第四章 质点系 动量
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力学_舒幼生_第四章角动量定理、天体运动
7
若过程中 M 恒为零，则过程中 L 为守恒量
M 0 L 常矢量
若过程中 Mz 恒为零，则过程中 Lz 为守恒量
M z 0 Lz 常量
有心力：质点所受力 F 若始终指向一个固定点 O，O为力心。
8
例1
相对不同参考点A、B，计算重力矩和角动量
参考点A： 重力矩 角动量 参考点B： 重力矩 角动量
A
v
mg
M mgd 1
L0
d2
B
d1
M mgd 1
L mvd2
9
例2
匀速圆周运动
选择圆心O为参考点 力矩 角动量
v
R
⊙
M 0
L mvR
F心
O
角动量守恒 其它任何点则没有这种情况
O
10
例3
地球绕太阳公转
选择太阳为参考点 万有引力的力矩为零
M 0 LC
15
（3）拉动过程中，小球作螺旋线运动
dW T dr Tdr
2 m v2 m v0 r02 T r r3
W
r0 / 3 2
r0
2 m v0 r02 1 2 3 dr m v0 ( 4 1) 3 r 2
它恰好等于小球的动能增量
1 2 1 2 1 2 3 Ek mv mv 0 mv 0 ( 4 1) 2 2 2
16
4.1.1 质点系角动量定理 角动量守恒定律
在惯性系S中，质点系相对O点的角动量 L
L Li
i
M内 0
质点系角动量定理： 质点系各质点所受外力相对同一参考点的力矩之和 等于质点系相对于该参考点角动量随时间的变化率。
若过程中 M 恒为零，则过程中 L 为守恒量
M 0 L 常矢量
若过程中 Mz 恒为零，则过程中 Lz 为守恒量
M z 0 Lz 常量
有心力：质点所受力 F 若始终指向一个固定点 O，O为力心。
8
例1
相对不同参考点A、B，计算重力矩和角动量
参考点A： 重力矩 角动量 参考点B： 重力矩 角动量
A
v
mg
M mgd 1
L0
d2
B
d1
M mgd 1
L mvd2
9
例2
匀速圆周运动
选择圆心O为参考点 力矩 角动量
v
R
⊙
M 0
L mvR
F心
O
角动量守恒 其它任何点则没有这种情况
O
10
例3
地球绕太阳公转
选择太阳为参考点 万有引力的力矩为零
M 0 LC
15
（3）拉动过程中，小球作螺旋线运动
dW T dr Tdr
2 m v2 m v0 r02 T r r3
W
r0 / 3 2
r0
2 m v0 r02 1 2 3 dr m v0 ( 4 1) 3 r 2
它恰好等于小球的动能增量
1 2 1 2 1 2 3 Ek mv mv 0 mv 0 ( 4 1) 2 2 2
16
4.1.1 质点系角动量定理 角动量守恒定律
在惯性系S中，质点系相对O点的角动量 L
L Li
i
M内 0
质点系角动量定理： 质点系各质点所受外力相对同一参考点的力矩之和 等于质点系相对于该参考点角动量随时间的变化率。
质点系动量定理
h
T
2H g
取铅垂轴y向上为正，根据动量定理有：
mv2 mv1 p
p 0。则有 由题意知， v1 0 ，经过（T+t）秒后，
p Nt Q(T t ) 0
由此得
1 T N Q( 1) Q t t 2H 1 g
1 2 1.5 16.9 KN N 300 1 0.01 9.8
e i
质点系外力： R
e
Fi
e
2、内力：所研究得质点系内部的各质点之间的相互 i 作用力；用 F i 表示。
质点系内力： R
i
Fi
i
质点系内力系的主矩、主矢为：
R Fi 0
i
i
M o mo Fi i 0
i
结论：
质点系质心的运动，是可以看成为一个质点的运 动，同时假想地把整个质点系的质量集中于这一点， 作用于质点系的全部外力也都集中于这一点。 同时：质点系的内力不影响质心的运动，只有外 力才能改变质心的运动。
例1、锤重Q=300N，从高度H=1.5m处自由落到锻 件上，如图所示，锻件发生变形，历时t=0.01s. 求锤对锻件的平均压力。 解：取锤为研究对象。作用在锤 上的力有重力Q锤与锻件接触后 锻件的反力。但锻件的反力是变 力。设平均反力为N. 锤下落高度H所需时间T为：
i i
§11－3 质心运动定理 1、质心：质点系的质量中心 质点系的运动不仅与各质点质量有关，而且与质 量的分布情况有关。 2、质心的确定
直角坐标下的质心计算公式：
mi xi xC M
mi yi yC M
mi zi zC M
质点系动量定理
解：
普通物理学教案
例题2 ：
子弹穿过第一木块时， 两木块速度相同均为v1
子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2
再结合 式，可得结果。
考虑到动量定理的意义，冲量仅决定于始末两个状态。
例题3：
普通物理学教案
如图示，悬绳突然断开，猴子以多大的加速度相对杆上爬，才能看上去不下落?
