k π+ 为整数；（6）x ≥1x <与-1≤010]1-∞，即（，与[,+）； （7）110110x x >≠且，即（，），10+∞（，）； （8）300x x <≠∞且，即（-，），03（，）.4.2(2)0(2)4()1a f f f a a -=-=-=+，，.5.1()()()(2)06244πππϕϕϕϕ==-=-=，. 8.（1）偶函数；（2）非奇非偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）非奇非偶函数；（6）偶函数. 9.（1）单调增加；（2）单调增加；（3）单调减少；（4）在22ππ∞（-,-）,(0,)单调增加；在22ππ∞（-,0）,(,+)单调减少.10.（1）周期为π；（2）不是周期函数；（3）周期为4π；（4）不是周期函数；（5）周期为2π； （6）周期为π.11.（1）1102x y -=-；（2）11xy x-=+； （3）dx by cx a-+=-，当0a d +=或0b c ==，0a d =≠时反函数与直接函数相同. 12.（1）0sin 2y x y =，（2）0y y =（3）220x y e y e -==，.· 297 ·13. （1）2u y e u x ==，；（2）2ln 1y u u v x ==+，；（3）2sin y u u x ==，；（4）sin n y u u x ==，；（5）3arcsin 1y u u v v x ===-，，；（6）23sin u y u v v x ===，，. 14. （1）1-≤x ≤1, 即[-1,1]；（2）221)01n n n ππ+=±⋅⋅⋅[，(]，(，)； （3）a -≤x ≤1, 1a a a -- -即[，]； （4）若0a <≤12，则a ≤x ≤1, 1a a a - -即[，]；若12a >，则函数无处有定义. 16. 2f l =.17. 3()0<<45()4107()10<20.x y x x ⎧⎪= ⎨⎪ ⎩角，，角，≤≤，角，≤ 18. 232223[()]r h v r h h r r π=<<+∞--，.19. v 习题1.21.（1）0；（2）1；（3）0；（4）没有极限；（5）没有极限；（6）0. 8.（1）(10)0(10)0f f -=+=，，极限为0；（2）(10)1(10)0(10)(10)f f f f -=+=-≠+，，，极限不存在. 9. 00000()1()1()1x x x lim f x lim x lim x ϕϕ→→-→+==-=，，，极限不存在. 习题1.31. 两个无穷小的商不一定是无穷小，例如：3 x x αβ= =，，当0x →时都是无穷小，但αβ当0x →时不是无穷小.2. 两个无穷大的和不一定是无穷大.5. cos y x x =在()-∞+∞，上无界，但当x →+∞时，此函数不是无穷大.· 298 ·习题1.41.（1）5；（2）34；（3）0；（4）25；（5）∞；（6）3；（7）0；（8）∞；（9）12；（10）23x ； （11）2；（12）203050235⋅；（13）2；（14）3；（15）12；（16）1-；（17）0；（18）0.2.（1）27；（2）k ；（3）1；（4）1；（5）2；（6）π；（7）x ；（8）12；（9）2e -；（10）2e ；（11）2e ；（12）1e -；（13）12；（14）e ；（15）3e . 习题1.51. 等价的.2.（1）同阶，不等价；（2）等价无穷小.3.（1）二阶；（2）一阶；（3）二阶；（4）一阶；（5）三阶；（6）三阶.4.（1）a b；（2）m n <时为0，m n =时为1，m n >时为∞；（3）12；（4）222b a -.习题1.62.（1）3x =-是第二类间断点；（2）1x =是第一类的可去间断点. 补充123x y ==. 2x =-是第二类间断点； （3）0x =是第一类的跳跃间断点； （4）0x =是连续点； （5）0x =是第二类间断点； （6）0x =是第一类的跳跃间断点； （7）0x =，2x k ππ=+是第一类的可去间断点，(0)x k k π= ≠第二类间断点；（8）0x =是第一类的跳跃间断点. 3. 0a =时，()f x 在其定义域内连续.· 299 ·4. （1）1；（2）0；（3）14；（4）cos a ；（5）1；（6）a ；（7）2-；（8）14；（9）1；（10）e . 总习题一4.（1）(0]-∞，；（2）[1]e ，；（3）[0]4π，；（4）[22+]0122n n n ππππ-=±⋅⋅⋅，，，，.5. 22x -.6. [()]()[()]0[()]0[()]()f f x f x g g x f g x g f x g x ====，，，.9.（1）6π；（2）12e -；（3）116；（4）αβ-；（5）1.10. 0x =是第一类的跳跃间断点.11. 0x =是第一类间断点，1x =是第二类间断点. 12.（1）1a =时，()f x 在0x =连续；（2）1a ≠，0a >时，0x =是()f x 的跳跃间断点.13. ln 3a =. 14. 76a b =-=，.习题2.11. 15.2.（1）34x ；（2）99100x ；（3）1x ππ-；（4）（5）32x-；（6）1e ex -. 3.（1）0()f'x -；（2）(0)f'；（3）02()f'x ；（4）0()()f'x αβ+.5. 0gt . 7. 0. 8.1(1)02y +-=；法线方程为102y -+=. 9.21a b ==-，.10.cos 0.()10.x x f'x x <⎧=⎨ ⎩，，≥11.（1）在0x =处连续，不可导；· 300 ·（2）在0x =处连续，不可导； （3）在0x =处连续，不可导； （4）在0x =处连续且可导.习题2.21.（1）310x x +；（2）2tan sec x x x +；（3）32522x x +；（4）22sec tan 2x x x e x x-+；（5）11sin x -+； （6）11n n n nx x-+-；（7）(2cos sin )x x x x -；（8）ln x x a a e +；（9）2(2)x e x x --；（10）sec (2sec tan )x x x +；（11）2212(1)x x x +-++；（12）22(1)x +；（13）3(2)x e x x -；（14）2sec 2cos t t +；（15）2102ln10(101)x x ⋅+；（16）2222csc [(1)cot 2](1)x x x x x ++-+；（171(1)z+； （18）231(2cos cos sin )()2x xe x x x x x x+--；（19）21cos sin (1cos )t t t +++；（20）cos2x . 2.（1）(1)14f'-=-，(1)6f'=；（2)2π+；（3）211x y'ππ==-；（4）123x y'e ==+.3. 08t t ==，.4. 相切.5. 切线方程为220x y --=和220x y -+=.6.（1）38(25)x +；（2）3sin(43)x -；（3）236x xe --；（4）221xx +；（5； （6；（7）；（8）222sec ()x x ；（9）21xx e e +；（10； （11）22tan ln 2xx -；（12）tan x -. 7.（1）144ln 22x --⋅；（2）1cos[ln(3)]3x x ---；（3（4（5）22sec tan csc cot 2222x x x x+；（6）2arcsinx；（7）2222cos(1)1sin (1)x x x +++；（8）222ln 22x x x x ++；· 301 ·（932arcsin 2xx ；（108.（1）()sh shx chx ⋅；（2）2()chxe chx sh x +；（3）2112sh x +；（4（5）2x（6）3th x ；（7）222sin 2sin()2sin cos()x x x x x +；（8）21sin 212sin x e x x -⋅；（9；（10）3232322(12)1ln()x x xe x e x e +++++++；（1122))x x x x ++；（12）21ch t .9..10. （1）22()xf'x ；（2）22sin 2[(sin )(cos )]x f'x f'x -；（3）[()]()f'f x f'x ⋅；（4）()[()()()]f x x x x e f'e e f e f'x +. 