数学卷·2018届辽宁省沈阳二中高一下学期期中考试(2016.05)
沈阳二中2015—2016学年度下学期期中考试高一（18届）数学试题命题人： 高一数学组 审校人： 高一数学组说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷 （60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．数据a 1，a 2，a 3，…，a n 的方差为s 2，则数据2a 1,2a 2,2a 3，…，2a n 的方差为( )A.s 22 B ．s 2 C ．2s 2 D ．4s 22.如图所示的程序框图中的错误是( ) A ．i 没有赋值B ．循环结构有错C ．s 的计算不对D ．判断条件不成立3..已知点A(1,1) ,B(5,3) ,向量绕点A 逆时针旋转2π到的位置,则点C 的坐标为( ) A.(-1,5) B.(1,-5) C.(-4,2) D.(2,-4) 4．函数)42sin(log 21π+=x y 的单调减区间为（ ）A ．)(],4(Z k k k ∈-πππB ．)(]8,8(Z k k k ∈+-ππππ C ．)(]8,83(Z k k k ∈+-ππππD ．)(]83,8(Z k k k ∈++ππππ5．任取一个三位正整数N ，对数log 2N 是一个正整数的概率是( )A.1225B.3899C.1300D.14506.如图所示，沿田字型路线从A 往N 走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，求经过点C 的概率 ( ) A.21 B. 23 C. 43 D.317. 若将函数()t a n 04y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度后，与函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，则ω的最小值为( )A ．16B.14C.13D.128.口袋内有一些大小相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄 球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概 率为( ) A.0.7B ．0.5C ．0.3D ．0.69.已知21sin sin ,sin cos 3x y u x x +==+则的最小值是（ ） A ．19- B. -1 C. 1 D. 54）关系是（的大小角，则是锐角三角形的两个内，上是单调递增。
已知）），且在（，（满足上的偶函数定义在)(cos ),(sin 2014,20130)()(2)1()(.10βαβαf f x f x f x f x f R ≠-=+以上情况均有可能..)(cos )(sin .)(cos )(sin .)(cos )(sin .D f f C f f B f f A βαβαβα=〈〉11.已知菱形ABCD 的边长为2 ,0120=∠BAD ,点E,F 分别在边BC,DC 上,λ=,μ=.若32,1-=⋅=⋅,则=+μλ ( ) A.21 B.32 C.65 D.12712.已知向量,,2=⋅== ,0)2()(=-⋅-,的最小值为( )A.237- B.213- C.23 D.27第Ⅱ卷 （90分）二、 填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则向量a 与b 的夹角的取 值范围是_____________________14.200170cos 1370cos 280cos 100sin 21---的值为_____________15．在O A B ∆中，已知OB OD OA OC 21,41==，AD 与BC 交于点M ，设==,，以a 和b 为基底表示向量OM 的表达式是__________________. 16.已知45)cos 1)(sin 1(=++t t ,则t t cos 1sin 1+的值为________________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）平行？与为何值时，垂直？与为何值时，，的夹角为与已知d c m d c m ba m db ac b a b a)2()1(3,5360,2,30-=+===18. (本小题满分12分）已知函数)sin()(ϕω+=x A x f (A>0,ω>0,22πϕπ<<-)的图像与x 轴的一个交点为)0,6(π-，与此交点距离最短的最高点坐标是（)1,12π。
(1)求函数f(x)的表达式。
(2)求方程f(x)=a (-1<a<0)在]2,0[π内的所有实数根之和。
19.（本小题满分12分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重 量在[80,85)的有几个？(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各 有1个的概率．20.（本小题满分12分）已知A 、B 是单位圆O 上的动点，且A 、B 分别在第一、二象限．C 是圆O 与x 轴正半轴 的交点，△AOB 为正三角形．记∠AOC ＝α.(1)若A 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛54,53，求αααα22sin 1cos sin cos 3++-的值； (2)求2BC 的取值范围．Yx21. (本小题满分12分)欲修建一横断面为等腰梯形(如图1)的水渠，为降低成本必须尽量减少水与渠壁的 接触面，若水渠横断面面积设计为定值S ，渠深h ，则水渠壁的倾角α(0°<α<90°) 应为多大时，方能使修建成本最低?22.(本小题满分12分）已知a =（cos α，sin α）,b =（cos β,sin β），a 与b 之间有关系|k a +b |=3|a －k b |， 其中k>0，（1）用k 表示a ·b ;（2）求a ·b 的最小值，并求此时a ·b 的夹角的大小。
沈阳二中2015——2016学年度下学期期中考试高一（18届）数学试题一、选择题（每题5分，共60分）DAABC BDAAB CA二、填空题（每题5分，共20分）13. [π3，π] 14. 1 15.7371+ 16. 1510234--三、解答题17.解: (1)1429=m ………………………………………………………….5 (2)59-=m (10)18.解:（1）依题意A=1 ,πππ=⎪⎭⎫⎝⎛+=6124T ,所以2=ω (3)又∵0)6(=-πf ∴062sin =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-ϕπ而22πϕπ<<-∴3πϕ= ∴)32sin()(π+=x x f (6)(2) ∵)32sin()(π+=x x f 的最小正周期是 π∴)32sin()(π+=x x f 在[]π2,0内恰有两个周期,∴f(x)=a (-1<a<0)在]2,0[π内4个实根,可设为4321,,,x x x x (4321x x x x <<<) 且有1292,12724321ππ=+=+x x x x (10)∴在]2,0[π内的所有实数根之和12921272ππ⨯+⨯=313π (12)19.解：．（1）重量在[)90,95的频率200.450==；…………………………..4 （2）若采用分层抽样的方法从重量在[)80,85和[)95,100的苹果中共抽取4个，则重量在[)80,85的个数541515=⨯=+； (8)（3）设在[)80,85中抽取的一个苹果为x ，在[)95,100中抽取的三个苹果分别为,,a b c ，从抽出的4个苹果中，任取2个共有(,),(,),(,),(,),(,),(,)x a x b x c a b a c b c 6种情况，其中符合“重量在[)80,85和[)95,100中各有一个”的情况共有(,),(,),(,)x a x b x c 种；设“抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[)80,85和[)95,100中各有一个”为事件A ，则事件A的概率31()62P A ==；…………………………………12 20.(1)∵A 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛54,53∴tan α＝43， (2)78=41原式 (6)(2)设A 点的坐标为(cos α，sin α)，∵△AOB 为正三角形， ∴B 点的坐标为(cos(α＋π3)，sin(α＋π3))，且C (1,0)，∴|BC |2＝[cos(α＋π3)－1]2＋sin 2(α＋π3)＝2－2cos(α＋π3)． (8)而A 、B 分别在第一、二象限，∴α∈(π6，π2)．∴α＋π3∈(π2，5π6)， (10)∴cos(α＋π3)∈(－32，0)．∴|BC |2的取值范围是(2,2＋3)………………………………………………12 21.作BE ⊥DC 于E (图略)，在Rt △BEC 中，BC =αsin h,CE =h cot α， 又AB -CD =2CE =2h cot α,AB +CD =h S 2,故CD =hS-h cot α……………………………4 设y =AD +DC +BC ,则y =αα-+=α+α-sin )cos 2(sin 2cot h h S h h h S (0°<α<90°)， 由于S 与h 是常量，欲使y 最小，只需u=αα-sin cos 2取最小值，………………7 u 可看作(0，2)与(-sin α,cos α)两点连线的斜率，由于α∈(0°,90°),点(-sin α,cos α)在曲线x 2+y 2=1(-1<x <0,0<y <1)上运动，当过(0，2)的直线与曲线相切时，直线斜率最小，………………………………………………………………10 此时切点为(-23，21)，则有sin α=23,且cos α=21，那么α=60°. ∴当α=60°时，修建成本最低 (12)22..解 （1）要求用k 表示a ·b ,而已知|k a +b |=3|a －k b |，故采用两边平方，得|k a +b |2=(3|a －k b |)2 k 2a 2+b 2+2k a ·b =3(a 2+k 2b 2－2k a ·b )∴8k ·a ·b =(3－k 2)a 2+(3k 2－1)b 2a ·b =kk k 8)13()3(2222b a -+-∵a =(cos α，sin α),b =(cos β,sin β)， ∴a 2=1, b 2=1,∴a ·b =k k k 813322-+-=k k 412+ (6)（2）∵()012≥-k 即 k 2+1≥2k ，即kk 412+≥k k 42=21∴a ·b 的最小值为21，又∵a ·b =| a |·|b |·cos γ，|a|=|b|=1 ∴21=1×1×cos γ。
辽宁省沈阳市高一下学期数学期中考试试卷
辽宁省沈阳市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二下·乌兰月考) 已知数列中，a1＝1，当n≥2时，，依次计算a2 ，a3 ， a4后，猜想的一个表达式是（）A . n2－1B . (n－1)2＋1C . 2n－1D . 2n－1＋12. （2分） (2016高一上·哈尔滨期中) 不等式＞0的解集为（）A . {x|﹣2＜x＜﹣1，或x＞3}B . {x|﹣3＜x＜﹣1，或x＞2}C . {x|x＜﹣3，或﹣1＜x＜2}D . {x|x＜﹣3，或x＞2}3. （2分） (2019高二上·北京期中) 已知中，前三项依次成等差数列，后三项依次成等比数列，则（）A . 5B . 5C . 9D . 94. （2分）在正项等比数列中，已知，则的最小值为（）A . 64B . 32C . 16D . 85. （2分）已知函数满足且若对于任意的总有成立，则在内的可能值有（）个A . 1B . 2C . 3D . 46. （2分） (2020高一下·鸡西期末) 已知，实数满足，则下列不等式一定成立的是（）A .B .C .D .7. （2分） (2020高一下·长春期中) 在△ABC中∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝1，∠A＝60°，则∠B＝（）A . 45°B . 30°C . 60°D . 90°8. （2分）(2020·银川模拟) 已知中，角所对的边分别为，若的面积为，则的周长为（）A . 8B . 12C . 15D .9. （2分） (2017高二下·怀仁期末) 在锐角中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）已知，则sin2＝A .B .C .D .11. （2分） (2020高一下·丽水期中) 在递减等差数列中，．若，则数列的前n项和的最大值为（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·河北模拟) 正项等比数列{an}中，a1+a4+a7=2，a3+a6+a9=18，则{an}的前9项和S9=（）A . 14B . 26C . 30D . 29二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知函数f（x）=2x﹣1，则f[f（x）]≥1的解集为________．14. （1分）(2017·江苏) 若tan（α﹣）= ．则tanα=________．15. （1分） (2019高二下·舟山期末) 已知是两个非零向量，且，，则的最大值为________．16. （1分） (2020高一下·金华月考) 如图是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，，则的面积为________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2016高一下·丰台期末) 已知，tanα=﹣2．（1）求的值；（2）求sin2α+cos2α的值．18. （5分） (2019高一下·诸暨期中) 已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足：．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）通过公式构造一个新的数列．若也是等差数列，求非零常数；（Ⅲ）求的最大值．19. （10分）(2019·天津模拟) 已知首项都是的数列满足 .（Ⅰ）令，求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列为各项均为正数的等比数列，且，求数列的前项和 .20. （10分）已知函数f（x）=2cosxsin（x+ ）﹣ sin2x+sinxcosx．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在[0， ]上的最值和单调递增区间；（3） f（x）的图象可以由y=sin2x图象经过怎样变换所得．21. （5分） (2016高一下·平罗期末) 设函数f（x）= • ，其中向量 =（2cosx，1）， =（cosx，sin2x），x∈R．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知f（A）=2，b=1，△ABC的面积为，求c的值．22. （15分）(2020高一下·浙江期末) 设正项数列的前n项和为，且满足：.（1）求数列的通项公式；（2）若正项等比数列满足，，且，数列的前n项和为，若对任意，均有恒成立，求实数m的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。
2018-2019学年辽宁省沈阳市高一下学期期中考试数学试题(解析版)
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由已知图象知， 的最小正周期是 所以 解得 .由 得到，单增区间是 或：因为 所以将 的图象向左平移 后，所对应的解析式为 .由图象知， 所以 .由 得到，单增区间是
【点睛】
这个题目考查了向量的点积运算，以及向量垂直的转化；向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
19．已知函数 ， .
