数学人教版 九年级上学期月考知识点汇总
九年级上册月考数学知识点
九年级上册月考数学知识点总结数学，作为一门理性而又充满挑战的学科，是九年级上学期的重点科目之一。
在这个学期里，我们将接触到各种各样的数学知识点，涉及到代数、几何、概率等不同的领域。
在此，我们来总结一下九年级上册月考的数学知识点。
一、方程与函数九年级上册的数学开始注重方程与函数的学习。
我们会学习一元一次方程、一元一次不等式的解法，也会接触到线性方程组的方法和原理。
另外，还要学习两元一次方程、一元二次方程以及实数上的不等式等内容。
在函数的学习中，我们会了解函数的概念、函数的图像、函数的性质等内容。
同时，还要学习一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等不同类型的函数，并且学会分析和绘制它们的图像。
二、几何九年级上册几何的主要内容为三角形、圆和平面向量。
在三角形的学习中，我们会涉及到三角形的内角和外角性质、三角形的相似性质、勾股定理等。
在圆的学习中，我们需要了解圆的性质、圆周角、弧长和扇形面积等重要概念。
在平面向量的学习中，我们需要了解向量的定义、向量的运算法则以及向量的平移、旋转等变换。
三、概率概率是数学中的一门重要分支，也是九年级上册的学习内容之一。
我们将学习基本的概率概念和概率计算方法，包括事件的概率、条件概率、互斥事件和独立事件等。
同时，还要学会利用概率分布表和频率图进行数据的统计和分析。
四、数据与统计数据与统计是九年级上册数学中另一个重点内容。
我们会学习数据的分类、整理和统计，了解频数、频率和频率分布等概念。
同时，还要学会利用直方图、折线图、饼图等图表对数据进行可视化展示。
五、三角函数初步在九年级上册的月考中，我们还会初步接触到三角函数的概念和初等函数的概念。
我们需要了解三角函数的定义、三角函数的运算法则，以及三角函数图像的性质等。
六、解决实际问题九年级上册的数学学习不仅仅是理论的掌握，更加注重将数学知识应用于实际问题的解决能力。
我们需要学会将所学的数学知识运用到实际场景中，解决日常生活中的问题，如求解实际问题的方程、利用概率计算实际事件的可能性等。
人教版九年级上第二次月考数学试卷含解析
四都中学-九年级上第二次月考数学试卷(考试时间：90分钟满分：150分出卷：许晖兰)班级：姓名：____________ 座号：____________ 得分：一、选择题:（每小题5分，共50分）1.下列事件中，是必然事件的是（）A.打开电视机，正在播放新闻B.父亲年龄比儿子年龄大C.通过长期努力学习，你会成为数学家D.下雨天，每个人都打着雨伞2. 下列各组中的四条线段成比例的是（）A.a=1，b=3，c=2，d=4B.a=4，b=6，c=5，d=10C.a=2，b=4，c=3，d=6D.a=2，b=3，c=4，d=13.10名学生的身高如下（单位：cm）：159169163170166165156172165162从中任选一名学生，其身高超过165cm的概率是（）A.12B.25C.15D.1104.下列说法正确的是（）①试验条件不会影响某事件出现的频率；②在相同的条件下试验次数越多，就越有可能得到较精确的估计值，但各人所得的值不一定相同；③如果一枚骰子的质量分布均匀，那么抛掷后每个点数出现的机会均等；④抛掷两枚质量分布均匀的相同的硬币，出现“两个正面”、“两个反面”、“一正一反”的机会相同．A.①②B.②③C.③④D.①③5.如图1所示为一水平放置的转盘，使劲转动其指针，并让它自由停下，下面叙述正确的是（）A.停在B区比停在A区的机会大B.停在三个区的机会一样大C.停在哪个区与转盘半径大小有关D.停在哪个区是可以随心所欲的6.从标有号码1到100的100张卡片中，随意地抽出一张，其号码是3的倍数的概率是（）图1A.33100B.34100C.310D.不确定7.一架长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为6米，如果梯子的顶端沿墙壁下滑1米，那么梯子的底端向后滑动的距离（ ） A .等于1米 B. 大于1米 C. 小于1米 D . 不能确定8.如图2所示的两个圆盘中，指针落在每一个数的机会均等，则两个指针同时落在偶数上的概率是（ ）A.525B.625C 1025D.19259. 某小作坊第一天剥鸡头米10斤，计划第二、第三天共剥鸡头米28斤．设第二、第三天每天的平均增长率均为x ，根据题意列出的方程是（ ） A.10（1+x ）2=28 B.10（1+x ）+10（1+x ）2=28 C.10（1+x ）=28 D.10+10（1+x ）+10（1+x ）2=2810.若k >1,关于x 的方程2x 2-(4k +1)x +2k 2-1=0的根的情况是（ ）A.有一正根和一负根B.有两个正根C.有两个负根D.没有实数根二、填空题（每空5分，共30分）11.一个口袋中装有4个白色球，1个红色球，7个黄色球，搅匀后随机从袋中摸出1个球是白色球的概率是 ．12.掷两枚硬币，一枚硬币正面朝上，另一枚硬币反面朝上的概率是 ．13.在一元二次方程x 2+bx +c =0中,如果系数b 、c 可在1，2，3，4，5，中任意取值, 那么其中有实数解的方程有______个.14.在对某次实验数据整理过程中，某个事件出现的频率随实验次数变化折线图如图3所示，曲线变化特点是频率会趋近于 .15.某校九年级（3）班在体育毕业考试中，全班所有学生得分的情况如下表所示：分数段 18分以下 18～20分 21～23分 24～26分 27～29分 30分 人数2312201810图2 1 235 4 1 254 6 图3那么随机地抽取1人，恰好是获得30分的学生的概率是 .16.某种小麦播种的发芽概率约是95％，1株麦芽长成麦苗的概率约是90％，一块试验田的麦苗数是8550株，该麦种的一万粒质量为350千克，则播种这块试验田需麦种约 为 千克.三、解答题（共70分）17.（8分）有两组卡片，第一组三张卡片上都写着A 、B 、B ，第二组五张卡片上都写着A 、B 、B 、D 、E.试用列表法求出从每组卡片中各抽取一张，两张都是B 的概率.18. （10分）如图,C 为线段AB 上一点,AB －BC=10cm ，BC ∶AC=3∶5． 求AB 的长．19. （7分）解方程：2)2(2-=-x xA C B20.（15分） 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？21.（15分）如图所示，如果D ，E ，F 分别在OA ，OB ，OC 上，且DF ∥AC ，EF ∥BC ． 求证：OD ∶OA ＝OE ∶OB如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元 如果人数不超过25人，每人1000元22. （15分）在一个布口袋中装有只有颜色不同，其它都相同的白、红、黑三种颜色的小球各1只，甲乙两人进行摸球游戏；甲先从袋中摸出一球看清颜色后放回，再由乙从袋中摸出一球．（1）试用树状图（或列表法）表示摸球游戏所有可能的结果；（2）如果规定：乙摸到与甲相同颜色的球为乙胜，否则为负,试求乙在游戏中获胜的概率．。
九年级上学期月考知识点
九年级上学期月考知识点一、数学知识点1. 整数与有理数运算- 整数的加减乘除运算规则- 有理数的加减乘除运算规则2. 代数表达式- 代数式的概念与性质- 代数式的加减乘除运算3. 方程与不等式- 一元一次方程的解法与应用- 一元一次不等式的解法与应用4. 平面图形与空间几何- 平面图形的性质与分类- 空间几何体的性质与分类5. 数据与统计- 数据收集与整理的方法- 图表的读取与分析二、语文知识点1. 阅读理解与写作- 阅读理解题的解题技巧与方法- 写作技巧与范文2. 短文改错与语法填空- 常见的语法错误与纠正方法- 语法填空的题目类型与解题技巧3. 古诗文欣赏与记叙文阅读- 古代诗词的特点与鉴赏方法- 记叙文的类型与阅读技巧4. 作文写作- 不同作文题材的写作思路与构思方法 - 作文结构与语言表达技巧三、英语知识点- 动词时态与语态的用法与变化规则- 名词、代词、形容词和副词的基本用法 2. 阅读与听力- 阅读理解题的解题技巧与方法- 听力理解题的解题技巧与方法3. 口语与写作- 常用口语表达与交际用语- 书面表达的写作技巧与范文四、物理知识点1. 运动与力学- 物体运动的基本概念与描述方法- 力的作用与力的计算2. 光学与光的性质- 光的传播规律与光的反射- 光的折射与光的色散- 电荷与电流的基本概念与关系- 电阻与电路的串并联4. 热学与热现象- 温度与热量的概念与单位- 热传导与热平衡五、化学知识点1. 物质的组成与性质- 原子、分子、离子的概念与相互转化关系 - 物质的性质与分类2. 离子化学与化学方程式- 离子的命名与化学方程式的书写- 化学反应类型与化学方程式的平衡3. 金属与非金属元素- 常见金属元素的性质与应用- 常见非金属元素的性质与应用4. 物质变化与化学实验- 化学变化的观察与判断- 常见化学实验的操作与注意事项六、生物知识点1. 生物多样性与进化- 物种的概念与分类方法- 进化理论与证据2. 细胞的结构与功能- 细胞的基本组成与功能特点- 常见细胞器的结构与功能3. 遗传与变异- 遗传规律与基因的传递方式- 变异与突变的概念与原因4. 生物生长与发育- 细胞分裂与有丝分裂的过程与意义 - 植物与动物的生长发育过程以上是九年级上学期月考的主要知识点，掌握以上内容将为考试取得良好成绩提供帮助。
九年级数学第一次月考卷01(全解析)【九年级上册第二十一章~第二十二章】人教版-初中上学期第一次月考
2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷01（人教版）（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~第二十二章。
5．难度系数：0.8。
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．x―2y=1B．x2―2x+1=0C．x2―2y+4=0D．x2+3=2x2．将方程x2―8x=10化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（）A．―8，―10B．―8，10C．8，―10D．8，10【答案】A【详解】将x2―8x=10化为一般形式为：x2―8x―10=0，∴一次项系数、常数项分别是-8，-10.故选A.3．对于二次函数y=3(x+4)2，其图象的顶点坐标为（）A．(0,4)B．(0,―4)C．(4,0)D．(―4,0)【答案】D【详解】解：因为二次函数y=3(x+4)2，所以其图象的顶点坐标为(―4,0)．故选：D．4．一元二次方程x2―2x+3=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．只有一个实数根【答案】C【详解】∵Δ=(―2)2―4×1×3=―8<0，∴一元二次方程没有实数根.故选：C．5．淄博烧烤火爆出圈，各地游客纷纷“进淄赶烤”．某烧烤店5月1日收入约为5万元，之后两天的收入按相同的增长率增长，5月3日收入约为9.8万元，若设每天的增长率为x，则x满足的方程是（）A．5(1+x)=9.8B．5(1+2x)=9.8C．5(1―x)2=9.8D．5(1+x)2=9.86．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是ℎ=30t―5t2．小球运动到最高点所需的时间是（ ）A．2s B．3s C．4s D．5s【答案】B【详解】解：ℎ=30t―5t2=―5(t―3)2+45，∵―5＜0，∴当t=3时，ℎ有最大值，最大值为45．故选：B．7．中秋节当天，某微信群里的每两个成员之间都互发一条祝福信息，共发出72条信息，设这个微信群的人数为x，则根据题意列出的方程是（）A ．x(x ―1)=72B ．12x(x +1)=72 C ．x(x +1)=72D ．12x(x ―1)=72【答案】A【详解】解：根据题意可得x (x ―1)=72，故选：A ．8．如果三点P 1(1,y 1),P 2(3,y 2)和P 3(4,y 3)在抛物线y =―x 2+6x +c 的图象上，那么y 1,y 2与y 3之间的大小关系是（ ）A ．y 1<y 3<y 2B ．y 3<y 2<y 1C ．y 3<y 1<y 2D ．y 1<y 2<y 3【答案】A【详解】解：∵y =-x 2+6x +c =-（x -3）2+9+c ，∴图象的开口向下，对称轴是直线x =3，P 1（1，y 1）关于对称轴的对称点为（5，y 1），∵3＜4＜5，∴y 2＞y 3＞y 1，故选：A ．9．对于二次函数y =(x ―1)2―2的图象，下列说法正确的是（ ）A ．开口向下B ．对称轴是直线x =―110．如图是抛物线y ＝a(x ＋1)2＋2的一部分，该抛物线在y 轴右侧部分与x 轴的交点坐标是( )A．(1，0)B．(1，0)C．(2，0)D．(3，0)211．二次函数y=x―+3的图象(1≤x≤3)如图所示，则该函数在所给自变量的取值范围内，函数值y4的取值范围是（）A．y≥1B．1≤y≤3C．3≤y≤3D．0≤y≤3412．定义新运算“a⊗b”：对于任意实数a，b，都有a⊗b＝（a﹣b）2﹣b，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如3⊗2＝（3﹣2）2﹣2＝﹣1．若x⊗k＝0（k为实数）是关于x的方程，且x＝2是这个方程的一个根，则k的值是（ ）A．4B．﹣1或4C．0或4D．1或4【答案】D【详解】解：∵a⊗b＝（a﹣b）2﹣b，∴关于x的方程x⊗k＝0（k为实数）化为(x―k)2―k=0，∵x＝2是这个方程的一个根，∴4-4k+k2-k=0，解得：k1=4,k2=1，故选：D．二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）13．把方程x2=2x―3化为一般形式是．【答案】x2―2x+3=0【详解】解：由x2=2x―3得：x2―2x+3=0，故答案为：x2―2x+3=0．14．已知x=1是方程x2+bx―2=0的一个根，则b的值为．15．若x1，x2是一元二次方程x2+2x―5=0的两个根，则x1+x2=．