习题2.31.（1）214x-；（2）214x e -；（3）2sin cos x x x --；（4）2cos t e t --；（5）23222()a a x --；（6）22sec tan x x ；（7）222sin 2cos 2cos2ln x x x x x x -⋅--；（8）5323484x x --++；（9）23(22)x e x x x -+；（10）222arctan 1x x x ++. 2.（1）2222()4()f'x x f''x +；（2）22()()[()][()]f''x f x f'x f x -.5.（1）(1)nxe --；（2）1(1)(1)!(1)n n n x ---+；（3）12sin[2(1)]2n x n π-+-⋅；（4）1111(1)(1)n n n n x x ++----；（5）!n ；（6）1(2)!(1)nn n x --- （n ≥2）. 6.（1）20222(2095)x e x x ++；（2）50212252(sin 250cos2sin 2)2x x x x x -++； （3）0cos()2ni xn i C e x i π=+⋅∑或22cos()4n x e x n π+⋅；· 302 ·（4）100xshx chx +. 7. 2()a ϕ.习题2.41.（1）(1)(1)y x x y --；（2）cos cos()sin cos()y x y x y x y -+++；（3）y y x -；（4）22ay x y ax --；（5）1yye xe -+；（6）x y e y e x -+.3. 222(5)(10)15x y +++=.4.（1）(ln 1)xx x +；（2）1(ln )[ln(ln )]ln xx x x +；（3）2sin cos cos cos (sin )(sin ln(sin ))sin x x x e x x x x x+-； （4）1()(ln )111x x x x x x⋅++++；（5212[]55(2)xx x --+； （61[cot ]2(1)x x e x x e +--； （7）cot 221(tan 2)(csc ln tan 28cot csc4)222xx x x x x --；（8）21]2(1)1x x x --+. 5.（1）3sin()[cos()1]x y x y ++-；（2）423b a y -；（3）232csc ()cot ()x y x y -++；（4）31y -.6.（1）2312t t-；（2）tan θ-；（3）cos sin cos sin t t t t -+；（4）cos sin 1sin cos θθθθθθ---.7.（1）切线方程为43120x y a +-=，法线方程为3460x y a -+=； （2）切线方程为20y +-=，法线方程为410y --=； （3）切线方程为240x y +-=，法线方程为230x y --=.8.（1）31t ；（2）21(1cos )a t -- （2t n n π≠，为整数）；（3）1()f''t ；（4）322(1)t --.9. 面积变化率为2500平方厘米/秒； 对角线变化率为0.4厘米/秒.· 303 ·10.160.20425π≈米/分. 习题2.61. 0.02，0.0201，0.0001.2.（a ）000y dy y dy ∆>>∆->，，； （b ）000y dy y dy ∆>>∆-<，，； （c ）000y dy y dy ∆<<∆-<，，； （d ）000y dy y dy ∆<<∆->，，.3.（1）(103)x dx + ；（2）2(348)x x dx -- ；（3）(sin 22cos 2)x x x dx + ；（4）1001x x <<⎪<<⎪⎩，；（5）4(ln 1)x dx x + ；（6）[sin(3)cos(3)]x e x x dx ---- ；（7）421xdx x-+；（8）sec t dt . 4.（1）2x c +；（2）arctan x c +；（3）1c x+；（4）x e c --+；（5）1cos 22x c -+；（6c ； （7）414x x e c ++；（8）2x e c +；（9）sin cos sin x x x -，；（10）2sin sin 2x x ，；（11）122323x x ++，； （12）lnsin lnsin sin xe x x，.5.（1）1.0067；（2）0.485； （3）o 3047''； （4）0.01； （5）0.10025；（6）0.77；（7）9.9867；（8）2.0052.7. 0.995.总习题二1.（1（2）211xe +；（3）21cot(1)sec [2csc (1)cot(1)tan ]222x x x x x --+-；· 304 ·（4）(1)(1)[1ln(1)]x x x ---+-；（5）221[1a ；（6）1[1ln ]x x x ++； （7）22ay x y ax --；（8）[1sin()]sin()y xy x xy -+；（9）t te --；（10）sin cos cos sin t t tt t t+-.2.（1）21(dx x - ；（2）2228tan(12)sec (12)x x x dx ++ ；（3）222221arctan 2(1)14x x x dx x x +[-] ++； （4）sin t tdt ；（5）4sec xdx ；（6）2cos sin x x x dx x - ；（7）2ln (1)x dx x -；（8）221(3csc (ln )x dx x x -+) . 3. 函数处处连续，仅在0x =处不可导.4.（1）1(1)2!(1)n n n x +-⋅+；（2）2(1)sin 40cos 380sin x x x x x +--. 5. 6-. 6. 6. 7. 1-. 8. n t αα.9. csc cot (csc )2ln 2(2)x x x xf'x f'-+. 10.()(sin )cos ()cos ()()'x y 'x xdx 'y y 'x y ϕϕϕϕϕ+-⋅ -+.11.2a b ==. 12. 2.习题3.14. 先证存在性（根据介值定理），再证唯一性（根据罗尔定理）反证.5. 对()F x 连续两次应用罗尔定理.6. 因为(1)(1)(2)(3)0f f f f -====，由罗尔定理即证得所需结果.7. 用罗尔定理.10. 设()ln f x x =，区间为[1]x x +，，应用拉格朗日中值定理. 12. 设()()xf x x e ϕ=，先证()x ϕ为常数.· 305 ·13. 令()ln ()x f x ϕ=，又()()()f'x 'x f x ϕ=，应用拉格朗日中值定理即得证. 14. 取1()ln ()0g x x g'x x==≠，，应用柯西中值定理即得证. 习题3.21.（1）1；（2）2；（3）∞；（4）1；（5）∞；（6）1；（7）1；（8）1；（9）1；（10）12；（11）∞；（12）12-；（13）12；（14）1e；（15）1；（16）1；（17）e α；（18）1；（19）1.3. 连续.习题3.31.由21cos 2cos 2xy x +==代入cos2x 展开即可. 2.22x ex 换成x 2即可：242444400[1()][1()]2828x x x x x x o x o x lim x→→+-+-+++= 14=-.3.2321sin (3sin cos )2!3!x x x x ξξξ-=++ 231(3sin cos )3!x x ξξξ=-+ ξ在0与x 之间. 4.234()5621(4)37(4)11(4)(4)f x x x x x =-+-+-+-+-.5.12121(1)[1(1)(1)(1)](1)[1(1)]n n n n x x x x x x θ++++=-+++++⋅⋅⋅+++--++ (01)θ<<.6.23412sin ()tan 3cos ()x x x x x θθ+=+(01)θ<<.7.在x e 的麦克劳林公式中取1x =得111111!2!3!!