2019年上海市长宁、嘉定区高三二模理科数学试卷及答案
高考数学精品复习资料2019.520xx 学年长宁、嘉定区高三年级第二次模拟考试数学试卷（理）一．填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题4分） 1．函数)32si n()(π+=x x f 的最小正周期是__________．2．若关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为(,1)m ，则实数=m _________． 3．已知集合{}{}331,,0,1<<=-=x x B a A ，若A B ≠∅，则实数a 的取值范围是 ． 4．已知复数z 满足1iz -＝3，则复数z 的实部与虚部之和为__________． 5．求值：1220132013201320132013124(2)C C C -+-+-=___________．6．已知向量||).,5(),2,2(k +=-=若不超过5，则k 的取值范围是____________．7．设1,0≠>a a ，行列式34210231D -=xa 中第3第2列的代数余子式记作y ，函数()x f y =数图像经过点()1,2，则a = ． 8．如图是一个算法框图，则输出的k 的值是 _______． 9．已知135sin ,53)cos(-==-ββα， 且)0,2(),2,0(πβπα-∈∈，则______sin =α．10．设函数⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-=]1,0[,1)0,1[,1)(2x x x x x f ，则将)(x f y =的曲线绕x 轴旋转一周所得几何体的体积为____________．11．抛掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数是偶数的事件为A ，向上的点数大于2且小于或等于5的事件为B ，则事件B A 的概率=)(B A P ____________．12．设定义域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=)1(1)1(|1|1)(x x x x f ，若关于x 的方程第8题0)()(2=++c x bf x f 有三个不同的实数解321,,x x x ，则232221x x x ++=____________．13.函数1sin )1()(22+++=x xx x f 的最大值和最小值分别为m M ,，则=+m M ______． 14．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若不等式21222ma nS a n n ≥+对任意等差数列{}n a 及任意正整数n 都成立，则实数m 的最大值为._______二．选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题5分）15. 已知),(11b a A ，),(22b a B 是坐标平面上不与原点重合的两个点，则OA OB ⊥的充要条件是 （ ） A ．12211-=⋅a b a b B.02121=+b b a a C.2121b ba a = D.1221b a b a = 16.关于直线l ，m 及平面α，β，下列命题中正确的是（ ）A ．若,,//m l =⋂βαα则m l //B ．若,//,βαl l ⊥则βα⊥C ．若,//,//ααm l 则m l //D ．若l m l ⊥,//α，则α⊥m17. 过点(1,1)P 作直线l 与双曲线2212y x -=交于A 、B 两点，使点P 为AB 中点，则这样的直线l （ ） A ．存在一条，且方程为210x y --= B ．存在无数条 C ．存在两条，方程为()210x y ±+= D ．不存在 18.已知0>a 且1≠a ，函数)(log )(2b x x x f a ++=在区间),(+∞-∞上既是奇函数又是增函数，则函数b x x g a -=||log )(的图象是( )三．解答题（本大题满分74分，共5小题）19.（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）如图：已知⊥AB 平面BCD ，CD BC ⊥，AD 与平面BCD 所成的角为︒30，且2==BC AB ． （1）求AD 与平面ABC 所成角的大小；AB CD（2）求点B 到平面ACD 的距离．20. （本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边a ，b ，c 成等比数列． （1）求证：03B π<≤；（2）求1sin 2sin cos By B B+=+的取值范围．21.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）设函数)10()1()(≠>--=-a a a k a x f xx且是定义域为R 的奇函数．（1）求k 的值； （2）若23)1(=f ，且)(2)(22x f m aa x g xx ⋅-+=-在),1[∞+上的最小值为2-，求m 的值．22.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分）如图，已知点)1,0(F ，直线m ：1-=y ，P 为平面上的动点，过点P 作m 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过轨迹C 的准线与y 轴的交点M 作直线m '与轨迹C 交于不同两点A 、B ，且线段AB 的垂直平分线与y 轴的交点为),0(0y D ，求0y 的取值范围；（3）对于（2）中的点A 、B ，在y 轴上是否存在一点D ，使得△ABD 为等边三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题6分）已知三个互不相等的正数a ，b ，c 成等比数列，公比为q ．在a ，b 之间和b ，c 之间共插入n 个数，使这3+n 个数构成等差数列．（1）若1=a ，在b ，c 之间插入一个数，求q 的值；（2）设c b a <<，4=n ，问在a ，b 之间和b ，c 之间各插入几个数，请说明理由；（3）若插入的n 个数中，有s 个位于a ，b 之间，t 个位于b ，c 之间，试比较s 与t 的大小．20xx 学年长宁、嘉定区高三年级第二次模拟考试数学试卷（参考答案）一、填空题（每小题4分，共56分） 1．π 2。
21 3。
)1,0( 4。
345。
1- 6.]6,2[- 7。
4 8． 6 9。
653310。
π 11． 65 12。
5 13。
2 14． 51二、选择题（每小题5分，共20分） 15．B 16。
B 17。
D 18。
A三、解答题19．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分） 解：（1）因为⊥AB 平面BCD ，所以CD AB ⊥，又CD BC ⊥，所以⊥CD 平面ABC ， DAC ∠就是AD 与平面ABC 所成的角． ………………2分 因为⊥AB 平面BCD ，AD 与平面BCD 所成的角为︒30，故︒=∠30ADB ， 由2==BC AB ，得4=AD ，22=AC ， ………………4分 所以22cos ==∠AD AC DAC ， 所以AD 与平面ABC 所成角的大小为︒45． ………………6分（2）设点B 到平面ACD 的距离为d ，由（1）可得32=BD ，22=CD ， 则3246131=⋅⋅⋅=⋅=∆-AB CD BC AB S V BCD BCD A ，………………8分 d d CD AC d S V ACD ACD B 346131=⋅⋅⋅=⋅=∆-．………………10分由ACD B BCD A V V --=，得2=d ．所以点B 到平面ACD 的距离为2．………………12分20．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分） 解：（1）由已知，ac b =2，所以由余弦定理，得acacc a ac b c a B 22cos 22222-+=-+= ………………2分由基本不等式ac c a 222≥+，得2122cos =-≥ac ac ac B ．………………4分 所以⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,21cos B ．因此，30π≤<B ．………………6分（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=++=++=4sin 2cos sin cos sin )cos (sin cos sin 2sin 12πB B B B B B B B B B y ， ………………9分由（1），30π≤<B ，所以12744πππ≤+<B ，所以⎥⎦⎤ ⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+1,224sin πB ，所以，BB By cos sin 2sin 1++=的取值范围是(]2,1． ………………12分21．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分） 解：（1）由题意，对任意R ∈x ，)()(x f x f -=-， 即x x x xa k a a k a---+-=--)1()1(， ………………2分即0)())(1(=+-+---x x xxa a aa k ，0))(2(=+--x x a a k ，因为x 为任意实数，所以2=k ． ………………4分解法二：因为)(x f 是定义域为R 的奇函数，所以0)0(=f ，即0)1(1=--k ，2=k ． 当2=k 时，xxaa x f --=)(，)()(x f a ax f x x-=-=--，)(x f 是奇函数．所以k 的值为2． ………………4分 （2）由（1）xxaa x f --=)(，因为23)1(=f ，所以231=-a a ， 解得2=a ． ………………6分 故xxx f --=22)(，)22(222)(22x x x xm x g ----+=，令x xt --=22，则222222+=+-t x x，由),1[∞+∈x ，得⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+∈,23t ，所以2222)(22)()(m m t mt t t h x g -+-=+-==，⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+∈,23t ………………9分当23<m 时，)(t h 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,23上是增函数，则223-=⎪⎭⎫⎝⎛h ，22349-=+-m ， 解得1225=m （舍去）． ………………11分当23≥m 时，则2)(-=m f ，222-=-m ，解得2=m ，或2-=m （舍去）．………………13分综上，m 的值是2． ………………14分22．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分） 解：（1）设),(y x P ，由题意，)1,(-x Q ，)1,0(+=y ，)2,(x -=，)1,(-=y x ，)2,(-=x ， ………………2分由⋅=⋅，得)1(2)1(22--=+y x y ，化简得y x 42=．所以，动点P 的轨迹C 的方程为y x 42=． ………………4分 （2）轨迹C 为抛物线，准线方程为1-=y ，即直线m ，所以)1,0(-M ， ………………6分设直线m '的方程为1-=kx y （0≠k ），由⎩⎨⎧=-=，y x kx y 4,12 得0442=+-kx x ，由△016162>-=k ，得12>k ． ………………8分 设),(11y x A ，),(22y x B ，则k x x 421=+，所以线段AB 的中点为)12,2(2-k k ， ………………9分所以线段AB 垂直平分线的方程为0)]12([)2(2=--+-k y k k x ，………………10分令0=x ，得1220+=k y ． ………………11分因为12>k ，所以),3(0∞+∈y ． ………………12分（3）由（2），k x x 421=+，421=x x ，所以221221)()(||y y x x AB -+-=]4))[(1())(1(2122122212x x x x k x x k -++=-+=)1616)(1(22-+=k k )1)(1(422-+=k k ． ………………14分 假设存在点),0(0y D ，使得△ABD 为等边三角形，则D 到直线AB 的距离||23AB d =． ………………15分 因为)12,0(2+k D ，所以121)1(21|1|22220+=++=++=k k k k y d ，………………16分所以113212222-⋅+=+k k k ，解得342=k ． ………………17分所以，存在点⎪⎭⎫⎝⎛311,0D ，使得△ABD 为等边三角形． ………………18分23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题6分） 解：（1）因为a ，b ，c 是互不相等的正数，所以0>q 且1≠q ． 由已知，a ，b ，c 是首项为1，公比为q 的等比数列，则q b =，2q c =，…2分当插入的一个数位于b ，c 之间， 设由4个数构成的等差数列的公差为d ，则⎩⎨⎧+=+=dq dq 3112，消去d 得02322=+-q q ，因为1≠q ，所以2=q ． ………………4分（2）设所构成的等差数列的公差为d ，由题意，0>d ，共插入4个数．………………5分 若在a ，b 之间插入1个数，在b ，c 之间插入3个数，则⎩⎨⎧+=+=db c da b 42，于是42b c a b -=-，b c a b -=-22，0232=+-q q ，解得2=q ．………………7分 若在a ，b 之间插入3个数，在b ，c 之间插入1个数，则⎩⎨⎧+=+=db c da b 24，于是24b c a b -=-，a b b c -=-22解得21=q （不合题意，舍去）． ………………9分 若a ，b 之间和b ，c 之间各插入2个数，则⎩⎨⎧+=+=d b c da b 33，b c a b -=-，解得1=q （不合题意，舍去） ………………11分 综上，a ，b 之间插入1个数，在b ，c 之间插入3个数． ………………12分（3）设所构成的等差数列的公差为d ，由题意，d s a b )1(++=，1+-=s a b d ，又d t b c )1(++=，1+-=t cb d ，…………14分 所以11+-=+-t bc s a b ，即1)1(11+-=+-t q q s q ，因为1≠q ，所以q s t =++11．………………16分所以，当1>q ，即c b a <<时，t s <；当10<<q ，即c b a >>时，t s >．………………18分。
2019年最新上海市第二次高考模拟高三数学试卷及答案解析
