函数和方程的思想方法
招教 笔试 技巧类 函数与方程的思想方法在招教数学解题中的广泛应用 付明慧 自主原创 20120616
函数与方程的思想方法在招教数学解题中的广泛应用招教事业部 付明慧函数与方程有些十分密切的关系，例如已知一个()f x 解析式，当()y f x =时就是函数，而当()0f x =是就成为方程。
函数与方程的思想是指在解决某些数学问题时，构造适当的函数与方程，把问题转化为研究辅助函数与辅助方程性质的思想。
下面就结合招教数学考试中常出的几类大题，说明如何运用函数与方程的思想方法去分析和解决问题。
例1、设不等式2112x m x ->-()对满足||m ≤2的一切实数m 恒成立，求实数x 的取值范围。
解析：此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x 的不等式进行分类讨论。
然而，若变换一个角度以m 为主元，记f m x m x ()()()=---2121，则问题转化为求一次函数（或常数函数）f m ()的值在区间[－2，2]内恒负时参数x 应该满足的条件。
要使f m ()<0，只要使f f ()()-<<⎧⎨⎩2020 即----<---<⎧⎨⎪⎩⎪212102121022()()()()x x x x从而解得x ∈-+()712312，。
评注：本例采用变更主元法，化繁为简，再巧用函数图像的特征（一条线段），解法易懂易做。
如何从一个含有多个变元的数学问题里，选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在。
例2、 设a b R ，∈，且a a a 32351-+=，b b b 32355-+=，求a ＋b 的值。
解析：由已知两式结构的相似性，联想到相应函数f x x x x ()=-+3235 =-+-+()()x x 12133令x u -=1，则g u u u ()=+32是奇函数，且是增函数。
这样，已知是f ag a ()()=-+=131，f bg b ()()=-+=135，得g a g b ()()-=--=1212，，则有g a g b g b ()()()-=--=-111从而a b -=-11，所以a b +=2。
函数和方程的思想方法总结
函数和方程的思想方法总结函数和方程是数学中两个非常重要的概念，它们在不同的数学领域和学科中具有广泛的应用。
在解决实际问题、研究数学定理和推导数学公式时，函数和方程的思想方法非常有用。
下面我将总结函数和方程的思想方法，并举例说明它们的应用。
一、函数的思想方法：1. 函数是一种映射关系，将自变量映射为因变量。
在研究函数时，我们常常关注函数的定义域、值域、图像和性质等特征。
例如，对于一个电商平台的销售额函数，我们可以通过输入商品价格来计算销售额。
我们可以研究函数的增减性、最大值和最小值等，以优化销售策略。
2. 函数具有一些重要的性质，如奇偶性、周期性和可导性等。
这些性质可以帮助我们进一步研究函数的特点和行为。
例如，对于一个正弦函数，它是一个周期函数，周期为2π。
我们可以利用这个性质来分析正弦函数的周期性变化和极值点。
3. 函数的组合和复合是函数思想方法的重要工具。
通过将多个函数进行组合或复合，我们可以得到新的函数，从而解决更加复杂的问题。
例如，对于一个物体在空中自由落体运动的高度函数和速度函数，我们可以通过将这两个函数进行复合，得到物体的位置函数和加速度函数，进一步分析物体的运动规律。
二、方程的思想方法：1. 方程是含有未知数的等式，通过求解方程，我们可以确定未知数的值。
解方程是数学中的一个重要问题，有很多不同的解法和技巧。
例如，对于一个一元一次方程，我们可以通过移项、消元和代入等方法求解。
对于一个一元二次方程，我们可以通过配方法、因式分解和求根公式等方法求解。
2. 方程的应用非常广泛，它可以用来描述和解决各种实际问题。
在解决实际问题时，我们常常将问题抽象成一个方程，然后通过求解方程来得到问题的解。
例如，对于一个汽车行驶的问题，我们可以根据汽车的速度、时间和距离的关系建立一个方程，然后求解这个方程来得到汽车行驶的时间或速度。
3. 方程的解有可能是多个，也有可能是无解。
我们在解方程时，需要考虑方程的解集和解的存在性等问题。
函数与方程的思想
函数与方程的思想函数思想就是用运动、变化的观点分析和研究现实中的数量关系，通过问题所提供的数量特征及关系建立函数关系式，然后运用有关的函数知识解决问题。
如果问题中的变量关系可以用解析式表示出来，则可把关系式看作一个方程，通过对方程的分析使问题获解。
所谓方程的思想，就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。
函数与方程思想是中学数学中最常用、最重要的数学思想。
中考函数试题解法及新颖题目研究函数是初中代数的重点，也是难点，在中考的代数部分所占比重最大，综合题中离不开函数内容。
中考函数考察的重点是：函数自变量取值范围，正反比例函数、一次函数、二次函数的定义和性质，画函数图像，求函数表达式。
近年来中考比较侧重实际应用问题的考察。
中考的最后一道题，常常要用到多个数学思想方法，纵观近几年的中考题，基本上都是函数、方程、几何（主要是圆）的综合题。
1．初中函数知识网络2．命题思路与知识要点：2．1一般函数2．1．1考查要点：平面直角坐标系的有关概念；常量、变量、函数的意义；函数自变量的取值范围和函数值的意义及确定。
2．1．2考纲要求：理解平面直角坐标系的有关概念，掌握各象限及坐标轴上的点的坐标特征，会求对称点坐标，能确定函数自变量的取值范围。
2．1．3主要题型：填空题，选择题，阅读理解题。