这一速度小于第一宇宙速度（7.9km/s）, 所以用单级火箭不可能把人造地球卫星或其它航天器送入地球轨道。
由于技术上的原因，多级火箭一般是三级。
有效载荷
第三级火箭
第二级火箭
第一级火箭
制导与控制系统
动力系统
01
04
02
03
N1 = 16；vr = 2.9km/s；
N2 = 14；vr = 4km/s
推广到多质点系统，动量定理表达式为：
其意为：
质点系总动量的增量 等于作用于该系统合外力的冲量
例题1* (自学用)
普通物理学教案
矿砂从传送带A落入B ，其速度4m/s ， 方向与竖直方向成 30º角，而B 与水平方向成15º角，其速度2m/s。传送带的运送量为 20kg/s 。 求：落到 B上的矿砂所受到的力。
卫星支架（卫星分配器）
长征二号E
长征二号F 运载火箭是在长二捆火箭的基础上，按照发射神舟载人飞船的要求，以提高可靠性确保安全性为目标研制的运载火箭。火箭上加装了逃逸塔，是目前我国所有运载火箭中起飞质量最大、长度最长的火箭。
震天雷 神火飞鸦 火龙出水 原始火箭 虎头木牌 一 窝 蜂
解：
15º
30º
A
B
v1
v2
15º
30º
作矢量图
在Δt 内落在传送带B上的矿砂质量为： 这些矿砂的动量增量为： 由动量定理： 15º 30º
普通物理学教案
例题2 ：
子弹穿过第一木块时， 两木块速度相同均为v1
子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2
再结合 式，可得结果。
考虑到动量定理的意义，冲量仅决定于始末两个状态。
例题3：
普通物理学教案
如图示，悬绳突然断开，猴子以多大的加速度相对杆上爬，才能看上去不下落?
这一速度小于第一宇宙速度（7.9km/s）, 所以用单级火箭不可能把人造地球卫星或其它航天器送入地球轨道。
由于技术上的原因，多级火箭一般是三级。
有效载荷
第三级火箭
第二级火箭
第一级火箭
制导与控制系统
动力系统
01
04
02
03
N1 = 16；vr = 2.9km/s；
N2 = 14；vr = 4km/s
推广到多质点系统，动量定理表达式为：
其意为：
质点系总动量的增量 等于作用于该系统合外力的冲量
例题1* (自学用)
普通物理学教案
矿砂从传送带A落入B ，其速度4m/s ， 方向与竖直方向成 30º角，而B 与水平方向成15º角，其速度2m/s。传送带的运送量为 20kg/s 。 求：落到 B上的矿砂所受到的力。
卫星支架（卫星分配器）
长征二号E
长征二号F 运载火箭是在长二捆火箭的基础上，按照发射神舟载人飞船的要求，以提高可靠性确保安全性为目标研制的运载火箭。火箭上加装了逃逸塔，是目前我国所有运载火箭中起飞质量最大、长度最长的火箭。
震天雷 神火飞鸦 火龙出水 原始火箭 虎头木牌 一 窝 蜂
解：
15º
30º
A
B
v1
v2
15º
30º
作矢量图
在Δt 内落在传送带B上的矿砂质量为： 这些矿砂的动量增量为： 由动量定理： 15º 30º
质点系动量定理
§3-2 质点系动量定理和质心运动定理
一、质点系动量定理
一个由n个质点组成的质点系，对于每个质点有
n d F1 f1i m1v1 dt i 1 n d F2 f 2i m2 v2 dt i2
n d Fn f ni mn vn dt in
yc 0
下面只要求 xc 上面腰的直线方程为：
yx
在薄板上任意选择一个面积微元，微元上每一点 的水平坐标值都为x，微元的面积为：
ds 2 ydx 2 xdx
设薄板质量面密度为
，则微元质量为：
dm ds 2 xdx
整个薄板的水平质心坐标为：
xc
xdm dm
mL 。 M m
人走船动
法2：利用质心运动定理
xC
M L m
O
m
L M + mL 2 初始状态 xC = M +m
末状态
xC
M
L M( + l ) + ml 2 xC = M +m
l
x
比较得
mL l= M +m
人走船动
法3：利用动量守恒定律