【答案】―2【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+2x―5=0的两个根，方程中二次项系数a=1，一次项系数b=2，常数项c=―5，∴x1+x2=―2．故答案为：―2．16．若抛物线y=(m―1)x m2―2―mx有最小值，则常数m的值为．【答案】2【详解】解：∵抛物线y=(m―1)x m2―2―mx有最小值，∴m―1>0（开口向上），m2―2=2，解得m>1，m=±2，即m=2，故答案为：2.17．已知等腰三角形的底边长为7，腰长是x2―8x+15=0的一个根，则这个三角形周长为．【答案】17【详解】解：x2―8x+15=0，(x―5)(x―3)=0，x―5=0，x―3=0，x1=5，x2=3，即①等腰三角形的三边为7，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是5+5+7=17；②等腰三角形的三边为3，3，7，此时不符合三角形三边关系定理，故答案为：17．18．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．故答案为k＜5．三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）解下列方程：(1)x（2x+1）＝2x+1；(2)4x2﹣3x＝x+1．20．（6分）已知关于x的方程x2+ax+a―2=0．(1)若该方程的一个根为2，求a的值及该方程的另一根．(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．△=a2―4×1×(a―2)=a2―4a+8=(a―2)2+4，（4分)∵(a―2)2≥0，∴(a―2)2+4≥4，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；(6分）21．（10分）已知二次函数y=―x2+2x+3；(1)把该二次函数化成y=a(x+m)2+k的形式为______；(2)当x______时，y随x的增大而增大；(3)若该二次函数的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，求△ABC的面积．22．（10分）如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长35m，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙．（1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？（2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由．【详解】解：（1）设养鸡场的宽为x m，根据题意得：x（35﹣2x）＝150，（2分）解得：x1＝10，x2＝7.5，当x1＝10时，35﹣2x＝15＜18，当x2＝7.5时35﹣2x＝20＞18，（舍去），则养鸡场的宽是10m，长为15m．（5分）（2）设养鸡场的宽为x m，根据题意得：x（35﹣2x）＝200，（7分）整理得：2x2﹣35x+200＝0，△＝（﹣35）2﹣4×2×200＝1225﹣1600＝﹣375＜0，因为方程没有实数根，所以围成养鸡场的面积不能达到200m2．（10分）23．（10分）为了加强安全教育，某校对学生进行“防溺水知识应知应答”测评．该校随机选取了八年级300名学生中的20名学生在10月份测评的成绩，数据如下：收集数据：9791899590999097919890909188989795909688整理、描述数据：数据分析：样本数据的平均数、众数、中位数和极差如表：平均数中位数众数极差93b c d(1)a＝______，b＝______，c＝______，d＝______；(2)该校决定授予在10月份测评成绩优秀（96分及以上）的八年级的学生“防溺水小卫士”荣誉称号，请估计评选该荣誉称号的人数．(3)若被选取的20名学生在11月份测评的成绩的平均数、众数、中位数和极差如表：平均数中位数众数极差95939410结合相关数据，从一个方面评价10月份到11月份开展的“防溺水知识应知应答”测评活动的效果．24．（10分）杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；(2)经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？【详解】（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为m，则6月份的销售量为256(1+m)2，根据题意得：256(1+m)2=400，解得：m1=0.25=25%，m2=―2.25（不符合题意，舍去），答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%；（4分）（2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为(y―35)元，月销售量为400+20(58―y)=(1560―20y)（件)，根据题意得：(y―35)(1560―20y)=8400，（7分）整理得：y2―113y+3150=0，解得：y1=50，y2=63（不符合题意，舍去），答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．（10分）25．（10分）如图，点E，F，G，H分别在边长为6的正方形ABCD的四条边上运动，四边形EFGH也是正方形．(1)求证：△AEH≌△BFE；(2)设AE的长为x，正方形EFGH的面积为y，求y关于x的函数解析式；(3)在（2）的条件下，当AE的长为多少时，正方形EFGH的面积最小？最小值是多少？26．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=―x2+bx+c交x轴于C(1,0)，D(―3,0)两点，交y轴于点E，连接DE．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)在线段DE上，是否存在一点P，使得△DCP是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点A(―3,5)，B(0,5)，连接AB，若二次函数y=―x2+bx+c的图象向上平移m(m>0)个单位时，与线段AB有一个公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．∠PCM=45°，时，5=―9+6+3+m,解得m=5，∴当m=1，或2<m≤5时，函数图象与线段AB有一个公共点．（10分）。
2023-2024学年全国初中九年级上数学新人教版月考试卷(含解析)
2023-2024学年全国九年级上数学月考试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 5 分 ，共计50分 ）1. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )A.B.C.D.2. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为( )A.B.且C.D.且3. 用配方法将方程变形，正确的是（ ）A.B.C.D.4. 平面直角坐标系内，函数与函数的图象可能是( )+2x −3=0x 21,2,31,2,−31,−2,3−1,−2,3x (k −2)−2kx +k =6x 2k k ≥0k ≥0k ≠2k ≥32k ≥32k ≠2+6x −11=0x 2(x −3=20)2(x +3=2)2(x −3=2)2(x +3=20)2y =a +bx +b (a ≠0)x 2y =ax +bA. B. C. D.5. 某校“研学”活动小组在一次实践中，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 A.B.C.D.6. 在抛物线的图像上有三个点，，，则，，的大小关系为( )A.43()4567y =−4x +m x 2(−3,)y 1(1,)y 2(4,)y 3y 1y 2y 3<<y 1y 2y 3B.C.D.7. 某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了张相片，如果全班有名学生，根据题意，列出方程为 A.＝B.＝C.＝ D.＝8. 一个三角形的两边长为和，第三边的边长是方程 的根，则这个三角形的周长是（ ）A.B.或C.和D.9. 某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：由于粗心，他算错了其中一个的值，则这个错误的数值是( )…A.B.C.D.10. 如图，抛物线与轴交于点，与轴的交点为，已知，顶点的坐标为，则下列结论正确的是( )<=y 1y 2y 3<<y 2y 3y 1<<y 3y 2y 12070x ()x (x −1)2070x (x +1)20702x (x +1)2070207036(x −2)(x −4)=0111113111313y =a +bx +c x 2y x ⋯−2−1012⋯y −11−21−2−5⋯−11−21−5y =a +bx +c x 2(a ≠0)x A (−1,0)y C −2≤c ≤−1(1,n )A.B.C.对于任意实数，不等式恒成立D.关于的方程没有实数根卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 5 分 ，共计25分 ）11. 若抛物线的图象与轴有交点，则的取值范围________．12. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别为，，顶点在函数的图象上，将正方形沿轴正方形平移后得到正方形，点的对应点落在抛物线上，则点与其对应点间的距离为________．13. 小明发明了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数：，例如把放入其中，就会得到＝现将实数对放入其中，得到实数，则＝________．14. 方程的根是________．15. 抛物线的顶点坐标是________．a +b >0≤a ≤1323m a +b ≥a +bm m 2x a +bx +c =n +1x 2y =k +2x −1x 2x k ABCD A B (0,2)(1,0)C y =+bx −113x 2ABCD x A'B'C'D'D D'D D'(a ,b )+b −1a 2(3,−2)+(−2)−132 6.(m,−2m)2m =|x |x 2y =−(x −2+1)2三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ）16. 解方程：；17. 已知关于的一元二次方程．如果此方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；如果此方程的两个实数根为，，且满足，求的值．18. 百货商店服装柜在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出件，每件盈利元．为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件服装降价元，那么平均每天就可多售出件.要想平均每天销售这种服装盈利元，那么每件服装应降价多少元？19. 如图，二次函数的图象过原点与点.判断的符号，并求出的值和该二次函数图象的顶点的横坐标；若点，是该二次函数图象上的两点，当时，求、之间的数量关系.20. 如图，抛物线与轴交于，两点，且点在点的左侧，直线与抛物线交于，两点，其中点的横坐标为．（1）求二次函数的解析式；（2）直接写出当取何值时，一次函数值小于二次函数值？(1)2−3x =0x 2(2)(2x −1=(3−x .)2)2x −2x −a =0x 2(1)a (2)x 1x 2+=−1x 11x 223a 2040121200y =a +bx +c (a ≠0)x 2O A (3,0)(1)bc (2)M (m ,)y 1N (m +n ,)(n >0)y 2=y 1y 2m n y =+bx +c x 2x A B A B y =−x −1A C C 2x P AC P E ACE（3）是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求三角形面积的最大值．21.如图，抛物线经过、、三点．求抛物线的解析式；如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得四边形的周长最小？若存在，求出四边形周长的最小值；若不存在，请说明理由．如图②，点是线段上一动点，连接，在线段上是否存在这样的点，使为等腰三角形且为直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．22. 已知抛物线 的对称轴为直线．求的值；若点，都在此抛物线上，且，，比较与的大小，并说明理由；设直线与抛物线交于点，，与抛物线交于点，．求线段与线段的长度之比．P AC P y E ACE y =a +bx +c x 2A (1,0)B (4,0)C (0,3)(1)(2)P PAOC PAOC (3)Q OB BC BC M △CQM △BQM M y =a −2x +1(a ≠0)x 2x =1(1)a (2)M (,)x 1y 1N (,)x 2y 2−1<<0x 11<<2x 2y 1y 2(3)y =m (m >0)y =a −2x +1x 2A B y =3(x −1)2C D AB CD参考答案与试题解析2023-2024学年全国九年级上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 5 分 ，共计50分 ）1.【答案】B【考点】一元二次方程的定义【解析】此题暂无解析【解答】解：根据一元二次方程的定义可知：二次项系数为，一次项系数为，常数项为.