相似三角形中的面积问题
相似三角形的面积关系总结
相似三角形的面积关系总结
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
在研究相
似三角形时，我们可以得出一些有用的面积关系。
1. 面积比例：相似三角形的面积与它们对应边长的平方成正比。
设两个相似三角形的边长比为a:b，则它们的面积比为a²:b²。
2. 高度比例：相似三角形的高度与它们对应边长的比例相等。
设两个相似三角形的边长比为a:b，则它们的高度比为a:b。
3. 面积差比例：如果在一个相似三角形的每条边上分别取等比
例的线段，则这些线段所分割出的新三角形的面积比等于相似三角
形的边长比的平方。
4. 面积和比例：如果一个相似三角形的每条边上分别取等比例
的线段，则这些线段所分割出的新三角形的面积比等于相似三角形
的边长比的平方。
这些面积关系对于解决与相似三角形有关的几何问题非常有用。
我们可以利用它们来计算未知三角形的面积，比较不同三角形的面
积大小，以及推导出其他有用的几何关系。
总结了相似三角形的面积关系，我们能更好地理解三角形的性质，并在解决实际问题时灵活运用。
相似三角形的面积问题题型总结+答案
相似三角形的有关面积问题复习引入：求三角形面积常用方法1、面积公式：2、等高法：3、相似三角形：【精选例题】【例题】如图，平行四边形ABCD 中，AE:EB=2:3，则S △APE:S △CPD=______.解答：4:25。
【例题】如图，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，且BE=EF=FD, 求S △AMH: S 平行四边形ABCD 的值。
解答：∵平行四边形ABCD ，∴AB//CD ，AD//BC ∴△BME ∽△DAE ，△DHF ∽△BMF ∴BM ：DA=BE ：DE,DH ：BM=DF ：BF 又∵BE=EF=FD,所以BE ：DE=DF ：BF=1：2 ∴AD=2BM,BM=2DH,所以AD=4DH,∴AH=43AD ∴S △AMH:S 平行四边形ABCD=83。
变式：如图，在平行四边形ABCD 中，AE:EB=2:3.则△AEF 和△CDF 的周长比______.解答：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD,AB//CD ， ∴∠EAF=∠DCF ，∠AEF=∠CDF ，∴△AEF ∽△CDF ，S ΔABD S ΔACD =a bh b a H D CBAh a S=12ah E S ΔADE S ΔABC =a 2b 2b a DCBA P ED CBAM 1F 1E 1M EFA BC∴△AEF 的周长：△CDF 的周长=AE ：CD=2：5.变式：如图,E 为平行四边形ABCD 的边AB 延长线上的一点,且BE:AB=2:3，△BEF 的面积为4,则平行四边形ABCD 的面积为_________.答案∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=CB,CB//AD,BC//AB ∴△DEF ∽△AEB ， ∵DE:AB=2:3，∴DE:AE=2:5，∴S △DEF:S △AEB=4:25， ∵△BEF 的面积为4，∴S △AEB=25， ∴S 四边形ABFD=S △AEB−S △DEF=21， ∵AD=CB ，DE:AD=2:3，∴DEBC=23，∵AB//CD ，∴△BEF ∽△CDF ，∴S △DEF:S △CBF=4:9，∴S △CBF=9， ∴S 平行四边形ABCD=S 四边形ABFD+S △CBF=21+9=30【例题】如图,EE 1//FF 1//MM 1//BC,若AE=EF=FM=MB,则S △AEE 1:S 四边形EE 1F 1F:S 四边形FF 1M 1M:S 四边形MM 1CB 为_____.答案:设S △AEE 1=x∵ EE 1//FF 1∴ △AEE 1∽△AFF 1 (平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的 三角形与原三角形相似)∴ 2211AF AE AFF S AEE S =∆∆ (相似三角形面积比等于对应边的平方比) ∵ AE=EF ∴ 21=AF AE ∴ 4111=∆∆AFF S AEE S ∴ S △AFF1=x 4 ∴ S 四边形EE 1F 1F=x 3同理可得 S 四边形FF 1M 1M=x 5 S 四边形MM1CB=x 7∴ S △AED:S 四边形EE1F1F:S 四边形FF 1M 1M:S 四边形MM 1CB=1:3:5:7变式：如图，在△ABC 中，FG//DE//AB ，且AF=FG=CG 。
相似比与面积比的关系
相似比与面积比的关系
面积比=（相似比）的平方，相似三角形的面积比等于相似比的平方。
设小三角形的面积为s，底长为a高为h，则小三角形的面积为s=1/2*a*b。
设大三角形的面积为S，底长为ka高为kh，则大三角形的面积为
S=1/2*ka*kb=1/2*k^2ab。
S/s=(k^2ab)/(a*b)=k^2。
扩展资料：
相似三角形的性质：
1. 相似三角形对应角相等，对应边成比例。
2. 相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
3. 相似三角形周长的比等于相似比。
4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5. 相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方。
