《一线三等角——相似三角形知识拓展》
2024年中考数学二轮复习课件：--“一线三等角”相似模型(1)(30张PPT)
AE
AF 的值；
5
7
课堂小结
课堂小结
同侧异侧都可以
一线三等角模型：∠1，∠2，∠3的顶点在同一条直线
上，且∠1＝∠2＝∠3.那么可证 △ABC∽△CED
无边相等证相似
A
A
有边相等证全等
D
D
90°
90°
90°
60°
60°
B
C
120°
60°
E
B
120°
C
120°
E
布置作业
课后巩固
1.如图，在 △ ABC 中， AB = AC ， AB > BC ．点 D 在边
5、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D在BC上
运动，点E在AC上运动，∠ADE＝45°.
求证：△ABD∽△DCE；
解：（1） ∵ ∠BAC＝90°，AB＝AC，∴ ∠B＝∠C＝45°.
∴ ∠BAD＋∠ADB＝180°－∠B＝135°.
∵ ∠ADE＝45°，
∴ ∠ADB＋∠CDE＝180°－∠ADE＝135°.∴ ∠BAD＝∠CDE.
E 分别在边 BC，AB 上，∠ADE=60°.
图中的相似三角形为 △BED∽△CDA
若 BD=4DC，DE=2.4，则 AD 的长为 3
例题2
2．如图,AB⊥BC,CD⊥BC,AE⊥DE,AE=DE
(1)△ABE 与△ECD 有什么关系？(2)求证:AB+CD=BC
满足“一线三等角”和
对应边相等的两个条件，
BE BD
CD CF
，即
4
∴BE= 3 ．
BE 1
4
3
中考数学相似三角形重要模型一线三等角模型
相似三角形重要模型-一线三等角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1 图2 图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，A B C为等边三角形，点D，E分别在边B C，A B上，60A D E∠=︒，若4B D D C=， 2.4D E=，则A D的长为（）A．1.8B．2.4C．3D．3.2例2．（2023·湖南·统考中考真题）如图，,C A ADE D A D⊥⊥，点B是线段A D上的一点，且C B B E⊥．已知8,6,4A B A C D E===．(1)证明：A B C D E B∽△△．(2)求线段B D的长．例3．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在ABC中，∠BAC＝90°，A BA C＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：B DA E＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在ABC中，A BA C＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在ABC中，沿ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，A BA E ＝A CA G＝12，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系：．例4．（2022·四川·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：（1）如图1，已知：在△ABC 中，A B A C=，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有B D AA E CB AC α∠=∠=∠=．试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关系，请证明你的结论；（2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC 中，(060)B C αα∠=∠=<<︒．将一把三角尺中30°角顶点P 放在BC 边上，当P 在BC 边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A ，另一条边交AC 边于点Q ，P 、Q 不与三角形顶点重合．设C P Qβ∠=．当β在许可范围内变化时，α取何值总有△ABP ∽△PCQ ？当α在许可范围内变化时，β取何值总有△ABP ∽△QCP ？（3）试探索有无可能使△ABP 、△QPC 、△ABC 两两相似？若可能，写出所有α、β的值（不写过程）；若不可能，请说明理由．例5．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在A B C中，90A C B ∠=︒，A C B C=，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：A D C C E B△≌△．