故选.2.【答案】D【考点】根的判别式一元二次方程的定义【解析】分和两种情况考虑，当原方程为一元一次方程时，可求出的值，从而得出符合题意；当原方程为一元二次方程时，利用根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．综上即可得出结论．【解答】解：∵关于的一元二次方程有实数根，∴且,解得：且.12−3B 1−k =01−k ≠0x k =1k k x k −2≠0Δ=(−2k −4(k −2)(k −6)≥0)2k ≥32k ≠2故选.3.【答案】D【考点】解一元二次方程-配方法【解析】在本题中，把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方．【解答】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到，配方得．故选．4.【答案】C【考点】一次函数的图象二次函数的图象【解析】根据二次函数图象的开口以及对称轴与轴的关系即可得出、的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．【解答】解：，二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，∴，，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于轴负半轴的同一点，故错误；，∵二次函数图象开口向下，对称轴在轴左侧，∴，，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于轴负半轴的同一点，故错误；，二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，∴，，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于轴负半轴的同一点，故正确；，∵二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，D −116+6x −11=0x 2+6x =11x 2+6x +9=11+9x 2(x +3=20)2D y a b A y a >0b <0y A B y a <0b <0y B C y a >0b <0y C D y b <0∴，，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于轴负半轴的同一点，故错误.故选.5.【答案】C【考点】一元二次方程的应用【解析】设这种植物每个支干长出个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设这种植物每个支干长出个小分支，依题意，得：，解得：（舍去），．故选.6.【答案】C【考点】二次函数图象上点的坐标特征【解析】先确定抛物线的对称轴及开口方向，再根据点与对称轴的远近，判断函数值的大小．【解答】解：因为抛物线的对称轴是，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，而，所以，．故选．7.【答案】A【考点】a >0b <0y D C x 43x x 1+x +x 2=43x 1=−7x 2=6C y =−4x +m x 2x =2x <2y x x >2y x |−3−2|>|4−2|>|1−2|<<y 2y 3y 1C一元二次方程的应用——其他问题【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意得：每人要赠送张相片，有个人，…全班共送：故选．8.【答案】D【考点】三角形三边关系解一元二次方程-因式分解法【解析】本题考查了解一元二次方程，三角形的三边关系．【解答】解：由解得或，由三角形三边关系定理得，即，因此，第三边应满足，所以，即周长为．故选．9.【答案】D【考点】二次函数图象与几何变换二次函数图象上点的坐标特征【解析】根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案．【解答】解：由函数图象关于对称轴对称，(x −1)x (x −1)x =2070A (x −2)(x −4)=0x =246−3<x <6+33<x <93<x <9x =43+4+6=13D (−1,−2)(0,1)(1,−2)得，，在函数图象上，把，，代入函数解析式，得解得函数解析式为，时，故这个错误的数值是，故选.10.【答案】B【考点】抛物线与x 轴的交点二次函数图象与系数的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：，把顶点坐标代入抛物线方程，即，由图象可知，，∴，故错误；，抛物线的对称轴，即，的坐标为，有，解得，又，∴，故正确；，恒成立，即恒成立 ，即恒成立，(−1,−2)(0,1)(1,−2)(−1,−2)(0,1)(1,−2) a −b +c =−2，c =1，a +b +c =−2，a =−3，b =0，c =1，y =−3+1x 2x =2y =−11−5D A (1,n )a +b +c =n c >n a +b <0A B x =−=1b 2ab =−2a B (3,0)9a +3b +c =0a =−c 3−2≤c ≤−1≤a ≤1223B C a +b >a +bm m 2−+b >−+bm b 2b 2m 2−2m +1>0m 2−2m +1=02当时，，故错误；， ∵抛物线的顶点坐标，∴抛物线与直线有两个交点，∴关于x 的方程有两个不相等的实数根，故错误.故选.二、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 5 分 ，共计25分 ）11.【答案】且【考点】抛物线与x 轴的交点二次函数的定义【解析】由抛物线与轴有交点可知：且，从而可求得的取值范围．【解答】解：∵为二次函数，∴．∵抛物线的图象与轴有交点，∴，即．解得：．∴的取值范围是且．故答案为：且．12.【答案】【考点】二次函数图象与几何变换【解析】作辅助线，构建全等三角形，先根据和的坐标求和的长，证明∴，＝＝，＝＝，写出，同理得：，得出的坐标，根据平移的性质：与的纵坐标相同，则＝，求出的坐标，计算其距离即可．【解答】m =1−2m +1=0m 2C D (1,n )y =a +bx +c x 2y =n +1a +bx +c =n +1x 2D B k ≥−1k ≠0x k ≠0△≥0k y =k +2x −1x 2k ≠0y =k +2x −1x 2x △=0+4k ≥022k ≥−1k k ≥−1k ≠0k ≥−1k ≠02A B OB OA △AOB ≅△BGC BG OA 2CG OB 1C (3,1)△BCG ≅△CDH D D D'y 3D'C GH ⊥x G D DH ⊥GH H如图，过作轴，交轴于，过作于，∵，，∴＝，＝，∵四边形为正方形，∴＝，＝，∴＝，∵＝，∴＝，∵＝＝，∴，∴＝＝，＝＝，∴，同理得：，∴＝＝，＝＝，∴，∵在抛物线的图象上，把代入函数中得：，∴，设，由平移得：与的纵坐标相同，则＝，当＝时，＝，解得：＝，＝（舍），∴＝＝，则点与其对应点间的距离为，13.【答案】或【考点】一元二次方程的应用——其他问题【解析】【解把实数对．代入中得移项得因式分解得解得或，故答案为或．【解答】此题暂无解答14.【答案】，，C GH ⊥x x G D DH ⊥GH H A (0,2)B (1,0)OA 2OB 1ABCD ∠ABC 90∘AB BC ∠ABO +∠CBG 90∘∠ABO +∠OAB 90∘∠CBG ∠OAB ∠AOB ∠BGC 90∘△AOB ≅△BGC BG OA 2CG OB 1C (3,1)△BCG ≅△CDH CH BG 2DH CG 1D (2,3)C C (3,1)y =+bx −113x 2b =−13y =−x −113x 213D (x ,y )D D'y 3y 3−x −113x 2133x 14x 2−3DD'4−22D D'23−1.317(m,−2m)+b −|=2a 2−2m −1=2m 2|−2m −3=0,m 2(m −3)(m +1)=0m =3−13−1=0x 1=1x 2=−1x 3【考点】换元法解一元二次方程解一元二次方程-因式分解法【解析】解此题的关键是换元思想的应用，换元后因式分解即可求得原方程的根．【解答】解：设，据题意得，，∴解得或，又∵，∴，，．15.【答案】【考点】二次函数y=ax^2 、y=a （x-h ）^2+k (a≠0)的图象和性质【解析】此题暂无解析【解答】解：∵抛物线解析式为，∴该抛物线的顶点坐标为．故答案为：．三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ）16.【答案】解：方程分解得：，解得：或；移项的：分解因式得：，解得：或；【考点】|x |=y =y y 2−y =0y 2⇒y (y −1)=0y =0y =1|x |=y =0x 1=1x 2=−1x 3(2,1)y =−(x −2+1)2(2,1)(2,1)(1)x (2x −3)=0x =0x =32(2)(2x −1−(3−x =0)2)2(2x −1+3−x )(2x −1−3+x )=0x =43x =−2解一元二次方程-因式分解法解一元二次方程-直接开平方法【解析】（2）方程利用因式分解法求出解即可；（4）方程利用因式分解法求出解即可；【解答】解：方程分解得：，解得：或；移项的：分解因式得：，解得：或；17.【答案】解：根据题意得，解得.根据题意得，，∵，∴，∴，解得，而，∴的值为.【考点】根与系数的关系根的判别式【解析】（1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到，，变形，得到，则，然后解方程即可．【解答】解：根据题意得，解得.根据题意得，，(1)x (2x −3)=0x =0x =32(2)(2x −1−(3−x =0)2)2(2x −1+3−x )(2x −1−3+x )=0x =43x =−2(1)Δ=(−2−4×(−a )>0)2a >−1(2)+=2x 1x 2⋅=−a x 1x 2+=−1x 11x 223=−+x 1x 2⋅x 1x 223=−2−a 23a =3Δ≥0a 3△=(−2−4×(−a )>0)2+=2x 1x 2⋅=−a x 1x 2+=−1x 11x 223=−+x 1x 2⋅x 1x 223=−2−a 23(1)Δ=(−2−4×(−a )>0)2a >−1(2)+=2x 1x 2⋅=−a x 1x 2=−112∵，∴，∴，解得，而，∴的值为.18.【答案】解：设每件服装应降价元，根据题意得：，解得，.因为要减少库存，所以每件服装降价元.【考点】一元二次方程的应用【解析】（1）先设每件童装应降价元，根据童装平均每天售出的件数每件盈利每天销售这种童装利润列出方程，求出的值，再根据减少库存，把不合题意的舍去即可求出答案；【解答】解：设每件服装应降价元，根据题意得：，解得，.因为要减少库存，所以每件服装降价元.19.【答案】解：根据图象过原点与点可知，，对称轴为直线，即.∵开口向下，∴，∴.∵对称轴为直线，∴顶点的横坐标为.∵，是该二次函数图象上的两点，且，∴点，关于对称轴对称，，∴.【考点】+=−1x 11x 223=−+x 1x 2⋅x 1x 223=−2−a 23a =3Δ≥0a 3x (40−x )(20+2x )=1200=20x 1=10x 220x ×=x x (40−x )(20+2x )=1200=20x 1=10x 220(1)O A (3,0)c =0x =32−=b 2a 32a <0b >0x =3232(2)M (m ,)y 1N (m +n ,)(n >0)y 2=y 1y 2M N =m +m +n 2322m +n =3二次函数的性质【解析】（1）根据图象过原点与点求出对称轴判断的符号，求出的值和顶点的横坐标；（2）根据可知点、关于对称轴对称，得到答案．【解答】解：根据图象过原点与点可知，，对称轴为直线，即.∵开口向下，∴，∴.∵对称轴为直线，∴顶点的横坐标为.∵，是该二次函数图象上的两点，且，∴点，关于对称轴对称，，∴.20.【答案】解：令，则，解得，点坐标为，令，则，点坐标为，将，代入得，，，解得，二次函数的解析式为；由图象可知，当时，一次函数值小于二次函数值；设，则，，当时，取得最大值，最大值为.【考点】一次函数图象上点的坐标特点二次函数的最值待定系数法求二次函数解析式O A (3,0)b c =y 1y 2M N (1)O A (3,0)c =0x =32−=b 2a 32a <0b >0x =3232(2)M (m ,)y 1N (m +n ,)(n >0)y 2=y 1y 2M N =m +m +n 2322m +n =3（1）y =0−x −1=0x =−1∴A （−1，0）x =2y =−2−1=−3∴C （2，−3）A （−1，0）B （2，−3）y =+bx +c x 21−b +c =04+2b +c =−3b =−2，c =−3∴y =−2x −3x 2（2）x <−1或x >2（3）P (x ，−x −1)E (x ，−2x −3)x 2∴S =(−x −1−+2x +3)×3×=1.5(−+x +2)x 212x 2=−1.5(−x )+3=−1.5(x −+x 212)2278x =12S 278二次函数与不等式（组）二次函数图象上点的坐标特征一次函数的性质二次函数的性质抛物线与x 轴的交点【解析】本题考查了一次函数与二次函数的综合题，考查了三角形的面积.【解答】解：令，则，解得，点坐标为，令，则，点坐标为，将，代入得，，，解得，二次函数的解析式为；由图象可知，当时，一次函数值小于二次函数值；设，则，，当时，取得最大值，最大值为.21.【答案】解：由已知得解得所以，抛物线的解析式为．