§4.3 费米能级与载流子浓度的计算
§4.3 费米能级与载流子浓度的计算解析
同理可写出，p型半导体中当ni<<(NA- ND)时，载流子 浓度p和n为：
ni2 n N A ND
pN A N D
由于n型半导体与p型半导体电子的浓度分别为
n ni e
p ni e
( EF EFi ) / k BT
( EFi EF ) / k BT
因此费米能级为
3
(2)．掺杂半导体 为明确起见，考虑n型半导体，施主浓度为ND。在室 温，我们可以认为杂质全部电离， ND+≈ND 。由电中 性条件得 n = p + ND+≈p + ND 结合（2）式消去n得 p(p + ND)=ni2 解得
1 2 p ( N D N D 4ni2 ) 2
（3）
p>0，上式中应取正号。代入（3）式得
故 即
(2)
( EC EV ) k BT
n N C NV e
2 i
ni ( N C NV ) e
1/ 2
E g 2 k BT
式中Eg=EC-EV 为禁带宽度。上式中ni对温 度的依赖关系主要取决于指数因子，从而 得到随着温度上升，本征载流子浓度将急 剧增加的结论。这里顺便指出，(2)式不仅 适用于本征半导体，事实上，只要是非简 并化的情形，即使存在杂质，(2)式仍然成 立，这是标志热平衡条件的一个重要的关 系式。
例题
• 设n型硅，掺施主浓 度 ， 试分别计算温度在300K和500K时 电子和空穴的浓度和费米能级的位 置。设温度在300K和500K时的本 征载流子浓度分别为 n 1.5 10 cm 14 3 n 2 . 6 10 cm 和 i 。
N D 1.5 1014 cm 3
§4.3 费米能级与载流子浓度的计算解析
n E F E Fi k B T ln ni p E F E Fi k B T ln ni
（4）
式中常用禁带中央能级来近似。所以杂质半导体的费 米能级可近似为 ND N A EF Ei k BT ln N型半导体 ni P型半导体
N A ND EF Ei k BT ln ni
同理可写出，p型半导体中当ni<<(NA- ND)时，载流子 浓度p和n为：
ni2 n N A ND
pN A N D
由于n型半导体与p型半导体电子的浓度分别为
n ni e
p ni e
( EF EFi ) / k BT
( EFi EF ) / k BT
因此费米能级为
故 即
(2)
( EC EV ) k BT
n N C NV e
2 i
ni ( N C NV ) e
1/ 2
E g 2 k BT
式中Eg=EC-EV 为禁带宽度。上式中ni对温 度的依赖关系主要取决于指数因子，从而 得到随着温度上升，本征载流子浓度将急 剧增加的结论。这里顺便指出，(2)式不仅 适用于本征半导体，事实上，只要是非简 并化的情形，即使存在杂质，(2)式仍然成 立，这是标志热平衡条件的一个重要的关 系式。
(2)．掺杂半导体 为明确起见，考虑n型半导体，施主浓度为ND。在室 温，我们可以认为杂质全部电离， ND+≈ND 。由电中 性条件得 n = p + ND+≈p + ND 结合（2）式消去n得 p(p + ND)=ni2 解得
1 2 p ( N D N D 4ni2 ) 2
（3）
p>0，上式中应取正号。代入（3）式得
费米能与有效质量载流子浓度
费米能与有效质量载流子浓度费米能和有效质量是固体物理学中重要的概念，与材料的电子性质密切相关。
费米能是在零温下，当电子填满所有能级直至费米能级时的能量，而有效质量则描述了载流子在固体中运动的性质。
下面将详细介绍费米能和有效质量的定义、性质以及它们之间的关系。
一、费米能的定义和性质：1.费米能的定义：费米能（Fermi Energy）是指在零温下，当一定数量的电子填满所有能级直至费米能级时的能量。
费米能级是指在固体中，所有具有最高能量的未被占据的能级，其上方的能级都是被占据的，其下方的能级都是未被占据的。
费米能通常用符号Ef表示。
2.费米能的性质：-费米能是由材料的电子结构决定的，与材料的晶体结构、原子组成和价带结构等有关。
-费米能是一个能量，通常用电子伏特（eV）来表示。
不同材料的费米能可以不同，因此费米能是描述材料电子分布特性的一个重要参数。
-在费米能以下（E < Ef）的能级上的电子几乎被占据，而在费米能以上（E > Ef）的能级上的电子几乎没有被占据。