v人地
m
0 m v人地 M v船地
M L m
t
此式表明，外力矢量和在某一方向的冲量等于在 该方向上质点系动量分量的增量。
二、质心 n个质点组成的质点系的质心位置为
m r m r m r 2 2 n n rC 1 1 m1 m2 mn mi ri
i 1 n n
mi
i 1
由于质心位置不变
任意时刻质心 坐标：
一、质点系动量定理
一个由n个质点组成的质点系，对于每个质点有
n d F1 f1i m1v1 dt i 1 n d F2 f 2i m2 v2 dt i2
n d Fn f ni mn vn dt in
yc 0
下面只要求 xc 上面腰的直线方程为：
yx
在薄板上任意选择一个面积微元，微元上每一点 的水平坐标值都为x，微元的面积为：
ds 2 ydx 2 xdx
设薄板质量面密度为
，则微元质量为：
dm ds 2 xdx
整个薄板的水平质心坐标为：
xc
xdm dm
mL 。 M m
人走船动
法2：利用质心运动定理
xC
M L m
O
m
L M + mL 2 初始状态 xC = M +m
末状态
xC
M
L M( + l ) + ml 2 xC = M +m
l
x
比较得
mL l= M +m
人走船动
法3：利用动量守恒定律
v人地
m
0 m v人地 M v船地
M L m
t
此式表明，外力矢量和在某一方向的冲量等于在 该方向上质点系动量分量的增量。
二、质心 n个质点组成的质点系的质心位置为
m r m r m r 2 2 n n rC 1 1 m1 m2 mn mi ri
i 1 n n
mi
i 1
由于质心位置不变
任意时刻质心 坐标：
4-1 动量定理与动量守恒定律
（ 1 ） 为 -2mv ， 因为速度方向 变了； （2）为零，因 为速度、质量 均没变。
不变，则小球的动
量变化
（请点击你要选择的项目）
4-1 动量定理与动量守恒定律
例 m=10 kg木箱，在水平拉力作用下由静止开始运 动，拉力随时间变化如图。已知木箱与地面摩擦系 数为 =0.2，求：
(1) t=4 秒时刻木箱速度；
3 质点系的动量定理 第 i 个质点的动力学方程
Fi
j i
dpi f ij dt
Fi
· · · ·
i fi j
Pi
共有N个方程 对所有质点求和
N N
· ·
fj i
j ·
·
Pj
N dpi d N Fi i fij dt dt pi i 1 i 1 j i1 i 1
p p1 p2 p N 质点系总动量： dr mi vi mi i dt i i
mN
y
i
pi
2 质点系的内力和外力
内力：质点系内各质点之间的相互作用， fi j 外力：质点系外质点对内各质点的作用， Fi
第4章 动量和角动量
4-1 动量定理与动量守恒定律
例 炮车的质量为M，炮弹的质量为m。若炮车与地面
有摩擦，摩擦系数为μ , 炮弹相对炮身的速度为u， 求 炮身相对地面的反冲速度 v 。
θ
u
第4章 动量和角动量
4-1 动量定理与动量守恒定律
解：选取炮车和炮弹组成系统 内、外力分析。 水平的动量守恒吗？ 运用质点系的动量定理：
N
f
Mg
复旦大学大学物理力学课件Ch4_part_I-1
W Ek
力对空间的累积作用 标量 惯性系 内力作功不一定为零 合外力为零， 作功不一定为零
I P
力对时间的累积作用 矢量 惯性系 内力冲量为零 合外力为零， 总的冲量一定为零
动量守恒定律
t2 n n F外力dt mi vi mi vi 0 P t1 i 1 i 1
t
动量定理的成立条件——惯性系。
利用动量定理计算平均冲力
F (t2 t1 ) Fdt
I Fdt ＝P mv 2 - mv1
P F＝ t
•应用： 利用冲力： 增大冲力，减小作用时间 ——冲床 避免冲力： 减小冲力，增大作用时间 ——轮船靠岸时的缓冲
力的效果 力的瞬时效果 牛顿定律是动量定理 关系 的微分形式 适用对象 质点 适用范围 惯性系 解题分析 必须研究质点在每时 刻的运动情况