(1)!e e n n θ=++++⋅⋅⋅+++ (01)θ<< 于是111111!2!3!!e n ≈++++⋅⋅⋅+； 3(1)!(1)!n e R n n <<++，取7n =时， 2.7183e ≈，误差30.00018!n R <<. 8.（1）o sin100.17365≈ 5310R -<；（2 3.10724≈ 53 1.8810R -<⨯. 习题3.41.（1）在(,1]-∞-内，y 单调减少，在[1,)-+∞内，y 单调增加； （2）在(,)-∞+∞内，y 单调增加；（3）在(,1]-∞-，[0,1]内，y 单调减少，在[1,0]-，[1,)+∞内，y 单调增加； （4）在(,0]-∞内，y 单调增加，在[0,)+∞内，y 单调减少；（5）在(,2]-∞-，[0,)+∞内，y 单调增加；在[2,1)--，(1,0]-内，y 单调减少；（6）在1(0,]2内，y 单调减少，在1[,)2+∞内，y 单调增加；（7）在[0,2]π内单调增加；（8）在[0,]n 上单调增加，在[,)n +∞内单调减少.4.（ⅰ）1a e >时没有实根；（ⅱ）10a e <<时有两个实根；（ⅲ）1a e=时只有x e =一个实根.5. 不一定，()sin f x x x =+在(,)-∞+∞内单调，但()f'x 在(,)-∞+∞内不单调.6. 应用拉格朗日中值定理和反证法.习题3.51.（1）极大值07x y==；极小值23x y==；（2）极小值11x y=-=-；极大值11x y==；（3）极大值1232x y==； （4）极小值00x y==；极大值224x ye -==；（5）极小值150x x yy=-===；极大值12x y==（6）极大值23x y==；（7）极大值00x y==；极小值25x y== （8）极小值3274x y ==； （9）极小值00x y==；（10）极大值1ex eye ==；（11）无极值； （12）极小值121ln 22x y==+.3. 2()3a f π==，.4.（1）最小值(1)4y ±=，最大值(2)13y ±=； （2）最大值(4)80y =，最小值(1)5y -=-；（3）最大值3() 1.254y =，最小值(5)5y -=-（4）最小值(0)0y =，最大值11()(1)22y y -==.5.半径:高1:1=.2..9.长为10m ，宽为5m .10. 2.366()m = . 11.当o arctan arctan 0.25142u 'α==≈时可使力F 最小.12.(b 公里. 13.杆长为1.4m .14.ϕ=. 15.最小面积S a b =⋅.习题3.61.（1）在13∞（-，）内是凹的，在1+3∞（，）内是凸的；（2）在∞（-，及0（内是凸的，在0（）及)+∞内是凹的； （3）在1∞-（-，），(1)+∞，内是凸的，在11-（，）内是凹的；（4）在∞（-，0（内是凸的，在（），∞）内是凹的； （5）在2∞-（-，）内是凸的，在2+-∞（，）内是凹的； （6）在∞∞（-，+）内是凹的.2.（1）凹区间为2(0)3-∞∞，，(，+)；凸区间为2(0)3，，拐点为(01),及211()327,； （2）凸区间为(1)-∞，；凹区间为1+∞（，），无拐点；（3）没有拐点，处处是凹的；（4）凸区间为01（，）；凹区间为1+∞（，），拐点为(17)-,.5. 3922a b =-=，.6. 132416a b c d ==-=-=，，，.7. K =.8.（1）水平渐近线0y =； （2）水平渐近线0y =；（3）铅直渐近线0x =；（4）铅直渐近线1x =-；水平渐近线0y =； （5）斜渐近线y x =；（6）铅直渐近线1x =，斜渐近线2y x =+.习题3.71. ds =.2. ds =.3.（1）211ach ；（2）3226(94)t +；（3）2ba ；（4）2；（5）23sin 2a t . 4.（1）cos K x =，sec x ρ=； （2）2K =，12ρ=.5. ln 2)2-处曲率半径有最小值. 7. 约1246（N ），沿曲线运动的物体所受的向心力2mv F ρ=，这里m 为物体的质量，v 为它的速度，ρ为运动轨迹的曲率半径.总习题三1. 先证明在(,)a b 内至少有一点c ，使得()0f c =，然后分别在[,][,]a c c b , 上应用罗尔定理即得证.2. 由罗尔定理即得证.3. 设()()F x xf x =，则(0)()0F F a ==. 应用罗尔定理即可.4. 设()()[()()]x b x f x f a ϕ=--，由()()0a b ϕϕ==，用罗尔定理即可得证.5. 设0()x x a b ∈，，，在0[]x x ，上应用拉格朗日中值定理.6. 由()f x 在(0,)a 内取得最大值有()0f'c =，(0)c a ∈，，在[0,][,]c c a , 上应用拉格朗日公式.7. 先用罗必塔法则，然后应用导数定义. 8.（1）0；（2）13；（3）3；（4）1；（5）12；（6）12n a a a ⋅⋅⋅.9.12212(1)2ln ln 2()()()2222n nn x x x x R x n -----=+-+⋅⋅⋅++111(1)22()()()12n n n n x R x n ξ-++--=+ （ξ在2与x 之间）.10. 利用拉格朗日中值定理. 11. 利用介值定理和泰勒公式. 12.（1）设tan ()xf x x=，用单调性证； （2）令111()(1)()(0)122p p p F x x x F F -=+-==，，，只须证()F x 在[01]，上的最小值为112p -，而最大值为1即可；（3）令312(1)x p x px =-+，则132x x x <<用拉格朗日中值定理即得证； （4）利用单调性. 13. 3个根.14.（1）无极值；（2）最大值121()2f e e-=-. 15. 最大值45，最小值1-.16. 等边三角形.18. (1)2π，处，曲率半径有最小值1.习题4.11．（1）252y x c =+；2552y x =+． 2．（1）42524x x x c -++；（2）3223x c --+；（3）ln 3arcsin +x x c -；（4）31123x x c x-++；（5）53222212523u u u u c +--+； （6）322ln 3x x e x c ---++；（7）tan sec x x c -+； （8）2cos ln 2xx c -+；（9）1arctan x c x-+；（10）cot x x c --+；（11）4cot x c -+；（12）1(cot tan )4c θθ-++.习题4.21．（1）41(32)8x c --+；（2）322(25)15x --；（3）arcsin 2xc +；（4）1cos(12)2x c -++；（5）1ln 522x c --+；（6）()21ln 12x c ++；（7）ln(1cos )x c -++；（8）21ln(1)2x e c ++；（9）1ln 12ln 2x c ++；（10）23e c +；（11）3221(1)3x c --+；（12）c ；（13）c ；（14）1cos c x +；（15）21(arcsin )2x c +；（16）212x e c --+；（17）21arctan 2x c +；（18）4ln 4x x c -++；（19）1)2x c +； （20）121ln 723x c x ++-；（21）233(sin cos )2x x c -+；（22）21tan ln cos 2x x c ++；（23）52cos 5x c -+；（24）11sin 2sin8416x x c ++；（25）1sin 2()24t at b c a+++； （26）cot csc x x c -++；（27）1ln(2)22t t e c -++； （28）12arcsin 23x c .2．（1）c +；（2c ；（3）1ln 2x c ； （4）32221arctan 22()x xc a aa x a +++；（5c +；（6）arcsin x c ；（7）提示：利用倒数代换3222231().3a x x c t a x -=-+；（8）提示：先令sin x t =，原积分=cos sin cos tdt t t+⎰1(cos sin )(sin cos )2sin cos t t t t dt t t-++=+⎰=11arcsin ln 22x x c +.3.