复合函数的零点问题PPT课件
复合函数多零点求参数范围
–2
1
2
3
4
x
–2
g(t)
有 8 个不等的实数根
O
1
2
t
总结提升
＋
＋
＝
，
＋
− (＋ ) ＝，③对；
作出图形.
()＝，则 ＝.
由图可知
＜ ＜，＜ ＜.
则 ＞,切点( , − )．
∵
＝
对于④，
由上可知 ＝ − ，
＝ −
∴
∴
＝ − ．
＋ ＝ ＋ ＝，④对．
故答案为②③④
例3
指数函数+三角函数
∵ 2 − ＝ 2＋ ，且 为偶函数
4
， 结合“双勾”函数性质可画出函数()的简图．
t
＋1
t=t1
令＝()，等价于关于 t 的方程 2 ＋( − 3)＋＝0
t=t2
在区间(0，2)上有两个不等的实根．
＝( − 3) − 4＞0，
3−
0＜
＜2，
2
⇒
(0)＝＞0，
g(t)
2
则
(2)＝3 − 2＞0，
即实数的取值范围为
例1
已知函数 ＝
， ⩽
，若关于的方程 ＋ − ∙ ＋＝恰好
，＞
＋
有 6 个不相等的实数解，则实数的取值范围为__________．
例2
例3
例1
二次函数+分式函数
2 ， ⩽ 0
已知函数 ＝
4
，若关于的方程 2 ＋ − 3 ∙ ＋＝0恰好
复合函数零点问题
复合函数零点问题例1：设定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程()()20f x b f x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则222123x x x ++=______ 思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ，满足()0y f x =的x 的个数分别为2个（000,1y y >≠）和3个（01y =），已知有3个解，从而可得()1f x =必为()()20f x bf x c ++=的根，而另一根为1或者是负数。
所以()1i f x =，可解得：1230,1,2x x x ===，所以2221235x x x ++=答案：5例2：关于x 的方程()22213120x x ---+=的不相同实根的个数是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 8思路：可将21x -视为一个整体，即()21t x x =-，则方程变为2320t t -+=可解得：1t =或2t =，则只需作出()21t x x =-的图像，然后统计与1t =与2t =的交点总数即可，共有5个 答案：C 例3：已知函数11()||||f x x x x x=+--，关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=（,a b R ∈）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 ． 思路：所解方程2()()0f x a f x b ++=可视为()()20f x a f x b ++=，故考虑作出()f x 的图像：()2,12,012,102,1x x x x f x x x x x⎧>⎪⎪<≤⎪=⎨--≤<⎪⎪-<-⎪⎩， 则()f x 的图像如图，由图像可知，若有6个不同实数解，则必有()()122,02f x f x =<<，所以()()()122,4a f x f x -=+∈，解得42a -<<-答案：42a -<<-例4：已知定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()121,0212,22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦的实数根个数为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9思路：已知方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦可解，得()()1211,23f x f x ==-，只需统计11,23y y ==-与()y f x =的交点个数即可。
零点与极点的关系PPT课件
零点与极点的相互影响
零点对极点的影响
在函数图像上，零点是函数值为0的 点，而极点是函数值无穷大的点，因 此零点的位置会影响极点的位置。
极点对零点的影响
极点的位置也会影响零点的位置，因 为函数值在极点附近会变得非常大或 非常小，从而影响函数的零点。
零点与极点的性质比较
01
零点的性质
零点是函数值为0的点，是函数图像与x轴的交点。
2023
PART 05
总结与展望
REPORTING
零点与极点的重要性和意义
零点与极点在数学、物理和工程领域中具有广泛的应用，是解决复杂问题的关键。 零点与极点的概念和性质在数学分析、复变函数、信号处理等领域中占有重要地位。
零点和极点的分析有助于深入理解函数的性质、系统的稳定性和信号的传播等。
未来研究方向和展望
02
极点的性质
极点是函数值无穷大的点，是函数图像上凹凸性改变的点。
03
零点和极点的关系
在函数图像上，零点和极点可以重合，也可以不重合。如果重合，则该
点既是函数的零点也是函数的极点；如果不重合，则该点只可能是零点
或只可能是极点。
2023
PART 03
零点与极点的应用
REPORTING
在信号处理中的应用
2023
PART 04
零点与极点的实际案例
REPORTING
信号处理中的零点与极点案例
总结词
信号处理中的零点与极点案例展示了零点与极点在信号处理中的实际应用和影响。
详细描述
在信号处理中，零点和极点是影响信号频域特性的重要因素。零点可以改变信号的相位，而极点则影响信号的幅 度。通过在信号处理过程中合理地设计零点和极点，可以实现信号的滤波、均衡、调制和解调等操作，从而提高 信号的质量和性能。
数学绝杀系列之：复合函数的零点精品讲义