（1）求函数 的最小正周期和单调递减区间；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位后，再将所得图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数 的图象关于 轴对称，求 的最小值.
7．已知函数 的一条对称轴为直线 ，一个对称中心为点 ，则 有（）
A．最小值2B．最大值2C．最小值1D．最大值1
【答案】A
【解析】将 代入余弦函数对称轴方程，可以算出 关于 的一个方程，再将 代入余弦函数的对称中心方程，可求出另一个 关于 的一个方程，综合两个等式可以选出最终答案.
【详解】
由 满足余弦函数对称轴方程可知
2018-2019学年辽宁省沈阳市高一下学期期中考试数学试题
一、单选题
1． （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】可以把 角化成 ，利用诱导公式化成 以内的特殊角，从而得到结果.
【详解】
由三角函数的诱公式是三角中最基本的运算，可以把任意大小的角化成 到 范围内进行求解.
即 的最大值为 ；
①当 时， （满足条件）；
②当 时，
2018年高一下学期期中考试(数学)试题及答案
2018年高一下学期期中考试（数学）试题及答案（ 时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分） 1. 415°角的终边在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2. 设扇形的弧长为2，面积为2，则扇形中心角的弧度数是（ ） A ．1 B ．4C ．1或4D ．π3. 已知α∈（0，π）,且53cos -=α，则=αtan （ ） A ． B ．C ．D ．4. 以下说法错误．．的是（ ） A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量 5．︒︒-︒︒105sin 75cos 105cos 15cos 的值为 （ ） A ．B ．C ．D ．6. 要得到函数x y 2cos =的图象，只需将函数)32cos(π+=x y 的图象（ ）A ．向左平移3π B ．向右平移3πC ．向左平移6πD ．向右平移6π7. 设函数)32sin()(π-=x x f 的图象为C ，下面结论中正确的是（ ）A ．函数f （x ）的最小正周期是2πB ．函数f （x ）在区间⎪⎭⎫⎝⎛-2,12ππ上是增函数 C ．图象C 可由函数x x g 2sin )(=的图象向右平移个单位得到D ．图象C 关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,6π对称 8. 已知A 为△ABC 的一个内角，且32cos sin =+A A ，则△ABC 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定9. 已知点A(1,3)，B(4，一1），则与向量AB 的方向相反的单位向量是 A ．⎪⎭⎫⎝⎛-53,54 B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 D. ⎪⎭⎫⎝⎛-54,53 10.下列四式中不能．．化简为PQ 的是 A. ()BQ PA AB ++ B. ()()QC BA PC AB -++ C. BQ AB PA -+ D. CQ QP QC +- 11.已知函数x y cos 2=的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,3ππ,值域为[]b a ,，则a b -的值是 A ．2 B ．3 C ．+2 D ．12. 函数14cos 22-⎪⎭⎫⎝⎛-=πx y 是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为的奇函数D ．最小正周期为的偶函数二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13. 若3tan =α，34tan =β，则()βα-tan 等于 ． 14. 函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-=2,0),42sin(ππx x y 的单调递增区间为 ． 15．已知向量()()θθcos ,1,sin ,1==b a b a 的最大值为 . 16. 函数()()0,0,0sin >>>+=φωφωA x A y 的图象如图所示， 则y 的表达式为 ．三、解答题（本题共6道小题,第17题10分,第18-22每题12分，共70分）)(x f 17.已知3tan =α，计算： （Ⅰ）ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-；（Ⅱ)ααcos sin18.已知函数（Ⅰ）求函数单调递减区间；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间[0，]上的值域．19.（本小题满分12分）设平面三点()()()5,2,1,0,0,1C B A ． （1）试求向量AC AB +2的模； （2）试求向量AB 与AC 的夹角的余弦值；20. 已知()()x x b x x a cos 3,cos ,cos ,sin =-=，函数()23+•=b a x f ． (1)求()x f 的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标； (2)当20π≤≤x 时，求函数()x f 的值域．21. 如图，ABCD 中，F E ,分别是DC BC ,的中点，G 为交点，若,,b AD a AB ==试以ba ,为基底表示CG BF DE ,,．22. 已知向量()R x x x b x a ∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,2cos ,sin 3,21,cos ，设函数()b a x f •=.(1求()x f 的最小正周期； (2)求()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值和最小值．.233cos()2cos(2)(++-=ππx x x f2018年高一下学期期中考试（数学）答题卡（总分：150 时间：120分钟）第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
辽宁沈阳二中18-19高一下学期年中-数学
辽宁沈阳二中18-19高一下学期年中-数学辽宁省沈阳二中2018—2018学年度下学期期中考试高一数学试题说明：1.测试时间：120分钟总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第一卷〔60分〕【一】选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.α为第三象限角，那么2α所在的象限是〔〕A 、第一或第二象限B.第二或第三象限 C.第一或第三象限D.第二或第四象限2.一个扇形的圆心角为︒120，半径为3，那么此扇形的面积为〔〕 A.π B.45πC.33πD.2932π3.3sin ,,052παα⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，那么5cos 4απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=〔〕A.-C.4.tan 20tan 403tan 20tan 40++的值为〔〕A.D.35.12,e e u r u r 是夹角为60°的两个单位向量，那么122a e e =+r u r u r 与1232b e e =-+r u r u r的夹角的余弦值是〔〕A.12B.2-C.2D.12-6.使函数)2cos(3)2sin()(ϕϕ+++=x x x f 为奇函数，且在]4,0[π上是减函数的ϕ的一个值是〔〕A.3πB.32πC.34πD.35π7.函数()s i n ()(0)4f x x x R πωω=+∈>，的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象〔〕A 、向左平移8π个单位长度B 、向右平移8π个单位长度C 、向左平移4π个单位长度D 、向右平移4π个单位长度8.函数sin (0)y x ωω=>的部分图象如下图，点A 、B 是最高点，点C 是最低点、假设△ABC 是直角三角形，那么ω的值为〔〕A 、4πB 、2πC 、3πD 、π9.在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，那么AH →＝〔〕 A.2455a b -- B.2455a b - C.2455a b -+ D.2455a b + 10.在锐角ABC ∆中，设(1sin )(1sin ),(1cos )(1cos ),x A B y A B =++=++那么y x ,大小关系为〔〕A.y x ≤B.y x <C.y x >D.x y ≥11.,,A B C 为平面上不共线的三点，O 是△ABC 的垂心，动点P 满足1112322++OP OA OB OC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么点P 一定为△ABC 的〔〕A.AB 边中线的中点B.AB 边中线的三等分点〔非重心〕C.重心D.AB 边的中点 12.平面向量的集合A 到A 的映射()()f x x x a a=-⋅，其中a 为常向量、假设映射f 满足()()f x f y x y⋅=⋅对任意的,x y A ∈恒成立，那么a 的坐标可能是〔〕A.(4，4)B.(4，4-)C.(34，14)D.(14，4-)第二卷〔90分〕【二】填空题:本大题共4小题，每题5分，共20分.13.假设角α的终边通过点(12)P -，，那么tan 2α的值为______________、 14.函数211tan )(x x x f -+-=的定义域为、15.()sin 2sin 20,βαβ++=且(),22k k k Z ππααβπ≠+≠+∈，那么 ()3tan tan αβα++=、16.如图，在平面斜坐标系xOy 中，xOy θ∠=，平面上任意一点P 关于斜坐标系的斜坐标如此定义：假设12OP xe ye =+〔其中1e ，2e 分别是x 轴，y 轴正方向的单位向量〕，那么P 点的斜坐标为(x ，y )，向量OP 的斜坐标为(x ，y )、给出以下结论：①假设60θ=，P (2,－1)，那么||3OP =；②假设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，那么1212(,)OP OQ x x y y +=++； ③假设P (x ，y )，R λ∈，那么(),OP x y λλλ=；④假设11(,)OP x y =，22(,)OQ x y =，那么1212OP OQ x x y y ⋅=+；⑤假设60θ=，以O 为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为2210x y xy ++-=、其中所有正确的结论的序号是______________、【三】解答题：本大题共6小题，共70分.解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.〔本小题总分值10分〕设()()()1,1,4,3,5,2a b c =-==- 〔Ⅰ〕假设()//a tb c +，求实数t 的值； 〔Ⅱ〕求c 在a 方向上的正射影的数量、 18.〔本小题总分值12分〕向量()sin ,2a θ=-与()1,cos b θ=互相垂直，其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 〔Ⅰ〕求sin θ和cos θ的值；〔Ⅱ〕假设()5cos θϕϕ-=，02πϕ<<，求cos ϕ的值、19.〔本小题总分值12分〕在ABC ∆中，3B π∠=.〔Ⅰ〕求sin sin A C +的取值范围； 〔Ⅱ〕假设A ∠为锐角，求()sin cos 2sin cos =f A A A A A++的最大值并求出如今角A 的大小、20.〔本小题总分值12分〕 函数2()sincos()(0)2f x x x x πωωωω=⋅->，且函数()y f x =的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π. 〔Ⅰ〕求()f x 的对称中心；〔Ⅱ〕当[]0,x π∈时，求()f x 的单调增区间、21.〔本小题总分值12分〕 向量33(cos,sin (cos ,sin [0,]22222x x x x a b x π==-∈ 〔Ⅰ〕用含x 的式子表示a b ⋅及a b+；〔Ⅱ〕求函数()4f x a b a b=⋅-+的值域；〔Ⅲ〕设()g x a b t a b=⋅++，假设关于x 的方程()20g x +=有两个不同的实数解，求实数t 的取值范围、22.〔本小题总分值12分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边，两个锐角α,β的终边分别与单位圆相交于A,B 两点、 〔Ⅰ〕假设1tan 7α=，sin β=，求2αβ+的值；〔Ⅱ〕假设角αβ+的终边与单位圆交于C 点，设角,,αβαβ+的正弦线分别为,,MA NB PC ，试问：以,,MA NB PC 作为三边的长能否构成一个三角形？假设能，请加以证明；假设不能，请说明理由.参考答案【一】选择题DACBDBABDCBB 【二】填空题13.4314.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,4π15.016.①②③⑤【三】解答题17.