平面解析几何中的中心对称和轴对称
中心对称和轴对称的几何性质
中心对称和轴对称的几何性质在几何学中，中心对称和轴对称是两种重要的对称性质。
它们在数学、物理、化学等领域中都有着广泛的应用。
本文将详细介绍中心对称和轴对称的几何性质，以及它们之间的区别和联系。
1. 中心对称中心对称是指图形相对于一个中心点进行对称，即图形中的每个点与中心点之间的连线都会与另一个点对称。
中心对称特性使得图形能够在某个中心点进行旋转180度后不变。
1.1 中心对称的判定条件一个图形是否具有中心对称可以通过以下两个判定条件来验证：1）图形中存在至少一个点，它与中心点之间的连线与该点与另一个点之间的连线对称。
2）图形中的每个点都与中心点之间的连线都能够与另一个点对称。
1.2 中心对称的性质中心对称具有以下几何性质：1）中心对称的图形具有镜像对称性，即图形可以关于中心点进行对称，将其中一个点对称到另一个位置。
2）中心对称的图形无论进行旋转多少度，都不会改变其形状和大小，只会改变位置。
2. 轴对称轴对称是指图形相对于一个轴线进行对称，即图形中的每个点与轴线之间的连线都会与另一个点对称。
轴对称特性使得图形能够在轴线上进行翻转后不变。
2.1 轴对称的判定条件判断一个图形是否具有轴对称可以通过以下两个条件来验证：1）图形中存在一个轴线，使得图形中的每个点与轴线之间的连线与该点与另一个点之间的连线对称。
2）图形中的每个点都与轴线之间的连线都能够与另一个点对称。
2.2 轴对称的性质轴对称具有以下几何性质：1）轴对称的图形具有镜像对称性，即图形可以关于轴线进行对称，将其中一部分镜像到另一部分。
2）轴对称的图形无论进行旋转多少度，只要不改变轴线的位置和方向，都不会改变图形的形状和大小，只会改变位置。
3. 中心对称和轴对称的区别和联系尽管中心对称和轴对称都是几何形状的对称性质，它们之间存在一些区别和联系。
区别：1）中心对称是相对于一个点进行对称，而轴对称是相对于一个轴线进行对称。
2）中心对称的图形无论进行旋转多少度，都不会改变其形状和大小，但轴对称的图形必须在轴线上进行翻转才能保持不变。
轴对称与中心对称的基本概念
轴对称与中心对称的基本概念轴对称与中心对称是数学中常见的概念，用来描述物体的对称性。
在几何学中，轴对称和中心对称是两种最基本的对称方式。
本文将介绍轴对称和中心对称的概念、特点以及其在几何学和其他领域中的应用。
一、轴对称轴对称是指物体相对于某根轴按照一定的规律做对称变换时，可以将物体完全重合的情况。
这根轴称为轴对称的轴线，物体上的任意一点相对于轴线的对称点都在轴线的同一侧。
轴对称的特点：1. 轴对称的图形可以分为左右对称、上下对称或者同时存在左右和上下对称。
2. 轴对称的图形可以通过沿着轴线将一个部分复制到另一部分来得到。
3. 轴对称的图形可以在平面上无限延伸，不会受到轴线本身长度的限制。
4. 轴对称的图形可以通过旋转180度来映射到自身。
轴对称在几何学中的应用：1. 用来描述平面上的多边形、图形和图案的对称性。
2. 在建筑设计中考虑到建筑物的对称性，以求得美感和结构的稳定性。
3. 在工程制图和雕塑设计中，通过轴对称来保持形状的对称和均衡。
二、中心对称中心对称是指物体相对于某个中心点按照一定的规律做对称变换时，可以将物体完全重合的情况。
这个中心点称为中心对称的中心，物体上的任意一点都有与中心对称的一点。
中心对称的特点：1. 中心对称的图形在任意一点相对于中心的对称点都在以中心为圆心的同一条直线上。
2. 中心对称的图形可以通过旋转180度加上绕圆心的对称变换来映射到自身。
3. 中心对称的图形对于镜像是群运算的封闭性，即两个中心对称的图形的镜像仍然是中心对称的。
中心对称在几何学中的应用：1. 用来描述平面上的圆、椭圆和其他有规则形状的图形的对称性。
2. 在生物学中，许多生物体的形状可以通过中心对称来描述，比如瓢虫的斑点和花瓣的排列。
3. 在天文学中，天体的分布和轨道常常呈现中心对称的特征。
总结：轴对称和中心对称是数学和几何学中常见的对称概念。
通过对轴对称和中心对称的特点和应用的介绍，我们可以更好地理解和应用这两种对称性。
解析几何中的对称性和轴对称性
解析几何中的对称性和轴对称性解析几何是数学的一个分支，涉及到平面几何和空间几何的研究。
对称性和轴对称性是解析几何中极其重要的一部分内容。
它们是我们研究几何形状的重要工具，可以帮助我们呈现出几何形状的美感和魅力。
从理论和实践两个方面来探讨对称性和轴对称性对于解析几何的意义和应用。
一、对称性在解析几何中，对称性是指一个几何形状能够保持不变，即在区域内任意取一点，以这个点为中心，任意方向转移后仍是同一形状。
简单来说，就是如果一个几何形状在满足特定条件的情况下能够发生变化，而这种变化后的形状与原始形状完全相同，那么这种几何形状就具有对称性。
对称性有许多种类型，如旋转对称性、平移对称性、点对称性等。
其中，旋转对称性是指在特定中心进行旋转后能够得到与原始形状相同的新形状；平移对称性是指在特定方向上平移后能够得到与原始形状完全相同的新形状；点对称性是指以特定点为中心将一条几何线转移到对称轴的相同位置上，从而得到一个与原始形状完全一致的新形状。
通过对称性，我们可以在几何形状间进行比较和分析，帮助我们更好地理解和掌握几何形状的规律和特征。
同时，在科学研究和实际工程中，对称性也具有重要的作用，可以帮助我们设计和制造更为合理、美观、稳定的物体。
二、轴对称性轴对称性是解析几何中另一个重要的概念，它与对称性有很多相似之处。
轴对称性是指一个几何形状能够保持不变，即在区域内任意取一点，以这个点为中心，任意方向转移后仍是同一形状。
