函数与方程思想简单应用

数学思想方法的简单应用（1）
一、函数与方程思想
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。

方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。

有时，还需要函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。

函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。

它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。

一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：y=f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。

在解决问题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。

对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。

另外，方程问题、不等式问题、集合问题、数列问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。

1.证明：若
则为整数．
解析：若x＋y＋z＋t＝0，则由题设条件可得
，于是此时(1)式的值等于－4．
若x＋y＋z＋t≠0，则
由此可得x＝y＝z＝t．于是(1)式的值等于4．
2.已知：函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f（x）=．
（1）求a、b的值及函数f（x）的解析式；
（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]时恒成立，求实数k的取值范围；
（3）如果关于x 的方程f （|2x ﹣1|）+t •（﹣3）=0有三个相异的实数根，求实数t 的取值范围．
解：（1）g （x ）=ax 2﹣2ax+1+b ，函数的对称轴为直线x=1，由题意得： ①得
②得（舍去）
∴a=1，b=0 ∴g （x ）=x 2﹣2x+1，
（2）不等式f （2x ）﹣k •2x ≥0，即k
设，∴
，∴k ≤（t ﹣1）2 ∵（t ﹣1）
2min =0，∴k ≤0 （3）f （|2x ﹣1|）+t •（
﹣3）=0，即|2x ﹣1|++﹣3t ﹣2=0． 令u=|2x ﹣1|＞0，则 u 2﹣（3t+2）u+（4t+1）=0
记方程①的根为u 1，u 2，当0＜u 1＜1＜u 2时，原方程有三个相异实根，
记φ（u ）=u 2﹣（3t+2）u+（4t+1），由题可知，
或． ∴
时满足题设． 3.已知函数
()ln(1)(1)1f x x k x =---+. （1）若()0f x ≤ 恒成立，试确定实数k 的取值范围；
（2）证明：ln 2ln 3ln 4ln (1)34514n n n n -++++<+（*n N ∈且1n >）
解：（1）0k ≤当时()()1,f x +∞在上为增函数；0k >当时1()1,1f x k ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭在上为增函数；在11,k ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭
上为减函数；易知k>0,则max 1()(1)0f x f k =+≤即1k ≥； （2）令1k =则ln(1)2x x -≤-对()1,x ∈+∞恒成立, 即：ln 1x x ≤-对()0,x ∈+∞恒成
立。

取2x n =，则22ln 1n n ≤-即ln 112
n n n -≤+，(2)n ≥
ln 2ln 3ln (1)3412
n n n n -∴++<+ 4.已知正项数列{}n a 的前n 项和22n n n a a s +=，11(*)2n a n n b n a ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭
N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）定理：若函数)(x f 在区间D 上是凹函数，且()f x '存在，则当1212(,)x x x x D >∈ 时，总有12112
()()()f x f x f x x x -'<-．请根据上述定理，且已知函数1(*)n y x n +=∈N 是),0(+∞上的凹函数，判断n b 与1+n b 的大小；
（Ⅲ）求证：322
n b ≤< 解：（Ⅰ）1=n 时，21111102
a a a s a +==⇒=或11a =． 由于{}n a 是正项数列，所以11a =．
当2n ≥时，2211122
n n n n n n n a a a a a s s ---++=-=-， 整理，得()()111n n n n n n a a a a a a ---+=+-．
由于{}n a 是正项数列，∴11n n a a --=．∴数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列． 从而n a n =，当1n =时也满足．∴n a n =（*
n ∈N ）． （Ⅱ）由（Ⅰ）知112n
n b n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
． 对于),0(+∞上的凹函数1+=n x y ，有()1n y n x '=+． 根据定理，得1112112
(1)n n n x x n x x x ++-<+-．整理，得()112121n n x n x nx x ++-<⎡⎤⎣⎦． 令12111,122(1)
x x n n =+=++，得21(1)1n x nx +-=． ∴112n n x x +<，即()11111221n n n n +⎡⎤⎛⎫+<+⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦．∴1+<n n b b ．
（Ⅲ）∵111111C ...222r r r
r n n n n r n n n
n r --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅⋅⋅≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴2111111111C 1...2 2.222222n r n n n r n n r b n n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+≤++++=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑
又由（Ⅱ），得12132n n b b b b ->>
>>=．（或2111311C .2222n r n r n n r b n n =⎛⎫⎛⎫=+=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑） ∴
322n b ≤<． 函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。

我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n 项和的公式，都可以看成n 的函数，数列问题也可以用函数方法解决。