(完整版)多边形和圆的初步认识知识归纳及经典例题
九年级上册数学《圆》正多边形和圆知识点整理
正多边形和圆一、本节学习指导本节我们重点了解正多边形的各种概念和性质，在命题中正多边形经常和三角形、圆联合命题，部分地区也会以这部分综合题作为压轴题。
二、知识要点1、正多边形（1）、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
如：正六边形，表示六条边都相等，六个角也相等。
（2）、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
（3）、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
（4）、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
（5）、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
（6）、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
2、正多边形的对称性（1）、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。
一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。
（2）、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
（3）、正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。
24.3正多边形和圆一、填空题1． 在一个圆中，如果︒60的弧长是π，那么这个圆的半径r=_________.2． 正n 边形的中心角的度数是_______.3． 边长为2的正方形的外接圆的面积等于________.4． 正六边形的内切圆半径与外接圆半径的比等于_________.二、选择题5．正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ）.（A ） 两角互余 （B ）两角互补 （C ）两角互余或互补 （D ）不能确定6．圆内接正三角形的边心距与半径的比是（ ）.（A ）2：1 （B ）1：2 （C ）4:3 （D ）2:37．正六边形的内切圆与外接圆面积之比是（ ）（A ）43 （B ）23 （C ）21 （D ）41 8．在四个命题：（1）各边相等的圆内接多边形是正多边形；（2）各边相等的圆外切多边形是正多边形；（3）各角相等的圆内接多边形是正多边形；（4）各角相等的圆外切多边形是正多边形，其中正确的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49．已知：如图48-1，ABCD 为正方形，边长为a ，以B 为圆心，以BA 为半径画弧，则阴影部分面积为（ ）.（A ）（1-π）a 2 （B ）1-π（C ）44π- （D ）44π-a 21. 3；2. n o360；3. ∏2；4. 2:3； DBABD。
(最新)多边形和圆的初步认识知识归纳及经典例题
多边形和圆的初步认识知识讲解
【要点梳理】
要点一、多边形及正多边形
1．定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形．其中，各边相等、各角也相等的多边形叫
做正多边形．如下图：
要点诠释：
正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
2．相关概念：
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角（可简称为多边形的角），一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形
的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的
对角线．
要点诠释：
(1)过n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2
n n ．(2)过n 边形的一个顶点的对角线可以把
n 边形分成(n-2)个三角形．
类型一、多边形及正多边形1．如图，（1）从正六边形的顶点A 出发,可以画出
条对角线，分别用字母表示出来为
；（2）这些对角线把六边形分割成
个三角形.
【思路点拨】画出对角线，并按一定规律数出对角线的条数及分割成的三角形的个数即可.
【答案】（1）3，线段AC 、线段AD 、线段AE ；（2）4.E
A B C F
D。
第06讲 多边形和圆的初步认识(6类热点题型讲练)(解析版)--初中数学北师大版7年级上册