而轴对称性和对称性的不同之处在于轴对称性是指一个几何形状能够沿特定轴进行翻转后得到与原始形状相同的新形状。
轴对称性有很多种类型，根据轴的不同可以分为水平轴对称、垂直轴对称、对角轴对称等。
其中，水平轴对称是指几何形状以水平轴为对称轴进行翻转后得到新形状；垂直轴对称是指几何形状以垂直轴为对称轴进行翻转后得到新形状；对角轴对称是指几何形状以对角线为对称轴进行翻转后得到新形状。
通过轴对称性，我们可以更好地理解和掌握几何形状的特征和规律，有助于我们分析和设计更为合理、美观、稳定的物体；同时，在实际工程中，轴对称性也有着重要的应用，如在汽车、飞机、船舶等的设计和制造中，轴对称性可以提高其稳定性和美观性。
高考数学 专题05 解析几何中的对称解法(解析版)
专题05 解析几何中的对称解法一．【学习目标】1.掌握点关于直线，直线关于直线，曲线关于点，曲线关于直线的对称2.对称思想的应用 二．【知识点】 1．中心对称(1)设平面上的点M (a ，b )，P (x ，y )，P ′(x ′，y ′)，若满足：x ＋x ′2＝a ，y ＋y ′2＝b ，那么，我们称P ，P ′两点关于点M 对称，点M 叫做对称中心．(2)点与点对称的坐标关系：设点P (x ，y )关于M (x 0，y 0)的对称点P ′的坐标是(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x 0－xy ′＝2y 0－y . 2．轴对称(1)设平面上有直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和两点P (x ，y )，P ′(x ′，y ′)，若满足下列两个条件：①__________________；②_______________________，则点P ，P ′关于直线l 对称． (2)对称轴是特殊直线的对称问题对称轴是特殊直线时可直接通过代换法得解：①关于x 轴对称(以_____代______)； ②关于y 轴对称(以_______代_______)； ③关于y ＝x 对称(_______互换)；④关于x ＋y ＝0对称(以_______代_____，以_____代______)； ⑤关于x ＝a 对称(以______代______)； ⑥关于y ＝b 对称(以________代________)． (3)对称轴为一般直线的对称问题可根据对称的意义，由垂直平分列方程，从而找到坐标之间的关系：设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(AB ≠0)对称，则 三．【题型】（一）点关于直线的对称 （二）光线的对称问题 （三）圆关于直线的对称 （四）利用对称求最值 （五）圆锥曲线的对称 （六）椭圆的中点弦问题 （七）双曲线的中点弦 （八）抛物线的对称问题 （九）椭圆中的对称方法 （十）对称的综合应用 四．【题型解法】（一）点关于直线的对称例1.已知坐标原点()0,0O 关于直线L 对称的点()3,3M -，则直线L 的方程是（ ） A ．210x y -+= B ．210x y --= C ．30x y -+= D ．30x y --=【答案】D【解析】由(0,0)O , (3,3)M -, 可得OM 的中点坐标为33,22⎛⎫-⎪⎝⎭,又313OMk-==-, OM∴的垂直平分线的斜率为1, ∴直线L的方程为33122y x⎛⎫+=⨯-⎪⎝⎭,即30x y--=，故选D.练习1．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称为欧拉线，已知ABC∆的顶点(20)(04)A B，，，,若其欧拉线方程为20x y-+=, 则顶点C的坐标为(）A．04-（，）B．4,0-（）C．4,0（）或4,0-（）D．4,0（）【答案】B【解析】设C坐标x,y（），所以重心坐标为2+4(,)33x y+，因此2+4204033x yx y+-+=∴-+=，从而顶点C的坐标可以为4,0-（），选B.（二）光线的对称问题例2．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A.5B.33C.6D.210【答案】D【解析】点P关于y轴的对称点P'坐标是()2,0-，设点P关于直线:40AB x y+-=的对称点()",P a b，由()112204022baa b-⎧⨯-=-⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩，解得42ab=⎧⎨=⎩，故光线所经过的路程()22'"242210P P=--+=，故选D.练习1.一条光线从点()2,3-射出，经x轴反射后与圆2264120x y x y+--+=相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．65或56B．45或54C．43或34D．32或23【解析】点()2,3-关于x 轴的对称点Q 的坐标为()2,3--， 圆2264120x y x y +--+=的圆心为()3,2，半径为1R =.设过()2,3--且与已知圆相切的直线的斜率为k ， 则切线方程为()23y k x =+-即230kx y k -+-=， 所以圆心()3,2到切线的距离为25511k d R k-===+，解得43k =或34k =，故选C.（三）圆关于直线的对称例3.．直线1l ：y x =、2l ：2y x =+与C e ：22220x y mx ny +--= 的四个交点把C e 分成的四条弧长相等，则(m = ) A ．