存在，理由如下：∵、关于对称轴对称，如图，连接，（1）y =0−x −1=0x =−1∴A （−1，0）x =2y =−2−1=−3∴C （2，−3）A （−1，0）B （2，−3）y =+bx +c x 21−b +c =04+2b +c =−3b =−2，c =−3∴y =−2x −3x 2（2）x <−1或x >2（3）P (x ，−x −1)E (x ，−2x −3)x 2∴S =(−x −1−+2x +3)×3×=1.5(−+x +2)x 212x 2=−1.5(−x )+3=−1.5(x −+x 212)2278x =12S 278(1) a +b +c =0，16+4b +c =0，c =3， a =，34b =−，154c =3.y =−x +334x 2154(2)A B 1BC∴与对称轴的交点即为所求的点，此时，∴四边形的周长最小值为：，∵、、，∴，，，∴；∴在抛物线的对称轴上存在点，使得四边形的周长最小，四边形周长的最小值为．存在，理由如下：∵、，∴直线的解析式为，①当时，如图，设，∵，∴只能，∵轴，∴，∴，即，解得，代入得，，解得，∴；②当时，如图，BC P PA +PC =BC PAOC OC +OA +BC A (1,0)B (4,0)C (0,3)OA =1OC =3BC ==5O +O B 2C 2−−−−−−−−−−√OC +OA +BC =1+3+5=9P PAOC PAOC 9(3)B (4,0)C (0,3)BC y =−x +334∠BQM =90∘2M (a ,b )∠CMQ >90∘CM =MQ =b MQ //y △MQB ∼△COB =BM BC MQ OC=5−b 5b 3b =158y =−x +334=−a +315834a =32M (,)32158∠QMB =90∘3∵，∴只能，设，∴，∵，，∴，∴，解得，作，∴，即，∴，，∴，∴，综上，在线段上存在这样的点，使为等腰三角形且为直角三角形，点的坐标为或．【考点】二次函数综合题待定系数法求二次函数解析式轴对称——最短路线问题【解析】把点、、三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；（2）、关于对称轴对称，连接，则与对称轴的交点即为所求的点，此时，四边形的周长最小值为：；根据勾股定理求得，即可求得；分两种情况分别讨论，即可求得．【解答】解：由已知得∠CMQ =90∘CM =MQ CM =MQ =m BM =5−m ∠BMQ =∠COB =90∘∠MBQ =∠OBC △BMQ ∼△BOC =m 35−m 4m =157MN //OB ==MN OB CN OC CM BC ==MN 4CN 31575MN =127CN =97ON =OC −CN =3−=97127M (,)127127BC M △CQM △BQM M (,)32158(,)127127(1)A (1,0)B (4,0)C (0,3)A B BC BC P PA +PC =BC PAOC OC +OA +BC BC (3)(1) a +b +c =0，16+4b +c =0，c =3，=，3解得所以，抛物线的解析式为．存在，理由如下：∵、关于对称轴对称，如图，连接，∴与对称轴的交点即为所求的点，此时，∴四边形的周长最小值为：，∵、、，∴，，，∴；∴在抛物线的对称轴上存在点，使得四边形的周长最小，四边形周长的最小值为．存在，理由如下：∵、，∴直线的解析式为，①当时，如图，设，a =，34b =−，154c =3.y =−x +334x 2154(2)A B 1BC BC P PA +PC =BC PAOC OC +OA +BC A (1,0)B (4,0)C (0,3)OA =1OC =3BC ==5O +O B 2C 2−−−−−−−−−−√OC +OA +BC =1+3+5=9P PAOC PAOC 9(3)B (4,0)C (0,3)BC y =−x +334∠BQM =90∘2M (a ,b )∠CMQ >90∘∵，∴只能，∵轴，∴，∴，即，解得，代入得，，解得，∴；②当时，如图，∵，∴只能，设，∴，∵，，∴，∴，解得，作，∴，即，∠CMQ >90∘CM =MQ =b MQ //y △MQB ∼△COB =BM BC MQ OC=5−b 5b 3b =158y =−x +334=−a +315834a =32M (,)32158∠QMB =90∘3∠CMQ =90∘CM =MQ CM =MQ =mBM =5−m ∠BMQ =∠COB =90∘∠MBQ =∠OBC △BMQ ∼△BOC =m 35−m 4m =157MN //OB ==MN OB CN OC CM BC==MN 4CN 31575N =12N =9∴，，∴，∴，综上，在线段上存在这样的点，使为等腰三角形且为直角三角形，点的坐标为或．22.【答案】解：由题意得： ，∴.抛物线对称轴为直线，且，当 时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小.当时，，当时，，，同理：时，随的增大而增大，当时，，当时，，，．令 ，则∵，，，，.令，，，，，∴与的比值为．【考点】二次函数图象与系数的关系二次函数图象上点的坐标特征二次函数综合题MN =127CN =97ON =OC −CN =3−=97127M (,)127127BC M △CQM △BQM M (,)32158(,)127127(1)x =−=1−22a a =1(2)∵x =1a =1>0∴x <1y x x >1y x ∴−1<<0x 1y 1x 1x =−1y =4x =0y =1∴1<<4y 11<<2x 2y 2x x =1y =0x =2y =1∴0<<1y 2∴>y 1y 2(3)−2x +1=m x 2−2x +(1−m )=0x 2Δ=−4⋅1⋅(1−m )(−2)2=4m ∴x ==1±2±4m −−−√2⋅1m −−√∴=+1x 1m −−√=−+1x 2m −−√∴AB =|+1−(−+1)|m −−√m −−√=2m −−√3=m (x −1)2∴=(x −1)2m 3∴=+1x 13m −−−√3=−+1x 23m −−−√3∴CD =|+1−(−+1)|3m −−−√33m −−−√3=2m 3–√3∴==AB CD 2m −−√23m √33–√AB CD 3–√【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得： ，∴.抛物线对称轴为直线，且，当 时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小.当时，，当时，，，同理：时，随的增大而增大，当时，，当时，，，．令 ，则∵，，，，.令，，，，，∴与的比值为．(1)x =−=1−22a a =1(2)∵x =1a =1>0∴x <1y x x >1y x ∴−1<<0x 1y 1x 1x =−1y =4x =0y =1∴1<<4y 11<<2x 2y 2x x =1y =0x =2y =1∴0<<1y 2∴>y 1y 2(3)−2x +1=m x 2−2x +(1−m )=0x 2Δ=−4⋅1⋅(1−m )(−2)2=4m ∴x ==1±2±4m −−−√2⋅1m −−√∴=+1x 1m −−√=−+1x 2m −−√∴AB =|+1−(−+1)|m −−√m −−√=2m −−√3=m (x −1)2∴=(x −1)2m 3∴=+1x 13m −−−√3=−+1x 23m −−−√3∴CD =|+1−(−+1)|3m −−−√33m −−−√3=2m 3–√3∴==AB CD 2m −−√23m √33–√AB CD 3–√。
人教版九年级上册第一次月考数学试卷及答案解析
人教版九年级上册第一次月考数学试卷一、选择题1．下列关系式中，属于二次函数的是（x 为自变量）（ ）A ．y=x 2B ．y=C ．y=D ．y=a 2x 22．二次函数y=2（x ﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（ ）A ．（1，3）B ．（﹣1，3）C ．（1，﹣3）D ．（﹣1，﹣3）3．抛物线y=x 2+x ﹣4的对称轴是（ ） A ．x=﹣2 B ．x=2 C ．x=﹣4 D ．x=44．抛物线y=﹣x 2+2kx+2与x 轴交点的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．以上都不对5．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a ＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P （3，0），则a ﹣b+c 的值为（ ）A ．0B ．﹣1C ．1D ．26．已知二次函数y=2x 2+4x ﹣5，设自变量的值分别为x 1、x 2、x 3，且﹣1＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1、y 2、y 3的大小关系为（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 2＜y 3＜y 1D ．y 2＞y 3＞y 17．二次函数y=ax 2+bx+c 对于x 的任何值都恒为负值的条件是（ ）A ．a ＞0，△＞0B ．a ＞0，△＜0C ．a ＜0，△＞0D ．a ＜0，△＜08．把抛物线y=﹣2x 2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）A ．y=﹣2（x ﹣1）2+6B ．y=﹣2（x ﹣1）2﹣6C ．y=﹣2（x+1）2+6D ．y=﹣2（x+1）2﹣69．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则abc ，b 2﹣4ac ，2a+b ，a+b+c 这四个式子中，值为正数的有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个10．函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题11．当m= 时，函数y=（m﹣4）x+3x是关于x的二次函数．12．初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列了如下表格：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …﹣4 ﹣2 …根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时，y= ．13．已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是．14．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则直线y=ax+bc的图象不经过第象限．15．抛物线y=x2﹣2x﹣3关于x轴对称的抛物线的解析式为．16．已知抛物线y=x 2﹣（k+2）x+9的顶点在坐标轴上，则k 的值为 ．三.解答题（共计72分）17．通过配方，写出下列函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．（1）y=﹣3x 2+8x ﹣2（2）y=﹣x 2+x ﹣4．18．根据条件求二次函数的解析式：（1）抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），且与y 轴交点的纵坐标为﹣3（2）抛物线在x 轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3，﹣2）．19．校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式为y=﹣x 2+x+，求：（1）铅球的出手时的高度；（2）小明这次试掷的成绩．20．如图，直线y=2x+2与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°得到△A 1OB 1．（1）在图中画出△A 1OB 1；（2）求经过A ，A 1，B 1三点的抛物线的解析式．21．已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．（1）求抛物线的解析式；．（2）求△MCB的面积S△MCB22．二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），点D在函数图象上，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点B，D，求：（1）一次函数和二次函数的解析式；（2）写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．23．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系：（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？24．某工厂设门市部专卖某产品，该产品每件成本40元，从开业一段时间的每天销售统计中，随机抽取一部分情况如下表所示：每件销售价（元）50 60 70 75 80 85 …每天售出件数300 240 180 150 120 90 …假设当天定的售价是不变的，且每天销售情况均服从这种规律．（1）观察这些统计数据，找出每天售出件数y与每件售价x（元）之间的函数关系，并写出该函数关系式．（2）门市部原设有两名营业员，但当销售量较大时，在每天售出量超过168件时，则必须增派一名营业员才能保证营业有序进行，设营业员每人每天工资为40元．求每件产品应定价多少元，才能使每天门市部纯利润最大（纯利润指的是收入总价款扣除成本及营业员工资后的余额，其它开支不计）参考答案与试题解析一、选择题1．下列关系式中，属于二次函数的是（x为自变量）（）A．y=x2B．y=C．y=D．y=a2x2【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义判定即可．【解答】解：A、y=x2，是二次函数，正确；B、y=，被开方数含自变量，不是二次函数，错误；C、y=，分母中含自变量，不是二次函数，错误；D、a=0时，a2=0，不是二次函数，错误．故选A．【点评】本题考查二次函数的定义．2．