勾股定理练习题整理及答案解析

勾股定理一、勾股定理及证明1. 勾股定理基础2. 简单的计算3. 几何图形中的计算4. 勾股定理的几何证明二、勾股定理的逆定理三、勾股定理的应用勾股定理及证明1. 勾股定理基础1. 【易】（初二数学下期末复习）在Rt△ ABC 中， C 90 ，a 、b 、c 分别表示A、B、C 的对边，则下列各式中，不正确的是（A．b2c2B．c2 a2 b2C．a c2b2D．a2 b2答案】D2. 【易】（2010 实验初二上期中）下列说法正确的是（）A．若a、b、c是△ABC 的三边，则a2 b2 c2B．若a、b、c是Rt△ABC 的三边，则a2b2c2C．若 a 、b 、c是Rt△ ABC的三边，C 90 ，则a2 b2 c2D．若 a 、b 、c是Rt△ ABC的三边，A 90 ，则a2b2c2 【答案】C3. 【易】（沈阳）在下列说法中正确的是（）A．在Rt△ ABC中，AB2 BC 2 AC2B．在Rt△ ABC中，若a 3，b 4，则c 5C．在Rt△ABC 中，两直角边长都为15，则斜边长为15 2D．在直角三角形中，若斜边长为10 ，则可求出两直角边的长【答案】C4. 【易】（2010 年北京西城外期中）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形【答案】B5. 【易】（深圳中学初二上期中）把直角三角形的两直角边同时扩大到原来4 倍，则其斜边扩大到原来的（）倍，所得的三角形仍为直角三角形A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B6. 【易】直角三角形的两直角边同时扩大为原来的2 倍，其斜边扩大到原来的（）A．2倍B．3倍C．4倍D．5倍【答案】A7. 【易】（人大附中2013 年第二学期期中初二年级数学练习）某校办工厂要制作一些等腰三角形的模具，工人师傅对四个模具的尺寸按照底长、腰长和底边上高的顺序进行了记录，其中记录有错误的是（）A．10，26，24 B．16，10，6 C．30，17，8 D．24，13，5【答案】A8. 【易】（2013 年理工分校第二学期初二数学期中练习）在Rt△ABC中，C 90 ，周长为60，斜边与一条直角边之比为13:5 ，则这个三角形三边长分别是（）A．5、4、3B．13、12、5 C．10、8、6 D．26、24、10【答案】D9. 【易】（2013 年理工分校第二学期初二数学期中练习）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A．8m B．10m C．12m D．14m【答案】C【解析】解：由题意得，AB为旗杆的高，AC AB 1，BC 5米．已知AB BC ，根据勾股定理得AB AC2BC2AB 1 225 解得AB 12 米10. 【易】美丽的人造平面珊瑚礁图案．图中的三角形都是直角三角形，图中的四边形都是正方形．如果图中所有的正方形的面积之和是980cm2．问：最大的正方形的边长是【答案】14cm 图中所有正方形的面积之和等于 5 倍的最大的正方形的面积，980÷5=196cm211. 【易】（2013 年第二学期五十七中初二年级数学学科期中试卷）已知x 2 y 3 0，如果以x ，y的长为直角边作一个直角三角形，那么这个直角三角形的斜边长为（）A．5 B．5 C．7 D．15答案】C12. 【易】（2013 年理工分校第二学期初二数学期中练习）如图，在四边形ABCD 中，AB BC2，CD 3，AD 1，且ABC 90 ，试求A的度数．【答案】连结AC ，在Rt△ABC 中， B 90 ，AB BC 2，∴ BAC 45 ，AC2 AB2 BC2 8 ，2 2 2∴ AC2 AD2 CD 2，∴ CAD 90 ，BAD BAC CAD 13513. 【易】（2013 年第二学期八年级数学学科期中统练试卷）如图所示的一块地，已知AD 4m，CD 3m，AD⊥DC，AB 13m，BC 12m ，求这块地的面积．【答案】24【解析】连接AC在△ ACD 中，D 90 ，AD 4m ，CD 3m ，∴ AC 5，AB2 AC2 BC2，∴ ACB 90 ，∴ S S△ ABC S△ ACD 12 34 2414. 【易】看下列两组勾股数⑴a b c⑵a b c345 4 35512136810724258151794041102426160611235371从以上的勾股数的表中，你发现了什么规律？1 2 1 2 【答案】所给的勾股数（a，b ，c ），当a为奇数时，b c 1，b （a2 1），c （a2 1）；221 2 1 2 当a为偶数时，b c 2 ，b （a2 4），c （a24）4415. 【中】（江苏省竞赛题）对如下的3个命题: 命题1：边长为连续整数的直角三角形是存在的．