（1）探究问题：如果A CB C≠，其他条件不变，如图②，可得到结论；A D CC E B△∽△．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线12y x=与直线C D 交于点()2,1M ，且两直线夹角为α，且3ta n 2α=，请你求出直线C D 的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形A B C D 中，3A B=，5B C=，点E为B C 边上—个动点，连接A E ，将线段A E 绕点E 顺时针旋转90︒，点A 落在点P 处，当点P 在矩形A B C D外部时，连接P C ，P D ．若D P C △为直角三角形时，请你探究并直接写出B E 的长．Rt ABD中，上一动点，连接折叠得H E F，延长②B E M H E M≅；③当M2B，则正确的有（九年级校考阶段练习）已知A B C是等边三角形，E F和B D F∠，将B C E沿B则A F=P C D△；九年级校考阶段练习）如图，在A B C中，12．（2022·山东济宁·二模）情境观察:将含45°角的三角板的直角顶点R放在直线l上，分别过两锐角的顶点M，N作l的垂线，垂足分别为P，Q，（1）如图1.观察图1可知：与NQ相等的线段是______________，与N R Q∠相等的角是_____(2)问题探究直角A B C中，90B∠=︒，在AB边上任取一点D，连接CD，分别以AC，DC为边作正方形ACEF 和正方形CDGH，如图2，过E，H分别作BC所在直线的垂线，垂足分别为K，L.试探究EK与HL之间的数量关系，并证明你的结论.(3)拓展延伸：直角A B C中，90B∠=︒，在AB边上任取一点D，连接CD，分别以AC，DC为边作矩形ACEF和矩形CDGH，连接EH交BC所在的直线于点T，如图3.如果A C kC E=，试探究TE与TH=，C D kC H之间的数量关系，并证明你的结论.将．A B P沿着这样的点P，使得点问题解决（3）15．（2023春·四川广安·九年级校考阶段练习）如图1和图2，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），A是x轴上的一个动点，M是线段AC的中点．把线段AM以A为旋转中心、按顺时针方向旋转90°得到AB．过B作x轴的垂线、过点C作y轴的垂线，两直线交于点D，直线DB交x轴于点E．设A点的横坐标为m．（1）求证：△AOC∽△BEA；（2）若m=3，则点B的坐标为；若m=﹣3，则点B的坐标为；（3）若m＞0，△BCD的面积为S，则m为何值时，S=6？（4）是否存在m，使得以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求此时m的值；若不存在，请说明理由．16．（2020·四川雅安·中考真题）如图，已知边长为10的正方形A B C D E、不重，是B C边上一动点（与B C 合），连结A E G，是B C延长线上的点，过点E作A E的垂线交D C G∠的角平分线于点F，若F G B G⊥．（1）求证：A B E E G FE C=，求C E F△△；（2）若2∽△的△的面积；（3）请直接写出E C为何值时，C E F面积最大．的何位置时有B E H B A E∽？B C。
“一线三等角”问题的探究和拓展——以2022年中考数学安徽卷第14题为例
一线三等角 问题的探究和拓展以2022年中考数学安徽卷第14题为例安徽省安庆市宿松县东洪初级中学 曹喜荣 (邮编:246524)摘 要 一线三等角是几何证明中重要的数学模型,本文以2022年中考题为例进一步探讨一线三等角问题,有利于增强学生的几何直观能力,提升学生的数学核心素养.关键词 一线三等角;初中数学;几何模型 ‘义务教育数学课程标准(2022年版)“指出,学业水平考试要 坚持素养立意,凸显育人导向.2022年安徽省中考数学卷第14题是基于 一线三等角 模型的问题,体现 立足基础,源于教材,联系实际,突出能力,强调应用,着意素养 的命题思路.试题以教材习题素材为蓝本进行综合㊁创新㊁改造,引领教师在教学中要注重对教材内容的理解以及在理解的基础上的适度拓展,既提升教材的价值,又拓展学生的思维,培养学生的能力,发展学生数学素养.以该题为例,分析试题立意,进行解法探究,感悟用好教材的方法.1试题及其解答图1如图1,四边形A B C D是正方形,点E 在边A D 上,әB E F 是以E 为直角顶点的等腰直角三角形,E F ,B F 分别交C D 于点M ,N ,过点F 作A D 的垂线交A D 的延长线于点G .连接D F ,请完成下列问题:(1)øF D G =.(2)若D E =1,D F =22,则MN =.受篇幅所限,本文仅讨论题(1).分析观察发现,在直线A D 上出现了三个相等的直角:øA =øB E F =øG ,结合题设易证全等三角形,这是 一线三等角 数学模型应用的典型范例.