复合函数的零点复合函数的零点 一、相关概念及有关结论 1.复合函数的定义设函数()u x ϕ=的定义域为是A ，值域是B ；又设函数()y f u =的定义域是C ，且B C y M ⊆∈，，这时对A 内每一个x ，通过ϕ，得到B 内唯一的一个u 与此x 对应，再通过f 又得到M 内唯一的一个y 与此x 对应．因此对于A 内的每一个x 先通过ϕ再通过f ，得到M 内唯一的一个y 与此x 对应，这就确定了一个从A 到M 的函数，称它是由()u x ϕ=与()y f u =合成的复合函数（也称嵌套函数），记为()y f x ϕ⎡⎤=⎣⎦．称u 为中间变量，为了叙述方便起见，不妨将()u x ϕ=称为内层函数，称()y f u =为外层函数． 2.有关命题与结论函数的零点问题不仅与函数、方程、不等式、导数等知识交汇融合，同时还涉及“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类与讨论”等数学思想．以下引入上述思想的相关命题，以便为下面的分析与求解提供理论支撑． 二、常见复合函数零点问题的考察类型 1．“()()=f f x k ”型问题 例11．设函数()2log f x x =，则函数()()()1g x f f x =−的零点为_______． 例22．设函数f (x )＝22,0,0x x x x x ⎧+<⎨−≥⎩若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是__________.2.“()()=f g x k ”型问题 例33．设函数()()3221014680x x f x x x g x x x x x ⎧+>⎪=−+=⎨⎪−−−≤⎩，，，，，则函数()()()1h x f g x =−的零点为________．3.复合函数()⎡⎤=−⎣⎦y f f x x 的零点问题一般地，关于复合函数()y f f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点有如下结论：若()f x 单调，则()()0000f f x x f x x ⎡⎤=⇔=⎣⎦．证明 一方面，若()00f f x x ⎡⎤=⎣⎦，不妨设()f x 单调递增，若()00f x x >，则()()000f f x f x x ⎡⎤>>⎣⎦，与()00f f x x ⎡⎤=⎣⎦矛盾，同理可证()00f x x <的情形；另一方面，若()00f x x =，则()()000f f x f x x ⎡⎤==⎣⎦，综上可知结论成立． 例44．设函数()f x a ∈R ，e 为自然对数的底数），若曲线sin y x =上存在点()00x y ，使得()()00f f y y =，则a 的取值范围是（ ）． A ．[]1e ， B ．111e ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦， C ．[]1e 1+，D ．11e 1e ⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦，4.复合函数()⎡⎤=−⎣⎦y f g x x 的零点问题一般地，关于复合函数()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点有如下结论：()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦有零点()y g f x x ⎡⎤⇔=−⎣⎦有零点．证明 设()00f g x x ⎡⎤=⎣⎦，则(){}()00g f g x g x ⎡⎤=⎣⎦，可知()0g x 为()y g f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点，反之若0x 为()y g f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点，则同理可得()0f x 为()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点． 例55．若()f x 和()g x 都是定义在实数集R 上的函数，且方程()0x f g x ⎡⎤−=⎣⎦有实数根，则()g f x ⎡⎤⎣⎦不可能是 A ．215x x +−B ．215x x ++C ．215x −D ．215x +5.含参二次函数复合型零点问题 例66．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( ) A ．{1,2}B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64}例77．若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()232f x af x +0b +=的不同实根个数是A ．3B ．4C ．5D ．66.其他型 例88．已知定义在()0+∞，上的单调函数()f x ，若对任意()0x ∈+∞，都有()12log 3f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则方程()2f x =_______． 例99．已知函数()12f x x x=+−，如果关于x 的方程()4213021xx f t ⎛⎫ ⎪−+−= ⎪−⎝⎭有三个相异的实数根，求t 的范围． 7.零点求和问题 例1010．定义域为R 的函数()12212x x f x x ⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩，，，，若关于x 的函数()()()212h x f x af x =++有5个不同的零点1x 、2x 、3x 、4x 、5x ，则2222212345x x x x x ++++等于（ ）．A ．15B ．20C ．30D ．35同步练习11．设函数()210log 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，若函数()()()g x f f x a =−有三个零点，则实数a 的范围为________．12．设函数()()2210230x x f x x x g x x x x ⎧+>⎪=+=⎨⎪−+≤⎩，，，，，若函数()()()h x g f x a =−有六个不同的零点，则实数a 的取值范围为________．13．已知函数2()(1)x f x x x e =−−，设关于x 的方程25()()()f x mf x m R e−=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为 A ．3B ．1或3C ．4或6D ．3或4或614．已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为A ．