（1）32221()3a x c ++；（2c .习题4.31.（1）arccos x x c ；（2）(1)x e x c --++；（3）ln 2x x x c -+；（4）11(sin 2cos 2)22x x x c ++；（5）21tan ln cos 2x x x x c +-+；（6）22111(1)ln(1)242x x x x c ----+；（7）22113(3)22t t t e c -++；（8）32sin cos sin 62x x x x x x c ++-+；（9）21arctan 2ln(14)4x x x c +++；（10）2(ln )2ln 2x x x x x c -++；（11）21(5cos52sin5)29xe x x c --++；（12）321(ln 3ln 6ln 6)x x x c x -++++；（13）1(sin cos )2x e x x c --+；（14）21)c +；（15）[sin(ln )cos(ln )]2xx x c -+；（16）2(arcsin )2x x x x c +-+；（17）2421(1)2x e x x c --+++；（18）提示：换元积分法与分部积分法综合运用. t ，再用分部积分法；或先用分部积分法，再用换元法.2c .2.211ln(22a x c +. 习题4.41.（1）2ln 12x x x c -+++；（2）15ln 27ln 1x x c ---+；（3）2311ln(25)arctan 222x x x c --+++；（4）212(arctan )424x x c x -++；（5）提示：令4x t =. 4481arctan()88(1)x x c x +++； （6）221(1)ln 61x c x x +-+；（7）2211ln(1)ln 121x x x c x -+-++++；（8）提示：令32x t -=.7891114[(32)(32)(32)]27729x x x c -----+-+-+.2.（1）3tan12ln 33tan 2xc x ++-；（2）ln 1tan 2x c ++；（32tan 1x c +； （4）1ln sin cos 22x x x c +++；（5）)x x c +；（6）111cos ln cos 21cos xc x x +-+-；（7）tan sec x x x c -++；（8）532224(32)(32)4527x x c +-++； （9）c ；（10）3ln 1c ； （11）c ；（12）ln 12x c ++.习题4.5（1）1(34ln 34)9x x c -++；（2）31(ln 21)421x c x ++++；（3）1arctan x c x--+； （4）322(4)2arcsin 42x x x c --+；（53ln 2x c ； （6c ；（7）cos ln(1sin )1sin x x x c x -++++； （82tan 32tan 322x xc +++；（9）41(ln )44x x c -+；（10）21(2sin 44cos4)20x e x x c --+；（11）1)c +；（12）)x x c +；（13）12c ；（14）2(1)arcsin 22x x c -.总习题四1. ln 23y x =+.2.（1）26cos v t t =+；（2）32sin 3S t t =+-.3.（1）c ；（2）21ln ln(1)2x x c -++；（3）21tan 2x c +；（4）tan sec x x c ++；（5）3223x c +；（6）ln 2ln x c ++；（7）ln 1x c +；（8）11ln 21x x e c e -++；（9）43c ；（10）c +；（11）arctan(sin )x c +；（12）c -；（13）ln (ln ln 1)x x c -+；（14）a c ；（15）(2xx c -+；（16）ln 1x e x c --+； （17）arcsin()x e c +；（18）ln x x c ；（19）arctan xc x -+； （20）211(1)2u e c --++；（21）c +；（22）221(1)2x x e c -+； （23）12211()(1222x x x c ---；（24）21ln tan csc 2x x c -+；（25）(x c +；（26）1)t c -+；（27）44x c +； （28）tan x x c -+；（29）c ；（30）1arctan 2t c +；（31）2111ln 4824x c x x x -++++；（32）(cos 22sin 2)/5xe x x c ++；（33）csc cot 22x x c -+；（34）ln sin cot x x x c -+；（35）2111sin 2cos2448x x x x c +++； （36）8910111131(1)(1)(1)(1)831011x x x x c -----------+；（37）611ln ln(4)424x x c -++；（38）tan2x x c +；（39）2212)arctan (6)9x x x x c +-++； （40）提示：解法1由于1sin 2sin cos 2sin cos )4x x xx xx π⋅=++原式2cos(2)12sin ()24sin()sin()44x x dx dx x x ππππ+-+-=++csc()cot())444x x x c πππ=+-+++；解法2由于2sin cos 1(sin cos )1sin cos 2sin cos x x x x x x x x⋅+-=++ 原式11(sin cos )2sin cos x x dx x x=+-+⎰()14(sin cos )2sin()4d x x x x ππ+=-+1(sin cos )tan()228x x x c π=-++. 4.1arccos ac a x+. 习题5.11. 12.2.（1）122nn i lim n i→∞=+∑；（2）23231331(7)nn i i i i lim n n n n →∞=---∑.6.13. 7.（1）3-≤2321(23)x x dx -- ⎰≤0； （2）0≤420.5(2)x x dx 1.5--+ ⎰≤2；（3）8≤222.53441x x dx x x 0.5-++ ++⎰≤12.8.（1）2x dx 1 0⎰较大；（2）22x dx 3 1⎰较大；（3）2dx 0⎰较大；（4）x e dx 21⎰较大.习题5.21. 12e -.2.（1（2）222[()]()xf g x g'x .3.41ln t t-.4. y .5. 极小值74-.6.（1）1；（2）0.7.（1）142-；（2）2；（31；（4）13；（5）12；（6）42ln2-；（7）4；（8）211. 8.ln 26π+.9. 0a =，连续.10.31(232)016()1(32)16x x x f x x x ⎧-+ ⎪⎪=⎨⎪- >⎪⎩≤≤ .习题5.31.（1（2）43；（3；（4）1cos1-；（5）arctan()4e π-；（6）42ln 3-；（7）584(31)5-；（8）132ln 417；（9）2315；（10）654；（11）7cos1cos5++；（12）2；（13）336e -；（14）1；（15）11ln 222-；（16）4916；（17）311()232ππ+；（18）21ln 24322ππ--；（19）8ln 24-； （20）0；（21）1(sin1cos11)2e e +-；（22）提示：设sin .x t = 2421115323111422m m m m m I m m m m m π-⎧⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎪+-=⎨-⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪+-⎩偶数奇数. 2.（1）23；（2）0；（3）16；（4）ln 2. 4. 提示：（1）利用奇偶性；（2）定积分对积分区间的可加性.6. 