第二学期期中高三年级数学学科教学质量监测试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 若集合{}0A x x =>，{}1B x x =<，则AB = ．2. 已知复数z 满1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z = ．3. 函数()sinx cosxf x cosx sinx=的最小正周期是 ．4. 已知双曲线222181x y a -=（0a >）的一条渐近线方程为3y x =，则a = ．5. 若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为 ．6. 已知x y ，满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是 ． 7. 直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线32x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是 ．8. 已知函数()()220()01xx f x log x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩ 的反函数是1()f x -，则11()2f -= ．9. 设多项式231(1)(1)(1)nx x x x ++++++++（*0x n N ≠∈，）的展开式中x 项的系数为n T ，则2nn T limn →∞= ．10. 生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p = ．11. 设向量m ()x y =，，n ()x y =-，，P 为曲线1m n ⋅=（0x >）上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为 ．12. 设1210x x x ，，，为1210，，，的一个排列，则满足对任意正整数m n ，，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 设a b R ∈，，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的………………………（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件14. 如图，P 为正方体1111ABCD A BC D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC ∆在该正方体各个面上的射影可能是 …………………………………………………………………（ ）（A ）①②③④ （B ）①③ （C ）①④ （D ）②④ 15. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12l l ，同侧，且P 到12l l ，的距离分别为13，．点M N ，分别在12l l ，上，8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为…………………（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）9 16. 若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”．设2()x f x xλ+=（0x >），若对于任意t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是…………………………………………………………………………………………（ ）（A ）(]02， （B ）(]12，（C ）[]12， （D ）[]14， 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E F 、分别是线段1BC CD 、的中点．（1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小； （2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小．18. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知抛物线22y px =（0p >），其准线方程为10x +=，直线l 过点(0)T t ，（0t >）且与抛物线交于A B 、两点，O 为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关； （2）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式．19. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[]m n D ⊆，（m n <），同时满足： ①()f x 在[]m n ，内是单调函数；②当定义域是[]m n ，时，()f x 的值域也是[]m n ，．则称函数()f x 是区间[]m n ，上的“保值函数”． （1）求证：函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”； （2）已知211()2f x a a x=+-（0a R a ∈≠，）是区间[]m n ，上的“保值函数”，求a 的取值范围．20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）数列{}n a 中，已知12121()n n n a a a a k a a ++===+，，对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（这里a k ，均为实数） （1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）若112a k ==-，，求n S ； （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12m m m a a a ++，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设T R ⊂≠，若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合，同时称M 为集合T 的上界．（1）设12121x x A y y x R ⎧⎫-⎪⎪==∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，、212A x sinx ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，试判断1A 、2A 是否为有界集合，并说明理由； （2）已知2()f x x u =+，记11()()()(())n n f x f x f x f f x -==，（23n =，，）．若m R ∈，1[)4u ∈+∞，，且{}()n B f m n N *=∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围；（3）设a b c 、、均为正数，将222()()()a b b c c a ---、、中的最小数记为d ．是否存在正数(01)λ∈，，使得λ为有界集合222{|dC y y a b c==++，a b c 、、均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由．参考答案及评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分） 1、()0,1 2、1 3、π 4、3 5、16π6、37、28、1-9、1210、0.03 1112、512 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13、B 14、C 15、A 16、A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 解：（1）方法一：设正方体棱长为2，以D 为原点，直线DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(000)D ，，，(220)B ，，，(020)C ，，，1(002)D ，，，故(12E ，，，(011)F ，，，()111EF =--，，，()1002AA =，，， …………………4/设异面直线EF 与1AA 所成角的大小为α，向量EF 与1AA 所成角为β，则11EF AA cos cos EF AA αβ⋅==⋅…… 6/3==，……7/注意到02πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，故3arccosα=，即异面直线EF 与1AA 所成角的大小为3arccos．…………………8/ （2）由（1）可知，平面11AA B B 的一个法向量是(100)n =，，，…………………10/设直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小是θ，向量EF 与n 所成角为γ，则EF n sin cos EF nθγ⋅==⋅………12/3=13/1又02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，θ∴=线EF 与平面11AA B B 所成角的大小为．………………14/方法二：设正方体棱长为2．（1）在面11CC D D 内，作FH CD ⊥于H ，联结HE ．因为正方体1111ABCD A BC D -，所以1AA ∥1DD ；在面11CC D D 内，有FH ∥1DD ，故异面直线EF 与1AA 所成的角就是EFH ∠（或其补角）．………………………4/由已知及作图可知，H 为CD 的中点，于是，在Rt EFH ∆中，易得1FH =，HE=，故HE tanEFH FH∠=， ………………………………………… 6/== 7/ 又(0)2EFH π∠∈，，所以EFH∠=从而异面直线EF 与1AA 所成角的大小为8/（2）因为正方体1111ABCD A BC D -，所以平面11AA B B ∥平面11CC D D ，故直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小就是直线EF 与平面11CC D D 所成角．注意到BC ⊥平面11CC D D ，即EC ⊥平面11CC D D ，所以直线EF 与平面11AA B B所成角的大小即为EFC∠． ………………………………10/在Rt EFC∆中，易得1EC FC ==，，故ECtan EFCFC∠=……………………12/2==，………………13/又(0)2EFCπ∠∈，，故2E F C a r c ta n∠=，即直线EF与平面11AA B B所成角的大小为……14/18.解：（1）方法一：由题意，2=p，所以抛物线的方程为xy42=．……………2/当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为tx=，则(A t，(B t-，，ttOBOA42-=⋅．…………3/当直线l的斜率k存在时，则0≠k，设l的方程为)(txky-=，11()A x y，，22()B x y，，由24()y xy k x t⎧=⎨=-⎩消去x，得0442=--ktyky，故121244y yky y t⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，所以，ttyyyyyyxx41622122212121-=+=+=⋅．…………………………………………5/综上，OBOA⋅的值与直线l倾斜角的大小无关．…………………………………………6/方法二：由题意，2=p，所以抛物线的方程为xy42=．………………………………2/依题意，可设直线l 的方程为x my t =+（m R ∈），11()A x y ，，22()B x y ，，由24y x x my t ⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=， 故121244y y my y t+=⎧⎨=-⎩， 所以，12121212()()OA OB x x y y my t my t y y ⋅=+=+++221212(1)()m y y mt y y t =++++ …………………………5/22(1)(4)4m t mt m t =+-+⋅+24t t =-综上，OB OA ⋅的值与直线l倾斜角的大小无关． …………………………6/（2）设00()P x y ，，则0204x y =，||PT =， ……………………… (8)/注意到00≥x ，所以，若20t -≥，即2t ≥，则当02x t =-时，||PT 取得最小值，即()2)d t t =≥；………10/若20t -<，即有02t <<，则当00x =时，||PT 取得最小值，即()(02)d t t t =<<；………12/综上所述，()()2()02t d t tt ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩…………………………………………………14/19.解：（1）函数2()2g x x x =-在[01]x ∈，时的值域为[10]-，，…………………………4/不满足“保值函数”的定义，因此函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”．………………………6/（2）因xa a x f 2112)(-+=在[]m n ，内是单调增函数，故()()f m mf n n ==，，……8/这说明m n ，是方程x xa a =-+2112的两个不相等的实根， ………………………………10/其等价于方程1)2(222=++-x a a x a 有两个不相等的实根，……………………………11/由222(2)40a a a ∆=+->解得23-<a 或21>a ． ………………………………………13/ 故a的取值范围为3122⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，． ………………………………………………14/20.解：（1）若{}n a 是等差数列，则对任意*n N ∈，有122n n n a a a ++=+，………………2/即121()2n n n a a a ++=+，………………………………………………………………………3/故12k =．………………………………………………………………………………………4/（2）当12k =-时，121()2n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--， 211()n n n n a a a a ++++=-+，故32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+． …………………………………………5/所以，当n 是偶数时，1234112()(11)22n n n n nS a a a a a a a a n -=++++++=+=+=；……………………7/当n 是奇数时，2312()2a a a a +=-+=-，12341n n n S a a a a a a -=++++++123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++11(2)22n n -=+⨯-=-． ……………9/综上，()()222n n n S nn-=⎧⎪=⎨=⎪⎩（*k N ∈）． …………………………………………10/（3）若}{n a 是等比数列 ，则公比a a a q ==12，由题意1≠a ，故1-=m m a a ，m m a a =+1，12++=m m a a ．……11/① 若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔221a a =+，解得1=a （舍去）；……12/② 若ma 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔22a a =+，因1≠a ，故解得，2a =-，11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ……………………………14/③ 若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112221m mma a aa a+-=+⇔=+， 因为1≠a ，解得212215a a k a =-==-+，． …………………………………………15/综上，存在实数k满足题意，25k =-．…………………………………………………16/21.解：（1）对于1A ，由2121x xy -=+得1201x y y +=>-，解得11y -<<，………………2/1A ∴为有界集合； …………………………………………3/显然252266A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+<<+∈⎨⎬⎭⎩，不是有界集合． ………………………4/（2）记()n n a f m =，则21n n a a u +=+．