16章轴对称和中心对称
2024-2025学年初中数学八年级上册(冀教版)教案第16章轴对称和中心对称
第十六章轴对称和中心对称16.1 轴对称教学目标教学反思1.认识轴对称图形，能够识别简单的轴对称图形；2.理解两个图形成轴对称的概念，能够运用轴对称的性质作图；3.理解线段垂直平分线的意义和线段的轴对称性并用其作图.教学重难点重点：掌握轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念的实质，轴对称的性质；难点：轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系.教学过程旧知回顾你以前学过哪些图形的变换？平移、旋转.导入新课美图欣赏引入“轴对称”建筑师、设计师在设计建筑或物品时，喜欢运用轴对称的元素，请欣赏：设置悬念：面对生活中这些美丽的图片，你是否强烈地感受到美就在我们身边！这是一种怎样的美呢?请谈谈你的感想？让学生通过观察，比较发现，这些图形都具有对称美.通过设问和学生发现的结果，揭示课题——本节课学习轴对称.教师板书课题.探究新知一、轴对称图形定义：一般地，如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.注意：有关对称轴的问题：1.对称轴指的是一条直线；2.轴对称图形的对称轴可能不止一条.练习：下列各图，你能找出它们的对称轴吗？结果：图（1）有四条对称轴；图（2）有四条对称轴；图（3）有无数条对称轴；图（4）有两条对称轴；图（5）有六条对称轴．二、轴对称展示挂图，大家想一想，你发现了什么？每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形能与右边的图形重合.轴对称：一般地，如果两个图形沿某条直线对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴. 像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．三、轴对称图形与轴对称的区别与联系轴对称图形 两个图形成轴对称图形区别 一个图形具有的特殊形状 两个全等图形的特殊的位置关系联系 1. 都是沿着某条直线折叠后能重合.2. 可以互相转化.练习：下列说法正确的是（ ）A .能够完全重合的两个图形成轴对称B .全等的两个图形成轴对称C .形状一样的两个图形成轴对称D .沿着一条直线对折能够重合的两个图形成轴对称 答案：D2.如图，观察这几张图片，它们是不是轴对称图形？中垂线的定义：垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.线段是轴对称图形，线段的中垂线是它的对称轴.线段中垂线的用法：课堂练习1.下列说法中，正确的是（）A.两个全等的三角形一定关于某条直线对称B.两个图形关于某条直线对称，对应点一定在直线两旁C.两个图形的对应点连线的垂线，就是它们的对称轴D.两个关于某直线对称的三角形是全等三角形2.如图1，正方形ABCD 的边长为5 cm，则图中阴影部分的面积为__________.图1 图2 图33.如图2，在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影，若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，则符合条件的小正方形共有____个.4.如图3，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C'处，折痕为EF，若AB＝1，BC＝2，则△ABE与△BC'F的周长之和为_______.参考答案1.D2.12.5 cm²3.34.6课堂小结1.轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．2.两个图形成轴对称：如果两个图形沿某条直线对折后，这两个图形能够完全重合，那么就说这两个图形成轴对称．3.中垂线：如果两个图形关于某一条直线成轴对称，那么，这两个图形是全等形，它们的对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段被对称轴垂直平分.垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.布置作业完成教材第110页习题A组、B组.板书设计16.1轴对称教学反思轴对称轴对称图形轴对称轴对称与轴对称图形一般地，如果两个图形沿某条直线对折后，这两个图形能完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称如果两个图形关于某一条直线成轴对称，那么，这两个图形是全等形，它们的对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段被对称轴垂直平分把成轴对称的两个图形看成一整体，它就是一个轴对称图形.把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称一般地，如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形定义性质第十六章 轴对称和中心对称16.2 线段的垂直平分线第1课时 线段垂直平分线的性质定理教学目标1.会进行线段垂直平分线的性质定理的证明；2.理解并能灵活运用线段垂直平分线的性质解题；3.会作最短路径问题.教学重难点 重点：理解并能灵活运用线段垂直平分线的性质解题； 难点：会作最短路径问题. 教学过程 旧知回顾 回忆轴对称图形： 如果一个图形沿某条直线对折后,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.回忆线段的垂直平分线的定义：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.导入新课 师问：线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？生答：是轴对称图形，对称轴是线段的垂直平分线.那么线段的垂直平分线有什么样的性质呢？这节课我们来学习线段的垂直平分线的有关内容.教师板书课题.探究新知 一、线段垂直平分线的性质定理 如图所示,已知线段AB 和它的中垂线l ,O 为垂足.在直线l ,PB ,线段P A?提出你的猜想并说明理由. 事实上,因为线段AB 是轴对称图形,垂直平分线l 是它的对称轴,所以线段AB 沿对称轴l 对折后,点A和点B 重合,线段P A 和线段PB 重合,从而P A ＝PB .教师指导学生画线段AB ,通过对折的方法,找到它的垂直平分线,然后在对称轴上多确定几个点,让学生测量,有什么发现?如图所示,直线l 垂直平分线段AB ,P 1,P 2,P 3,…是l 上的点,分别量一量点P 1,P 2,P 3,…到点A 与点B 的距离,你有什么发现?由学生归纳命题,教师给予纠正,使之规范. 命题:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 这个命题,是我们通过观察、猜想得到的,你能进行证明吗？已知:如图所示,线段AB 和它的垂直平分线l ,垂足为O ,点P 为直线l 上任意一点,连接P A ,PB . 求证：P A ＝PB . 教学反思引导学生利用SAS 证明△P AO ≌△PBO ,从而得到P A ＝PB . 证明:在△P AO 和△PBO 中,∵ {AO =BO,∠POA ＝∠POB ＝90°，PO ＝PO ，∴ △P AO ≌△PBO (SAS ),∴ P A ＝PB (全等三角形的对应边相等).从而得到线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.几何语言：∵ l 垂直平分AB，P 为l 上一点， ∴ P A ＝PB .[知识拓展] (1)线段垂直平分线的性质是线段垂直平分线上所有点都具有的共同特征,即线段垂直平分线上的每一个点到线段两端的距离都相等.(2)由性质定理的证明可知,要证明一个图形上每一个点都具有这种性质,只需要在图形上任取一点作代表即可.(3)这个定理向我们提供了一个证明线段相等的方法.说明:今后我们可以直接利用这个性质得到有关线段相等,同时这也可当作等腰三角形的一种判定方法. 二、最短路径问题已知:如图所示,点A ,B 是直线l 外的任意两点,在直线l 上,试确定一点P ,使AP +BP 最短.解:如图所示,作点A 关于直线l 的对称点A ',连接A 'B ,交直线l 于点P ,则AP +BP 最短.引导学生分析、证明. 【提出问题】(1)我们知道两点之间线段最短,那么怎样把P A 和PB 这两条线段转化到一条线段上?学生讨论、分析得到:要作其中某一点关于直线l 的对称点,对称点与另一点的连线与直线l 的交点,即为点P .(2)在直线l 上任取一个异于点P 的点P ′,怎样利用“两点之间线段最短”加以证明.学生小组内交流,教师指定一名学生板演. 解：∵ 点A 和点A ′关于直线l 对称, ∴ AP ＝A ′P .∴ AP +BP ＝A ′P +BP ＝A ′B (等量代换).如图所示,在直线l 上任取一个异于点P 的点P ′,连接AP ′,BP ′,A ′P ′,则A ′P ′+BP ′>A ′B (两点之间线段最短).即AP ′+BP ′＝A ′P ′+BP ′≥A ′B ＝AP +BP . ∴ AP +BP 最短.新知应用例1 已知:如图所示,D ,E 分别是AB ,AC 的中点,CD ⊥AB 于点D ,BE ⊥AC 于点E . 求证:AC ＝AB . 证明:连接BC ,教学反思因为点D ,E 分别是AB ,AC 的中点, 且CD ⊥AB ,BE ⊥AC ,所以CD ,BE 分别是AB ,AC 的垂直平分线, 所以AC ＝BC ,AB ＝CB , 所以AC ＝AB .例2 如图，A ，B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A ,B 两地，问该站建在河边的什么地方，可使所修的渠道最短？ 作法：1.作点A 关于直线a 的对称点A ′. 2.连接A ′B ,交a 于点P . 点P 即为抽水站的位置.课堂练习1.如图1，已知线段AB ,BC 的中垂线 21,l l 交于点M ,则线段AM ,CM 的大小关系是（ ）A .AM ＞CMB .AM ＝CMC .AM ＜CMD .无法确定2.如图2，四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD ，垂足为E ,下列结论不一定成立的是（ ）A .AB ＝AD B .CA 平分∠BCDC .AB ＝BD D .△BEC ≌△DEC图3.如图3，AD ⊥BC 于点D ,D 为BC 的中点，连接AB ,∠ABC的平分线交AD 于点O ,连接OC ,若∠AOC ＝120°，则∠ABC ＝ _____.4.如图4，在△ABC 中，AB ＝AC ,D 是AB 的中点，且DE ⊥AB ,已知△BCE 的周长为12，且AC -BC ＝2，求AC,BC 的长. 参考答案1.B2.C3.60°4.解：∵ D 是AB 的中点，DE ⊥AB ， ∴ DE 为AB 的中垂线.∴ AE ＝BE .∵ △BCE 的周长为12，∴ BC +CE +BE ＝12. ∴ AC +BC ＝12.∵ AC -BC ＝2，∴ AC ＝7，BC ＝5.课堂小结线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.布置作业完成教材第114页习题.板书设计16.2 线段的垂直平分线第1课时 线段垂直平分线的性质定理一、线段垂直平分线的性质定理 二、最短路径问题 教学反思第十六章轴对称和中心对称16.2 线段的垂直平分线第2课时线段垂直平分线的性质定理的逆定理教学目标教学反思1.理解并掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理并学会运用；2.能够运用线段垂直平分线的性质定理和逆定理解决实际问题；3.通过经历线段垂直平分线性质定理的逆定理的证明过程,体验逻辑推理的数学方法.教学重难点重点：理解并掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理并学会运用；难点：能够运用线段垂直平分线的性质定理和逆定理解决实际问题.教学过程旧知回顾回忆线段垂直平分线的性质定理以及主要注意的问题：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.注意:(1)线段垂直平分线的性质是线段垂直平分线上所有点都具有的特征,即线段垂直平分线上的每一个点到线段两端的距离相等.(2)由性质定理的证明可知,要证明一个图形上每一个点都具有某种性质,只需要在图形上任取一点作代表即可,应注意理解和掌握这种由特殊到一般的思想方法.(3)这个定理向我们提供了一个证明两条线段相等的方法.导入新课试一试:在练习本上以线段AB为底边作等腰△PAB.△P AB的形状和大小是确定的吗？符合条件的△P AB能作几个？观察：你所画出的所有点P的位置，有什么特征？带着问题进入我们今天的学习.教师板书课题.探究新知一、线段垂直平分线性质定理的逆定理再来回顾：你所画出的所有点P的位置，有什么特征？（学生动手操作，小组讨论，展示成果）学生很快会发现：所有的点P都在同一条直线上.大胆推测一下这条直线与线段AB的关系：这条直线是线段AB的中垂线.思考：当P A＝PB时，点P一定在AB的中垂线上吗？探究：如果P A＝PB,那么点P在线段AB的垂直平分线上.请同学们画出图形,写出已知,求证.已知：P为线段AB外一点，且P A＝PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.师:为了证明P点在AB的垂直平分线上,可以过P作辅助线,先构造“垂直或平分”中的一个关系,去证明另一个.特别要注意防止“过P作线段AB的垂直平分线”这种错误.证法1：如图1所示,取AB的中点C,作直线PC.∵P A＝PB,PC＝PC,AC＝CB,∴△APC≌△BPC(SSS).∴∠PCA＝∠PCB.又∵ ∠PCA +∠PCB ＝180°,∴ ∠PCA ＝∠PCB ＝90°,即PC ⊥AB , ∴ P 点在AB 的垂直平分线上.证法2：如图2所示，作∠APB 的平分线PC ,则∠1＝∠2.又∵ AP ＝BP ,PC ＝PC ,∴ △APC ≌△BPC (SAS ). ∴ ∠PCA ＝∠PCB ，AC ＝BC .又∵ ∠PCA +∠PCB ＝180°,∴ ∠PCA ＝∠PCB ＝90°,即PC ⊥AB ,∴ P 点在AB 的垂直平分线上.线段垂直平分线性质定理的逆定理:到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 几何语言： ∵ P A ＝PB ，∴ P 在AB 的垂直平分线上．用途：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.二、判断线段中垂线的方法思考：(1)若P A ＝PB ,过点P 作直线l ,则直线l 是线段AB 的中垂线吗？答：不一定是.理由：经过一点的直线有无数条.(2)若P A ＝PB ,同时MA ＝MB ,则直线PM 是线段AB 的中垂线吗？ 答：是.理由：两点确定一条直线. 用线段中垂线性质定理的逆定理判定线段垂直平分线的步骤： ∵ AB ＝AC ，MB ＝MC ，∴ 点A ，M 均在线段BC 的中垂线上（两点确定一条直线），∴ AM 垂直平分BC .总结：判定线段中垂线的方法1.用线段中垂线的定义.2.用线段中垂线性质定理的逆定理，推出两个点都在线段的中垂线上，则过这两个点的直线就是这条线段的中垂线. 练习：1.已知，MN 是线段AB 的中垂线，下列说法正确的是（ ） A .与AB 距离相等的点在MN 上B .与点A 和点B 距离相等的点在MN 上C .与MN 距离相等的点在AB 上D .AB 垂直平分MN2.点D 在△ABC 的边BC 上，且BC ＝BD +DA ,则点D 在线段（ ）的垂直平分线上. A .AB B .AC C .BC D .不能确定 答案：1.B 2.B 新知应用 例1 已知:如图所示,在△ABC 中,AB ,AC 的垂直平分线DP与EP 相交于点P .求证：点P 在BC 的垂直平分线上.引导学生分析,要让点P 在BC 的垂直平分线上,就是要证明BP ＝CP .教学反思学生证明,写出证明过程,教师巡视指导后全班讲评. 证明：如图所示,连接P A ,PB ,PC .∵ DP ,EP 分别是AB ,AC 的垂直平分线,∴ P A ＝PB ＝PC , ∴ 点P 在BC 的垂直平分线上. 通过此题你发现了什么结论？ 【拓展延伸】 三角形三边的中垂线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等.例2 已知:如图所示,在四边形ABCD 中,AB ＝BC ＝CD ＝AD ,AC ⊥BD ,垂足为O . 求证:AO ＝OC ,BO ＝OD . 让学生独立思考后完成.证明:因为AB ＝BC ,CD ＝AD ,所以点B ,D 均在线段AC 的垂直平分线上,直线BD 是线段AC 的垂直平分线,所以AO ＝OC ,同理,BO ＝DO .课堂练习1.已知：点C ,D 为线段AB 外两点，下列说法正确的是（ ）A .若AC ＝BC ，则经过点C 的直线垂直于ABB .若AC ＝BC ,AD ＝BD ，则直线CD 垂直于ABC .若AD ＝BD ,则经过点D 的直线垂直于ABD .若CD ⊥AB ,则AC ＝BC ,AD ＝BD2.如图1，A ,B ,C 表示三个居民小区，为丰富居民的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（ ） A .AC ，BC 两边高线的交点处 B .AC ，BC 两边中线的交点处C .AC ，BC 两边垂直平分线的交点处D .∠A ，∠B 两内角平分线的交点处3.如图2，AD 为△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC 于点F ,连接EF 交AD 于点O ,求证：AD 垂直平分EF .图1 图2 图34.如图3，四边形ABCD 是一个“风筝”骨架，其中AB ＝AD ,CB ＝CD . 设对角线AC ＝a ,BD ＝b ,请用含a ,b 的式子表示四边形ABCD 的面积. 参考答案 1.B 2.C3.证明：∵ AD 为△ABC 的角平分线，∴ ∠EAD ＝∠F AD.