0或1 B ．0或1-C ．1-D ．1【答案】B【解析】直线l 1：y=x 与l 2:y=x+2之间的距离为2，⊙C ：22220x y mx ny +--=的圆心为（m ，m ），半径r 2=m 2+m 2，由题意可得222222222()()22{22()()2m nm n m n m n -+=+-++=+解得 m=0或m=-1，故选B.练习1．已知圆关于对称，则的值为 A ．B ．1C ．D ．0【答案】A 【解析】化圆为．则圆心坐标为，圆关于对称，所以直线经过圆心，，得． 当时，，不合题意，．故选A ．练习2.已知直线3420x y ++=与圆2240x y y ++=相交于,A B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程为A ．4360x y --=B ．4320x y --=C ．4360x y ++=D ．3480x y ++= 【答案】A【解析】圆2240x y y ++=的圆心坐标为()0,2C -，AB 的中垂线垂直于AB 且过C ，故可设中垂线的方程为：430x y m -+=，代入()0,2C -可得6m =-，故所求的垂直平分线的方程为4360x y --=，故选A.（四）利用对称求最值例4．已知点P ，Q 分别在直线1:20l x y ++=与直线2:10l x y +-=上，且1PQ l ⊥，点()3,3A --，31,22B ⎛⎫⎪⎝⎭，则AP PQ QB ++的最小值为（）．A ．130B ．3213+C ．13D ．32【答案】B【解析】因为112,P l l l Q ⊥P ，故()21322PQ --==1AA k '=，故1AA l '⊥，所以A P A Q 'P ，又322AA '=，所以AA PQ '=，故四边形AA QP '为平行四边形， 322AP PQ QB A Q QB '++=++， 因为13A Q QB A B ''+≥=，当且仅当,,A Q B '三点共线时等号成立，AP PQ QB ++的最小值为32132+，选B.（五）圆锥曲线的对称例5.已知F 是双曲线2218y C x -=：的右焦点，P 是C 左支上一点，)66,0(A ，当APF ∆周长最小时，则点P 的纵坐标为（ ） A ．66 B ．26C ．46D ．86-【答案】B【解析】如图：由双曲线C 的方程可知：a 2=1，b 2=8，∴c 2=a 2+b 2=1+8=9，∴c=3，∴左焦点E （-3，0），右焦点F （3，0）， ∵|AF|=223(66)15+=，所以当三角形APF 的周长最小时，|PA|+|PF|最小． 由双曲线的性质得|PF|-|PE|=2a=2，∴|PF|=|PE|+2，又|PE|+|PA|≥|AE|=|AF|=15，当且仅当A ，P ，E 三点共线时，等号成立． ∴三角形APF 的周长：|AF|+|AP|+|PF|=15+|PE|+|AP|+2≥15+15+2=32．此时，直线AE 的方程为y=2666x +，将其代入到双曲线方程得：x 2+9x+14=0， 解得x=-7（舍）或x=-2， 由x=-2得6（负值已舍） 故选：B ．练习1．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 关于直线0x y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆的离心率为（ ） ABC1 D1【答案】A【解析】∵点()0F c -，关于直线0x y +=的对称点A 为()0,A c ，且A 在椭圆上， 即22b c =，∴c b =，∴椭圆C的离心率2e ===．故选A ．（六）椭圆的中点弦问题例1．如果椭圆22193x y +=的弦被点(1,1)M 平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）A ．340x y +-=B ．320x y -+=C ．320x y --=D ．340x y +-=【答案】A【解析】设直线与椭圆交点为()11,A x y ，()22,B x y22112222193193x y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得：1212121213ABy y x x k x x y y -+==-⋅-+ 又M 为AB 中点 122x x ∴+=，122y y += 13AB k ∴=-∴直线方程为：()1113y x -=--，即：340x y +-= 本题正确选项：A练习1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于,A B两点，且AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为（）A．22B．12C．14D．32【答案】A【解析】设A（1x，1y），B（2x，2y），又AB的中点为11,2M⎛⎫⎪⎝⎭，则121221x x y y+=+=，，又因为A、B在椭圆上所以22221122222211x y x ya b a b+=+=，两式相减，得：2121221212y y y y bx x x x a-+⋅=--+∵12121212b1c2AB FP OMy y y yk k kx x x x，-+===-==-+,∴22b2cba=，，∴22a bc=，平方可得()42224a a c c=-, ∴22ca=12,c2a2=，故选A.练习2．已知椭圆22142x y+=，则以点（1，1）为中点的弦的长度为（）A．