若14u =，则21()4f m m =+，22111()42n n n n n a a a a a +=+=-+≥，即1n n a a +≥，且211111()()2422n n n n a a a a +-=-=-+，从而1111222n n n a a a +-=-⋅+． （ⅰ）当12m =时，1()2n n f m a ==，所以1{}2B =，从而B 为有界集合．…………5/（ⅱ）当12m <时，由2114n n a a +=+，2111()()4a f m f m m ===+，显然，此时0n a >，利用数学归纳法可得12n a <，故B 为有界集合．…………………………………………6/（ⅲ）当12m >时，211111()()42n n a a a f m f m m m +≥≥≥===+≥>，2114n n n n a a a a +-=-+21()2n a =- 211()2a ≥-，即2111()2n n a a a +-≥-，由累加法得2111(1)()2n a a n a ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．因此，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合； 若14u >，则211()()a f m f m m u u ===+≥，即114a u ≥>， 又2114n n a a u u +=+>>（n N *∈）， 即14n a >（n N *∈）． 于是，对任意n N *∈，均有221111()244n n n n n a a a a u a u u +-=-+=-+-≥-，即114n n a a u +-≥-（n N *∈），再由累加法得11(1)()4n a a n u ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．………8/综上，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合；当14u >(m R ∈)时，B 不是有界集合． 故，满足题设的实数u 的值为14，且实数m 的取值范围是11[]22-，．………………10/ （3）存在．………………………………………………………………………11/不妨设a b c ≥≥．若2a cb +≤，则2a b c ≥-，且2()d b c =-． 故22222225()5()()d a b c b c a b c -++=--++22225()[(2)]b c b c b c ≤---++3(2)0c c b =-<，即22222215()05d d a b c a b c -++<⇔<++；…………13/若2a cb +>，则2a ac b <+<，即220a b a b <⇔-<， 又2a cb bc a b +>⇔->-，故2()d a b =-，又 22222225()5()()d a b c a b a b c -++=--++22(2)(2)0a b a b c =---<，即 2225()0d a b c -++<22215d a b c ⇔<++，因此，15是有界集合C 的一个上界．…………………………15/下证：上界15λ<不可能出现． 假设正数15λ<出现，取2a c b +=，1()05c a λ=->，则22a c d -⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时，d22222213()()()55a b c a b c acλλ=+++-++-22221()()5a b c a acλλ>+++--222()a b c λ=++（*）…17/由式（*）可得222222()dd a b c a b c λλ>++⇔>++，与λ是C 的一个上界矛盾！．综上所述，满足题设的最小正数λ的值为15． …………………………………………18/。
2019年高三二模数学(理科)(含答案)
2019年高三二模数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.计算=（）A. B. i C. D. 12.已知集合A={x∈N|x≤6}，B={x∈R|x2-4x＞0}，则A∩B=（）A. 5，B.C. D. 或3.已知{a n}为等差数列，且a7-2a4=-1，a3=0，则公差d=（）A. B. C. D. 24.如图所示，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆．将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内，用A表示事件“豆子落在扇形OEF（阴影部分）内”，则P（A）=（）A. B. C. D.5.已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则（）A. B. C.D.6.执行如图所示的程序框图，则输出的k=（）A. 7B. 8C. 9D. 107.已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A. B.C. D.8.为了得到函数的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位9.已知变量x，y满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为A. B. C. D.10.已知三棱锥S-ABC，满足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC=3，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.11.在的展开式中的x3的系数为（）A. 210B.C.D. 28012.函数f（x）=的图象与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. 或 D. 或二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.点P从（-1，0）出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为______．14.已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+4y=0垂直，则实数a= ______ ．15.已知数列{a n}中，a1=3，a2=7．当n∈N*时，a n+2是乘积a n•a n+1的个位数，则a2019=______．16.已知F是双曲线的右焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）=c．（1）求C；（2）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18、某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．（1）求图中的值；（2）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望E（X）．（参考公式：，其中n=a+b+c+d）19、在平行四边形中，，.将沿折起，使得平面平面，如图.（1）求证：;（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值.20、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．求该椭圆的方程；过点作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．21、已知函数f（x）=4x2+-a，g（x）=f（x）+b，其中a，b为常数．（1）若x=1是函数y=xf（x）的一个极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）有2个零点，f（g（x））有6个零点，求a+b的取值范围．22、已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：=．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i的运算性质求值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了集合的化简与运算问题，以及一元二次不等式的解法，是基础题目．化简集合A、B，再根据交集的定义求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x∈N|x≤6}={0，1，2，3，4，5，6}，B={x∈R|x2-4x＞0}={x∈R|x＜0或x＞4}，∴A∩B={5，6}．故选B．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了等差数列的通项公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用．利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求解即可．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式以及已知条件得，即，解得d=-， 故选B ． 4.【答案】C【解析】解：由图可知：正方形的边长为2， S 阴==，S 正=2×2=4，则P （A ）===，故选：C ．由扇形的面积得：S 阴==，由几何概型中的面积型得：则P （A ）===，得解．本题考查了扇形的面积及几何概型中的面积型，属简单题． 5.【答案】D【解析】解：若a ＞1，则由log a b ＞1得log a b ＞log a a ，即b ＞a ＞1，此时b-a ＞0，b ＞1，即（b-1）（b-a ）＞0，若0＜a ＜1，则由log a b ＞1得log a b ＞log a a ，即b ＜a ＜1，此时b-a ＜0，b ＜1，即（b-1）（b-a ）＞0， 综上（b-1）（b-a ）＞0， 故选：D ．根据对数的运算性质，结合a ＞1或0＜a ＜1进行判断即可．本题主要考查不等式的应用，根据对数函数的性质，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．比较基础． 6.【答案】C【解析】解：∵=-，∴s=++…+=1…+-=1-，由S≥得1-≥得≤，即k+1≥10，则k≥9，故选：C．由程序框图结合数列的裂项法进行求解即可．本题主要考查程序框图的应用，根据数列求和以及裂项法是解决本题的关键．7.【答案】A【解析】解：令g（x）=x-lnx-1，则，由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以当x=1时，函数g（x）有最小值，g（x）min=g（0）=0，于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，故选：A．利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可．本题考查函数的单调性与函数的导数的关系，函数的定义域以及函数的图形的判断，考查分析问题解决问题的能力．8.【答案】B【解析】解：由题意y=cos2x=sin（2x+），函数y=sin（2x+）的图象经过向右平移，得到函数y=sin[2（x-）+]=sin （2x-）的图象，故选：B．先根据诱导公式进行化简y=cos2x为正弦函数的类型，再由左加右减上加下减的原则可确定平移的方案．本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减，注意x的系数的应用，以及诱导公式的应用．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查了简单线性规划问题和基本不等式的应用求最值，关键是求出a+b=2，对所求变形为基本不等式的形式求最小值．【解答】解：约束条件对应的区域如图：目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）经过点C（1,1）时取最小值为2，所以a+b=2，则+=（+）（a+b）=（4+）≥2+=2+；当且仅当a=b，并且a+b=2时等号成立；故选A．10.【答案】C【解析】解：将该三棱锥补成正方体，如图所示；根据题意，2R=，解得R=；∴该三棱锥外接球的表面积为=4πR2=4π•=27π．S球故选：C．把该三棱锥补成正方体，则正方体的对角线是外接球的直径，求出半径，计算它的表面积．本题考查了几何体的外接球表面积的应用问题，是基础题．11.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，体现了分类讨论与转化的数学思想，属于基础题．由于的表示7个因式（1-x2+）的乘积，分类讨论求得展开式中的x3的系数．【解答】解：由于的表示7个因式（1-x2+）的乘积，在这7个因式中，有2个取-x2，有一个取，其余的因式都取1，即可得到含x3的项；或者在这7个因式中，有3个取-x2，有3个取，剩余的一个因式取1，即可得到含x3的项；故含x3的项为××2×-××23=210-1120=-910.故选C.12.【答案】D【解析】【分析】作出函数的图象，根据图象的平移得出a的范围．本题考查了图象的平移和根据图象解决实际问题，是数型结合思想的应用，应熟练掌握．【解答】解：画出函数f（x）=的图象如图：与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则可使log2x图象左移大于1个单位即可，得出a＞1；若使log2x图象右移，则由log2（1+a）=-2，解得a=-，∴a的范围为a＞1或a≤-，故选：D．13.【答案】（-，）【解析】解：如图所示，点P沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则∠xOQ=，∴Q点坐标为（cos，sin），即（-，）．故答案为：．根据题意画出图形，结合图形求出点Q的坐标．本题考查了单位圆与三角函数的定义和应用问题，是基础题．14.【答案】1【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，属于基础题.【解答】解：由f（x）=ax3+x+1，得f′（x）=3ax2+1，∴f′（1）=3a+1，即f（x）在x=1处的切线的斜率为3a+1，∵f（x）在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，∴3a+1=4，即a=1．故答案为1．15.【答案】1【解析】解：由题意得，数列{a n}中，a1=3，a2=7，当n≥2时，a n+1是积a n a n-1的个位数；则a3=1，依此类推，a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7，a9=1，a10=7，数列{a n}是以周期T=6的周期数列，则a2019=a3+336×6=a3=1；故答案为：1．根据题意可得：由数列的递推公式可得a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7，a9=1，a10=7，据此可得到数列的一个周期为6，进而可得a2019=a3+336×6=a3，即可得答案．本题考查数列的递推公式以及数列的周期，关键是分析数列{a n}的周期，属于基础题．16.【答案】5【解析】解：∵F是双曲线的右焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点∴而|PA|+|PF|≥|AF|=5当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．故答案为：5．根据PA|+|PF|≥|AF|=5求得答案．本题考查了三点共线，距离公式，属于基础题17.