6. 若a/b =b/c，即b²=ac，b叫做a,c的比例中项。
专题：相似三角形的面积问题
变式一：变式二：变式三：变式四：变式五：变式六：变式七：中考习题：作业题：在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ．（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？解：（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ．∴ △AMN ∽ △ABC ．∴ AM AN AB AC=，即43x AN=．A B C M N P图 1O A B C M N D图 2 OAB M N 图 3O A MNPOBD 图 2∴ AN ＝43x ． ……………2分 ∴ S =2133248MNP AMN S S x x x ∆∆==⋅⋅=．（0＜x ＜4） ………………3分 （2）如图2，设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =21MN ． 在Rt △ABC 中，BC ． 由（1）知 △AMN ∽ △ABC ．∴ AM MN AB BC=，即45x MN=．∴ 54MN x =，∴ 58OD x =． …………………5分 过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则58MQ OD x ==．在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中，∠B 是公共角， ∴ △BMQ ∽△BCA ． ∴ BM QM BC AC=．∴ 55258324xBM x ⨯==，25424AB BM MA x x =+=+=． ∴ x ＝4996． ∴ 当x ＝4996时，⊙O 与直线BC 相切．…………………………………………7分 （3）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为AP 的中点．∵ MN ∥BC ，∴ ∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠APC∴ △AMO ∽ △ABP ． ∴ 12AM AO AB AP ==． AM ＝MB ＝2．故以下分两种情况讨论：① 当0＜x ≤2时，2Δ83x S y PMN ==．∴ 当x ＝2时，2332.82y =⨯=最大 …………………………………………8分 ② 当2＜x ＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ．∵ 四边形AMPN 是矩形， ∴ PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ． 又∵ MN ∥BC ， ∴ 四边形MBFN 是平行四边形． ∴ FN ＝BM ＝4－x ．∴ ()424PF x x x =--=-． 又△PEF ∽ △ACB ．图 4P 图 3∴ 2PEF ABCS PF AB S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭． ∴ ()2322PEF S x ∆=-． ……………………………………………………… 9分 MNP PEF y S S ∆∆=-＝()222339266828x x x x --=-+-．……………………10分当2＜x ＜4时，29668y x x =-+-298283x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴ 当83x =时，满足2＜x ＜4，2y =最大． ……………………………11分 综上所述，当83x =时，y 值最大，最大值是2． ……………………………12分总结：1.直接法:根据三角形的面积公式解题2.等积法:等底等高的两三角形面积相等.3.等比法:将面积比转化为线段比.①等底(或同底)的三角形面积之比等于高之比. ②等高(或同高)的三角形面积之比等于对应底之比. ③相似三角形的面积比等于相似比的平方.。
相似三角形的中线和面积比较
相似三角形的中线和面积比较相似三角形是指具有相同形状但不一定相等的三角形。
在相似三角形中，中线和面积是两个重要的性质，它们之间存在一定的关系。
本文将探讨相似三角形的中线和面积的比较。
一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指两个三角形的对应角相等，并且对应边成比例。
具体而言，若三角形ABC与三角形DEF相似，则有以下关系成立：1. 角的对应关系：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
2. 边的成比例关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF。
相似三角形具有许多重要的性质，其中包括中线和面积的特点。
二、相似三角形中线的比较在相似三角形中，中线与对边之间也存在一定的比例关系。
设三角形ABC与三角形DEF相似，比例系数为k（即AB/DE = BC/EF = AC/DF = k）。
1. 中线比较：若AD和DF分别为三角形ABC和三角形DEF的中线，则它们的长度比为k/2。
即AD/DF = k/2。
证明：根据相似三角形的性质，有AB/DE = BC/EF = AC/DF = k。
由于AD是三角形ABC的中线，因此AD = (1/2)AC。
同理，DF = (1/2)EF。
