高等数学(第四版)上、下册(同济大学天津大学等编)1_1函数
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高等数学(第四版) 上、下册(同济大学 天津大学等编)1_6 函数的连续性与间断点16页PPT
在定义1 中，设x x0 x ，且x 0 ，即x x0 ， 又因为
y f (x0 x) f (x0) f (x) f (x0) f (x) f (x0) y
可 见 y 0 ， 即 为 f (x) f (x0) ， 因 此
lim y
x0
0 lim xx0
f
(x)
f
(x0 ).
高等数学(第四版) 上、下册（同济大 学 天津大学等编）1_6 函数的连续性
与间断点
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
定义 3 设函数 y f (x)在U (x0 )内有定义，如果函
数 f (x)在点 x0 左连续且右连续，即 f (x0 ) f (x0 ) f (x0 )则
称 f (x)在点 x0 连续.
例 2 讨 论 函 数
3x, x0,
f(x) 2,
x0,
4cosx, x0
在 x0处 的 连 续 性 .
解 因 为 limf(x)lim (3x)3，
x 0
x 0
limf(x)lim (4cosx)3，
x 0
x 0
又f(0)2， 虽 limf(x)3但 limf(x)f(0) 故 f(x)在
x 0
x 0
x0处 不 连 续 .
3．区间上的连续函数
（1）在开区间(a，b)内每一点都连续的函数，称为在
1-1 高等数学 同济大学 第四版 课件
o
I
x
3．函数的奇偶性: ．函数的奇偶性
设D关于原点对称 , 对于∀x ∈ D, 有 f ( − x ) = f ( x ) 称 f ( x )为偶函数 ;
y
y = f ( x)
f (− x )
-x o 偶函数 x
f ( x)
x
设D关于原点对称 , 对于 ∀x ∈ D, 有
f (− x ) = − f ( x )
∀ a , b ∈ R , 且a < b.
{ x a < x < b} 称为开区间 记作 (a , b ) 称为开区间,
o a x b 称为闭区间, { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间 记作 [a , b] o a
b
x
{ x a ≤ x < b} { x a < x ≤ b}
称为半开区间, 称为半开区间 记作 [a , b ) 称为半开区间, 称为半开区间 记作 (a , b] 有限区间
[a ,+∞ ) = { x a ≤ x }
o a
( −∞ , b ) = { x x < b}
无限区间
x o
b
x
区间长度的定义: 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度 称为区间的长度 两端点间的距离 线段的长度)称为区间的长度 线段的长度 称为区间的长度.
3.邻域: 3.邻域: 设a与δ是两个实数 , 且δ > 0. 邻域
函数的两要素: 定义域与对应法则. 函数的两要素: 定义域与对应法则
x (
(
D
对应法则f 对应法则
x0 )
f ( x0 )
自变量
W
y
)
因变量
同济大学《高等数学》(第四版)1-5节 无穷小与无穷大
0,
x → x0
∴ f ( x ) = A + α( x ).
充分性 设 f ( x ) = A + α( x ),
其中 α( x )是当x → x 0时的无穷小,
则 lim f ( x ) = lim ( A + α( x )) = A + lim α( x ) = A.
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 关于无穷大的讨论 都可归结为关于无穷小 的讨论. 的讨论
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 无穷小与无穷大是相对于过程而言的 1、主要内容: 两个定义 四个定理 三个推论 、主要内容 两个定义;四个定理 三个推论. 四个定理;三个推论 2、几点注意: 、几点注意
值f (x)都 足 等 f (x) > M, 满 不 式
x 称 数 则 函 f (x)当x →x0(或 →∞)时 无 小 为 穷 ,
作 记
x→x0
lim f (x) = ∞ (或 lim f (x) = ∞ ).
x→ ∞
特殊情形：正无穷大，负无穷大． 特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x → x0 ( x→∞ )
练习题答案
一、1、0； 3、 3、 ⇔ ； 2、 2、 lim f ( x ) = C ；
x→∞ x → ±∞
1 4、 4、 . f ( x)
1 二、 0 < x < 4 . 10 + 2
思考题
若 f ( x ) > 0 ，且 lim f ( x ) = A，
x → +∞
问：能否保证有 A > 0 的结论？试举例说明 的结论？试举例说明.
思考题解答
不能保证. 不能保证
x → x0
∴ f ( x ) = A + α( x ).
充分性 设 f ( x ) = A + α( x ),
其中 α( x )是当x → x 0时的无穷小,
则 lim f ( x ) = lim ( A + α( x )) = A + lim α( x ) = A.
