方程与函数的区别

代数式:用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子,叫代数式。

函数:如果对于一个变量(比如x)在某一范围内的每一个确定的值,变量(比如y)都有唯一确定的值和它对应,那么,就把y叫做x的函数。

函数式:用解析法(公式法)表示函数的式子叫函数式。

方程:含有未知数的等式叫方程。

解析式表示因变量与自变量的关系。

联系:函数式和方程式都是由代数式组成的.没有代数式,就没有函数和方程.方程只是函数解析式在某一特定函数值的解。

方程表示特定的因变量的自变量解。

如5x+6=7这是方程；y=5x+6这是解析式。

区别:1.概念不一样.2.代数式不用等号连接.3.函数表示两个变量之间的关系.因变量(函数)随变量(自变量)的变化而变化.4.方程是含有未知数的等式.其未知数(变量)的个数不固定.未知数之间不存在自变和因变的关系. 方程重在说明几个未知数之间的在数字间的关系；方程可以通过求解得到未知数的大小；方程可以通过初等变换改变等号左右两边的方程。

方程的解是固定的，但函数无固定解值解。

式；函数只可以化简，但不可以对函数进行初等变换。

5. 函数和方程本质区别就是:方程中未知数x是一个常量（虽然方程可能有多个解），函数中x是变量，因此y也是变量，并且是由于x的变化而变化。

6.函数：重在说明某几个自变量的变化对因变量的影响；特定的自变量的值就可以决定因变量的值；就像平面解析几何里圆就是方程、区别在于函数就看他们的值是否一一对应。

就像圆的方程（x-a）^2+(y-b)^2=r^2就是方程，它们的值不是一一对应关系，所以不是函数是方程的一种，函数强调的是一一对应，及1个X值（自变量）只能有一个Y值（应变量）与之对应比如：y=x+1 它是函数， y^2=x 它不是函数，但它是方程。

7.函数和方程是数学中的两个基本概念，在许多情况下它们可以相互转化。

例如在一元函数y = f(x)用一个解析式表示并且不需要区分自变量和因变量(函数)时，这个函数式就可以看作一个二元方程；反之，能够由方程F(x, y) = 0确定的函数关系称为隐函数([4], 。

但是函数与方程是有差别的。

8. 首先,函数的自变量和因变量是一一对应的,一个X值只有一个相应的Y值与之对应,而曲线方程则不然,比如一个椭圆方程中,对于一个X值有两个Y值与之对应.像这样的曲线方程就不能成为一个函数的表达式.其次,函数表达式表示的是两个变量之间一一对应的关系,而曲线方程则借用点的集和的方式来将一个曲线以代数的形式表现出来,实质上一个曲线的表达。

二者关系可以通过例子来看：x^2+x-1=0相当于函数y=x^2+x-1函数值y=0，解方程问题就转化为函数的自变量x定义域中取什么值时y=0有点像求反函数。

自然x^2+x-1=1 变成x^2+x-1=y也未尝不可，解方程转化为函数的自变量x定义域中取那个值时y=1实际上上了大学学了高等数学就知道都可以，数学是工具为人所用，怎么简单就怎么来。

但是刚开始学习函数，函数是有自己的规律法则的。

所以 x^2+x-1=1要把他转换成函数形式就要把1 移到左边即x^2+x-2=y，相当于规定都求y=0时的x，这个规定也是约定俗成的，数学中方程标准都是形式都是右边为零。

方式应该是{(x,y)|曲线方程｝按照定义，方程是含有未知数的等式，函数是两个非空数集之间的一个映射。

方程F(x, y)＝0中的x和y都是未知数，关联法则F同时作用于x 和y，交换两个未知数的位置时它们之间的关联法则通常要改变，得到的新方程与原方程一般不是同解方程(除了一些特殊情况外，以下同)。

而函数中需区分自变量和因变量，对应法则只作用于自变量；一个函数由定义域A、值域C 和对应法则f确定，与定义域和值域中的元素用什么字母表示无关。

因此y = f (x) (xÎA, yÎC)和x = f (y)(yÎA, xÎC)表示相同的函数，但它们通常不是同解的方程；y = f(x) (xÎA, yÎC)和x = f -1(y) (xÎA, yÎC)一般是不同的函数，但它们是同解的方程。

例如y ＝ 2x (x 为自变量)x ＝ 2y (y为自变量)是相同的函数、不同解的方程；而y ＝ 2x (x为自变量)与 x ＝ y (y 为自变量)是不同的函数、同解的方程。

由此可知，在方程F(x, y) = 0能够确定隐函数时，那么也应该确定两个函数关系y = f(x)和x = f -1(y)，而不应当仅仅是前者。

例如方程2s- gt2 = 0( t ³ 0 )①就可以确定函数s = f(t) = gt2 ( t ³ 0 ) ②以及函数t =j(s) = ( s ³ 0 ) ③，其中g > 0是一个常数。

②与③显然是不同的函数，但作为方程它们都与①同解。

函数与方程的这种差别自然也应该反映在作图上。

作二元方程的图形时实际上是把未知数区分为第一未知数、第二未知数，用前者的值做横坐标、后者的值做纵坐标。

例如作方程①的图形时既可以用t的值、也可以用s的值做横坐标，取决于把谁看作第一未知数。

但是在作以x和y为未知数的方程的图形时，因为直角坐标系中的横轴和纵轴习惯上分别表示为X 轴和Y轴(以下简称习惯1)，所以总是用x的值做横坐标、y的值做纵坐标以免混淆。