2．1．4知识要点：（1）平面直角坐标系中，每一个点都与有序实数对一一对应；象限与坐标符号如图1。
（2）特殊位置上点的坐标特点：①点P(x ，y)在xy=0； 点P(x ，y)在y ； ②点P(x ，y)x=y ； 点P(x ，y)③点P(x ，y)关于x 轴对称的点的坐标是(x ，－y)；点P(x ，y)关于y 轴对称的点的坐标是(－x ，y)； 点P(x ，y)关于原点对称的点的坐标是(－x ，－y)；确定函数自变量取值范围，就是要找出使函数有意义的自变量的全部取值。
方程与函数转换思想总结
方程与函数转换思想总结方程与函数是数学中的两个基本概念，它们之间存在着紧密的关联和转换关系。
方程是描述数学关系的式子，函数则是一种特殊的方程，描述了输入-输出的对应关系。
方程与函数转换思想包括方程转化为函数的思想和函数转化为方程的思想。
方程转化为函数的思想是指将方程转化为函数的形式，从而更好地研究和利用方程的性质。
具体而言，可以通过以下几种方法将方程转化为函数：首先，可以将方程表示为函数的图像。
例如，对于一元方程y=f(x)，可以将其表示为函数y=f(x)的图像，从而直观地了解方程的解集和图像的性质。
其次，可以将方程转化为显式函数或隐式函数。
对于一元方程y=f(x)，如果能将y表示为x的函数形式，即y=g(x)，那么方程就转化为了显式函数。
而对于隐式函数，可以通过一些技巧将方程转化为y=f(x)的形式，从而更好地研究和解决问题。
另外，可以通过反函数的思想将方程转化为函数。
对于一元方程y=f(x)，如果存在反函数x=g(y)，那么方程就可以转化为函数x=g(y)，从而更好地求解方程的解集。
函数转化为方程的思想是指将函数表达式转化为方程，从而求解函数的性质和解集。
具体而言，可以通过以下几种方法将函数转化为方程：首先，可以通过函数的性质将函数转化为方程。
例如，对于奇偶函数，可以利用函数的对称性质将函数转化为方程，求解函数的对称轴和零点等信息。
其次，可以通过函数的图像将函数转化为方程。
例如，对于函数y=f(x)，可以通过观察函数的图像，求解函数的最值、极值、单调性等问题。
另外，可以通过函数的表达式将函数转化为方程。
例如，对于复合函数，可以通过将函数表达式进行反向求解，得到符合条件的方程。
综上所述，方程与函数转换思想是数学中重要的思想方法，可以帮助我们更好地研究和理解数学问题。
通过方程转化为函数和函数转化为方程，我们可以从不同的角度分析和解决问题，发现问题的本质和潜在规律，提高数学分析和解决问题的能力。
因此，掌握方程与函数转换思想对于数学学习和应用都具有重要意义。
高中数学的思想方法
高中数学的思想方法数学方法是分析、处理和解决数学问题的策略，这些策略与人们的数学知识，经验以及数学思想掌握状况密切相关.从有利于中学数学教学出发，本着数量不宜过多原则，我们认为目前应予以重视的数学方法有：数学模型法、数形结合法、变幻法、函数法和类分法等.一般讲，中学数学中分析、处理和解决数学问题的活动是在数学思想指导下，运用数学方法，通过一系列数学技能操作来完成的.2方法一：函数与方程的思想函数是高中代数内容的主干，函数思想贯穿于高中代数的全部内容，函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来合计问题，研究问题和解决问题。
所谓方程的思想就是特别研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。
函数和方程、不等式是通过函数值等于零、大于零或小于零而互相关联的，它们之间既有区别又有联系。
函数与方程的思想，既是函数思想与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想。
3方法二：分类与整合思想解题时，我们经常碰到这样一种状况，解到某一步之后，不能再以统一方法，统一的式子持续进行了，因为这时被研究的问题包涵了多种状况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分假设干个子区域，然后分别在各个子区域内进行解题，当分类解决完这个问题后，还必须把它们总合在一起，因为我们研究的毕竟是这个问题的全体，这就是分类与整合的思想。
有分有合，先分后合，不仅是分类与整合的思想解决问题的主要过程，也是这种思想方法的本质属性。
高考将分类与整合的思想放在比较重要的位置，并以解答题为主进行考查，考查时要求考生理解什么样的问题必须要分类研究，为什么要分类，如何分类以及分类后如何研究与最后如何整合。
特别注意引起分类的原因，我们必须相当熟悉，有些概念就是分类定义的，如绝对值的概念、整数分为奇数偶数等，有些运算法则和公式是分类给出的，例如等比数列的求和公式就分为q=1和q1两种状况，对数函数的单调性就分为a1，04方法三：转化与化归思想转化与化归是中学数学最基本的数学思想之一，是一切数学思想方法的核心。
函数与方程的思想方法二
(Ⅱ)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则由①式得：
2k x1 x 2 , 2 2k x · 2 . x 1 2 k2 2 ②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线 C的右焦点F(c,0)，则由FA⊥FB得(x1－c)(x2－c)+y1y2=0. 返回目录
模拟训练
即(x1－c)(x2－c)+(kx1+1)(kx2+1)=0. 整理得：(k2+1)x1x2+(k－c)(x1+x2)+c2+1=0. ③
6 代入③式化简得： 2
把②式及c=
5k2+2 6 k－6=0.