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 关于无穷大的讨论 都可归结为关于无穷小 的讨论. 的讨论
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 无穷小与无穷大是相对于过程而言的 1、主要内容: 两个定义 四个定理 三个推论 、主要内容 两个定义;四个定理 三个推论. 四个定理;三个推论 2、几点注意: 、几点注意
值f (x)都 足 等 f (x) > M, 满 不 式
x 称 数 则 函 f (x)当x →x0(或 →∞)时 无 小 为 穷 ,
作 记
x→x0
lim f (x) = ∞ (或 lim f (x) = ∞ ).
x→ ∞
特殊情形：正无穷大，负无穷大． 特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x → x0 ( x→∞ )
练习题答案
一、1、0； 3、 3、 ⇔ ； 2、 2、 lim f ( x ) = C ；
x→∞ x → ±∞
1 4、 4、 . f ( x)
1 二、 0 < x < 4 . 10 + 2
思考题
若 f ( x ) > 0 ，且 lim f ( x ) = A，
x → +∞
问：能否保证有 A > 0 的结论？试举例说明 的结论？试举例说明.
思考题解答
不能保证. 不能保证
高等数学同济教材目录
高等数学同济教材目录1. 函数与极限1.1 实数集与数列1.2 函数的概念与性质1.3 三角函数与反三角函数1.3.1 三角函数的定义与基本性质1.3.2 反三角函数的定义与基本性质1.4 一元函数的极限1.4.1 函数极限的概念1.4.2 极限存在准则1.4.3 极限运算法则1.5 无穷小与无穷大1.5.1 无穷小的概念与性质1.5.2 无穷大的概念与性质1.6 极限的计算方法1.6.1 极限的四则运算法则1.6.2 复合函数的极限1.6.3 极限存在准则2. 导数与微分2.1 函数的导数与不连续点2.2 导数的概念与性质2.3 基本导数公式2.4 导数的四则运算法则2.5 高阶导数与莱布尼茨公式2.6 隐函数与参数方程的导数2.7 微分的概念与性质2.8 微分中值定理与泰勒公式2.9 函数的单调性与曲线的凹凸性3. 微分中值定理与极值问题3.1 弗格雷定理3.2 罗尔定理3.3 拉格朗日中值定理3.4 柯西中值定理3.5 泰勒公式的拉格朗日型余项3.6 函数的单调性与曲线的拐点3.7 函数的最值与最值问题4. 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 基本积分表4.3 不定积分的四则运算法则4.4 第一类换元积分法4.5 第二类换元积分法4.6 部分分式分解法4.7 有理函数的积分4.8 三角函数的积分4.9 格式换元法5. 定积分及其应用5.1 定积分的概念与性质5.2 牛顿-莱布尼茨公式与定积分的计算 5.3 反常积分5.4 定积分的应用5.4.1 几何应用5.4.2 物理应用5.4.3 统计应用6. 微分方程6.1 微分方程的基本概念6.2 可分离变量的微分方程6.3 齐次线性微分方程6.4 一阶线性微分方程6.5 高阶线性常微分方程6.6 非齐次线性常微分方程6.7 变量可分离的变阶微分方程6.8 可化为标准形式的方程6.9 常系数齐次线性微分方程6.10 常系数非齐次线性微分方程以上是《高等数学同济教材》的目录内容。
同济大学 高等数学 第一册 函数 课件
证明: 证明: 任 x1， 2 ∈(0,+∞ 且 1 < x2， ) x 取 x 则
f ( x1 ) − f ( x 2 )
= x −x
2 1
2 2
= (x1 − x2 )( x1 + x2 )< 0
∴ f ( x1 ) < f ( x 2 )
∴ y = x 2在(0， ∞ )单调增加。 + 单调增加。
x 2 +1
2
y = 1 − x2
y = eu , u =
u
x2 + 1
2
y = e , u = v , v = x + 1.
注意：一个函数要作为复合函数， 注意：一个函数要作为复合函数，必须 仅仅依赖 选择合适的中间变量 中间变量u，使得y仅仅 选择合适的中间变量 ，使得 仅仅依赖 仅仅依赖于x. 于u，而u仅仅依赖于 ， 仅仅依赖于
用来描述某一点的附近。 用来描述某一点的附近。
数集 { x x − a < δ }称为点 a的 δ 邻域 ,
表示以点 a为中心 、以δ为半径的开区间 . δ δ
x a+δ 记作 U ( a , δ ) = { x a − δ < x < a + δ }. a
a−δ
点 a的去心的 δ 邻域 ,
记作 U (a , δ ) = { x 0 < x − a < δ }.
y
y = f ( x)
y
f ( x2 )
y = f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
o
I
x
图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 单调减少函数的图形从左到右往下降. 单调减少函数的图形从左到右往下降.
f ( x1 ) − f ( x 2 )
= x −x
2 1
2 2
= (x1 − x2 )( x1 + x2 )< 0
∴ f ( x1 ) < f ( x 2 )
∴ y = x 2在(0， ∞ )单调增加。 + 单调增加。
x 2 +1
2
y = 1 − x2
y = eu , u =
u
x2 + 1
2
y = e , u = v , v = x + 1.