第06讲多边形和圆的初步认识(6类热点题型讲练)1.掌握多边形和正多边形的定义；2.掌握多边形的角平分线的规律；3.掌握圆的相关计算问题.知识点01多边形三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形，它们都是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形.【说明】（1）内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角.（2）外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.（3）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.（4）各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，所以正多边形同时具有各边相等，各角相等的性质.知识点02多边形的对角线顶点3456n 从一个顶点出发的对角线的条数0123n-3对角线的总条数02592)3(-nn 分割成三角形的个数0234n-3知识点03圆（1）圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作A，读作“圆弧AB”或“弧AB”；（2）圆的周长公式：rCπ2=；圆的面积公式：2rSπ=.题型01多边形的概念与分类【典例1】（2023秋·全国·八年级专题练习）下列图形中，不是多边形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据多边形的定义，逐项判断，即可求解．【详解】解：A、该图形是由4条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意；B、该图形是由5条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意；C、该图形是由线段、曲线首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它不是多边形．故本选项符合题意；D、该图形是由5条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了多边形，熟练掌握由()3n n≥条线段首尾顺次连接而成的封闭图形是多边形是解题的关键．【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图所示的图形中，属于多边形的有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】A【分析】根据多边形定义，逐个验证即可得到答案．【详解】解：所示的图形中，第一个是三角形、第二个是四边形、第三个是圆、第四个是正六边形、第五个是正方体，∴属于多边形的有第一个、第二个、第四个，共有3个，故选：A．【点睛】本题考查多边形定义，熟记多边形定义是解决问题的关键．【变式2】（2023春·七年级单元测试）下列判断：（1）各边长相等的多边形是正多边形；（2）各角都相等的多边形是正多边形；（3）等边三角形是正多边形：（4）长方形是正多边形．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【分析】各个角都相等，各个边都相等的多边形叫做正多边形．依据正多边形的概念进行判断即可．【详解】解：（1）菱形各边相等，但不是正四边形，故说法错误；（2）长方形各角都相等，但不是正四边形，故说法错误；（3）等边三角形三条边都相等，三个角都相等，是正多边形，故说法正确；（4）长方形的四个角相等，但长与宽不一定相等，所以不一定是正多边形，故说法错误．故正确的有：1个．故说：A．【点睛】本题考查了正多边形的概念，各个角都相等，各个边都相等的多边形叫做正多边形．题型02多边形对角线的条数问题【典例2】（2023秋·八年级课时练习）已知过多边形的某一个顶点可以作2023条对角线（不是一共有2023条对角线），则这个多边形的边数是（）A．2023B．2024C．2025D．2026【答案】Dn-条对角线进行求解即可．【分析】根据从n边形的一个顶点出发可以引()3【详解】解：设这个多边形的边数为n．n-=，根据题意，得32023n=．解得2026题型03对角线分成三角形个数问题（1）从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成故答案为：1，2，2；（2）从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将五边形分成故答案为：2，3，5；（3）从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将六边形分成题型04用七巧板拼图形A ．21dm4B ．23dm8C ．3123218÷⨯=（平方分米）答：阴影部分的面积为23dm 8．故选：B ．【答案】34/0.75【分析】根据七巧板中各部分面积的关系可得小三角形的面积为大正方形的三角形的面积的2倍，即可求解．【详解】∵图2是由边长为2的正方形分割制作的七巧板拼摆成的，∴大正方形面积4=，由图形可知，阴影部分面积为小三角形的面积与平行四边形的面积之和，即【答案】32【分析】利用七巧板的各边之间的关系即可求出积．【详解】由图可知“小狐狸”图案中阴影部分面积为图形∵正方形ABCD 的边长为∴AE DE DF FC ===∴ADC EDF S S S =-= 故答案为：32．题型05平面镶嵌【典例5】（2023春·广东佛山·八年级校考期末）在平面图形正三角形、正六边形、正四边形、正五边形中，能单独镶嵌平面的有（）种图形．A ．1B ．2C ．3D ．4．B．．．【点睛】本题考查了图形的密铺，一种图形能够密铺，则拼在同一顶点处的几个角恰好组成一个周角．题型06圆的周长和面积问题πB．4A．22R【答案】C【分析】根据图形的特征，四边形内角和为的面积．【详解】解：因为四边形内角和为【答案】4π【分析】根据铁环从原点O沿数轴滚动一周（无滑动）到达点【详解】∵铁环从原点O沿数轴滚动一周（无滑动）到达点【答案】大蚂蚁和小蚂蚁爬的路程一样长，见解析【分析】利用圆的周长公式分别求出大、小蚂蚁爬行的路程，然后比较即可．