3B ．4C ．5D ．615．设定义域为R 的函数2lg ,0(){2,0x x f x x x x >=−−≤, 若关于x 的函数有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是 ．16．已知定义在R 上的函数()y f x =存在零点，且对任意R m n ∈，都满足()()()()2f mf m f n f x n +=+，若关于x 的方程()()31log (01)a f f x x a a −=−>≠，恰有三个不同的根，求a 的取值范围．17．定义在R 上的函数1,22()1,2x x f x x ⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩若关于x 的方程2()()3f x af x b ++=有三个不同的实数解1x ， 2x ，3x ，且 123x x x <<，则下列结论错误的是A ．22212314x x x ++= B ．2a b += C ．134x x += D ．1322x x x +>复合函数的零点复合函数的零点 一、相关概念及有关结论 1.复合函数的定义设函数()u x ϕ=的定义域为是A ，值域是B ；又设函数()y f u =的定义域是C ，且B C y M ⊆∈，，这时对A 内每一个x ，通过ϕ，得到B 内唯一的一个u 与此x 对应，再通过f 又得到M 内唯一的一个y 与此x 对应．因此对于A 内的每一个x 先通过ϕ再通过f ，得到M 内唯一的一个y 与此x 对应，这就确定了一个从A 到M 的函数，称它是由()u x ϕ=与()y f u =合成的复合函数（也称嵌套函数），记为()y f x ϕ⎡⎤=⎣⎦．称u 为中间变量，为了叙述方便起见，不妨将()u x ϕ=称为内层函数，称()y f u =为外层函数． 2.有关命题与结论函数的零点问题不仅与函数、方程、不等式、导数等知识交汇融合，同时还涉及“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类与讨论”等数学思想．以下引入上述思想的相关命题，以便为下面的分析与求解提供理论支撑． 二、常见复合函数零点问题的考察类型 1．“()()=f f x k ”型问题 例11．设函数()2log f x x =，则函数()()()1g x f f x =−的零点为_______． 例22．设函数f (x )＝22,0,0x x x x x ⎧+<⎨−≥⎩若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是__________.2.“()()=f g x k ”型问题 例33．设函数()()3221014680x x f x x x g x x x x x ⎧+>⎪=−+=⎨⎪−−−≤⎩，，，，，则函数()()()1h x f g x =−的零点为________．3.复合函数()⎡⎤=−⎣⎦y f f x x 的零点问题一般地，关于复合函数()y f f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点有如下结论：若()f x 单调，则()()0000f f x x f x x ⎡⎤=⇔=⎣⎦．证明 一方面，若()00f f x x ⎡⎤=⎣⎦，不妨设()f x 单调递增，若()00f x x >，则()()000f f x f x x ⎡⎤>>⎣⎦，与()00f f x x ⎡⎤=⎣⎦矛盾，同理可证()00f x x <的情形；另一方面，若()00f x x =，则()()000f f x f x x ⎡⎤==⎣⎦，综上可知结论成立． 例44．设函数()f x a ∈R ，e 为自然对数的底数），若曲线sin y x =上存在点()00x y ，使得()()00f f y y =，则a 的取值范围是（ ）． A ．[]1e ， B ．111e ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦， C ．[]1e 1+，D ．11e 1e ⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦，4.复合函数()⎡⎤=−⎣⎦y f g x x 的零点问题一般地，关于复合函数()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点有如下结论：()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦有零点()y g f x x ⎡⎤⇔=−⎣⎦有零点．证明 设()00f g x x ⎡⎤=⎣⎦，则(){}()00g f g x g x ⎡⎤=⎣⎦，可知()0g x 为()y g f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点，反之若0x 为()y g f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点，则同理可得()0f x 为()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点． 例55．若()f x 和()g x 都是定义在实数集R 上的函数，且方程()0x f g x ⎡⎤−=⎣⎦有实数根，则()g f x ⎡⎤⎣⎦不可能是 A ．215x x +−B ．215x x ++C ．215x −D ．215x +5.含参二次函数复合型零点问题 例66．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4} D ．{1,4,16,64}例77．若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()232f x af x +0b +=的不同实根个数是A ．3B ．4C ．5D ．66.其他型 例88．已知定义在()0+∞，上的单调函数()f x ，若对任意()0x ∈+∞，都有()12log 3f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则方程()2f x =_______． 例99．已知函数()12f x x x=+−，如果关于x 的方程()4213021xxf t ⎛⎫ ⎪−+−= ⎪−⎝⎭有三个相异的实数根，求t 的范围． 