又∵ DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴ ∠AED ＝∠AFD ＝90°.又AD ＝AD ，∴ △AED ≌△AFD （AAS )， ∴ AE ＝AF ,DE ＝DF ，∴ AD 垂直平分EF . 11114..2222CBD ABD ABCD S S S BD CE BD AE BD AC ab =+=+==△△四边形解：课堂小结教学反思教学反思布置作业完成教材117页习题A组、B组.板书设计16.2线段的垂直平分线第2课时线段垂直平分线的性质定理的逆定理一、线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点,在线段的垂直平分线上.二、判定线段中垂线的方法第十六章 轴对称和中心对称16.2 线段的垂直平分线 第3课时 尺规作线段的垂直平分线教学目标1.掌握如何用尺规作一条线段的垂直平分线.2.过一点作已知直线的垂线.教学重难点重点：会作已知线段的垂直平分线和已知直线的垂线；难点：运用以上两种尺规作图解决实际问题. 教学过程 旧知回顾回忆线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 回忆线段垂直平分线性质定理的逆定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.导入新课 如图所示,点A ,B ,C 表示三个村庄,现要建一座深井水泵站,三个村庄分别送水,为使三条输水管长度相同,处?请画示意图,并说明理由.分析：因为向三个村庄分别送水,三条输水管长度相同形三个顶点的距离相等）,所以水泵站应在AB ,BC 交点处.说明：那么如何用尺规作图的方法作出线段的中垂线呢?书课题. 探究新知 一、尺规作线段的垂直平分线 如图，已知线段AB . 求作：线段AB 的垂直平分线.交流：1.在小组内交流个人作法.2.小组归纳作已知线段的垂直平分线的步骤.3.教师规范作法，并写出规范的作图语言.两点，连接这两个点，即得所求作的直线. 作法：（1）分别以点A ，B 为圆心，以大于21AB 在线段AB 的两侧画弧，分别相交于点C ，D . （2）连接CD .直线 CD 即为所求.可以用这种方法确定线段的中点.练习：如图所示的尺规作图是作( )A.线段的垂直平分线B.一个半径为定值的圆C.角的平分线D.一个角等于已知角教学反思答案：A二、过直线外一点作直线的垂线如图所示,已知直线l及l外一点P.求作:经过点P，且垂直于l的直线.处理方式：1.学生先独立思考.2.随机找一名学生说思路，教师给予适当的提示：（1）已知条件提示用什么知识点？（2）怎样才能得到结论？在直线l上作出一条线段CD，使得点P在线段CD的垂直平分线上.再作出到点C，D距离相等的点Q，连接P Q，直线P Q即为所求.3.两生板演，教师巡视指导.作法：（1）以点P为圆心,适当长为半径画弧,交直线l于点C,D.（2）分别以点C,D为圆心,适当长为半径,在直线l的另一侧画弧,两弧相交于点Q.（3）连接P Q.直线P Q即为所求.思考：如果点P在线段AB上，应该怎么做？学生思考后会发现：和点P在直线外类似，只需把P挪到直线上即可.归纳：1.根据线段垂直平分线性质定理的逆定理,只要找到两个到线段两端距离相等的点,那么过这两点就可以作出线段的垂直平分线.2.过一点作已知直线的垂线,由于已知点与直线可以有两种不同的位置关系：①点在直线外；②点在直线上.因此同学们在作图时要掌握这两种方法的区别.课堂练习1.锐角三角形ABC内有一点P，满足P A＝PB＝PC，则点P是△ABC()A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点2.下列说法：①若点P，E是线段AB垂直平分线上的两点，则EA＝EB，P A＝PB；②若P A＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若P A＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的有__________. （填序号）3.如图1，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD.若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为( )A.7B.14C.17D.204.如图，在某河道l的同侧有两个村庄A，B，想要在河道上建一个水泵站，这个水泵站建在什么位置，能使两个村庄到水泵站的距离相等？教学反思参考答案Array 1.D 2.①②③ 3.C教学反思4. 解：如图3所示，点P即为所求作.课堂小结布置作业完成教材第119页习题A组、B组.板书设计16.2线段的垂直平分线第3课时尺规作线段的垂直平分线1.作已知线段的垂直平分线；2.过直线外一点作已知直线的垂线.第十六章轴对称和中心对称16.3 角的平分线教学目标1.掌握角平分线的性质定理及其逆定理；2.能利用角平分线的性质定理及其逆定理证明相关结论.3.能利用尺规作出一个已知角的平分线.教学重难点重点：角平分线的性质定理及逆定理，利用尺规作一个角的平分线.难点：角平分线性质定理的逆定理的得出.教学过程旧知回顾1.角平分线的定义从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.2.线段垂直平分线的性质定理和逆定理线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.导入新课1.图中表示点P到直线l的距离的是线段PC的长.2.本章中，从哪些方面学习线段的垂直平分线？①线段的垂直平分线的定义；②线段的轴对称性；③线段的垂直平分线的性质定理；④线段的垂直平分线的性质定理的逆定理；⑤线段的垂直平分线的尺规作图.类似地，今天我们将从这些角度学习角的平分线的相关知识.教师板书课题探究新知探究点一角平分线的性质定理1.角平分线的轴对称性问题：角是轴对称图形吗？如图所示，将∠AOB对折，你发现了什么？学生自己动手操作.归纳：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.2.角平分线的性质定理动手操作：如图所示，OC是∠AOB的平分线，在角平分线OC上任意选一点P，在边OA上取点D，边OB上取点E，怎样才能使PD＝PE? 同学们拿出课前准备好的∠AOB，用折纸的方法确定D，E的位置.师生活动：学生的折纸方法有可能出现的情况很多，让小组同学展示，然后从班内选择以下两教学反思种对本节课有帮助的情况，展开后的图形如图所示.第一种情况：由折叠过程可得，PD＝PE.第二种情况：这样的折叠过程，实际上是给出了PD⊥OA, PE⊥OB,也能得到PD＝PE.下面来证明第二种情况结论的正确性.已知：OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点，PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别为D,E.求证：PD＝PE.你能用什么方法说明你的结论是正确的？教师指点，学生自行讨论，完成证明过程.展示成果：方法一：用刻度尺测量PD,PE，得到两条线段的长度相等.方法二：利用角的对称性，当沿OC所在的直线对折时，PD与PE重合，因此PD＝PE. 方法三：证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB,OC平分∠AOB,∴∠PDO＝∠PEO＝90°,∠AOC＝∠BOC.在△PDO和△PEO中,,,,PDO PEOAOC BOC OP OP⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠∠＝∠＝∴△PDO≌△PEO(AAS),∴PD＝PE.教师：请你用语言描述你所得到的结论.学生：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.它常用于证明两条垂线段相等.教师：利用角的平分线的性质可直接推导出与角的平分线有关的两条线段相等,但在推导过程中不要漏掉垂直关系的书写,同时涉及角平分线上的点与角的两边的垂直关系时,可直接得到垂线段相等,不必再证两个三角形全等而走弯路.练习：判断下列的写法是否正确？（1）∵如图所示，AD平分∠BAC，（已知）∴BD＝CD.(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )解：错误，理由：没有垂直，不能确定BD,CD是点D到角两边的距离.(2)∵如图所示，DB⊥AB，DC⊥AC，（已知）∴BD＝CD.(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等) 教学反思。
初中数学轴对称与中心对称
中心对称图形
把一个图形绕着某一点旋转 _1_8_0_°_ 把一个图形绕着某一点旋转_1_8_0_°_，如 后，如果它能与另一个图形_重__合___， 果旋转后的图形能够与原来的图形重 定义 那么就说这两个图形关于这个点成 合，那么我们把这个图形叫中心对称 中心对称，该点叫做_对__称__中__心___ 图形，这个点叫做_对__称__中__心___
图 31－4
解：得到的图形是一个菱形，对折两次得到有两条对称 轴的轴对称图形，而且剪刀所剪的虚线就是得到图形的边长， 四边相等，所以是一个菱形．
轴对称与中心对称
[方法点析] 动手操作题目主要是利用剪刀或对折，得 到的图形部分或整体是一个轴对称图形，然后根据轴对称图 形的性质解答，注意把握轴对称图形的特征．
称与中心对称 中考预测 1．把一张正方形纸片如图 31－5①、图②对折两次后， 再如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是( C )
图31－5图31－6 Nhomakorabea轴对称与中心对称
2．图 31－7 的长方形 ABCD 中，E 点在 AD 上，且 BE＝ 2AE.分别以 BE、CE 为折线，将 A、D 向 BC 的方向折过去， 图②为对折后 A、B、C、D、E 五点均在同一平面上的位置图， 若图②中，∠A′ED′＝15°，则∠BCE 的度数为( D )
例 3 [2013·钦州] 如图 31－3，在平面直 角坐标系中，△ABC 的三个顶点都在格点上， 点 A 的坐标为(2，4)，请解答下列问题：
(1) 画 出 △ABC 关 于 x 轴 对 称 的 △A1B1C1，并写出点 A1 的坐标；
(2)画出△A1B1C1 绕原点 O 旋转 180°后 得到的△A2B2C2，并写出点 A2 的坐标．
对称轴，折叠后重合的点是对应 我们也说这个图形关于这条直线
2024年冀教版八年级上册 第十六章 轴对称和中心对称中心对称图形
课时目标1.认识并能够辨析中心对称图形和两个图形成中心对称.2.理解中心对称的基本性质,并会利用性质作图.学习重点理解中心对称的基本性质,并会利用性质作图.学习难点辨析中心对称图形和两个图形成中心对称.课时活动设计情境引入观察这些图片,回忆轴对称图形的特点,它们是轴对称图形吗?如果不是,它们的共同特征是什么?设计意图:回顾旧知识,联系生活中的情景,合理设置悬念,激发学生的学习兴趣.探究新知探究1中心对称图形学生观察下列图片,小组合作,交流探讨,教师巡视,适当给予指导.1.观察这些图片,将它们分别绕各自标示的“中心点”旋转180°后,能不能与它们自身重合?2.如图,已知线段AB和它的中点O,当线段AB绕点O旋转180°后,这条线段能不能与它自身重合?3.你还能找到具有问题1,2中图形的特征的图形吗?观察发现,问题1,2中的图形分别绕各自的“中心点”(或中点)旋转180°后,都能与它们自身重合.定义:像这样,如果一个图形绕某一个点旋转180°后能与它自身重合,我们就把这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做它的对称中心,其中对称的点叫做对应点.线段是中心对称图形,线段的中点是它的对称中心,两个端点为一对对应点.探究2成中心对称中心对称图形是指一个图形的中心对称性,那么两个图形之间是否也具备这样的关系呢?观察△ABC和△DEF,你发现了什么?学生观察思考,小组合作,交流探讨,教师巡视,适当给予指导.△ABC和△DEF的顶点A,C,F,D在同一条直线上,O为线段CF的中点,AC=DF,BC=EF,∠ACB=∠DFE.将△ABC绕点O旋转180°后,它能与△DEF重合.定义:如果一个图形绕某一点旋转180°后与另一个图形重合,我们就把这两个图形叫做成中心对称,这个点叫做对称中心,其中成中心对称的点、线段和角,分别叫做对应点、对应线段和对应角.探究3中心对称图形和成中心对称的性质我们已经学过图形的旋转,我们知道“一个图形和它旋转后所得到的图形,对应点到旋转中心的距离相等,两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等”,那么中心对称图形(如图)又有怎样的性质呢?师生讨论交流并进行总结归纳.总结:在成中心对称的两个图形中,对应点的连线经过对称中心,并且被对称中心平分.反过来,如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点,并且被该点平分,那么这两个图形一定关于该点成中心对称.设计意图:通过问题情境,以现实生活中的实例为素材,让学生体会和认识生活中的中心对称图形.学生概括定义,培养归纳概括能力,学生通过观察、分析、操作、猜想、验证等活动,小组交流合作,教师适时指导,得到两个图形成中心对称的概念.通过猜想、测量、验证等探究活动,形成对中心对称图形和成中心对称的深刻认识,在活动中学生充分研讨,得到中心对称图形和成中心对称的性质.典例精讲例1如图,已知线段AB和点O,画出线段AB关于点O的中心对称图形.解:如图.(1)连接AO,BO,并延长AO到点C,延长BO到点D,使得OC=OA,OD=OB.(2)连接CD.线段CD即为所求.例2如图,四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是成中心对称的两个图形,请你试着确定其对称中心的位置.解:如图,连接AA',DD',交点O即为所求.设计意图:通过例题,巩固本节课所学内容,帮助学生熟练掌握和运用新知识.巩固训练1.下列英文大写正体字母中,有中心对称图形吗?若有,哪些字母是中心对称图形?A B C D E F G H I J K L MN O P Q R S T U V W X Y Z解:有.H,I,N,O,S,X,Z是中心对称图形.2.如图1,把4张扑克牌放在桌子上,不让别人看见,将其中某些牌旋转(不能看到旋转过程)180°,旋转后看到的扑克牌如图2.你能很快确定哪张牌一定被旋转过吗?哪张牌可能被旋转过?解:黑桃9、黑桃8和梅花3这3张牌一定被旋转过,方块J可能被旋转过.3.如图,△ABO与△CDO关于点O成中心对称,点E,F在线段AC上,且AF=CE.求证:FD =BE.证明:∵△ABO 与△CDO 关于点O 成中心对称,∴AB =CD ,∠A =∠C.∵AF =CE ,∴AF +FE =CE +FE ,即AE =CF .在△ABE 和△CDF 中,A =C,∠=∠s C =C,∴△ABE ≌△CDF (SAS).∴FD =BE.设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.课堂小结1.什么样的图形是中心对称图形?什么样的图形是成中心对称图形?2.成中心对称的性质有哪些?设计意图:以提问的形式总结回顾本节课学习的重点内容,帮助学生巩固课堂知识.课堂8分钟.1.教材第127页习题A 组第2,3,4题,习题B 组第1,2题.2.七彩作业.16.4中心对称图形在成中心对称的两个图形中,对应点的连线经过对称中心,并且被对称中心平分.反过来,如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点,并且被该点平分,那么这两个图形一定关于该点成中心对称.教学反思。
冀教版数学八年级上：第十六章 轴对称和中心对称第十六章 轴对称和中心对称