力对时间的积累效果 动量定理是牛顿定律的 积分形式 质点、质点系 惯性系 只需研究质点（系）始 末两状态的变化
动能定理和动量定理的比较
动能定理 动量定理 都是从牛顿定律推出
一、冲量
1, 若质点受恒力的作用， I ＝Ft 在t 时间内所受的冲量为：
2, 若质点受变力的作用， 在t1t2 时间内所受的冲量为：
t
F
F
I ＝ Fn tn
t2 t1
t 1 t 2 t1
F (t )
t n t2
积分形式
t2 I ＝ Fdt
dp dv dM F M u dt dt dt
y h h v1
v2
1 2 h v1t ' gt ' 2
t 1s
'
第四章冲量和动量
F1
F21 F12
m1
F2
m2
因内力 F12 F21 0， 故将两式相加后得：
t2
t1
与内力 ( F2 F21 )dt m2 v2 m2 v20 无关
t2
t1
( F1 F2 )dt (m1v1 m2 v2 ) (m1v10 m2 v20 )
F dr Ek Ek 0
(E E ) C
k p
保守力
F dr 0
A保 ( E pb E pa )
ss_cuixj@
例1 一质量为0.05 kg、速率为10 m·-1的刚球，以 s 与钢板法线呈45º 角的方向撞击在钢板上，并以相同的 速率和角度弹回来．设碰撞时间为0.05 s．求在此时间 内钢板所受到的平均冲力． 解 由动量定理得：
p p0
ss_cuixj@
n n t2 ex I F dt mi vi mi vi 0 p p 0 t1 i 1 i 1
作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量—— ex external - 外面的,外部的 质点系动量定理 F F F F
v1 3.17 10 3 m s 1
x x'
ss_cuixj@
•
质量M=1.5kg的物体，用长为l=1.25m的细绳悬挂在天花板上，有一个质量 3.2 二、2 m=10g的子弹以500m/s的水平速度射穿物体，穿出物体时子弹的速度大小为 30m/s，设穿透时间极短。求子弹刚穿出绳中的张力的大小；子弹穿透过程 中所受的冲量。
4.3 动量守恒定律 质点系动量定理
质点系动量定理和质心运动定理.pptx
由上式所确定的空间点称质点系的质量中心(质心).
在直角坐标系质心坐标为
xc
mi xi m
yc
mi yi m
zc
mi zi m
对由两个质点组成的质点系，有
xc
m1x1m2x2 m1m2
yc
m1y1m2y2 m1m2
第10页/共19页
x2 xc m1 xc x1 m2
y2 yc m1 yc y1 m2
质心必位于m1与m2的连线上，且质心与各质点距离与质点质量 成反比.
第11页/共19页
[例题3] 一质点系包括三质点，质量为
m2 2单和位
m3
3，单 位置位坐标各为
求质心坐标.
m 1 ( 1 , 2 )m ,2 ( 1 ,1 ) 和 m 3 ( 1 ,2 )
m1 1单位
[解] 质心坐标
xc
m1x1m2x2m3x3 m1m2m3
d p vd tS v
由动量定理
dp vS vF
dt
F表示留在燃烧室内的燃烧物质对排出物质的作用力
Fx Sv2
向下
火箭所受推力，也等于
Sv 2
向上
第5页/共19页
[内例有题质2]量如为图表m0示的传煤送卸带出以，水传平送速带度顶部与将车煤厢卸底入板静v0高止度车差厢为内h。，每开单始位时时车间
第8页/共19页
§3.7.2 质心运动定理
1.质心
质点系动量定理
而
vi
dri dt
i F i d dt(
mivi)
有
i i
F i ddt22(
miri)
F i md dt22(
m iri) m
质点系和动量
R dl
Oc
x
➢ 质心不一定位于物体内部。
对于质量均匀分布半圆，半径为R, 质量为 m, 求质心
rC
1 m
rdm
1 m
r dS
y
xC 0
yC ?