【详解】解：大圆的周长∴大圆的周长＝两个小圆的周长和，一、单选题1．（2023秋·全国·八年级专题练习）五边形经过一个顶点可以引（）条对角线．A．0B．1C．2D．3【答案】Cn-，进行计算即可．【分析】根据从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是3-=，【详解】解∶532∴五边形经过一个顶点可以引2条对角线．故选∶C．【点睛】此题主要考查了多边形的对角线，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以n-．连的对角线的条数是32．（2023秋·河南周口·八年级校联考阶段练习）已知，一个多边形的边数恰好是从一个顶点出发的对角线条数的2倍，则这个多边形的边数是()A ．5B ．9C ．8D ．6【答案】D 【分析】设此多边形有n 条边，根据题意可得()23n n =-，解方程，即可求解．【详解】解：设此多边形有n 条边，由题意，得()23n n =-，解得6n =，故选：D ．【点睛】本题考查了多边形对角线条数问题，熟练掌握从n 边形的一个顶点出发的对角线条数为()3n -条，是解题的关键．3．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）有足够多的如下4种边长相等的正多边形瓷砖图案进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是（）A ．①②④B ．①②C ．①④D ．②③【答案】D 【分析】只需要计算各个选项中的一个顶点处的角是否能组合成一个周角即可得出答案.【详解】解：A 、若有一个正三角形、两个正方形、一个正六边形，则在一个顶点处的角的和为60902120360︒+︒⨯+︒=︒，能铺满地面，故①②④的正多边形瓷砖图案可以进行平面镶嵌；B 、若有三个正三角形、两个正方形，则在一个顶点处的角的和为603902360︒⨯+︒⨯=︒，能铺满地面，故①②的正多边形瓷砖图案可以进行平面镶嵌；C 、若有两个正三角形、两个正六边形，则在一个顶点处的角的和为6021202360︒⨯+︒⨯=︒，能铺满地面，故①④的正多边形瓷砖图案可以进行平面镶嵌；D 、由于正五边形的内角为108︒，正方形的内角为90︒，在一个顶点处不能构成一个周角，故不能铺满地面，故②③的正多边形瓷砖图案不可以进行平面镶嵌；故选：D .【点睛】本题考查了平面镶嵌，解决此类问题的关键是明确一个顶点处的角是否能组合成一个周角.4．（2023秋·河南南阳·七年级校联考期末）七巧板被西方人称为“东方魔板”．如图的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形的边长为4cm ，则“一帆风顺”图中阴影部分的面积为（）A．28cm B．4cm【答案】C【分析】首先确定阴影部分的三角形在七巧板中所属的部分，再根据这个三角形与正方形边长的关系求出这个三角形的边长，便可以根据三角形的面积公式进行解答．【详解】由图可知“一帆风顺”图中阴影部分是正方形右下角的等腰直角三角形，A．54B．44C．35【答案】C【分析】根据一个n边形的对角线条数为()32n n-进行求解即可．【详解】解：一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有一个十边形共有()10103352⨯-=条对角线，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了对角线条数问题，解题的关键是熟练掌握一个二、填空题【答案】猫和老鼠同时到达【分析】利用圆的周长公式即可求解．【详解】解：以AB为直径的半圆的长是：11．（2023春·上海·八年级专题练习）从一个多边形一边上的一点（不是顶点）出发，分别连接这个点与各个顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形，请你观察下图，并完成后面的填空.当多边形的边数是4时，可以把多边形分割成_______个三角形；当多边形的边数是5时，可以把多边形分割成_______个三角形；当多边形的边数是6时，可以把多边形分割成_______个三角形；……你能看出多边形边数与分割成的三角形的个数之间有什么规律吗？【答案】3,4,5,规律：多边形的边数比分割成的三角形的个数多1【分析】由相应图形得到分成的三角形的个数和多边形的边数的关系的规律即可．【详解】由图中可以看出：四边形被分为3个三角形，五边形被分为4个三角形，六边形被分成5个三角形，那么n 边形被分为（n -1）个三角形．∵n -(n -1)=1，∴多边形的边数比分割成的三角形的个数多1.【点睛】解决本题的难点是得到分成的三角形的个数和多边形的边数的关系．12．（2023秋·全国·八年级课堂例题）（1）如图①，O 为四边形ABCD 内一点，连接OA OB OC OD ，，，，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？（2）如图②，点O 在五边形ABCDE 的边AB 上（不与端点重合），连接OC OD OE ，，，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？（3）如图③，过点A 作六边形ABCDEF 的对角线，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？（4）若是任意一个n （4n ≥，且n 为整数）边形，上述三种情况分别可以将n 边形分割成多少个三角形？