2B．3C30D36【答案】C【解析】设直线方程为y=k（x﹣1）+1，代入椭圆方程，消去y得：（1+2k2）x2﹣（4k2﹣4k）x+2k2﹣4k﹣2=0，设交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，解得k=﹣12，∴x1x2=13，∴221212301()43k x x x x++-=．故选C．练习3．已知椭圆C ：()2222100x y a b a b +=＞，＞的离心率为2，直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，且线段AB 的中点为()21M -，，则直线l 的斜率为（ ）A.13B.23C.12D.1【答案】C【解析】由c e a ==，得2222234c a b a a -==， ∴224a b =，则椭圆方程为22244x y b +=，设()()1122A x y B x y ，，，，则121242x x y y ，+=-+=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：()()()()121212124x x x x y y y y -+=--+，∴()12121212414422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯．∴直线l 的斜率为12． 故选：C ．（七）双曲线的中点弦例7．直线l 与双曲线2212y x -=交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆C 的方程为22240x y x y m ++++=，则m =（ ）A.-3B.3C.5-D.【答案】A【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y由根据圆的方程可知(1,2)C --，C 为AB 的中点根据双曲线中点差法的结论202021112ABx b k a y -=⨯=⨯=- 由点斜式可得直线AB 的方程为1y x =-将直线AB 方程与双曲线方程联立22121y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩解得34x y =-⎧⎨=-⎩或10x y =⎧⎨=⎩，所以AB =由圆的直径AB ===3m =-故选A.练习1．双曲线221369x y -=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（ ）A ．20x y --=B ．2100x y +-=C ．20x y -=D ．280x y +-=【答案】C【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，则22111369x y -=，22221369x y -=，两式相减得12121212()()()()369x x x x y y y y -+-+=， 即121212129()98136()3642y y x x k x x y y -+⨯====-+⨯，∴弦所在的直线方程12(4)2y x -=-，即20x y -=． 故选：C练习2．已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为y =，过点P ⎫⎪⎪⎝⎭． ()1求双曲线C 的标准方程；()2是否存在被点()1,1B 平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）2212y x -=（2）直线l 不存在．详见解析【解析】()1双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为y =，设双曲线方程为：22y x λ2-=，过点P ⎫⎪⎪⎝⎭．可得λ1=，所求双曲线方程为：22y x 12-=． ()2假设直线l 存在．设()B 1,1是弦MN 的中点，且()11M x ,y ，()22N x ,y ，则12x x 2+=，12y y 2+=．M Q ，N 在双曲线上，22112x y 122222x y 1-=⎧⎪∴-=⎨⎪⎩， ()()()()121212122x x x x y y y y 0∴+---+=，()()12124x x 2y y ∴-=-，1212y y k 2x x -∴==-，∴直线l 的方程为()y 12x 1-=-，即2x y 10--=，联立方程组222x y 22x y 10-=⎧--=⎨⎩，得22x 4x 30-+=1643280QV =-⨯⨯=-<，∴直线l 与双曲线无交点，∴直线l 不存在．练习3．已知双曲线的中心在原点，焦点为，且离心率.（1）求双曲线的方程； （2）求以点为中点的弦所在的直线方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1） 由题可得，，∴，,所以双曲线方程 .（2）设弦的两端点分别为，，则由点差法有： , 上下式相减有：又因为为中点，所以，,∴，所以由直线的点斜式可得,即直线的方程为.经检验满足题意.