第十六章轴对称和中心对称1.通过具体实例了解轴对称、轴对称图形、中心对称、中心对称图形的概念,探索它们的基本性质.2.能按要求画出简单平面图形经过轴对称、中心对称后的图形.3.理解和掌握线段的垂直平分线和角平分线的性质定理及其逆定理.4.能够运用平移、旋转和轴对称进行简单图案的设计.5.通过欣赏和设计图案,认识到图形的平移、旋转和轴对称在现实生活中的应用.1.通过观察、思考、操作、交流、初步验证、推理验证等活动,体会知识的形成过程.2.在直观感知、操作确认的基础上,进一步学会说理,掌握一定的演绎推理能力,体会数学在现实生活中的广泛应用.1.通过探究活动,培养学生探求知识的欲望,让学生体验成功的乐趣.2.让学生经历观察、思考、操作、欣赏、设计等活动过程,进一步发展空间观念,增强审美意识,积累数学活动经验.本章的主要内容是轴对称和轴对称图形、中心对称和中心对称图形及其性质,探究线段垂直平分线、角平分线的性质定理及其逆定理,利用平移、旋转、轴对称设计图案.(1)轴对称、中心对称在现实生活中有着广泛应用,在教材的处理上,为学生提供大量生动的现实情境,通过赏析,提高学生的审美能力,激发学生的学习兴趣,加强数学与现实联系,更好地培养学生的应用意识.(2)通过“一起探究”,设置观察、猜想、交流、探究、验证等活动,引导学生发现轴对称、中心对称的性质定理及其逆定理,经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程,使学生掌握解决问题的方法,积累一定的数学活动经验.(3)线段、角是简单的轴对称图形,通过观察、思考、操作验证、证明验证等活动,探究线段垂直平分线、角平分线的性质定理及其逆定理,发展学生的合情推理、演绎推理能力.(4)在学习完平移、旋转和轴对称后,引导学生辨析典型图形,使学生认识到一些较为复杂的图形可由简单图形经过变化得到,目的是深化平移、轴对称、旋转的性质,加强前后知识的联系和综合运用.【重点】1.轴对称和轴对称图形、中心对称和中心对称图形及其性质.2.线段垂直平分线、角平分线的性质定理及其逆定理.3.利用平移、旋转、轴对称设计图案.【难点】1.轴对称和轴对称图形、中心对称和中心对称图形的性质.2.线段垂直平分线、角平分线的性质定理及其逆定理的应用.1.轴对称、中心对称与现实有着紧密的联系,在教学中,应以现实生活中的实例为素材,让学生体会和认识生活中的轴对称和中心对称,通过观察、分析、操作、猜想、验证等活动,提炼轴对称及轴对称图形、中心对称及中心对称图形的概念,利用合情推理和演绎推理探究轴对称、中心对称的性质定理及其逆定理.2.教师在组织教学活动的过程中,要充分发扬民主精神,为学生提供自主学习及探索的空间与时间,促使学生在课堂上积极动手实践、勤于思考、一起探究、合作交流,并在活动的过程中不断地获取新知识,提高数学思考的能力.3.倡导教师根据教学实际,适当选取贴近学生生活实际的实例丰富教材,利用各种教学资源、现代化教学手段,创设有利于学生认识、学习及相互交流的氛围.4.注意知识间的相互联系和区别.图形的平移、旋转不是本章所学知识,但它们也都是图形变化的主要方式.在后面的教学中,应把平移、旋转和轴对称融合在一起,让学生在整体上认识图形的变化,这样能较好地体现新旧知识的联系.16.1轴对称1.理解轴对称、两个图形成轴对称的概念.2.了解轴对称图形的对称轴,两个图形成轴对称的对称轴、对应点.3.了解轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系.1.通过学习轴对称图形和两个图形成轴对称,进一步认识几何图形的本质特征.2.通过学习轴对称图形和两个图形成轴对称的区别和联系,进一步发展学生的抽象概括能力.通过对轴对称图形和两个图形成轴对称的学习,激发学生的学习欲望,使他们主动参与数学学习活动中.【重点】轴对称图形和两个图形成轴对称的概念.【难点】轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系.【教师准备】课件.【学生准备】搜集轴对称图形.导入一:我们生活在一个充满对称的世界中,许多建筑物都设计成对称的,艺术作品的创作往往也从对称角度考虑,自然界的许多动植物也按对称形生长,中国的方块字中有些也具有对称性……对称给我们带来多少美的感受!初步掌握对称的奥妙,不仅可以帮助我们发现一些图形的特征,还可以使我们感受到自然界的美与和谐.轴对称是对称中重要的一种,从这节课开始,我们来学习第十六章.今天我们来研究第一节,认识什么是轴对称图形,什么是对称轴.导入二:出示图片:青山倒映在水中.这是什么景象呢?同学们可以想象,落日、晚霞、青山倒映在平静的水中,这样如诗如画的景致多么令人难忘!自远古以来,对称形式就被认为是和谐美丽的,不论是在自然界中还是建筑里,甚至最普通的日常生活中,对称的形式都随处可见.本节课我们就一起去探究轴对称的奥秘吧![设计意图]两个导入都是以生活中的轴对称为例,勾勒美好的画面,让学生感受数学中的美,体会数学与生活的密切联系,自然地引入到本节课的学习之中.活动一:观察与思考——认识轴对称思路一【活动1】展示教材第108页图16-1-1及收集到的生活中的图片.【师生活动】教师展示生活中的图片,让学生欣赏图片,感知对称图形,学生列举所见到的图形.活动中,教师明确:(1)对称的多样性,而其中轴对称是重要的一种;(2)本节要探究的内容:轴对称有哪些性质?[设计意图]展示的图片与生活实际相关,包含自然景观、分子结构、建筑物、艺术作品、动物、植物、生活用品等,让学生感知对称图形,激发学生的学习热情.通过展示学生自制的图片,让学生联系生活实际,主动参与数学活动,感知数学与生活的密切联系.【活动2】(1)把一张长方形纸对折,剪出一个图案,再打开,就剪出了美丽的窗花,你能剪出什么样的窗花呢?(2)观察剪出的窗花,你能发现它们有什么共同特征?(3)联系实际,你能举出一个轴对称图形的例子吗?【师生活动】教师先把长方形纸片对折,用剪刀剪出一个图案,再打开这个纸片,让学生观赏,然后学生自己动手按要求剪纸.学生在观察、互相交流的基础上描述图形的特征.教师归纳轴对称图形的概念,并板书概念,然后让学生举例.归纳:一般地,如果一个图形沿某条直线对折后,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.[知识拓展]轴对称图形是针对一个图形而言的,是一种具有特殊性质的图形,被一条直线分割成两部分,沿着对称轴折叠时,互相重合;轴对称图形的对称轴可以有一条,也可以有多条甚至无数条.[设计意图]教师演示剪纸过程起一个示范作用,学生动手剪纸是让学生参与到活动中去,培养学生的动手能力,通过观察、思考,让学生互相交流,增强发现能力.【活动3】问题(1)教材图16-1-2的图形有什么特征?(2)联系实际,你能举出一些生活中两个图形成轴对称的例子吗?【师生活动】学生观察、举例、讨论交流,教师引导得出两个图形关于某直线对称及对称轴、对应点、对应线段、对应角的概念,并板书概念.归纳:一般地,如果两个图形沿某条直线对折后,这两个图形能够完全重合,那么我们就说这两个图形成轴对称,这条直线叫做对称轴,关于对称轴对称的点、对称的线段、对称的角分别叫做对应点、对应线段、对应角.[设计意图]学生通过观察、举例、独立思考,认识两个图形关于某直线对称的本质特征,鼓励学生善于观察、勇于发现,培养合作意识.【活动4】问题(1)轴对称图形与两个图形成轴对称有什么区别?(2)如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形成轴对称吗?成轴对称的两个图形全等吗?(3)如果把两个成轴对称的图形看成一个整体,它是一个轴对称图形吗?【师生活动】学生根据两组图形的比较观察,讨论交流(1),教师引导学生得出区别.教师提出问题后,让学生思考(2),进一步明确轴对称图形与两个图形成轴对称之间的联系.[知识拓展]图形成轴对称包括两层含义:(1)有两个图形,且这两个图形能够完全重合,即形状、大小完全相同;(2)对重合的方式有限制,只能是把它们沿某条直线对折后能够完全重合.[设计意图]通过学生举例,进一步认识两个图形成轴对称的本质.通过比较观察、相互讨论进一步认识两种图形的本质特征.让学生运用辩证的观点认识事物,发展学生抽象思维能力.活动二:一起探究——成轴对称图形的性质【活动5】问题:成轴对称的两个图形全等吗?全等的两个图形一定成轴对称吗?为什么?【师生活动】学生独立思考后,再展开讨论,教师参与学生讨论,及时指导.[设计意图]通过练习进一步巩固两个图形成轴对称的概念.【活动6】问题观察教材图16-1-3:1.根据全等形的意义,ΔABC与ΔA'B'C'全等吗?对应线段有怎样的数量关系?对应角呢?2.对应点的连线AA',BB',CC'分别与对称轴l有怎样的位置关系?你能用刻度尺测量出点A与A'到对称轴l的距离吗?B与B'、C与C'到对称轴l的距离呢?【师生活动】教师引导学生从位置上观察三条线段与对称轴l的关系,利用投影动画展示A与A',B与B',C与C'重合的情形.归纳:成轴对称图形的性质:如果两个图形关于某一条直线成轴对称,那么这两个图形是全等形,它们的对应线段相等,对应角相等,对应点所连的线段被对称轴垂直平分.说明:成轴对称的图形的性质对于轴对称图形同样适用.垂直且平分一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线.线段是轴对称图形,线段的中垂线是它的对称轴.线段垂直平分线的定义揭示线段与对称轴的关系:一是垂直;二是平分.从而归纳出成轴对称图形的性质.[设计意图]利用动画演示,让学生一目了然,便于接受,采用多种方法丰富学习渠道,加深了对知识的理解和掌握.【活动7】如图所示,已知线段AB和直线l,画出线段AB关于直线l的对称线段.【师生活动】引导学生根据成轴对称图形的性质画出图形,学生在练习本上操作,教师讲评.[设计意图]通过学生的操作,认识对称轴的确定方法,培养学生的探究能力.思路二【活动1】作品展示,交流体会1.作品展示:让部分学生展示课前的剪纸作品(可以将作品粘贴到黑板上).2.小组活动:(1)在窗花的制作过程中,你是如何进行剪纸的?为什么要这样?(2)这些窗花(图案)有什么共同的特点?[设计意图]通过收集材料、剪纸操作,增加学生对轴对称图形的感性认识,为轴对称概念的引出做铺垫.【活动2】概念形成(一)轴对称图形1.学生充分交流的基础上,教师提出“轴对称图形”的概念,并让学生尝试给它下定义,通过逐步地修正形成“轴对称图形”的定义,同时给出“对称轴”的定义.2.结合学生准备的图形进一步分析轴对称图形的特点,以及对称轴的位置.3.学生举例,试举几个在现实生活中见到的轴对称的例子.4.判断下面的图形是不是轴对称图形,如果是轴对称图形,找出它们的对称轴.[设计意图]在学生经历了一系列的过程后让学生尝试归纳,培养学生的概括能力,加深对轴对称图形的理解.(二)两个图形关于某条直线对称1.观察右图,有什么特点?2.两个图形成轴对称的定义.观察右图:把ΔA'B'C'沿直线l对折后能与ΔABC重合,则称ΔA'B'C'与ΔABC关于直线l对称,简称“成轴对称”,点A 与点A',点B与点B',点C与点C'称为对称点,直线l叫做对称轴.3.举例:你能举出一些生活中两个图形成轴对称的例子吗?4.讨论:轴对称图形和两个图形成轴对称的区别.[设计意图]先观察图形,再画图.其目的是突出两个图形和这两个图形之间的关系,在此基础上再给出定义.通过讨论、比较,便于进一步理解概念,弄清它们之间的联系和区别,以突破本课的教学难点.同时培养学生的辩证唯物主义观点.(三)成轴对称图形的性质观察上图,线段AA'与对称轴l有怎样的位置关系?你能说明理由吗?类似地,点B与点B',点C与点C'是否也有同样的位置关系?你能用语言归纳上述发现的规律吗?结合学生发表的观点,教师总结并板书:对称轴经过对称点所连线段的中点,并且垂直于这条线段.在这个基础上,教师给出线段的垂直平分线的概念,然后把上述规律概括成成轴对称图形的性质.上述性质是对两个成轴对称的图形来说的,如果是一个轴对称图形,那么它的对称轴两侧的对应点的连线与对称轴之间是否也有同样的关系呢?从而得出:类似地,轴对称图形的对称轴,是对称轴两侧对应点所连线段的垂直平分线.[设计意图]让学生主动参与进来,转变以往的学习方式,提高学习的认知水平和能力.【活动3】实践与应用1.下面是生活中的一些图形,它们是轴对称图形吗?2.下列图形是部分汽车的标志,哪些是轴对称图形?3.下图中的两个图形是否成轴对称?如果是,请找出它的对称轴.[设计意图]通过练习,进一步培养学生的观察、辨别能力,巩固所学知识.知识点一:轴对称图形1.轴对称图形沿对称轴折叠,两旁的部分能够完全重合.2.轴对称图形的对称轴是轴对称图形对称轴两侧的对应点所连线段的垂直平分线,可能只有一条,也可能不止一条.知识点二:两个图形成轴对称轴对称图形与两个图形成轴对称既有区别又有联系.区别:轴对称图形是指一个图形的特征,成轴对称是两个图形的位置关系.联系:二者都有对称轴,如果把成轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形;如果把轴对称图形对称轴两旁的部分看成两个图形,那么这两个图形成轴对称.知识点三:成轴对称图形的性质1.成轴对称图形的性质介绍了对称轴与对应点所连线段之间的关系,即对称轴垂直平分对应点所连的线段.2.根据这一性质,若已知对称轴和一个图形的一点就能准确作出该点的对应点,而不必再去对折了.1.如图所示,∠3=30°,为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中,那么击打白球时,必须保证∠1的度数为()A.30°B.45°C.60°D.75°解析:要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中,∠2+∠3=90°,∵∠3=30°,∴∠2=60°,易知∠1=60°.故选C.2.下面四句话中的文字有三句具有对称规律,其中没有这种规律的一句是()A.上海自来水来自海上B.有志者事竟成C.清水池里池水清D.蜜蜂酿蜂蜜解析:A.上海自来水来自海上,可将“水”理解为对称轴,对折后重合的字相同,故本选项错误;B.有志者事竟成,五字均不相同,所以不对称,故本选项正确;C.清水池里池水清,可将“里”理解为对称轴,对折后重合的字相同,故本选项错误;D.蜜蜂酿蜂蜜,可将“酿”理解为对称轴,对折后重合的字相同,故本选项错误.故选B.3.经过轴对称变换后所得的图形,与原图形相比()A.形状没有改变,大小没有改变B.形状没有改变,大小有改变C.形状有改变,大小没有改变D.形状有改变,大小有改变解析:∵轴对称变换不改变图形的形状与大小,∴与原图形相比,形状没有改变,大小没有改变.故选A.4.如图所示,由4个大小相等的正方形组成的L形图案.(1)请你改变1个正方形的位置,使它变成轴对称图形;(2)请你再添加一个小正方形,使它变成轴对称图形.解析:根据轴对称图形的概念进行设计.解:答案不唯一,如图所示.16.1轴对称活动一:观察与思考——认识轴对称活动二:一起探究——成轴对称图形的性质例题一、教材作业【必做题】1.教材第110页练习第1,2题.2.教材第110页习题A组第1,2,3题【选做题】教材第111页习题B组第1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,不是轴对称图形的是()2.如图所示,一定是轴对称图形的有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.京剧是我国的国粹,剪纸是流传已久的民间艺术,这两者的结合无疑是最能代表中国特色的艺术形式之一.如图所示的京剧脸谱剪纸中是轴对称图形的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图所示的图形中不是轴对称图形的是()5.如图所示,▱ABCD与▱EBCF关于边BC所在的直线对称,若∠ABE=110°,则∠F等于()A.60°B.55°C.45°D.35°【能力提升】6.如图所示,在下面一组图形符号中找出它们所蕴含的规律,然后在横线上的空白处填上恰当的图形.7.如图所示,在长方形的台球桌面上,选择适当的角度打击白球,可以使白球经过两次反弹后将黑球直接撞入袋中,此时∠1=∠2,∠3=∠4,并且∠2+∠3=90°,∠4+∠5=90°.如果黑球与洞口的连线和台球桌面边缘的夹角∠5=40°,那么∠1应该等于多少度才能保证黑球准确入袋?请说明理由.【拓展探究】8.如图所示,ΔABC与ΔDEF关于直线MN对称,其中∠ACB=90°,AC=8 cm,DE=10 cm,BC=6 cm.(1)线段AD与MN的关系是什么?(2)求∠DFE的度数.(3)求ΔABC的周长和ΔDEF的面积.【答案与解析】1.A(解析:根据轴对称图形的定义判断即可.故选A.)2.C(解析:圆弧、角、等腰梯形都是轴对称图形.故选C.)3.C(解析:第一个、第三个、第四个图形是轴对称图形.故选C.)4.B(解析:根据轴对称图形的定义判断即可.故选B.)5.B(解析:∵▱ABCD与▱EBCF关于边BC所在的直线对称,∴∠ABC=∠EBC,∵∠ABE=110°,∴∠EBC=∠ABE=110°=55°,在▱EBCF中,∠F=∠EBC=55°.故选B.)6.(解析:从图中可以发现所有的图形都是轴对称图形,而且图形从左到右分别是1~7的数字,所以画一个轴对称图形且数字为6即可,答案不唯一.)7.解:由∠5=40°,易知∠7=∠5=40°,由∠3=∠4,易知∠7=∠6=40°,∴∠2=∠6=40°,∴∠1=∠2=40°.答:∠1等于40°时,才能保证黑球能直接入袋.8.解:(1)∵ΔABC与ΔDEF关于直线MN对称,∴MN垂直平分AD. (2)∵ΔABC与ΔDEF关于直线MN对称,∠ACB对应∠DFE,∴∠DFE=∠ACB=90°. (3)∵AC=8 cm,DE=10 cm,BC=6 cm,且AB对应DE,AC对应DF,BC 对应EF,∴DE=AB=10 cm,DF=AC=8 cm,EF=BC=6 cm,∴ΔABC的周长为6+8+10=24(cm),ΔDEF的面积为6×8=24(cm2).轴对称图形是一个较抽象的概念,教师在教学中根据学生的特点,设计了这堂课,在教学中始终以学生为主体,着力引导学生通过操作、观察、比较、思考、交流、讨论等活动,主动获取知识,掌握和理解轴对称图形的概念和基本特点,并在自主探索中体会到探索之趣,成功之乐,培养了学生的学习兴趣,更培养了学生的学习能力.从以下几个途径提升课堂教学的活力和效果:一、从直观引入,将轴对称图形的特点具体化,学生较易理解,得到了初步感知.二、动手操作充分,通过对图形的折、画,学生在操作活动中进一步理解了轴对称图形的特点及对称轴的含义.三、充分调动学生的各种感官来学习知识,整个教学活动中留有足够的空间让学生动口、动手、动脑,充分发挥了学生的主体学习地位,同时很好地培养了学生的发散性思维.整节课的安排,努力贯彻“学生为主体、教师为主导”学生自主发展的教育原则.教师只是对概念的引入加以指导以及对整个教学流程加以控制,其余都让学生自己观察、思考、操作、联想、讨论、口述,这样有利于每位学生积极动脑、动手、动口、耳闻、目睹,使全体学生真正成为学习活动的主人.其中,动手操作不仅适合八年级学生的年龄特征,更能激发学生的求知欲,使学生处于一种跃跃欲试的求知状态,从而创设良好的求知氛围,这样将有利于学生在教师的引导下去发现与掌握新知识.1.学生对轴对称图形和成轴对称图形的概念容易混淆,教师分析的不够到位.2.对于轴对称和成轴对称的性质教师还可以适当地加以延伸.3.对于知识的归纳和总结教师说得多,学生说得少.对于轴对称图形和成轴对称图形的概念要指导学生认真地区分,可以从两方面考虑:一是概念;二是它们的区别和联系,要让学生明确成轴对称的两个图形如果看成一个整体,就是一个轴对称图形.对于轴对称图形和成轴对称的图形的性质,一定要让学生自己去发现、归纳,在不足的情况下,让学生互相补充,能让学生说出来的,教师绝不包办代替,给学生自由思考和交流的空间,让他们自主探索,全面发展.练习(教材第110页)1.提示:从左到右依次标出(1)(2)(3)(4),图(1)(3)(4)是轴对称图形.画图略.2.解:画出的对称轴如图所示.图(1)中点B与点C关于对称轴对称.图(2)中点A与点D关于对称轴对称,点B 与点C关于对称轴对称.图(3)中点B与点D关于对称轴对称.习题(教材第110页)A组1.解: (1)第1,4个图形是轴对称图形. (2)对称轴如图所示.2.解:如图所示.B组1.提示:过点A作直线l的垂线,交直线l右侧四边形于点A'.(点B',C'同理,图略)2.解:∠BCD=2×(360°-90°-130°-110°)=2×30°=60°.唐朝某地建造了一座十佛寺,竣工时,太守在庙门右边写了一副上联“万瓦千砖百匠造成十佛寺”希望有人对出下联,且表达恰如其分,几个月过去了,无人能对,有个文人李生路过,感觉庙前没有下联不像话,十分感慨,一连几天在庙前苦思冥想,未能对出下联,有次在庙前散步,望见一条大船由远而来,船夫正使劲地摇橹,这时李生突发灵感,对出了下联“一舟二橹四人摇过八仙桥”.太守再次路过此庙时,看到下联,连连称赞:“妙、妙、妙”.这副对联数字对数字,事物对事物,对仗工整,可见,对称美在文学方面也有生动深刻的体现.生活中的轴对称无处不在,只要你善于观察,将会发现其间所蕴涵的丰富的文化价值和对称美给人带来的无穷享受.(2019·日照中考)下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志,在这四个标志中,是轴对称图形的是()〔解析〕 A.不是轴对称图形,故本选项错误;B.不是轴对称图形,故本选项错误;C.不是轴对称图形,故本选项错误;D.是轴对称图形,故本选项正确.故选D.(2019·大庆中考)以下图形中对称轴的数量小于3的是()〔解析〕 A.有4条对称轴;B.有6条对称轴;C.有4条对称轴;D.有2条对称轴.故选D.。