7.零点求和问题 例1010．定义域为R 的函数()12212x x f x x ⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩，，，，若关于x 的函数()()()212h x f x af x =++有5个不同的零点1x 、2x 、3x 、4x 、5x ，则2222212345x x x x x ++++等于（ ）．A ．15B ．20C ．30D ．35同步练习11．设函数()210log 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，若函数()()()g x f f x a =−有三个零点，则实数a 的范围为________．12．设函数()()2210230x x f x x x g x x x x ⎧+>⎪=+=⎨⎪−+≤⎩，，，，，若函数()()()h x g f x a =−有六个不同的零点，则实数a 的取值范围为________．13．已知函数2()(1)x f x x x e =−−，设关于x 的方程25()()()f x mf x m R e−=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为 A ．3B ．1或3C ．4或6D ．3或4或614．已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为A ．3B ．4C ．5D ．615．设定义域为R 的函数2lg ,0(){2,0x x f x x x x >=−−≤, 若关于x 的函数有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是 ．16．已知定义在R 上的函数()y f x =存在零点，且对任意R m n ∈，都满足()()()()2f mf m f n f x n +=+，若关于x 的方程()()31log (01)a f f x x a a −=−>≠，恰有三个不同的根，求a 的取值范围．17．定义在R 上的函数1,22()1,2x x f x x ⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩若关于x 的方程2()()3f x af x b ++=有三个不同的实数解1x ， 2x ，3x ，且 123x x x <<，则下列结论错误的是A ．22212314x x x ++= B ．2a b += C ．134x x += D ．1322x x x +>参考答案：1．4【分析】由题知2log 2x =，即求.【详解】函数()g x 的零点即为方程()0g x =的解，也即()22log log 10x −=的解.()22log log 1x =，即2log 2x =解得4x =，即函数()g x 的零点为4． 故答案为：4 2．a ≤【分析】对()f a 的符号进行分类讨论，带入相应的解析式求解不等式，可得f (a )≥－2，再对a 的符号进行分类讨论代入相应解析式求解不等式即可.【详解】当()0f a <时，f (f (a ))≤2即为2()()2f a f a +≤，()()[1][2]0f a f a −+≤， 解得()21f a −≤≤，所以()20f a −≤<；当()0f a ≥时，f (f (a ))≤2即为2()2f a −≤，因为2()2f a ≥−恒成立，所以()0f a ≥满足题意.所以f (a )≥－2，则202a a a <⎧⎨+≥−⎩或22a a ≥⎧⎨−≥−⎩，解得a ≤故答案为：a ≤【点睛】本题考查利用分段函数的性质解不等式，考查分类讨论思想，属于较难题. 3．14322−−−，，， 【分析】由题可知求()()1f g x =的解，再利用分段函数求方程的解即可. 【详解】函数()h x 的零点即为方程()0h x =的解，也即()()1f g x =的解． 令()t g x =，则原方程的解变为方程组()()1t g x f t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解．由方程②可得320t t −=， 解得0t =或1t =，将0t =代入方程①，而方程104x x+=无解，由方程2680x x −−−=解得4x =−或2x =−； 将1t =代入方程①，而方程114x x +=，解得12x =， 由方程2681x x −−−=，解得3x =−．综上，函数()h x 的零点为14322−−−，，，，共四个零点． 故答案为：14322−−−，，，. 4．A【分析】由题可得2e x x a x +−=，再利用函数的单调性即求.【详解】显然()f x =于是()()00f f y y =等价于()00f y y =，即00y =≥， 又00sin 1y x =≤，故001y ≤≤，从而0200e y a y y =+−，令()2e x g x x x =+−， 则()()'e 12''e 20x xg x x g x =+−=−=，，令()''0g x =，则ln2x =，可知当[]0ln2x ∈，时，()'g x 单调递减，当[]ln21x ∈，时，()'g x 单调递增， 从而()()''ln232ln20g x g ≥=−>， 故()g x 在[]01，上单调递增， 从而()()][011e a g g ⎡⎤∈=⎣⎦，，. 故选：A ． 5．B【详解】试题分析：设0x 为方程的 ()0x f g x ⎡⎤−=⎣⎦的一个根，∴00[()]f g x x =，∴{}00()[()]g x g f g x =，再令0()t g x =，故有 [()]t g f t =，从而可知方程[()]g f x x =至少有一个实数根 t ，A ，C ，D 选项中的函数均符合条件，而B 选项：215x x x ++=无解，故选B ． 【点睛】本题考察的是抽象函数与方程的问题，需挖掘条件中的隐含信息，对已知条件中的式子()0x f g x ⎡⎤−=⎣⎦进行等价变形，可以得到 [()]g f x x =至少也有一个实数根，分别考察四个选项中的函数，判断根的情况，从而可知选B ． 6．D【分析】方程()()20mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项.