（八）抛物线的对称问题例8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，倾斜角为4π的直线交抛物线C 于A ，B 两点，且线段AB 中点的纵坐标为1，则抛物线C 的准线方程是________ 【答案】12x =-【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2211222,2y px y px ==，两式相减得：()()()1212122y y y y p x x -+=-，又因为直线的斜率为1，所以12121y y x x -=-， 所以有122y y p +=，又线段AB 的中点的纵坐标为１， 即122y y +=，所以1p =，所以抛物线的准线方程为12x =-．故答案为：12x =-．练习1．如图所示，点P 为抛物线E ：28y x =上的动点，点Q 为圆:M 22430x y x +-+=上的动点，则PQ的最小值为___________.【答案】1【解析】圆:M 22430x y x +-+=可化为22(2)1x y -+=， 故圆M 的圆心（2，0），半径为1.设000(,)(0)P x y x ≥为抛物线28y x =上任意一点，故有2008y x =，∴00(,)P x y 与（2，0）的距离2222200000000(2)44844(2)d x y x x x x x x =-+=-++=++=+当00x =时， 00(,)P x y 与（2，0）的距离取最小值2，PQ ∴的最小值为211-=，故答案为：1.（九）椭圆中的对称方法例9．如图,椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ,过F 的直线交椭圆于,A B 两点,点C 是A 点关于原点O 的对称点,若CF AB ⊥且CF AB =,则椭圆的离心率为__________．【答案】63-【解析】作另一焦点F ',连接AF '和BF '和CF ',则四边形FAF C '为平行四边,所以AF CF AB '==,且AF AB '⊥,则三角形ABF '为等腰直角三角形, 设AF AB x '== ,则24x x x a +=,解得(422)x a =-,(222)AF a =,在三角形AFF ' 中由勾股定理得222()()(2)AF AF c '+=,所以2962,63e e =-=,故答案为63-.练习1．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且12PF F ∆面积3 6.（1）求椭圆C 的方程，并求椭圆C 的离心率；（2）已知直线l ：1(0)y kx k =+>与椭圆C 交于不同的两点AB ，若在x 轴上存在点(,0)M m ，使得M 与AB 中点的连线与直线l 垂直，求实数m 的取值范围【答案】（1）22143x y +=，椭圆的离心率12e =（2）3,012⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【解析】（1）由题意得2223226bc c a a b c ⎧=⎪+=⎨⎪=+⎩，解之得2a =，3b =1c =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=，椭圆的离心率12e =； （2）由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2243880k x kx ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122843kx x k -+=+，122643y y k +=+， 所以线段AB 中点的坐标为2243,4343k k k -⎛⎫⎪++⎝⎭， 则223143443k k k m k -+=-++，整理得213434k m k k k=-=-++， 因为0k >，所以34k k +≥=34k k =，即k =时上式取得等号，此时m取得最小值12-， 因为0k >，所以2043k m k =-<+，所以实数m的取值范围是⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 练习2．已知椭圆22:194x y C +=，若不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点.(1)若线段MN 的中点坐标为()1,1，求直线l 的方程；(2)若直线l 过点()6,0，点()0,0P x 满足0PM PN k k +=（,PM PN k k 分别是直线,PM PN 的斜率），求0x 的值.【答案】（1）49130x y +-=（2）32【解析】（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，由点,M N 都在椭圆22:194x y C +=上，故22112222194194x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22222121094x x y y --⇒+=，则()()212121214499x x y y k x x y y +-==-=--+故直线l 的方程为()411491309y x x y -=--⇒+-= （2）由题可知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为()6y k x =-，()0,0P x ， 则()()()()1212021010200660PM PN y y k k k x x x k x x x x x x x +=+=⇒--+--=--即()()12012026120x x x x x x -+++=①联立()()222222149108936360946x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+⨯-=⎨⎪=-⎩，则21222122108499363649k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⨯-⎪=⎪+⎩将其代入①得()()2220003546964902k k x x k x --+++=⇒=故0x 的值为32（十）对称的综合应用例10．