【答案】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知2cos C（a cos B+b cos A）=c，利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）=sin C，整理得：2cos C sin（A+B）=sin C，即2cos C sin[π-（A+B）]=sin C，∴2cos C sinC=sin C，∴cos C=，∵C为三角形ABC的内角，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2-2ab•，∴（a+b）2-3ab=7，∵S=ab sin C=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2-18=7，∴a+b=5或a+b=-5（舍去）∴△ABC的周长为5+.【解析】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变换，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．18.【答案】解：（Ⅰ）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知（2a+0.020+0.030+0.040）×10=1，解得a=0.005；（Ⅱ）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.20+0.05=0.25，所以晋级成功的人数为100×0.25=25（人），填表如下：根据上表数据代入公式可得，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率为1-0.25=0.75，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75，所以X可视为服从二项分布，即，，故，，，，，所以X的分布列为数学期望为，或（）．【解析】（Ⅰ）由频率和为1，列出方程求a的值；（Ⅱ）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，知随机变量X服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望；本题考查了频率分布直方图与独立性检验和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，是中档题．19.【答案】（I）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD；（II）解：过点B在平面BCD内作BE⊥BD，如图,由（I）知AB⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD,以B为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意得：B(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0,0,1)，，则，设平面MBC的法向量，则,即，取z0＝1，得平面MBC的一个法向量，设直线AD与平面MBC所成角为θ，则，即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.【解析】本题考查面面垂直的性质及线面垂直的判定与性质,同时考查利用空间向量求线面角.（I）利用面面垂直的性质得AB⊥平面BCD,从而AB⊥CD；（II）建立如图所示的空间直角坐标系,求出平面MBC的法向量,设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式即可得出.20.【答案】解：（1）由题意可知：椭圆+=l（a＞b＞0），焦点在x轴上，2c=1，c=1，椭圆的离心率e==，则a=，b2=a2-c2=1，则椭圆的标准方程：；（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），A（，0），由题意PQ的方程：y=k（x-）-，则，整理得：（2k2+1）x2-（4k2+4k）x+4k2+8k+2=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，则y1+y2=k（x1+x2）-2k-2=，则k AP+k AQ=+=，由y1x2+y2x1=[k（x1-）-]x2+[k（x2-）-]x1=2kx1x2-（k+）（x1+x2）=-，k AP+k AQ===1，∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1．【解析】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆位置关系，韦达定理及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．（1）由题意可知2c=2，c=1，离心率e=，求得a=2，则b2=a2-c2=1，即可求得椭圆的方程；（2）则直线PQ的方程：y=k（x-）-，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的率之和为定值．21.【答案】解：（1）函数f（x）=4x2+-a，则y=xf（x）=4x3+1-ax的导数为y′=12x2-a，由题意可得12-a=0，解得a=12，即有f（x）=4x2+-12，f′（x）=8x-，可得曲线在点（1，f（1））处的切线斜率为7，切点为（1，-7），即有曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+7=7（x-1），即为y=7x-14；（2）由f（x）=4x2+-a，导数f′（x）=8x-，当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜0或0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．可得x=处取得极小值，且为3-a，由f（x）有两个零点，可得3-a=0，即a=3，零点分别为-1，．令t=g（x），即有f（t）=0，可得t=-1或，则f（x）=-1-b或f（x）=-b，由题意可得f（x）=-1-b或f（x）=-b都有3个实数解，则-1-b＞0，且-b＞0，即b＜-1且b＜，可得b＜-1，即有a+b＜2．则a+b的范围是（-∞，2）．【解析】（1）求得函数y=xf（x）的导数，由极值的概念可得a=12，求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程；（2）求出f（x）的导数和单调区间，以及极值，由零点个数为2，可得a=3，作出y=f（x）的图象，令t=g（x），由题意可得t=-1或t=，即f（x）=-1-b或f（x）=-b都有3个实数解，由图象可得-1-b＞0，且-b＞0，即可得到所求a+b的范围．本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，考查函数零点问题的解法，注意运用换元法和数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x-1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5-1）2+3-1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．【解析】（1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．。
2019学年上海市嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试数学试卷(理)
年开始，每年 A 型车床创造的价值是上一年价值的
50%．现用 an （ n N* ）表示 A 型车床在
第 n 年创造的价值．
（1）求数列 { an} （ n N * ）的通项公式 an ；
（2）记 Sn 为数列 { an} 的前 n 项和， Tn Sn ．企业经过成本核算，若 Tn 100 万元，则继
且 m 1 ，2 ，…，n ）时， f ( x) fm ( x) ．试研究关于 x 的方程 f ( x) kn x（ 0 ≤ x ≤ n ， n N* ）的实数解的个数（这里的 kn 是（ 2）中的 kn ），并证明你的结论．
— 4—
2019 学年嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试 数学试卷（理科）
n 续使用 A 型车床，否则更换 A 型车床．试问该企业须在第几年年初更换 A 型车床？
（已知：若正数数列 { bn } 是单调递减数列，则数列
b1 b2 n
bn 也是单调递减
数列）．
— 3—
22．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小 题满分 6 分．
定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 4 分．
[解 ]（ 1）解法一：设 BC 的中点 D ，联结 AD ， PD ，易知在等腰三角形 PBC 、 ABC 中，
PD BC ， AD BC ，故 PDA 为二面角 P BC A 的平面角．
1 11．
3 14． (4,6)
12． 14
二 、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答
2019届高三数学二模考试试题理(含解析)
2019届高三数学二模考试试题理（含解析）一､选择题1.已知是虚数单位，复数的共轭复数是（）A. B. C. 1 D. -1【答案】B【解析】【分析】先把复数化简，然后可求它的共轭复数.【详解】因为,所以共轭复数就是.故选：B.【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数的求解，把复数化到最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 2.已知集合，则满足的集合的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】先求解集合，然后根据可求集合的个数.【详解】因为，，所以集合可能是.故选：A.【点睛】本题主要考查集合的运算，化简求解集合是解决这类问题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3.设向量，满足，，则（）A. -2B. 1C. -1D. 2【答案】C【解析】【分析】由平面向量模的运算可得：，①，②，则①②即可得解．【详解】因为向量，满足，，所以，①，②由①②得：，即，故选：．【点睛】本题主要考查了平面向量模和数量积的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题．4.定义运算，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】图象题应用排除法比较简单，先根据函数为奇函数排除、；再根据函数的单调性排除选项，即可得到答案．【详解】根据题意得，且函数为奇函数，排除、；；当时，，令，令，函数在上是先递减再递增的，排除选项；故选：．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的判断，考查根据解析式找图象，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．5.已知圆:，定点，直线:，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】通过圆心到直线的距离与圆的半径进行比较可得.【详解】若点在圆外，则，圆心到直线:的距离，此时直线与圆相交；若直线与圆相交，则，即，此时点在圆外.故选：C.【点睛】本题主要考查以直线和圆的位置关系为背景的条件的判定，明确直线和圆位置关系的代数表示是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.6.某程序框图如图所示，若输入的，则输出的值是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析】按照程序框图的流程，写出前五次循环的结果，直到第六次不满足判断框中的条件，执行输出结果．【详解】经过第一次循环得到经过第二次循环得到经过第三次循环得到经过第四次循环得到经过第五次循环得到经过第六次循环得到此时，不满足判断框中的条件，执行输出故输出结果为故选：．【点睛】本题主要考查解决程序框图中的循环结构，常按照程序框图的流程，采用写出前几次循环的结果，找规律．7.在公差不等于零的等差数列中，，且，，成等比数列，则（）A. 4B. 18C. 24D. 16【答案】D【解析】【分析】根据，，成等比数列可求公差，然后可得.【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，所以，即有，解得，（舍），所以.故选：D.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，根据已知条件构建等量关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 8.已知，为椭圆的左右焦点，点在上（不与顶点重合），为等腰直角三角形，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据为等腰直角三角形可得，结合椭圆的定义可求离心率.【详解】由题意等腰直角三角形，不妨设，则，由椭圆的定义可得，解得.故选：B.【点睛】本题主要考查椭圆离心率的求解，离心率问题的求解关键是构建间的关系式，侧重考查数学运算的核心素养.9.若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【详解】根据三视图可知几何体是一个三棱锥，由俯视图和侧视图知，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、4，由正视图知，三棱锥的高是4，该几何体的体积，故选：．【点睛】本题主要考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．10.若的展开式中的各项系数的和为1，则该展开式中的常数项为（）A. 672B. -672C. 5376D. -5376【答案】A【解析】【分析】先根据的展开式中的各项系数的和为1，求解，然后利用通项公式可得常数项.【详解】因为的展开式中的各项系数的和为1，所以，即；的通项公式为，令得，所以展开式中的常数项为.【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的常数项，利用通项公式是求解特定项的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11.已知函数，则的最大值为（）A. 1B.C.D. 2【答案】B【解析】【分析】先化简函数，然后利用解析式的特点求解最大值.【详解】，因为，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的最值问题，三角函数的最值问题主要是先化简为最简形式，结合解析式的特点进行求解.12.将边长为2的正方形(及其内部)绕旋转一周形成圆柱，点､分别是圆和圆上的点，长为，长为，且与在平面的同侧，则与所成角的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由弧长公式可得，，由异面直线所成角的作法可得为异面直线与所成角，再求解即可．【详解】由弧长公式可知，，在底面圆周上去点且，则面，连接，，，则即为异面直线与所成角，又，，所以，故选：．【点睛】本题主要考查了弧长公式及异面直线所成角的作法，考查了空间位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．二､填空题13.向平面区域内随机投入一点，则该点落在曲线下方概率为______.