命题2：边长为连续整数的锐角三角形是存在的．命题3：边长为连续整数的钝角三角形是存在的．正确命题的个数为（）．A．0 B．1 C．2 D．3答案】D3，4，5；4，5，6；2，3，4 的三角形显然存在，且分别为直角、锐角、钝角三角形．16. 【中】（3,4,5）是一组最简单的勾股数，由此提出下列问题⑴ 三边长为连续整数的直角三角形有多少个？⑵ 三边长为连续整数的钝角三角形存在吗？如果存在，有多少个？⑶ 三边长为连续整数的锐角三角形存在吗？如果存在，有多少个？【答案】三边长为连续整数的直角三角形是存在的，并且只有一个；三边长为连续整数的钝角三角形也只有一个，它的三边长为2,3,4 ；三边长为连续整数的锐角三角形有无数个.18. 【中】（绵阳市中考题）若a 、b 、c是直角三角形的三条边长，斜边 c 上的高的长是h，2 2 2给出下列结论：①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以a，b，c的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a b，c h，h 的长为边的111 三条线段能组成直角三角形；④以1，1，1的长为边的三条线段能组成直角三角形. 其abh中所有正确结论的序号为 _______ .【答案】②③④ （ a b）2 a b 2 ab c，即a b c2. 简单的计算19. 【易】一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为________________【答案】6，8，1020. 【易】（2012 昆山一模）一个直角三角形的两边长分别为 4 与5，则第三边长为（）A．3 【答案】C B．41C．41或3D．不确定21. 【易】在Rt△ ABC中， C 90 ，若a11，c61 ，则b （）A．63B．60C．48D．5817. 中】在锐角三角形中，已知某两边1，b 3，那么第三边的变化范围是（）．A．2 c 4 B．2< c≤3 C．2< c< 10 D．8<c< 10x答案】 D 设第三边长为x,则1xx，1212x23232x2.答案】B6 55【易】 若直角三角形中，有两边长是 12和 5 ，则第三边长的平方为（ ） A ．168 B ． 169或119 C ．13或 15 D ． 15 【答案】 B易】（ 2013 年黔西南州） 一直角三角形的两边长分别为答案】 D【易】（2010年北京月坛期中） 在△ABC 中， C 90 ，若AC 3，BC 5，则AB （） A ． 34 B ． 4C ． 20D ．都不对【答案】 A易】 已知，三角形的三边长为 6，8，10 ，则这个三角形最长边上的高是（）A ． 10 【答案】 DB ． 8C ． 2.4D ． 4.8【易】（2010 年北京文汇期中） 在△ABC 中，AB 15 ，AC 20 ，BC 边上的高 AD 12，则 BC 的长为（ ）A ． 25B ． 7C ． 25或7D ．不能确定【答案】 C【易】在 △ABC中，AB 12cm ，BC 16cm ， AC 20cm，则 △ ABC 的面积是 （ ）2A ． 96cmB ． 2120cmC ． 2160cm2D ． 200cm 2【答案】 A【易】（ 2013 年乐亭县一模） 已知直角三角形的两直角边的长恰好是方程 x 2 5x 6 0的两根，则此直角三角形的斜边长为（ ） A ． 3 B ． 3C ． 13D ． 5【答案】 C【易】（安徽省中考题）如图，在△ ABC 中， AB AC 5，BC 6，点M 为BC 的中 点， MN ⊥ AC 于点 N ，则 MN 等于（ ）．答案】 C 【易】（北京市西城区 2013 学年度第二学期期末试卷八年级数学） 如图， 每个小正方形 的边长为 1， △ ABC 的三个顶点 A ， B ， C 在格点上，那么三边 a ，b ，c 的大小关系是（ ）22.23.24.25. 26. 27.28.29.30. 3 和 4．则第三边的长为 （A ．5B ． 7C ． 5D ． 5 或 7A ．B ．C ．12D ．165A．a c b B．a b c C．c b a D．c a b 【答案】D31. 【易】（2013山东滨州中考）在△ABC 中，∠C 90 ，AB 7，BC 5，则边AC 的长为．【答案】 2 632. 【易】（2010年北京四中期中）如果直角三角形的三边长为10、6、x ，则最短边上的高为____________ ．【答案】8或1033. 【易】（北京西城外国语学校2011 初二数学期中）三角形三条边长分别为8，15 ，17，那么最短边上的高是_______________________ ．【答案】1534. 【易】（初二数学下期末复习）若正方形的面积为18cm2，则正方形对角线长为_____ cm 。