二次函数y=2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（1，3） B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的顶点式的特点，可直接写出顶点坐标．【解答】解：二次函数y=2（x﹣1）2+3为顶点式，其顶点坐标为（1，3）．故选A．【点评】本题考查了二次函数的性质，把二次函数解析式整理成顶点式形式是解题的关键．3．抛物线y=x2+x﹣4的对称轴是（）A．x=﹣2 B．x=2 C．x=﹣4 D．x=4【考点】二次函数的性质．【分析】可以用配方法将抛物线的一般式写成顶点式，或者用对称轴公式x=．【解答】解：∵抛物线y=x2+x﹣4=（x﹣2）2﹣3，∴顶点横坐标为x=2，对称轴就是直线x=2．故选B．【点评】数形结合，二次函数y=ax2+bx+c的图象为抛物线，其对称轴为x=．4．抛物线y=﹣x2+2kx+2与x轴交点的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．以上都不对【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】让函数值为0，得到一元二次方程，根据根的判别式判断有几个解就有与x轴有几个交点．【解答】解：当与x轴相交时，函数值为0．0=﹣x2+2kx+2，△=b2﹣4ac=4k2+8＞0，∴方程有2个不相等的实数根，∴抛物线y=﹣x2+2kx+2与x轴交点的个数为2个，故选C．【点评】用到的知识点为：x轴上的点的纵坐标为0；抛物线与x轴的交点个数与函数值为0的一元二次方程的解的个数相同．5．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．2【考点】二次函数的图象．【专题】压轴题．【分析】由“对称轴是直线x=1，且经过点P （3，0）”可知抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0），代入抛物线方程即可解得．【解答】解：因为对称轴x=1且经过点P （3，0）所以抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）代入抛物线解析式y=ax 2+bx+c 中，得a ﹣b+c=0．故选A ．【点评】巧妙利用了抛物线的对称性．6．已知二次函数y=2x 2+4x ﹣5，设自变量的值分别为x 1、x 2、x 3，且﹣1＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1、y 2、y 3的大小关系为（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 2＜y 3＜y 1D ．y 2＞y 3＞y 1【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】在利用二次函数的增减性解题时，对称轴是非常重要的．根据x 1、x 2、x 3，与对称轴的大小关系，判断y 1、y 2、y 3的大小关系．【解答】解：∵y=2x 2+4x ﹣5=2（x+1）2﹣7，∴抛物线对称轴为直线x=﹣1，∵﹣1＜x 1＜x 2＜x 3，∴在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，即y 1＜y 2＜y 3．故选B ．【点评】主要考查了函数的对称轴求法和函数的单调性．7．二次函数y=ax 2+bx+c 对于x 的任何值都恒为负值的条件是（ ）A ．a ＞0，△＞0B ．a ＞0，△＜0C ．a ＜0，△＞0D ．a ＜0，△＜0【考点】抛物线与x 轴的交点．【分析】函数值恒为负值要具备两个条件：①开口向下：a ＜0，②与x 轴无交点，即△＜0．【解答】解：如图所示，二次函数y=ax 2+bx+c 对于x 的任何值都恒为负值的条件是：a ＜0，△＜0；故选D ．【点评】本题考查了抛物线的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象与x轴交点的个数由△=b2﹣4ac决定；①△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；②△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；③△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．抛物线的开口方向由a决定，当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下．8．把抛物线y=﹣2x2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（）A．y=﹣2（x﹣1）2+6 B．y=﹣2（x﹣1）2﹣6 C．y=﹣2（x+1）2+6 D．y=﹣2（x+1）2﹣6【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】抛物线平移不改变a的值．【解答】解：原抛物线的顶点坐标为（1，3），向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到新抛物线的顶点坐标为（﹣1，6）．可设新抛物线的解析式为：y=﹣2（x﹣h）2+k，代入得：y=﹣2（x+1）2+6．故选C．【点评】解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．9．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则abc，b2﹣4ac，2a+b，a+b+c这四个式子中，值为正数的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】数形结合．【分析】由抛物线的开口方向可确定a的符号，由抛物线的对称轴相对于y轴的位置可得a与b之间的符号关系，由抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号；由抛物线与x轴交点个数可确定b2﹣4ac的符号；根据抛物线的对称轴与x=1的大小关系可推出2a+b的符号；由于x=1时y=a+b+c，因而结合图象，可根据x=1时y的符号来确定a+b+c的符号．【解答】解：由抛物线的开口向上可得a＞0，由抛物线的对称轴在y轴的右边可得x=﹣＞0，则a与b异号，因而b＜0，由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可得c＜0，∴abc＞0；由抛物线与x轴有两个交点可得b2﹣4ac＞0；由抛物线的对称轴x=﹣＜1（a＞0），可得﹣b＜2a，即2a+b＞0；由x=1时y＜0可得a+b+c＜0．综上所述：abc，b2﹣4ac，2a+b这三个式子的值为正数．故选B．【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，其中a决定于抛物线的开口方向，b决定于抛物线的开口方向及抛物线的对称轴相对于y轴的位置，c决定于抛物线与y轴的交点位置，b2﹣4ac 的符号决定于抛物线与x轴交点个数，2a+b的符号决定于a的符号及﹣与1的大小关系，运用数形结合的思想准确获取相关信息是解决本题的关键．10．函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】根据a、b的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除．【解答】解：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，故A、D不正确；由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x=﹣＞0，且a＞0，则b＜0，但B中，一次函数a＞0，b＞0，排除B．故选：C．【点评】应该识记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．二、填空题11．当m= 1 时，函数y=（m﹣4）x+3x是关于x的二次函数．【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义即可得．【解答】解：∵函数y=（m﹣4）x+3x是关于x的二次函数，∴m2﹣5m+6=2且m﹣4≠0，解得：m=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查二次函数的定义，掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是关键．12．初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列了如下表格：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …﹣4 ﹣2 …根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时，y= ﹣4 ．【考点】二次函数的图象．【专题】压轴题；图表型．【分析】由表格可知，（0，﹣2），（2，﹣2）是抛物线上两对称点，可求对称轴x=1，再利用对称性求出横坐标为3的对称点（﹣1，﹣4）即可．【解答】解：观察表格可知，当x=0或2时，y=﹣2，根据二次函数图象的对称性，（0，﹣2），（2，﹣2）是抛物线上两对称点，对称轴为x==1，顶点（1，﹣2），根据对称性，x=3与x=﹣1时，函数值相等，都是﹣4．故答案为：﹣4．【点评】观察二次函数的对应值的表格，关键是寻找对称点，对称轴，利用二次函数的对称性解答．13．已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是x＜﹣1或x＞5 ．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】使得y＞0的x的取值范围就是函数的图象在x轴上方部分对应的自变量的取值范围．【解答】解：使得y＞0的x的取值范围是x＜﹣1或x＞5．故答案为：x＜﹣1或x＞5．【点评】本题考查了二次函数与不等式的解集的关系，理解求y＞0的x的取值范围就是函数的图象在x轴上方部分对应的自变量的取值是关键．14．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则直线y=ax+bc的图象不经过第三象限．【考点】二次函数的性质；一次函数图象与系数的关系．【分析】先由二次函数的图象确定a、b、c字母系数的正负，再求出一次函数的图象所过的象限即可．【解答】解：由图象可知抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴对称轴x=﹣＞0，∴b＞0；∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0；∵b＞0，c＞0∴一次函数y=ax+bc的图象不经过第三象限．故答案为三．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象确定二次函数的字母系数的取值范围是解题的关键．15．抛物线y=x2﹣2x﹣3关于x轴对称的抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3 ．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】利用原抛物线上的关于x轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数就可以解答．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣2x﹣3关于x轴对称的抛物线为﹣y=x2﹣2x﹣3，∴所求解析式为：y=﹣x2+2x+3．【点评】解决本题的关键是抓住关于x轴对称的坐标特点．16．已知抛物线y=x2﹣（k+2）x+9的顶点在坐标轴上，则k的值为4，﹣8，﹣2 ．【考点】二次函数的性质．【分析】由于抛物线的顶点在坐标轴上，故应分在x轴上与y轴上两种情况进行讨论．【解答】解：当抛物线y=x2﹣（k+2）x+9的顶点在x轴上时，△=0，即△=（k+2）2﹣4×9=0，解得k=4或k=﹣8；当抛物线y=x2﹣（k+2）x+9的顶点在y轴上时，x=﹣==0，解得k=﹣2．故答案为：4，﹣8，﹣2．【点评】本题考查的是二次函数的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．三.解答题（共计72分）17．通过配方，写出下列函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．（1）y=﹣3x2+8x﹣2（2）y=﹣x 2+x ﹣4．【考点】二次函数的三种形式．【分析】（1）、（2）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：（1）y=﹣3x 2+8x ﹣2=﹣3（x ﹣）2+．该抛物线的开口方向向下，对称轴为x=，顶点坐标（，）；（2）y=﹣x 2+x ﹣4=﹣（x ﹣2）2﹣3．该抛物线的开口方向向下，对称轴为x=2，顶点坐标（2，﹣3）．【点评】本题考查了二次函数的三种形式．（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0，a 、b 、c 为常数）；（2）顶点式：y=a （x ﹣h ）2+k ；（3）交点式（与x 轴）：y=a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．18．（2016秋•蚌埠校级月考）根据条件求二次函数的解析式：（1）抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），且与y 轴交点的纵坐标为﹣3（2）抛物线在x 轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3，﹣2）．