《第16章轴对称和中心对称》单元测试(2)含答案解析
《第16章轴对称和中心对称》一、选择题1．如图，羊字象征吉祥和美好，下图的图案与羊有关，其中是轴对称图形的有（）A．1个B．4个C．3个D．2个2．等腰三角形两边的长分别为2cm和5cm，则这个三角形的周长是（）A．9cm B．12cmC．9cm或12cm D．在9cm或12cm之间3．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论正确的是（）A．PD=PE B．PE=OE C．∠DPO=∠EOP D．PD=OD4．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=3cm，则线段PB的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm5．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BCC．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点7．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（）A．30° B．50° C．90° D．100°8．如图，已知AC∥BD，OA=OC，则下列结论不一定成立的是（）A．∠B=∠D B．∠A=∠B C．OA=OB D．AD=BC9．已知M（a，3）和N（4，b）关于y轴对称，则（a+b）的值为（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣710．如图所示，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是（）A．B．C．D．二、填空题11．观察字母A，E，H，O，T，W，X，Z，其中不是轴对称的字母是．12．如图，是从镜中看到的一串数字，这串数字应为．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为．14．已知点P关于x轴的对称点P′的坐标是（2，3），那么P关于y轴对称点P″的坐标是．15．等腰三角形一个顶角和一个底角之和是110°，则顶角是．16．如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥BO于点C，则关于直线OE对称的三角形共有对．17．如图所示，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是cm．18．如下图，在△ADC中，AD=BD=BC，若∠C=25°，则∠ADB= 度．三、解答题19．如图，已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC 边上的点F，求CE的长．20．如图，已知线段CD垂直平分线AB，AB平分∠CAD，问AD与BC平行吗？请说明理由．21．如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短．22．如图，在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB和△ACB的外角∠ACG，EF∥BC交AC于点D，求证：DE=DF．23．已知，如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC=8，△ABE 的周长为14，求AB的长．24．已知点A（2m+n，2），B （1，n﹣m），当m、n分别为何值时，（1）A、B关于x轴对称；（2）A、B关于y轴对称．25．如图，AD∥BC，∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，过点P的直线垂直于AD，垂足为D，交BC于点C．试问：点P是线段CD的中点吗？为什么？《第16章轴对称和中心对称》参考答案与试题解析一、选择题1．如图，羊字象征吉祥和美好，下图的图案与羊有关，其中是轴对称图形的有（）A．1个B．4个C．3个D．2个【考点】轴对称图形．【分析】此题主要是分析汉字的对称性，美和善都是轴对称图形，祥和洋不是对称图形．【解答】解：美和善都是轴对称图形，祥和洋不是对称图形．共2个．故选D．【点评】本题考查了轴对称图形，能够根据轴对称图形的概念，正确分析汉字的对称性．轴对称的概念：把其中的一个图形沿某直线翻折，能够和另一个图形完全重合，则两个图形关于某直线对称．2．等腰三角形两边的长分别为2cm和5cm，则这个三角形的周长是（）A．9cm B．12cmC．9cm或12cm D．在9cm或12cm之间【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当腰长是2cm时，因为2+2＜5，不符合三角形的三边关系，应排除；当腰长是5cm时，因为5+5＞2，符合三角形三边关系，此时周长是12cm．故选B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．3．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论正确的是（）A．PD=PE B．PE=OE C．∠DPO=∠EOP D．PD=OD【考点】角平分线的性质．【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PE．【解答】解：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．故选A．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．4．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=3cm，则线段PB的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得PB=PA．【解答】解：∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，∴PB=PA，∵PA=3cm，∴PB=3cm．故选D．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．5．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【专题】分类讨论．【分析】已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论．【解答】解：当腰是3cm时，则另两边是3cm，7cm．而3+3＜7，不满足三边关系定理，因而应舍去．当底边是3cm时，另两边长是5cm，5cm．则该等腰三角形的底边为3cm．故选：B．【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BCC．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】由在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC与∠C 的度数，又由AB的垂直平分线是DE，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD=BD，继而求得∠ABD的度数，则可知BD平分∠ABC；可得△BCD的周长等于AB+BC，又可求得∠BDC的度数，求得AD=BD=BC，则可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C==72°，∵AB的垂直平分线是DE，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=36°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=72°﹣36°=36°=∠ABD，∴BD平分∠ABC，故A正确；∴△BCD的周长为：BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB，故B正确；∵∠DBC=36°，∠C=72°，∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，∴AD=BD=BC，故C正确；∵BD＞CD，∴AD＞CD，∴点D不是线段AC的中点，故D错误．故选D．【点评】此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换．7．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（）A．30° B．50° C．90° D．100°【考点】轴对称的性质；三角形内角和定理．【分析】由已知条件，根据轴对称的性质可得∠C=∠C′=30°，利用三角形的内角和等于180°可求答案．【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴∠A=∠A′=50°，∠C=∠C′=30°；∴∠B=180°﹣80°=100°．故选D．【点评】主要考查了轴对称的性质与三角形的内角和是180度；求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°．8．如图，已知AC∥BD，OA=OC，则下列结论不一定成立的是（）A．∠B=∠D B．∠A=∠B C．OA=OB D．AD=BC【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．【分析】本题可根据平行线的性质和OA=OC的条件来得出∠A、∠B、∠C、∠D四角的大小关系，进而可判断各条件的对错．【解答】解：∵AC∥BD，∴∠A=∠D，∠C=∠B；又∵OA=OC，∠A=∠C；∴∠A=∠D=∠C=∠B，∴△AOC和△BOD为等腰三角形；∴OA+OB=OC+OD，即AD=BC．所以A、B、D成立；C不一定成立．故选C．【点评】本题较简单，但构思巧妙，结合了等腰三角形和平行线的性质，是一道好题．9．已知M（a，3）和N（4，b）关于y轴对称，则（a+b）的值为（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出a、b，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：∵M（a，3）和N（4，b）关于y轴对称，∴a=﹣4，b=3，∴（a+b）=（﹣4+3）=1．故选A．【点评】本题考查了关于x轴y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．10．如图所示，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是（）A．B．C．D．【考点】剪纸问题．【分析】此类问题只有动手操作一下，按照题意的顺序折叠，剪开，观察所得的图形，可得正确的选项．【解答】解：按照题意，动手操作一下，可知展开后所得的图形是选项B．故选B．【点评】对于一下折叠、展开图的问题，亲自动手操作一下，可以培养空间想象能力．二、填空题11．观察字母A，E，H，O，T，W，X，Z，其中不是轴对称的字母是Z ．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念可知．【解答】解：其中不是轴对称图形的只有Z．【点评】能够根据轴对称图形的概念，正确判断字母的对称性．12．如图，是从镜中看到的一串数字，这串数字应为810076 ．【考点】镜面对称．【专题】几何图形问题．【分析】关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字．【解答】解：∵是从镜子中看，∴对称轴为竖直方向的直线，∵镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，∴这串数字应为 810076，故答案为：810076．【点评】考查镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为2cm ．【考点】角平分线的性质．【分析】首先过点D作DE⊥AB于E，由在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质，即可得DE=CD，又由BC=5cm，BD=3cm，即可求得CD的长，继而求得点D到AB的距离．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，∵在△ABC中，∠C=90°，∴DC⊥AC，∵AD是∠BAC的角平分线，∴DE=CD，∵BC=5cm，BD=3cm，∴CD=BC﹣BD=2cm，∴DE=2cm．∴点D到AB的距离为2cm．故答案为：2cm．【点评】此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．14．已知点P关于x轴的对称点P′的坐标是（2，3），那么P关于y轴对称点P″的坐标是（﹣2，﹣3）．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【专题】综合题．【分析】根据平面直角坐标系中两点关于x轴的对称点的坐标关系：横坐标不变，纵坐标互为相反数；可知道P点的坐标，再根据两点关于y轴对称的点的坐标关系：纵坐标不变，横坐标互为相反数，得出P″的坐标．【解答】解：∵点P关于x轴的对称点P′的坐标是（2，3），根据轴对称的性质，得P点的坐标是（2，﹣3），根据两点关于y轴对称的点的坐标关系：纵坐标不变，横坐标互为相反数，得出P″的坐标为（﹣2，﹣3），故答案为（﹣2，﹣3）．【点评】本题考查了平面直角坐标系中两点关于x轴和y轴对称，横纵坐标的关系，难度适中．15．等腰三角形一个顶角和一个底角之和是110°，则顶角是40°．【考点】等腰三角形的性质．【分析】已知给出了两角的和，可根据三角形内角和定理求出另一个底角，再相减即可求出顶角．【解答】解：依题意得：等腰三角形的顶角和一个底角的和是110°即它的另一个底角为180°﹣110°=70°∵等腰三角形的底角相等故它的一个顶角等于110°﹣70°=40°．故答案为：40°．【点评】本题考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的性质；本题思路比较直接，简单，属于基础题．16．如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥BO于点C，则关于直线OE对称的三角形共有 4 对．【考点】轴对称图形．【分析】关于直线OE对称的三角形就是全等的三角形，据此即可判断．【解答】解：△ODE和△OCE，△OAE和△OBE，△ADE和△BCE，△OCA和△ODB共4对．故答案为：4．【点评】能够理解对称的意义，把找对称三角形的问题转化为找全等三角形的问题，是解决本题的关键．17．如图所示，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是19 cm．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】由已知条件，根据垂直平分线的性质得到线段相等，进行线段的等量代换后可得到答案．【解答】解：∵△ABC中，DE是AC的中垂线，∴AD=CD，AE=CE=AC=3cm，∴△ABD得周长=AB+AD+BD=AB+BC=13 ①则△ABC的周长为AB+BC+AC=AB+BC+6 ②把②代入①得△ABC的周长=13+6=19cm故答案为：19．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质；解答此题时要注意利用垂直平分线的性质找出题中的等量关系，进行等量代换，然后求解．18．如下图，在△ADC中，AD=BD=BC，若∠C=25°，则∠ADB= 80 度．【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．【分析】在等腰△BDC中，可得∠BDC=∠C；根据三角形外角的性质，即可求得∠ABD=50°；进而可在等腰△ABD中，运用三角形内角和定理求得∠ADB的度数．【解答】解：∵BD=BC，∴∠BDC=∠C=25°；∴∠ABD=∠BDC+∠C=50°；△ABD中，AD=BD，∴∠A=∠ABD=50°；故∠ADB=180°﹣∠A﹣∠ABD=80°．故答案为：80．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理；利用三角形外角求得∠ABD=50°是正确解答本题的关键．三、解答题19．如图，已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC 边上的点F，求CE的长．【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）．【专题】几何图形问题．