【答案】（1）4个，它与边数相等．（2）4个，它等于边数减1．（3）4个，它等于边数减2．（4）若点在n 边形内部，则可以将n 边形分割成n 个三角形；若点在n 边形的边上（不与端点重合），则可以将n 边形分割成()1n -个三角形；若点为n 边形的顶点，则可以将n 边形分割成()2n -个三角形．【分析】（1）根据图形，求解即可；（2）依据题中的图形，求解即可；（3）依据题中的图形，求解即可；（4）根据前面三种情况求解即可．【详解】解：（1）由图形可得，可以得到4个三角形，它与边数相等；（2）可以得到4个三角形，它等于边数减1；（3）可以得到4个三角形，它等于边数减2；（4）由前面的性质可得，若点在n 边形内部，则可以将n 边形分割成n 个三角形；若点在n 边形的边上（不与端点重合），则可以将n 边形分割成()1n -个三角形；若点为n 边形的顶点，则可以将n 边形分割成()2n -个三角形．【点睛】此题考查了多边形的性质，解题的关键是理解题意，掌握多边形的有关性质．13．（2023春·广西百色·八年级统考期末）观察探究及应用；(1)观察下列图形并完成填空．如图①一个四边形有2条对角线；(2)分析探究：由凸n 边形的一个顶点出发，可做______条对角线，一个凸n 边形有(3)应用：一个凸十二边形有______条对角线．【答案】(1)9，14(2)()3n -，()132n n -(3)54【分析】（1）分别通过计数可得答案；（2）先探究从三角形到六边形的一个顶点出发作的对角线的数量，得到每种图形的对角线的总数量，再总。
4.5多边形和圆的初步认识
4.5多边形和圆的初步认识知识点1：多边形多边形的概念⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧线。
等都是多边形的对角中，线段所示多边形如图线，线段叫作多边形的对角意两个不相邻的顶点的对角线：连接多边形任等都是多边形的边。
中，线段所示多边形叫作多边形的边，如图边：组成多边形的线段边形的顶点叫做多中，点所示，在多边形的顶点：如图的同一侧。
在任何一条边所在直线总凸多边形），即多边形书所说的多边形都是指（如没有特别说明，本次相连组成的封闭图形一直线上的线段首尾顺定义：由若干条不在同多边形AE AD AC ABCDEF BC AB ABCDEF F E D C B A ABCDEF ,,1-5-4,1-5-4,,,,,1-5-4自测1：如图4-5-2所示的图形都是多边形。
（1）填写下表：图形多边形的名称顶点数边数角数过点A 的对角线条数所有的对角线条数① ② ③ ④（2）根据表中的数据，猜想n (n 为大于3的正整数）边形的顶点数、边数、角数、所有的对角线条数分别是多少。
知识点2：正多边形各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。
帮你理解〈〈〈〈〈（1）正多边形的定义中两个条件缺一不可，即要同时满足各边相等和各角相等，只有各边相等的多边形或只有各角相等的多边形都不是正多边形。
（2）正多边形按边数可分为正三角形、正方形、正五边形、正六边形、…、正n边形。
（3）多边形、正多边形都是平面图形。
自测2：我们学过的四边形有长方形和正方形，请问它们是正多边形吗？为什么？知识点3：圆圆：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫圆，固定的端点称为圆心，这条线段称为半径。
弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。
扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形。
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
自测3：圆的四条半径OA,OB,OC,OD把圆分为若干个扇形，其中扇形AOB,扇形BOC，扇形COD，扇形AOD在圆中所占的百分比如图4-5-3所示，如果OA=5cm,(1)求扇形AOB与扇形AOD的圆心角与面积，结果保留π；(2)求ABD的长度，结果保留π。
2024年北师大七年级数学上册 4.3 多边形和圆的初步认识(课件)
点 A， B， C， D， E
内角
多边形相邻两条边 组成的角
∠ EAB， ∠ ABC， ∠ BCD， ∠ CDE， ∠ DEA
对角线
连接多边形不相邻 两个顶点的线段
线段 AC，AD，BE ， BD， CE
知1－讲
图示
感悟新知
知1－讲
4. 正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形 .
示 例
顶点在圆心的角叫作圆心角
如∠ AOB
知2－讲
感悟新知
知2－讲
1. 圆心角的度数： 因为一个周角为 360° ，所以将一个圆分 成的几个扇形的圆心角的度数之和等于 360° ，一个扇形 圆心角的度数 =360°× 这个扇形圆心角占周角的百分比 .
2. 扇形的面积： 半径为 R 的圆，其面积 S=π R2，将圆等分为 360 个小扇形，则每个圆心角为 1° 的小扇形的面积是
段组成，那么这个多边形叫作 n 边形 . 如三角形、四边形、
五边形……三角形是最简单的多边形 .
注意： 如无特别说明，本书所说的多边形都是指凸多边形，
即多边形总在其任意一条边所在直线的同一侧 .
感悟新知
知1－讲
2. 多边形的表示方法： 先写出多边形的名称，然后写出表示 它的各个顶点的大写字母，可以按顶点顺时针的顺序书写， 也可以按顶点逆时针的顺序书写 .