【详解】设关于()f x 的方程()()20mf x nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.而()2f x ax bx c =++的图象关于2bx a=−对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2bx a =−对称．而选项D 中41616422++≠.故选D. 【点睛】对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得到方程组()()0f t g x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征. 7．A【分析】由题意求导结合极值点的性质可得原方程等价于1()f x x =或2()f x x =，按照12x x <、12x x >分类，作出函数图象，数形结合即可得解.【详解】由题意2()32f x x ax b '=++，1x ，2x 为函数()f x 的极值点， 所以2()320f x x ax b '=++=有两解12,x x ，所以方程()()()232f x af x +0b +=等价于1()f x x =或2()f x x =，当12x x <时，则1x 为函数()f x 的极大值点，且()11f x x =，2x 为函数()f x 的极小值点， 画出函数图象，如图：此时1()f x x =有两个不同实根，2()f x x =有一个实根，()()()232f x af x +0b +=有三个不同实根；当12x x >时，则1x 为函数()f x 的极小值点，且()11f x x =，2x 为函数()f x 的极大值点， 画出函数图象，如图：此时1()f x x =有两个不同实根，2()f x x =有一个实根，()()()232f x af x +0b +=有三个不同实根；综上，()()()232f x af x +0b +=有三个不同实根. 故选：A.【点睛】本题考查了导数与函数极值的关系、函数与方程的综合应用，考查了逻辑推理能力与数形结合思想，属于中档题.8．{}416，．【分析】由题可求()122log f x x =−，再利用数形结合即求.【详解】∵定义在()0+∞，上的单调函数()f x ，对任意()0x ∈+∞，都有()12log 3f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，令()12log f x x c +=，则()3f c =，在上式中令x c =，则()1122log log 3f c c c c c +==−，，解得2c =，故()122log f x x =−，由()2f x =122log 2x −=2log x =在同一坐标系中作出函数2log y x =和y =可知这两个图像有2个交点，即()42，和()164，，则方程()2f x ={}416，． 故答案为：{}416，. 9．104t −<<．【分析】令21xm −=，由题得()232410m t m t −+++=，再采用数形结合法及二次方程根的分布即求．【详解】令21xm −=，则()430f m t m ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭，即14230m t m m ⎛⎫+−+−= ⎪⎝⎭，去分母得：()232410m t m t −+++=，此方程最多有两个根，由函数21xm =−图像可知，方程()232410m t m t −+++=的两根必须有一根m 1≥，另一根01m <<，才能保证原方程有三根，设()()23241g m m t m t =−+++，因此由根的分布知识得：()()041011(32)410g t g t t ⎧=+>⎪⎨=−+++<⎪⎩或()()11(32)410041032012g t t g t t ⎧⎪=−+++=⎪=+>⎨⎪+⎪<<⎩，，，解得：104t −<<．10．C【分析】结合函数的图象可知1102a ++=，进而可得()1f x =或()12f x =，即求.【详解】作函数()12212x x f x x ⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩，，，的图象如图所示，则由函数()()()212h x f x af x =++有5个不同的零点知1102a ++=，解得32a =−．解()()231022f x f x −+=得()1f x =或()12f x =．若()1f x =，则2x =或3x =或1x =； 若()12f x =，则0x =或4x =． 故222221234530x x x x x ++++=.故选：C ．11．(]01，． 【分析】令()t f x =，则原方程的解变为方程组()()t f x f t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =，采用数形结合法即求．【详解】函数()g x 的零点即为方程()0g x =的解，令()t f x =， 则原方程的解变为方程组()()t f x f t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =的图象，由图象可知，当1t >时，有唯一的x 与之对应；当1t ≤时，有两个不同的x 与之对应． 由方程组()()t f x f t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②有三个不同的x 知，需要方程②有两个不同的t ，且一个1t >，一个1t ≤，结合图象可知，当(]01a ∈，时，满足一个(]10t ∈−，，一个(]12t ∈，，符合要求， 综上，实数a 的取值范围为(]01，． 故答案为：(]01， 12．(]23，． 【分析】利用数形结合即求.【详解】函数()h x 的零点即为方程()0h x =的解，也即()()g f x a =的解， 令()t f x =，则原方程的解变为方程组()()t f x g t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解， 作出函数()y f x =和直线y t =的图象如图所示． 由图可知，当1t >−时，有两个不同的x 与之对应；当1t =−时，有一个x 与之对应，当1t <−时，没有x 与之对应．