【分析】要求CE的长，应先设CE的长为x，由将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F可得Rt△ADE ≌Rt△AFE，所以AF=10cm，EF=DE=8﹣x；在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，已知AB、AF的长可求出BF的长，又CF=BC﹣BF=10﹣BF，在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即：（8﹣x）2=x2+（10﹣BF）2，将求出的BF的值代入该方程求出x的值，即求出了CE的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=10cm，CD=AB=8cm，根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AFE，∴∠AFE=90°，AF=10cm，EF=DE，设CE=xcm，则DE=EF=CD﹣CE=8﹣x，在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，∴BF=6cm，∴CF=BC﹣BF=10﹣6=4（cm），在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即（8﹣x）2=x2+42，∴64﹣16x+x2=x2+16，∴x=3（cm），即CE=3cm．【点评】本题主要考查运用勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，根据已知条件求指定边长的能力．20．如图，已知线段CD垂直平分线AB，AB平分∠CAD，问AD与BC平行吗？请说明理由．【考点】线段垂直平分线的性质；平行线的判定．【分析】由线段CD垂直平分线AB，根据线段垂直平分线的性质，易得∠CAB=∠CBA，又由AB平分∠CAD，即可得∠DAB=∠CBA，继而证得AD与BC平行．【解答】解：AD∥BC，理由：∵CD垂直平分AB，∴AC=BC，∴∠CAB=∠CBA，∵AB平分∠CAD，即∠CAB=∠DAB，∴∠ABC=∠DAB，∴AD∥BC．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及平行线的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．21．如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短．【考点】轴对称-最短路线问题．【专题】作图题．【分析】分别以直线OX、OY为对称轴，作点P的对应点P1与P2，连接P1P2交OX于M，交OY于N，则PM+MN+NP最短．【解答】解：如图所示：分别以直线OX、OY为对称轴，作点P的对应点P1与P2，连接P 1P 2交OX 于M ，交OY 于N ，则PM+MN+NP 最短．【点评】本题主要利用了两点之间线段最短的性质通过轴对称图形的性质确定三角形的另两点．22．如图，在△ABC 中，CE 、CF 分别平分∠ACB 和△ACB 的外角∠ACG ，EF ∥BC 交AC 于点D ，求证：DE=DF ．【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】证明题．【分析】利用平行线及角平分线的性质先求得CD=ED ，CD=DF ，然后等量代换即可证明DE=DF ．【解答】证明：∵CE 是△ABC 的角平分线，∴∠ACE=∠BCE ．∵CF 为外角∠ACG 的平分线，∴∠ACF=∠GCF ．∵EF ∥BC ，∴∠GCF=∠F ，∠BCE=∠CEF ．∴∠ACE=∠CEF ，∠F=∠DCF ．∴CD=ED ，CD=DF （等角对等边）．∴DE=DF ．【点评】本题考查了等腰三角形的判定及角平分线的性质和平行线的性质；进行等量代换是正确解答本题的关键．23．已知，如图，在△ABC 中，AB ＜AC ，BC 边上的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AC 于点E ，AC=8，△ABE 的周长为14，求AB 的长．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】利用垂直平分线的性质和已知的周长计算．【解答】解：∵DE是BC的中垂线，∴BE=EC，则AC=EC+AE=BE+EA=8，又∵△ABE的周长为14，故AB=14﹣8=6．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）有关知识．难度简单．24．已知点A（2m+n，2），B （1，n﹣m），当m、n分别为何值时，（1）A、B关于x轴对称；（2）A、B关于y轴对称．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】（1）根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得，再解方程组即可；（2）根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得，再解方程组即可．【解答】解：（1）∵点A（2m+n，2），B （1，n﹣m），A、B关于x轴对称，∴，解得；（2）∵点A（2m+n，2），B （1，n﹣m），A、B关于y轴对称，∴，解得：．【点评】此题主要考查了关于x、y轴对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标特点．25．如图，AD∥BC，∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，过点P的直线垂直于AD，垂足为D，交BC于点C．试问：点P是线段CD的中点吗？为什么？【考点】角平分线的性质．【分析】过点P作PE⊥AB于E，根据垂直于同一直线的两直线互相平行求出PC⊥BC，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PE，PC=PE，从而得到PC=PD，然后根据线段中点的定义解答．【解答】答：点P是线段CD的中点．证明如下：过点P作PE⊥AB于E，∵AD∥BC，PD⊥CD于D，∴PC⊥BC，∵∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，∴PD=PE，PC=PE，∴PC=PD，∴点P是线段CD的中点．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．。
第十六章 轴对称和中心对称
第十六章轴对称和中心对称（A卷-中档卷）注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．答题时间：60分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022·四川·威远县凤翔中学二模）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．【详解】A．是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；B．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是掌握寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．（2022·江苏无锡·八年级期中）下列说法中错误的是（ ）A．两个成轴对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴B．关于某直线对称的两个图形全等C．面积相等的两个四边形对称D．轴对称指的是两个图形沿着某一条直线对折后能完全重合【答案】C【分析】根据轴对称的概念：如果有一个图形沿着某一条直线折叠能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，且是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，据此进行分析即可．【详解】解：A 、两个成轴对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴，选项正确，不符合题意；B 、关于某直线对称的两个图形全等，选项正确，不符合题意；C 、面积相等的两个四边形不一定能完全重合，不一定对称，选项错误，符合题意；D 、轴对称指的是两个图形沿着某一条直线对折后能完全重合，选项正确，不符合题意．故选：C【点睛】本题考查了轴对称的概念和性质，熟练掌握其概念是解题的关键．3．（2022·陕西渭南·三模）如图，在水平地面AB 上放一个平面镜BC ，一束垂直于地面的光线经平面镜反射，若反射光线与地面平行，则平面镜BC 与地面AB 所成的锐角a 为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【答案】B 【分析】利用平行线的性质和光的反射原理计算．【详解】解：Q 入射光线垂直于水平光线，\它们的夹角为90°，虚线为法线，1Ð为入射角，11=90=452\д°°1=22+3=90ÐÐÐа，Q 3=90145\а-Ð=°Q 两水平线平行=345a \ÐÐ=°故选：B ．【点睛】本题考查平行线的性质、光的反射原理、入射角等于反射角等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．4．（2022·河北保定·八年级期中）如图，A ，B ，C 三个村庄围成了一个三角形，想在ABC V 的内部建一个超市，且超市到三个村庄的距离相等，则此超市应建在（ ）A ．ABC V 三条高的交点处B ．ABC V 三条角平分线的交点处C ．ABC V 三条边垂直平分线的交点处D ．ABC V 三条中线的交点处【答案】C 【分析】要求超市到三个村庄的距离相等，首先思考到A 村庄、B 村庄距离相等，根据线段垂直平分线的判定定理知满足条件的点在线段AB 的垂直平分线上，同理到B 村庄、C 村庄的距离相等的点在线段BC 的垂直平分线上，于是到三个村庄的距离相等的点应是其交点，又因为三角形三边的垂直平分线相交于一点，所以答案可得．【详解】解：根据线段垂直平分线的判定可知：和一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可知超市应建在ABC V 三条边的垂直平分线的交点处．故选：C ．【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的判定：和一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；此题是一道实际应用题，做题时，可分别考虑，先满足到两个村庄的距离相等，再满足到另两个村庄的距离相等，交点即可得到．5．（2022·山东滨州·八年级期中）如图，已知()ABC AC BC <V ，用尺规在BC 上确定一点P ，使PA PC BC +=．则下列四种不同方法的作图中准确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】利用线段垂直平分线的性质以及圆的性质分别分得出即可．【详解】解：A 、由作法可知BA BP =，则无法得出AP BP =，故不能得出PA PC BC +=，故不符合题意；B 、由作法可知PA PC =，则无法得出AP BP =，故不能得出PA PC BC +=，故不符合题意；C 、由作法可知CA CP =，则无法得出AP BP =，故不能得出PA PC BC +=，故不符合题意；D 、由作法可知AP BP = ，故能得出PA PC BC +=，故符合题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查了复杂作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．6．（2022·江苏·仪征市第三中学八年级期中）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB ，另一把直尺压住射线OA 并且与第一把直尺交于点P ，小明说：“射线OP 就是AOB Ð的角平分线．”他这样做的依据是（ ）A ．角平分线上的点到这个角两边的距离相等B ．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上C ．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D ．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等【答案】B【分析】如图，过点P 作PE AO ^于E 点，PF BO ^于F 点，则PE PF =，然后根据角平分线的性质定理的逆定理可判断OP 平分AOB Ð．【详解】解：如图，过点P 作PE AO ^于E 点，PF BO ^于F 点，∵两把长方形直尺完全相同，∴PE PF =，∴OP 平分AOB Ð（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选：B ．【点睛】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．7．（2022·湖北·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）八年级期中）如图，在ABC V 中，47C Ð=°，将ABC V 沿着直线l 折叠，点C 落在点D 的位置，则12Ð-Ð的度数是（ ）A ．88°B ．94°C ．104°D ．133°【答案】B 【分析】由折叠的性质得到D C Ð=Ð，再利用外角性质即可求出所求角的度数．【详解】解：由折叠的性质得：47D C Ð=Ð=°，根据外角性质，可得13C Ð=Ð+Ð，32D Ð=Ð+Ð，则1222294C D C Ð=Ð+Ð+Ð=Ð+Ð=Ð+°，则1294Ð-Ð=°．故选：B ．【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题）和外角性质的知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．8．（2022·广西·南宁十四中八年级期中）如图，在ABC V 中，BAC Ð和ABC Ð的角平分线交于点O ，6cm,9cm,AB BC ABO ==△的面积为218cm ，则BOC V 的面积为（ ）A ．213.5cm B ．218cm C ．224cm D ．227cm 【答案】D 【分析】过O 点作OD AB ^于D 点，OE BC ^于E 点，根据角平分线的性质得出OD OE =，根据三角形面积得出::BOC AOB S S BC AB =△△，代入数据即可求解．【详解】解：过O 点作OD AB ^于D 点，OE BC ^于E 点，如图，∵OB 平分ABC Ð，∴OD OE =，∴::BOC AOB S S BC AB =△△，∴()291827cm 6BOC S =´=△．故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．9．（2022·山东山东·八年级期中）如图，已知AB CD ∥，AE 和CE 分别平分BAC Ð和ACD Ð，AE 与CE 交于点E ，作直线ED CD ^，垂足为D ，交AB 于点B ，若8,6AC BD ==，则ACE △的面积为（ ）A ．24B ．18C ．12D ．6【答案】C 【分析】过点E 作EF AC ^于点F ，根据角平分线的性质得出BE EF ED ==，从而求出EF 的长度，然后根据三角形面积计算公式计算即可．【详解】解：过点E 作EF AC ^于点F ，∵AB CD ∥，ED CD ^，∴EB AB ^，∵AE 和CE 分别平分BAC Ð和ACD Ð，∴BE EF ED ==，∴点E 是BD 的中点，∵8,6AC BD ==，∴132EF BD ==，∴11831222ACE S AC EF =´´=´´=V ，故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的任意一点到角两边的距离相等是解本题的关键．10．（2022·江苏常州·八年级期中）如图，在四边形ABCD 中，90A Ð=°，2AD =，5BC =，BD 平分ABC Ð，则BCD △的面积是（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】A 【分析】过D 点作DE BC ^于E ，根据角平分线的性质得到2DE DA ==，根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：过D 点作DE BC ^于E ，如图，BD Q 平分ABC Ð，DE BC ^，DA AB ^，2DE DA \==，BCD \△的面积15252=´´=．故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2022·江苏苏州·九年级期中）如图，三圆同心于O ，4AB cm =，CD AB ^于O ，则图中阴影部分面积为______cm 2．【答案】p 【分析】根据圆的对称性可得图中阴影部分的面积正好是圆的面积的14，进而就可以求得．【详解】解：阴影部分的面积()22111=424444r p p p p =´¸=´=，故答案为：p ．【点睛】本题考查了圆是轴对称图形，两条相互垂直的直径是圆的对称轴，解题的关键是注意把不同的部分转移到一个图形中作答．12．（2022·陕西西安·九年级期中）已知点(),3A a -与点()4,B b 关于原点对称，则()2022a b +的值是 _____．【答案】1【分析】根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，可得a 、b 的值，再代入所求式子计算即可．【详解】解：∵(),3A a -与点()4,B b 关于原点对称，∴43a b =-=，，()()2022202211a b +=-=，故答案是：1．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标．熟练掌握关于原点对称的点的坐标规律：横纵坐标都变成相反数，是解题的关键．13．（2022·湖北·公安县教学研究中心八年级期中）如图，在ABC V 中，4AB =，6AC =，8BC =，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，交AB 于点M ，交AC 于点N ，分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在BAC Ð的内部相交于点G ，画射线AG ，交BC 于点D ，点F 在AC 边上，且AF AB =，连接DF ，则CDF V 的周长为______．