答案：C
感悟新知
知1－练
1-1.如图所示的图形中，属于多边形的有( A ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个
感悟新知
1-2.下列图形中一定是正多边形的是( B ) A. 三角形 B. 正方形 C. 长方形 D. 八边形
知1－练
感悟新知
知识点 2 圆和扇形及其相关概念
北师大七年级上-第12讲-多边形和圆的初步认识
多边形和圆的初步认识知识点一：多边形 1．定义：由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形是多边形． 2．分类：根据组成多边形的条数将其分为三角形、四边形、五边形、六边形…… 例 1 如图，下面图形是多边形的有____（填序号）．分析：根据多边形的定义及特征判断，①②⑤都有一部分曲线，不符合定义；⑥不是由线段首尾相连组成； ⑦不是封闭图形． 解：③④ 拓展 一些常见的多边形：变式训练 1.下列图形：①正方形；②三角形；③圆锥；④线段；⑤棱柱；⑥圆；⑦球；⑧长方形；⑨圆柱；⑩梯 形．其中，是平面图形的有 答案：⑧④①②⑧④ 知识点二：多边形的分割 1．三角形是特殊的多边形，其边数最少，也是生活中最常见的平面图形． 2．利用三角形研究多边形最常用的方法是将多边形进行分割，从而把多边形的问题转化成三角形来处理． 3．若多边形的边数为 n（n≥3），从这个多边形的一个顶点出发，能把这个多边形分割成（ n-2）个三角形． 例 2 在多边形中，连接不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．请你先画一画、数一数，如果从四 边形、五边形、六边形的一个顶点引对角线各有多少条？如果从每个顶点都引又各有对角线多少条？n 边形 （n,≥4，n 是整数）共有多少条对角线？ 分析：可以实际动手画一画，再数一数，然后从特殊到一般，找出多边形对角线的规律． 解：如下图所示： ；是多边形的有____．（只填序号）从一个顶点出发，四边形的一个顶点可引 4 -3 =1（条）对角线；五边形的一个顶点可引 5 -3 =2（条）对角 线；六边形的一个顶点可引 6-3 =3（条）对角线…… ∴n 边形的一个顶点可引（n-3）条对角线． 如果从每个顶点都引对角线，四边形有 4 个顶点，每个顶点引 4 -3 =1 条，四个顶点共可引 4 条．但在此过 程中，从顶点引过去，然后又从另一顶点引回来，故这四条对角线是两两重复的，结果实际上： 四边形有(4 3) 4 2 （条）对角线； 2(5 3) 5 5 （条）对角线； 2 (6 3) 6 六边形有 9 （条）对角线； 2 (n 3) n ∴n 边形有 条对角线． 2五边形有 如下图所示：拓展 (1)从一个顶点出发，连接不相邻的 顶点，此时可将 n 边形分割成（n -2）个三角形．(2)从多边形一边上的一点出发，连接各顶点，此时可将 n 边形分割成（n-1）个三角形．(3)从多边形内部的一点出发，连接各顶点， 此时可将 n 边形分割成 n 个三角形，变式训练 1．(1)若在 n 边形内部任意取一点 P，将 P 与各顶点连接起来，则可将多边形分割成 ________个三角形． (2)若点 P 取在多边形的一条边上（不是顶点），将 P 与 n 边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成 ____个三角形． 2．用大小相同的实心点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆成的第 n 个图案中，共有实心点的个数为 ____答案：1.n n-1n 2 9n 2 (n 1)(n 2) n 2 9n 提示： 3(n 1) 2 2 22． 1．圆：(1)静态定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫圆. (2)描述性定义：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做知识点三：弧和扇形圆．定点叫做圆心，定长叫做半径2．弧：圆上两点 A、B 之间的部分叫做圆弧，简称弧．记作 AB，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”． 3．扇形：由一条弧 AB 和经过这条弧的端点的两条半径 OA、08 所组成的图形叫做扇形。
中考数学复习----《正多边形与圆》知识点总结与练习题(含答案)
中考数学复习----《正多边形与圆》知识点总结与练习题（含答案）知识点总结1.正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。
2.正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
练习题1、（2022•长春）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB＝27厘米，则这个正六边形的周长为厘米．【分析】根据对称性和周长公式进行解答即可．【解答】解：由图象的对称性可得，AM＝MN＝BN＝AB＝9（厘米），∴正六边形的周长为9×6＝54（厘米），故答案为：54．2、（2022•营口）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC，CF，则∠ACF＝度．【分析】设正六边形的边长为1，正六边形的每个内角为120°，在△ABC中，根据等腰三角形两底角相等得到∠BAC＝30°，从而∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，过点B作BM⊥AC于点M，根据含30°的直角三角形的性质求出BM，根据勾股定理求出AM，进而得到AC的长，根据tan∠ACF＝＝＝即可得出∠ACF＝30°．【解答】解：设正六边形的边长为1，正六边形的每个内角＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，∵AB＝BC，∠B＝120°，∴∠BAC＝∠BCA＝×（180°﹣120°）＝30°，∵∠BAF＝120°，∴∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，如图，过点B作BM⊥AC于点M，则AM＝CM（等腰三角形三线合一），∵∠BMA＝90°，∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝，∴AM＝＝＝，∴AC＝2AM＝，∵tan∠ACF＝＝＝，∴∠ACF＝30°，故答案为：30．