dS
x
m
1 R2
x
2
以y为自变量 dS 2 x dy 2 R2 y2 dy
1 R m
yC
m
0
y
[例4-6] 三棱体 C、滑块 A、B，
各面均光滑。已知mC=4mA=16mB ,
=300，=600。求A下降 h=10cm
§4.2 质心 质心运动定理
质点 1. 物体的大小、形状可忽略时
2. 运动过程中，物体各部分运动相同
一、质心
c
c c
质心是与质量分布有关的一个代表点，它的位置在 平均意义上代表着质量分布的中心。
设由n个质点组成的质点系, m1 、m2、m3…、mi 分别是各质点的质量, r1、r2、
…、ri分别是各质点的位置矢量, 则
0
x方向： fdt Mv m(v u cos ) — (1) 0
y方向： (N Mg mg)dt musin — (2) 0
θ
讨论： 1. 若炮车与地面没有摩擦 2. 若炮车与地面有摩擦，但水平发射炮弹 3. 自锁现象，即 v=0 时，炮身不动
END
1 2
R
2
2
R2
y
2
dy
4
R2
R
y
0
R2 y2 dy
1 R m
yC m
dy2 2 ydy
质点系的动量定理 动量守恒定律
t t0
f21
m2 v20 → v2 F2
考虑质点组成的系统 两式求和： 两式求和：
§2.质点系的动量定理 / 一、质点系的动量定理 质点系的动量定理
∫ ( ∑ Fi外 + ∑ fi内 )dt = ∑ mivi ∑ mivi 0
t t0
f12与f21为一对作用力和反作用 力,
f12 = f21
∑ fi内 = 0 即系统的内力矢量合为 0。 。 令P = ∑ mivi = ∑ Pi 为系统的动量矢量合， 为系统的动量矢量合，
∫ ( ∑ Fi外 )dt = P P0 = P
t t0
质点系的动量定理： 质点系的动量定理：合外力的冲量等于质 点系动量的增量。 点系动量的增量。
§2.质点系的动量定理 / 一、质点系的动量定理 质点系的动量定理
§2.质点系的动量定理 / 二、注意几点 质点系的动量定理
如图2.13所示，一辆装矿砂的车厢以 ＝4 m/s的速率从漏斗下通过， 所示， 的速率从漏斗下通过， 例2.6 如图 所示 一辆装矿砂的车厢以v＝ 的速率从漏斗下通过 每秒落入车厢的矿砂为k＝ 每秒落入车厢的矿砂为 ＝200 kg/s，如欲使车厢保持速率不变，须施与车 ，如欲使车厢保持速率不变， 厢多大的牵引力(忽略车厢与地面的摩擦 忽略车厢与地面的摩擦). 厢多大的牵引力 忽略车厢与地面的摩擦 解 设t时刻已落入车厢的矿砂质量为m， 经过dt后又有dm＝kdt的矿砂落入车厢.取m 和dm为研究对象，则系统沿x方向的动量 定理为
第四节 质点系的动 量定理
一、质点系的动量定理 两个质点组成的质点系， 两个质点组成的质点系， 对两个质点分别应用 质点的动量定理： 质点的动量定理： t ∫t ( F1 + f12 )dt = m1v1 m1v10
f21
m2 v20 → v2 F2
考虑质点组成的系统 两式求和： 两式求和：
§2.质点系的动量定理 / 一、质点系的动量定理 质点系的动量定理
∫ ( ∑ Fi外 + ∑ fi内 )dt = ∑ mivi ∑ mivi 0
t t0
f12与f21为一对作用力和反作用 力,
f12 = f21
∑ fi内 = 0 即系统的内力矢量合为 0。 。 令P = ∑ mivi = ∑ Pi 为系统的动量矢量合， 为系统的动量矢量合，
∫ ( ∑ Fi外 )dt = P P0 = P
t t0
质点系的动量定理： 质点系的动量定理：合外力的冲量等于质 点系动量的增量。 点系动量的增量。
§2.质点系的动量定理 / 一、质点系的动量定理 质点系的动量定理
§2.质点系的动量定理 / 二、注意几点 质点系的动量定理