【答案】10【分析】直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定与性质进而得出BD DF =，即可得出答案．【详解】解：∵4AB =，6AC =，4AF AB ==，642FC AC AF \=-=-=，由作图方法可得：AD 平分BAC Ð，BAD CAD \Ð=Ð，在ABD D 和AFD D 中AB AF BAD FAD AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AFD SAS \D @D ，BD DF \=，DFC \D 的周长为：8210DF FC DC BD DC FC BC FC ++=++=+=+=．故答案为：10．【点睛】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质，正确理解基本作图方法是解题关键．14．（2022·山东滨州·八年级期中）如图，BD 垂直平分AG 于D CE ，垂直平分AF 于E ，若243BF FG GC ===，，，则ABC V 的周长为____．【答案】22【分析】利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可．【详解】解：∵BD 垂直平分AG，∴246BA BG BF FG ==+=+=，∵CE 垂直平分AF ，∴347CA CF CG FG ==+=+=，∴279BC BF CF =+=+=，∴ABC V 的周长67922AB AC BC =++=++=，故答案为：22．【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．（2022·天津二十中八年级期中）如图，ABE V 和ADC △是由ABC V 沿着AB 、AC 边翻折180°得到的，若::28:5:3BAC ABC ACB ÐÐÐ=，则1Ð的度数为___________．【答案】80°##80度【分析】由题意设28,5,3BAC x ABC x ACB x Ð=°Ð=°Ð=°，利用三角形的内角和定理可求解x 的值，即可求解140,25,15BAC ABC ACB Ð=°Ð=°Ð=°，再由折叠的性质“折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等”可求得,EBC DCB ÐÐ的度数，根据三角形外角的性质可求解即可．【详解】解：∵::28:5:3BAC ABC ACB ÐÐÐ=，∴设28,5,3BAC x ABC x ACB x Ð=°Ð=°Ð=°，则2853180x x x °+°+°=°，解得5x =，∴140,25,15BAC ABC ACB Ð=°Ð=°Ð=°，由折叠可知25,15EBA ABC DCA ACB Ð=Ð=°Ð=Ð=°，∴50,30EBC DCB Ð=°Ð=°，∴1503080EBC DCB Ð=Ð+Ð=°+°=°．故答案为：80°．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．16．（2022·天津·测试·编辑教研五八年级期中）如图，将ABC V 沿AD 折叠使得顶点C 恰好落在AB 边上的点M 处，D 在BC 上，点P 在线段AD 上移动，若6AC =，14AB =，11BC =，则PMB △周长的最小值为_______．【答案】19【分析】首先明确要使得PMB △周长最小，即使得PM PB +最小，再根据翻折的性质可知PM PB +，从而可得满足PC PB +最小即可，根据两点之间线段最短确定BC 即为最小值，从而求解即可．【详解】解：由翻折的性质可知，AM AC =，PM PC =，∴M 点为AB 上一个固定点，则BM 长度固定，∵PMB C PM PB BM =++V ，∴要使得PMB △周长最小，即使得PM PB +最小，∵PM PC =，∴满足PC PB +最小即可，显然，当P 、B 、C 三点共线时，满足PC PB +最小，如图所示，此时，P 点与D 点重合，PC PB BC +=，∴PMB △周长最小值即为BC BM +，根据折叠可知，6AM AC ==，∵14AB =，∴1468BM AB AM =-=-=，∵11BC =，∴PMB △周长最小值即为11819BC BM +=+=，故答案为：19．【点睛】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键．三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022·浙江·九年级专题练习）在小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．(1)ABC V 的三个顶点都在格点上．①在图1中，画出一个与ABC V 成中心对称的格点三角形；②在图2中，画出ABC V 绕着点C 按顺时针方向旋转90°后的三角形．(2)如图3是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，请用无刻度的直尺画经过点P 的一条直线，使它平分该图形的面积，保留连线的痕迹，不要求说明理由．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)见解析【分析】（1）①以点C 为对称中心，画出图形即可；②根据旋转的性质，即可画出22A B C V ；（2）根据中心对称图形的性质即可解决问题．【详解】（1）①如图1，11A B C V 即为所求；②如图2，22A B C V 即为所求；（2）如图3，即为画出直线．【点睛】本题主要考查了作图﹣旋转变换，中心对称图形的性质等知识，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键．18．（2022·山东菏泽·八年级期中）如图，在ABC V 中，AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点F ，点D 为CE 的中点，连接AD ，此时24CAD Ð=°，66ACB Ð=°．求证：BE AC =．【答案】见解析【分析】连接AE ，根据三角形内角和定理得到90ADC Ð=°，根据线段垂直平分线的性质得到DE DC =，AE BE =，等量代换证明结论．【详解】证明：连接AE ，∵66ACB Ð=°，24DAC Ð=°，∴180180246690ADC DAC ACB Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，∴AD EC ^，∵点D 为CE 的中点，∴DE DC =，∴AD 是线段CE 的垂直平分线，∴AE AC =，∵EF 垂直平分AB ，∴AE BE =，∴BE AC =．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．19．（2022·山东济宁·八年级期中）图1是一个平分角的仪器，其中OD OE FD FE ==，．(1)如图2，将仪器放置在ABC V 上，使点O 与顶点A 重合，D ，E 分别在边AB AC ，上，沿AF 画一条射线AP ，交BC 于点P ．AP 是BAC Ð的平分线吗？请判断并说明理由．(2)如图3，在（1）的条件下，过点P 作PQ 上AB 于点Q ，若69PQ AC ==，，ABC V 的面积是60，求AB 的长．【答案】(1)AP 是BAC Ð的平分线，理由见解析(2)11AB =【分析】（1）利用三条对应边相等证明ADF AEF V V ≌来得到DAF EAF Ð=Ð即可．（2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到APC △的高，再运用割补法及面积计算公式解题即可．【详解】（1）解：AP 是BAC Ð的平分线理由如下：在ADF △和AEF △中，AD AE AF AF DF EF =ìï=íï=î，∴()SSS ADF AEF △△≌∴DAF EAF Ð=Ð，∴AP 平分BAC Ð．（2）解： ∵AP 平分BAC Ð，PQ AB ^，∴APC △的高等于PQ ，∵6PQ =．∴69227APC S =´¸=△，∵33ABP ABC APC S S S =-=△△△∴2332611ABP AB S PQ =¸=´¸=△．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键．20．（2022·重庆南开中学八年级开学考试）如图，已知在△ABC 中，∠BAC ＝80°，∠ACB ＝70°．(1)尺规作图：按要求完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）：①作∠BAC 的角平分线AF ，交BC 于F ；②作线段AB 的垂直平分线DE ，分别交AB 、BC 于点D 、点E ；(2)在（1）的条件下，连接AE ，∠EAF =_____°．【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)10．【分析】（1）①根据角平分线的作法即可作BAC Ð的角平分线AF ，交BC 于F ；②根据线段垂直平分线的作法即可作线段AB 的垂直平分线DE ，分别交AB 、BC 于点D 、点E ；（2）首先根据三角形内角和定理可得30B а＝，然后根据线段垂直平分线的性质和角平分线的定义即可求出EAF Ð的度数．【详解】（1）①如图，BAC Ð的角平分线AF 即为所求；②如图，线段AB 的垂直平分线DE 即为所求；（2）∵80BAC Ð=°，70ACB Ð=°．∴18030B BAC ACB ÐÐÐ=°--=°，∵DE 是AB 的垂直平分线，∴EA EB =，∴30EAB B ÐÐ==°，∵AF 平分BAC Ð，∴BAF Ð=1402BAC Ð=°，∴10EAF BAF EAB ÐÐÐ=-=°．故答案为：10．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．21．（2022·新疆·哈密市第四中学八年级期中）如图所示，已知O 是APB Ð内的一点，点M 、N 分别是O 点关于PA 、PB 的对称点，MN 与PA 、PB 分别相交于点E 、F ，已知5cm MN =．(1)求OEF V 的周长；(2)连接PM 、PN ，判断PMN V 的形状，并说明理由；(3)若APB a Ð=，求MPN Ð（用含a 的代数式表示）．【答案】(1)OEF V 的周长为5cm ；(2)PMN V 是等腰三角形，理由见解析(3)2MPN a Ð=．【分析】（1）根据轴对称的性质，可得ME EO FN FO ==，，根据三角形的周长公式，可得答案；（2）根据轴对称的性质，可得PM PO PO PN ==，，根据等腰三角形的判定，可得答案；（3）根据轴对称的性质，可得APO APM BPO BPN Ð=ÐÐ=Ð，，根据角的和差，可得答案．【详解】（1）解：由点M 、N 分别是O 点关于PA 、PB 的对称点，得ME EO FN FO ==，．由三角形的周长，得()5cm OEF C OE EF OF ME EF FN MN D =++=++==；（2）解：PMN V 是等腰三角形，理由：如图：，由点M 、N 分别是O 点关于PA 、PB 的对称点，得PM PO PO PN ==，，∴PM PN =，∴PMN V 是等腰三角形；（3）解：由点M 、N 分别是O 点关于PA 、PB 的对称点，得APO APM BPO BPN Ð=ÐÐ=Ð，．由角的和差，得APO BPO APB a Ð+Ð=Ð=，∴APM BPN APO BPO APB a Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=，∴2MPN MPA APO BPO BPN a a a Ð=Ð+Ð+Ð+Ð=+=．【点睛】本题考查了轴对称，利用对称轴上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．22．（2022·湖南长沙·八年级期中）如图所示，在ABC V 中，90C Ð=°，AD 是BAC Ð的平分线，DE AB ^交AB 于E ，F 在AC 上，B CFD Ð=Ð．证明：(1)CF EB =；(2)2AB AF EB =+．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）证明CDF EDB △≌△即可；（2）由AB AE EB =+，结合条件可知AC AE =且CF EB =，代入可证得结论．【详解】（1）∵AD 是BAC Ð的平分线，DE AB ^，DC AC ^，∴DE DC =，90BED C Ð=Ð=°，∴在CDF V 和EDB △中，C BED CFD BCD ED Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴()AAS CDF EDB V V ≌，∴CF EB =；（2）∵AD 是BAC Ð的平分线，DE AB ^，DC AC ^，∴CAD EAD Ð=Ð，由已知有：90Ð=°-ÐADC CAD ，90ADE EAD Ð=°-Ð，∴ADC ADE Ð=Ð ，在ADC △和ADE V 中，CAD EAD AD ADADC ADE Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴()ASA ADC ADE V V ≌，∴AC AE =，由（1）知CF EB =，∴2AB AE EB AC EB AF CF EB AF EB =+=+=++=+．【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法，角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．判定三角形全等的方法有：SSS ，SAS ，AAS ，ASA ，HL (直角三角形)．23．（2022·江西赣州·七年级期末）综合与实践：折纸中的数学知识背景我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理．七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学﹣﹣长方形纸条的折叠与平行线．知识初探(1)如图1，长方形纸条ABGH 中，,AB GH AH BG P P ，∠A ＝∠B ＝∠G ＝∠H ＝90°，将长方形纸条沿直线CD 折上，点A 落在A '处，点B 落在B '处，B 'C 交AH 于点E ，若∠ECG ＝70°，则∠CDE ＝ ；类比再探(2)如图2，在图1的基础上将∠HEC 对折，点H 落在直线EC 上的H '处，点G 落在G '处得到折痕EF ，则折痕EF 与CD 有怎样的位置关系？说明理由；(3)如图3，在图2的基础上，过点G '作BG 的平行线MN ，请你猜想∠ECF 和∠H 'G 'M 的数量关系，并说明理由．【答案】(1)55°(2)EF CD P ，理由见解析(3)90ECF H G M ''Ð+Ð=°，理由见解析【分析】（1）先根据折叠的性质可得BCD ECD Ð=Ð，再根据平角的定义可得55BCD Ð=°，然后根据平行线的性质即可得；（2）先根据折叠的性质可得12BCD ECD BCE Ð=Ð=Ð，12HEF CEF HEC Ð=Ð=Ð，再根据平行线的性质可得BCE HEC Ð=Ð，从而可得ECD CEF Ð=Ð，然后根据平行线的判定即可得出结论；（3）过点H '作H O MN 'P 于O ，先根据平行线的性质可得H G M OH G ''''Ð=Ð，再根据平行公理推论可得H O BG 'P ，根据平行线的性质可得ECF EH O 'Ð=Ð，然后根据折叠的性质可得90EH G H ''Ð=Ð=°，从而可得90EH O OH G '''Ð+Ð=°，最后根据等量代换即可得出结论．（1）解：由折叠的性质得：BCD ECD Ð=Ð，70ECG Ð=°Q ，180ECG BCD ECD Ð+Ð+Ð=°，18070552BCD ECD °-°\Ð=Ð==°，AH BG Q P ，55CDE BCD \Ð=Ð=°，故答案为：55°．（2）解：EF CD P ，理由如下：由折叠的性质得：12BCD ECD BCE Ð=Ð=Ð，12HEF CEF HEC Ð=Ð=Ð，AH BG Q P ，BCE HEC Ð=Ð\，ECD CEF \Ð=Ð，EF CD \P ．（3）解：90ECF H G M ''Ð+Ð=°，理由如下：如图，过点H '作H O MN 'P 于O ，H G M OH G ''''\Ð=Ð，又MN BG Q P ，H O BG '\P ，ECF EH O '\Ð=Ð，由折叠的性质得：90EH G H ''Ð=Ð=°，90EH O OH G '''\Ð+Ð=°，90ECF H G M ''\Ð+Ð=°．【点睛】本题考查了折叠的性质、平行线的判定与性质、平行公理推论等知识点，熟练掌握平行线的性质和折叠的性质是解题关键．。
八年级数学上册 16 轴对称和中心对称图形 专题练习 线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理的应用 (