解：〔Ⅰ〕()()14,13//5,2a tb t t +=-++- 故()()513214t t +=--+因此323t =-……5分 〔Ⅱ〕cos ,22a c c a c a ⋅<>===-……10分 18.解：〔Ⅰ〕(1)∵a b ⊥，∴a b ⊥＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ，又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，∴sin 2θ＝45，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin θ＝255，cos θ＝55.……6分〔Ⅱ〕∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝5cos φ＋25sin φ＝35cosφ，∴cos φ＝sin φ，∴cos 2φ＝sin 2φ＝1－cos 2φ，即cos 2φ＝12.∵0<φ<π2，∴cos φ＝22.……12分 19解：〔Ⅰ〕A C -=32π且320π<<A因此A A A A C A cos 23sin 23)32sin(sin sin sin +=-+=+π)6sin(3π+=A ]121()6sin( 6566 ，A A ∈+∴<+<ππππ]3,23(sin sin 的取值范围是C A +∴……6分〔Ⅱ〕令sin cos 4t A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 由0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得3,444A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ (8)分因此(t ∈，那么22sin cos 1A A t =-，因此21y t t =+-，因此当t=时，max 1y =，如今4A π=.……12分20.解：〔Ⅰ〕1cos 21()2sin(2)2262x f x x x ωπωω-=+=-+.由题意，22T π=，即T π=，因此22ππω=，即1ω=. 从而1()sin(2)62f x x π=-+，……4分令26x k ππ-=，那么212k x ππ=+因此对称中心为(),0212k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭……6分〔Ⅱ〕1()sin(2)62f x x π=-+由222262k x k πππππ-≤-≤+()k Z ∈可得：(),63x k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦时()f x 为单调递增函数……8分[]0,x π∈∴()f x 单调递增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦……12分 21.解：〔Ⅰ〕x xx x x 2cos 2sin 23sin 2cos 23cos=-=⋅……2分 x x x b a 22cos 4)2cos 1(212cos 21||=+=++=+]2,0[,cos 2||π∈=+x x ……4分〔Ⅱ〕x x x f cos 82cos ||4)(-=+-⋅= 9)2(cos 21cos 8cos 222--=--=x x x又]2,0[π∈x ∴]1,0[cos ∈x ]1,7[)(--∈x f ……8分 〔Ⅲ〕由02)(=+x g 得：01cos 2cos 22=++x t x令[]cos 0,1x u =∈122)(2++=tu u u F ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥<-<>-=∆0)1(0)0(14200842F F t t ……10分∴)2,23[--∈t ……12分 22.解：〔Ⅰ〕∵0<α<π2，tan α＝17，∴cos α＝7210，sin α＝210.又∵0<β<π2，sin β＝1010，∴0<2β<π，cos2β＝1－2sin 2β＝45，sin2β＝1－cos 22β＝35.因此cos(α＋2β)＝cos αcos2β－sin αsin2β＝7210×45－210×35＝22.由条件知0<α＋2β<32π，∴α＋2β＝π4.……6分另解：由0<2β<π，cos2β＝1－2sin 2β＝45，可得出20,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 25β=，那么3tan 24β=，因此()tan tan 2tan 211tan tan 2αβαβαβ++==-，又()20,αβπ+∈，故α＋2β＝π4……6分〔Ⅱ〕解：以,,MA NB PC 作为三边的长能构成一个三角形，证明如下：∵,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()0,αβπ+∈∴sin MA α=，sin NB β=，()sin PC αβ=+ ∵,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此()cos 0,1α∈，()cos 0,1β∈，因此有： ()sin sin cos cos sin sin sin αβαβαβαβ+=+<+①……8分又∵()0,αβπ+∈，∴()()cos 1,1αβ+∈-，因此有：()()()()sin sin sin cos cos sin sin sin ααββαββαββαββ=+-=+-+<++⎡⎤⎣⎦②同理：()sin sin sin βαβα<++③由①②③可知，以,,MA NB PC 作为三边的长能构成一个三角形.……12分。
辽宁省六校协作体2018年高一下学期期中考试数学(理)试卷word版有答案
2017-2018学年度下学期省六校协作体高一期中考试数学试题(理)第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．已知集合2{2530}A x x x =--≤，{2}B x Z x =∈≤，则A B =( )A ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2,3} 2．sin18sin 78cos162cos78⋅-⋅等于( )A ．12B ．12- C．2 D．2-3．已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b +⊥，则m =（ ） A ．8- B ．6- C ．6 D ．84. 已知函数12log ,1()236,1xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪+≤⎩，则1(())2f f =（ ）A ．3B ． 4C ．3-D ．4-5.若直线()()1:120l x m y m +++-=与直线2:280l mx y ++=互相平行，则m 的值是（ ） A ．1m =或2m =- B ．1m = C ．2m =- D ．m 的值不存在6．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A ．340003cmB ．380003cm C ．32000cm D ．34000cm7．若1sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A ．79B ．23C ．23-D ．79-8．若把函数sin y x ω=图像向左平移3π个单位，则与函数cos y x ω=的图像重合，则ω的值可能是（ ）A ．13 B ．12 C ．23D ．329．已知tan 2α=-，且满足42ππα<<，则22cos sin 124ααπα--=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ）A ．322-+ B ．3- C ．2- D ．210．已知,ab 是单位向量，0=⋅b a ，若向量c 满1,c a bc --=则的取值范围是（ ）A ．11⎤⎦B ．1,2⎤⎦C ．11⎡⎤⎣⎦ D ．1⎡⎤⎣⎦11．若偶函数()f x 在区间[1,0]-上是增函数，,αβ是锐角三角形的两个内角，且αβ≠，则下列不等式中正确的是( )A ．(cos )(cos )f f αβ>B ．(sin )(cos )f f αβ>C ．(sin )(sin )f f αβ>D ．(cos )(sin )f f αβ>12．若ABC △外接圆的半径为1，圆心为O ，20OA AB AC ++=且||||OA AB =,则CA CB ⋅等于（ ）A ．32B ．．3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）。
沈阳市高一下学期期中数学试卷(II)卷(考试)
沈阳市高一下学期期中数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2018高一下·吉林期中) 已知扇形的面积是，弧长为，求这个扇形的圆心角（）A .B .C .D .2. （2分）运行如图所示的程序流程图，则输出I的值是（）A . 5B . 7C . 9D . 113. （2分）某学校为了调查高三年级的200名文科学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行调查；第二种由教务处对该年级的文科学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查，则这两种抽样的方法依次为（）A . 分层抽样，简单随机抽样B . 简单随机抽样，分层抽样C . 分层抽样，系统抽样D . 简单随机抽样，系统抽样4. （2分）设计一个计算1×3×5×7×9的算法，下面给出了算法语句的一部分，则在横线①上应填入下面数据中的（）A . 8B . 9C . 10D . 125. （2分） (2017高一下·乾安期末) 已知是第二象限角，为其终边上一点，且，则（）A .B .C .D .6. （2分） A=15,A=-A+5,最后A的值为（）A . -10B . 25C . 15D . 无意义7. （2分） (2017高一下·惠来期末) 某程序框图如图所示，若输出的S=26，则判断框内应填（）A . k＞3？B . k＞4？C . k＞5？D . k＞6？8. （2分）正方体的各个顶点与各棱的中点共20个点中，任取两点连成直线，在这些直线中任取一条，它与对角线垂直的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）已知sinθ＞0且cosθ＜0，则角θ的终边所在的象限是（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限10. （2分）(2018·绵阳模拟) 在区间上随机取一个实数，则事件“ ”发生的概率是（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2016高一下·周口期末) 如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．（注：方差，其中为x1 ， x2 ，…，xn的平均数）12. （1分）(2017·淮安模拟) 某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为________万元．13. （1分） (2015高一下·金华期中) 半径为2，圆心角为36°的扇形的面积是________14. （1分） (2018高一上·鹤岗月考) 函数，下列四个命题① 是以为周期的函数② 的图象关于直线对称③当且仅当，取得最小值-1④当且仅当时，正确的是________．（填正确序号）15. （1分）在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站（假定这个车站只能停靠一辆公共汽车），有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为________．三、解答题 (共4题；共40分)16. （15分） (2019高一下·佛山月考) 某校从参加某次知识竞赛测试的学生中随机抽出60名学生，将其成绩（百分制）（均为整数）分成六段，… 后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图，从图中估计总体的众数是多少分？中位数是多少分？（3）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分.17. （10分）某公司近年来产品研发费用支出x万元与公司所获得利润y之间有如下统计数据：x2345y18273235（1）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 = x+（2）试根据（1）中求出的线性回归方程，预测该公司产品研发费用支出为10万元时所获得的利润．参考公式：用最小二乘法求现象回归方程 = x+= = ．18. （5分） (2016高一下·芒市期中) 已知tan（3π+α）=3，试求的值．19. （10分）(2017·莱芜模拟) 甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．设各局比赛结果相互独立．（1）分别求甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率；（2）若比赛结果3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共4题；共40分)16-1、16-2、16-3、17-1、答案：略17-2、答案：略18-1、19-1、19-2、。
辽宁省沈阳二中2015-2016学年高一下学期期中考试 数学 含答案