【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由几何概型概率面积比得答案．【详解】作出平面区域，及曲线如图，，．向平面区域，内随机投入一点，则该点落在曲线下方的概率为．故答案为：．【点睛】本题主要考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．14.设，满足约束条件，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求的取值范围．【详解】作出，满足约束条件，则对应的平面区域（阴影部分），由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大．此时的最大值为，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小．此时的最小值为，故答案为：，．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15.设等差数列的前项和为，若，，，则______.【答案】8【解析】【分析】根据等差数列的通项公式及求和公式可得.【详解】因为，所以，因为，所以，设等差数列的公差为，则，解得，由得，解得.故答案为：8.【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的运算，熟记相关的求解公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.16.若直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则______.【答案】1【解析】【分析】分别设出两个切点，根据导数的几何意义可求.详解】设直线与曲线相切于点，直线与曲线相切于点，则且，解得；同理可得且，解得；故答案为：1.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，设出切点建立等量关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.三､解答题17.在中，内角，，的对边分别为，，，已知.（1）若，求和；（2）求的最小值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用已知条件求出的余弦函数值，然后求解的值，然后求解三角形的面积；（2）通过余弦定理结合三角形的面积转化求解即可．【详解】（1）因为，代入，得，所以，，由正弦定理得，所以，.（2）把余弦定理代入，得，解得.再由余弦定理得.当且仅当，即时，取最小值.【点睛】本题主要考查三角形的解法、正余弦定理的应用、三角形的面积以及基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是中档题．18.一只红玲虫的产卵数和温度有关.现收集了7组观测数据如下表:温度21产卵数/7个为了预报一只红玲虫在时的产卵数，根据表中的数据建立了与的两个回归模型.模型①:先建立与的指数回归方程，然后通过对数变换，把指数关系变为与的线性回归方程:；模型②:先建立与的二次回归方程，然后通过变换，把二次关系变为与的线性回归方程:.（1）分别利用这两个模型，求一只红玲虫在时产卵数的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.（参考数据:模型①的残差平方和，模型①的相关指数；模型②的残差平方和，模型②的相关指数；，，；，，，，，，）【答案】（1），（2）模型①得到的预测值更可靠，理由见解析【解析】【分析】（1）把分别代入两个模型求解即可；（2）通过残差及相关指数的大小进行判定比较.【详解】(1)当时，根据模型①，得，，根据模型②，得.（2）模型①得到的预测值更可靠.理由1:因为模型①的残差平方和小于模型②的残差平方和，所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠；理由2:模型①的相关指数大于模型②的相关指数，所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠；理由3:因为由模型①，根据变换后的线性回归方程计算得到的样本点分布在一条直线的附近；而由模型②，根据变换后的线性回归方程得到的样本点不分布在一条直线的周围，因此模型②不适宜用来拟合与的关系；所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠.（注:以上给出了3种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得）【点睛】本题主要考查回归分析，模型拟合程度可以通过两个指标来判别，一是残差，残差平方和越小，拟合程度越高；二是相关指数，相关指数越接近1，则拟合程度越高.19.如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，是上一点.（1）求证:平面平面；（2）若是的中点，且二面角的余弦值是，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明平面，然后可得平面平面；（2）建立坐标系，根据二面角的余弦值是可得的长度，然后可求直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）平面，平面，得.又，在中，得，设中点为，连接，则四边形为边长为1的正方形，所以，且，因为，所以，又因为，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）以为坐标原点，分别以射线､射线为轴和轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，则，，.又设，则，，，，.由且知，为平面的一个法向量.设为平面的一个法向量，则，即，取，，则，有，得，从而，.设直线与平面所成的角为，则.即直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查空间平面与平面垂直及线面角的求解，平面与平面垂直一般转化为线面垂直来处理，空间中的角的问题一般是利用空间向量来求解.20.设为抛物线:的焦点，是上一点，的延长线交轴于点，为的中点，且.（1）求抛物线的方程；（2）过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，求四边形面积的最小值.【答案】（1）（2）32【解析】【分析】（1）由题意画出图形，结合已知条件列式求得，则抛物线的方程可求；（2）由已知直线的斜率存在且不为0，设其方程为，与抛物线方程联立，求出，，可得四边形的面积，利用基本不等式求最值．【详解】（1）如图，为的中点，到轴的距离为，，解得．抛物线的方程为；（2）由已知直线的斜率存在且不为0，设其方程为．由，得．△，设，、，，则；同理设，、，，，则．四边形的面积．当且仅当时，四边形的面积取得最小值32．线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.是自然对数的底数，已知函数，.（1）求函数的最小值；（2）函数在上能否恰有两个零点?证明你结论.【答案】（1）（2）能够恰有两个零点，证明见解析【解析】【分析】（1）先求导数，再求极值。
上海市嘉定区2019-2020学年高考数学第二次调研试卷含解析
上海市嘉定区2019-2020学年高考数学第二次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知ABC V 的垂心为H ，且6,8,AB BC M ==是AC 的中点，则HM AC ⋅=u u u u r u u u r （ ）A ．14B ．12C ．10D ．8【答案】A【解析】【分析】 由垂心的性质，得到0BH AC ⋅=u u u r u u u r ，可转化HM AC BM AC ⋅=⋅u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，又1()()2BM AC BA BC BC BA ⋅=+⋅-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 即得解.【详解】因为H 为ABC V 的垂心，所以BH AC ⊥，所以0BH AC ⋅=u u u r u u u r ，而HM HB BM =+u u u u r u u u r u u u u r ，所以()HM AC HB BM AC BM AC ⋅=+⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，因为M 是AC 的中点，所以1()()2BM AC BA BC BC BA ⋅=+⋅-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2211()(6436)1422BC BA =-=-=u u u r u u u r ． 故选：A【点睛】本题考查了利用向量的线性运算和向量的数量积的运算率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.2．正方体1111ABCD A B C D -，()1,2,,12i P i =L 是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面11A C B 平行的直线有几条（ ）A ．36B ．21C ．12D ．6【答案】B【解析】【分析】先找到与平面11A C B 平行的平面，利用面面平行的定义即可得到.【详解】考虑与平面11A C B 平行的平面148PP P ，平面10116P P P ，平面9523712PP P P P P ， 共有22623321C C C ++=，故选：B.【点睛】本题考查线面平行的判定定理以及面面平行的定义，涉及到了简单的组合问题，是一中档题.3．函数()sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0>ω），当[]0,x π∈时，()f x 的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的范围为（ ） A ．53,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【答案】B【解析】【分析】首先由[]0,x π∈，可得3x πω-的范围，结合函数()f x 的值域和正弦函数的图像，可求的关于实数ω的不等式，解不等式即可求得范围.【详解】因为[]0,x π∈，所以,333x πππωωπ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，若值域为2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 所以只需4233πππωπ≤-≤，∴5563ω≤≤. 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的值域，熟悉正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值是解题的关键，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.4．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（ ）A ．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B ．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C ．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D ．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是103【答案】D【解析】【分析】计算两班的平均值，中位数，方差得到ABC 正确，两班人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，D 错误，得到答案.【详解】由题意可得甲班的平均分是104，中位数是103，方差是26.4；乙班的平均分是102，中位数是101，方差是37.6，则A ，B ，C 正确.因为甲、乙两班的人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，故D 错误.故选：D .【点睛】本题考查了茎叶图，平均值，中位数，方差，意在考查学生的计算能力和应用能力.5．已知集合{}2|320M x x x =-+≤，{}|N x y x a ==-若M N M ⋂=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞ 【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合M 的表示，求解函数y x a =-的定义域化简集合N 的表示，根据M N M ⋂=可以得到集合M 、N 之间的关系，结合数轴进行求解即可.【详解】{}{}2|320|12M x x x x x =-+≤=≤≤，{}{}||N x y x a x x a ==-=≥.因为M N M ⋂=，所以有M N ⊆，因此有1a ≤.故选：A【点睛】本题考查了已知集合运算的结果求参数取值范围问题，考查了解一元二次不等式，考查了函数的定义域，考查了数学运算能力.6．如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的1a ，2a ，3a ，L ，50a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（ ）A ．38m =，12n =B ．26m =，12n =C ．12m =，12n =D ．24m =，10n =【答案】B【解析】【分析】【详解】 试题分析：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于80和成绩不小于60且小于80的人数，由茎叶图可知，成绩不小于80的有12个，成绩不小于60且小于80的有26个，故26m =，12n =． 考点：程序框图、茎叶图．7．当输入的实数[]230x ∈，时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是（ ）A ．914B ．514C ．37D ．928【答案】A【解析】【分析】根据循环结构的运行，直至不满足条件退出循环体，求出x 的范围，利用几何概型概率公式，即可求出结论.【详解】程序框图共运行3次，输出的x 的范围是[]23247，， 所以输出的x 不小于103的概率为24710314492472322414-==-. 故选:A.【点睛】本题考查循环结构输出结果、几何概型的概率，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.8．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大正整数，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的值域是[]0,1B ．()f x 是奇函数C ．()f x 是周期函数D ．()f x 是增函数 【答案】C【解析】【分析】根据[]x 表示不超过x 的最大正整数，可构建函数图象，即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性，进而下结论.【详解】由[]x 表示不超过x 的最大正整数，其函数图象为选项A ，函数()[)0,1f x ∈，故错误；选项B ，函数()f x 为非奇非偶函数，故错误；选项C ，函数()f x 是以1为周期的周期函数，故正确；选项D ，函数()f x 在区间[)[)[)0,1,1,2,2,3L L 上是增函数，但在整个定义域范围上不具备单调性，故错误.故选：C【点睛】本题考查对题干[]x 的理解，属于函数新定义问题，可作出图象分析性质，属于较难题.9．