线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理的应用1.撑伞时，把伞“两侧的伞骨”和支架分别看作AB,AC和DB,DC，始终有AB=AC，DB=DC，则伞杆AD 与B,C的连线BC的位置关系为 _________.2.如图所示，在△ABC中，DM,EN分别垂直平分AB和AC，交BC于D,E，若∠DAE=50°，则∠BA C= _____度，若△ADE的周长为19 cm，则BC=__________cm．3．如图，△ABC与△ADC关于直线AC对称，连接BD，若已知四边形ABCD的面积是125，AC=25，则BD的长为 ________．4.已知：如图，在△ABC中，MN是边AB的中垂线，∠MAC=50°，∠C=3∠B，求∠B的度数．专题二线段垂直平分线与轴对称的综合应用5.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄．欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）6.如图，四边形ABCD是一个长方形的台球桌，台球桌上还剩一个黑球没有被打进球袋，在点P的位置，现在轮到你打，你应该把在点Q位置的白球打到AB边上的哪一点，才能反弹回来撞到黑球？7.如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α=（）A．30° B．45° C．60° D．90°专题三作图题8.如图所示，靠近河边有一块三角形菜地，要分给张、王、李、赵四家，为了分配合理，要求面积相同，为了便于浇地，每家都有靠河边的菜地，你能想办法将菜地合理分配吗？（尺规作图，保留作图痕迹）9.如图，△ABC 与△A B C '''关于直线MN 对称，△A B C '''与△A B C ''''''关于直线EF 对称. （1）画出直线EF （尺规作图）；（2）设直线MN 与EF 相交于点O ，夹角为α，试探求∠BOB ''与α的数量关系.参考答案1. 垂直 解析：连结BC ，AD ，∵AB=AC ，DB=DC ，∴A 在线段BC 的垂直平分线上，D 在线段BC 的垂直平分线上， ∴AD 是线段BC 的垂直平分线，即AD ⊥BC ，故答案为：垂直． 2.115 19 解析：①∵DM ，EN 分别垂直平分AB 和AC ，∴AM=BM ，∠AMD=∠BMD=90°，又MD=MD ，∴△AMD ≌△BMD ，∴∠B=∠BAD ，AD=BD. 同理∠C=∠CAE ，AE=CE. ∵∠BAC=∠DAE+∠BAD+∠CAE ， ∴∠BAC=∠DAE+∠B+∠C ；又∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∠DAE=50°，∴∠BAC=115°； ②∵△ADE 的周长为19 cm ， ∴AD+AE+DE=19， 由②知，AD=BD ，AE=EC ， ∴BD+DE+EC=19，即BC=19 cm.3. 10 解析：因为△ABC 与△ADC 关于直线AC 对称，所以AC 垂直平分BD ，所以BE=DE=12BD ，所以1=2ABCD S AC BD ⋅四边形，所以BD=10. 4.解：∵MN 是边AB 的中垂线，∴AN =BN ，∠ANM=∠BNM=90°，又MN=MN ，∴△AMN ≌△BMN ， ∴AM=BM ，∠BAM=∠B. 设∠B=x ，则∠BAM=x ，∵∠C=3∠B ，∴∠C=3x.在△ABC 中，由三角形内角和定理，得x+x+3x+50°=180°， ∴x=26°，即∠B=26°．5.D 解析：（1）作点P 关于直线l 的对称点P '；(2)连结P 'Q ，交直线l 于点M ；沿着P —M —Q 的路线铺设，即为最短.6.解：如图，作点P 关于AB 的对称点P '，连结P Q '交AB 于点M ，则点M 就是所求的点，即把在点Q 位置的白球打到边AB 上的点M 处，才能反弹回来撞到黑球.7.A 解析：如图，作点P 关于OA 的对称点C ，关于OB 的对称点D ，连结CD ，交OA 于E ，OB 于F ．此时，△PEF 的周长最小．连结OC ，OD ，PE ，PF ．∵点P 与点C 关于OA 对称，∴OA 垂直平分PC ，∴∠COA=∠AOP ，PE=CE ，OC=OP ，同理，可得∠DOB=∠BOP ，PF=DF ，OD=OP ．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=2，∴∠COD=2α．又∵△PEF 的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=2，∴OC=OD=C D=2，∴△COD 是等边三角形， ∴2α=60°，∴α=30°．故选A ．8. 解：如图所示：（1）作BC 的垂直平分线b ，交BC 于E ；（2）分别作BE 、CE 的垂直平分线a ，c ，分别交BC 于D ，F ；（3）连接AD ，AE ，AF ，则AD ，AE ，AF 即为分割线.9.解：如图，连结C C '''，作线段C C '''的垂直平分线EF ，则直线EF 即为所求.（2）连结BO ，B O ',B O ''.由△ABC 与△A B C '''关于直线MN 对称，易知∠BOM=∠B OM '.由△A B C '''与△A B C ''''''关于直线EF 对称，易知∠B OE '=∠B OE ''，所以∠B OB '''=∠BOM+∠B OM '+∠OF B '+∠OF B ''=2(∠B OM '+∠OF B ')=2α，即∠BOB ''=2α.。
【人教版】中考数学：第16章《对称、平移与旋转》知识点精讲
专题六 图形与变换⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩轴对称图形轴对称的性质：连接对应点的线段被对称轴垂直平分轴对称作图轴对称画图形的对称轴画某点关于某直线的对称点物质的变化规律画已知图形关于某直线的对称图形设计轴对称图案平移的定义连接对应点的线段平行或在同一条直线上且相图平移的特征等；对应线段平行或在同一条直线上且相等形平移平移后的图形的画法之左右平移：左减右加间用坐标表示平移上下平移：上加下的变换关系()()()()()()90,,180,,90,,a b b a a b a b a b b a ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪︒→-⎧⎪⎪⎪︒→--⎨⎪⎪⎪︒→-⎩⎩减旋转的定义对应点与旋转中心的距离相等：每一点都绕旋旋转的特征转中心旋转了同样大小的角度旋转后的图形的画法中心对称图形的定义中心对称图形中心对称图形的特征旋转中心对称图形的画法逆时针旋转，图形的旋转与坐标逆时针旋转，顺时针旋转，在图形的的⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩轴对称、平移与旋转变换中，图形的形状、大小不变第36讲 轴对称知识能力解读知能解读（一）轴对称图形的概念如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.注意（1）一个轴对称图形的对称轴不一定只要一条，如图（b ）（c ）中各有两条，如图1-36-1（d ）中有4条.（2）轴对称图形需注意：①一个图形；②沿一条直线对折，对折的两部分能完全重合（即重合到自身上）；③对称轴是一条直线.(d)(a)知能解读（二）轴对称的概念把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫作对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫作对称点（如图所示）. (2)(1)注意（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形.（2）如果两图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.注意全等的图形不一定是成轴对称的，成轴对称的图形一定是全等的，所以成轴对称的两个图形中，对应线段相等，对应角相等.知能解读（四）轴对称作（画）图1画图形的对称轴（1）如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，因此我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这个图形的对称轴.（2）对于轴对称图形，只要找到任意一对对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴.注意找对称点时，所找对称点最好是图形的顶点或拐点，这样作出的图形更准确.2画轴对称图形（1）由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l 对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l 的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.（2）几何图形都可以看作是由点组成.对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段的端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.（3）画轴对称图形的步骤；①确定原图形的特殊点；②作出所有特殊点关于对称轴的对称点；③按原图形的顺序顺次连接相应的对称点.注意“特殊点”是指能确定图形形状、大小及位置的关键点.如果是多边形，这些点就是指所有的顶点；如果是线段，这些点就是指线段的两个端点等.知能解读（五）设计轴对称图案应用轴对称知识，设计美观大方的图形，有利于增强对轴对称知识的理解，提高审美能力和创作设计能力.以图中的（a ）为例进行说明.(e)(d)(c)(b)步骤如下：（1）准备一张圆形纸片；（2）在圆形纸片上画两条互相垂直的直径，如图（b ）；（3）如图（c ），在其中画出四边形；（4）如图（d ），在其中画出四边形关于铅直对称轴的对称四边形；（5）如图（e ），画出图（d ）中的图形关于水平对称轴的对称图形；（6）在图（e ）中图上颜色.这样就完成这幅轴对称图案了.知能解读（六）关于坐标轴对称的点的坐标关系在直角坐标系中，点(),a b 关于y 轴的对称点是(),a b -，关于x 轴的对称点是(),a b -； 关于坐标轴成轴对称的点的坐标特征；（1）关于x 轴（横轴）对称的点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即“横同纵反”；（2）关于y 轴（纵轴）对称的点：纵坐标相同，横坐标互为相反数，即“纵同横反”.方法技巧归纳方法技巧（一）轴对称图形及其对称轴的识别方法判断一个图形是不是轴对称图形，可以用折纸的方法按照轴对称图形的概念，看是否能找到一条直线，将图形沿其折叠，使直线两旁的部分能够完全重合（即用轴对称图形的定义进行识别）.点拨识别轴对称图形的关键是找到作为对称轴的直线，沿直线折叠后两边的部分能够重合，有时这样的直线能够找到多条，说明这个轴对称图形有多条对称轴.方法技巧（二）利用轴对称图形的性质求角的度数或线段的长的方法由于轴对称图形沿对称轴翻折后两边互相重合，而重合的边或角存在相等关系，所以根据这一特点可以进行线段或角的计算.点拨解此类题的关键是找准折叠后重合的角、重合的边，利用存在的相等关系解决问题.点拨利用轴对称的性质时，关键是找对应点，这样问题就能化解难为易，化繁为简.方法技巧（三）轴对称作图利用轴对称的性质时，可以确定成轴对称的图形的对称轴，也可以作出一个图形关于一条直线的轴对称图形.点拨点在对称轴上时，它关于对称轴l的对称点也在对称轴上；点在对称轴一侧时，它关于对称轴l的对称点在对称轴的另一侧.方法技巧（四）生活中的轴对称解决平面内最短（最小）距离问题，可以利用轴对称对作出其中一点关于直线的对称点，转化为“两点之间，线段最短”来解决.易混易错辨析易混易错知识1.轴对称与轴对称图形区别：轴对称是对两个图形来说的，它是两个全等图形之间的一种位置关系，而轴对称图形是对一个图形来说的，它是一个图形所具备的一种特征.2.判断成轴对称时，误以为只要两个图形就可以.易混易错找成轴对称的图形时，由于对称轴对称的概念理解不正确而致误中考试题研究中考命题规律中考中对称轴对称的考查主要以识别轴对称图形和点在坐标系中的轴对称为主，也考查利用轴对称求最短路线的应用，题型以填空题、选择题为主，也有作图题.中考试题（一）识别轴对称图形点拨利用轴对称图形的定义判断，沿某条直线折叠看直线两旁的部分能否完全重合.中考试题（二）点关于坐标轴的对称点的坐标中考试题（三）用轴对称求最短路线问题第37讲平移与旋转知识能力解读知能解读（一）平移的概念和特征1平移的概念把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动，叫作平移.点拨（1）图形平移的两个要素：一是平移的方向；二是平移的距离；（2）图形平移的方向不限于是水平的.2平移的特征（1）平移后得到的新图形与原图形的形状和大小完全相同.（2）新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等.注意（1）由平移性质可知：连接对应点线段的长度就是图形平移的距离.（2）区分对应点的连续和对应线段，在平移过程中对应线段和对应点的连线都有可能在同一条直线上.知能解读（二）画平移后的图形的步骤方法（1）确定平移的方向；（2）确定平移的距离；（3）画出决定图形大小和形状的对应点、对应角或对应线段；（4）按原来图形的连接方式补充完整图形.知能解读（三）平面直角坐标系汇总的平移一般地，在平面直角坐标系中，将点(),x y 向右或左平移a 个单位长度，可以得到对应点(),x a y +或(),x a y -；将点(),x y 向上或下平移b 个单位长度，可以得到对应点(),x y b +或(),x y b -.一般地，在平面直角坐标系中，如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a 个单位长度.知能解读（四）旋转的概念和特征1旋转的概念把一个平面图形绕着平面内某一点O 转动一个角度，叫作图形的旋转.点O 叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角.如图形上的点P 经过旋转变化点P '，那么这两个点叫作这个旋转的对应点.如图所示，A OB ''∆是AO B ∆绕定点O 逆时针旋转45︒得到的，其中点A 与点A '叫作对应点，线段OB 与线段OB '叫作对应线段，OAB ∠与OA B '∠叫作对应角，点O 叫作旋转中心，AOA '∠（或BOB '∠）的度数叫作旋转的角度.图形的旋转由旋转中心、旋转方向与旋转的角度所决定.A点拨图形旋转的三要素是旋转中心、旋转方向和旋转角.2旋转的特征（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后的图形全等.注意（1）旋转角与对应角不同，旋转角是指图形旋转过的角，而不是图形中的角；对应角是指图形旋转前后能够重合的角，它是图形中的角.（2）对应点到旋转中心的距离与对应线段的长度不同，对应点到旋转中心的距离是图形上的点到旋转中心的距离；对应线段则是图形上的线段.3旋转作图的步骤方法（1）确定旋转中心、旋转方向、旋转角；（2）找出图形上的关键点；（3）连接图形上的关键点与旋转中心，然后按旋转方向分别将它们旋转一定的角度，得到关键点的对应点；（4）按原图的顺序连接这些对应点，即得旋转后的图形.知能解读（五）平移、旋转与轴对称的关系1中心对称把一个图形绕着某一点旋转180︒，如图它能够与另一个图形重合，那么就说这两个U 形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心（简称中心）.这两个图形再旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点.如图，ABO ∆绕着点O 旋转180︒后，与CDO ∆完全重合，则称CDO ∆和ABO ∆关于点O 对称，点C是点A 关于点O 的对称点.ODAB C2中心对称图形把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心.（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；（2）中心对称的两个图形是全等图形.知能解读（八）作中心对称图形的一般步骤（1）作出已知图形各顶点（或决定图形形状的关键点）关于中心的对称点——连接关键点和中心，并延长一倍确定关键的对称点.（2）把各对称点按已知图形的连接方式依次连接起来，则所得到的图形就是已知图形关于对称中心对称的图形.知能解读（九）找对称中心的方法和步骤对于中心对称图形和关于某一点对称的两个图形，它们的对称中心非常重要，找不对称中心是解决先关问题的关键.由中心对称的特征可知，对称中心为对应点连线的中点或两组相对应点连线的交点，因此找对称中心的步骤如下：方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.方法技巧归纳方法技巧（一）平移现象的识别方法识别时应把握两点：一是平移是沿直线进行的；而是平移只改变位置，不敢变形状和大小.点拨（1）平移是由平移的方向和距离决定的（即平移的两个要素）.（2）平移不改变图形的形状和大小，只改变位置.方法技巧（二）图形的平移与坐标将直角坐标系中的点向右（或向左）平移()0h h>个单位长度，点的纵坐标不变，横坐标增加（或减少）h个单位.将直角坐标系中的点向上（或向下）平移()0k k>个单位长度，点的横坐标不变，纵坐标增加（或减少）k个单位.点拨图形向左（或向右）平移，则横坐标减去（或加上）某一个数，纵坐标不变；图形向上（或向下）平移，则纵坐标加上（或减去）某一个数，横坐标不变.方法技巧（三）选择性质的应用技巧一个图形旋转后得到一个新图形，只是位置发生改变，对应线段相等，对应角相等，利用其性质可进行相关计算.方法技巧（四）中心对称图形的识别对中心对称图形的理解应注意以下三点：（1）围绕某点；（2）旋转180︒；（3）与本身重合.这是判定一个图形是不是中心对称图形的重要依据.方法技巧（五）综合运用轴对称、平移与宣战作图的方法首先要熟练掌握它们各自的作法，然后对照题目中的具体要求一步一步进行操作.点拨平移、旋转、轴对称作图时，只需把多边形的各个顶点等关键点的对应点作出，再顺次连成对变形即可.易混易错辨析易混易错知识中心对称和中心对称图形的区别：（1）中心对称是指两个图形的位置关系，而中心对称图形是指具有某种性质的图形；（2）成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，而中心非常图形的对称点在一个图形上；（3）中心对称图个的对称中心一定在这个图形的内部，而成中心对称的两个图形的对称中心可以在这两个图形的外部，也可以在这两个图形的内部，还可以在它们的公共边上. 易混易错（一）对平移的性质理解不透而出错易混易错（二）旋转方向不清楚易出现漏解中考试题研究中考命题规律近几年来，平移与旋转越来越受重视，因为它与“实际应用”联系密切，同时又非常简单的证明方法.新课程标准又强化了对平移、旋转、中心对称等知识的考场，纵观近两年各地中考题，此类内容所占比例大大增加.中考试题（一）轴对称图形和中心对称图形的识别中考试题（二）平移与旋转中的有关计算中考试题（三）平移或旋转作图。
【冀教版】八年级上册数学第十六章 轴对称和中心对称 复习课件PPT课件
与一条线段两个端点__________ 距离相等 的点，在这条线段的垂直平
分线上． 角平分线的性质定理
距离相等 角的平分线上的点到角的两边的__________. 角平分线性质定理的逆定理
角的内部到角的两边的___________ 距离相等 的点在角的平分线上.