沈阳二中2015—2016学年度下学期期中考试高一(18届）数学试题命题人: 高一数学组审校人：高一数学组说明:1。
测试时间：120分钟总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷（60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．数据a1，a2，a3，…，a n的方差为s2，则数据2a1，2a2，2a3，…，2a n 的方差为（）A.错误!B．s2C．2s2D．4s2 2。
如图所示的程序框图中的错误是（）A．i没有赋值B．循环结构有错C．s的计算不对D．判断条件不成立到AC的位置，3.。
已知点A(1，1) ,B(5,3) ,向量AB绕点A逆时针旋转2则点C的坐标为( )A.（-1，5) B 。
(1,—5） C.(—4，2) D 。
(2，-4） 4．函数)42sin(log21π+=x y 的单调减区间为 （ ）A ．)(],4(Z k k k ∈-πππ B ．)(]8,8(Z k k k ∈+-ππππ C ．)(]8,83(Z k k k ∈+-ππππD ．)(]83,8(Z k k k ∈++ππππ5．任取一个三位正整数N ，对数log 2N 是一个正整数的概率是（ )A.错误! B 。
错误! C.错误! D.错误!6.如图所示，沿田字型路线从A 往N 走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，求 经过点C 的概率（) A 。
21 B 。
错误!C 。
43 D 。
317. 若将函数()tan 04y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度后，与函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合,则ω的最小值为( ）A ．16B 。
14C. 13 D 。
128.口袋内有一些大小相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球,摸出的球是红球或黄球的概率为0。
4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概 率为( )A 。
辽宁省沈阳二中2015-2016学年高一数学下册6月月考试题AwwPlH
沈阳二中2015——2016学年度下学期6月份小班化学习成果阶段验收 高一（18届）数学试题命题人：高一数学组 审校人：高一数学组说明：1、测试时间：120分钟 总分：150分2、客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷 （60分）一 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.下列说法正确的是（ ）A.第二象限的角是钝角B.第三象限的角必大于第二象限的角C.－831°是第二象限的角D.－95°20′,984°40′,264°40′是终边相同的角2.在△ABC 中,已知040,20,60b c C ===,则此三角形的解的情况是( ) A.有一解 B.有两解 C.无解 D.有解但解的个数不确定 3．已知非零向量a ，b 满足|a + b | =|a –b|a |，则a + b 与a –b 的夹角为（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒4．已知1tan()42πα+=，且02πα-<<，则22sin sin 2cos()4ααπα+=-（ ）A.B.C.D.5. 在等差数列{a n }中，若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120,则2a 10－a 12的值为（ ） A. 20B. 22C. 24D. 286. 在△ABC 中，周长为7.5cm ，且sinA ：sinB ：sinC ＝4：5：6,下列结论： ①6:5:4::=c b a ②6:5:2::=c b a ③cm c cm b cm a 3,5.2,2=== ④6:5:4::=C B A 其中成立的个数是 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7 ．函数tan sin tany x x =+-ABCD在区间3(,)22ππ内的图象是 （ ）8.若将函数)3sin(2φ+=x y 的图象向右平移4π个单位后得到的图象关于点(0,3π)对称，则||φ的最小值是( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．43π 9.ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，2AO AB AC =+，且OA AB =，则向量BA 在向量BC 方向上的投影为（ ）A ．2 B.2C.12-D. 1210．在直角ABC ∆中,090,1BCA CA CB ∠===,P 为AB 边上的点AP AB λ=,若CP AB PA PB ≥,则λ的取值范围是( )A.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.11,22⎡+⎢⎣⎦D.1122⎡-+⎢⎣⎦11. ABC ∆中，60,A A ∠=︒∠的平分线AD 交边BC 于D ，已知AB=3，且1()3AD AC AB R λλ=+∈，则AD 的长为 （ ）A ．1 BC ．D ．312．给定实数集合Q P 、满足}1}{sin ][sin |{22=+=x x x P （其中][x 表示不超过x 的最大整数，][}{x x x -=），}23)4(si n si n |{22=++=πx x x Q ，则=Q P （ ）A ．PB ．QC ．ΦD ．Q P第Ⅱ卷 （90分）二 填空题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13． 函数211tan )(x x x f -+-=的定义域为________.14．若)2,2(-=a ，则与a 垂直的单位向量的坐标为 ． 15．若动直线x a =与函数()sin()sin()66f x x x ππ=++-和()cos g x x =的图象分别交于,M N 两点,则MN 的最大值为________________16．已知函数()3,x f x =等差数列{}n a 的公差为2，246810()9f a a a a a ++++=，则312310log [()()()()]f a f a f a f a ⋅⋅=.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （本小题满分10分）的部分图象如图所示.(1)求函数)(x f 的解析式；18. （本小题满分12分）已知(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，其中0αβπ<<<． (1)求证：a b + 与a b -互相垂直； (2)若ka →+→b与a k→-→b的长度相等，求βα-的值(k 为非零的常数)．19. （本小题满分12分）如图：在一座山上要打一个涵洞，在山周围取四个点A 、B 、C 、D ，使AB ⊥BC ，又测得∠DAB = 120°，DA = 3km ，DC = 7km ， BC = 33km 求：涵洞DB 的长.20. （本小题满分12分）在△ABC 中，c b a 、、分别为角C B A 、、的对边，已知向量)cos 1,(sin B B -=与向量)1,0(=n 的夹角为6π，求：（I ） 角B 的大小； （Ⅱ） bca +的取值范围.21. （本小题满分12分）已知△ABC 的角A, B, C 所对的边分别为c b a ,,, 且b c C a =+21cos . （1）求角A 的大小；（2）若a =1, 求△ABC 的周长l 的取值范围。
2018-2019学年辽宁省沈阳市高一第二学期期中数学试卷 解析版
2018-2019学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共12小题）. 1．cos225°的值等于（ ）A ．−√22B ．√22C ．﹣1D ．12．已知向量m →=(3，2)，n →=(1，λ)，且m →∥n →，则λ＝（ ） A ．13B ．23C ．1D ．−323．已知向量m →=(1，tanθ)，n →=(−1，cosθ)，θ∈(π2，π)，若m →⋅n →=−12，则角θ＝（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π64．函数f(x)=tan(x +π6)的图象的一个对称中心是（ ） A ．(π3，0)B ．(π4，0)C ．(π2，0)D ．(π6，0)5．若cosα+2sinα=−√5，则tan α＝（ ） A ．12B ．2C ．−12D ．﹣26．已知a ＝sin 3π7，b ＝cos4π7，c ＝tan （−3π7），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b7．已知ω＞0，函数f （x ）＝cos （ωx +π3）的一条对称轴为x =π3一个对称中心为(π12，0)，则ω有（ ） A ．最小值2B ．最大值2C ．最小值1D ．最大值18．如图，在△ABC 中，AD →=34AC →，BP →=13BD →，若AP →=λBA →+μBC →，则λ+μ＝（ ）A ．89B ．−29C ．76D ．−239．设函数y ＝sin ωx （ω＞0）的最小正周期是T ，将其图象向左平移14T 后，得到的图象如图所示，则函数y ＝sin ωx （ω＞0）的单增区间是（ ）A ．[7kπ6−7π24，7kπ6+7π24]（k ∈Z ）B ．[7kπ3−7π24，7kπ3+7π24]（k ∈Z ） C ．[7kπ3−7π12，7kπ3+7π12]（k ∈Z ） D ．[7kπ6+7π24，7kπ6+21π24]（k ∈Z ）10．在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝3，AC ＝4，若CM →=2MB →，AN →=λAC →+AB →（λ∈R ），且AN →•AM →=43，则λ的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．﹣2D ．﹣311．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)aπ|x|(ω＞0，0＜φ＜π，a ∈R)，在[﹣3，3]的大致图象如图所示，则ωa可取（ ）A ．π2B ．πC ．2πD ．4π12．△ABC 的外接圆的圆心为O ，垂心为H ，OH →=m （OA →+OB →+OC →），则m 的取值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．2二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量a →，b →的夹角为120°，|a →|=1，|b →|=12，则|a →−2b →|= ．14．已知向量a →=(3，4)，b →=(8，6)，c →=(2，k)，其中k 为常数，如果向量a →，b →分别与向量c→所成的角相等，则k＝．15．4sin2x+1cos2x的最小值为．16．已知函数f(x)={sin(π2x)−1，x＜0log a x(a＞0，a≠1)，x＞0的图象上关于y轴对称的点恰有9对，则实数a的取值范围是．三、解答题：（共6小题，满分70分，写出必要文字说明和演算步骤）17．（1）已知f（α）=sin(2π−α)cos(π2+α)cos(−π2+α)tan(π+α)，求f（π3）．（2）若tanα＝2，求4sin2α﹣3sinαcosα﹣5cos2α的值．18．已知向量a→，b→满足|a→|=1，|b→|=4，且a→，b→的夹角为60°．（1）求(2a→−b→)(a→+b→)；（2）若(a→+b→)∥(λa→−2b→)，求λ的值．19．已知函数f（x）＝2cos（2x+π4），x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）将函数f（x）＝2cos （2x+π4）的图象向右平移m（m＞0）个单位后，再将所得图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数g（x）的图象关于y轴对称，求m的最小值．20．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象的一部分如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈(π3，5π6)时，求函数f（x）的值域．21．在平面直角坐标系中，已知△ABO的顶点A（1，1），B（﹣3，4），O（0，0）．（1）求AB边上的高；（2）设点E是∠ABO平分线所在直线上的一点，若|OE|＝2，求点E的坐标．22．已知a→=（1，sin x），b→=（1，cos x），e→=(0，1)，且(cosx−sinx)∈[1，√2]．（1）若(a→+e→)∥b→，求sin x cos x的值；（2）设f(x)=a→⋅b→+me→⋅(a→−b→)，m∈R，若f（x）的最大值为−12，求实数m的值．参考答案一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．cos225°的值等于（）A．−√22B．√22C．﹣1D．1【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．解：cos225°＝cos（180°+45°）＝﹣cos45°=−√22，故选：A．【点评】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．