3、（2022•呼和浩特）如图，从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为（用含π的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为．【分析】先求出正五边形的内角的度数，根据扇形面积的计算方法进行计算即可；扇形的弧长等于圆锥的底面周长，可求出底面直径．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BCD＝＝108°，∴S扇形＝＝；又∵弧BD的长为＝，即圆锥底面周长为，∴圆锥底面直径为，故答案为：；．4、（2022•绥化）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为度．【分析】求出正六边形的中心角∠AOB和正五边形的中心角∠AOH，即可得出∠BOH的度数．【解答】解：如图，连接OA，正六边形的中心角为∠AOB＝360°÷6＝60°，正五边形的中心角为∠AOH＝360°÷5＝72°，∴∠BOH＝∠AOH﹣∠AOB＝72°﹣60°＝12°．故答案为：12．5、（2022•梧州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大1OA的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交⊙O于点E，F．若OA 于2＝1，则BE⌒，AE，AB所围成的阴影部分面积为．【分析】连接OE、OB．由题意可知，∴△AOE为等边三角形，推出S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE ﹣S△AOB，即可求出答案．【解答】解：连接OE、OB，由题意可知，直线MN垂直平分线段OA，∴EA＝EO，∵OA＝OE，∴△AOE为等边三角形，∴∠AOE＝60°，∵四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，∴∠AOB＝90°，∴∠BOE＝30°，∵S弓形AOE＝S扇形AOE﹣S△AOE，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE﹣S△AOB＝S扇形BOE+S△AOE﹣S△AOB＝+﹣＝．故答案为：．6、（2022•宿迁）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点M在边AF上，且AM＝2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是．【分析】设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l 将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M作MH ⊥OF于点H，连接OA，由正六边形的性质得出AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，进而得出△OAF是等边三角形，得出OA＝OF＝AF＝6，由AM＝2，得出MF＝4，由MH⊥OF，得出∠FMH＝30°，进而求出FH＝2，MH＝2，再求出OH＝4，利用勾股定理求出OM＝2，即可求出MN的长度，即可得出答案．【解答】解：如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M 作MH⊥OF于点H，连接OA，∵六边形ABCDEF是正六边形，AB＝6，中心为O，∴AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，∵OA＝OF，∴△OAF是等边三角形，∴OA＝OF＝AF＝6，∵AM＝2，∴MF＝AF﹣AM＝6﹣2＝4，∵MH⊥OF，∴∠FMH＝90°﹣60°＝30°，∴FH＝MF＝×4＝2，MH＝＝＝2，∴OH＝OF﹣FH＝6﹣2＝4，∴OM＝＝＝2，∴NO＝OM＝2，∴MN＝NO+OM＝2+2＝4，故答案为：4．。
多边形和圆的初步认识知识归纳及经典例题
多边形和圆的初步认识知识讲解【要点梳理】要点一、多边形及正多边形1. 定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形.其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形. 如下图：D/■人/E C E五边形正六边形要点诠释：正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；2.相关概念：顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角（可简称为多边形的角），一个n边形有n个内角.夕卜角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释:(1) 过n边形的一个顶点可以引(*3)条对角线，n边形对角线的条数为n(n 3).2(2) 过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n- 2)个三角形. 类型一、多边形及正多边形G l.如图，(1)从正六边形的顶点A出发,可以画出___________________ 条对角线，分别用字母表示出来为_____________________ ; ( 2)这些对角线把六边形分割成__________ 个三角形.E D【思路点拨】画出对角线，并按一定规律数出对角线的条数及分割成的三角形的个数即可•【答案】(1) 3,线段AC线段AD线段AE; (2) 4.【总结升华】(1) n边形有n个顶点,n条边,n个内角.(2) 过n边形的每一个顶点有(n -3)条对角线,n边形总共n(n 3)条2 对角线•(3) n边形从一个顶点出发，分别连接这个顶点和其余各顶点，可以分割(n —2)个三角形.举一反三：【变式】(2015春?郑州期末)过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是( )A .八边形B .九边形C.十边形 D .十一边形【答案】B若一个多边形的内角和等于720°则从这个多边形的一个顶点引出对角线条. 一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是( )A. 27B. 35C. 44D. 542.同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把正方形纸片截去一个角后，还剩多少角，余下的图形是几边形，亲爱的同学们，你知道吗？【答案与解析】解：这个问题，我们可以用图来说明.按图（1）所示方式去截，不经过点B和D，还剩五个角，即得到一个五边形.