解析 由题意可得,因为øA B E +øB E A=øB E A +øF E G =90ʎ,同角的余角相等,得øA B E =øF E G .又因为øA =øG =90ʎ,E B =E F ,所以әB E A ɸәE F G A A S .从而B A =E G ,A E =G F .又四边形A B C D 是正方形,B A =A D .得到G D =E G -E D =B A -E D =A D -E D =A E =GF ,所以әDG F 是等腰直角三角形.所以øF D G =45ʎ.说明 一线三等角 是指在一条直线上出现了三个相等的角,在这种情况下,综合性几何题往往就会利用全等以及等腰三角形的性质作为出题和解题的一种形式.2 教材原题溯源本题以沪科版义务教育教科书八年级‘数学“上册第15章轴对称图形与等腰三角形 第140页练习第7题素材为母题,兼顾知识㊁能力㊁思想方法等方面的考查,呈现形式贴近学生,符合学生认知规律.(沪科版教材八年级上册第140页第7题)已知:如图2,在әA B C 中,A B =A C ,点D ㊁E 分别在边B C ㊁A C 上,A D =A E ,若øB A D =30ʎ,求øE D C 的度数.解析 设øE D C =x ,øB =øC =y ,图2则øA E D =øE D C +øC =x +y ,又因为A D =A E ,所以øA D E =øA E D=x +y .则øA D C =øA D E+øE D C =2x +y .又øA D C =øB +øB A D ,所以2x +y =y +30ʎ,解得x =15ʎ,所以øE D C 的度数是15ʎ.注 该题主要考查等腰三角形的性质,当øA D E =øB 时就构造了 一线三等角 模型,熟练掌握该模型的相关特点,可以在解题过程中判定全等三角形㊁相似三角形等几何关系,从而提升学生的数学思维能力.3 模型拓展应用552023年第3期中学数学教学图3拓展1 如图3,D ,E 是直线l 上的两个动点(D ,A ,E 三点互不重合)F 为øB A C 内一点,且әA B F 和әA C F 均为等边三角形,连接F D ,F E ,B D ,C E .若øB D A =øA E C =øB A C ,求证:D F =E F .解析 因为øB D A =øA E C =øB A C ,øB D A +øA B D +øB A D =øB A D +øB A C+øC A E =180ʎ,所以øA B D =øC A E .因为әA B F 和әA C F 均为等边三角形,所以øA B F =øC A F =60ʎ,F B =A B =A F =A C ,所以øD B A +øA B F =øC A E +øC A F ,即øD B F =øE A F .在әA D B 和әC E A中,øA B D =øC A E ,øB D A =øA E C ,A B =C A ,所以әA D B ɸәC E A (A A S ),即B D =A E .在әD B F 和әE A F 中,F B =F A ,øD B F =øE A F ,B D =A E ,所以әD B F ɸәE A F (S A S ),所以D F =E F .注 此题直接给出了 一线三等角 模型的条件,熟悉该模型可在复杂的几何图形中迅速搭建证明思路,实现在等边三角形中的应用.图4在全等三角形之外, 一线三等角 在三角形相似证明中也有充分的应用.拓展2 如图4,在等腰三角形或等边三角形中,ø1=ø2=ø3,可根据三角形内角和及补角得到另一组等角,可得同一三角形中两阴影部分三角形相似.拓展3 如图5,әD E F 的三个顶点分别在等边әA B C 的三条边上,B C =4,øE D F =90ʎ,D ED F=3,则D F 长度的最小值是.解析 由t a nøE F D =D ED F=3,可得图5øE F D =60ʎ,因为әA B C 是等边三角形,所以øA =øC=60ʎ,A B =B C =A C =4,由三角形内角和得øA F E +øA E F =180ʎ-øA =120ʎ,又øA F E +øD F C =180ʎ-øE F D =120ʎ,所以øA E F =øD F C ,可得әA E F ʐәC F D ,所以C D A F =D FE F=c o s øE F D =12,设C D =a ,则A F =2a ,C F =A C -A F =4-2a ,过点F 作F H ʅC D 于点H ,在R t әD F H 中,C H =C F c o s øC =2-a ,F H =C F s i n øC =23-3a ,所以DH =C D -C H=a -(2-a )=2a -2,在R t әD F H 中,D F 2=DH 2+F H 2=(2a -2)2+(23-3a )2=7a 2-20a +16=7(a -107)2+127,所以D F 2的最小值为127,D F 最小值为2217.注 在该题中,单纯运用几何知识难以求出最值,需要串联知识,借助函数的工具.