2．已知向量m→=(3，2)，n→=(1，λ)，且m→∥n→，则λ＝（）A．13B．23C．1D．−32【分析】利用向量共线定理即可得出．解：∵m→∥n→，∴3λ﹣2＝0，解得λ=2 3．故选：B．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知向量m→=(1，tanθ)，n→=(−1，cosθ)，θ∈(π2，π)，若m→⋅n→=−12，则角θ＝（）A．π6B．π3C．2π3D．5π6【分析】由向量坐标数量积的运算得﹣1+sinθ=−12，再由θ范围可求角．解：∵m→⋅n→=（1，tanθ）•（﹣1，cosθ）＝﹣1+sinθ，又m→⋅n→=−12，∴﹣1+sinθ=−12，即sinθ=12，又θ∈(π2，π)，∴θ=5π6，故选：D．【点评】本题考查向量数量积的运算，三角函数求值，属于基础题．4．函数f(x)=tan(x +π6)的图象的一个对称中心是（ ） A ．(π3，0)B ．(π4，0)C ．(π2，0)D ．(π6，0)【分析】根据正切函数的对称中心列方程求出x 的值，从而求得f （x ）图象的对称中心． 解：由正切函数的对称中心为(kπ2，0)(k ∈Z)， 所以函数f （x ）对称中心的横坐标满足x +π6=kπ2，k ∈Z ； 解得x =−π6+kπ2，k ∈Z ；当k ＝1时，x =π3，所以(π3，0)是f （x ）图象的一个对称中心． 故选：A ．【点评】本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基础题． 5．若cosα+2sinα=−√5，则tan α＝（ ） A ．12B ．2C ．−12D ．﹣2【分析】本小题主要考查三角函数的求值问题，需要把正弦和余弦化为正切和正割，两边平方，根据切割的关系进行切割互化，得到关于正切的方程，解方程得结果． 解：∵cos α+2sin α=−√5， ∴cos α≠0，两边同时除以cos α得1+2tan α=−√5secα， ∴（1+2tan α）2＝5sec 2α＝5（1+tan 2α）， ∴tan 2α﹣4tan α+4＝0， ∴tan α＝2． 故选：B ．【点评】同角三角函数之间的关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义． 6．已知a ＝sin3π7，b ＝cos4π7，c ＝tan （−3π7），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜b ＜a D ．c ＜a ＜b【分析】注意到3π7，4π7互补，将a ＝sin3π7利用诱导公式化为 a ＝sin4π7，且a ＞b 且均小于1，而c ＜﹣1．大小关系即可确定． 解：a ＝sin3π7＞0；∵π2＜4π7＜π，∴cos π＜cos4π7＜cos π2，即﹣1＜b ＜0．又正切函数在（0，π2）上单调递增， ∵π4＜3π7；∴tan3π7＞tan π4=1；∴c ＝tan （−3π7）＝﹣tan 3π7＜−1， ∴a ＞0＞b ＞﹣1＞c ， 故选：C ．【点评】本题考查非特殊角三角函数值大小比较，可化为同角或同名函数再进行比较，用到的知识有同角三角函数基本关系式，三角函数的单调性．7．已知ω＞0，函数f （x ）＝cos （ωx +π3）的一条对称轴为x =π3一个对称中心为(π12，0)，则ω有（ ） A ．最小值2B ．最大值2C ．最小值1D ．最大值1【分析】由函数f （x ）＝cos （ωx +π3）的﹣条对称轴为x =π3，求得φ＝3k ﹣1 ①．再由﹣个对称中心为(π12，0)，求得ω＝12n +2 ②．综合①②可得，ω 的最小值为2． 解：由已知ω＞0，函数f （x ）＝cos （ωx +π3）的﹣条对称轴为x =π3，可得ω×π3+π3=k π，k ∈z ，求得φ＝3k ﹣1 ①．再由﹣个对称中心为(π12，0)，可得ω×π12+π3=n π+π2，n ∈z ，解得ω＝12n +2 ②． 综合①②可得，ω 的最小值为2， 故选：A ．【点评】本题主要考查函数y ＝A cos （ωx +φ）的对称性的应用，属于中档题．8．如图，在△ABC 中，AD →=34AC →，BP →=13BD →，若AP →=λBA →+μBC →，则λ+μ＝（ ）A ．89B ．−29C ．76D ．−23【分析】结合图形，利用BA →、BC →表示向量AP →，求出λ、μ的值即可． 解：△ABC 中，AD →=34AC →，BP →=13BD →， ∴AP →=AB →+BP →=AB →+13BD →=AB →+13（AD →−AB →）=23AB →+13•34AC → =23AB →+14（BC →−BA →）=−1112BA →+14BC →；又AP →=λBA →+μBC →， ∴λ=−1112，μ=14， ∴λ+μ=−1112+14=−23． 故选：D ．【点评】本题考查了平面向量的线性表示应用问题，是基础题．9．设函数y ＝sin ωx （ω＞0）的最小正周期是T ，将其图象向左平移14T 后，得到的图象如图所示，则函数y ＝sin ωx （ω＞0）的单增区间是（ ）A ．[7kπ6−7π24，7kπ6+7π24]（k ∈Z ）B ．[7kπ3−7π24，7kπ3+7π24]（k ∈Z ） C ．[7kπ3−7π12，7kπ3+7π12]（k ∈Z ） D ．[7kπ6+7π24，7kπ6+21π24]（k ∈Z ）【分析】由题意和图象求出函数的周期，由周期公式求出ω的值，由整体思想和正弦函数的单调性求出递增区间． 解：由图象得，12T =7π12，则T =7π6， 由T =2πω=7π6得，ω=127， 所以y ＝sin127x ，由−π2+2kπ≤127x ≤π2+2kπ(k ∈Z)得，−7π24+76kπ≤x ≤7π24+76kπ(k ∈Z)，所以函数的递增区间是[−7π24+76kπ，7π24+76kπ](k ∈Z)，故选：A ．【点评】本题考查由图象求形如y ＝A sin （ωx +φ）的解析式，正弦函数的单调性，以及整体思想，属于中档题．10．在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝3，AC ＝4，若CM →=2MB →，AN →=λAC →+AB →（λ∈R ），且AN →•AM →=43，则λ的值为（ ） A ．1B ．﹣1C ．﹣2D ．﹣3【分析】结合已知，用AB →，AC →表示AM →，然后结合向量数量积的运算性质即可求解． 解：∵CM →=2MB →，AN →=λAC →+AB →（λ∈R ），∴AM →=AB →+BM →=AB →+13(AC →−AB →)=13AC →+23AB →，∵，∠A ＝120°，AB ＝3，AC ＝4， ∴AC →⋅AB →=3×4×(−12)=−6， ∵AN →•AM →=43，∴（13AC →+23AB →）•（λAC →+AB →）=13λAC →2+(13+2λ3)AC →⋅AB →+23AB →2=λ3×16+(13+2λ3)×(−6)+23×9=43， 则λ＝﹣2， 故选：C ．【点评】本题主要考查了向量的基本定理及向量数量积的运算性质的简单应用，属于基础试题． 11．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)aπ|x|(ω＞0，0＜φ＜π，a ∈R)，在[﹣3，3]的大致图象如图所示，则ωa可取（ ）A ．π2B ．πC ．2πD ．4π【分析】结合图象得f （0）=sinφa =2，sin φ＝2a ，f （1）=sin(ω+φ)aπ=0，f （﹣1）=sin(−ω+φ)aπ=0，f （3）=sin(3ω+φ)aπ3=0，f （﹣3）=sin(−3ω+φ)aπ3=0，由此可取ω＝φ=12π，a =12，由此能求出ωa的可能取值．解：函数f(x)=sin(ωx+φ)aπ|x|(ω＞0，0＜φ＜π，a ∈R)，在[﹣3，3]的大致图象如图所示，结合图象得f （0）=sinφa=2，∴sin φ＝2a ， f （1）=sin(ω+φ)aπ=0， f （﹣1）=sin(−ω+φ)aπ=0，f （3）=sin(3ω+φ)aπ3=0，f （﹣3）=sin(−3ω+φ)aπ3=0，由此可取ω＝φ=12π，a =12， ∴ωa 可取π．故选：B ．【点评】本题考查两数比值的可能取值的求法，考查函数的图象及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题．12．△ABC 的外接圆的圆心为O ，垂心为H ，OH →=m （OA →+OB →+OC →），则m 的取值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．2【分析】根据△ABC 的外心和垂心的性质，给OH →=m （OA →+OB →+OC →）两边同乘AB →，化简该式即可求得m 的值． 解：∵OH →=m （OA →+OB →+OC →），∴OH →⋅AB →=m （OA →+OB →+OC →）⋅AB →=m(OA →+OB →)⋅AB →+mOC →⋅AB →． ∵O 是△ABC 的外接圆的圆心，∴(OA →+OB →)⋅AB →=0， ∴OH →⋅AB →=mOC →⋅AB →， ∴(OC →+CH →)⋅AB →=mOC →⋅AB →， ∴OC →⋅AB →+CH →⋅AB →=mOC →⋅AB →， ∵H 为△ABC 的垂心，∴CH →⋅AB →=0， OC →⋅AB →=mOC →⋅AB →， ∴m ＝1． 故选：B ．【点评】本题主要考查平面向量的基本定理和数量积的应用，解题时要有转化的思想，注意认真审题，属中档题．二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量a →，b →的夹角为120°，|a →|=1，|b →|=12，则|a →−2b →|= √3 ．【分析】根据题意，由数量积的计算公式可得a →•b →的值，又由|a →−2b →|=√(a →−2b →)2=√a →2+4b →2−4a →⋅b →，代入数据计算可得答案．解：根据题意，向量a →，b →的夹角为120°，|a →|=1，|b →|=12，则a →•b →=1×12×（−12）=−14， 则|a →−2b →|=√(a →−2b →)2=√a →2+4b →2−4a →⋅b →=√3；故答案为：√3．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．14．已知向量a →=(3，4)，b →=(8，6)，c →=(2，k)，其中k 为常数，如果向量a →，b →分别与向量c →所成的角相等，则k ＝ 2 ．【分析】根据题意，设向量a →、c →的夹角为α，向量b →、c →的夹角为β，由数量积计算公式可得cos α、coa β的表达式，进而可得有6+4k 5×|c →|=16+6k10×|c →|，变形解可得k 的值，即可得答案．解：根据题意，设向量a →、c →的夹角为α，向量b →、c →的夹角为β，向量a →=(3，4)，c →=(2，k)，则a →•c →=6+4k ，|a →|=√9+16=5，则cos α=6+4k5×|c →|，向量b →=(8，6)，c →=(2，k)，则b →•c →=16+6k ，|b →|=√64+36=10，则cos β=16+6k10×|c →|，则有6+4k5×|c →|=16+6k10×|c →|，变形可得：6+4k ＝8+3k ，解可得k ＝2； 故答案为：2【点评】本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量的夹角，属于基础题． 15．4sin x+1cos x的最小值为 9 ．【分析】令t ＝sin 2x ，则4sin x+1cos x=4t+11−t，然后利用乘1法即可求解．解：令t ＝sin 2x ，则4sin 2x+1cos 2x=4t+11−t，＝（4t +11−t ）[t +（1﹣t ）]＝5+t 1−t +4(1−t)t≥9， 当且仅当t1−t=4(1−t)t时取等号，故答案为：9．【点评】本题主要考查利用乘1法求解最值，属于中档试题． 16．已知函数f(x)={sin(π2x)−1，x ＜0log a x(a ＞0，a ≠1)，x ＞0的图象上关于y 轴对称的点恰有9对，则实数a 的取值范围是 (√2121，√1717) ．【分析】求出函数f （x ）＝sin （π2x ）﹣1，（x ＜0）关于y 轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论． 解：若x ＞0，则﹣x ＜0，∵x ＜0时，f （x ）＝sin （π2x ）﹣1，∴f （﹣x ）＝sin （−π2x ）﹣1＝﹣sin （π2x ）﹣1，则若f （x ）＝sin （π2x ）﹣1，（x ＜0）关于y 轴对称，则f （﹣x ）＝﹣sin （π2x ）﹣1＝f （x ），即y ＝﹣sin （π2x ）﹣1，x ＞0，设g （x ）＝﹣sin （π2x ）﹣1，x ＞0作出函数g （x ）的图象，要使y ＝﹣sin （π2x ）﹣1，x ＞0与f （x ）＝log a x ，x ＞0的图象恰有9个交点，则0＜a ＜1且满足f （17）＞g （17）＝﹣2，f （21）＜g （21）＝﹣2， 即﹣2＜log a 17，log a 21＜﹣2， 即log a 17＞log a a ﹣2，log a 21＜log a a ﹣2， 则17＜12，21＞12， 解得√2121＜a ＜√1717， 故答案为：(√2121，√1717)【点评】本题主要考查分段函数的应用，作出函数关于y 轴对称的图象，利用数形结合的思想是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．三、解答题：（共6小题，满分70分，写出必要文字说明和演算步骤）17．（1）已知f （α）=sin(2π−α)cos(π2+α)cos(−π2+α)tan(π+α)，求f （π3）． （2）若tan α＝2，求4sin 2α﹣3sin αcos α﹣5cos 2α的值．