【答案】635. 【易】（2011 深圳中学初二上期末）直角三角形的两直角边的长分别是5和12，则斜边上的高为__________ ．【答案】601336. 【易】如图，已知CD是Rt△ ABC 的斜边上的高，其中AD 9cm，BD 4cm ，那么CD 等于cm ．【答案】637. 【易】在Rt△ ABC中，C 90°，a 5，b 12，则c ____________ ．【答案】1338. 【易】（初二上期中模拟）在Rt△ ABC 中，C 90 ，其中a 6，b 8，则c ____________ ．【答案】1039. 【易】（2010 年北京七中期中）已知直角三角形的两直角边长分别为3cm 和5cm ，则第三边长为______40. 【易】求图中直角三角形中未知的长度：b _________ ．【答案】1241. 【易】（巴中市二○一三年高中阶段教育学校招生考试数学试卷）若直角三角形两直角边长分别答案】34cm为a、b ，且满足a26a 9 b 4 0 ，则该直角三角形的斜边长为答案】542. 【中】（初二数学下期末复习）一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2 ，则斜边的长为（）A．4 B．8 C．10 D．12【答案】C2 43. 【中】（初二期末综合练习（三））已知一直角三角形的木三边的平方和为1800cm ，则斜边长为（）A．80cm B．30cm C．90 cm D．120cm【答案】B44. 【中】（初二上期中模拟）已知直角三角形ABC 中，C90 ，AC 6，BC 8 ，现将△ ABC 绕点B 旋转90，得△DBE ，其中A 的对应点为 E ，则AE 的长为（）A．20B．10 2C．20 2D．10答案】B45. 【中】一直角三角形的两边长是3和5 ，则第三边边长的平方是_________ ．【答案】34 或1646. 【中】（2010 年北京文汇期中）三角形的两边长分别为3和5 ，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是_______ ．【答案】34 或447. 【中】（北京市第三十五中学2011 学年度第二学期期中初二）若直角三角形的两边长分别为6cm和8cm ，则第三边长为 _________________ ．【答案】10 或 2 748. 【中】（2010 年北京五中期中）有一个直角三角形的两边为 4 、5 ，要使三角形为直角三角形，则第三边等于_______ ．49. 【中】（2010年北京鲁迅期中）若一个直角三角形的两边长分别为12和5 ，则此三角形的第三边长为______ ．【答案】13 或11950. 【中】（初二下期末综合复习）已知直角三角形的两边长x 、y 满足x2 4 y2 5y 6 0 ，则第三边长为_____________答案】3或41【答案】 2 2 或13 或 551. 【中】在△ ABC中，AB 15，AC 13，高AD 12，则三角形的周长是_______________ ．【答案】32或4252. 【中】已知直角三角形的三边长为6、8、x ，则以x为边的正方形的面积为 _________ ．【答案】28 或10053. 【中】（2013 年清华附中初二第二学期期中试卷数学）如图，在△ ABC中，CE平分ACB ，CF 平分ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM 5，则CE2 CF 2．【答案】10054. 【中】（初二周测）在Rt△ABC中，C 90 ，AB BC AC 24cm，AB 10cm，则S ABC 为（）A．12cm2B．16cm2C．20cm2D．24cm2【答案】D55. 【中】（2010年北京七中期中）在Rt△ ABC ，C 90 ⑴已知a :b 3: 4 ，c 10 ，求a ，b的值⑵已知 b 6 ，A 45 ，求a，c长度【答案】⑴∵ Rt△ ABC ，C 90 设 a 3k ，b 4k22∴ c a b 5k 10∴ k 2∴ a 6 ，b 8⑵ Rt△ ABC ，C 90 ， A 45∴ B A 45∴ a b 6 ，c 6 256. 【中】（2012 年全国初中数学联赛题） 已知直角三角形的边长均为整数， 周长为 30，求 它的斜边长 .答案】设直角三角形三边长分别为a 、b 、c( a ≤ b<c ), 则a b c 30 ，由 a ≤b<c 得30 a b c 3c ， c 10,由 a +b>c 得 30 a b c2c ， c 15,∵c 为整数，∴ 11≤ c ≤14.∵ a 2 b 2 c 2 ，把 c 30 a b 代入并化简得 ab30(a b)450 0∴ 30 a 30 b 450 2223252 .