在直角坐标系xOy 中，抛物线2:4x C y =与直线:4l y kx =+ 交于M ，N 两点.（1）当0k =时，分别求抛物线C 在点M 和N 处的切线方程；（2）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由.【答案】(1) 过点M 和点N 的切线方程分别为24,24y x y x =-=--.(2)存在点()0,4P -，理由见解析【解析】（1）由题意知0k =时，联立244y x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得()4,4M ，()4,4N -．设过点()4,4M 的切线方程为(4)4y k x =-+，联立2444y kx kx y =+-⎧⎪⎨=⎪⎩得：2416160x kx k -+-=， 由题意：2164(1616)0k k ∆=--=，即2440k k -+=，解得2k =， 根据对称性，过点()4,4N -的切线斜率为2k =-，所以过点M 和点N 的切线方程分别为24,24y x y x =-=--. （2）存在符合题意的点，证明如下：设点P ()0,b 为符合题意的点，()11,M x y ，()22,N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ．联立方程244y kx x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得24160x kx --=，故124x x k +=，1216x x =-， 从而121212y b y b k k x x --+=+=()()12121224kx x b x x x x +-+=()44k b +．当4b =-时，有120k k +=，则直线PM 与直线PN 的倾斜角互补， 故OPM OPN ∠=∠，所以点()0,4P -符合题意．练习2．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F，点(,B m 在抛物线C上，A ，且||2||BF AF =.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点(1,2)P 作直线PM ，PN 分别交抛物线C 于M ，N 两点，若直线PM ，PN 的倾斜角互补，求直线MN 的斜率.【答案】（1）24y x =（2）1-【解析】（1）由题得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则||2p BF m =+，||AF =因为|2||BF AF =，所以2P m +=因为点B 在抛物线C 上，所以122pm =，即6pm =.②联立①②得428480p p +-=，解得2p =或2p =-（舍去），所以抛物线C 的标准方程为24y x =.（2）由题知直线PM ，PN 的斜率存在，且不为零，且两直线的斜率互为相反数 设()11,M x y ，()22,N x y ，直线:(1)2(0)PM y k x k =-+≠由2(1)24y k x y x =-+⎧⎨=⎩，得()2222244440k x k k x k k --++-+=，则()222222444(2)16(1)0k k k k k ∆=-+--=->，又点P 在抛物线C 上，所以21244k k x k -+=同理得22244k k x k++=.则212228kx xk+ +=，12288kx xk k---==，()()12121212y y k x k x⎡⎤⎡⎤-=-+---+⎣⎦⎣⎦()122k x x k=+-22282kk kk+=⋅-8k=，所以1212818MNy y kkx xk-===---即直线MN的斜率为-1.练习3．如图, 直线12y x=与抛物线2148y x=-交于,A B两点, 线段AB的垂直平分线与直线5y=-交于Q点.（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含,A B）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.【答案】(1) ()5,5Q-；(2) 最大值30【解析】(1) 解方程组212148y xy x⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得11-4-2xy=⎧⎨=⎩或2284xy=⎧⎨=⎩即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).由12ABK=,直线AB的垂直平分线方程()122y x-=--令5y=-, 得5x=, ∴()5,5Q-(2)直线OQ的方程为x+y=0, 设21,48P x x⎛⎫-⎪⎝⎭∵点P 到直线OQ 的距离2832x +-,OQ =, ∴12OPQ S ∆=OQ d =2583216x x +-. ∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上, ∴－4≤x4或4< x ≤8.∵函数2832y x x =+-在区间[]4,8-上单调递增,∴当x =8时, ΔOPQ 的面积取到最大值30。