设a=log 73，13b log 7=，c=30.7，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．b a c <<【答案】D【解析】【分析】 71log 30a >=>，13log 70b =<，0.731c =>得解． 【详解】71log 30a >=>，13log 70b =<，0.731c =>，所以b a c <<，故选D 【点睛】比较不同数的大小，找中间量作比较是一种常见的方法．10．在ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=r u u u v u u u v u u u v ，设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记i i S Sλ=（1,2,3i =），则23λλ⋅取到最大值时，2x y +的值为（ ）A ．－1B ．1C ．32- D．32【答案】D【解析】【分析】根据三角形中位线的性质，可得P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，从而得到12312S S S S ==+，由此结合基本不等式求最值，得到当23λλ⋅取到最大值时，P 为EF 的中点，再由平行四边形法则得出11022PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r ，根据平面向量基本定理可求得12x y ==，从而可求得结果. 【详解】如图所示：因为EF 是△ABC 的中位线，所以P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，所以12312S S S S ==+， 由此可得22232322322()1216S S S S S S S S S S λλ+=⨯=≤=， 当且仅当23S S =时，即P 为EF 的中点时，等号成立，所以0PE PF +=u u u r u u u r r ，由平行四边形法则可得2PA PB PE +=u u u r u u u r u u u r ，2PA PC PF +=u u u r u u u r u u u r， 将以上两式相加可得22()0PA PB PC PE PF ++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r ，所以11022PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r ， 又已知0PA xPB yPC ++=u u u r u u u r u u u r r ，根据平面向量基本定理可得12x y ==， 从而132122x y +=+=. 故选：D【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.11．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，60A ∠=︒，O 为ABC ∆的外心，若AO x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r ，x ，y R ∈，则23x y +=（ ）A ．2B ．53C ．43D ．32【答案】B【解析】【分析】首先根据题中条件和三角形中几何关系求出x ，y ，即可求出23x y +的值.【详解】如图所示过O 做三角形三边的垂线，垂足分别为D ，E ，F ，过O 分别做AB ，AC 的平行线NO ，MO ，由题知222294cos 607212AB AC BC BC BC AB AC +-++︒==⇒=⋅⋅ 则外接圆半径212sin 603BC r ==⋅︒， 因为⊥OD AB ，所以22212319OD AO AD =-=-=， 又因为60DMO ∠=︒，所以2133DM AM =⇒=，43MO AN ==， 由题可知AO xAB y AC AM AN =+=+u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r ，所以16AM x AB ==，49AN y AC ==，所以5233x y +=. 故选：D.【点睛】 本题主要考查了三角形外心的性质，正弦定理，平面向量分解定理，属于一般题.12．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．363π+ B ．836π C ．31633π+ D ．16833π+ 【答案】B【解析】【分析】还原几何体可知原几何体为半个圆柱和一个四棱锥组成的组合体，分别求解两个部分的体积，加和得到结果.【详解】由三视图还原可知，原几何体下半部分为半个圆柱，上半部分为一个四棱锥 半个圆柱体积为：2211123622V r h πππ==⨯⨯= 四棱锥体积为：21143238333V Sh ==⨯⨯⨯= 原几何体体积为：12836V V V π=+= 本题正确选项：B【点睛】本题考查三视图的还原、组合体体积的求解问题，关键在于能够准确还原几何体，从而分别求解各部分的体积.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
精品解析：【区级联考】上海市嘉定(长宁)区2019届高三第二次质量调研(二模)数学试题(解析版)
嘉定（长宁）区高2019届三第二次质量调研（二模）数学试卷一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1.已知集合，则__________．【答案】【解析】【分析】直接进行交集的运算即可．【详解】解：∵A＝{1，2，3，4}，B＝{x|2＜x＜5，x∈R}；∴A∩B＝{3，4}．故答案为：{3，4}．【点睛】本题考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．2.已知复数满足（是虚数单位），则__________．【答案】【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：由i＝3+4i，得，∴|z|＝||．故答案为：5．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.若线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则__________．【答案】【解析】【分析】根据增广矩阵的定义增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值，从而求出结果．【详解】解：由增广矩阵的定义：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值而线性方程组的增广矩阵为，可直接写出线性方程组为即把x＝1，y＝1，代入得，解得＝3．故答案为：【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的性质的合理运用．4.在的二项展开式中，常数项的值为______________．【答案】【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式即可得出【详解】解：在的二项展开式中，通项公式为：T r+1x4﹣r x4﹣2r，令4﹣2r＝0，解得r＝2．∴常数项6．故答案为：6．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.已知一个圆锥的主视图(如图所示)是边长分别为的三角形，则该圆锥的侧面积为_________.【答案】【解析】【分析】根据圆锥的主视图可知：圆锥的母线长为5，底面半径为2，所以底面周长为4π再代入侧面积公式可得．【详解】解：根据圆锥的主视图可知：圆锥的母线长为5，底面半径为2，所以底面周长为4π，侧面积为5×4π＝10π，故答案为：10π．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，考查了计算能力，属基础题．6.已知实数满足，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由实数x，y满足，作出可行域如图，由解得A（0，﹣1）．化z＝x+2y为y x，由图可知，当直线y x过A（0，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z＝0+2×（﹣1）＝﹣2．故答案为：﹣2．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7.设函数(其中为常数)的反函数为，若函数的图像经过点，则方程的解为__________．【答案】【分析】求出原函数的反函数，代入已知点的坐标求得a，则方程f﹣1（x）＝2的解可求．【详解】解：由y＝f（x），得x﹣a＝y2（y≥0），∴函数f（x）的反函数f﹣1（x）＝x2+a（x≥0）．把点（0，1）代入，可得a＝1．∴f﹣1（x）＝x2+1（x≥0）．由f﹣1（x）＝2，得x2+1＝2，即x＝1．故答案为：x＝1．【点睛】本题考查函数的反函数的求法，关键是明确反函数的定义域是原函数的值域，是基础题．8.学校从名男同学和名女同学中任选人参加志愿者服务活动，则选出的人中至少有名女同学的概率为____________(结果用数值表示)【答案】【解析】【分析】基本事件总数n10．选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m7，由此能求出选出的2人中至少有1名女同学的概率．【详解】解：学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，基本事件总数n10．选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m7，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为p．故答案为：．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.已知直线（为参数）与抛物线相交于两点，若线段中点的坐标为，线段的长为__________．【解析】【分析】化简直线的参数方程为普通方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求出m，通过弦长公式求解即可．【详解】解：直线（t为参数），可得直线的方程y＝k（x﹣1），k＝tanα，把直线的方程代入抛物线方程可得：ky2﹣4y﹣4k＝0，直线（t为参数）与抛物线y2＝4x相交于A、B两点，设A（，），B（，），线段AB中点的坐标为（m，2），可得+＝4，解得k＝1，y2﹣4y﹣4＝0，＝﹣4，线段AB的长：•8．故答案为：8．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，弦长公式的应用，考查计算能力．10.在中，已知，为线段上的一点，且满足，若的面积为，，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】利用A，P，D三点共线可求出m，并得到．再利用平面向量的基本性质和基本不等式即可求出的最小值．【详解】解∵∵A，P，D三点共线，∴，即m．∴，又∵．∴，即CA•CB＝8．∴∴．故答案为：2．【点睛】本题考查平面向量共线定理，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量线性运算的运用．11.已知有穷数列共有项，记数列的所有项和为，第二项及以后所有项和为第项及以后所有项和为，若是首项为，公差为的等差数列的前项和，则当时，__________．【答案】【解析】【分析】设数列{}的前n项和为T n，则S（n）＝T m﹣T n，又知道S（n）是首项为1，公差为2的等差数列的前n 项和，则当1≤n＜m时，即可得到的表达式．【详解】解：S（n）是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，所以S（n）＝n n2，则＝S（n）﹣S（n+1）＝n2﹣（n+1）2＝﹣2n﹣1，故填：﹣2n﹣1．【点睛】本题考查了数列通项的求法，等差数列的前n项和公式，属于基础题．12.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，若对于属于都有，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】f（x）为周期为4的函数，且是奇函数．0在函数定义域内，故f（0）＝0，得a＝1，先得到[﹣1，3]一个周期内f（x）的图象，求出该周期内使f（x）≥1﹣log23成立的x的范围，从而推出的范围，再分t的范围讨论即可．【详解】解：由题意，f（x）为周期为4的函数，且是奇函数．0在函数定义域内，故f（0）＝0，得a＝1，所以当0≤x≤1时，f（x）＝log2（x+1），当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，此时f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣log2（﹣x+1），又知道f（x+2）＝﹣f（x）＝f（﹣x），所以f（x）以x＝1为对称轴．且当x∈[﹣1，1]时f（x）单调递增，当x∈[1，3]时f（x）单调递减．当x∈[﹣1，3]时，令f（x）＝1﹣log23，得x，或x，所以在[﹣1，3]内当f（x）＞1﹣log23时，x∈[，]．设g（x），若对于x属于[0，1]都有，因为g（0）∈[，]．故g（x）∈[，]．①当0时，g（x）在[0，1]上单调递减，故g（x）∈[t，]⊆[，]．得t≥0，无解．②0≤t≤1时，，此时g（t）最大，g（1）最小，即g（x）∈[t﹣1，]⊆[，]．得t∈[0，1]．③当1＜t≤2时，即，此时g（0）最小，g（t）最大，即g（x）∈[，]⊆[，]．得t∈（1，2]，④当t＞2时，g（x）在[0，1]上单调递增，故g（x）∈[，t]⊆[，]．解得，t∈（2，3]，综上t∈[0，3]．故填：[0，3]．【点睛】本题考查了复合函数的值域、对称区间上函数解析式的求法、二次函数在闭区间上的最值、函数的对称性、周期性、恒成立等知识．属于难题．二、选择题(本题共有4题，满分20分，每题5分)13.已知,则“”是“”的．A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】解不等式简化条件，结合充分必要性定义即可作出判断.【详解】解：“”⇔0＜x＜1．∴“”是“x＜1”的充分不必要条件．故选：A．【点睛】本题考查了不等式的解法、充分必要性的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14..产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标，下图为国家统计局发布的年至年第季度我国工业产能利用率的折线图（％）．在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如年第二季度与年第二季度相比较:环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如二季度与年第一季度相比较根据上述信息，下列结论中正确的是( )A. 年第三季度环比有所提高B. 年第一季度同比有所提高C.年第三季度同比有所提高D.年第一季度环比有所提高【答案】C 【解析】 【分析】根据同比和环比的定义比较两期数据得出结论．【详解】解：2015年第二季度利用率为74.3%，第三季度利用率为74.0%，故2015年第三季度环比有所下降，故A 错误；2015年第一季度利用率为74.2%，2016年第一季度利用率为72.9%，故2016年第一季度同比有所下降，故B 错误；2016年底三季度利用率率为73.2%，2017年第三季度利用率为76.8%，故2017年第三季度同比有所提高，故C 正确； 2017年第四季度利用率为78%，2018年第一季度利用率为76.5%，故2018年第一季度环比有所下降，故D错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查了新定义的理解，图表认知，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．15.已知圆的圆心为，过点且与轴不重合的直线交圆两点，点在点与点之间。