如图2.13所示，一辆装矿砂的车厢以 ＝4 m/s的速率从漏斗下通过， 所示， 的速率从漏斗下通过， 例2.6 如图 所示 一辆装矿砂的车厢以v＝ 的速率从漏斗下通过 每秒落入车厢的矿砂为k＝ 每秒落入车厢的矿砂为 ＝200 kg/s，如欲使车厢保持速率不变，须施与车 ，如欲使车厢保持速率不变， 厢多大的牵引力(忽略车厢与地面的摩擦 忽略车厢与地面的摩擦). 厢多大的牵引力 忽略车厢与地面的摩擦 解 设t时刻已落入车厢的矿砂质量为m， 经过dt后又有dm＝kdt的矿砂落入车厢.取m 和dm为研究对象，则系统沿x方向的动量 定理为
第四节 质点系的动 量定理
一、质点系的动量定理 两个质点组成的质点系， 两个质点组成的质点系， 对两个质点分别应用 质点的动量定理： 质点的动量定理： t ∫t ( F1 + f12 )dt = m1v1 m1v10
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1 M
n
m x
i 1 i
n
n
i
三维的情形：
xcom 1 M
m x
i 1 i
n
i
ycom
m y
i 1 i
i
zcom
1 M
m z
i 1
i i
用位置矢量
ri xi i yi j zi k
来表示质心：
c
质心的位矢：
rcom xcomi ycom j zcomk
Fx Ma com,x Fy Ma com, y Fz Ma com,z
F Ma com
质心运动定律：作用在系统上的合外力等于系 统的总质量与系统质心加速度的乘积。 它与牛顿第二定律在形式上完全相同，相当于系 统的质量全部集中于系统的质心，在合外力的作用 下，质心以加速度 ac 运动。合外力等效于作用在质 心上。
mi ri
i 1 n
1 rcom M
rc
连续实体的质心位置 将质点换成质量元dm，下面的累加
m x 变为积分形式
xcom
i 1 i
1 M
n
i
ycom
1 M
m y
i 1 i
n
i
zcom
1 M
m z
i 1
n
i i
xcom
1 M
xdm
ycom
1 M
mi ri
i 1
n
c
M
rc
mi vi
i 1 n
M
n
质心加速度ac
ac
mi ai
i 1
M
将牛顿第二定律应用于质点系，可以得到：
F Ma com
总质量； a 是系统质心的加速度。 com
写成x, y, z 三个分量的形式：
上式中 是作用在系统上的所有外力； M 是系统的 F
x
m1 * 3l / 2 m2 * 0 m3 * 0 yc m1＋m2＋m３
例题1
计算质心位置 Ｏ
Ｘ
１）杆长为L，线密度为 ＝ｃｘ，ｘ为离杆一端的 距离，ｃ为常量，求杆质 心坐标。（xc=2/3L） 2) 均质圆环的质心
３) 半圆环的质心，线密度为 Ｒ
4) 均质圆盘的质心
5) 半圆盘的质心，面密度为
y
例如： m1
l l
m1=m2=m3=m
m1 * 0 m2 * ( l / 2) m3 * (l / 2) xc ＝０ 3m m1 * 3l / 2 m2 * 0 m3 * 0 x yc ＝ 3l / 6 3m
m2
m3
l
y m1 l
m1 m2m3
l
m2
m3
l
m1 * 0 m2 * ( l / 2) m3 * (l / 2) xc ０ m1＋m2＋m３
一、质心
一个特殊的点
上述物体的运动是一个平动和转动的合成。
转动和平动的合成
上述二个例子中，物体上总有一点的运动是 纯平动，这个特殊的点是物体的质心。
物体的运动，可以看做 物体质心的运动 ＋物体相对质心的运动。
什么是质心(Center of mass)？ 物质系统按质量分布的加权平均中心。 引入质心后，物体或物体系的运动相当于所有质量 都集中在质心，所有外力都作用于质心时的运动。 如何确定质心位置（坐标）？
Ｒ
例2 很薄的条状材料被弯曲成半径为 R 的半圆，
求其质心。
解：带子是沿着y轴对称的， 因此有：
ycm
y
xc 0
1 ydm M
0
一个小质量元dm可表示为
y cm
dm
x
M dm dl Rd R
ycm
y R sin