【分析】（1）由题意利用诱导公式化简f （α）的解析式，可得f （π3）的值．（2）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．解：（1）∵已知f （α）=sin(2π−α)cos(π2+α)cos(−π2+α)tan(π+α)=−sinα⋅(−sinα)sinα⋅tanα=cos α， 故有 f （π3）＝cosπ3=12．（2）若tan α＝2，求4sin 2α﹣3sin αcos α﹣5cos 2α=4sin 2α−3sinαcosα−5cos 2αsin 2α+cos 2α=4tan 2α−3tanα−5tan 2α+1=16−6−54+1=1．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于中档题． 18．已知向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=4，且a →，b →的夹角为60°．（1）求(2a →−b →)(a →+b →)；（2）若(a →+b →)∥(λa →−2b →)，求λ的值．【分析】根据题意，（1）利用平面向量的乘法法则直接进行数量积运算即可．（2）由向量共线的条件得λa →−2b →=μ（a →+b →），进而找出λ，μ关系，可求出λ． 解：（1）(2a →−b →)(a →+b →)=2a →2+a →•b →−b →2＝2×1+1×4cos60°﹣16＝﹣12， （2）∵(a →+b →)∥(λa →−2b →)，∴λa →−2b →=μ（a →+b →），则{λ=μ−2=μ故λ＝﹣2．【点评】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，向量共线问题，是基础题目．19．已知函数f（x）＝2cos（2x+π4），x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）将函数f（x）＝2cos （2x+π4）的图象向右平移m（m＞0）个单位后，再将所得图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数g（x）的图象关于y轴对称，求m的最小值．【分析】（1）由已知利用余弦函数的周期性，单调性即可得出结论．（2）由函数图象变换可得g（x）的解析式，根据余弦函数的图象和性质即可求解．解：（1）对于函数f（x）＝2cos（2x+π4），函数f（x）的最小正周期T=2π2=π．令2kπ≤2x+π4≤2kπ+π，求得kπ−π8≤x≤kπ+3π8，可得函数的单调增区间为[kπ−π8，kπ+3π8]，k∈Z．（2）依题意得g（x）＝2cos（x﹣2m+π4），∵g（x）的图象关于y轴对称，∴﹣2m+π4=kπ，k∈Z，∴m=π8−12kπ，k∈Z，又m＞0，∴当k＝0时，m取最小值为π8．【点评】本题主要考查余弦函数的单调性，余弦函数的图象，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于中档题．20．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象的一部分如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈(π3，5π6)时，求函数f（x）的值域．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．解：（1）根据函数f(x)=Asin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象的一部分，可得A ＝2， 再根据34•2πω=5π12−（−π3），∴ω＝2．结合五点法作图可得2×5π12+φ=π2，∴φ=−π3， 故f （x ）＝2sin （2x −π3）． （2）当x ∈(π3，5π6)时，2x −π3∈（π3，4π3），sin （2x −π3）∈（−√32，1]，f （x ）＝2sin （2x −π3）∈（−√3，2]， 即f （x ）的值域为（−√3，2]．【点评】本题主要考查由函数y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．21．在平面直角坐标系中，已知△ABO 的顶点A （1，1），B （﹣3，4），O （0，0）． （1）求AB 边上的高；（2）设点E 是∠ABO 平分线所在直线上的一点，若|OE |＝2，求点E 的坐标． 【分析】（1）直接利用点的坐标求出直线的方程，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．（2）利用到角公式的应用和两点间的距离公式的应用求出结果． 解：（1）已知△ABO 的顶点A （1，1），B （﹣3，4），O （0，0）． 所以直线AB 的斜率k =1−41+3=−34， 所以直线AB 的方程为y −1=−34(x −1)，整理得3x +4y ﹣7＝0，所以AB 边上的高为d =|0+0−7|√3+4=75． （2）由于E 是∠ABO 平分线所在直线上的一点，设直线BE 的斜率为k ，由于直线OB 的斜率k =−43，直线AB 的斜率为k =−34，利用到角公式：−34−k 1−34k=k+431−43k ，解得k ＝﹣1，所以直线AE 的直线方程为x +y ﹣1＝0．设点E （x ，y ），由于点E 在直线AE 上，所以E （x ，1﹣x ），利用|OE |＝2，故√x 2+(x −1)2=2，解得x =1±√72，①当x =1+√72时，y =1−√72，即：E （1+√72，1−√72）． ②当x =1−√72时，y =1+√72，即：E （1−√72，1+√72）． 所以点E 的坐标为：E （1+√72，1−√72）或（1−√72，1+√72）． 【点评】本题考查的知识要点：直线的方程的应用，到角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．22．已知a →=（1，sin x ），b →=（1，cos x ），e →=(0，1)，且(cosx −sinx)∈[1，√2]．（1）若(a →+e →)∥b →，求sin x cos x 的值；（2）设f(x)=a →⋅b →+me →⋅(a →−b →)，m ∈一、选择题，若f （x ）的最大值为−12，求实数m 的值．【分析】（1）由平面向量共线的坐标运算可得解，（2）由平面向量数量积的运算及含参二次函数的最值问题，分类讨论对称轴与区间的位置关系即可得解．解：（1）a →=（1，sin x ），b →=（1，cos x ），e →=(0，1)， 所以a →+e →=（1，sin x +1）， 又（a →+e →）∥b →，所以1×cos x ＝1×（sin x +1）， 即cos x ﹣sin x ＝1，两边平方得（cos x ﹣sin x ）2＝1，即1﹣2sin x cos x ＝1， 解得sin x cos x ＝0．（2）因为f （x ）＝1+sin x cos x +m （sin x ﹣cos x ）， 设t ＝cos x ﹣sin x ，t ∈[1，√2]，又因为sin x cos x =1−(cosx−sinx)22=1−t 22，即g （t ）＝1+1−t 22−mt =−12t 2﹣mt +32，t ∈[1，√2]， ①当﹣m ≤1，即m ≥﹣1时，g （t ）max ＝g （1）=−12−m +32=−12，解得m =32，满足条件；②当1＜﹣m ＜√2即−√2＜m ＜﹣1时，g （x ）max ＝g （﹣m ）=12m 2+32=−12，无解；③当﹣m ＞√2即m ＜−√2时，g （x ）max ＝g （√2）=−√2m +12=−12，解得m =√22，不合条件，故舍去； 综上知，实数m 的值为32．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算及二次函数的最值问题，属中档题。
辽宁省沈阳二中2017-2018学年高一下学期期中考试数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年辽宁省沈阳二中高一（下）期中数学试卷一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量=（1，n），=（﹣1，n），垂直于，则||=（）A．1 B．C．D．42．已知cos（θ+）=，θ∈（0，），则cosθ=（）A．B．C．D．3．设圆C：x2+y2=4，直线l：y=x+b．若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1，则b的取值范围是（）A．[﹣，] B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）C．（﹣，﹣1）∪（1，）D．（﹣，）4．函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A．B．C．0 D．5．过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=06．若3sinα+cosα=0，则的值为（）A．B．C．D．﹣27．设函数，且其图象关于直线x=0对称，则（）A．y=f（x）的最小正周期为π，且在上为增函数B．y=f（x）的最小正周期为π，且在上为减函数C．y=f（x）的最小正周期为，且在上为增函数D．y=f（x）的最小正周期为，且在上为减函数8．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的结果是（）A．B．C．D．9．函数+2cosπx（﹣2≤x≤4）的所有零点之和等于（）A．2 B． 4 C． 6 D．810．设方程2x+x+2=0和方程的根分别为p和q，若函数f（x）=（x+p）（x+q）+2，则（）A．f（0）＜f（2）＜f（3）B．f（0）=f（2）＜f（3）C．f（3）＜f（2）=f（0）D．f（0）＜f（3）＜f（2）11．给出以下四个选项，正确的个数是（）①函数f（x）=sin2xcosx的图象关于直线x=π对称②函数y=3•2x+1的图象可以由函数y=2x的图象仅通过平移得到．③函数y=ln与y=lntan是同一函数．④在△ABC中，若==，则tanA：tanB：tanC=3：2：1．A．1个B．2个C．3个D．0个12．C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，满足||=||=4，|﹣|=2，=，=λ，=+m（+），m＞0，则λ=（）A．1 B．C．4 D． 2二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知α∈（，π），sinα=，则tan2α=．14．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（cm）．15．已知△ABC是锐角三角形，P=sinA+sinB，Q=cosA+cosB，则P与Q的大小关系为．16．设f（x）是定义在R上的函数，且对任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2014成立，若函数g（x）=f（x）+2014x2013有最大值M和最小值m，则M+m=．三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2005•天津）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c，设a、b、c满足条件b2+c2﹣bc=a2和=+，求∠A和tanB的值．18．（12分）（2010秋•淄博校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知=（cos，sin），=（cos，sin），且满足|+|=．（1）求角A的大小；（2）若||+||=||，试判断△ABC的形状．19．（12分）（2010•台州一模）已知向量=（sin（x+），sinx），=（cosx，﹣sinx），函数f（x）=m（•+sin2x），（m为正实数）．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）将函数f（x）的图象的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的两倍，然后再向右平移个单位得到y=g（x）的图象，试探讨：当x⊆[0，π]时，函数y=g（x）与y=1的图象的交点个数．20．（12分）（2015春•沈阳校级期中）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，G在BC上，且CG=CB（1）求证：PC⊥BC；（2）求三棱锥C﹣DEG的体积；（3）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？若存在，求AM的长；否则，说明理由．21．（12分）（2011•银川校级模拟）已知圆C经过P（4，﹣2），Q（﹣1，3）两点，且在y 轴上截得的线段长为4，半径小于5．（1）求直线PQ与圆C的方程；（2）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A、B，∠AOB=90°，求直线l的方程．22．（12分）（2014•沈北新区校级一模）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2m•f（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m 的值．2014-2015学年辽宁省沈阳二中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量=（1，n），=（﹣1，n），垂直于，则||=（）A．