运用一线三等角模型易证三角形相似,在此基础上建立函数关系式便很快突破了难点,解决了问题;提升学生的几何直观能力,根据题设条件特点及图形特征,运用基本结论解决问题的技能是几何教学的重难点之一,也是学生解题需要掌握的基本能力.4 总结2022年版义务教育数学课程标准希望学生在初中阶段形成模型观念㊁数据观念;数学学科核心素养也包括数学抽象和直观想象,逻辑推理和运算能力,数学模型和数据分析.在初中数学教学中,及时归纳如 一线三等角 等数学模型,注重培养学生的模型观念,有利于增强学生的数学能力,提升学生的数学核心素养.参考文献[1] 史宁中.‘义务教育数学课程标准(2022年版)“的修订与核心素养[J ].教师教育学报,2022,9(3):92-96.[2] 孔凡哲,史宁中.中国学生发展的数学核心素养概念界定及养成途径[J ].教育科学研究,2017(6):5-11.(收稿日期:2023-04-11)65中学数学教学2023年第3期。
相似三角形基本模型一线三等角精品PPT课件
A
D
A
D
F
B
E
C
F
B
E
C
A
△ABE∽ △ECF
F
（（2）1）点点E为E为BBCC上上任任意意一一点点若，∠若B= ∠∠CB==α,∠∠CA=E6F0°= ∠, ∠CA,则EF△=A∠BCE,则与△ EC△FA的B关E与系△还成EC立F吗的？关系还成立吗？
说明理由
B
α
α
B
E
α
C
点拨：要善于运用类比、迁移的数学方法 解决问题。
A
A
①
B
F
②
E
C
①
B
③
F
②
E
C
E为中点
D
A
F
①
α
B
α ②α
E
C
A
F
①
α
B
③
α②
α
E
C
1.矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与CB边上的点E 重合，若AD=10, AB= 8,
则EF=___5___
D
F
C
EE
A
点拨：要善于在复杂图形中寻找基本型。 B
A
E F
B
D
C
变式：已知：△ABC中，AB=AC, ∠BAC= 120°,D为BC的 中点， 且∠EDF =∠C, （1） 若BE·CF=48,则AB=__8___
（2）在（1）的条件下，若EF=m,
则S△DEF =___3__m__
A EH
F
P
B
D
点拨：联想基本模型，寻找 相关结论。
C
相似三角形模型讲一线三等角问题讲义解答
、相似三角形判定的基本模型认识（一） A 字型、反A 字型（斜A 字型）（二） 8字型、反8字型（平行） （三）母子型（四）一线三等角型:三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（平行） （不平行）（蝴蝶型）（不平行）A BB（五）一线三直角型:（六）双垂型:相似三角形判定的变化模型实用文案DA, ' ' /B c C■一线三直角的1 .如图，梯形ABCD中，AD //BC,对角线AC、BD交于点0 , BE//CD交CA延长线于E.求证：OC2=OA2 .如图，在△ ABC 中，AB=AC=10 ，BC=16，点D 是边BC 上（不与B，C 重合）一动点，/ ADE= ZB= a, DE交AC于点E.下列结论：① AD 2=AE ?AB :② 3.6 W AE V 10 ;③当AD=2 Ji」.时，△ABD ^/DCE ;④ADCE为直角三角形时，BD为8或12.5 .其中正确的结论是________________ .（把你认为正确结论的序号都填上）3 .已知：如图，△ ABC中，点E在中线AD上，/DEB= /ABC . 求证：(1 ) DB2=DE ?DA ;(2)/ DCE= ZDAC .4 .已知：如图，等腰△ ABC中，AB=AC , AD丄BC于D , CG//AB , BG分别交AD、AC于E、F.求证:5 .如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线.求证：FD2=FB 7FC.6 .已知：如图，在 Rt △ABC 中，/ C=90 °,BC=2 , AC=4 , P 是斜边AB 上的一个动点， PD 丄AB ,交边 AC 于点D (点D 与点A 、C 都不重合)，E 是射线DC 上一点，且/ EPD= Z A .设A 、P 两点的距离为 x , △BEP 的面积为y .(1 )求证：AE=2PE ;(2 )求y 关于x 的函数解析式, ,BD 、CE 分别是 AC 与AB 边上的高，求证： BC=2DE .8 .如图，已知△ ABC 是等边三角形，点 D 、B 、C 、E 在同一条直线上，且/ DAE=120并写出它的定义域;求厶BEP 的面积.7 .如图，在△ ABC 中，/ A=60(1 )图中有哪几对三角形相似？请证明其中的一对三角形相似；9 .（已知：如图，在Rt△ABC 中，AB=AC，/DAE=45 ° .求证:10 .