∵ a 、b 均为整数，且 a ≤ b ，∴只可能是a5解得 b 12，从而 c =13.57. 【中】 已知：线段 m 、 n m n n 2（保留作图痕迹，不要求写作法和证明，但应在图中标示各线段的长并写明结论）答案】作法，以线段 n 一端点为圆心，以 m 长为半径作圆，仍过此端点作关于线段 n的垂线，与圆交于两点，任意连接一点与线段 n 的另一端点即为所求3. 几何图形中的计算58. 【易】如图，一块直角三角形的纸片， 两直角边 AC 6cm ，BC 8cm ，现将直角边 AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 等于（ ）30 a 52 230 b 2 32，求作：线段 l ，使得 l 2 m 2A ． 2cm 【答案】 BB ． 3cmC ． 4cmD ． 5cm59. 【易】 （2013 年绥化市初中毕业学业考试数学试卷 ）如图，在 Rt △ ABC 中， C 90 ，AC 3，BC 1， D 在AC 上，将△ADB 沿直线 BD 翻折后，点 A 落在点E 处，如 果 AD ED ，那么 △ ABE 的面积是（A ．1 【答案】 AB ． 3D ．60. 【易】如图， △ABC 中， B 90 ，两直角边各边的距离相等，则这个距离是（ ）AB 7，BC 24，三角形内有一点 P 到61. 【易】（第 18届江苏省竞赛题）如图，梯子 AB 斜靠在墙面上， AC ⊥BC ，AC BC ， 当梯子的顶端 A 沿 AC 方向下滑 x 米时，梯子 B 沿CB 方向滑动 y 米，则 x 与 y 的大小关系是（ ） A. x yB. x yC. x yD.不确定 【答案】选 B ，设 ACBCa 米， 由勾股定理得22aa(a x)2 (a y)2 ，化简得 2a （x y)22xy0，x y .62. 【易】 （2013 年理工分校第二学期初二数学期中练习 ）如图，一个机器人从 A 点出发， 拐了几个直角的弯后到达 B 点位置，根据图中的数据，点 A 和点 B 的直线距离是答案】 1063. 【易】（2013 年资阳）如图，点 E 在正方形 ABCD 内，满足 则阴影部分的面积是（ ） 形的面积是（ ）65. 【易】 （2012 年泰安市中考题 ）如图，在△ ABC 中，∠ ABC 45 °， CD ⊥ AB 于 D 点，BE ⊥ AC 于E 点，F 为 BC 中点， BE 与DF 、DC 分别交于点 G 、H ， ABE CBE⑴ 求证： BH AC;⑵ 求证 : BG 2 GE 2 EA 2 ． 【答案】⑴ 证明△ DBH ≌△ DCA ．⑵ EC EA ，BG CG ， 代换即可．66. 【易】（北京三帆中学 2012 初二数学第二学期期中） 直角三角形纸片的两直角边长分别 为6 ， 8 ，现将 △ ABC 如图那样折叠，使点 A 与 B 重合，折痕为 DE ，则 CE : BE 的值 为（ ）A ．1 【答案】 BB ． 3C ．4D ．5AEB 90 ，AE 6，BE 8 ，64.A ． 48 【答案】 CB ． 60C ． 76D ． 80易】（房山区 2012 学年度第一学期终结性检测试卷）图1 中的字母 B 所代表的正方A ．12 【答案】 CB ． 13C ． 144D ．194A ． 2 ，0B ． 5 1，0C ． 10 1，0D ． 5 ，0答案】67. 【易】 如图，小方格都是边长为 1 的正方形，则四边形 ABCD 的面积是（ ）68. 【易】（2013 年郑州模拟） 如图，在△ABC 中，AB 3，AC 4，BC 5，P 为边 BC 上 一动点，PE AB 于E ， PF AC 于F ， M 为EF 中点，则 AM 的最小值为（ ）A ． 1B ． 1.2C ． 1.3D ．1.5【答案】 B69. 【易】（2010 年初一下两部联考） 如图，如果半圆的直径恰为直角三角形的一条直角边， 那么半圆的面积为（ ）2 2 2 2 A．4πcm B ． 6πcm C ． 12πcm D ． 24πcm【答案】 B70. 【易】 如图所示， 直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为S 2 、 S 3 的关系是（）A ． S1 S2S 322B ． S 1 S 2 S32C ． S 1 S 2 S3D ． S 1 S 2S 3【答案】 A71. 【易】（ 2012 年咸丰县二模）如图，已知在Rt △ ABC 中， ACB 90 ， AB 10 ，分别以 AC 、 BC 为直经作半圆，面积分别记为 S1、S2，则 S 1 S 2 的值等于（）A ． 8 πB ． 16πC ． 25 πD ． 12.5π答案】 D72. 