中考数学《轴对称》考点：中心对称与中心对称图形
中考数学《轴对称》考点：中心对称与中心对称图形
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中考数学《轴对称》考点：中心对称与中心对称图形
1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够和另外一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
2.中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
3.中心对称的性质：
(1)关于中心对称的两个图形是全等形;
(2)在成中心对称的两个图形中,连接对称点的线段都经过对称中心,并且被对称中心平分;
(3)成中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等。
平面几何中的轴对称图形
平面几何中的轴对称图形在平面几何学中，轴对称图形是指具有轴对称性质的图形。
轴对称图形是指通过某条轴线进行翻转或旋转180度后，能够得到与原图形完全重合的图形。
轴对称图形具有一些特殊的性质和应用，下面将详细介绍轴对称图形及其相关概念。
一、轴对称图形的定义及性质轴对称图形是指通过某条轴线进行翻转或旋转180度后，能够得到与原图形完全重合的图形。
轴对称图形具有以下几个性质：1. 对称轴：轴对称图形中存在一条轴线，称为对称轴。
对称轴将图形分为两个完全相同的部分，每个部分关于对称轴是对称的。
2. 点对称：轴对称图形中的每个点关于对称轴都有对应的点，且这些点与对称轴的距离相等。
3. 对称中心：轴对称图形中的对称轴交于一点，称为对称中心。
对称中心是轴对称图形的一个重要特点，它是图形的中心点。
二、常见的轴对称图形在平面几何中，有许多常见的轴对称图形，下面介绍几种常见的轴对称图形及其特点：1. 矩形：矩形是一种具有四个直角的四边形，它具有两对平行边。
矩形的两条对角线相等且互相垂直，因此矩形是一个轴对称图形。
2. 正方形：正方形是一种特殊的矩形，它具有四个相等的边和四个直角。
正方形的对角线相等且互相垂直，因此正方形也是一个轴对称图形。
3. 圆：圆是由一条曲线组成的，其中每个点到圆心的距离都相等。
圆具有无数个对称轴，因为任意经过圆心的直径都可以作为对称轴。
4. 椭圆：椭圆是由两个焦点和一条连接两个焦点的线段上的点构成的。
椭圆具有两条互相垂直的对称轴，因此是一个轴对称图形。
5. 正多边形：正多边形是指所有边长相等且所有内角相等的多边形。
正多边形具有以中心为对称中心的多条对称轴。
三、轴对称图形的应用轴对称图形在现实生活中有许多应用，下面列举几个常见的应用场景：1. 建筑设计：许多建筑物的立面设计采用轴对称图形，以达到美观和平衡的效果。
例如，宫殿、教堂等建筑常常采用对称的设计。
2. 花纹设计：许多花纹和图案都是轴对称的，如壁纸、地板砖等。
轴对称与中心对称
轴对称与中心对称轴对称和中心对称是几何学中常用的概念，用来描述图形的对称性质。
它们在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍轴对称和中心对称的定义、性质以及一些实际应用。
轴对称的概念是指图形相对于某一条线对称，即图形绕某条线旋转180度后，仍能与原来的图形完全重合。
这条线被称为对称轴。
举个例子，我们可以想象一张纸上画了一个直角三角形，如果我们将纸沿着三角形的斜边对折，那么对折后的纸与原来的纸完全重合，这说明三角形是关于对称轴对称的。
中心对称是指图形相对于某一点对称，即图形绕某一点旋转180度后，仍能与原来的图形完全重合。
这个点被称为对称中心。
一个简单的例子是正方形，当我们将正方形绕着其中心旋转180度后，它仍然与原来的正方形完全一样。
轴对称和中心对称在几何学中有一些重要的性质。
首先，它们都是自反的，即一个图形关于对称轴或对称中心对称的话，它自身也是对称的。
其次，轴对称和中心对称都是可传递的，即如果图形A关于对称轴或对称中心对称，图形B关于同样的轴或中心对称，那么图形A 和图形B之间也是对称的。
轴对称和中心对称的应用非常广泛。
在艺术和设计领域，许多作品都利用了对称的美感。
建筑设计中，对称结构可以使建筑更加稳定和美观。
在化学领域，分子的对称性对于分子的性质和反应有着重要的影响。
在物理学中，对称性是研究物理定律和现象的基础。
总结起来，轴对称和中心对称是几何学中常用的概念，用来描述图形的对称性质。
它们有着自反性和传递性的特点，广泛应用于各个领域。
通过研究轴对称和中心对称，我们可以更深入地理解和应用几何学的知识。
平面解析几何中有关对称问题的处理
同，圭ｚ ＋）Ｌ 理ｏ ２ 善≤ ｌ ｇ
由，２一 （ ）＝ ｆ２ ） （ ＋ 知抛物线的对称 轴为 ＝ ２ 又Ｙ＝ ｆｘ 的图象开 口向下知， ， （） 当 ≤２ 时函数ｆｘ 为增函数， （） 原不等式化为
・ｇ 。
、
用抽象函数作背景解不等式
（ １ ・（一 詈即 ＋ ＜圭２＋， ２ 。 ２ ） ＋ ） ｇ
利用方程组（ ） Ｂ 建立方程组， 得
代入方程 Ｙ ＝２ ｚ 得动点 Ｂ的轨迹方程为 ｐ，
（ 一２） Ｙ ｂ ＝２ ２ — ． ｐ（ａ ）
本文 主要讨论 了点、直 线、曲线关于定点、 定直线 的对 称问题．解决这些问题 的关键所在
对称的点， 所以Ｍｏ 定在 曲线 Ｃ ： 上． Ｙ＝
、