如图，在等边厶ABC中，边长为6, D是BC边上的动点，/ EDF=60（1 ）求证：△ BDEs/CFD ;求BE的长.11 . （1 ）在A ABC中，AB=AC=5 , BC=8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持/ APQ= Z ABC .①若点P在线段CB上（如图），且BP=6，求线段CQ的长；②若BP=x , CQ=y ,求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形ABCD的边长为5 （如图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持/APQ=90度.当CQ=1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果）13 .已知梯形ABCD 中，AD //BC,且AD V BC, AD=5 , AB=DC=2 .(1 )如图，P为AD上的一点，满足/ BPC= Z A，求AP的长；(2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合)，且满足/ BPE= ZA , PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q .①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x , CQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②当CE=1时，写出AP的长.(不必写解答过程)14 .如图，在梯形ABCD中，AD //BC, AB=CD=BC=6 , AD=3 .点M 为边BC的中点，以M 为顶点作Z EMF= ZB，射线ME交腰AB于点E,射线MF交腰CD于点F，连接EF.(1 )求证：△ MEF s/BEM ;(2 )若厶BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；(3 )若EF丄CD , 求BE的长.15 .已知在梯形 ABCD 中，AD //BC , AD V BC ,且 BC=6 , AB=DC=4 ，点 E 是 AB 的中点.(1 )如图，P 为BC 上的一点，且 BP=2 .求证：△ BEPs/CPD ;(2)如果点P 在BC 边上移动(点P 与点B 、C 不重合)，且满足/ EPF= ZC , PF 交直线CD 于点F ，同时 交直线AD 于点M ，那么①当点F 在线段CD 的延长线上时，设 BP=x , DF=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；16 .如图所示，已知边长为 3的等边△ ABC ，点F 在边BC 上，CF=1，点E 是射线BA 上一动点，以线段 EF 为边向右侧作等边△ EFG ，直线EG , FG 交直线AC 于点M , N ,(1 )写出图中与△ BEF 相似的三角形; (2) 证明其中一对三角形相似；(3) 设BE=x , MN=y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量17 .如图所示，已知矩形 ABCD 中，CD=2 , AD=3，点P 是AD 上的一个动点(与 A 、D 不重合)，过点P作PE 丄CP 交直线AB 于点E ,设PD=x , AE=y ,(1) 写出y 与x 的函数解析式，并指出自变量的取值范围； (2) 如果△ PCD 的面积是厶AEP 面积的4倍，求CE 的长；(3) 是否存在点 卩，使厶APE 沿PE 翻折后，点A 落在BC 上？证明你的结论.x 的取值范围;的面积.18 .如图，在 Rt △KBC 中，/ C=90 °,AB=5，-丁讦二上，点D 是BC 的中点，点 E 是AB 边上的动点,4丄DE 交射线AC 于点F . (1 )求AC 和BC 的长； (2)当EF//BC 时，求BE 的长；19 .如图，在 Rt △KBC 中，/ C=90 °,AC=BC , D 是AB 边上一点，E 是在AC 边上的一个动点(与点 C 不重合)，DF 丄DE , DF 与射线BC 相交于点F .(1 )如图2，如果点D 是边AB 的中点，求证：DE=DF ; (2) 如果 AD : DB=m ，求 DE : DF 的值；(3) 如果 AC=BC=6 , AD : DB=1 : 2，设 AE=x , BF=y , ① 求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；② 以CE 为直径的圆与直线 AB 是否可相切？若可能，求出此时x 的值；若不可能，请说明理由.DF(3)连接EF ,当厶DEF 和△ABC 相似时，求 BE 的长.20 .如图，在△ ABC中，/ C=90 °,AC=6 , X^b-~，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作/4DEF=90 °,EF交射线BC于点F.