1 1 M R 2R ydm R sin d sin d 0.637 R M M0 0
例3 一个半径为2R圆金属盘，其中一个半径为R的圆 盘已经被移掉了。 y 求：金属盘的质心 (x) 。 解：由于圆盘绕 x 轴对称，质 心一定在 x 轴上。如果园孔被 半径为 R 的相同金属填满，合 成金属盘的质心在坐标轴的原 点上。
R
D
C x
x
mD xD mx xx xc 0 mD mx
Ma com F 1 F2 F 3 Fn F 合
Fi mi a i , i 1,2,3,...n
momentum的定义： p m
三、线动量 (Linear momentum)
单位：kg· m/s
即：物体的质量与速度的乘积叫做物体的动量 •动量是矢量，大小为 mv，方向就是速度的方向； •表征了物体的运动状态, 是个瞬时量。 质点系的线动量 对于质点系，系统的总动量定义为各个质点的动量 之矢量和： P p1 p2 p3 pn
两个质点系统的质心 m1和m2的位置分别为x1和x2，质心位置的定义为：
xcom m1 x1 m2 x2 m1 x1 m2 x2 ＝ m1 m2 M
M = m1+m2 ---系统的总质量
推广到n个质点的情形：
xcom m1 x1 m2 x2＋ ＋mn xn 1 ＝ m1 m2 ＋mn M
ydm
zcom
1 M
zdm对ຫໍສະໝຸດ 积为V的均匀物体，密度为 ρ = dm/dV = M/V，即dm = (M/V)dV，于是
xcom 1 V
xdV
ycom
1 V
ydV
zcom
1 V
zdV
1)坐标系的选择不同，质心的坐标也不同；但质心相对位置与坐 标系选择无关； 2)对于密度均匀，形状对称的物体，其质心在物体的几何中心处 3)质心不一定在物体上。
?
完整大圆盘的质心
mD R 2 1 x x ( ) xD ( R) R 2 2 mx 3 (2R) R
二、质点系的牛顿第二定律(质心运动定律)
质心位置rc 质心速度Vc
dri mi drc dt vc＝ i 1 dt M
n
rc
公式
F M的证明： a com
com
对n个质点的系统，根据前面有： r
1 M
m i ri
i 1
n
Mrcom m1 r1 m 2 r2 m3 r3 m n rn
将上式对 t 求二次导数，得到 Ma com m1a 1 m 2 a 2 m3a 3 m n a n 各质点上所受的力为：
n
m x
i 1 i
n
n
i
三维的情形：
xcom 1 M
m x
i 1 i
n
i
ycom
m y
i 1 i
i
zcom
1 M
m z
i 1
i i
用位置矢量
ri xi i yi j zi k
来表示质心：
c
质心的位矢：
rcom xcomi ycom j zcomk
Fx Ma com,x Fy Ma com, y Fz Ma com,z
F Ma com
质心运动定律：作用在系统上的合外力等于系 统的总质量与系统质心加速度的乘积。 它与牛顿第二定律在形式上完全相同，相当于系 统的质量全部集中于系统的质心，在合外力的作用 下，质心以加速度 ac 运动。合外力等效于作用在质 心上。
mi ri
i 1 n
1 rcom M
rc
连续实体的质心位置 将质点换成质量元dm，下面的累加
m x 变为积分形式
xcom
i 1 i
1 M
n
i
ycom
1 M
m y
i 1 i
n
i
zcom
1 M
m z
i 1
n
i i
xcom
1 M
xdm
ycom
1 M
mi ri
i 1
n
c
M
rc
mi vi
i 1 n
M
n
质心加速度ac
ac
mi ai
i 1
M
将牛顿第二定律应用于质点系，可以得到：
F Ma com
总质量； a 是系统质心的加速度。 com
写成x, y, z 三个分量的形式：
上式中 是作用在系统上的所有外力； M 是系统的 F
x
m1 * 3l / 2 m2 * 0 m3 * 0 yc m1＋m2＋m３
