【高考数学】专题09+导数与不等式的解题技巧(教师版)

专题 09 导数与不等式的解题技巧

．知识点 基本初等函数的导数公式

（1）常用函数的导数

①（C ）′＝ _ （C 为常数 ）; ②（x ）′＝ ； ③

(x 2

) ′＝ __________ ___； ④ 1x ′＝ ____ ；

⑤ ( x) ′＝ _______

x

（2）初等函数的导数公式

① (x n

) ′＝ __________ ___； ②(sin x) ′＝ ______________________ ③ (cosx ) ′ ____ ； ④（e x ） ′＝ ；

⑤(a x ) ′＝ __________ _____ ； ⑥(ln x) ′＝ _____ ；

⑦ （log a x ） ′＝ ．

【详解】如图所示，直线 l 与 y ＝lnx 相切且与 y ＝x ＋1 平行时，切点 P 到直线 y ＝x ＋1 的距离 |PQ|即为所求

故选 C.

三）构造函数证明不等式 例 3．【 山东省烟台市 2019 届高三数学试卷 】已知定义在（﹣ ∞，0）上的函

数 f （ x ），其导函数记为 f'（ x ），

若 成立，则下列正确的是（ ）

A ． f （﹣ e ）﹣ e 2f （﹣ 1）＞0 C ． e 2f （﹣ e ）﹣ f （﹣ 1）＞0

答案】 A

最小值． （lnx ） ＝′ ，令 ＝ 1，得 x ＝ 1.故 P （1,0）．由点到直线的距离公式得

|PQ|min=

【分析】由题干知：，x<﹣1时，2f（x ）﹣xf ′（x ）< 0．﹣1< x< 0时，2f（x）﹣xf ′

（x）> 0．构造函数g（x）= ，对函数求导可得到x<﹣1时，g′（x）< 0；﹣1< x <0，g′（x）> 0，利用函数的单调性得到结果.

练习1 ．设是定义在上的偶函数的导函数，且，当时，不等式

，，则的大小关系是

D．

答案】D

分析】

恒成立，

A．B．

若

C．

构造函数，根据函数比较三

个数的大小.

的奇偶性求得的奇偶性，再根据函数的导数确定单调性，由此解析】构造函数，由于是偶函数，故是奇函数.由于

故函数在上递增.由于.所以

，故当

，根据单

点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查构造函数法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，属 于中档题 .

练习 2. 设函数 ， 的导函数为 ，且满足 ，则（ ）

A ．

B ．

答案】 B

故选 B.

调性有

.故 ，即 ，故选 D.

C ．

D ． 不能确定 与 的大小

解析】 令 g x ） = ，求出 g （ x ）的导数，得到函数 g （ x ）的单调性，

详解】令 g x ）=

，

则 g ′（ x ） =

∵xf ′（x ）＜3f （x ），即 xf ′（x ）﹣3f x ）＜0，

∴g ′（x ）＜0 在（ 0，+∞）恒成立，故 g （x ）在（ 0，+∞）递减，

∴ g （ ） ＞g （ ），即

，则有

练习 3. 定义在 [0 ， +∞）上的函数

满足： ．其中 表示 的导函

数，若对任意正数 都有 ，则实数 的取值范围是（

A ．（0，4]

B ．[2 ，4]

C ．（﹣∞， 0）∪ [4 ， +∞）

D ．[4 ， +∞）

答案】 C

解析】 由 可得 ，令

，则 ，利用导数可得函数 在区间 上单调递减，从而由原不等式可得

，解不等式可得所求范围．

【详解】∵ ，

时两等号同时成立，

∴“对任意正数 都有

可得 ，

令 ，则

则

∴当 时， 单调递增；当 时， 单调递减．

∴， ∴函数 在区间 上单调递减，

故由 可得 ， 整理得 ，解得 或 ． ∴实数 的取值范围是 ． 故选 C ．

【点睛】本题难度较大，涉及知识点较多．解题的关键有两个，一是求出 的最小值，在此过

，当且仅当 且 ，即

”等价于“

程中需要注意基本不等式中等号成立的条件，特别是连续两次运用不等式时要注意等号能否同时成立；二 是结合条件中含有导函数的等式构造 函数，并通过求导得到函数的单调性，最后再根据单调性将函数不等 式转化为一般不等式求解．主要考查构造、转化等方法在解题中的应用．

四）不等式中存在任意问题

2019 届高三第二次（ 12 月） 联考数学 】已知函数

，对于 ， ，使得 ，则实数 的取值范围是

最值即可求得 . 详解】对于 ， ，使得 等价于

所以当 时， ， 令 ，则 ， 若 时， ， 所以只需 ，解得

所以只需 ，解得 当 时， 综上 ，故选 D.

例 4．【 安徽省皖南八校 A ． 【答

案】 B ． C ． D ．

解析】

， ，使得 ，可得 ，利用 ， 的单调性、

因为

是增函数，由复合函数增减性可知

在 上是增函数，

若时

，，

成立.

练习1. 已知函数，函数（），若对任意的，总存在

使得，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】B

的值域，运用导数和函数的单调性和值域，即可【解析】由题意，可得在的值域包含于函数求解.

详解】由题意，函数的导数为，

当时，，则函数为单调递增；

当时，，则函数为单调递减，

即当时，函数取得极小值，且为最小值，

又由，可得函数在的值域，

由函数在递增，可得的值域，

由对于任意的，总存在，使得，

可得，即为，解得，故选B. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及导数在函数中的应用，其中解答中转化为在的值域包含于函数的值域，运用导数和函数的单调性和值域是解答的关键，着重考查了分析问题和解答

问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.

练习2．函数，，若对，，，则实数的

最小值是________ ．

【答案】14

【解析】利用导数以及指数函数的性质，分别求出函数 f （x），g（x）的最值，将问题转为求f（x）min≥g

（x）min 即可．

【详解】，在递减，在递增，所以

，在单调递增，，由已知对