设BE=x , ABED的面积为y(1 )求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)如果以线段BC为直径的圆与以线段AE为直径的圆相切，求线段BE的长；(3)如果以B、E、F为顶点的三角形与△ BED相似，求△ BED的面积.421 .如图，在梯形ABCD 中，AB //CD, AB=2 , AD=4 , tanC=「，/ADC= ZDAB=90 °,P 是腰BC 上一个动点(不含点B、C),作PQ丄AP交CD于点Q.(图1)(1 )求BC的长与梯形ABCD的面积；(2 )当PQ=DQ 时，求BP的长；(图2)•••ZCDE=90 °■//B= a且,•• Z AD=90a=AB=10 ,/-cosB=AB 4LJ." '■,25—.故④正确.••AE=AC - CE=10 - x ,「36 <AE v 10 .故②正确.③作AG丄BC于G,4••AB=AC=10 , Z ADE= Z B= a, COS a=—,5••BC=16 ,「.AG=6 ,••AD=2 | J... H,ADG=2 ,「.CD=8 ,：AB=CD , •△ABD 与△DCE 全等；故③正确;④当Z AED=90。
初三相似三角形之一线三等角专题
相似三角形——“一线三等角型”一、知识梳理：一线三等角：两个等角的一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧。
若有第三个与之相等的角、其顶点在该直线上，角的两边（或两边所在直线）分别与两等角的非共线边（或该边所在直线）相交，此时通过证明，一般都可以得到一组相似三角形，该组相似三角形习惯上被称为“一线三等角型”相似三角形．（图1）（图2）（1）如图1，已知三角形ABC中，AB=AC,∠ADE=∠B，那么一定存在的相似三角形有；（2）如图2，已知三角形ABC中，AB=AC,∠DEF=∠B，那么一定存在的相似三角形有.二、【例题解析】【例1】如图，等边△ABC中，边长为4，D是BC上动点，∠EDF=60°，（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）当BD=1，FC=52时，求BE.【变式1】在边长为4的等边ABC∆中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且保持ABCEDF∠=∠，连接EF.(1) 已知BE=1,DF=2，求DE的值；(2) 求证：∠BED=∠DEF.【变式2】在边长为4的等边ABC ∆中，若BD =1时，当△DEF 与△AEF 相似，求BE 的值.【变式3】如图，已知边长为3的等边ABC ∆，点F 在边BC 上，CF =1，点E 是射线BA 上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边EFG ∆，直线EG ，FG 交直线AC 于点M ，N ，（1）写出图中与BEF ∆相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设BE =x ，MN =y ，，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.【例2】在ABC ∆中，O BC AC C ,3,4,90===∠o 是AB 上的一点，且52=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q （不与点B ,C 重合），已知AP =2，求CQ .【变式1】 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠．(1) 求证：△ABD ∽△DCE ；(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域；(3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．QC P【变式2】在直角三角形ABC 中，D BC AB C ,,90==∠o是AB 边上的一点，E 是在AC 边上的一个动点（与A ，C 不重合），DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F .(1) 如图1，当点D 是边AB 的中点时，求证：DF DE =;(2) 如图2，当m DB AD =，求DF DE 的值.图(2)图(1)F CF C A BB A D E D E【例3】已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ． ① 求证；△ABP ∽△DPC ； ② 求AP 的长．【变式1】如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE ＝1时，写出AP 的长．