全等形 ，它们的_______________ 对应角相等 ，对 对应线段相等 ，_____________ 是________
应点所连的线段被对称轴垂直平分. 垂直平分线
_____________ 垂直且平分 一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分
线，简称中垂线.
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线段垂直平分线的性质定理
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D.∠P2OP1>90°
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3.如图，整个图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，画出 它的对称轴.
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4.（1）根据要求作图：
①画出△ABC关于直线m对称的△A1B1C1；
②画出△A1B1C1关于直线n对称的△A2B2C2； ③画出△ABC关于直线n对称的△A3B3C3． m
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C C′ C″ N 图（1）
B″ A″
5
解析 本题考查的是对称轴的画法及轴对称的性质，连接
△A′B′C′和△A″B″C″中的任意一对对应点，作所得线段的垂直 平分线即为直线EF，根据轴对称的性质可求角的数量关系. 答案（1）如图（2）所示，连接B ′ B ″,作线段B ′ B ″的垂直平
分线EF,则直线EF是△A ′ B ′ C ′和△A ″ B ″ C ″的对称轴.
八年级数学上册 16 轴对称和中心对称图形 专题练习 线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理的应用 (
线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理的应用1.撑伞时，把伞“两侧的伞骨”和支架分别看作AB,AC和DB,DC，始终有AB=AC，DB=DC，则伞杆AD 与B,C的连线BC的位置关系为 _________.2.如图所示，在△ABC中，DM,EN分别垂直平分AB和AC，交BC于D,E，若∠DAE=50°，则∠BA C= _____度，若△ADE的周长为19 cm，则BC=__________cm．3．如图，△ABC与△ADC关于直线AC对称，连接BD，若已知四边形ABCD的面积是125，AC=25，则BD的长为 ________．4.已知：如图，在△ABC中，MN是边AB的中垂线，∠MAC=50°，∠C=3∠B，求∠B的度数．专题二线段垂直平分线与轴对称的综合应用5.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄．欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）6.如图，四边形ABCD是一个长方形的台球桌，台球桌上还剩一个黑球没有被打进球袋，在点P的位置，现在轮到你打，你应该把在点Q位置的白球打到AB边上的哪一点，才能反弹回来撞到黑球？7.如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α=（）A．30° B．45° C．60° D．90°专题三作图题8.如图所示，靠近河边有一块三角形菜地，要分给张、王、李、赵四家，为了分配合理，要求面积相同，为了便于浇地，每家都有靠河边的菜地，你能想办法将菜地合理分配吗？（尺规作图，保留作图痕迹）9.如图，△ABC 与△A B C '''关于直线MN 对称，△A B C '''与△A B C ''''''关于直线EF 对称. （1）画出直线EF （尺规作图）；（2）设直线MN 与EF 相交于点O ，夹角为α，试探求∠BOB ''与α的数量关系.参考答案1. 垂直 解析：连结BC ，AD ，∵AB=AC ，DB=DC ，∴A 在线段BC 的垂直平分线上，D 在线段BC 的垂直平分线上， ∴AD 是线段BC 的垂直平分线，即AD ⊥BC ，故答案为：垂直． 2.115 19 解析：①∵DM ，EN 分别垂直平分AB 和AC ，∴AM=BM ，∠AMD=∠BMD=90°，又MD=MD ，∴△AMD ≌△BMD ，∴∠B=∠BAD ，AD=BD. 同理∠C=∠CAE ，AE=CE. ∵∠BAC=∠DAE+∠BAD+∠CAE ， ∴∠BAC=∠DAE+∠B+∠C ；又∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∠DAE=50°，∴∠BAC=115°； ②∵△ADE 的周长为19 cm ， ∴AD+AE+DE=19， 由②知，AD=BD ，AE=EC ， ∴BD+DE+EC=19，即BC=19 cm.3. 10 解析：因为△ABC 与△ADC 关于直线AC 对称，所以AC 垂直平分BD ，所以BE=DE=12BD ，所以1=2ABCD S AC BD ⋅四边形，所以BD=10. 4.解：∵MN 是边AB 的中垂线，∴AN =BN ，∠ANM=∠BNM=90°，又MN=MN ，∴△AMN ≌△BMN ， ∴AM=BM ，∠BAM=∠B. 设∠B=x ，则∠BAM=x ，∵∠C=3∠B ，∴∠C=3x.在△ABC 中，由三角形内角和定理，得x+x+3x+50°=180°， ∴x=26°，即∠B=26°．5.D 解析：（1）作点P 关于直线l 的对称点P '；(2)连结P 'Q ，交直线l 于点M ；沿着P —M —Q 的路线铺设，即为最短.6.解：如图，作点P 关于AB 的对称点P '，连结P Q '交AB 于点M ，则点M 就是所求的点，即把在点Q 位置的白球打到边AB 上的点M 处，才能反弹回来撞到黑球.7.A 解析：如图，作点P 关于OA 的对称点C ，关于OB 的对称点D ，连结CD ，交OA 于E ，OB 于F ．此时，△PEF 的周长最小．连结OC ，OD ，PE ，PF ．∵点P 与点C 关于OA 对称，∴OA 垂直平分PC ，∴∠COA=∠AOP ，PE=CE ，OC=OP ，同理，可得∠DOB=∠BOP ，PF=DF ，OD=OP ．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=2，∴∠COD=2α．又∵△PEF 的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=2，∴OC=OD=C D=2，∴△COD 是等边三角形， ∴2α=60°，∴α=30°．故选A ．8. 解：如图所示：（1）作BC 的垂直平分线b ，交BC 于E ；（2）分别作BE 、CE 的垂直平分线a ，c ，分别交BC 于D ，F ；（3）连接AD ，AE ，AF ，则AD ，AE ，AF 即为分割线.9.解：如图，连结C C '''，作线段C C '''的垂直平分线EF ，则直线EF 即为所求.（2）连结BO ，B O ',B O ''.由△ABC 与△A B C '''关于直线MN 对称，易知∠BOM=∠B OM '.由△A B C '''与△A B C ''''''关于直线EF 对称，易知∠B OE '=∠B OE ''，所以∠B OB '''=∠BOM+∠B OM '+∠OF B '+∠OF B ''=2(∠B OM '+∠OF B ')=2α，即∠BOB ''=2α.。
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16.1轴对称学习目标：1.认识轴对称图形，能够识别简单的轴对称图形.2.理解两个图形成轴对称的概念，能够运用轴对称的性质作图.3.理解中垂线的意义和线段的轴对称性并用其作图.一、学一学自学指导：请同学们认真阅读教材108--109页“一起探究”之前的内容。
（重点内容做出标记）3分钟后完成下列各题。
1、轴对称图形定义：如果一个图形沿一条折叠，直线两旁的部分能够这个图形就叫做轴对称图形。
就是它的对称轴。
2、下面的十个英文字母A,E,F,G,H,K,M,N,O,R中是轴对称图形的是 .3.汉字中“品,土,日”等都是轴对称图形,请写出三个这样的汉字4、轴对称定义如果两个图形沿某条直线对折后，这两个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。
这条直线就是，关于对称轴对称的点、对称的线段、对称的角分别叫做、、。
5、.下图是从视力表中挑出的几对图形,选项的右边图形与左边图形成轴对称的序号是 .6、轴对称与轴对称图形的联系与区别．二、一起探究已知△ABC与△A’B’C’关于直线l成轴对称。
思考：（1）这两个三角形全等吗？对应线段有怎样的数量关系？对应角呢？（2）对应点的连线''',BBAA分别与对称轴具有怎样的位置关系？,CC归纳：1、如果两个图形关于某一条直线成轴对称，那么，这两个图形是全等形，它们的对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
2、垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。
三、专项训练已知线段AB和直线l，画出线段AB关于直线l的对称线段。
四、综合训练1、下列体育运动标志中，从图案看不是轴对称图形的有( )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2、画出这些图形的对称轴，并指出图中关于对称轴对称的点。
3、下列四种图形中，一定是轴对称图形的有（）①等腰三角形②等边三角形③直角三角形④等腰直角三角形A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种4、下列轴对称图形中，恰好有两条对称轴的是( )A．正方形 B．等腰三角形 C．长方形 D．圆5、如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，则∠BCD的度数是( )A．130° B．150° C．40° D．65°'''关于直线MN对称，P为MN上任一点，下列结论中错6.如图，△ABC与△A B C误的是（）A．AP=A P'B．MN垂直平分AA′，CC′'''面积相等C．△ABC与△A B CD．直线AB、A B''的交点不一定在MN上7、如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于直线l对称的图形。
16.2.1线段的垂直平分线学习目标：1、知道线段垂直平分线的性质定理,2、能运用线段垂直平分线的性质定理解题.忆一忆请画出线段AB 的对称轴l一、一起探究在上图中直线l 上任取一点P ，链接PA ，PB 线段PA 和线段PB 有怎样的数量关系？提出你的猜想并说明理由。
猜想：证明：结论：几何语言：二、专项训练已知:如图所示，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E. 求证AC=AB.三、综合训练1、如图,已知AB 是线段CD 的垂直平分线,E 是AB 上的一点,如果EC=7cm,那么ED= cm;2、已知：点P，Q为线段AB垂直平分线上的两点。
（1）、如图（1），当点P，Q在线段AB的两侧时，你认为∠PAQ和∠PBQ相等吗？为什么？（2）、如图（2），当点P，Q在线段AB的同侧时，你认为∠PAQ和∠PBQ相等吗？为什么？3、如图，在△ABC中，线段AB的中垂线交AB于点D，交AC于点E，AC＝14，△EBC的周长是24.求BC的长.4、如图，将长方形纸片ABCD对折，使AB和DC重合，点E，F分别是折痕与边BC，AD的交点.△ABE和△DCE全等吗？为什么？5、已知：如图，△ABC的边AB的中垂线与边AC的中垂线相交于点O.求证：AO＝BO＝CO.16.2.2线段的垂直平分线学习目标：1、掌握线段垂直平分线的性质定理的逆定理,2、能运用线段垂直平分线的性质定理的逆定理解题.忆一忆如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=36°，DE 是线段AB 的垂直平分线，交AB 点P 在BC 的垂直平分线上.2、已知:如图所示,在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，垂足为O.求证:AO=OC,BO=OD.3、如图，三条路围成一个三角地带，要在它的中间建一个市场，并且使市场到三个交叉路口的距离相等.怎样才能找到这个市场的位置呢？请画出示意图，并说明你的理由..4、已知：如图，ABC内部一点P在BC的中垂线上，且PA=PB。
求证：点P在AC的中垂线上。
5、如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上。
请写出AB+BD与DE的长度关系，并给予证明。
16.2.3线段的垂直平分线学习目标：1、会作已知线段的垂直平分线和已知直线的垂线，2、能用其解决实际问题忆一忆2、(参照118页例4)如图所示,已知直线AB及AB外一点P. 求作:经过点P，且垂直于AB的直线.二、专项训练1、如图，已知两点A，B.求作：直线l，使点A，B关于l对称.(保留作图痕迹，不要求写出作法)2、求做∠AOB=90°(保留作图痕迹，不要求写出作法)三、综合训练1利用尺规作线段MN的垂直平分线时,设以M，N为圆心所画弧的半径分别为RM，RN，则下列说法正确的是( )A.RM与RN不一定相等,但必须RM > MN,RN > MNB.RM=RN> MNC.RM>RN> MND.RM=RN= MN2.如图(1)所示，在河岸l的同侧有A，B两村,要在河边修一水泵站P，使水送到A，B两村所用的水管最短(两村不共用水管).另在河边修一码头Q，使其到A，B两村的距离相等，试画出P，Q所在的位置.3、如图，已知线段AB。
求作：线段AB的中点。
（保留作图痕迹，不要求写出作法）4、已知：线段a,b求作：以线段a,b为相邻两边的长方形。
（保留作图痕迹，不要求写出作法）16.3角平分线学习目标：1.学会角平分线的性质定理及其逆定理.2.能利用角平分线的性质定理及其逆定理证明相关结论并应用.3.能利用尺规作出一个已知角的角平分线.一起探究（一）角平分线的性质定理已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.结论：（角平分线性质定理）几何语言：专项训练一：如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E.求证：DE＝DC，AC＝AE.（二）角平分线性质定理的逆定理已知：如图，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E且PD=PE. 求证：OC是∠AOB的平分线结论：（角平分线性质定理的逆定理）几何语言：专项训练二：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D为BC边上一点，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：点D在∠BAC的平分线上.（三）尺规作角的平分线如图，已知∠AOB。
求作：∠AOB的平分线综合训练1. (2分) 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF，∠EDB= 60°，则∠EBF= _______度，BE=________ .2.(2分)△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是______.3.(2分)用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边的距离相等4.已知：如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且BE＝CF.求证：BD＝CD.5.如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O，OB＝OC.求证：（1）当∠1＝∠2时，OB=OC.(2)当OB=OC时，∠1＝∠2。
16.4中心对称图形学习目标：1.知道中心对称图形的概念，会识别常见的中心对称图形.2.知道中心对称的意义，掌握中心对称的性质.3.理解并掌握中心对称图形和两个图形成中心对称的区别与联系.一、学一学1、请同学们认真阅读教材124页内容。
5分钟后完成下列各题。
（1）、如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做 ，这个点叫做它的 ，其中对称的点叫做 .（2）、根据（1）我们知道：线段是_______图形，线段的中点是________对称中心，两个端点是___________.（3）、下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )2、自学教材125页内容，然后回答：（1）、如果一个图形绕某一点旋转180°后与另一图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称.这个点叫做对称中心，其中成中心对称的点、线段和角，分别叫做_____、______和________.（2）、 我们可以得到：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，并且被对称中心______.（3）、如图，△ABC 与△A B C '''成中心对称，下列说法不正确的是（ ）A ．=ABC ABC S S '''△△ B ．AB=A B ''，AC=A C ''，BC=B C ''C ．AB ∥A B ''，AC ∥A C ''，BC ∥B C ''D ．=ACO A B O S S ''△△3、自学教材126页例题，完成下题。
如图，已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，O 是△ABC 外一点.（1）画△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC 关于点O 成中心对称；（2）画△A''B''C''，使△A''B''C''与△ABC 关于点M 成中心对称.综合训练1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A . 角 B. 等边三角形 C . 线段 D . 平行四边形2.下列图形中是中心对称图形而不是轴对称图形的是( ）A . 平行四边形 B. 矩形 C . 菱形 D . 正方形3.请问以下三个图形中是轴对称图形的有_________，是中心对称图形的有_________.4.指出图中的中心对称图形.5.如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是成中心对称的两个图形，请你试着确定其对称中心的位置.。