6 6 6 6 或k (2, 2 )(舍去). 5 5 6 6 可知存在实数k=－ 使得以线段AB为直径的圆经 5 解得k
第一部分 常用数学思想方法 专题一 函数与方程的思想方法
专题概览 ……………………………………………（3） 模拟训练 ……………………………………………（5） 规律总结 ……………………………………………（17）
专题概览
函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问 题中的数量关系，通过建立函数关系式、确定函数的定义域或
值域，结合函数的知识解决具体问题的一种思想.这种思想方
法的实质是揭示问题数量关系的本质特征，突出对问题中变量 动态的研究，从变量联系、发展和运动角度指导解题思路. 方程思想是分析数学问题中变量间的相等关系.从而建立 方程(组)将问题解决的一种思想方法. 方程与函数有着必然联系，方程f(x)=0的解，就是函数 y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标，函数y=f(x)也可以看作二元 方程f(x)－y=0.确定变化过程的某个或某些量，往往要建立某个 或某些量的方程，通过解方程(组)来求得这些量.函数与方程之 返回目录
专题 解题有魂——领悟贯通4大数学思想 2023高考数学二轮复习课件
|技法点拨| 此题是一道典型的求离心率的题目，一般需要通过a，b，c之间的关系， 得出关于a，c的方程，经过恒等变形就可以求出离心率．
目录
在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知△ABC 的面积为
3 15，b－c＝2，cos A＝－14，则 a＝____8____．
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构造函数关系解决问题 在高考试题中，综合问题的比较大小、求最值等，一般均需利用构 造函数法才能完成．如何正确的构造出恰当的函数，是解决此类问题的 关键，因此充分挖掘原问题的条件与结论间的隐含关系，通过类比、联 想、抽象、概括等手段，构造出恰当的函数，在此基础上利用函数思想 和方法使原问题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现．
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|技法点拨| 挖掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为 主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解， 是解题人思维品质高的表现．本题主客换位后，利用新建函数 y＝x1＋ln x 的 单调性巧妙地求出实数 k 的取值范围．此法也叫主元法．
目录
已知函数 f(x)＝33xx－ ＋11＋x＋sin x，若存在 x∈[－2，1]，使得 f(x2＋x)＋f(x－k) ＜0 成立，则实数 k 的取值范围是__(_－__1_，__＋__∞__)__． 解析：由题意知，函数f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数． 又 f′(x)＝（2l3nx＋3·1）3x2＋1＋cos x＞0 在 x∈[－2，1]上恒成立，函数 f(x)在 x∈[－ 2，1]上单调递增．若存在 x∈[－2，1]，使得 f(x2＋x)＋f(x－k)＜0 成立，则 f(x2＋x)＜－f(x－k)⇒f(x2＋x)＜f(k－x)⇒x2＋x＜k－x，故问题转化为存在 x∈[－2，1]，k＞x2＋2x，即 k＞(x2＋2x)min，当 x∈[－2，1]时，y＝x2＋2x＝ (x＋1)2－1 的最小值为－1.故实数 k 的取值范围是(－1，＋∞)．
函数与方程的思想
函数与方程的思想函数的思想：函数描述了客观世界中量与量之间在某一过程中互相依赖、互相制约的关系，是对问题本身的数量特征及其制约关系的一种动态刻画。
函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用有关函数的性质（定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、图象等），使问题得到解决。
分析说明：1、函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。
它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。
一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质（f（x）、f （x）的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等）解题，要求在高中阶段，我们需熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。
在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。
对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。
2、有关一元二次方程、一元二次不等式（一元一次方程、一元一次不等式）往往可以通过一元二次函数来解决，本质是研究一元二次函数的图象与坐标轴交点的问题。