C B AD C B A D【变式2】在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，6AB CD BC ===，3AD =．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点F ，联结EF ．（1）求证：△MEF ∽△BEM ；（2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长；（3）若EF CD ⊥，求BE 的长．【作业】1、如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，43=BC AC ，D 是BC 边的中点，E 为AB 边上的一个动点，作90DEF ∠=︒，EF 交射线BC 于点F ．设BE x =，BED ∆的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED ∆相似，求BED ∆的面积.2、如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，连结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ．（1）求证：△DBE ∽△ECF ；（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；（3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．3、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且BC =6，AB =DC =4，点E 是AB 的中点．（1）如图，P 为BC 上的一点，且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ；（2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF =∠C ，PF 交直线CD 于点F ，同时交直线AD 于点M ，那么:①当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当BEP DMF S S ∆∆=49时，求BP 的长.。
拓展补充：巧构“一线三等角”
拓展补充：巧构“⼀线三等⾓”前⾯⼏贴我们分析了“⼀线三⾓”到“⼀线两⾓”，今天我们看看“⼀线⼀⾓”的情况，如何通过构造“⼀线三⾓”来解决这⼀问题。
⼀：⾓的两边在⼀直线同侧如图，∠ACB的顶点在直线l上，⾓的两边在直线l的同侧，此时分别过点A、B作直线l的垂线，垂⾜为M、N，在线段CM延长线上截取MD=AMxcot∠ACB，在线段CN的延长线上，截取NE=BNxcot∠ACB，⽽在Rt△ADM中，DM=AMxcot∠ADM，在Rt△BNE中，NE=BNxcot∠BEN∴cot∠ACB=cot∠ADM=cot∠BEN∴∠ADM=∠ACB=∠BEN此时就构造出“⼀线三⾓”模型了，易证△ADC∽△CEB⼆：⾓的两边在⼀直线的两侧如图，∠ACB的顶点在直线l上，⾓的两边在直线l的两侧，此时分别过点A、B作直线l的垂线，垂⾜为M、N，在线段CM上截取MD=AMxcot∠ACB，在线段CN上，截取NE=BNxcot∠ACB，⽽在Rt△ADM中，DM=AMxcot∠ADM，在Rt△BNE中，NE=BNxcot∠BEN∴cot∠ACB=cot∠ADM=cot∠BEN∴∠ADM=∠ACB=∠BEN此时就构造出“⼀线三⾓”模型了，易证△ADC∽△CEB浦东⼋年级上期末压轴分析：↑以上两种解法主要是利⽤第⼀问为第⼆问做铺垫，通过图形的变化运动，使之化归到第⼀问的基本图形，充分体会第⼀问的解题思想以及⽅法来解决第⼆问，其实这两种构造⽅式均是利⽤典型的“半⾓模型”及其相关结论。
下⾯我们换个⾓度分析，换个构造途径，从“⼀线三⾓”这⼀⽅向来⼊⼿。
构造⽅式⼀：构造⽅式⼆：↑以上两种解法充分利⽤构造“⼀线三⾓”解决，显然本题还有别的构造途径，就不⼀⼀进⾏分析了。
第⼀种构造⽅式就是按照⼀⾓的顶点在⼀直线上，⾓的两边在⼀直线的同侧；第⼆种构造⽅式利⽤⾓的两边在⼀直线的两侧。
这种构造⽅式难度较⼤，上海中考基本不会涉猎，可作为补充了解。
把握本质，主要还是回归“⼀线三⾓”，回归“两⾓对应相等，两个三⾓形相似”这⼀判定定理。
《相似三角形之一线三等角》教学课件
《相似三角形之一线三等角》教学ppt课件2023-10-26CATALOGUE目录•引言•相似三角形基本概念•一线三等角定理及其应用•课堂活动与练习•总结与回顾01引言•相似三角形是初中数学的重要内容，而一线三等角是相似三角形的一种重要类型。
通过学习本课，学生能够深入理解相似三角形的性质和判定方法，提高数学思维和解决问题的能力。