2019-2020学年上海市嘉定区高三年级二模考试数学试卷
2019-2020学年上海市嘉定区高三年级二模考试数学试卷一、 填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1. 已知集合{2,4,6,8}A =，{1,2,3}B =，则A B =I 【答案】{2}【解析】本题考察了集合的交集问题 2. 线性方程组2538x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为【答案】125318-⎛⎫⎪⎝⎭【解析】本题考察了增广矩阵的概念3. 已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积等于 【答案】4π【解析】圆柱的侧面积24S rl ππ==4. 在5(2)x -的二项式展开式中，3x 的系数为【答案】40【解析】含3x 的项为23235(2)40C x x -=5. 若实数,x y 满足0120x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值为【答案】3【解析】由线性规划画图可得：(2,1)时z 取得最大值为3 6. 已知球的主视图的面积是π，则该球的体积等于 【答案】43π 【解析】由主视图的面积是π，可得1r =，则体积34433V r ππ== 7、设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为{}n S ，11a =,236a a +=,则6S = 【答案】63【解析】()()6261126026312q q q q S -+=>⇒=⇒==-8、 已知函数()()2log a f x x =+0a >（，且1)a ≠的反函数为()1y f x -=，若()13f -2=，则a = 【答案】2【解析】()()()()11323232log22af ff f a --=⇒=⇒=+⇒=9、设z C ∈,290z +=，则4z -= 【答案】5【解析】345z i z =±⇒-=10、从4对夫妇中随机抽取3人进行核酸检测，则所抽取的3人中任何两人都不是夫妻的概率是 【答案】47【解析】33438247C C =g 11、设p 是双曲线2218y x -=上的动点，直线{3cos sin x t y t θθ=+=t （为参数)与圆()2231x y -+=相交与A ,B 两点，则PA PB u u u r u u u r g 的最小值是【答案】3【解析】如图所示，运用极化恒等式有：PA PB u u u r u u u rg 222222=PC PC 1213CA -=-≥-=12、在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若222sin a b c A ++=，则A =____ 【答案】3π【解析】31)3sin(2)3sin(2sin 32cos 2222222222πππ=⇒=+∴≥+=+∴=++-+=++A A bcc b A bc Abc c b A bc c b c b a ）（二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知x R ∈，则1x ‘＞’是21x -‘＜’的（ ） 【A 】充分非必要条件 【B 】 必要非充分条件 【C 】 充要条件 【D 】 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】解不等式由子集与推出关系可得14.下列函数中，既是()0+∞，上的增函数，又是偶函数的是（ ） 【A 】1y x=【B 】2x y = 【C 】1y x =- 【D 】lg y x = 【答案】D【解析】 A 在()0+∞，内是增函数也是奇函数，B 非奇非偶，C 单调递减，D 符合题意 15、如图，若正方体1111D C B A ABCD -的侧面11B BCC 内动点P 到棱11B A 的距离等于它到棱BC 的距离，则点P 所在的曲线为( )【A 】椭圆 【B 】双曲线 【C 】抛物线 【D 】圆 【答案】C【解析】由图易知，1PB 就是点P 到直线11B A 的距离，现在问题转化成在平面内到定点的距离与到定直线距离距离相等点的轨迹，选C16、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是2和n a 的等差中项，若对任意的*∈N n ,都有[]t s S S nn ,12∈-，则s t -的最小值是 （ ）【A 】32 【B 】49 【C 】21 【D 】61 【答案】B 【解析】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤ ⎝⎛∈⎥⎦⎤ ⎝⎛∈→-+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=---23,342,23)31(212364646411111n n n n n n n n S n S n S a S a S a S 为偶数，为奇数， 4921234134313)(=-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⨯=-⨯=⇒-=s t t s S S S f n n n 单调递增三．解答题（本题共5题，满分76分）17. （本题满分14分，第一题满分6分，第二题满分8分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，边长为3，5PC =，PD ABCD ⊥. （1）求四棱锥P ABCD -的体积.（2）求异面直线AD 与BP 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)【答案】（1）12 （2）5arctan3【解析】因为，所以DC PD ⊥． 又因为 5,3==PC DC ，所以422=-=DC PC PD ，……………………2分所以四棱锥ABCD P -的体积为124333131=⨯⨯⨯=⋅=PD S V ABCD ．……………………………………………………6分（2）解法1：由题意得 AD ∥BC ，所以直线BC 与所成的角就是异面直线与所成的角．………2分PD ABCD ⊥平面BP AD BP……………5分 在中，35tan ==∠BC PC PBC ，35arctan =∠PBC ．所以异面直线与所成角的大小为35arctan ．…………………………8分 解法2：以D 为坐标原点，以DA 、DC 、DP 为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得有关点的坐标为)0,0,0(D ，)0,0,3(A ，)0,3,3(B ，)0,3,0(C ，)4,0,0(P ． …………………2分所以)0,0,3(-=AD ，）（4,3,3--=BP ．……………4分 设异面直线AD 与BP 所成的角为θ，向量AD 与BP 所成的 角为ϕ，因为3434334340)3(0)3(3cos =⨯⨯+-⨯+-⨯-=⋅⋅=BPAC BP AC ϕ，……………6分又 34343cos cos ==ϕθ，所以 34343arccos =θ． 即所求异面直线AC 与D C 1所成角的大小为 34343arccos ．………………………8分18．（本大题满分14分，第（1）问6分，第（2）问8分） 设常数a R ∈，函数2()3sin 2cos f x x a x =+（1） 若(x)f 为奇函数，求a 的值；（2） 若()36f π=，求方程()2f x =在区间[]0,π上的解。
2019届上海市长宁区、嘉定区高三下学期教学质量检测(二模)数学试题(解析版)
【解析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：当x ＝2时，满足x ≥1，＝3时，满足x ≥1但x ＝2不成立，＝2”是“x ≥1”的充分不必要条件，A ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．．参数方程（为参数，且）所表示的曲线是（ ）22342x t y t ⎧=+⎨=-⎩t 03t ≤≤．直线B ．圆弧C ．线段D ．双曲线的一支【答案】C．B ．．D ．【答案】A【解析】由于题中三角形在三段线段上对应面积的表达式有区别，故应分，，01x ≤≤12x <≤三段进行讨论，表示出对应的的面积与自变量的关系式，再结合图形判断即可2.5x ≤APM ∆x 【详解】，∴.2.5MP x =-()()1152.52 2.5224y x x x =-=-+<≤①②③，得到的三个函数都是一次函数，由一次函数的图象与性质可以确定与的图形．只有y x 的图象是三个一次函数，且在第二段上随的增大而减小，y x 故选：A ．【点睛】本题考查分段函数在几何图形中的应用，将图形关系转化成函数关系，结合几何关系表示出三角形面积是解题关键，属于中档题．在计算机语言中，有一种函数叫做取整函数(也叫高斯函数)，它表示等于不超过()y INT x =y 的最大整数，如， ，已知，()0.90INT =()3.143INT =2107n n a INT ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（，且），则()11,10n n n a b a a -=-*n N ∈2n ≥2018b =2B ．5C ．7D ．8【答案】3【解析】利用并集概念直接求参数即可.【详解】集合，且，{}{}1,2,,2,4A m B =={}1,2,3,4A B = ，3=故答案为3【点睛】本题考查并集概念及运算，属于基础题.的展开式中的第3项为常数项，则正整数____________．1nx x ⎫+⎪⎭n =【答案】4【点睛】本题考查了复数代数形式的乘方运算，考查了复数模的概念，是基础题．．已知平面直角坐标系中动点到定点的距离等于到定直线的距离，则点xOy (,)P x y (1,0)P 1x =-的轨迹方程为____________．【答案】24y x =【解析】根据已知条件利用抛物线的定义，即可写出动点P 的轨迹方程．【详解】∵动点P （x ，y ）到定点（1，0）的距离等于P 到定直线x ＝﹣1的距离，满足抛物线的定义，2，所以y 2＝4x所以动点P 的轨迹方程为：y 2＝4x ．故答案为y 2＝4x ．【点睛】．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为.{40340x y x y +-≤-+≤3z x y =-【答案】【解析】试题分析：作出平面区域如图，易知目标函数在A 处取得最大值，又由3z x y =-得，故A(2，2)，目标函数的最大值为3z x y =-【答案】42【解析】由主视图知CP ⊥平面ABC 、B 点在AC 上的射影为AC 中点及AC 长，由左视图可知CP 长及ABC 中边AC 的高，利用勾股定理即可求出棱BP 的长．【详解】解：由主视图知CP ⊥平面ABC ，设AC 中点为E ，则BE ⊥AC ，且AE ＝CE ＝2；由左视图知CP ＝4，BE ＝2，3Rt △BCE 中，BC4，22BE EC =+=Rt △BCP 中，BP 4．22BC CP =+=2故答案为42【点睛】本题考查点、线、面间的距离计算，考查空间图形的三视图，考查学生的空间想象能力，考查学生分析解决问题的能力．故答案为．716【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是____________．()2()lg1f x xax=++R a 【答案】[1,1]-【解析】根据对数函数的真数大于0，得出ax ＞0恒成立，利用构造函数法结合图象求出不21x ++等式恒成立时a 的取值范围．【详解】解：函数f （x ）＝lg （ax ）的定义域为R ，21x ++故答案为[﹣1，1]．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查数形结合思想与转化思想，是中档题．．在中，是的中点，，，则线段长的最小值为ABC ∆M BC 120A ∠=︒12AB AC ⋅=-AM ___________【答案】12【解析】由平方得：，再由可得1()2AM AB AC =+ 2221(1)4AM AB AC =+- AB AC ⋅u u u r u u u r ，进而利用基本不等式可得最小值.|||1AC ⋅=【详解】1．若实数、满足，又。
(2019上海长宁、嘉定二模)上海长宁、嘉定区2019年高三下学期二模数学(理)试题.doc.doc
(2019上海长宁、嘉定二模)上海长宁、嘉定区2019年高三下学期二模数学（理）试题数学〔理〕一、填空题〔本大题总分值56分，共14小题，每题4分〕1、函数)32sin()(π+=x x f 的最小正周期是__________、2、假设关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为(,1)m ，那么实数=m _________、3、〔理〕集合{}{}331,,0,1<<=-=x x B a A ，假设AB ≠∅，那么实数a 的取值范围 是 、4、复数z 满足1i z -＝3，那么复数z 的实部与虚部之和为__________、5、求值：1220132013201320132013124(2)C C C -+-+-=___________、6、向量||).,5(),2,2(b a k b a +=-=若不超过57、设1,0≠>a a ，行列式34210231D -=xa 中第第2列的代数余子式记作y ，函数()x f y =数图像经过点()1,2，那么a = 、8、〔理〕如图是一个算法框图，那么输出的k 的值是 _______、9、〔理〕135sin ,53)cos(-==-ββα，且0(α∈______sin =α、10、〔理〕设函数⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-=]1,0[,1)0,1[,1)(2x x x x x f ，那么将)(x f y =的曲线绕x 轴旋转一周所得几何体的体积为____________、11、〔理〕抛掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数是偶数的事件为A ，向上的点数大于2且小于或等于5的事件为B ，那么事件B A 的概率=)(B A P ____________、12、〔理〕设定义域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=)1(1)1(|1|1)(x x x x f ，假设关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有三个不同的实数解321,,x x x ，那么理第8题，232221x x x ++=____________、13.〔理〕函数1sin )1()(22+++=x x x x f 的最大值和最小值分别为m M ,，那么=+m M ______、14、〔理〕设n S 为数列{}n a 的前n 项和，假设不等式21222ma n S a n n≥+对任意等差数列{}n a 及任意正整数n 都成立，那么实数m 的最大值为._______二、选择题〔本大题总分值20分，共4小题，每题5分〕15. ),(11b a A ，),(22b a B 是坐标平面上不与原点重合的两个点，那么OA OB ⊥的充要条件是 〔 〕A 、12211-=⋅a b a b B.02121=+b b a a C.2121b b a a = D.1221b a b a = A 、假设,,//m l =⋂βαα那么m l //B 、假设,//,βαl l ⊥那么βα⊥C 、假设,//,//ααm l 那么m l //D 、假设l m l ⊥,//α，那么α⊥m17.过点(1,1)P 作直线与双曲线2212y x -=交于A 、B 两点，使点P 为AB 中点，那么这样的直线〔〕A 、存在一条，且方程为210x y --=B 、存在无数条C 、存在两条，方程为()210x y ±+=D 、不存在18.