由方程组()()t f x g t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②有六个不同的x 解知，需要方程②有三个不同的t ，且都大于1−，作出函数()y g t =和直线y a =的图象如图所示，由图可知当(]23a ∈，时满足要求， 综上，实数a 的取值范围为(]23，． 故答案为：(]23，13．A【详解】()()()()'12,xf x x x e f x =−+∴在(),2−∞−和()1,+∞上单增，()2,1−上单减，又当x →−∞时，()0,f x x →→+∞时，()f x →+∞故()f x 的图象大致为：令()f x t =，则方程250t mt e −−=必有两个根，12,t t 且125t t e=−，不仿设120t t << ，当1t e=−时，恰有225t e −=，此时()1f x t =，有1个根，()2f x t =，有2个根，当1t e <−时必有2205t e −<<，此时()1f x t =无根，()2f x t =有3个根，当10e t −<<时必有225t e −>，此时()1f x t =有2个根，()2f x t =，有1个根，综上，对任意m R ∈，方程均有3个根，故选A.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 . 14．A【详解】试题分析：求导得，显然是方程的二不等实根，不妨设，于是关于x 的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0的解就是或，根据题意画图：所以有两个不等实根，只有一个不等实根，故答案选A.考点：导数、零点、函数的图象 15．【详解】关于的二次方程至多有两个实数根，设()2,2210f x t t bt =++=，要使得有8个零点，就是()f x t =有4个解，由图象知()f x t =，(0,1)t ∈内有4个解． 二次方程22210t bt ++=在内有两个不等的实数根，故有故填16．（3，+∞）．【分析】令函数()y f x =的零点为m ，即f （m ）＝0，则由对任意m ，n ∈R 都满足f [mf （m ）+f （n ）]＝f 2（m ）+n ．可得f [f （x ）]＝x ，进而x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣logax （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，可转化为|x ﹣3|＝1﹣logax （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，根据对数函数的图象和性质分类讨论后，可得答案．【详解】令函数y ＝f （x ）的零点为m ，即f （m ）＝0， ∵对任意m ，n ∈R 都满足f [mf （m ）+f （n ）]＝f 2（m ）+n ． 则f [f （n ）]＝n 恒成立， 即f [f （x ）]＝x ，若关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣logax （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根， 即|x ﹣3|＝1﹣logax （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，当0＜a ＜1时，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣logax 的图象如下图所示：由图可知，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣logax的图象有两个交点，即关于x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有两个不同的根，不满足条件；当1＜a＜3时，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣logax的图象如下图所示：由图可知，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣logax的图象有一个交点，即关于x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有一个不同的根，不满足条件；当a＝3时，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣logax的图象如下图所示：由图可知，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣logax的图象有两个交点，即关于x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有两个不同的根，不满足条件；当a＞3时，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣logax的图象如下图所示：由图可知，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣logax 的图象有三个交点，即关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣logax （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，满足条件；综上所述，实数a 的取值范围是（3，+∞）.17．D【详解】试题分析：当2x ≠时，()1()0,2f x x =∈+∞−且关于y 轴对称， 因为方程2()()3f x af x b ++=有三个不同的实数解，所以当时，，必为方程的一个解，代入方程得，即选项B 正确； 因为()()131f f ==，所以， 所以选项A 、C 正确，而选项D 错．故正确答案选D ．。
复合函数课件
2 常见求导法则
根据复合函数中各个函数的性质和运算规则， 可以推导出常见的复合函数的求导法则。
复合函数的逆运算与逆函数的求解
逆运算
复合函数的逆运算可以通过将复合函数的内外 函数交换位要解方程f(g(x))=x，找 到使得等式成立的函数g(x)。
复合函数的性质和运算规则
结合律