4111tan 222e -+-.9. 0.习题5.41.（1）收敛22aa b +； （2）收敛 2； （3）收敛 π；（4）收敛 2； （5）发散；（6）发散； （7）2π-； （8）收敛 1-；（9）收敛 2； （10）发散. 3. 2x =为瑕点，收敛.4. 提示：令2sin x t =，利用公式20sin n tdt π⎰.习题5.51.（1）323；（2）1；（3）2e e -；（4）25(2)4a π-;（5）312π；（6）26a π；（7）238a π.2. a =.3. 23r h π.4.. 5. 0a b A ==，.7.81)27. 8. 8.9.1(28π-.10. 23((,)32a a π. 11. 800ln 2π焦耳. 12. 2214r h ρπ. 13.318rd π. 14. 21[(2)]26a b ch h a b r +++. 15.，方向由质点指向细棒中点.总习题五1.（1）发散； （2）12π-； （3）发散； （4）0； （5）4π； （6）.2. 3.yye x-. 4. 161412e --.5.（1）343；（2）1(43-；（3）34π；（4）8.7. 1). 9.22R h π.10. π.1. 14.213ah γ.15.引力大小为2G ma πρ,方向由质点指向圆环的中心.习题6.11.（1）(2,3,1)-； （2）(2,3,1)-； （3）(2,3,1)-； （4）(2,3,1)--（5）(2,3,1)--；（6）(2,3,1)--； （7）(2,3,1)---.2. 5 . 5. 0,1,2（-）.6.（1）a b ⊥；（2）a 与b 同向；（3）a 与b 同向；（4）a 与b 反向，且b ≤a .8. 1111()()()()2222MA a b MB a b MC a b MD b a =-+=-=+=- ；；；.习题6.21. 模:2；方向角:23343πππ；；；与AB反向的单位向量为1122⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭.2. 0a =或⎧⎨⎩. 3.（1）{}3,8,5；（2）{}8,0,23-；（3）{}32,52,3m n m n n m ++-. 4. (2,3,0)A -.5.（1）垂直于x 轴，平行于yoz 面； （2）指向与y 轴正向一致，垂直于xoz 面； （3）平行于x 轴，垂直于xoy 面.6.;3π;4π;3π01122a ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭.7. R αβγ=1.（1）13；（2）61-.2.（1）22；（2）200-；（3）3. 1122i j k +-.4. 43()55j k ±-. 5. 16. 6. 30.7. 8.4π. 9. 提示：a b ⋅≤a b . 10.提示：利用混合积.11.提示：此四面体体积是相应六面体体积的1563⋅.习题6.41.（1）平行于z 轴；（2）垂直于x 轴；（3）通过x 轴；（4）通过原点；（5）yoz 面；（6）过z 轴.2. 281x y z -+=.3. 230x y ++=.4. 20y z +=.5. 5122y z x ++=. 6. 2y =.7. 340x y z +--=. 8. 320x y z -+=. 9. 1.10.(0,7,0);(0,5,0)-.1.123310x y z ---==--. 2.（1）238325x y z -+-==-；（2）238x y z -=+=-. 3. 23,62,1x t y t z t =--=--=+.4.325431x y z +--==---. 5. (1,1,1).6. ϕ=.7.（1）平行；（2）垂直；（3）直线在平面上.8. 20x z --=.9. 提示：过已知直线作一平面与已知平面垂直，该平面与已知平面的交线即为所求. 31020x y z x y z -+-=⎧⎨+-=⎩. 10.提示：过已知点作平面与该直线垂直，平面与直线的交点即为所求. (5,2,4)-.11. 提示：过点P 作平面II 垂直于已知直线，并求它们的交点Q ，则P ，Q 间的距离等于P 到直线的距离d =7.12.提示：参照例题6.26. 202160y z x y +-=⎧⎨++=⎩.习题6.61.222(1)(3)(2)14x y z -+-++=.2.2222y z k x +=；2222()y k x y =+.6.（1）22340x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩；（2）222280x x y z ⎧-+=⎨=⎩. 7. 22x y +≤ax ；22x z +≤2,a x ≥0,z ≥0.8. 22x y +≤4；2x ≤z ≤4；2y ≤z ≤4. 9.（1）3sinx t y t z t == ， ， （0≤t ≤2π）；（2）10x y z θθ== ， ， （0≤θ≤2π）.总习题六1.(0,2,0). 4.5.3)-.6.15W =.7.4z =-；4min πθ=.8.{}2,1,7；S ∆=. 9.（1）103λ>-；（2）103λ<-；（3）103λ=-；（4）6λ=. 10.30.11.5c a b =+. 12.58240x y z -+-=.14.330330x z x z +-= +-=或. 15.14161928x y z +-==. 16.（1）7；（2）2310020x y x z --=⎧⎨+=⎩. 19.220,(1)z x y =-+≤1；0,y =x ≤z ；220,(1)2zx y =-+≤1,z ≥0.。
高等数学专业教材答案
高等数学专业教材答案第一章：导数与微分1.1 函数的概念与性质1.2 有界集与上下确界1.3 极限与连续1.4 导数的定义与计算1.5 常用函数的导数1.6 高阶导数与高阶微分1.7 隐函数与参数方程的导数第二章：微分中值定理与其应用2.1 罗尔中值定理2.2 拉格朗日中值定理2.3 函数单调性与极值2.4 导数的应用：函数图像的几何性质2.5 泰勒公式与泰勒展开式2.6 函数的渐近线与渐近曲线第三章：不定积分与定积分3.1 不定积分的基本性质与基本方法3.2 反常积分与收敛性3.3 定积分的定义与性质3.4 定积分的计算方法3.5 定积分的应用：几何与物理意义3.6 定积分的换元法与分部积分第四章：微分方程4.1 微分方程的基本概念与类型4.2 可分离变量的一阶微分方程4.3 齐次方程的一阶微分方程4.4 一阶线性微分方程4.5 高阶线性微分方程4.6 常系数线性微分方程与欧拉方程第五章：二重积分与三重积分5.1 二重积分的概念与性质5.2 二重积分的计算方法与应用5.3 三重积分的概念与性质5.4 三重积分的计算方法与应用5.5 曲线、曲面与曲面积分第六章：无穷级数与幂级数6.1 数项级数的概念与性质6.2 收敛级数的判别法与性质6.3 幂级数的概念与收敛半径6.4 幂级数的收敛域与展开式6.5 幂级数的运算与应用第七章：多元函数与多元函数的微分学7.1 多元函数的概念与性质7.2 偏导数与全微分7.3 多元复合函数与链式法则7.4 隐函数的导数7.5 多元函数的极值与条件极值第八章：重积分与曲线积分8.1 二重积分的概念与性质8.2 极坐标与换元法8.3 曲线积分的概念与性质8.4 Green公式与流量法8.5 曲面积分的概念与性质8.6 Stokes公式与散度定理第九章：常微分方程9.1 一阶常微分方程的基本概念与解法9.2 高阶线性常微分方程9.3 常系数线性常微分方程与欧拉方程9.4 变系数线性常微分方程与常微商高阶方程9.5 常微分方程的级数解与常值互异解第十章：向量分析10.1 向量的基本概念与运算10.2 向量场的导数与微分运算10.3 格林公式与高斯公式10.4 斯托克斯公式与调和函数10.5 曲面的参数化与曲线积分10.6 曲线与曲面积分的应用以上是《高等数学专业教材答案》的章节目录。
同济大学第六版高等数学上册课后答案全集20605