-零温下，费米能是一个特殊的能级，它分割了占据态电子和非占据态电子的能级，费米能以下的电子为低能态电子，可以参与导电；费米能以上的电子为高能态电子，不参与导电。
-费米能的大小与材料的导电性质有关。
对于导电材料来说，费米能较高；对于绝缘材料来说，费米能较低。
二、有效质量的定义和性质：1.有效质量的定义：有效质量（Effective Mass）是用来描述载流子在固体中运动时所表现出的质量。
有效质量与自由电子的真实质量不同，它是一种有关于能带结构的概念，描述了载流子在能带中的运动性质。
有效质量一般用符号m*表示。
2.有效质量的性质：-有效质量是相对于自由电子质量的一种参量。
自由电子的质量是电子在真空中的运动情况，而有效质量是电子在晶体中受到晶格作用后的运动情况。
-有效质量通常是能带结构的导数，即与能量的二阶导数相关。
它可以通过对能带图进行微分得到。
半导体物理学
E
= EF
则 则 则
1 f(E) = 2
1 f (E) > 2 1 f (E) < 2
EF
A B C D 0 1/ 2 1 f (E )
E < EF
E > EF
随着温度升高，E>EF的量子态被占据的几率 增大；而E<EF的量子态为空的几率也增大。
A, B,C,D 对 应 0 ，3 0 0 ，1 0 0 0 ，1 5 0 0 k
EF是描述热平衡状态下电子系统性质的一个参考量，称为 费米能级
一、费米分布函数和费米能级
如果将半导体中大量电子的集体看成是一个热力学系统，由统计 就是这个热力学系统的化学势，即 理论可以证明，费米能级 理论可以证明，费米能级就是这个热力学系统的化学势，即
∂F EF = µ = ( )T ∂N
� 处于热平衡状态的电子系统具有统一的EF � 只要知道了EF，在一定温度下，电子在各量子态上的统计分布 也就完全确定了。
GaAs 4.35x1017 7.57x1018
注意有效状态密度与温度相关：
T 32 N C (T ) = N C (300 K )( ) 300
一、能带中的载流子浓度
�有效状态密度与温度有关：
NC ∝ T
3
2
Nv ∝ T
3
2
]假设费米能级 EF位于高于价带顶 0.27eV 处， Si 在T=300K 时， [例题 例题] 假设费米能级E 位于高于价带顶0.27eV 0.27eV处， 处，Si Si在 T=300K时，
价带顶在k=0，而且重空穴带 (mp)h和轻空穴带 (mp)l在布里渊区 近似为球面 。 的中心处重合。它们的等能面可以 的中心处重合。它们的等能面可以近似为球面 近似为球面。 价带顶附近的状态密度:
3.2 费米能级和载流子的浓度统计分布(雨课堂课件)
EF 的位置比较直观地标志了电子占据量子态的情况，标志了
电子填充能级的水平。费米能级位置较高，说明有较多的能量较
高的量子态上有电子。
热平衡，孤立系
统，近独立粒子
2、波耳兹曼(Boltzmann)分布函数
(1) 电子服从的Boltzmann分布
1
1.8%
当E-EF=4 k0T 时，f E
4
1 e
fB (E) e
E EF
k0T
f B E e4 1.83%
1
5
f
E
4.53978
10
当E-EF=10 k0T时，
1 e10
f B E e10 4.53999 105
§ 3.2 费米能级和载流子的统计分布
Fermi level and statistical distribution of carriers
知识回顾与问题提出：
第一节给出导带底和价带顶附近的状态密度，即单位能量间隔中的量子态数。
2m
dz
gc ( E )
4 V
dE
h3
* 3/ 2
n
k0T
(2) 空穴服从的Boltzmann分布
1 f (E)
EF E k0T
1
E E
1 exp F
k
T
0
1 f ( E) e
E EF
k0T
空穴服从的
Boltzmann分布
➢上式表明，当E << EF 时，空穴占据能量为E的量子态几率很
半导体物理_第四章
其中NC称为导带的有效态密度函数，若取mn*=m0， 则当T=300K时， NC=2.5E19cm-3，对于大多数半导 体材料来说，室温下NC确实是在1019cm-3的数量级。
其中NV称为价带的有效态密度函数，若取mp*=m0，则 当T=300K时， NV=2.5E19cm-3，对于大多数半导体 材料来说，室温下NV确实是在1019cm-3的数量级。 热平衡状态下电子和空穴的浓度直接取决于导带和 价带的有效态密度以及费米能级的位置。