代入比例关系式中，得到AD/DF = (1/2)AC/(1/2)EF = AC/EF = k。
由此可知，在相似三角形中，中线的长度比是对应边长度比的一半。
2. 比较示例：举例说明中线比较的关系。
设有相似三角形ABC和三角形DEF，比例系数为k = 2。
则根据中线比较的结论，三角形ABC 的中线AD和三角形DEF的中线DF的长度比为2/2=1。
即AD/DF = 1。
三、相似三角形面积的比较在相似三角形中，面积与边长的关系是二次的比例关系。
设三角形ABC与三角形DEF相似，比例系数为k（即AB/DE = BC/EF = AC/DF = k）。
1. 面积比较：若S1和S2分别为三角形ABC和三角形DEF的面积，则它们的面积比为k^2。
相似三角形之面积问题
相似三角形之面积问题知识点：若两三角形相似，则两三角形的面积比等于相似比的平方。
模型一：A 形相似下的面积问题：已知DE ∥BC若：21=AB AD 则 41=ABC ADE S S △△, 31=BCDE ADE S S 梯形△图1例1.如图1，在△ABC 中，DE ∥BC,1).______:2:1:21==S S DB AD ，则._______:94)221==BC DE S S ，则：：若练习1：如图1,在△ABC 中，DE ∥BC,1).______:3:1:21==S S DB AD ，则._______:______,:54)221===BC DE AB AD S S ，则：：若._______:74)221==BC DE S S ，则：：若练习2.如图1,在△ABC 中，DE ∥BC,DB AD S S BCED AD E :41:，求：梯形△=例2.若DE ∥FG ∥BC ，且DE ，FG △ABC 的面积三等分，若BC=9，则FG 的长为_____.练习3若DE ∥FG ∥BC ，且DE ，FG △ABC 的面积三等分，若BC=15，则FG 的长为_____，DE+FG=_______.模型二：以平行四边形一边为相似三角形的一条边。
例3.平行四边形ABCD 中，点F 在DC 边上，且FC:FD=1：3，则。
△△__________:=EAB EFC S S A DFBC E练习4.如图，F 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上，连接AF 交BC 于E ，且CE ：BE=1：3，若△EFC 的面积等于a ，求平行四边形的面积．练习 5.在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边上的中点，AE 交BD 于点O,._______,cm 92==AO B D O E S S △△则模型三：三角形中等高模型：若两个三角形等高，则面积比就等于底边之比。
AE 若31=EC AE 则._____=BCEABE S S △△ B CA 若._______31==ADCABD S S CD BD △△，则B D C例4.在正方形ABCD中，若AB=4，AE：EC=1：3，求△BCE的面积。
相似三角形面积和边之比的关系
相似三角形面积和边之比的关系相似三角形是初等几何学中的一个重要概念。
它描述了两个或更多个三角形具有相同形状但可能不同尺寸的特性。
在相似三角形中，我们可以观察到面积和边之间存在着一种重要的关系。
在本文中，我们将深入探讨这个关系，以及它对几何学的应用。
让我们回顾一下相似三角形的定义。
相似三角形是指具有相同形状但不一定相同尺寸的三角形。
两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等，并且对应边的比例相等。
根据这个定义，我们可以得出结论：相似三角形的对应边之比等于它们的面积之比。
设有两个相似三角形ABC和DEF，它们之间的对应边之比为AB/DE。
现在，让我们考虑这两个三角形的面积。
根据几何学的面积公式，三角形的面积等于底边乘以高并除以2。
三角形ABC的面积可以表示为：Area_ABC = (1/2) * AB * h_ABC，其中h_ABC是三角形ABC的高。
同样地，三角形DEF的面积可以表示为：Area_DEF = (1/2) * DE *h_DEF，其中h_DEF是三角形DEF的高。
由于三角形ABC和DEF是相似的，它们的对应边之比等于AB/DE。
假设相似比例为k，即AB/DE = k。
我们可以将这个比例代入到上述的面积公式中，得到：Area_ABC = (1/2) * (k * DE) * h_ABC = (1/2)* k * DE * h_ABC，以及Area_DEF = (1/2) * DE * h_DEF。
通过比较这两个表达式，我们可以得出结论：相似三角形的对应边之比等于它们的面积之比。
这个结论对于几何学的应用非常重要。
通过相似三角形的面积和边的关系，我们可以解决各种有关比例和比率的问题。
在房地产领域，我们可以利用相似三角形的面积和边之比来估算房屋的价格。
通过测量房屋的长度和宽度，并找到一个相似三角形来比较，我们可以根据它们的边之比来计算房屋的面积，从而估算出房屋的价值。
相似三角形的面积和边之比还可以应用于地理学和天文学中。
初中数学 相似直角三角形的面积比例是否相等
初中数学相似直角三角形的面积比例是否相等相似直角三角形的面积比例是相等的。
设两个相似的直角三角形为△ABC和△DEF，其中△A和△D是直角。
根据三角形相似的性质，我们知道对应角度相等，并且对应边长之比相等。
因此，我们可以得出以下结论：1. 面积比例关系：相似的直角三角形的面积之比等于对应边长之比的平方。