例题1
计算质心位置 Ｏ
Ｘ
１）杆长为L，线密度为 ＝ｃｘ，ｘ为离杆一端的 距离，ｃ为常量，求杆质 心坐标。（xc=2/3L） 2) 均质圆环的质心
３) 半圆环的质心，线密度为 Ｒ
4) 均质圆盘的质心
5) 半圆盘的质心，面密度为
y
例如： m1
l l
m1=m2=m3=m
m1 * 0 m2 * ( l / 2) m3 * (l / 2) xc ＝０ 3m m1 * 3l / 2 m2 * 0 m3 * 0 x yc ＝ 3l / 6 3m
m2
m3
l
y m1 l
m1 m2m3
l
m2
m3
l
m1 * 0 m2 * ( l / 2) m3 * (l / 2) xc ０ m1＋m2＋m３
一、质心
一个特殊的点
上述物体的运动是一个平动和转动的合成。
转动和平动的合成
上述二个例子中，物体上总有一点的运动是 纯平动，这个特殊的点是物体的质心。
物体的运动，可以看做 物体质心的运动 ＋物体相对质心的运动。
什么是质心(Center of mass)？ 物质系统按质量分布的加权平均中心。 引入质心后，物体或物体系的运动相当于所有质量 都集中在质心，所有外力都作用于质心时的运动。 如何确定质心位置（坐标）？
Ｒ
例2 很薄的条状材料被弯曲成半径为 R 的半圆，
求其质心。
解：带子是沿着y轴对称的， 因此有：
ycm
y
xc 0
1 ydm M
0
一个小质量元dm可表示为
y cm
dm
x
M dm dl Rd R
ycm
y R sin
1 1 M R 2R ydm R sin d sin d 0.637 R M M0 0
例3 一个半径为2R圆金属盘，其中一个半径为R的圆 盘已经被移掉了。 y 求：金属盘的质心 (x) 。 解：由于圆盘绕 x 轴对称，质 心一定在 x 轴上。如果园孔被 半径为 R 的相同金属填满，合 成金属盘的质心在坐标轴的原 点上。
R
D
C x
x
mD xD mx xx xc 0 mD mx
Ma com F 1 F2 F 3 Fn F 合
Fi mi a i , i 1,2,3,...n
momentum的定义： p m
三、线动量 (Linear momentum)
单位：kg· m/s
即：物体的质量与速度的乘积叫做物体的动量 •动量是矢量，大小为 mv，方向就是速度的方向； •表征了物体的运动状态, 是个瞬时量。 质点系的线动量 对于质点系，系统的总动量定义为各个质点的动量 之矢量和： P p1 p2 p3 pn
两个质点系统的质心 m1和m2的位置分别为x1和x2，质心位置的定义为：
xcom m1 x1 m2 x2 m1 x1 m2 x2 ＝ m1 m2 M
M = m1+m2 ---系统的总质量
推广到n个质点的情形：
xcom m1 x1 m2 x2＋ ＋mn xn 1 ＝ m1 m2 ＋mn M
ydm
zcom
1 M
zdm对ຫໍສະໝຸດ 积为V的均匀物体，密度为 ρ = dm/dV = M/V，即dm = (M/V)dV，于是
xcom 1 V
xdV
ycom
1 V
ydV
zcom
1 V
zdV
1)坐标系的选择不同，质心的坐标也不同；但质心相对位置与坐 标系选择无关； 2)对于密度均匀，形状对称的物体，其质心在物体的几何中心处 3)质心不一定在物体上。
?
完整大圆盘的质心
mD R 2 1 x x ( ) xD ( R) R 2 2 mx 3 (2R) R
二、质点系的牛顿第二定律(质心运动定律)
质心位置rc 质心速度Vc
dri mi drc dt vc＝ i 1 dt M
n
rc
公式
F M的证明： a com
com
对n个质点的系统，根据前面有： r
1 M
m i ri
i 1
n
Mrcom m1 r1 m 2 r2 m3 r3 m n rn
将上式对 t 求二次导数，得到 Ma com m1a 1 m 2 a 2 m3a 3 m n a n 各质点上所受的力为：