按图（2）所示方式去截，经过点D（或点B）.不经过点B（或点D），还剩4个角，即得到一个四边形.按图（3）所示方式去截，经过点D、点B，则剩下3个角，即得到三角形.答：余下的图形是五边形或四边形或三角形.【总结升华】一个n边形剪去一个角后，可能是（n+1）边形，也可能是n边形，也可能是（n-1）边形，利用它我们可以解决一些具体问题. 举一反三：【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（C ）.A.6B.7C.8D.9要点二、圆及扇形1. 圆的定义如图，在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段0A叫做半径.要点诠释:①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可.②圆是一条封闭曲线.2. 扇形（1）圆弧：圆上任意两点A, B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作A B，读作“圆弧AB'或“弧AB'.如下图:（2）扇形的定义：如上图，由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA 0B所组成的图形叫做扇形.要点诠释：圆可以分割成若干个扇形.（3）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.如上图，/ AOB是圆的一个圆心角，也是扇形OAB的圆心角.【典型例题】9. （2014?长宁区一模）下列说法中，结论错误的是（B ）A .直径相等的两个圆是等圆B .长度相等的两条弧是等弧C.圆中最长的弦是直径D .一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧10. （2015春?张掖校级月考）有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆.其中错误说法的个数是（B ）A. 1B. 2C. 3D. 419. （2015春?定陶县期末）下列说法正确的是（④__________________ ）填序号.①半径不等的圆叫做同心圆；②优弧一定大于劣弧；③不同的圆中不可能有相等的弦；④直径是同一个圆中最长的弦03.如图是对称中心为点匚的正六边形.如果用一个含二角的直角三角板的角，借助点O （使角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积兀等分，那么左的所有可能的值是______________________________________________ .根据圆内接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化为正多边形即可，即可知：360- 30=12；【答360-60=6；360-120=3; 360-180=2.故n的所有可能的值是2, 3, 4, 6, 12.04.（2015?丰泽区校级质检）如图，MN为O O的弦，/ M=50 °则/ MON等于________ .【思路点拨】利用等腰三角形的性质可得/ N的度数，根据三角形的内角和定理可得所求角的度数.【答案】80°【解析】解：T OM=ON ,•••/ N= / M=50 °•••/ MON=180 °-Z M -Z N=80°故答案为80°【总结升华】考查圆的认识；利用圆的半径相等这个知识点是解决本题的突破点.360- 90=4；类型三、扇形C>5.将一个半径为3的圆形草坪分割成三个扇形，分别种植三种 花草，他们的圆心角的度数之比为2： 3： 4,求这三个圆心角的度数, 并尝试求他们的面积，你还能求他们的面积之比吗，你发现了什么 【思路点拨】考查扇形面积及圆心角的概念. 【答案与解析】 解：这三个圆心角的度数分别为:ooooo36080 ； 360120 ； 360160 .2342342 3 4圆的面积r 29 ,c 160 ’ 9 —— 4 .360这三个圆心角的面积之比为：2 :3 : 4 2： 发现：扇形的面积之比等于圆心角之比.【总结升华】一个扇形的面积与对应圆的面积比等于扇形圆心角的度 数n 与360的比, 即S 扇：S 圆=n ： 360,几个半径相等的扇形的面积比等于这几个扇形 的圆心角的比..一个扇形圆心角120°,以扇形的半径为边长画一个正方形,这个正方形的面积是16平方厘米.这个扇形的面积为多少？【思路点拨】由题意可知，这个扇形所在的圆的半径 r 就是这个正方 形的边长，即r 2 =边长2 = 120平方厘米. 【答案与解析】这三个圆心角的面积分别为：93602 ； 91203 ;3603: 4.解: 设扇形所在圆的半径为r，则r216，贝y：扇形的面积为：3.14 16 120 16.75 （平方厘米）. 360答这个扇形的面积为16.75平方厘米.：【总结升华】此题在求面积时用到了整体代换，此外注意扇形的面积的计算方法.。
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多边形和圆的初步认识知识讲解
【要点梳理】
要点一、多边形及正多边形
1．定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形．其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如下图：
要点诠释：
正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
2．相关概念：
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角（可简称为多边形的角），一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
要点诠释：
(1)过n 边形的一个顶点可以引(n -3)条对角线，n 边形对角线的条数
为(3)2
n n ． (2)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n -2)个三角形．
类型一、多边形及正多边形
1．如图，（1）从正六边形的顶点A 出发,可以画出 条对角
线，分别用字母表示出来为 ；（2）这些对角线把六
边形分割成 个三角形.
【思路点拨】画出对角线，并按一定规律数出对角线的条数及分割成
的三角形的个数即可.
【答案】（1）3，线段AC 、线段AD 、线段AE ；（2）4.
E A B C
F D
【总结升华】
(1)n边形有n个顶点,n条边,n个内角.
n n 条(2)过n边形的每一个顶点有(n－3)条对角线,n边形总共(3)
2对角线.
