膜结构的非线性分析

膜结构的非线性分析摘要：用有限元程序ANSYS 进行了薄膜结构的找形分析和荷载分析。

张拉结构受力后将产生较大的位移，因此需要采用非线性理论进行一系列计算。

分析了忽略膜面的泊松比时对结构应力的影响。

进一步研究了索预拉力与薄膜预张力之比对找形结果的影响。

AbstractMembrane structure form-finding and load analysis have been analyzed by universal software named ANASYS inthepaper. The tensile membrane structure will have a larger displacement after the stress. So it needs to use nonlinear theory to calculate the structure. This paper analyses the structure stress when Poisson's ratio of the membrane surface is neglected.In this paper ,itanalyses the form-finding resultswhen the pretension of cable and film tension ratio changed.一、绪论膜结构是一种以织物膜材和索作为主要受力构件的新型张力结构形式。

由于膜材和索本身不具有抗弯刚度，因此必须依靠施加预张力来维持结构形状、抵抗外荷载的作用，这就引出膜结构“形态”的概念。

“形”指结构的形状，“态”则指结构处于某一形状时的应力分布状态，对于膜结构在约束条件及边界条件一定的情况下，这两者是一一对应的，共称为“形态”。

形态的选择不仅关系到膜结构的美观和实用，更直接影响到结构的力学性能和安全。

二、膜结构及其形态确定理论概述1、初始形态确定分析膜结构的初始形态包含两个方面的含义：一是结构的建筑几何外形，二是合理的预应力分布态。

通常来说，在确定的几何边界下，不同的预应力分布对应了不同的膜曲面造型，“不同的预应力分布”包含了两层意思：在同一个膜面上预应力分布的大小差异，以及在相同边界下不同曲面预应力的数量差别。

传统的观点认为最优化的膜结构形态应该满足“膜面预应力处处相等”的原则，其相应的形状就是最小曲面。

不可否认，最小曲面稳定性最好，且膜面几何最光滑，但是由于膜结构对荷载作用敏感，所以所谓的最优曲面在荷载作用下必然发生较大变形，膜面的预应力分布也必将变得不再均匀，材料的利用率也将变得不再等同。

如果膜面在外部荷载作用下预应力分布趋于均匀，那这样的几何构形必然趋于最优，但是由于荷载的高度随机性，要预测这样的最优曲面是不可能的，因此所谓的膜结构最优形态只是一个相对的有条件的概念。

通过对具体膜建筑的功能分析，基于专业的思考和经验的积累，可以提出初步的膜建筑造型方案，从而定出关键点、线、面的约束条件，得到均匀的预应力分布下的最小曲面或者应力分布不均匀的平衡曲面的过程就是所谓的找形分析。

膜结构的初始形态确定问题可分为3类：（1）对应于给定边界的等应力曲面，这类膜结构的初始形态称为最小曲面。

（2）对应于初定的曲面几何的尽可能均匀的自平衡预应力系统，这样的曲面称为平衡曲面。

（3）寻找对应于给定边界的平衡非等应力曲面几何。

2、初始形态确定的步骤（1）初始几何的假定（2）初始平衡态的寻找初始几何的假定初始几何假定的目的是根据建筑师给出的有限的几个控制点或支撑边界来拟合一个最初始的几何表面，并以此作为初始形态确定分析的原始曲面。

初始几何的假定可归纳为三点：（1）确定膜结构曲面的定义域。

先构造边界线及边界点，使它们位于具有单峰或多峰的双曲面或抛物面上。

（2）选定域内若干个控制点与边界点一起构造结构曲面。

（3）对初步得到的拟合曲面的离散数据用样条函数来逼近。

平衡态分析与基本假定针对于初始假定的几何形状，引入初始预应力寻找膜结构初始形态的非线性有限元方法是离散数值法，如支座位移提升法、近似曲面逼近法、小弹性模量自平衡迭代法等。

离散数值法要求对结构进行初始离散化，基本假定如下：（1）索离散化为空间铰接两结点杆元，膜体离散化为3结点三角形平面应力单元；（2）索膜之间没有相对滑动：（3）荷载等效化为结点力；（4）索膜张拉为小应变，符合H00KE 定律；（5）膜材为正交异性弹性材料，变形前后材料主轴始终保持垂直。

3、初始形态确定的非线性有限元方法（1）支座位移提升法首先在平面定义一张轮廓线与目标几何方案的边界接近的膜片，划分有限元网格，建立结构平衡方程，引入初估预张拉应力系统，然后分段提升支座—控制点或线所获得的空间曲面和预应力即为初始形态。

此法结构几何变形很大，为强几何非线性问题。

分段的目的是为了避免迭代发散。

（2）近似曲面逼近法节点平衡法较支座位移法简便且近似效率高，但节点平衡法计算膜结构初始平衡态的结果是否收敛与给定的结构初始几何关系相当大，当所选弹的初始几何较为接近初始平衡态时，结构找形迭代计算的收敛性才能得到保证。

（3）小弹性模量曲面自平衡迭代法几何形状确定完全是静力平衡问题，与结构材料性能模量没有关系，实用计算中常常把它取得很小，为实际值的1／100一1／1000，这就是所谓的“小弹性模量法”。