〔理〕0>a 且1≠a ，函数)(log )(2b x x x f a ++=在区间),(+∞-∞上既是奇函数又是增函数，那么函数bx x g a -=||log )(的图象是()三、解答题〔本大题总分值74分，共5小题〕19.〔理〕〔此题总分值12分，第1小题总分值6分，第2小题总分值6分〕如图：⊥AB 平面BCD ，CD BC ⊥，AD 与平面BCD 所 ABC D成的角为︒30，且2==BC AB 、〔1〕求AD 与平面ABC 所成角的大小；〔2〕求点B 到平面ACD 的距离、20.〔此题总分值12分，第1小题总分值6分，第2小题总分值6分〕在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边a ，b ，c 成等比数列、〔1〕求证：03B π<≤； 〔2〕求1sin 2sin cos B y B B+=+的取值范围、 21.〔此题总分值14分，第1小题总分值4分，第2小题总分值10分〕设函数)10()1()(≠>--=-a a a k a x f x x 且是定义域为R 的奇函数、〔1〕求k 的值；〔2〕〔理〕假设23)1(=f ，且)(2)(22x f m a a x g x x ⋅-+=-在),1[∞+上的最小值为2-，求m 的值、〔文〕假设0)1(<f ，试说明函数)(x f 的单调性，并求使不等式0)4()(2<-++x f tx x f 恒成立的的取值范围、22.〔此题总分值18分，第1小题总分值4分，第2小题总分值8分，第3小题总分值6分〕如图，点)1,0(F ，直线m ：1-=y ，P 为平面上的动点，过点P 作m 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅、〔1〕求动点P 的轨迹C 的方程；〔2〕〔理〕过轨迹C 的准线与y 轴的交点M 作直线m '与轨迹C 交于不同两点A 、B ，且线段AB 的垂直平分线与y 轴的交点为),0(0y D ，求0y 的取值范围；〔3〕〔理〕对于〔2〕中的点A 、B ，在y 轴上是否存在一点D ，使得△ABD 为等边三角形？假设存在，求出点D 的坐标；假设不存在，请说明理由、23、〔此题总分值18分，第1小题总分值4分，第2小题总分值8分，第3小题6分〕〔理〕三个互不相等的正数a ，b ，c 成等比数列，公比为q 、在a ，b 之间和b ，c 之间共插入n 个数，使这3+n 个数构成等差数列、〔1〕假设1=a ，在b ，c 之间插入一个数，求q 的值；〔2〕设c b a <<，4=n ，问在a ，b 之间和b ，c 之间各插入几个数，请说明理由； 〔3〕假设插入的n 个数中，有s 个位于a ，b 之间，个位于b ，c 之间，试比较s 与的大小、 数学理〔参考答案〕【一】填空题〔每题4分，共56分〕1、π2。
2019届长宁嘉定区高三二模数学Word版
上海市长宁嘉定区2019届高三二模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，{|26}B x x =<<，则AB =________2. 已知复数z 满足i 34i z =+（i 是虚数单位），则||z =________3. 已知线性方程组的增广矩阵为2012m n ⎛⎫⎪⎝⎭，解为11x y =⎧⎨=⎩，则m n +=________ 4. 在7(1)x +的二项展开式中，5x 项的系数为________ 5. 已知圆锥的主视图为图所示，则该圆锥的侧面积是________6. 已知实数x 、y 满足011x y y x ≥⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩，则2x y -的最大值为________7.设函数()f x =a 为常数）的反函数为1()f x -，若函数1()f x -的图像经过点(0,1)，则方程1()2f x -=解为________8. 学校从3名男同学和2名女同学中任选2人到虹桥枢纽参加为期一天的春运志愿者服务 活动，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为________（结果用数值表示） 9. 已知直线1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与抛物线24y x =相交于A 、B 两点，若线段AB 中点的坐标为(,2)m ，则线段AB 的长为________10. 在△ABC 中，已知2CD DB =，P 为线段AD 上的一点，且满足49CP mCA CB =+，若△ABC3ACB π∠=，则||CP 的最小值为________11. 已知有穷数列{}n a 共有m 项，记数列{}n a 所有项的和为(1)S ，第二及以后所有项的和 为(2)S ，⋅⋅⋅ ，第n （1n m ≤≤）及以后所有项的和为(2)S ，若(2)S 是首项为1公差为2 的等差数列前n 项的和，则当1n m ≤<时，n a =________12. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(2)()f x f x +=-，且当01x ≤≤时，2()log ()f x x a =+，若对于任意[0,1]x ∈，都有221()1log 32f x tx -++≥-，则实数t 的取值范围为________二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知x ∈R ，则“11x>”是“1x <”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 14. 产能利用率是指实际产出与生产能力的比率,工业产能利用率是衡量工业生产经营状况 的重要指标，下图为国家统计局发布的2015年至2018年第2季度我国工业产能利用率的折 线图在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较.根据上述信息，下列结论中正确的是（ ）A. 2015年第三季度环比有所提高B. 2016年第一季度同比有所提高C. 2017年第三季度同比有所提高D. 2018年第一季度环比有所提高 15. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C ，过点(2,0)M -且与x 轴不重合的直线l 交圆C 于A 、B 两点，点A 在点M 与点B 之间，过点M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是（ ）A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分 16. 对于△ABC ，若存在△111A B C ，满足111cos cos cos 1sin sin sin A B CA B C ===，则称△ABC 为“V 类三角形”，“V 类三角形”一定满足（ ）A. 有一个内角为30°B. 有一个内角为45°C. 有一个内角为60°D. 有一个内角为75°三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，1A B 与底面ABCD 所成角为4π. （1）求三棱锥1A BCD -的体积； （2）求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小.18. 已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. （1）若02πα<<，且2sin 2α=，求()f α的值； （2）求函数()f x 的最小正周期，及函数()f x 在[0,]2π上的递减区间.19. 为了在夏季降温和冬季取暖时减少能源消耗，业主决定对房屋的屋顶和外墙喷涂某种新型隔热材料，该材料有效使用年限为20年，已知该房屋外表喷涂一层这种隔热材料的费用 为6万元/毫米厚，且每年的能源消耗费用H （万元）与隔热层厚度x （毫米）满足关系：40()35H x x =+（010x ≤≤），设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （1）解释(0)H 的实际意义，并求()f x 的表达式；（2）求隔热层喷涂多厚时，业主的所付总费用()f x 最小并计算与不建隔热层比较，业主节省多少钱20. 已知椭圆22:143x y Γ+=的左、右焦点分别为1F 、2F , 过2F 的直线l 与椭圆Γ交于 P 、Q 两点.（1）求△1F PQ 的周长；（2）设点A 为椭圆Γ的上顶点，点P 在第一象限，点M 在线段2AF 上，若1123F M F P =，求点P 的横坐标；（3）设直线l 不平行于坐标轴，点R 为点P 关于x 轴的对称点，直线QR 与x 轴交于点N . 求△2QF N 面积的最大值.21. 记无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=. （1）若23nn a n =-，写出1b 、2b 、3b 、4b 的值；（2）设2nn a n λ=-，若33b =-，求λ的值，及4n ≥时数列{}n b 的前n 项和n S ；（3）求证：“数列{}n a 是等差数列”的充要条件是“数列{}n b 是等差数列”.参考答案一. 填空题1. {3,4}2. 53. 34. 215. 3π6. 27. 1x =8.7109. 8 10. 4311. 21n -- 12. [0,3]二. 选择题13. A 14. C 15. C 16. B三. 解答题17．（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分） 解：（1）因为1111ABCD A B C D -是正四棱柱，所以底面ABCD 为正方形，1A A ⊥平面ABCD ， ………………1分 所以1A BA ∠就是1A B 与底面ABCD 所成角，即14A BA π∠=. ………………3分进而得11A A =， ………………4分111136A BCD BCD V A A S -∆=⨯⨯= ………………8分（2）因为11//A D B C ，所以1BA D ∠就是异面直线1A B 与1B C 所成角， ……………………2分由11A D DB A B ===13BA D π∠=所以异面直线1A B 与1B C 所成角为3π……………………………4分18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）因为02πα<<，且sin 2α=，所以cos α==， ………………3分所以()1122222f α=+-= ………………6分 （2）()21sin cos cos 2f x x x x =+-11sin 2cos 222x x =+ ………………1分)24x π=+ ………………3分 所以()f x 的最小正周期为π ………………5分 当02x π≤≤时，52444x πππ≤+≤， 再由52244x πππ≤+≤得，82x ππ≤≤， 函数()f x 在[]0,π上的递减区间为[,]82ππ………………7分19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）解：（1）()08H =表示不喷涂隔热材料时该房屋能源消耗费用为每年8万元．……2分 设隔热层建造厚度为x 毫米，则()40800()20660103535f x x x x x x =⨯+=+≤≤++ ………………………7分 （2）()800(610)10107035f x x x =++-≥=+ …………………3分 当80061035x x =++，即5x =时取等号所以当隔热层厚度为5cm 时总费用最小70万元. …………………5分 如果不建隔热层，20年业主将付能源费208160⨯=万元，所以业主节省90万元. …………………7分 20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解：（1）椭圆22:143x y Γ+=的长轴长为4， 由椭圆定义知，1F PQ ∆的周长为8； ………………4分 （2）由椭圆方程得(A ，()11,0F -，()20,1F ， ………………2分 设()11,P x y ，()22,M x y ， 由1123F M F P =，得()212113x x +=+，2123y y =， ① ………………3分 点M 线段2AF 上，所以22,x y满足方程为)221y x =- ………………4分将①式代入，得)112y x =-， ………………5分代入椭圆方程，得21156120x x -+=，因为10x >，所以165x =. ………………6分 （3）设()11,P x y ，()33,Q x y ，(),0N n ，直线l 的方程为()1y k x =-. 则点R 的坐标为()11,x y -，直线QR 的方程为()313331y y y x x y x x +=-+-，()()33113133113331311322y x x x x x x x y x y n x y y y y x x --++=-==+++- …………3分 将直线方程代入椭圆方程得：()22223484120k x k x k +-+-=，则2132834k x x k +=+，213241234k x x k-=+，所以2222222(412)8343448234k k k k n kk--++==-+ ， ………………5分 ()131412QF N S y ∆=⨯-⨯≤所以2QF N ∆面积的最大值为2. ………………6分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）因为23nn a n =-，所以11a =-，22a =-，31a =-，44a =.所以11b =-，232b =-，332b =-，41b =. ………………4分 （2）12a λ=-，242a λ=-，383a λ=-. 当2λ≤时，123a a a ≤<，13332a a b +==-，无解； 当23λ<≤时，213a a a <≤，23332a ab +==-，无解； 当34λ<≤时，231a a a ≤<，12332a ab +==-，解得4λ=； 当4λ>时，321a a a <<，13332a ab +==-，无解. ………………2分 此时24nn a n =-，12a =-，24a =-，34a =-，40a =，当4n ≥时，1240nn n a a +-=->，所以当4n ≥时{}n a 递增，132222n nn a a b n -+==--， ………………4分 12b =-，23b =-，33b -，42b =-，所以当4n ≥时，2232n n S n n =--+ ………………6分（3）必要性：数列{}n a 是等差数列，设其公差为d .当0d >时{}n a 是递增数列；当0d =时{}n a 是常数列；当0d >时，{}n a 是递减数列； 都有12n n a a b +=，1111222n n n n a a a a db b -+++-=-=，所以数列{}n b 是等差数列. ………………2分 充分性：数列{}n b 是等差数列，设其公差为*d . 则*11122n n n nn n M M m m b b d +++---=+=， 由题意知，1n n M M +≥，1n n m m +≤. .…………3分 当*0d >时，1n n M M +>对任意*n N ∈都成立， 即11n n n n M a M a ++=>≥，所以{}n a 是递增数列，n n M a =，1n m a =，*111222n n n n n nM M m m a a d +++---=+=所以{}n a 是公差为*2d 的等差数列 .………5分 当*0d <时，1n n m m +<，进而11n n n n m a m a ++=<≤， 所以{}n a 是递减数列，1n M a =，n n m a =，*111222n n n n n nM M m m a a d +++---=+=，所以{}n a 是公差为*2d 的等差数列 ……………6分 当*0d =时，11022n n n nM M m m ++--+=， 因为1n n M M +-与1n n m m +-中至少有一个为0，所以二者都为0. 进而得{}n a 为常数列.综上，充分性成立. ……………8分。