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】应用待定系数法，求出每个二次函数的解析式各是多少即可．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），∴设抛物线的解析式为：y=a （x+1）2﹣1，∵抛物线与y 轴交点的纵坐标为﹣3，∴﹣3=a （0+1）2﹣1，解得a=﹣2．∴抛物线的解析式是y=﹣2（x+1）2﹣1，即y=﹣2x 2﹣4x ﹣3．（2）∵抛物线的顶点坐标是（3，﹣2），∴抛物线的对称轴为直线x=3，∵抛物线在x轴上截得的线段长为4，∴抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0），（5，0），设抛物线的解析式为y=k（x﹣1）（x﹣5），则﹣2=k（3﹣1）（3﹣5）解得k=，∴抛物线解析式为y=（x﹣1）（x﹣5），即y=x2﹣3x+．【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，要熟练掌握，利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．19．校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式为y=﹣x2+x+，求：（1）铅球的出手时的高度；（2）小明这次试掷的成绩．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）当x=0时，求出y的值就可以求出铅球出手时的高度；（2）铅球落地才能计算成绩，此时y=0，即y=﹣0.2x2+1.6x+1.8=0，解方程即可．在实际问题中，注意负值舍去．【解答】解：（1）当x=0时，y=，∴铅球的出手时的高度为m．（2）由题意可知，把y=0代入解析式得：﹣x 2+x+=0，解得x 1=10，x 2=﹣2（舍去），即该运动员的成绩是10米．【点评】本题考查二次函数的实际应用，解决本题的关键是搞清楚铅球落地时，即y=0，测量运动员成绩，也就是求x 的值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．20．如图，直线y=2x+2与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°得到△A 1OB 1．（1）在图中画出△A 1OB 1；（2）求经过A ，A 1，B 1三点的抛物线的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式；作图-旋转变换．【专题】作图题；数形结合．【分析】本题是在直角坐标系中，对直线进行旋转的问题，实质上就是把A ，B 两点绕O 点顺时针旋转90°可以根据坐标轴的垂直关系画图．再根据已知三点A ，A 1，B 1的坐标，确定抛物线解析式．【解答】解：（1）如右图．（2）设该抛物线的解析式为：y=ax 2+bx+c ．由题意知A 、A 1、B 1三点的坐标分别是（﹣1，0）、（0，1）、（2，0）．∴，解这个方程组得．∴抛物线的解析式是：y=﹣x2+x+1．【点评】本题要充分运用形数结合的方法，在坐标系中对图形旋转，根据一次函数解析式求点的坐标，又根据点的坐标求二次函数解析式．21．已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积S．△MCB【考点】二次函数综合题．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）将已知的三点坐标代入抛物线中，即可求得抛物线的解析式．（2）可根据抛物线的解析式先求出M 和B 的坐标，由于三角形MCB 的面积无法直接求出，可将其化为其他图形面积的和差来解．过M 作ME ⊥y 轴，三角形MCB 的面积可通过梯形MEOB 的面积减去三角形MCE 的面积减去三角形OBC 的面积求得．【解答】解：（1）依题意：，解得∴抛物线的解析式为y=﹣x 2+4x+5（2）令y=0，得（x ﹣5）（x+1）=0，x 1=5，x 2=﹣1，∴B （5，0）．由y=﹣x 2+4x+5=﹣（x ﹣2）2+9，得M （2，9）作ME ⊥y 轴于点E ，可得S △MCB =S 梯形MEOB ﹣S △MCE ﹣S △OBC =（2+5）×9﹣×4×2﹣×5×5=15．【点评】本题考查了二次函数解析式的确定以及图形面积的求法．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．22．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3），点D 在函数图象上，点C ，D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点B ，D ，求：（1）一次函数和二次函数的解析式；（2）写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围．【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】（1）将A 、B 、C 的坐标代入抛物线的解析式中即可求得二次函数的解析式，进而可根据抛物线的对称轴求出D 点的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据（1）画出函数图象，即可写出一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围．【解答】解：（1）二次函数y 1=ax 2+bx+c 的图象经过点A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3）， 则，解得．故二次函数图象的解析式为y 1=﹣x 2﹣2x+3，∵对称轴x=﹣1，∴点D 的坐标为（﹣2，3），设y 2=kx+b ，∵y 2=kx+b 过B 、D 两点，∴， 解得．∴y 2=﹣x+1；（2）函数的图象如图所示，∴当y 2＞y 1时，x 的取值范围是x ＜﹣2或x ＞1．【点评】此题主要考查了一次函数和二次函数解析式的确定以及根据函数图象比较函数值大小，画出函数图象熟练运用数形结合是解决第2问的关键．23．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系：（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？【考点】二次函数的应用．【专题】代数几何综合题．【分析】（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线顶点坐标，代入解析式；（2）令y=4，解出x 与2作比较；（3）隧道内设双行道后，求出横坐标与2作比较．【解答】解：（1）由题意可知抛物线的顶点坐标（4，6），设抛物线的方程为y=a （x ﹣4）2+6，又因为点A （0，2）在抛物线上，所以有2=a （0﹣4）2+6．所以a=﹣．因此有：y=﹣+6．（2）令y=4，则有4=﹣+6，解得x 1=4+2，x 2=4﹣2，|x 1﹣x 2|=4＞2，∴货车可以通过；（3）由（2）可知|x 1﹣x 2|=2＞2，∴货车可以通过．【点评】此题考抛物线的性质及其应用，求出横坐标与货车作比较，从而来解决实际问题．24．某工厂设门市部专卖某产品，该产品每件成本40元，从开业一段时间的每天销售统计中，随机抽取一部分情况如下表所示：每件销售价（元）50 60 70 75 80 85 …每天售出件数300 240 180 150 120 90 …假设当天定的售价是不变的，且每天销售情况均服从这种规律．（1）观察这些统计数据，找出每天售出件数y与每件售价x（元）之间的函数关系，并写出该函数关系式．（2）门市部原设有两名营业员，但当销售量较大时，在每天售出量超过168件时，则必须增派一名营业员才能保证营业有序进行，设营业员每人每天工资为40元．求每件产品应定价多少元，才能使每天门市部纯利润最大（纯利润指的是收入总价款扣除成本及营业员工资后的余额，其它开支不计）【考点】二次函数的应用．【分析】（1）经过图表数据分析，每天售出件数y与每件售价x（元）之间的函数关系为一次函数，设y=kx+b，解出k、b即可求出；（2）由利润=（售价﹣成本）×售出件数﹣工资，列出函数关系式，求出最大值．【解答】解：（1）经过图表数据分析，每天售出件数y与每件售价x（元）之间的函数关系为一次函数，设y=kx+b，经过（50，300）、（60，240），，解得k=﹣6，b=600，故y=﹣6x+600；（2）①设每件产品应定价x元，由题意列出函数关系式W=（x﹣40）×（﹣6x+600）﹣3×40=﹣6x2+840x﹣24000﹣120=﹣6（x2﹣140x+4020）=﹣6（x﹣70）2+5280．②当y=168时x=72，这时只需要两名员工，W=（72﹣40）×168﹣80=5296＞5280．故当每件产品应定价72元，才能使每天门市部纯利润最大．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，由利润=（售价﹣成本）×售出件数﹣工资，列出函数关系式，求出最大值，运用二次函数解决实际问题，比较简单．。
九年级上册数学月考知识点
九年级上册数学月考知识点第一章直线与角一、定义和性质1. 直线的定义和符号表示2. 角的定义和符号表示3. 同位角、邻补角、互补角的概念4. 直角、钝角、锐角的性质二、角的分类和关系1. 对顶角和对称角的概念2. 平行线与平行线之间的角的性质3. 同位角与内错角的性质第二章三角形一、三角形的定义和分类1. 三角形的定义和符号表示2. 三角形的分类及特点（按边、按角）3. 特殊的三角形（等边三角形、等腰三角形、直角三角形）二、三角形的性质与判定1. 三角形内角和的性质（三角形内角和为180°）2. 外角与内角的关系（外角等于与之相对的内角的和）3. 三角形的判定方法（SSS判定法、SAS判定法、ASA判定法）第三章勾股定理与三角比一、勾股定理1. 勾股定理的概念和性质2. 勾股定理在实际问题中的应用二、三角比的定义和性质1. 正弦、余弦、正切的定义和计算公式2. 三角比的运用（求角度、求边长）第四章平移与坐标一、平移1. 平移的概念和性质2. 平移的坐标表示方法3. 平移与图形的关系二、坐标与图形1. 直角坐标系的概念和表示2. 点的坐标、线段的坐标和中点公式3. 图形关于坐标轴的对称性第五章几何证明一、几何证明的基本方法和步骤1. 几何证明的基本方法（演绎法、逆证法、数学归纳法等）2. 几何证明的基本步骤（引入、论证、得证）二、几何证明的典型问题1. 利用等腰三角形证明性质（等腰三角形底边角相等）2. 利用三角形全等证明性质（三角形全等的判定依据）第六章成比例与相似一、成比例1. 成比例的定义和性质（正比例、反比例）2. 成比例的计算和应用二、相似及其性质1. 相似的概念和符号表示2. 相似三角形的性质（对应角相等、对应边成比例）三、相似三角形的判定1. AAA判定相似2. SAS判定相似第七章平行与垂直一、平行线与平行四边形1. 平行线的定义和性质2. 平行四边形的性质和判定二、垂线和垂直二字线1. 垂线的定义和性质2. 垂直二字线的性质和判定第八章统计与概率一、统计1. 统计调查的方法和步骤2. 频数表和频数直方图的制作3. 统计数据的分析和应用二、概率1. 概率的概念和性质2. 事件的概率计算（等可能事件、不等可能事件）以上是九年级上册数学月考的知识点概述。
部编人教版九年级数学上册月考考试题及答案【必考题】
部编人教版九年级数学上册月考考试题及答案【必考题】班级： 姓名：一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．化简 ）AB C D 2．已知x+1x =6，则x 2+21x =（ ） A ．38 B ．36 C ．34 D ．323．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）A ．9人B ．10人C ．11人D ．12人4．已知1x 、2x 是一元二次方程220x x -=的两个实数根，下列结论错误．．的是（ ）A ．12x x ≠B ．21120x x -=C ．122x x +=D ．122x x ⋅=5．下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（ ）A ．1，1，2B ．1，2，4C ．2，3，4D ．2，3，56．已知12a b +=，则代数式223a b +﹣的值是（ ） A ．2 B ．-2 C ．-4 D ．132- 7．抛物线()2y ax bx c a 0=++≠的部分图象如图所示，与x 轴的一个交点坐标为()4,0，抛物线的对称轴是x 1.=下列结论中：abc 0>①；2a b 0+=②；③方程2ax bx c 3++=有两个不相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()2,0-；⑤若点()A m,n 在该抛物线上，则2am bm c a b c ++≤++．其中正确的有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个8．如图是二次函数2y=ax +bx+c 的部分图象，由图象可知不等式2ax +bx+c<0的解集是（ ）A ．1<x<5-B ．x>5C ．x<1-且x>5D ．x ＜－1或x ＞59．如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 是BD 上两点，BM DN =，连接AM 、MC 、CN 、NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是（ ）A ．12OM AC =B ．MB MO =C ．BD AC ⊥ D ．AMB CND ∠=∠10．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=3，点E 在边BC 上，将△ABE 沿直线AE 折叠，点B 恰好落在对角线AC 上的点F 处，若∠EAC=∠ECA ，则AC 的长是（ ）A ．