课程背景课程目标学会如何利用一线三等角判定两个三角形相似；掌握一线三等角的定义和性质；培养学生的自主学习和合作学习能力。
通过案例分析，培养学生的数学思维和解决问题的能力；教学策略利用PPT课件引导学生逐步深入学习；采用讲解、示范、小组讨论等多种教学方法，帮助学生掌握知识；通过案例分析，让学生了解一线三等角的应用；组织课堂练习和小组讨论，加深学生对知识的理解和应用。
02相似三角形基本概念如果两个三角形三边对应成比例，那么这两个三角形相似。
定义如果$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$，那么$\bigtriangleup ABC\backsim \bigtriangleup DEF$。
数学符号表示相似三角形的定义相似三角形的性质对应角相等相似三角形对应角相等，可以用$\bigtriangleup ABC \backsim \bigtriangleup DEF$推出$\angle A =\angle E$，$\angle B = \angle F$，$\angle C = \angle D$。
对应边成比例相似三角形对应边成比例，可以用$\bigtriangleup ABC \backsim \bigtriangleup DEF$推出$\frac{a}{d} = \frac{b}{e} = \frac{c}{f}$。
定义法根据相似三角形的定义进行判断，即判断两个三角形三边对应成比例。
平行线法通过平行线构造相似三角形，即利用平行线的性质，将两个三角形放在平行线上，通过移动使得对应边成比例，从而证明两个三角形相似。
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《一线三等角——相似三角形知识拓展》
发表时间：2019-12-24T15:47:23.033Z 来源：《教育学文摘》2019年14期作者：张运春[导读] 相似三角形，是初中几何学习的重要内容，也是中考考查的重要内容，但是统观近几年的中考考题，单纯考查证明两个三角形相似的知识很少
相似三角形，是初中几何学习的重要内容，也是中考考查的重要内容，但是统观近几年的中考考题，单纯考查证明两个三角形相似的知识很少，几乎都是考查它与函数、与圆等知识的综合运用。
而且从各地近几年中考题当中可以发现，一线三等角这一模型是最近几年考试的热门模型，鉴于此，于是我就想在教学中给学生补充这一模型，并且让学生能够快速认识这一模型，并且能够利用这一模型提升解题技能。
根据这一目标，这堂课我主要设计了以下七个环节: （一）整理旧知，提炼模型这一环节，根据学生的认知规律，我设计了如下四个问题：问题1：如图1，等腰直角三角形ABC的顶点B在直线l上，AB=BC，∠ABC=90°，AD⊥直线l于点D，CE⊥直线l于点E．求证：△ADB≌△BEC
问题2：如图2，已知点A、C、E在同一条直线上，∠A=∠BCD=∠E=90°，图中三角形相似吗？请说明理由。
问题3：如图3，已知已知点A、C、E在同一条直线上，∠A=∠BCD=∠E=60°，图中三角形相似吗？请说明理由。
问题4：如图4，已知点A、C、E在同一条直线上，∠A=∠BCD=∠E=120°，图中三角形相似吗？请说明理由。
（二）揭示本质，提炼模型第一环节的四个问题，由学生很熟悉的两个三角形全等的图形引入，逐渐弱化条件，从而发现当一条直线上有三个相等角的顶点都在这条直线上，从而所构成的三角形相似。
归纳出这一模型之后，马上强调，以后在做题的过程中，如果碰到一线三等角这一模型的图形，就可联想到有三角形相似，从而可以得出对应边和对应角的关系。
（三）模型运用
学生只是认识了这一模型，还不够，于是我又接着设计了这一环节，让学生能快速识别并写出相似的三角形。
于是我设计了一组练习题，如下：
下列各图形中，若∠1=∠2=∠3，请你快速找出图中符合“一线三等角”模型的相似三角形。
学生在做完这一组练习之后，帮助学生归纳两个一线三等角模型的相似三角形，对应角的位置之间存在一种交错的对应关系，这一方法，主要便于学生以后碰到一线三等角模型的相似三角形，从而可以快速确定边、角之间的对应关系。
（四）实战演练，知识运用学生通过上一环节，已经能够比较快速找出相似三角形，可是学习一线三等角模型的主要目的，是便于更好的提升解题技能，围绕这一目标，我设计了以下练习：例1 如图1，已知D为△ABC的边BC上一点，若∠B=∠C=∠EDF=60°，BE=6，CD=3，CF=4，则BD= . 例2 如图2，矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使点D与CB边上的点E重合，若AD=10，AB= 8，则EF= . 例3 如图3，等边△ABC的顶点B与原点重合，点C的坐标为（5，0），DE∥BC，且DE=3. P为DE上的一个动点（不与D、E重合），使∠BPQ=120°. 若设DP=x，EQ=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
（3。