为了求解热平衡状态下的载流子浓度，首先必须确 定费米能级EF的位置。对于本征半导体材料（即纯净 的半导体材料，既没有掺杂，也没有晶格缺陷）来说， 在绝对零度条件下，所有价带中的能态都已填充电子， 所有导带中的能态都是空的，费米能级EF一定位于导 带底EC和价带顶EV之间的某个位置。 当温度高于绝对零度时，价带中的部分电子将获得 足够的热运动能量，进而跃迁到导带中，产生一个导 带电子，同时也产生一个价带空穴。也就是说电子－ 空穴成对出现，因而费米能级的位置几乎不变。
参见右图所示，当 半导体材料中掺入 施主杂质后，导带 中的电子浓度将大 于价带中的空穴浓 度，半导体材料成 为N型材料，其费 米能级的位置也将 由禁带中心附近向 导带底部上移。
而当半导体材料 中掺入受主杂质 后，价带中的空 穴浓度将大于导 带中的电子浓度， 半导体材料则变 成P型材料，其费 米能级的位置也 将由禁带中心附 近向价带顶部下 移，如右图所示。
右图给出了几种常见半导体材 料的本征载流子浓度与温度之间的 变化关系。 根据上式计算出的室温下硅材 料本征载流子浓度为 ni=6.95E9cm-3，这与实测的本征 载流子浓度为ni=1.5E10cm-3有很 大偏离，原因在于：电子和空穴的 有效质量通常是在低温下利用回旋 共振实验方法测得的，室温下会有 一定的偏差；态密度函数是利用三 维无限深势阱模型得到的，这也与 实际情况有一定偏离。
半导体载流子浓度计算公式(二)
半导体载流子浓度计算公式(二)半导体载流子浓度计算公式前言半导体载流子浓度是指在半导体材料中的电子（n型半导体）或空穴（p型半导体）的浓度。
准确计算半导体载流子浓度对于电子学领域的研究和应用至关重要。
本文将介绍几个常用的半导体载流子浓度计算公式，并给出相关的例子说明。
1. 等效载流子浓度（Intrinsic Carrier Concentration）等效载流子浓度是指在杂质和外加电场都不影响半导体材料时的载流子浓度。
根据经验公式，等效载流子浓度的计算公式如下：[](其中，[](例子：假设某半导体材料的禁带宽度为，在室温下（300K），计算等效载流子浓度。
根据上述公式，代入相应的数值计算可得： []( 2. n型半导体载流子浓度（Electron Concentration in n-type Semiconductor）n型半导体载流子浓度是指在n型半导体中电子的浓度。
根据斯文特方程，n型半导体载流子浓度的计算公式如下：[](其中，[](例子：假设某n型半导体的等效载流子浓度为1e10/cm^3，在室温下（300K），费米能级与内禀能级的差为，计算n型半导体载流子浓度。
根据上述公式，代入相应的数值计算可得： [](3. p型半导体载流子浓度（Hole Concentration in p-type Semiconductor）p型半导体载流子浓度是指在p型半导体中空穴的浓度。
根据斯文特方程，p型半导体载流子浓度的计算公式如下：[](其中，[](例子：假设某p型半导体的等效载流子浓度为5e12/cm^3，在室温下（300K），费米能级与内禀能级的差为，计算p型半导体载流子浓度。
根据上述公式，代入相应的数值计算可得： [](总结本文介绍了常用的半导体载流子浓度计算公式，并通过例子进行了解释说明。
这些公式在半导体材料的研究和应用中具有重要的意义，帮助我们准确计算半导体中电子和空穴的浓度，为电子学领域的发展做出贡献。
3.2 半导体中的载流子浓度与费米能级—3.杂质补偿半导体
3.2 半导体的载流子浓度与费米能级+-+=+DAnp p n 00电中性方程应为：(1)低温区杂质补偿的n 型半导体： N D >N A E A 完全被电子占据，即p A = 03. 杂质补偿半导体0=p 受主杂质对空穴没有贡献忽略本征激发AA A AN P N p =-=-DD Dn N n -=+同时，即：0+D A DN n N n =+DD A n N N n -=+00+D A DN n N n =+()()'122''c0c c 1422A A D A N N n N N N N N +⎡⎤=-+++-⎢⎥⎣⎦'c cc 01exp 2D E E N N k T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭可得到：① 温度极低，且N A 较大时0ln 2D A F D A N N E E k T N ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭T=0K 时， ；T>0K 时： a).若 ， ；b).若，E F 升高到E D 之上； c).若，E F 降低到在E D之下。