复合函数满足结合律，即(f∘g)∘h = f∘(g∘h)。
分布律
复合函数满足分布律，即f∘(g+h) = (f∘g)+(f∘h)。
单位元
单位元函数是指f(x)=x，它与任何函数的复合都 不改变原函数。
逆元素
逆元函数是指f(g(x))=x，即复合函数和原函数相 互抵消。
复合函数ppt课件
本课件将详细介绍复合函数的定义、例子、性质和运算规则，以及复合函数 在实际问题中的应用。还将探索复合函数与反函数的关系，介绍复合函数的 求导法则和逆运算求解。
复合函数的定义和例子
定义
复合函数是由两个或多个函数组合而成的新函数， 其中一个函数的输出作为另一个函数的输入。
例子
例如，如果有两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函 数为f(g(x))。
复合函数可以用来模拟经济变量之间的 相互关系，帮助经济学家预测市场走势。
工程学
复合函数可以用来优化工程设计，提高 系统的性能和效率。
复合函数与反函数的关系
反函数
反函数是指复合函数的逆运算，将一个函数的输出作为输入，返回原来的输入。
复合函数的求导法则
1 链式法则
复合函数求导的链式法则是将外函数的导数 与内函数的导数相乘。
复合函数的图像和图像变换
图像
复合函数的图像是由两个函数的图像组合而成的。
浅析复合函数零点的个数问题
一类是判断零点个数，另一类是已知零点个数求参
数的取值范围．以下本文通过对典型例题的分析来探究
一下复合函数零点问题中求零点个数和求参数的问题．
１．判断复合函数零点的个数
｛ 例１ 已知函数犳（狓）＝
５ 狓－１ －１（狓 ≥０）， 则 狓２＋４狓＋４（狓 ＜０），
关 于狓的方程犳２（狓）－５犳（狓）＋４＝０的实数根的个数
零点个数即方程犳（狓）＝０的
根个数，也即犳（狓）的图像与
狓 轴 交 点 的 个 数，若 方 程
犳（狓）＝０犵（狓）＝犺（狓），即
为两函数犵（狓）与犺（狓）图像
图１
交点的个数．该问题只需要确
定零点个数并 不 需 要 求 出 零 点，也 可 画 出 函 数 图 像，
结合图像确定交点的个数，由狋２ －５狋＋４＝０，得狋＝４ 或１，所以犳（狓）＝４或１，由函数图像犳（狓）分别与狔＝ １、狔＝４有４个交点和３个交点，所以犳（狓）＝１、犳（狓） ＝４分别有４个根和３个根，所以方程犳２（狓）－５犳（狓） ＋４＝０共有７个根．
图２ 图３
２．已知复合函数的零点个数求参数的取值范围 例２ 已 知 函 数 犳（狓）的 图 像，若 函 数 犵（狓）＝ ［犳（狓）］２ －犽犳（狓）＋１恰有４个零点，则实数犽 的取值 范围是（ ）．
（ ） Ａ．（－
∞，－２）∪
（２，＋
∞）
８ Ｂ．ｅ２
，２
（ ） ４
Ｃ．ｅ２
若犳（狓）＝１，当狓 ≥０时，即５ 狓－１ －１＝１，解得
狓＝１±ｌｏｇ５２，当狓 ＜０时，即狓２＋４狓＋３＝０，解得狓
＝－１或 －３．
若犳（狓）＝４，当狓 ≥０时，即５ 狓－１ －１＝４，解得
第12讲 复合函数零点问题
第12讲复合函数零点问题在数学中，复合函数是由两个或更多个函数组成的函数。
具体地说，设y=f(t)，t=g(x)，且函数g(x)的值域为f(t)定义域的子集，那么y通过t的联系而得到自变量x的函数，称y是x的复合函数，记为y=f(g(x))。
复合函数函数值计算的步骤：求y=g(f(x))函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。
例如：已知f(x)=2x，g(x)=x^2-x，计算g(f(2))解：f(2)=4，因此g(f(2))=g(4)=12.已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x的值。
例如：已知f(x)=2，g(x)=x-2x，若g(f(x))=x^2，求x。
解：令t=f(x)，则g(t)=t-2t=-t。
解得t=0或t=2.当t=0时，f(x)=2，此时x∈Ø。
当t=2时，f(x)=2，此时x=1.复合函数零点问题的特点：考虑关于x的方程g(f(x))=0的根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于f(x)的方程，观察有几个f(x)的值使得等式成立；第二层是结合着第一层f(x)的值求出每一个f(x)被几个x对应，将x的个数汇总后即为g(f(x))的根的个数。
求解复合函数y=g(f(x))零点问题的技巧：此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出f(x),g(x)的图像。
若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于f(x)的方程g(f(x))中f(x)解的个数，再根据个数与f(x)的图像特点，分配每个函数值fi(x)被几个x所对应，从而确定fi(x)的取值范围，进而决定参数的范围。
例1：设定义域为R的函数$f(x)$如下，若关于$x$的方程$2+\frac{x}{3}=f^2(x)+bf(x)+c$有$3$个不同的解$x_1,x_2,x_3$，则$x_1+2x_2$的值为多少？解析：先作出$f(x)$的图像，观察可发现对于任意的$y$，满足$y=f(x)$的$x$的个数分别为$2$个（$y>0,y\neq 1$）和$3$个（$y=1$），已知有$3$个解，从而可得$f(x)=1$必为$f^2(x)+bf(x)+c$的根，而另一根为$1$或者是负数。
复合函数的零点问题
由图可得，当 k＞－3 时，f(t)＝k 有两个根 t1，t2，且 t1＜－2，t2＞12，即 t＝f(x)＜－2 或 t＝f(x)＞12，此时方程 f(f(x))＝k 最多有 5 个根； 当－4＜k≤－3 时，f(t)＝k 有三个根 t1，t2，t3，且－2≤t1＜－1，－1＜t2≤0，14＜t3≤12， 即－2≤f(x)＜－1 或－1＜f(x)≤0 或14＜f(x)≤12，此时方程 f(f(x))＝k 最多有 6 个根； 当 k＝－4 时，f(t)＝k 有两个根 t1，t2，且 t1＝－1，t2＝14，即 f(x)＝－1 或 f(x)＝14，此 时方程 f(f(x))＝k 有 4 个根； 当 k＜－4 时，f(t)＝k 有一个根 t，且 0＜t＜14，即 0＜f(x)＜14，此时方程 f(f(x))＝k 有 2 个根．