33B ．6C ．4D ．5二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．计算: 225-（）=__________.2．因式分解：3269a a a -+=_________.3．若2a b +=，3ab =-，则代数式32232a b a b ab ++的值为__________．4．如图，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是线段AO ，BO 的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB 的周长是18厘米，则EF=__________厘米．5．如图，M 、N 是正方形ABCD 的边CD 上的两个动点，满足AM BN =，连接AC 交BN 于点E ，连接DE 交AM 于点F ，连接CF ，若正方形的边长为6，则线段CF 的最小值是__________．6．如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，以顶点D 为圆心作半径为r 的圆，若要求另外三个顶点A ，B ，C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r 的取值范围是__________．三、解答题（本大题共6小题，共72分）1．解方程：2142242x x x x +-+--=12．已知关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+1＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k ＝2，求该矩形的对角线L 的长．3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.4．如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE=OD ，连接AE ，BE ，（1）求证：四边形AEBD 是矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，矩形AEBD 是正方形，并说明理由．5．某中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）九（1）班的学生人数为，并把条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中m= ，n= ，表示“足球”的扇形的圆心角是度；（3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．6．某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和台式电脑．经招投标，购买一台电子白板比购买2台台式电脑多3000元，购买2台电子白板和3台台式电脑共需2.7万元．（1）求购买一台电子白板和一台台式电脑各需多少元？（2）根据该校实际情况，购买电子白板和台式电脑的总台数为24，并且台式电脑的台数不超过电子白板台数的3倍．问怎样购买最省钱？参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、C2、C3、C4、D5、C6、B7、B8、D9、A10、B二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）122、2(3)a a -3、-124、35、36、35r <<.三、解答题（本大题共6小题，共72分）1、x=12、（1）k ＞34；（2 3、（1）二次函数的解析式为233642y x x =--+；（2）当23x =-时，ADE ∆的面积取得最大值503；（3）P 点的坐标为()1,1-，(1,-，(1,2--. 4、解：（1）证明：∵点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE=OD ， ∴四边形AEBD 是平行四边形．∵AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD ⊥BC ．∴∠ADB=90°．∴平行四边形AEBD是矩形．（2）当∠BAC=90°时，矩形AEBD是正方形．理由如下：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD=BD=CD．∵由（1）得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．5、（1）40，补全统计图见详解.（2）10；20；72.（3）见详解.6、（1）购买一台电子白板需9000元，一台台式电脑需3000元；（2）购买电子白板6台，台式电脑18台最省钱．。
九年级数学上册第一次月考重点知识点精编
数学知识点总结二次函数知识点：1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系.① 0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；② 当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①2axy =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的五要素：开口方向、对称轴、顶点、与x 轴交点、与y 轴交点. ① a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同；a 越大，开口越小。
②平行于y 轴(或重合)的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .③求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--， 对称轴是直线abx 2-=.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.④抛物线与x 轴有无交点的判定情况 ⑴⑵⑶ ⑤抛物线与y 轴的交点 (c ,0)★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1)a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线ab x 2-=,故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧；③0<ab (即a 、b 异号)时,对称轴在y 轴右侧. （左同右异）(3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c )： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab .函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标2ax y = 当0>a 时开口向上当0<a 时开口向下0=x (y 轴) (0,0)k ax y +=20=x (y 轴) (0, k ) ()2h x a y -= h x = (h ,0) ()k h x a y +-=2h x =(h ,k )c bx ax y ++=2ab x 2-=(ab ac a b 4422--，)11.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.(2)顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.12.直线与抛物线的交点(1)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).(2)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.(3)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组⎩⎨⎧++=+=cbx ax y nkx y 2的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.(4)抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故ac x x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121 13．二次函数与一元二次方程的关系：(1)一元二次方程c bx ax y ++=2就是二次函数c bx ax y ++=2当函数y 的值为0时的情况．(2)二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当0=y 时自变量x 的值，即一元二次方程02=++c bx ax 的根．(3)当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程c bx ax y ++=2有两个不相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根14、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 15.二次函数的应用：(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．15.解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等．重难点：二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系，用二次函数解决实际问题。
人教版九年级上册数学《第一次月考》考试题及答案【必考题】
人教版九年级上册数学《第一次月考》考试题及答案【必考题】 班级： 姓名：一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．﹣2的绝对值是（ ）A ．2B ．12C ．12-D ．2-2．若关于x 的不等式组324x a x a <+⎧⎨>-⎩无解，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≤﹣3 B ．a ＜﹣3 C ．a ＞3 D ．a ≥33．已知关于x 的分式方程21m x -+=1的解是负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≤3 B ．m ≤3且m ≠2C ．m ＜3D ．m ＜3且m ≠2 4．若函数y ＝（3﹣m ）27mx -﹣x+1是二次函数，则m 的值为（ ） A ．3 B ．﹣3C ．±3D ．9 5．一元二次方程(1)(1)23x x x +-=+的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根6．定义运算：21m n mn mn =--☆．例如2:42424217=⨯-⨯-=☆．则方程10x =☆的根的情况为（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根7．如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在B ′处，若∠1=∠2=44°，则∠B 为（ ）A ．66°B ．104°C ．114°D ．124°8．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A 在反比例函数y=6x（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（）A．y=﹣6xB．y=﹣4xC．y=﹣2xD．y=2x9．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．610．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC，若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（）A．25°B．27.5°C．30°D．35°二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．27-的立方根是____________．2．分解因式：2x y4y-=_______．3．若代数式1﹣8x与9x﹣3的值互为相反数，则x＝__________．4．如图，直线34y x=+与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为________．5．如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A 、B 、C 、在直角坐标系中的坐标分别为()3,6，()3,3-，()7,2-，则ABC 内心的坐标为__________．6．已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =，其部分图象如图所示，下列说法中：①0abc <；②0a b c -+<；③30a c +=；④当13x 时，0y >，正确的是__________（填写序号）．三、解答题（本大题共6小题，共72分）1．解方程：15102x x x x-+--＝22．先化简，再求值：2111x y x y xy y⎛⎫+÷ ⎪+-+⎝⎭，其中x 52，y 5 2.3．某市推出电脑上网包月制，每月收取费用y （元）与上网时间x （小时）的函数关系如图所示，其中BA是线段，且BA∥x轴，AC是射线．（1）当x≥30，求y与x之间的函数关系式；（2）若小李4月份上网20小时，他应付多少元的上网费用？（3）若小李5月份上网费用为75元，则他在该月份的上网时间是多少？4．如图，ABC中，点E在BC边上，AE AB=，将线段AC绕点A旋转到AF 的位置，使得CAF BAE∠=∠，连接EF，EF与AC交于点G=；(1)求证：EF BC(2)若65ACB∠的度数.∠=︒，求FGCABC∠=︒，2875迁，产业扶持等措施．使贫困户的生活条件得到改善，生活质量明显提高．某旗县为了全面了解贫困县对扶贫工作的满意度情况，进行随机抽样调查，分为四个类别：A．非常满意；B．满意；C．基本满意；D．不满意．依据调查数据绘制成图1和图2的统计图（不完整）．根据以上信息，解答下列问题：（1）将图1补充完整；（2）通过分析，贫困户对扶贫工作的满意度（A、B、C类视为满意）是；（3）市扶贫办从该旗县甲乡镇3户、乙乡镇2户共5户贫困户中，随机抽取两户进行满意度回访，求这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率．6．为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的32倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、A2、A3、D4、B5、A6、A7、C8、C9、A10、D二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1、－3.2、()()y x 2x 2+-．3、24、5、（2，3）6、①③④．三、解答题（本大题共6小题，共72分）1、x ＝7．2、2xy x y- ，12 3、（1）y=3x ﹣30；（2）4月份上网20小时，应付上网费60元；（3）5月份上网35个小时．4、(1)略；(2)78°.5、（1）答案见解析 （2）95% （3）256、（1）乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米．（2）10天.。