()()'c c 00exp 2D A D A D AAN N N N N N E n N N k T --⎛⎫∆==-⎪⎝⎭A A D N N N 2=-A A D N N N 2>-A A D N N N 2<-D F E E =D F E E =12'c 0c0exp 22D D D N N E n N N k T ⎛⎫∆⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭c 0c ln 222D D F E E k T N E N ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭② 温度很低，且N A 较小时此时的情况和只有施主杂质时相似。
（2）强电离区0D An N N =-Ø此时导带电子浓度取决于两种杂质浓度之差，与温度无关。
0+D A DN n N n =+0Dn =施主杂质全部电离c 0c ln D A F N N E E k T N ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭0ln D A F i i N N E E k T n ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭（3）过渡区()()22042D A D A iN N N N n n -+-+=电中性方程：DA N p N n +=+00200inp n =同时：00exp F ii E E n n k T⎛⎫-=⎪⎝⎭将代入()122204ln 22D A i D A F i i iN N n N N E E k T n n ⎧⎫⎡⎤-+-⎪⎪⎣⎦=++⎨⎬⎪⎪⎩⎭4. 关系对比()c 00exp 2D A D AN N N E n N k T -⎛⎫∆=-⎪⎝⎭12c 00exp 22D D N N E n k T ⎛⎫∆⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0D An N N =-0Dn N =只有施主的n 型半导体杂质补偿的n 型半导体低温区()()22042D A D A iN N N N nn -+-+=强电离区过渡区12c 00exp 22D D N N E n k T ⎛⎫∆⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22042D D iN N n n ++=Ø受主杂质减少了施主浓度，起补偿作用；c 0c ln 222D D F E E k T N E N ⎛⎫+⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0lnDF i iN E E k T n =+0ln D A F i i N NE E k T n ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭只有施主的n 型半导体杂质补偿的n 型半导体低温区强电离区c 0c ln 222D D F E E k T N E N ⎛⎫+⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0ln 2D A F D A N N E E k T N ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭过渡区0arsh 2D F i i N E E k T n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0arsh 2D A F i i N N E E k T n ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭Ø无杂质补偿半导体的费米能级从 开始；杂质补偿半导体的费米能级从E D开始。