设直角边分别为AB和DE，对应边长分别为BC和EF，根据相似三角形的性质，有以下比例关系成立：面积(△ABC)/面积(△DEF) = (BC/EF)^2证明：根据三角形的面积公式，△ABC的面积为(1/2)*AB*BC，△DEF的面积为(1/2)*DE*EF。
因此，我们需要证明(1/2)*AB*BC / (1/2)*DE*EF = (BC/EF)^2。
首先，我们知道AB/DE = BC/EF，根据这个比例关系，我们可以将DE表示为AB的一个倍数：DE = k*AB，其中k为一个常数。
将DE代入△DEF的面积公式，我们得到面积(△DEF) = (1/2)*k*AB*EF。
将AB和EF代入△ABC的面积公式，我们得到面积(△ABC) = (1/2)*AB*BC。
将面积(△ABC)和面积(△DEF)代入面积比例关系中，我们得到：面积(△ABC)/面积(△DEF) = (1/2)*AB*BC / ((1/2)*k*AB*EF) = BC/EF * (1/k)由于AB/DE = BC/EF，所以1/k = DE/AB = (k*AB)/AB = k。
因此，面积(△ABC)/面积(△DEF) = BC/EF * (1/k) = BC/EF * k = (BC/EF)^2。
这个证明表明，如果两个直角三角形是相似的，它们的面积之比等于对应边长之比的平方。
这个性质在解决与相似直角三角形相关的问题时非常有用，可以帮助我们确定未知的面积比例关系。
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学习目标：．结合相似三角形的性质：相似比的平方等于面积比，解决相似三角形的面积问题 通过练习，体会并运用等高(或同高)的三角形面积之比等于对应底之比
4、在ABCD 中,AE:BE=2:3，求S △A PE :S △C PD 与
S △A PD ：S △D PC
5.点D 是△ABC 边 BC 延长线上一点，过点C 作CE ∥AB ，作DE ∥AC ，联结AE ，S △ABC =9 ,S
△CDE
=4, 求S △ACE
6.如图，CB ∥EF ， S △EBC =9 ,S △CFE =4,求S △ABC
7.体验中考
（1）如图1，△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB ，AC 于D ，E 两点，过点D 作DF ∥AC 交BC 于点F ．请按图示数据填空：
四边形DFCE 的面积S = ， △DBF 的面积1S = ，
△ADE 的面积2S = ．
探究发现
（2）在（1）中，若BF a =，FC b =，D Ｇ与BC 间的距离为h ．证明2124S S S =
拓展迁移
（3）如图2，□DEFG 的四个顶点在△ABC 的三边上，若△ADG 、△DBE 、△GFC 的面积分别为4、8、1，试利用．．（2．）中的结论．．．．求□DEFG 的面积，直接写出结果． 三．课堂小结
如图1，点A ，A 1，A 2在直线l 上，当直线l ∥BC 时，
BC A BC A ABC S S S 21∆∆∆==.
请你参考小华的学习经验画图(保留画图痕迹）：
(1)如图2，已知△ABC ，画出一个．．
等腰△DBC ，使其面积与△ABC 面积相等； (2)如图3，已知△ABC ，画出两个．．Rt △DBC ，使其面积与△ABC 面积相等(要求：所画的两个三角形不全等．．．
)； 变式三 ：如图,DE ∥BC ,DF ∥AC, S △ABC =a , 则四边形DFCE 的面积为
______________.
变式四： 如图,平行四边形ABCD 中,AE:EB=2:3, 则S △APE :S △CPD =_____________.
变式五：如图,平行四边形ABCD 中,BE:AB=2:3, 且 S △BPE =4, 求平行四边形ABCD 的面积. 四、总结：
1.找到与已知和所求有关的基本图形.
2.找到相似三角形及相似比 利用面积比等于相似比的平方.
学习重点：利用面积比等于相似比的平方及其等高或同高的三角形面积比等于对应底的比求面积 学习难点：找准基本图形解决问题
一、复习引入：
二、例题及变式练习
1、如图,DE ∥BC, ， 则△ADE 与△ABC 的相似比是 __________,面积 之比是_______. △ADE 与四边形DBCE 的面积比是 。
2、如图,DE ∥FG ∥BC, 且AD=DF=FB, 设△ABC 被分成的三部分的面积分别为S 1,S 2,S 3, 求S 1:S 2:S 3 .
3、在ABCD 中,CE:CB=2:3,S △CEF =4, 求
ABCD 的面积
变式六：如图,AC 是平行四边形 ABCD 的对角线,且AE=EF=FC, 求S △DMN: S △ACD 变式七：如图, △ ABC 中,AD ∥BC,联结CD 交AB 于点E,且，且 AE ：EB=1：3，过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ，
变式八：如图,点D 和E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上,若 S △ADE =4 ,S △BCE =24,求 S △BDE
变式九：如图,点D 是△ABC 边 BC 延长线上一点，过点C 作CE ∥AB ，作DE ∥AC ，联结AE ，S △ABC =9 ,S △CDE =4, 求S △ACE 三、拓展练习
1、(09中考链接）.在△ABC 内任取一点P,过点P 作三条直线分别平行于三角形的三边,这样所得的三个小三角形的面积分别为S1,S2,S3, 且S1=4 ,S2=9 ,S3=49, 求S △ABC .
12
AD BD =且图1。