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22.2．3 因式分解法 知识点一 因式分解法解一元二次方程 （1）把一元二次方程的一边化为 0，而另一边分解成两个一 次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解，这种解方 程的方法叫做因式分解法. （2）因式分解法的详细步骤： ①移项，将所有的项都移到左边，右边化为 0； ②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因 式、平方差公式和完全平方公式； ③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； ④解一元一次方程即可得到原方程的解. 知识点二 用合适的方法解一元一次方程
知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：
（1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪
些是未知量以及它们之间的等量关系.
（2）设：是指设元，也就是设出未知数.
（3）列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应
用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关
系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程. （4）解：就是解方程，求出未知数的值. （5）验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合 题意. （6）答：写出答案. 知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1）数字问题 三个连续整数：若设中间的一个数为 x，则另两个数分别为 x-1， x+1. 三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为 x，则另两个数分 别为 x-2,x+2.
由于抛物线 y ax2 bx c 的对称轴是直线 x b ，故 2a
如果b 0时，对称轴为 y 轴； 如果 b 0 （即a 、b 同号）时，对称轴在 y 轴左侧；
a
如果 b 0（即a 、b 异号）时，对称轴在 y 轴右侧. a
③c的大小决定抛物线 y ax2 bx c 与 y 轴交点的位置 当 x 0时，y c ，所以抛物线 y ax2 bx c 与 y 轴有且只有一个交点（0， c ），故 如果c 0，抛物线经过原点； 如果c 0 ,与 y 轴交于正半轴；
③交点式：
.已知图象与 轴的交点坐标 、 ，通常
选择交点式.
（4）求抛物线的顶点、对称轴的方法
①公式法： ，∴顶点是 ，对称 y ax2 bx c a x
b
2
4ac
b2
（ b ，4ac b2 ）
2a
4a
2a 4a
轴是直线 x b . 2a
②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 y ax h2 k
三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为 a,b,c，
则这个三位数是 100a+10b+c. （2）增长率问题 设初始量为 a，终止量为 b，平均增长率或平均降低率为 x， 则经过两次的增长或降低后的等量关系为 a(1 x)2 b
（3）利润问题 利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本； ②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率 （4）图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关 元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来， 建立一元二次方程.
（2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一 般形式的一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的过程. （3）公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式： ax2 bx c 0(a 0)，一般 a 化为正值 ②确定公式中 a,b,c 的值，注意符号； ③求出b2 4ac 的值； ④若 b2 4ac 0 则把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即可求解， b2 4ac 0 ，则方程无实数根. 知识点二 一元二次方程根的判别式 式子 b2 4ac 叫做方程 ax2 bx c 0(a 0) 根的判别式，通常用希腊字 母△表示它，即 b2 4ac ,
22.2.2 公式法 知识点一 公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程 ，如果 ax2 bx c 0(a 0) b2 4ac 0 ， 那么方程的两个根为 x b b2 4ac ，这个公式叫做一元二次方
2a
程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数 a,b,c 的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.
方程有两个 相等实数解
方程没有实 数解
6.拓展：关于直线与抛物线的交点知识 （1） y 轴与抛物线 y ax2 bx c 得交点为(0,c) . （2）与 y 轴平行的直线 x h 与抛物线 y ax2 bx c 有且只有一个交 点( h , ah 2 bh c ). （3）抛物线与 x 轴的交点二次函数 y ax2 bx c 的图像与 x 轴的两 个交点的横坐标 x1、x2 ，是对应一元二次方程 ax2 bx c 0的两个实 数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的 根的判别式判定： ①有两个交点 0 抛物线与 x 轴相交；
a
0
时，抛物线开口向上，对称轴为
x
b 2a
，顶点坐标为
b 2a
，
当 x b 时，y 随 x的增大而减小；当 x b 时，y 随 x的增大而增大；
2a
2a
当 x b 时， y 有最小值 4ac b2 ．
2a
4a
（2）当a0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x b ，顶点坐标为 2a
．
若 一 元 二 次 方 程 x2 px q 0 的 两 个 根 为 x1 , x2 则 有
x1 x2 p , x1x2 q
若 一 元 二 次 方 程 ax2 bx c 0(a 0) 有 两 个 实 数 根 x1 ， x2 则 有
x1
x2
b a
, x1x2
c a
22.3 实际问题与一元二次方程
（1）二次函数基本形式 y ax2 的图象与性质：a 的绝对值越大， 抛物线的开口越小
（2） y ax2 c 的图象与性质：上加下减
（3） y ax h2 的图象与性质： 的图象与性质
3. 二次函数 y ax2 bx c 的图像与性质
（1）当
22.2 降次——解一元二次方程 22.2.1 配方法
知识点一 直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另 一边是非负数，可以直接开平方.一般地，对于形如 x2 a(a 0) 的 方程，根据平方根的定义可解得 x1 a x2 a . （2）直接开平方法适用于解形如 x2 p 或（mx a）2 p(m 0) 形式的方 程，如果 p≥0，就可以利用直接开平方法. （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方 根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平 方根是零；负数没有平方根. （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使 二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1；③两边 直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次 方程，求出原方程的根. 知识点二 配方法解一元二次方程
如果c 0 ,与 y 轴交于负半轴.
知识点三：二次函数与一元二次方程的关系
5.函数 y ax2 bx c ，当 y 0 时，得到一元二次方程 ax2 bx c 0 ，那么
一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x轴交点的横坐标，
因此二次函数图象与 x轴的交点情况决定一元二次方程根的情
况.
b 2a
，4ac 4a
b2
当 x b 时，y 随 x的增大而增大；当 x b 时，y 随 x的增大而减小；
2a
2a
当 x b 时， y 有最大值 4ac b2 ．
2a
4a
4. 二次函数常见方法指导
（1）二次函数 y ax2 bx c 图象的画法
①画精确图 五点绘图法（列表-描点-连线）
利用配方法将二次函数 y ax2 bx c 化为顶点式 y a(x h)2 k ，确定其开
口方向对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描
点画图.
②画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，与 x 轴的交点，
顶点.
（2）二次函数图象的平移
平移步骤：
① 将抛物线解析式转化成顶点式 y axh2 k ，确定其顶点坐标
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
y=a(x-h)2+k
平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．
（3）用待定系数法求二次函数的解析式
①一般式：
.已知图象上三点或三对（x, y），的值，通常
选择一般式.
②顶点式：
.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方 法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元 一次方程来解. 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开. （1）把常数项移到等号的右边； （2）方程两边都除以二次项系数； （3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完 全平方式； （4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解.
第二十二章 二次函数 知识点一：二次函数的定义 1.二次函数的定义： 一般地，形如 y ax2 bx c（ a，b，c 是常数，a 0 ）的函数，叫做二次 函数． 其中 a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 知识点二：二次函数的图象与性质抛物线的三要素：开口、 对称轴、顶点 2.二次函数 y ax h2 k 的图象与性质
方法名称 直接开平方法
配方法 公式法 因式分解法
理论依据 平方根的意义
适用范围 形如 或 x2 p （mx n）2 p( p 0)
完全平方公式
所有一元二次方程
配方法
所有一元二次方程
当 ab=0，则 a=0 或 b=0 一边为 0，另一边易于分解成两个一
次因式的积的一元二次方程.
22.2. 4 一元二次方程的根与系数的关系（了解）
； h，k