数列的问题，也常用函数的观点分析，如等差数列的通项公式可以写成一元一次函数的形式：f（n）=（n-1）d+a ；等差数列的求和公式可以写成一元二次函数的形式：f（n）=a +b 。
解析几何的一次、二次曲线都可以通过一次函数、二次函数来解决。
3、应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答。
函数思想对培养学生对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程，能否具备有标新立异、独树一帜的深刻性、独创性思维，能否构造出函数原型，化归为方程的问题，实现函数与方程的互相转化接轨，达到解决问题的目的等有深刻的指导性。
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函数与方程的思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。
方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。
有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。
宇宙世界，充斥着等式和不等式。
我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。
而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。
可以说，函数的研究离不开方程。
列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。
函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。
它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。
一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f 1(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。
在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。
对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。
另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。
函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。
我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。
Ⅰ、再现性题组：1.方程lgx＋x＝3的解所在的区间为_____。
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,+∞)2.如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对于任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么_____。
A. f(2)<f(1)<f(4)B. f(1)<f(2)<f(4)C. f(2)<f(4)<f(1)D. f(4)<f(2)<f(1)3.已知函数y＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝a (a是常数) ______。
A.有且仅有一个实根B.至多一个实根C.至少一个实根D.不同于以上结论4.已知sinθ＋cosθ＝15，θ∈(π2，π)，则tgθ的值是_____。
A. －43B. －34C.43D.345.已知等差数列的前n项和为Sn ，且S p＝Sq(p≠q，p、q∈N)，则Sp q＝_________。
6.关于x的方程sin2x＋cosx＋a＝0有实根，则实数a的取值范围是__________。
7.正六棱锥的体积为48,侧面与底面所成的角为45°，则此棱锥的侧面积为___________。
8. 建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为___________。
【简解】1小题：图像法解方程，也可代入各区间的一个数（特值法或代入法），选C；2小题：函数f(x)的对称轴为2，结合其单调性，选A；3小题：从反面考虑，注意应用特例，选B；4小题：设tg θ2＝x (x>0），则212xx+＋1122-+xx＝15，解出x＝2，再用万能公式，选A；5小题：利用Snn是关于n的一次函数，设Sp＝Sq＝m，Sp qp q++＝x，则（mp,p）、(mq,q)、(x，p+q)在同一直线上，由两点斜率相等解得x＝0，则答案：0；6小题：设cosx＝t，t∈[-1,1]，则a＝t2－t－1∈[－54,1]，所以答案：[－54,1]；7小题：设高h，由体积解出h＝23，答案：246；8小题：设长x，则宽4x，造价y＝4×120＋4x×80＋16x×80≥1760，答案：1760。
Ⅱ、示范性题组：例1. 设a>0，a≠1，试求方程loga (x－ak)＝loga2(x2－a2)有实数解的k的范围。
(89年全国高考)【分析】由换底公式进行换底后出现同底，再进行等价转化为方程组，分离参数后分析式子特点，从而选用三角换元法，用三角函数的值域求解。