高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题1-11.设A=(-∞,-5)⋃(5,+∞), B=[-10, 3),写出A⋃B, A⋂B, A\B及A\(A\B)的表达式.解A⋃B=(-∞, 3)⋃(5,+∞),A⋂B=[-10,-5),A\B=(-∞,-10)⋃(5,+∞),A\(A\B)=[-10,-5).2.设A、B是任意两个集合,证明对偶律: (A⋂B)C=A C ⋃B C .证明因为x∈(A⋂B)C⇔x∉A⋂B⇔ x∉A或x∉B⇔ x∈A C或x∈B C ⇔ x∈A C ⋃B C,所以(A⋂B)C=A C ⋃B C .3.设映射f : X →Y, A⊂X, B⊂X .证明(1)f(A⋃B)=f(A)⋃f(B);(2)f(A⋂B)⊂f(A)⋂f(B).证明因为y∈f(A⋃B)⇔∃x∈A⋃B,使f(x)=y⇔(因为x∈A或x∈B) y∈f(A)或y∈f(B)⇔ y∈f(A)⋃f(B),所以f(A⋃B)=f(A)⋃f(B).(2)因为y ∈f(A ⋂B)⇒∃x ∈A ⋂B , 使f(x)=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B) y ∈f(A)且y ∈f(B)⇒ y ∈ f(A)⋂f(B),所以 f(A ⋂B)⊂f(A)⋂f(B).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g(y)∈X , 且f(x)=f[g(y)]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f(x 1)≠f(x 2), 否则若f(x 1)=f(x 2)⇒g[ f(x 1)]=g[f(x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g(y)=x ∈X , 且满足f(x)=f[g(y)]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射. 5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f(A))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f(x)=y ∈f(A) ⇒ f -1(y)=x ∈f -1(f(A)), 所以 f -1(f(A))⊃A .(2)由(1)知f -1(f(A))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f(A))⇒存在y ∈f(A), 使f -1(y)=x ⇒f(x)=y . 因为y ∈f(A)且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f(A))⊂A . 因此f -1(f(A))=A .6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211x y -=; 解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1,1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241xy -=; 解 由4-x 2>0得 |x|<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅). (7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)xe y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞). 7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)=lg x 2, g(x)=2lg x ;(2) f(x)=x , g(x)=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f(x)=1, g(x)=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g(x)=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x)的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时,0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数x x y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有 0ln)()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f(x)为定义在(-l , l)内的奇函数, 若f(x)在(0, l)内单调增加,证明f(x)在(-l, 0)内也单调增加.证明对于∀x1, x2∈(-l, 0)且x1<x2,有-x1,-x2∈(0, l)且-x1>-x2.因为f(x)在(0, l)内单调增加且为奇函数,所以f(-x2)<f(-x1),-f(x2)<-f(x1), f(x2)>f(x1),这就证明了对于∀x1, x2∈(-l, 0),有f(x1)< f(x2),所以f(x)在(-l, 0)内也单调增加.11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l, l)上的,证明:(1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明(1)设F(x)=f(x)+g(x).如果f(x)和g(x)都是偶函数,则F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数,即两个偶函数的和是偶函数.如果f(x)和g(x)都是奇函数,则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-F(x),所以F(x)为奇函数,即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F(x)=f(x)⋅g(x).如果f(x)和g(x)都是偶函数,则F(-x)=f(-x)⋅g(-x)=f(x)⋅g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数,即两个偶函数的积是偶函数.如果f(x)和g(x)都是奇函数,则F(-x)=f(-x)⋅g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)⋅g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果f(x)是偶函数, 而g(x)是奇函数, 则F(-x)=f(-x)⋅g(-x)=f(x)[-g(x)]=-f(x)⋅g(x)=-F(x), 所以F(x)为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数. 12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211xx y +-=; (4)y =x(x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2xx a a y -+=.解 (1)因为f(-x)=(-x)2[1-(-x)2]=x 2(1-x 2)=f(x), 所以f(x)是偶函数.(2)由f(-x)=3(-x)2-(-x)3=3x 2+x 3可见f(x)既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f(x)是偶函数.(4)因为f(-x)=(-x)(-x -1)(-x +1)=-x(x +1)(x -1)=-f(x), 所以f(x)是奇函数.(5)由f(-x)=sin(-x)-cos(-x)+1=-sin x -cos x +1可见f(x)既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f(x)是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2.(4)y =xcos x ;解 不是周期函数.(5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误!未指定书签。