1 B．C．D．4考点：向量的模．专题：平面向量及应用．分析：根据两向量垂直的坐标表示，列出方程，求出向量，再求||的值．解答：解：∵向量=（1，n），=（﹣1，n），且⊥，∴1×（﹣1）+n2=0，解得n=±1；∴=（1，±1）∴||==．故选：C．点评：本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了向量垂直的坐标表示，是基础题目．2．已知cos（θ+）=，θ∈（0，），则cosθ=（）A．B．C．D．考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：由同角三角函数的基本关系可得sin（θ+），而cosθ=cos[（θ+）﹣]=cos （θ+）+sin（θ+），代入计算可得．解答：解：∵cos（θ+）=，θ∈（0，），∴sin（θ+）==，∴cosθ=cos[（θ+）﹣]=cos（θ+）+sin（θ+）=+=，故选：B．点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题．3．设圆C：x2+y2=4，直线l：y=x+b．若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1，则b的取值范围是（）A．[﹣，] B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）C．（﹣，﹣1）∪（1，）D．（﹣，）考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1，则O到直线l：y=x+b的距离d小于1，代入点到直线的距离公式，可得答案．解答：解：由圆C的方程：x2+y2=4，可得圆C的圆心为原点O（0，0），半径为2若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1，则O到直线l：y=x+b的距离d小于1直线l的一般方程为：x﹣y+b=0∴d=＜1解得﹣＜b＜故选D点评：本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，其中分析出圆心O到直线l：y=x+b的距离d小于1是解解答的关键．4．函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A．B．C．0 D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．解答：解：令y=f（x）=sin（2x+φ），则f（x+）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），∵f（x+）为偶函数，∴+φ=kπ+，∴φ=kπ+，k∈Z，∴当k=0时，φ=．故φ的一个可能的值为．故选B．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题．5．过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0考点：圆的切线方程；直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．解答：解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A 满足．故选A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习．6．若3sinα+cosα=0，则的值为（）A．B．C．D．﹣2考点：二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：首先考虑由3sinα+cosα=0求的值，可以联想到解sinα，cosα的值，在根据半角公式代入直接求解，即得到答案．解答：解析：由3sinα+cosα=0⇒cosα≠0且tanα=﹣所以故选A．点评：此题主要考查同角三角函数基本关系的应用，在三角函数的学习中要注重三角函数一系列性质的记忆和理解，在应用中非常广泛．7．设函数，且其图象关于直线x=0对称，则（）A．y=f（x）的最小正周期为π，且在上为增函数B．y=f（x）的最小正周期为π，且在上为减函数C．y=f（x）的最小正周期为，且在上为增函数D．y=f（x）的最小正周期为，且在上为减函数考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：将函数解析式提取2，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，找出ω的值，代入周期公式，求出函数的最小正周期，再由函数图象关于直线x=0对称，将x=0代入函数解析式中的角度中，并令结果等于kπ（k∈Z），再由φ的范围，求出φ的度数，代入确定出函数解析式，利用余弦函数的单调递减区间确定出函数的得到递减区间为[kπ，kπ+]（k∈Z），可得出（0，）⊂[kπ，kπ+]（k∈Z），即可得到函数在（0，）上为减函数，进而得到正确的选项．解答：解：f（x）=cos（2x+φ）+sin（2x+φ）=2[cos（2x+φ）+sin（2x+φ）]=2cos（2x+φ﹣），∵ω=2，∴T==π，又函数图象关于直线x=0对称，∴φ﹣=kπ（k∈Z），即φ=kπ+（k∈Z），又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=2cos2x，令2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），解得：kπ≤x≤kπ+（k∈Z），∴函数的递减区间为[kπ，kπ+]（k∈Z），又（0，）⊂[kπ，kπ+]（k∈Z），∴函数在（0，）上为减函数，则y=f（x）的最小正周期为π，且在（0，）上为减函数．故选B点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，余弦函数的对称性，余弦函数的单调性，以及两角和与差的余弦函数公式，其中将函数解析式化为一个角的余弦函数是本题的突破点．8．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的结果是（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：计算题；概率与统计．分析：根据题意，该程序框图的意图是求S=1+++的值，由此不难得到本题的答案．解答：解：由题意，k、S初始值分别为1，0．当k为小于5的正整数时，用S+的值代替S，k+1代替k，进入下一步运算．由此列出如下表格因此，最后输出的s=1+++=故选：C点评：本题给出程序框图，求最后输出的s值，着重考查了分数的加法和程序框图的理解等知识，属于基础题．9．函数+2cosπx（﹣2≤x≤4）的所有零点之和等于（）A．2 B． 4 C． 6 D．8考点：根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．专题：综合题．分析：构造函数，确定函数图象关于直线x=1对称，利用﹣2≤x≤4时，函数图象的交点共有6个，即可得到函数的所有零点之和．解答：解：构造函数∵﹣2≤x≤4时，函数图象都关于直线x=1对称∴函数图象关于直线x=1对称∵﹣2≤x≤4时，函数图象的交点共有6个∴函数的所有零点之和等于3×2=6故选C．点评：本题考查函数的零点，解题的关键是构造函数，确定函数图象的对称性及图象的交点的个数．10．设方程2x+x+2=0和方程的根分别为p和q，若函数f（x）=（x+p）（x+q）+2，则（）A．f（0）＜f（2）＜f（3）B．f（0）=f（2）＜f（3）C．f（3）＜f（2）=f（0）D．f（0）＜f（3）＜f（2）考点：对数函数图象与性质的综合应用；指数函数综合题．专题：函数的性质及应用．分析：把两个方程分别看作指数函数与直线y=﹣x﹣2的交点B和对数函数与直线y=﹣x ﹣2的交点A的横坐标分别为p和q，而指数函数与对数函数互为反函数则关于y=x对称，求出AB的中点坐标得到p+q=﹣2．然后把函数f（x）化简后得到一个二次函数，对称轴为直线x=﹣=1，所以得到f（2）=f（0），再根据二次函数的增减性得到f（2）和f（0）都小于f（3）得到答案．解答：解：方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0可以分别看作方程方程2x=﹣x﹣2和方程log2x=﹣x﹣2，方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分别为p和q，即函数y=2x与函数y=﹣x﹣2的交点B横坐标为p；y=log2x与y=﹣x﹣2的交点C横坐标为q．由y=2x与y=log2x互为反函数且关于y=x对称，所以BC的中点A一定在直线y=x上，联立得．解得A点坐标为（﹣1，﹣1）根据中点坐标公式得到=﹣1，即p+q=﹣2，则f（x）=（x+p）（x+q）+2=x2+（p+q）x+pq+2为开口向上的抛物线，且对称轴为x=﹣=1，得到f（0）=f（2），且当x＞1时，函数为增函数，所以f（3）＞f（2），综上，f（3）＞f（2）=f（0），故选B．点评：此题是一道综合题，考查学生灵活运用指数函数、对数函数的图象与性质，要求学生掌握反函数的性质，会利用二次函数的图象与性质解决实际问题，属于中档题．11．给出以下四个选项，正确的个数是（）①函数f（x）=sin2xcosx的图象关于直线x=π对称②函数y=3•2x+1的图象可以由函数y=2x的图象仅通过平移得到．③函数y=ln与y=lntan是同一函数．④在△ABC中，若==，则tanA：tanB：tanC=3：2：1．A．1个B．2个C．3个D．0个考点：的真假判断与应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数图象的对称变换，分析函数f（x）=sin2xcosx的图象关于直线x=π对称后的函数解析式与原函数解析式的关系，可判断①；根据指数的运算性质及函数图象平移变换法则，可判断②；分析两个函数的定义域和对应关系是否一致，可判断③；根据已知结合向量数量积的定义及正弦定理的边角互化，求出tanA：tanB：tanC的值，可判断④解答：解：①函数f（x）=sin2xcosx的图象关于直线x=π对称变换后的解析式为：f（x）=sin2（2π﹣x）cos（2π﹣x）=sin（4π﹣2x）cos（2π﹣x）=﹣sin2xcosx，x=π不是函数f（x）=sin2xcosx的图象的对称轴，故①错误；②函数y=3•2x+1=的图象可以由函数y=2x的图象向左平移log23个单位，再向上平移1个单位得到，故②正确；③函数y=ln=ln=ln=ln=lntan，但函数y=ln的定义域与函数y=lntan的定义域不同，故两个函数不是同一函数，故③错误；④在△ABC中，若==，则，则，则tanA=3tanB且tanA=2tanC，则tanA：tanB：tanC=6：3：2，故④错误．故正确的的个数是1个，故选：A点评：本题考查的知识点是的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档．12．C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，满足||=||=4，|﹣|=2，=，=λ，=+m（+），m＞0，则λ=（）A．1 B．C．4 D． 2考点：向量在几何中的应用．专题：综合题；平面向量及应用．分析：根据向量的正交分解，将沿和方向分解，设得到两个向量为和，得到四边形ADIE为菱形，由菱形的性质及根据角平分线定理即可求出．解答：解：∵=，∴PC平分∠APB，将沿和方向分解，设得到两个向量为和，设为m倍的方向上的单位向量，为m倍的方向上的单位向量，∵单位向量的模长为1，∴||=||=m，∴四边形ADIE为菱形，∴AI平分∠PAC，∵|﹣|=||=2，||=||=4，=λ，∴根据角平分线定理，得λ===4，故选：C．点评：本题考查了向量的正交分解，以及有关四边形和角平分线的性质，属于中档题二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知α∈（，π），sinα=，则tan2α=﹣．考点：二倍角的正切；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：利用题目提供的α的范围和正弦值，可求得余弦值从而求得正切值，然后利用二倍角的正切求得tan2α．解答：解：由α∈（，π），sinα=，得cosα=﹣，tanα==∴tan2α==﹣故答案为：﹣点评：本题考查了二倍角的正切与同角三角函数间的基本关系，是个基础题．14．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（cm）．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为矩形的直四棱锥；结合图中数据即可求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得：该几何体是底面为矩形，高为=的直四棱锥；且底面矩形的长为4，宽为2，所以，该四棱锥的体积为V=×4×2×=．故答案为：．点评：本题考查了利用三视图求空间几何体的体积的应用问题，是基础题目．15．已知△ABC是锐角三角形，P=sinA+sinB，Q=cosA+cosB，则P与Q的大小关系为P ＞Q．考点：两角和与差的余弦函数；三角函数线；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：作差由和差化积公式可得P﹣Q=2cos（sin﹣cos），由锐角三角形角的范围可判每个式子的正负，由此可得结论．解答：解：由题意可得P﹣Q=（sinA+sinB）﹣（cosA+cosB）=2sin cos﹣2cos cos=2cos（sin﹣cos）∵△ABC是锐角三角形，∴A+B=π﹣C＞，∴＞，∴sin＞cos，由A和B为锐角可得﹣＜＜，∴cos＞0，∴P﹣Q＞0，即P＞Q，故答案为：P＞Q．