注意：一个函数要作为复合函数， 注意：一个函数要作为复合函数，必须 仅仅依赖 选择合适的中间变量 中间变量u，使得y仅仅 选择合适的中间变量 ，使得 仅仅依赖 仅仅依赖于x. 于u，而u仅仅依赖于 ， 仅仅依赖于
用来描述某一点的附近。 用来描述某一点的附近。
数集 { x x − a < δ }称为点 a的 δ 邻域 ,
表示以点 a为中心 、以δ为半径的开区间 . δ δ
x a+δ 记作 U ( a , δ ) = { x a − δ < x < a + δ }. a
a−δ
点 a的去心的 δ 邻域 ,
记作 U (a , δ ) = { x 0 < x − a < δ }.
y
y = f ( x)
y
f ( x2 )
y = f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
o
I
x
图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 单调减少函数的图形从左到右往下降. 单调减少函数的图形从左到右往下降.
高等数学同济第四版笔记精编版
第二章 导数与微分.....................................................................................................................23
1
一、导数概念.........................................................................................................................23 1.1、导数定义................................................................................................................23 1.2、常用函数的导数....................................................................................................23 1.3、曲线的切线方程和法线方程 ................................................................................ 24 1.4、函数可导性与连续性的关系 ............................................................................................................................................................................................
1
一、导数概念.........................................................................................................................23 1.1、导数定义................................................................................................................23 1.2、常用函数的导数....................................................................................................23 1.3、曲线的切线方程和法线方程 ................................................................................ 24 1.4、函数可导性与连续性的关系 ............................................................................................................................................................................................
高等数学(第四版) 上、下册(同济大学 天津大学等编) 电子教案-1_2 极限的概念-电子课件
2n 2 2n 1
成立.
发散数列 1n 也可能有界， 1 n 1 ；
无界数列 (1)n 2n 一定发散；
有界数列
1 2
1
(1)n
不
一
定
收
敛
，
1 2
1
(1)n
1，但当
n
为奇数时，
1 2
1
(1)
n
0 ；当
n
为偶数时，
1 2
1
(1)n
1.
综上可知：收敛数列必有界.数列有界是数列收敛的
2x 1 7 ，即 m f (x) M .此处 f x 2x 1 在x 3 处有定义，且当 x 3时， f x 的极限值恰好是f 2 .
例 8 由表达式
y
f
(x)
1
x, 0, x
x 0
0
1
的确定的函数，如图 1-26 所示.
O
1
x
图21-526
当 x 0时， f (x) 1 x，则lim f (x) lim(1 x) 1.
x2 x2
求 lim f (x), lim f (x),并由此判断lim f (x) 是否存在.
x2
x2
x2
解 lim f (x) lim (2x 1) 5, lim f (x) lim (x2 1) 5，
x2
x2
x2
x2
即 f (2 ) f (2 ) 5, 由函数 f (x) 在x 2 处极限存在的充要
自变 x x0的变化过程中，函数值 f (x)无限接近于 A，就
称 A 是函数 f (x)当
x
x0
时
极
限
.
记
同济版 高等数学(上册) 第一章课件
第一章 函数、连续与极限
正弦函数
y sin x
y sin x
19
1. 基本初等函数
第一章 函数、连续与极限
余弦函数
y cos x
y cos x
20
1. 基本初等函数
第一章 函数、连续与极限
y tan x
的定义域是
上是奇函数（见图1-24）； y cot x 上是奇函数（见图1-25）；
a A 表示 a 不是集 A 的元素（读作 a 不属
于 A ）. 集合按照元素的个数分为有限集和无限集 ，不含任何元素的 集合称为空集，记为 .
3
集合之间的关系及运算
定义 . 设有集合
第一章 函数、连续与极限
A, B ,
记作
若
x A 必有
x B , 则称 A A B.
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 若
注： 在本书中所讨论的数集除特别说明外均为实数集.
5
1. 集合及其运算 集合的基本运算有四种：并、交、差、补. 设 A, B 是两个集合.
第一章 函数、连续与极限
由同时包含于 A 与 B 的元素构成的集合（见图 1-2），称为 A 与 B 的交集（简称交），记作 A B ，即 A B {x | x A 且 x B} ； 由包含于
y
y x (α 是常数) Z y x 当 时， 的定义域是 R ； 当 Z 时，y x 的定义域是 R\{0}
(１) 幂函数: （见图1-17）；
1 1 当 时，y x 2 x 的定义域是 [0, ) ； 1 21 1 当 时，y x 2 的定义域是 (0, ) , 2 x