天津大学线性代数答案
x4 , x1 1 1 x2 2 2 x4 , x 1 1 x , 3 2 2 4
故方程组的全部解为
[ x1 , x2 , x3 , x4 ]T [0, 1 , 1 ,0]T k[ 1, 1 , 1 ,1]T , k P . 2 2 2 2
(3) 对方程组的系数矩阵作初等行变换，有
3 1 2 1 0 2 . 有限次 A 1 2 4 初等行变换 0 1 1 3 8 2 0 0 0
) 2 3 ，所以方程组有无穷多解. 其同解方程组为 由于 r ( R) r ( R
0 0 3 2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0 r2 r1 0 r4 2 r3 3 1 1
0
1 1 7 3
0 0 2 0
0 1 0 1 3 0 1 0
0 0 0
0 0 1 0 0 1 0 1
2 1
0 0 0 2
习 题 一
1/4
——————————————————————————————————————————
3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 1 2 r2 2 r1 1、解 (1) [ A, E3 ] 2 2 1 0 1 0 r3 3r1 0 2 5 2 1 0 3 4 3 0 0 1 0 2 6 3 0 1 1 0 2 1 1 0 1 0 0 1 3 2 r 2 r 1 3 0 2 0 3 6 5 r2 5 r3 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1
高等数学教材书答案
高等数学教材书答案在学习高等数学的过程中，解答教材书中的习题是提高理解和掌握数学知识的重要途径。
然而，由于教材书给出的习题答案通常是缺失的，从而给学习者带来了一定的困扰。
为了帮助广大学习者更好地学习高等数学，本文将提供一种合适的格式，来回答高等数学教材书中习题的答案。
一、微积分1. 导数与微分1.1 函数与极限<示例1>设函数$f(x)=2x^2+x-3$，求$f(x)$在点$x=2$处的导数。
解答：首先，根据导数的定义，我们知道导数可以通过极限来定义。
因此，我们要求的导数可以表示为$f'(2)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}$。
将$x=2$代入$f(x)$的表达式中，我们得到$f(2)=2\cdot2^2+2-3=9$。
然后，我们计算$f(2+\Delta x)$，即$f(2+\Delta x)=2(2+\Deltax)^2+(2+\Delta x)-3$。
接下来，我们将这两个结果代入导数的定义中：$f'(2)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{[2(2+\Delta x)^2+(2+\Delta x)-3]-9}{\Delta x}$。
化简上式，并进行计算，我们最终得到导数$f'(2)=8$。
1.2 高阶导数<示例2>已知函数$f(x)=3x^3+2x^2+4x+1$，求$f(x)$的二阶导数。
解答：我们知道，二阶导数可以通过求一阶导数的导函数来实现。
即，我们首先要求$f'(x)$，然后再对$f'(x)$求导。
首先，根据一阶导数的定义，我们有$f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$。
将函数$f(x)$的表达式代入上式，并进行计算，我们可以得到$f'(x)=9x^2+4x+4$。
大一高等数学下册教材答案
大一高等数学下册教材答案一、导数与微分1. 函数、极限与连续在大一高等数学下册教材中，函数、极限与连续是非常重要的基础概念。
函数是一种将一个集合元素对应到另一个集合元素的规则。
极限是描述函数在某个点附近的行为，是函数能够无限接近某个值的性质。
连续是指函数在整个定义域上没有任何断裂或间断的情况。
2. 导数的定义与计算法则导数是描述函数变化率的概念，用来研究函数的局部性质。
在教材中，导数的定义通常是通过极限的概念来进行说明的。
而导数的计算法则包括常见函数的导数、复合函数的导数、四则运算的导数法则等等。
3. 高阶导数与隐函数求导高阶导数是导数的导数，它描述了函数曲线的弯曲程度。
在教材中，通常会以高阶导数来讨论函数的凹凸性和拐点等性质。
隐函数求导是将函数的自变量和因变量之间的关系式转化为求导问题，通常需要应用链式法则或者对参数进行求导。
二、微分学应用1. 泰勒展开与极大极小值泰勒展开是将函数在某个点附近用一个多项式来逼近的方法，可以用来研究函数的性质和计算近似值。
在教材中，通常会以泰勒展开来求函数的极大或极小值。
2. 曲线图形的性质和分析在大一高等数学下册教材中，曲线图形的性质和分析是一项重要内容。
通过研究函数的导数和高阶导数的性质，可以了解函数的增减性、凹凸性、极值点等信息。
3. 线性回归与误差分析线性回归是一种常见的数据分析方法，用于建立自变量与因变量之间的线性关系模型。
在教材中，通常会以最小二乘法来进行线性回归的求解，并进行误差分析，评估回归模型的拟合程度和预测能力。
三、多元函数微分学1. 二元函数的偏导数与全微分在大一高等数学下册教材中，会开始介绍多元函数的微分学。
二元函数的偏导数描述了函数沿各个独立变量的变化率，全微分描述了函数在某点附近的变化情况。
2. 多元函数的极值与条件极值多元函数的极值是在给定约束条件下，求解函数在特定区域内取得最大或最小值的问题。
在教材中，通常会通过求偏导数并解方程组的方法求解多元函数的极值。
高等数学课后答案 第八章 习题详细解答
习 题 8-11．设有一个面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布有面密度为(,)x y μμ=的电荷，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q ．解 用一组曲线将D 分成n 个小闭区域i σ∆，其面积也记为(1,2,,)i i n σ∆= .任取一点(,)i i i ξησ∈∆,则i σ∆上分布的电量(,)i i i Q μξησ∆≈∆.通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为1lim (,)(,)d ,ni i i i DQ x y λμξησμσ→==∆=∑⎰⎰其中1max{i i nλσ≤≤=∆的直径}．2. 设12231()d D I x y σ=+⎰⎰其中1{(,)11,22}D x y x y =-≤≤-≤≤；又22232()d D I x y σ=+⎰⎰其中2{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤．试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系．解 由二重积分的几何意义知，1I 表示底为1D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体1Ω的体积；2I 表示底为2D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体2Ω的体积．由于位于1D 上方的曲面223()z x y =+关于yOz 面和zOx 面均对称，故yOz 面和zOx 面将1Ω分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为2Ω．由此可知124I I =．3. 利用二重积分定义证明： (1) d ()DD σσσ=⎰⎰其中为的面积；(2) (,)d (,)d ()DDkf x y k f x y k σσ=⎰⎰⎰⎰其中为常数；(3)12(,)d (,)d (,)d ,DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中12D D D= ，1D 、2D 为两个无公共内点的闭区域.证 (1) 由于被积函数(,)1f x y ≡，故由二重积分定义得11d lim (,)lim lim .nniiii i i Df λλλσξησσσσ→→→===∆=∆==∑∑⎰⎰(2) 011(,)d lim (,)lim (,)(,)d .nni i i i i i i i DDkf x y kf k f k f x y λλσξησξησσ→→===∆=∆=∑∑⎰⎰⎰⎰(3) 因为函数(,)f x y 在闭区域D 上可积，故不论把D 怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割D 时，可以使1D 和2D 的公共边界永远是一条分割线。