设 f(x)＝t，由图可知，当 t＜0 或 t＞2 时，t＝f(x)有且仅有 1 个实根．当 t＝0 或 1≤t≤2 时，t＝f(x)有 2 个实根；当 0＜t＜1 时，t＝f(x)有 3 个实根，则 g(x)恰有 4 个不同的零 点等价于a0－ ＜1a＜ ＋01， ＜1或a1－ ≤1a＝ ＋01， ≤2或0a＜ ＋a1－ ＞12＜1，或11≤ ≤aa－ ＋11≤ ≤22， ，解得－1＜a＜ 0 或 1≤a＜2．
图(2)
由图可知 y＝f(t)与 y＝3t＋12的图象有两个交点，横坐标
分别在(0，1)和(1，2)之间，不妨设交点横坐标为 t1∈(0，
1)，t2∈(1，2)．如图(3)，当 t1＝f(x)时，由 f(x)图象和直
线 y＝t1，t1∈(0，1)可知，二者有两个交点，此时 F(x) ＝f(f(x))－3f(x)－12有两个零点；当 t2＝f(x)时，由 f(x)图
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莲塘二中：熊 斌 华
一、基础知识：
1、复合函数定义：设 y f t ，t g x，且函数 g x 的值域为 f t 定
义域的子集，那么 y 通过 t 的联系而得到自变量 x 的函数，称 y 是 x 的
复合函数，记为 y f g x
2-2：已知定义在
R
上的奇函数，当
x
0
时，
f
x
2 x1 1,0
1 2
f
x
2,
x x
2 2
，则
关于 x 的方程 6 f x2 f x 1 0 的实数根个数为（
）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
思路：已知方程 6 f
x2
f
x 1 0 可解，得
f1 x
1, 2
f2
x
1 3
，只需统计
y 1 , y 1 与 y f x 的交点个数即可。由奇
2
3
函 数 可 先 做 出 x0 的 图 像 ， x2 时 ，
f x 1 f x 2 ， 则 x 2,4 的 图 像 只 需 将
的个数分别为 2 个（ y0 0, y0 1 ）和 3 个（ y0 1 ），已知有 3 个解，从而可得
f x 1 必 为 f 2 x bf x c 0 的 根 ， 而 另 一 根 为 1 或 者 是 负 数 。 所 以
f xi 1 ，可解得： x1 0, x2 1, x3 2 ，所以 x12 x22 x32 5
f1 x x1, f2 x x2 ，其中 f1 x1 x1 ，若 x1 x2 ，
可判断出 x1 是极大值点， x2 是极小值点。且
f2 x x2 x1 f x1 ，所以 y f1 x 与 f x 有 两个交点，而 f2 x 与 f x 有一个交点，共计
2、复合函数函数值计算的步骤：求 y g f x 函数值遵循“由内到
外”的顺序，一层层求出函数值.
3、已知函数值求自变量的步骤：则遵循“由外到内”的顺序，一层 层拆解直到求出 x 的值。
4、函数的零点：设 f x 的定义域为 D ，若存在 x0 D ，使得 f x0 0， 则称 x x0 为 f x 的一个零点 5、复合函数零点问题的特点：考虑关于 x 的方程 g f x 0 根的个数， 在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于 f x 的方程， 观察有几个 f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层 f x 的 值求出每一个 f x 被几个 x 对应，将 x 的个数汇总后即为 g f x 0
答案：5
1-2:对于函数 f (x), g(x) 满足：对任意的 x R ，都有 f (x2 2x 3) g(x) ，
若关于 x 的方程 g(x) sin x 0 只有 5 个实根，则这 5 个根之和为（ ）
2
A、 5
B、6
C、8
D、9
解析：由 f (x2 2x 3) g(x) 知，g(x) 的图像关于直线 x 1对称，而函
3 个 ； 若 x1 x2 ， 可 判 断 出 x1 是 极 小 值 点 ， x2 是 极 大 值 点 。 且
）
A．3 B ．4 C ．5 D ．6
思路：f ' x 3x2 2ax b 由极值点可得：x1, x2 为 3x2 2ax b 0 ①的两
根，观察到方程①与 3 f x2 2af x b 0
结构完全相同，所以可得
3 f x2 2af x b 0 的 两 根 为
1-1 ： 设 定 义 域 为
R
的函数
f
x
1 x 1
,x
1
，若关于 x 的方程
1, x 1
f 2 x bf x c 0 由 3 个不同的解 x1, x2, x3 ，则 x12 x22 x32 ______
解析：先作出 f x 的图像如图：观察可发现对于任意的 y0 ，满足 y0 f x 的 x
思 路 ： 可 将 x2 1 视 为 一 个 整 体 ， 即 tx x2 1 ， 则 方 程 变 为 t2 3t 2 0 可解得：t 1或t 2 ，则只需作出 t x x2 1 的图像，然后
统计与 t 1与 t 2 的交点总数即可，共有 5 个 答案：C
2
x 0,2 的图像纵坐标缩为一半即可。正半轴图像
完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通 过数形结合可得共有 7 个交点 答案：B
2-3：若函数 f x x3 ax2 bx c 有极值点 x1, x2 ，且 f x1 x1，则关于 x
的方程 3 f x2 2af x b 0的不同实根的个数是（
的根的个数
6、求解复合函数 y g f x 零点问题的技巧： （1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出 f x, g x 的图像 （2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于 f x 的方程 g f x 0 中 f x 解 的个数，再根据个数与 f x 的图像特点，分配每个函数值 fi x 被几个 x 所对应，从而确 定 fi x 的取值范围，进而决定参数的范围
数 y sin x 也关于直线 x 1对称，即 x 1必为方程 g(x) sin x 0 的
2
2
一个根，而另四根之和为 4，所以 5 个根之和为 5. 答案为 A。
2-1：关于
x
的方程
x2
2
1
3
x2
1
2
0
的不相同实根的个数是（
）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 8