(3)n边形从一个顶点出发,分别连接这个顶点和其余各顶点,可以
分割（n－2）个三角形.
举一反三：
【变式】（2015春•郑州期末）过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是（）
A．八边形B．九边形C．十边形D．十一边形
【答案】B
若一个多边形的内角和等于720°，则从这个多边形的一个顶点引出对角线条．
一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（）
A．27 B．35 C．44 D． 54
2．同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把正方形纸片截去一个角后，还剩多少角，余下的图形是几边形，亲爱的同学们，
你知道吗?
【答案与解析】
解：这个问题，我们可以用图来说明．
按图(1)所示方式去截，不经过点B和D，还剩五个角，即得到一个五边形．
按图(2)所示方式去截，经过点D(或点B)．不经过点B(或点D)，还剩4个角，即得到一个四边形．
按图(3)所示方式去截，经过点D、点B，则剩下3个角，即得到三角形．
答：余下的图形是五边形或四边形或三角形．
【总结升华】一个n边形剪去一个角后，可能是(n+1)边形，也可能是n边形，也可能是(n-1)边形，利用它我们可以解决一些具体问题．举一反三：
【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（ C ）.
A.6
B.7
C.8
D.9
要点二、圆及扇形
1.圆的定义
如图，在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫
做半径.
要点诠释：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可.
②圆是一条封闭曲线.
2.扇形
（1）圆弧：圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作»AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 如下图：
（2）扇形的定义：如上图，由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形.
要点诠释：圆可以分割成若干个扇形.
（3）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 如上图，∠AOB是圆的一个圆心角，也是扇形OAB的圆心角.
【典型例题】
9．（2014•长宁区一模）下列说法中，结论错误的是（B）A．直径相等的两个圆是等圆
B．长度相等的两条弧是等弧
C．圆中最长的弦是直径
D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧
10．（2015春•张掖校级月考）有下列四个说法：①半径确定了，圆
就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是
半圆．其中错误说法的个数是（B）
A．1 B． 2 C． 3 D． 4
19．（2015春•定陶县期末）下列说法正确的是（④）
填序号．
①半径不等的圆叫做同心圆；②优弧一定大于劣弧；
③不同的圆中不可能有相等的弦；④直径是同一个圆中最长
的弦
3．如图是对称中心为点的正六边形．如果用一个含角的直
角三角板的角，借助点（使角的顶点落在点处），把这个正六边
形的面积等分，那么的所有可能的值是___________ __ .
【答案】
根据圆内接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化为正多边
形即可，
即可知：360÷30=12；
360÷60=6；360÷90=4；
360÷120=3；360÷180=2．
故n的所有可能的值是2，3，4，6，12．
4．（2015•丰泽区校级质检）如图，MN为⊙O的弦，∠M=50°，则∠MON等于．
【思路点拨】利用等腰三角形的性质可得∠N的度数，根据三角形的内角和定理可得所求角的度数．
【答案】80°．
【解析】
解：∵OM=ON，
∴∠N=∠M=50°，
∴∠MON=180°﹣∠M﹣∠N=80°，
故答案为80°．
【总结升华】考查圆的认识；利用圆的半径相等这个知识点是解决本题的突破点．
类型三、扇形
5. 将一个半径为3的圆形草坪分割成三个扇形，分别种植三种花草，他们的圆心角的度数之比为2：3：4，求这三个圆心角的度数，并尝试求他们的面积，你还能求他们的面积之比吗，你发现了什么
【思路点拨】考查扇形面积及圆心角的概念．
【答案与解析】
解：这三个圆心角的度数分别为：
°°236080234⨯=++；°°3360120234⨯=++；°°4360160234
⨯=++. 圆的面积29r ππ=，
这三个圆心角的面积分别为：8092360ππ⨯
=；12093360
ππ⨯=；16094360ππ⨯=． 这三个圆心角的面积之比为：2:3:4πππ=2：3：4．
发现：扇形的面积之比等于圆心角之比．
【总结升华】一个扇形的面积与对应圆的面积比等于扇形圆心角的度数n 与360的比，
即S 扇：S 圆＝n ：360， 几个半径相等的扇形的面积比等于这几个扇形
的圆心角的比．
6.一个扇形圆心角120°，以扇形的半径为边长画一个正方形，这个正方形的面积是16平方厘米．这个扇形的面积为多少？
【思路点拨】由题意可知，这个扇形所在的圆的半径r 就是这个正方形的边长，即r 2＝边长2＝120平方厘米．
【答案与解析】。