采用小弹性模量法，使得初始位形向目标位形过渡过程中产生的附加应力很小，可以忽略不计，因此，最终得到的目标曲面便可以保持初始设定的预应力状态。

同时，在非线性求解过程中，小弹性模量对加强收敛也有较明显的作用。

三、 膜结构算例结构外形为正方形，对角线距离为10m ,高度为4m ，结构的材料参数为：膜面的初始预张力22/N mm σ=，张力刚度255/Et N mm =，剪切刚度800/Gt N cm =，索泊松比0.3γ=。

膜材的厚度为0.001m ，索的截面面积为20.0002m，结构4角点固定，四条边为柔性索边界，边索的初始预拉力均为30KN，4=⨯。

EA KN310结构模型1、计算假定（1）、索离散化为空间铰接2结点杆元Link10，单元的特点是只能受拉不能受压，膜体离散化为3结点三角形平面应力单元Shell41，单元的特点是具有平面内刚度,但不具备弯曲刚度的三维单元,正好符合膜单元的性质；（2）、索膜之间没有相对滑动；（3）、索膜张拉变形为小应变，符合HOOKE定律；（4）、膜材为正交异性弹性材料，变形前后材料主轴始终保持垂直；2、膜结构进行找形第一次找形应力分布自平衡迭代后的应力分布第二次自平衡迭代后的应力分布第三次自平衡迭代后的应力分布第四次自平衡迭代后的应力分布第五次自平衡迭代后的应力分布kN m，最小为通过5次自平衡迭代求解，膜面应力分布最大为1.92/kN m，两者仅仅相差3.8%，可以认为是平衡的最小曲面。

1.85/2.1 分析索预拉力与薄膜预张力比例关系对找形结果的影响对于几何给定的膜结构只要索的预拉力与膜的预张力之比给定，则膜的初始形态则确定，如果改变索预拉力与膜预张力的比值，则结构的形态也随之改变，这里我们取索的预拉力s F 单位为：N(牛顿)，取膜的预张力m T 单位为：/N cm (牛顿/厘米)，比值/s m q F T =，为了使q 取值在1的附近变化且无量纲化，令()()//1000s m q F cm T =⋅。

1/2q =2/3q =3/4q =1q =1.5q =2q =3q =6q =取30s F KN =，5/m T N cm =，10/m T N cm =，15/m T N cm =，20/m T N cm =，30/m T N cm =，40/m T N cm =，45/m T N cm =，60/m T N cm =，为参数进行研究。

从以上图中可以看出随索与膜的预张力比值的变化,找形形态是不同的， 而当这种比值确定后形态也为之确定，这样我们可以通过调整比值得到我们 想要得到的形态。

由上图可以看出，当2/33/2q ≤≤时，马鞍膜结构显得轻巧而富有张力感。

受力也比较均匀，形态更为合理。

四、膜结构静力荷载非线性分析经初始形态分析，确定了结构几何及其相应的预应力分布及预应力数值后，就可以进行结构的荷载分析，以确定其是否满足抵抗极限荷载和使用性的要求。

膜结构在荷载作用下的变形是比较大的，因此常用的小变形理论不适合于膜结构的分析，分析中必须考虑非线性的影响，即几何非线性和材料非线性，但在实际应用中，膜中应力的变化范围不是很宽，应力仍低于材料的弹性极限，因此可以认为应力应变关系仍处于线性阶段，材料的非线性不予考虑。

膜结构有限元分析与其他结构有限元分析的区别（1）由于膜材高度的非线性，采用稠密网格划分的低精度单元比采用稀疏网格划分的高精度单元进行有限元分析具有更高的精度：（2）结构具有特定的非线性方程组迭代收敛条件和判断准则．并要对松弛和褶皱区进行判断和处理。

单元松弛和褶皱可通过主应力值判断：设单元的主应力。

12σσ>，则，（1）20σ>，单元正常工作；（2）10σ<，单元退出工作；（3）10σ>，20σ<，单元为单向受拉，此时，应以转换的应力和刚度代入方程重新迭代。

膜结构荷载分析的理论薄膜结构的力学分析采用与一般刚性结构的力学分析相同的步骤进行。

所不同的是必须考虑几何非线性的影响，参考一般的非线性有限元理论推导可得： [][]()(){}{}{}()(1)()t t n t t n t t n t t n L S R K K U f f ++∆+∆++∆+⨯∆=- 上式中： [][]()()()T n n n L L L v K B D B dV ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰为线性刚度矩阵； [][]()()()T n n n S NLNL v K B B dV σ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰为非线性刚度矩阵； {}[]()()()n n n R L v f B dV σ⎡⎤=⎣⎦⎰⎰⎰为节点不平衡力；()(),n n L NL B B ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦分别为线性、非线性应变位移关系矩阵，[]()n σ为应力矩阵，均以上一个已完成时间步的位形为参考位形。

1、算例：荷载分析结构模型采用前面找形确定的最终结构形态为计算模型，对比膜材的泊松比分别为10.3μ=和10μ=时，结构的应力。

每个节点施加的力的大小为108Fz N =。

10.3μ=第一主应力10μ=第一主应力10.3μ=第二主应力10μ=第二主应力10.3μ=第三主应力10μ=第三主应力由上述结果可看出，如不考虑膜材泊松比，则计算得到的膜的第一主应力、第二主应力将偏小，第三主应力偏小，因而为了对结构受荷后力学性能进行准确的评估，应考虑膜材泊松比的影响。