【解】将原方程化为：loga (x－ak)＝logax a22-，等价于x akx ak x a->-=-⎧⎨⎪⎩⎪22（a>0,a≠1）∴k＝xa－()xa21-( |xa|>1 ）,设xa＝cscθ，θ∈(－π2,0)∪(0,π2)，则k＝f(θ)＝cscθ－|ctgθ|当θ∈(－π2,0)时，f(θ)＝cscθ＋ctgθ＝ctgθ2<－1，故k<－1；当θ∈(0, π2)时，f(θ)＝cscθ－ctgθ＝tgθ2∈(0,1)，故0<k<1；综上所述，k的取值范围是：k<－1或0<k<1。
【注】 求参数的范围，分离参数后变成函数值域的问题，观察所求函数式，引入新的变量，转化为三角函数的值域问题，在进行三角换元时，要注意新的变量的范围。
一般地，此种思路可以解决有关不等式、方程、最大值和最小值、参数范围之类的问题。
本题还用到了分离参数法、三角换元法、等价转化思想等数学思想方法。
另一种解题思路是采取“数形结合法”： 将原方程化为：log a (x －ak)＝log a x a 22-，等价于x －ak ＝x a 22- (x －ak>0)，设曲线C 1：y ＝x －ak ，曲线C 2：y ＝x a 22- (y>0)，如图所示。
由图可知，当－ak>a 或－a<－ak<0时曲线C 1与C 2有交点，即方程有实解。
所以k的取值范围是：k<－1或0<k<1。
还有一种思路是直接解出方程的根，然后对方程的根进行讨论，具体过程是：原方程等价变形为x ak x ak x a ->-=-⎧⎨⎪⎩⎪022后，解得：x ak x k a k >=+⎧⎨⎪⎩⎪()212，所以()k a k 212+>ak ，即k k 212+－k>0，通分得k k212-<0，解得k<－1或0<k<1。
所以k 的取值范围是：k<－1或0<k<1。
例2. 设不等式2x －1>m(x 2－1)对满足|m|≤2的一切实数m 的取值都成立。
求x 的取值范围。
【分析】 此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x 的不等式讨论。
然而，若变换一个角度以m 为变量，即关于m 的一次不等式(x 2－1)m －(2x －1)<0在[-2,2]上恒成立-ak-a a x的问题。
对此的研究，设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数（或常数函数）f(m)的值在[-2,2]内恒为负值时参数x应该满足的条件ff()()2020<-<⎧⎨⎩。
【解】问题可变成关于m的一次不等式：(x2－1)m－(2x－1)<0在[-2,2] 恒成立，设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1),则f x xf x x()()()()()()22121022121022=---<-=----<⎧⎨⎪⎩⎪解得x∈（712-,312+）【注】本题的关键是变换角度，以参数m作为自变量而构造函数式，不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题。
本题有别于关于x的不等式2x－1>m(x2－1)的解集是[-2,2]时求m的值、关于x的不等式2x－1>m(x2－1)在[-2,2]上恒成立时求m的范围。
一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化。
或者含有参数的函数中，将函数自变量作为参数，而参数作为函数，更具有灵活性，从而巧妙地解决有关问题。
例3. 设等差数列{an }的前n项的和为Sn，已知a3＝12，S12>0，S13<0 。
①.求公差d的取值范围；②.指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大，并说明理由。
(92年全国高考)【分析】①问利用公式an 与Sn建立不等式，容易求解d的范围；②问利用Sn是n的二次函数，将Sn 中哪一个值最大，变成求二次函数中n为何值时Sn取最大值的函数最值问题。
【解】①由a3＝a1＋2d＝12,得到a1＝12－2d，所以S 12＝12a1＋66d＝12(12－2d)＋66d＝144＋42d>0，S 13＝13a1＋78d＝13(12－2d)＋78d＝156＋52d<0。
解得：－247<d<－3。
②Sn ＝na1＋12n(n1－1)d＝n(12－2d)＋12n(n－1)d＝d2[n－12(5－24d)]2－d2[12(5－24d)]2因为d<0，故[n－12(5－24d)]2最小时，Sn最大。
由－247<d<－3得6<12(5－24 d )<6.5，故正整数n＝6时[n－12(5－24d)]2最小，所以S6最大。
【注】数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题。
也可以利用方程的思想，设出未知的量，建立等式关系即方程，将问题进行算式化，从而简洁明快。
由次可见，利用函数与方程的思想来解决问题，要求灵活地运用、巧妙的结合，发展了学生思维品质的深刻性、独创性。
本题的另一种思路是寻求an >0、an 1<0 ，即：由d<0知道a1>a2>…>a13，由S13＝13a7<0得a7<0，由S12＝6(a6＋a7)>0得a6>0。
所以，在S1、S2、…、S12中，S6的值最大。
例4. 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上任一点，设∠BAC ＝θ，PA＝AB=2r，求异面直线PB和AC的距离。
【分析】异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值。