相似三角形常用模型及应用

相似证明中的基本模型
A 字形
图①A 字型，结论：
AD AE DE AB AC BC ==，图②反A 字型，结论：AE AD DE
AC AB BC
== 图③双A 字型，结论：
DF BG EF GC =，图④内含正方形A 字形，结论AH a a
AH BC
-=（a 为正方形边长）
I H G F
E
D C
B A
G
F E
D
C B
A
E
D
C
B A E
D C B
A
图① 图② 图③ 图④
8字型
图①8字型，结论：
AO BO AB OD CO CD ==，图②反8字型，结论：AO BO AB CO DO CD ==、四点共圆 图③双8字型，结论：AE DF BE CF =，图④A 8字型，结论：111
AB CD EF += 图⑤，结论：EF EG =、AED BEC ABE CDE S S S S ⋅=⋅△△△△
E
F
D C B
A F E
D C B
A
O
D C B
A
O
D
C B
A
G
F
E
D C
B A
图① 图② 图③ 图④ 图⑤
一线三等角型
结论：出现两个相似三角形
H
E D
C B A
E D
C B
A
E
D
C
B
A
C
60°F E D
C
B A
F
E
D C
B A
图① 图② 图③ 图④
角分线定理与射影定理
图①内角分线型，结论：
AB BD AC DC =，图②外角分线型，结论：AB BD
AC CD
= 图③斜射影定理型，结论：2AB BD BC =⋅，
图④射影定理型，结论：1、2AC AD AB =⋅，2、2CD AD BD =⋅，3、2BC BD BA =⋅
D C B
D B
A C
A
E
D
C
B A
D C B A
梅涅劳斯型常用辅助线
G F
E
D
C
B
A
G
F
E
D
C
B
A G F
E D
C B A
D
E
F
C
B
A
考点一 相似三角形
【例1】 如图，D 、E 是ABC ∆的边AC 、AB 上的点，且AD AC ⋅=AE AB ⋅，求证：ADE B ∠=∠.
E
D
C
B
A
中考满分必做题
【例2】 如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，ABC ∆的面积是BDE ∆面积的4倍，6AC =，
求DE 的长.
E
D C
B A
【例3】 如图，ABC △中，60ABC ∠=︒，点P 是ABC △内一点，使得APB BPC CPA ∠=∠=∠，
86PA PC ==，，则PB =________．
P
C
B
A
【例4】 如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求EBF EBG ∠+∠．
H
G
F
E
D C
B A
考点二：相似三角形与边的比例
☞考点说明：可运用相似三角形模型，常用A 字形与8字形
【例5】 在ABC ∆中，BD CE =，DE 的延长线交BC 的延长线于P ， 求证：AD BP AE CP ⋅=⋅.
P
E D C
B
A
【例6】 如图，在ABC ∆的边AB 上取一点D ，在AC 取一点E ，使AD AE =，直线DE 和BC 的延长线相
交于P ，求证：
BP BD
CP CE
= P
E
D
C
B
A
【例7】 如图，M 、N 为ABC △边BC 上的两点，且满足BM MN NC ==，一条平行于AC 的直线分别交
AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F .
求证：3EF DE =.
F N
M
E
D C
B
A
考点三：相似三角形与内接矩形
☞考点说明：内接矩形问题是相似三角形中比较典型的问题，考查了相似三角形对应高的比等于相似比 【例1】 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5米，面积为1.5平方米，工人师傅要把它加工成一个
面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案。

甲设计的方案如图①所示，乙设计的方案如图②所示，你认为哪位同学设计的方案较好，请说明理由（加工损耗忽略不计）
【例8】 ABC ∆中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，
15BC =,BC 边上的高10AD =,求EFGH S W .
H
G
F E D C
B A
D M
F
E
C
B
A
②
①
G
F E D C
B A
F E D C B
A
【例9】 如图，已知ABC ∆
中，511AC AB BC ===，，，四边形DEGF 为正方形，其中D E ，在边
AC BC ，上，F G ，
在AB 上，求正方形的边长． G
F
E
D
C
B
A
【例10】 如图，已知ABC ∆中，四边形DEGF 为正方形，D E ，在线段AC BC ，上，F G ，在AB 上，如果
1ADF CDE S S ∆∆==，3BEG S ∆=，求ABC ∆的面积．
G
F
E
D
C
B
A
【例11】 如图，在ABC ∆中，5AB =，3BC =，4AC =，动点E （与点A ，C 不重合）在AC 边上，EF ∥
AB 交BC 于F 点．
（1）当ECF ∆的面积与四边形EABF 的面积相等时，求CE 的长． （2）当ECF ∆的周长与四边形EABF 的周长相等时，求CE 的长．
（3）试问在AB 上是否存在点P ，使得EFP ∆为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出EF 的长．
F E C
B
A
考点四：与平行四边形有关的相似问题
【例12】 如图，已知平行四边形ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、
G ，若5BE =，2EF =，则FG 的长是___________．
E
F
G
D
C A
B
【例13】 如图，已知DE AB ∥，2OA OC OE =⋅，求证：AD BC ∥.
D
O
E
C
B A
【例14】 如图，ABCD Y 的对角线相交于点O ，在AB 的延长线上任取一点E ，连接OE 交BC 于点F ，若
AB a AD c BE b ===，，,求BF 的值．
O
F
E D
C
B
A
【例15】 如图：矩形ABCD 的面积是36，在AB AD ，边上分别取点E F ，，使得3AE EB =，2DF AF =，
且DE 与CF 的交点为点O ，求FOD ∆的面积。

K
A
B E
F
O
E
D C
B A
【例16】 如图，已知在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF EC ⊥交AB 于F ，连接FC （AB AE >）.
（1）AEF ∆与ECF ∆是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.
（2）设AB
k BC
=是否存在这样的k 值，使得AEF ∆∽BCF ∆，若存在，证明你的结论并求出k 值；
若不存在，说明理由.
F
E
D
C
B A
考点五 与梯形有关的相似问题
【例17】 如图，梯形ABCD 的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为22p q ，，则梯形的面积
是（ ）
q 2p 2
O
A
B C
D
A ．(
)22
2p q
+B ．()
2
p q +
C ．2
2
p q pq ++D ．22
2
2
22
p q P q p q +++
【例18】 如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，两条对角线AC 、BD 相交于O ，若:1:9AOD COB S S =△△，那么
:BOC DOC S S =△△________．
O
A
B C
D
【例19】 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，396AD BC AB ===，，,4CD =，若EF BC ∥，且梯形AEFD
与梯形EBCF 的周长相等，求EF 的长．
F E D
C
B
A
【例20】 已知：如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，M 是AB 的中点，分别连接AC 、BD 、MD 、MC ，
且AC 与MD 交于点E ，DB 与MC 交于F . （1）求证：//EF CD
（2）若AB a =,CD b =，求EF 的长.
F
E
M
D
C
B
A。