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费米能级与掺杂能级的关系
f (ED )
1
ED EF
1 e kBT
1
2
电子占据施主能级 上的概率
1
f (EA)
EA EF
1 e kBT
1
2
空穴占据受主 能级上的概率
结论
（1）n型半导体的费米能级在本征费米能级 之上；
（2）而p型半导体的费米能级在本征费米能 级之下。
（3）费米能级与温度有关，当温度很高时， 载流子主要来源于本征激发，此时费米能 级与本征费米能级很接近，都在能带中央 附近。
p ni e (EFi EF ) / kBT
因此费米能级为
EF
EFi
k BT ln
n ni
p EF EFi k BT ln ni
（4）
式中常用禁带中央能级来近似。所以杂质半导体的费 米能级可近似为
N型半导体
EF
Ei
kBT ln
ND NA ni
P型半导体
EF
Ei
kBT ln
NA ND ni
§4.3 费米能级与载流子浓度的计算
只要知道了费密能级EF ，原则上就可知道给定半导体 的载流子浓度。下面我们讨论如何决定半导体的费密能
级。为此我们假定半导体中同时存在浓度ND的施主杂质 和浓度为NA的受主杂质。根据一块均匀半导体在空间任 何地方均应保持电中性的原理，应有
n +NAf(EA)=p+ND[1-f(ED)]
为明确起见，考虑n型半导体，施主浓度为ND。在室 温，我们可以认为杂质全部电离，ND+≈ND。由电中 性条件得
n = p + ND+≈p + ND 结合（2）式消去n得
解得
p(p + ND)=ni2
p
1 2
(N D
N
2 D
4ni2
)
（3）
p>0，上式中应取正号。代入（3）式得
n
1 2
(ND
N
2 D
例题
• 设n型硅，掺施主浓 ， 度 ND 1.51014cm3
试分别计算温度在300K和500K时
电子和空穴的浓度和费米能级的位
置。设温度在300K和500K时的本
征载流子浓度分别为 和 。 ni 2.61014 cm3
ni 1.51010 cm3
4ni2
)
通常本征载流子浓度数值较小，满足，此时n≈ND。
若n型半导体中同时掺有受主杂质，并设ND >>NA。如 前所述，一部分数量为NA的施主能级上的电子，从ED 跃迁至能量较低的受主能级EA，使施主及受主同时电 离，剩下浓度为ND-NA的电子则由热激发跃迁至导带， 成为载流子。上式改写成
n
1 2 {(ND
(1)．本征半导体
此时(1)式成为 n =p ，即
N e N e (EC EF ) kBT C
( EF EV ) k BT V
由此可解得本征费米能级EF(改记为EFi)
E Fi
EC
EV 2
1 2 k BT ln
NV NC
令
Ei
1 2
(
EC
EV )
代表禁带中央能量，得
EFi
Ei
1 2
kBT
ln( mh me
式中Eg=EC-EV 为禁带宽度。上式中ni对温 度的依赖关系主要取决于指数因子，从而 得到随着温度上升，本征载流子浓度将急 剧增加的结论。这里顺便指出，(2)式不仅 适用于本征半导体，事实上，只要是非简 并化的情形，即使存在杂质，(2)式仍然成 立，这是标志热平衡条件的一个重要的关 系式。
(2)．掺杂半导体
(1)
式中n为导带电子浓度，NAf(EA)为受主能级EA 上的电子 浓度，由于受主能级为电子占据时受主是荷负电的，上
式左边即为单位体积的半导体中的负电荷。至于上式右
边，p为价带空穴浓度；NDf(ED)为施主能级上的电子浓 度，故ND[1-f(ED)] 为电离施主浓度，因而方程右边为正 电荷浓度。
下面我们就几种具体情形作近似讨论。
)3/ 2
一般mk和me具有相同的数量级，故常可将上式右边第 二项略去。即对本征半导体有
EFi≈Ei
上式表明，本征半导体的费密能级接近禁带中央。此时 我们可直接由n = p = ni, 得
ni2 = np
C EV ) kBT
i
CV
即
ni (NC NV )1/ 2 eEg 2kBT
NA)
[(ND
NA)2
4ni2 ]1/ 2}
当 ND NA ni 时，上式近似为 n ND NA
同理可写出，p型半导体中当ni<<(NA- ND)时，载流子 浓度p和n为：
pN A N D n ni2
N A N D
由于n型半导体与p型半导体电子的浓度分别为
n ni e (EF EFi ) / kBT