这种作图方式事实上是默认下面的约定1 当方程中的未知数用x和y表示时就把x视为第一未知数。

依照上述作图方式，同解的方程y ＝ 2x和 x ＝ y的图形相同，不同解的方程y ＝ 2x和x ＝ 2y的图形也不同，这说明约定1是合理的。

而对作函数的图象，中学和大学的数学教材(例如 [4，§2] 和 [5，§] )中都提到了下面的约定2 在平面直角坐标系中作函数的图象，横坐标对应自变量的值，纵坐标对应函数值。

即作函数图象时，应该用自变量的值做横坐标、函数值做纵坐标，而不管它们分别用什么字母表示。

例如在作函数②的图象时应该用t的值做横坐标，作函数③的图象时应该用s的值做横坐标。

同理，在作函数x = f(y)的图象时应该用y的值做横坐标、x的值做纵坐标，而不应当依据约定1按照方程的作图方式作图。

于是在同一个直角坐标系中，把y = f (x)和x = f (y)看作函数时它们的图象是相同的，看作方程时它们的图形一般是不同的；把y = f(x) 和x = f -1(y)看作函数时它们的图象一般是不同的，而看作方程时它们的图形是相同的。

由此得出“在同一直角坐标系中，相同的函数的图象相同，不同的函数的图象也不同”这样一个顺理成章的结论，说明了约定2的合理性。

虽然同样由于习惯1，在作函数x = f (y)的图象时为了避免混淆，常常对调其中的x和y把函数式改写为y = f (x)，但是可以这样做的理由正是因为y = f (x)与x = f (y)是相同的函数，而不是把它们看作方程。

如果只注意到函数与方程的“同”而忽略了它们之间的“异”，在考察某些具体问题时就会出现失误。

例如对于反函数表达式中需要交换x和y的原因，一般都是用“习惯上，我们一般用 x 表示自变量，y 表示函数”(以下简称习惯2)来说明。

某种习惯值得遵循应当有其合理性以及必要性。

对为什么有必要遵循这个习惯，存在不同看法。

一种影响较大的观点是：由于在同一直角坐标系中， y = f(x)和x = f -1(y)的图象相同, 因此“把反函数x = f -1(y)改写成 y = f -1(x) 还有一个好处，即它们的图象关于直线y = x对称”([1]，。

这种观点也经常反映在一些习题中，例如：(1) 若函数 y = f (x) 有反函数, 则在同一坐标系中, y = f (x) 和 x = f -1(y)的图象A. 关于直线y = x对称B. 关于y轴对称C. 表示同一曲线D. 关于原点对称(2) 若函数 y = f (x) 存在反函数, 则下列命题中不正确的是A．函数y = f (x) 与函数 x = f (y)的图象关于直线y = x对称B. 若y = f (x) 是奇函数, 则 y = f -1(x) 也是奇函数C. 若y = f (x) 在其定义域 [a, b] 上是增函数, 则 y = f -1(x) 在 [a, b] 上也是增函数D. 函数y = f (x) 和 x = f -1(y)的图象重合[6]中给出(1)的答案是C，[7]中给出的(2)答案也是C。

笔者认为上述观点的缺陷在于忽略了函数与方程的差别，从而在讨论同一问题时先后使用了不同的标准。

即在考察原函数与反函数的图象时先把函数看作方程，得出它们的图象相同的结论；而在改写反函数时又需要把它们看作函数，所以才可以改写。

这样将会导致逻辑推理的冲突。

事实上，因为函数x = f -1(y)和y = f -1(x)表示相同的函数关系，所以允许交换其中的x和y，这是可以遵循习惯2改写反函数的理论依据。

而认为两个不同的函数y = f(x)和x = f -1(y)的图象相同, 两个相同的函数y = f (x)与 x = f (y)的图象不相同，是把它们等同于方程了；但是如果看作方程，那么x = f -1(y)与 y = f -1(x)一般情况下是不同解的，又怎么能用后者去代替前者呢此外，根据定义，函数y = f(x)的反函数是x = f -1(y)，如果要改写反函数后“原函数的图象与反函数的图象关于直线 y = x 对称”才能成立，那么这个结论是否显得牵强(因为原本是不成立的)由此自然会对改写反函数的必要性产生疑问，一种看法甚至认为是迁就了“不良的习惯”(例如[2]，第26页)。

在一些较早的教科书中把函数的解析式就称为方程，对函数和方程的图形不加区别。

例如对我国50年代数学教育产生过一定影响的[3]在讨论反函数的图象时，先指出方程y = f(x)和x = f -1(y)所给出的x与y之间的关系是相同的(实际上应当是把y = f(x)和x = f -1(y)都看作方程F(x, y)＝0时x与y之间的关联关系F相同，而不是作为函数时的对应关系f 和f –1)，所以它们的图象相同。

然后说明此时(即按照方程的作图方法)需把 x = f -1(y)中的自变量y取在Y轴上很不方便，因此需要旋转整个平面使表示自变量的轴和表示函数的轴互换位置(事实上已经认可了约定2)，于是反函数x = f -1(y)就变成y = f -1(x)了。

这样得出y = f -1(x)略显麻烦，而且旋转时坐标轴的方向及名称是否改变所以后来编写的大部分教科书中的说法与此有所不同。

[4，§2]中把约定1作为改写反函数的原因，说明了改写的必要性。