【易】（ 2012年黔东南州）如图，矩形 ABCD 中， AB 3，AD 1， AB 在数轴上，若 以点 A为圆心，对角线 AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于 M ，则点 M 的坐标为 （）A ．25 7 B ．C ．D ．25A ． 25 【答案】 BB ． 10C ． 9D ． 8.5S 1、S2 、 S3，则 S1、答案】C73. 【易】（深圳中学初二上期中）如图，三个正方形围成一个直角三角形，81、225 分别为所在正方形的面积，则图中字母所代表的正方形的边长是_________________【答案】1274. 【易】（沈阳）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC 6，BC 5 ，将四个直角三角形中边长为 6 的直角边分别向外延长一倍，得到图 2 所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是_____________________________________ ．【答案】7675. 【易】（2011 深圳中学初二上期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为13 厘米，则图中所有正方形的面积之和为平方厘米．【答案】50776. 【中】（2013年六合区一模）如图，直线l 上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则 b 的面积为_______________【答案】777. 【中】（2011 深圳中学初二上期末）如图，在平面上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积从左到右依次是a，b， c ，则正放置的四个正方形的面积之和为（可用a，b，c表示）．【答案】 a c78. 【中】（2011 深圳中学初二上期末）如图，在△ABC 中，AD BC ，BAC 45 ，BD 2 ，CD3，则△ABC 的面积为__________________ ．【答案】1579. 【中】（2012年第二学期初二数学期中）如图，已知△ABC 中，ABC 90 ，AB BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线I1，I2，I3上，且I1 ，I 2之间的距离为2，I2 ，I3之间的距离为3，则AC 的长是（）B．2 5 C．4 2 D．7 A．2 17【答案】 A86.80. 【中】（北京一零一中 2012 年第二学期期中考试初二）图直线为对称轴的轴对称图形， 剪拼成正方形的过程，则图 BAD 90 ，AB 1中BC 的长为（1 中的“箭头”是以 AC 所在2．图2到图 4 是将“箭头”沿虚线 ） 81. 82. 83. 84. 85. A ．1 B ．C．D ． 2 5答案】 D【中】如图，在四边形 ABCD 中，AB BC ，AB 的面积为 30cm 2 ，求 AD 的长． 答案】 AD 13cm中】 已知：如图， ADC 60 ， BC答案】 DB 14 ， 3cm ，BC 4cm ，AC DC ，△ ADCBD 是Rt △DAB 和 Rt △ DCB 的公共边，2cm ， AD 5 3cm ，求 DB 、 DC 的长． DC 8 3 （补全三角形）A 、 C 是直角，【中】已知在 △ABC 中， AD 、AE 分别是 BC 边上的高和中线， AB 9cm ，AC 7cm ， BC 8cm ，求 DE 的长．答案】 DE 2【中】（ 2012 年第二学期初二数学期中）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC 6cm ，BC 8cm AB 上，且与 AE 重合， ，现将直角边 AC 沿 CAB 的角平分线 AD 折叠， 求出 CD 的长．使它落在斜边答案】 CD3cm中】 如图， ABC 都为直角）BC 长为 3， AB 长为 4， AF 长为 12 ，求正方形的面积． 其中 FAC 和答案】 S 正方形 FCDE 169【中】 已知两个全等的直角三角形纸片点F 在BC 上， AB 与EF 交于点 G.AB DE 4 ．⑴求证： △ EGB 是等腰三角形； ⑵若纸片 DEF 不动，问 △ ABC 绕点 以 ED 为底的梯形（如图⑵） ABC 、 DEF ，如图⑴放置，点 C EFB 90 ， E ABCF 逆时针旋转最小 ．求此梯形的高．B 、 D 重合，30 ，度时，四边形 ACDE 成为答案】⑴略⑵ 30 ； 3 3 287. 【中】如图所示，螺旋形是由一系列直角三角形组成，其中OA0 A0A1 1 ，S n 表示第n个三角形的面积。