点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及和差化积公式及三角函数的值域，属中档题．16．设f（x）是定义在R上的函数，且对任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2014成立，若函数g（x）=f（x）+2014x2013有最大值M和最小值m，则M+m=﹣4028．考点：函数奇偶性的性质；函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：本题可先研究函数f（x）的特征，构造与f（x）、g（x）相关的奇函数，利用奇函数的图象对称性，得到相应的最值关系，从而得到g（x）的最大值M与最小值m的和，得到本题结论．解答：解：∵f（x）是定义在R上的函数，且对任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2014成立，∴取x=y=0，得：f（0）=f（0）+f（0）+2014，f（0）=﹣2014，取y=﹣x，得到：f（0）=f（x）+f（﹣x）+2014，∴f（x）+f（﹣x）=﹣4028．记h（x）=f（x）+2014x2013+2014，则h（﹣x）+h（x）=[f（﹣x）+2014（﹣x）2013+2014]+f（x）+2014x2013+2014=f（x）+f（﹣x）+2014x2013﹣2014x2013+4028=f（x）+f（﹣x）+4028=0，∴y=h（x）为奇函数．记h（x）的最大值为A，则最小值为﹣A．∴﹣A≤f（x）+2014x2013+2014≤A，∴﹣A﹣2014≤f（x）+2014x2013≤A﹣2014，∵g（x）=f（x）+2014x2013，∴∴﹣A﹣2014≤g（x）≤A﹣2014，∵函数g（x）有最大值M和最小值m，∴M=A﹣2014，m=﹣A﹣2014，∴M+m=A﹣2014+（﹣A﹣2014）=﹣4028．故答案为：﹣4028．点评：本题考查了函数奇偶性及其应用，还考查了抽象函数和构造法，本题难度适中，属于中档题．三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2005•天津）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c，设a、b、c满足条件b2+c2﹣bc=a2和=+，求∠A和tanB的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题．分析：根据余弦定理表示出cosA，把已知条件b2+c2﹣bc=a2代入化简后，根据特殊角的三角函数值及cosA大于0即可得到∠A；利用三角形的内角和定理和∠A表示出∠C与∠B的关系，然后根据正弦定理得到与相等，把∠C与∠B的关系代入到中，利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后得到一个关于cotB的方程，求出方程的解即可得到cotB的值，根据同角三角函数的关系即可得到tanB的值．解答：解：由b2+c2﹣bc=a2，根据余弦定理得cosA===＞0，则∠A=60°；因此，在△ABC中，∠C=180°﹣∠A﹣∠B=120°﹣∠B．由已知条件，应用正弦定理+=====cotB+，解得cotB=2，从而tanB=．所以∠A=60°，tanB=．点评：此题考查学生灵活运用余弦、正弦定理化简求值，灵活运用三角形的内角和定理、两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道中档题．18．（12分）（2010秋•淄博校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知=（cos，sin），=（cos，sin），且满足|+|=．（1）求角A的大小；（2）若||+||=||，试判断△ABC的形状．考点：三角形的形状判断；向量的模；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：（1）由得整理可得cosA=结合0＜A＜π可求A=．（2）由已知可得b+c=a结合正弦定理可得，sinB+sinC=sinA，从而有sinB+sin（﹣B）=×，sin（B+）=．由0＜B＜可得＜B+＜，结合正弦函数的性质可求B，进一步可求C，判断三角形的形状解答：解：（1）由得即1+1+2（cos cos+sin sin）=3，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=．（2）∵||+||=||，∴b+c=a，由正弦定理可得，sinB+sinC=sinA，∴sinB+sin（﹣B）=×，即sinB+cosB=，∴sin（B+）=．∵0＜B＜，∴＜B+＜，∴B+=或，故B=或．当B=时，C=；当B=时，C=．故△ABC是直角三角形．点评：本题主要考查了向量的向量的模的求解，向量数量积的运算，和角的三角函数及正弦定理的应用，由特殊角的三角函数值求解角等知识的综合运用，属于综合试题．19．（12分）（2010•台州一模）已知向量=（sin（x+），sinx），=（cosx，﹣sinx），函数f（x）=m（•+sin2x），（m为正实数）．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）将函数f（x）的图象的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的两倍，然后再向右平移个单位得到y=g（x）的图象，试探讨：当x⊆[0，π]时，函数y=g（x）与y=1的图象的交点个数．考点：平面向量的综合题；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：（1）向量=（sin（x+），sinx），=（cosx，﹣sinx），代入f（x）=m（•+sin2x），利用二倍角公式两角和的正弦函数化简为一个角的一个三角函数的形式，求出它的周期，利用正弦函数的单调减区间求出函数的单调减区间即可．（2）横坐标扩大到原来的两倍，得，向右平移个单位，得，从而可求g（x）的解析式，利用函数g（x）的最值结合图象即可得出答案．解答：解：（1）==…（2分）由m＞0知，函数f（x）的最小正周期T=π．（4分）又，（k∈Z）解得，（k∈Z）..（5分）所以函数的递减区间是：，（k∈Z）（6分）（2）横坐标扩大到原来的两倍，得，向右平移个单位，得，所以：g（x）=2msinx．…（7分）由0≤x≤π及m＞0得0≤g（x）≤2m …（8分）所以当0＜m＜时，y=g（x）与y=1无交点当m=时，y=g（x）与y=1有唯一公共点当m＞时，y=g（x）与y=1有两个公共点…（12分）点评：本题是基础题，考查向量的数量积，三角函数的周期以及单调增区间的求法，三角函数的图象的平移，是常考题型．20．（12分）（2015春•沈阳校级期中）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，G在BC上，且CG=CB（1）求证：PC⊥BC；（2）求三棱锥C﹣DEG的体积；（3）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？若存在，求AM的长；否则，说明理由．考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）证明PD⊥BC．BC⊥CD．推出BC⊥平面PCD．然后证明PC⊥BC．（2）说明GC是三棱锥G﹣DEC的高．求出S△EDC．然后通过V C﹣DEG=V G﹣DEC，求解几何体的体积．（3）连结AC，取AC中点O，连结EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG．利用直线与平面平行的判定定理证明．通过△OCG≌△OAM，求解所求AM的长．解答：解：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC．又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD．又∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD．又∵PC⊂平面PCD，∴PC⊥BC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4（2）∵BC⊥平面PCD，∴GC是三棱锥G﹣DEC的高．∵E是PC的中点，∴S△EDC=S△PDC==×（×2×2）=1．∴V C﹣DEG=V G﹣DEC=GC•S△DEC=××1=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8（3）连结AC，取AC中点O，连结EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG．证明：∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥PA．又∵EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，∴PA∥平面MEG．在正方形ABCD中，∵O是AC的中点，BC=PD=2，CG=CB．∴△OCG≌△OAM，∴AM=CG=，∴所求AM的长为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12点评：本题考查直线与平面平行，几何体的体积的求法，距离公式的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力．21．（12分）（2011•银川校级模拟）已知圆C经过P（4，﹣2），Q（﹣1，3）两点，且在y 轴上截得的线段长为4，半径小于5．（1）求直线PQ与圆C的方程；（2）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A、B，∠AOB=90°，求直线l的方程．考点：直线和圆的方程的应用．专题：计算题．分析：（1）根据直线方程的点斜式求解所求的直线方程是解决本题的关键，根据待定系数法设出圆心坐标和半径，寻找未知数之间的关系是求圆的方程的关键，注意弦长问题的处理方法；（2）利用直线的平行关系设出直线的方程，利用设而不求的思想得到关于所求直线方程中未知数的方程，通过方程思想确定出所求的方程，注意对所求的结果进行验证和取舍．解答：解：（1）直线PQ的方程为y﹣3=×（x+1）即直线PQ的方程为x+y﹣2=0，C在PQ的中垂线y﹣=1×（x﹣）即y=x﹣1上，设C（n，n﹣1），则r2=|CQ|2=（n+1）2+（n﹣4）2，由题意，有r2=（2）2+|n|2，∴n2+12=2n2﹣6n+17，∴n=1或5（舍去），r2=13或37（舍去），∴圆C的方程为（x﹣1）2+y2=13．（2）设直线l的方程为x+y+m=0，由，得2x2+（2m﹣2）x+m2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=1﹣m，x1x2=，∵∠AOB=90°，∴x1x2+y1y2=0∴x1x2+（x1+m）（x2+m）=0，整理得m2+m﹣12=0，∴m=3或﹣4（均满足△＞0），∴l的方程为x+y+3=0或x+y﹣4=0．点评：本题考查直线与圆的综合问题，考查直线方程的求解方法和圆方程的求解方法，注意待定系数法的运用，考查学生对直线与圆相交弦长有关问题的处理方法，考查设而不求思想的运用，考查方程思想和转化与化归的思想．22．（12分）（2014•沈北新区校级一模）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2m•f（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m 的值．考点：指数函数综合题；函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）依题意，由f（﹣x）=﹣f（x），即可求得k的值；（Ⅱ）由f（1）=，可解得a=2，于是可得f（x）=2x﹣2﹣x，g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x），令t=2x﹣2﹣x，则g（x）=h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，t∈∈[，+∞），通过对m范围的讨论，结合题意h（t）min=﹣2，即可求得m的值．解答：解：（Ⅰ）由题意，对任意x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），即a﹣x﹣（k﹣1）a x=﹣a x+（k ﹣1）a﹣x，即（k﹣1）（a x+a﹣x）﹣（a x+a﹣x）=0，（k﹣2）（a x+a﹣x）=0，∵x为任意实数，a x+a﹣x＞0，∴k=2．（Ⅱ）由（1）知，f（x）=a x﹣a﹣x，∵f（1）=，∴a﹣=，解得a=2．故f（x）=2x﹣2﹣x，g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x），令t=2x﹣2﹣x，则22x+2﹣2x=t2+2，由x∈[1，+∞），得t∈[，+∞），∴g（x）=h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，t∈[，+∞），当m＜时，h（t）在[，+∞）上是增函数，则h（）=﹣2，﹣3m+2=﹣2，解得m=（舍去）．当m≥时，则h（m）=﹣2，2﹣m2=﹣2，解得m=2，或m=﹣2（舍去）．综上，m的值是2．点评：本题考查指数函数的综合应用，考查函数的奇偶性与单调性，突出换元思想与分类讨论思想在最值中的综合应用，属于难题．。