高等数学习题集练习题四A_详细解答 (1)
4.+ ®
x2 a x
2 2
dx
dx 5.+x 2 a 2 x 2
x =a sin t dx= a cos tdt
x =a sin t dx= a cos tdt x t = arcsin a 2
a 2 sin 2 ta cos t + a cos t dt
2
®
t =arcsin
x a
+ asin
2
x
1 + cos 2t dt =+ 2 1 1 = (t + sin 2t ) + C 2 2 1 1 = arcsin x + sin 2 arcsin x + C 2 4 1 1 = arcsin x + ⊕ 2 x ⊕ 1 x 2 + C 2 4 1 1 = arcsin x + x 1 x 2 + C 2 2 2.+ a 2 x 2 dx
1x 15.+ 9 x 2dx x 1 = + 9 x2 dx + 9 x 2 dx x 1 1 1 d (9 x 2 ) = arcsin 3 + C1 + 2+ 9x2 3 x 1 = arcsin + 9 x 2 + C 3 3 16.+ x dx 9+x2
3
ln tan x 19.+ x sin x dx cos cos x ln tan x = + cos 2 x sin x dx cot x ln tan x = + cos 2 x dx = + cot x ln tan xd tan x ln tan x = + tan x d tan x = + ln tan xd ln tan x 1 = (ln tan x) 2 + C 2 dx 20.+ x ln x ln ln x d ln x = + x ln ln x ln d ln ln x = + ln ln x = ln | ln ln x | +C sin x 21.+ 3cos xdx 1 d cos x = + 3 cos x 2 3 = (cos x) 3 + C 2 x5 dx 22.+ (1 + x 3 ) 2 3 1 x3 = + (1 + x 3 ) 2 dx 3 = 1 x 3+ 1 3 1 3 3 + (1 + x 3 ) 2 dx + (1 + x3 ) 2 dx
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高等数学天大教材答案
高等数学是大学数学课程中的一门重要学科，它包含了微积分、线
性代数、概率统计等内容。
对于天大（天津大学）的学生们来说，掌
握高等数学的知识是非常重要的。
然而，由于课程内容繁杂，有时候
学生在学习过程中可能会遇到一些困难，需要参考教材答案来帮助自
己理解和解决问题。
以下是《高等数学》天大教材中的一些习题的答案，供学生们参考
和学习。
1. 微积分
1.1. 极限与连续
1.1.1. 习题一：
(1) 设函数\[f(x) = \begin{cases} x^2+1, & x<0 \\ 2x+3, & x \geq 0
\end{cases}\]，求极限\[\lim_{x \to 0} f(x)\]的值。
答案：由于\[x \to 0^- \]时，函数\[f(x) = x^2+1 \]；而\[x \to 0^+ \]时，函数\[f(x) = 2x+3 \]。
因此，\[\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2+1 = 1 \]，
\[\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2 \cdot 0 + 3 = 3 \]。
由左右极限相等，则
\[\lim_{x \to 0} f(x) = 1 = 3 \]。
1.1.
2. 习题二：
(1) 已知函数\[f(x) = \frac{x^2-x}{x-1} \]，求\[\lim_{x \to 1} f(x)\]的值。
答案：将函数\[f(x) = \frac{x^2 - x}{x - 1} \]进行因式分解，得\[f(x)
= \frac{x(x-1)}{x-1} = x \]。
因此，\[\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} x
= 1 \]。
1.2. 导数与微分
1.2.1. 习题一：
(1) 求函数\[f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 \]的导函数。
答案：对函数\[f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 \]逐项求导，得\[f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \]。
1.2.2. 习题二：
(1) 已知函数\[f(x) = \ln(x+1) \]，求\[f'(x) \]的值。
答案：根据链式法则，求导得\[f'(x) = \frac{1}{x+1} \]。
2. 线性代数
2.1. 行列式与矩阵
2.1.1. 习题一：
(1) 已知矩阵\[A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]，求
矩阵\[A \]的行列式。
答案：由行列式的定义可知，\[|A| = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2 \]。
2.1.2. 习题二：
(1) 设矩阵\[A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]，求矩阵\[A^T \]的值。
答案：矩阵\[A^T \]是矩阵\[A \]的转置，即将\[A \]的行变为列。
因此，\[A^T=\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\]。
2.2. 向量与空间
2.2.1. 习题一：
(1) 设向量\[a=\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix}\]，求向量\[2a \]的值。
答案：向量\[2a \]是向量\[a \]的每个分量都乘以2得到的。
因此，\[2a=\begin{bmatrix} 2 \\ -4 \\ 6 \end{bmatrix}\]。
2.2.2. 习题二：
(1) 设向量\[b=\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}\]，求向量\[3b \]的值。
答案：向量\[3b \]是向量\[b \]的每个分量都乘以3得到的。
因此，\[3b=\begin{bmatrix} 6 \\ 3 \end{bmatrix}\]。
3. 概率统计
3.1. 随机变量与概率
3.1.1. 习题一：
(1) 在一个扑克牌游戏中，从一副扑克牌中随机抽取一张牌，求抽
取一张红桃的概率。
答案：一副扑克牌中有52张牌，其中有13张红桃。
因此，抽取一
张红桃的概率为\[P(\text{红桃}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4} \]。
3.1.2. 习题二：
(1) 一次摇骰子，求出现奇数点数的概率。
答案：一颗普通的骰子共有6个面，点数为1、2、3、4、5、6。
其中有3个奇数点数（1、3、5）。
因此，出现奇数点数的概率为
\[P(\text{奇数}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]。
以上是《高等数学》天大教材中的一些习题的答案，供学生们参考。
希望这些答案能够帮助大家更好地理解和掌握高等数学的知识。
如果
还有其他问题，欢迎继续提问。
祝你在高等数学学习中取得好成绩！。