表曲线上的点为 Ｐ （１ １， ｌ ， ） 定点为 Ｐ （ ， ） ｚｖ ｏ ｏｖ ， ｘ ｏ 相对称的曲线上对应的点为Ｐ（， ， ｘ ）则都可归
结为点与点关于定 点对称问题， 则可运用方程组
将 、 １ １ 的表达式代入 已知的曲线方程， 化 简后便 ｌＯ 珈 Ｘ －
（ Ａ ）
ｆ． 一． ＋：， 掣 ２ ２ １０
二、 关于定直线对称问题（ 即轴对称问题）
１点 关于定 直线 对 称 ．
若 Ｐ与 Ｐ 关于直线 Ａ ｘ＋Ｂｙ ＋Ｃ ＝ｏ ￣ ｘ 称， 则应满足如下两个条件： ＰＰ 的连线垂直于直线 Ａ ｘ＋Ｂｙ＋ ＝ ０ Ｐ、Ｐ 的中点应落在直线 ；
例２ 设ｆｘ 对于任意实数 、Ｙ∈Ｒ， （） ， 有
黧… ………
、 ／
，．
：
＝Ｙ ＋ ４ ＋ ６ ｙ ．
２ Ｘ一２ ＋：
：Ｏ
１ ．
／ ／ ０ ／ １
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平面解析几何中的中心对称和轴对称龙碧霞一、中心对称定义：把一个图形绕某个点旋转180o 后能与另一个图形重合。
这两个图形关于这个点对称。
这个点叫着对称中心。
性质：关于某个点成中心对称的两个图形。
对称点的连线都经过对称中心。
且被对称中心平分。
一般有三种情况。
（1） 点关于点对称。
点P （x,y ）关于点M(a,b)对称的点Q 的坐标是Q(2a-x,2b-y)。
（由中点坐标公式很容易得到）如点（１．－４）关于（－２，０）对称的点是（－５．４），（2） 直线关于点对称：直线l:Ax+By+C=0 关于点P （a,b ）对称的直线为l 1的方程是：A （2a-x ）+B(2b-y)+C=0 .即 Ax+By-2aA-2bB-C=0。
推导过程：方法一：在直线l 上任意取一点,最好是特殊点。
如取M(0,-B C )则点M 关于点P 对称的点N 的坐标是N （2a,2b+BC ）.点N l 1根据中心对称的定义。
l 11得2aA+B(2b+B C D=-2aA-2Bb-C 所以 l 1的方程是：Ax+By-2aA-2bB-C=0方法二：在直线l 上任意取两点并求出它们关于点P （a,b ）对称的点．由两点式易得直线为l 1的方程是：Ax+By-2aA-2bB-C=0．方法三：设直线为l 1上任意一点为Ｍ（x,y ），其关于点P （a,b ）对称的点M /(x /,y /)在直线为l 上．求出点M /的坐标后代入直线 l:Ax+By+C=0即得l 1的方程是：Ax+By-2aA-2bB-C=0例如：求直线l ；3x+y-2=0关于点A （-4，4）对称的直线l /方程。
解法一：关于点A 对称的两直线l 与l /互相平行。
于是可设l /的方程为：3x+y+C=0在直线l 上任取一点M （0，2），其关于点A 对称的点N 的坐标为N （-8，6），因为N 点在直线l /上。
所以3×（-8）+6+C=0，所以 C=18，故 直线l /的方程为 3x+y+18=0.解法二：在直线l ；3x+y-2=0上取两点M （0，2），N （1，-1）易得它们关于点A （-4。
4）对称的点分别为：M /（-8。
6），N （-9，9）。
由两点式得直线l /的方程为： 3x+y+18=0.解法三：设直线为l 1上任意一点为Ｍ（x,y ）其关于点A （-4，4）对称的点M / (-8-x,8-y)在直线为l 上．即 3×（-8-x ）+（8-y ）-2=0整理得 直线l /的方程为 3x+y+18=0.特别地：直线Ax+By+C=0关于原点对称的直线方程是：Ax+By-C=0（ 在上面的问题中令a=0.且b=0即得）如：直线3x+y-2=0关于原点对称的直线方程是3x+y+2=0（3）曲线关于点对称。
曲线f(x,y)=0关于点P （a,b ）对称的曲线方程是f （2a-x,2b-y ）=0推导过程：设所求曲线上任意一点M(x,y),其关于点P （a,b ）对称的点M / (x /,y /)在曲线f(x,y)=0上．用点关于点对称的方法求出点M /的坐标后代入曲线f(x,y)=0中即得所求曲线方程．特别地曲线f(x,y)=0关于原点（０，０）对称的曲线方程是f （-x,-y ）=0二、轴对称。
定义:把一个图形沿着某条直线对折以后能与另一个图形重合。
这两个图形关于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴。
性质：关于某条直线对称的两个图形，对称线段平行且相等；对称线段或其延长线相交，交点一定在对称轴上；对称点的连线都被对称轴垂直平分；等等。
一般也有三种情况：（1）、点关于直线对称。
点P （a,b ）关于直线l:Ax+By+C=0的对称点Q 的坐标为（x /,y /）根据轴对称的性质。
点P 与点Q 关于直线l 对称，则直线l 垂直平分线段PQ 。
即 线段PQ 的斜率ax b y --//与直线l 的斜率-B A 之积为-1。
且线段PQ 的中点（2/a x +，2/b y +）在直线l 上。
因此 Q 的坐标可由以下方程组求得；ax b y --//（-B A ）=-1 A 2/a x ++B 2/b y ++C=0 推导过程：根据轴对称的性质。
点P 与点Q 关于直线l 对称，则直之积为-1。
且线段PQ 的中点（2/a x +，2/b y +）在直线l 上。
（2）直线关于直线对称。
Ax+By+C=0关于x 轴对称的直线的直线方程是：Ax-By+C=0（1） Ax+By+C=0关于y 轴对称的直线的直线方程是：Ax-By-C=0（2） Ax+By+C=0关于直线y=x 对称的直线的直线方程是：Bx-Ay-C=0（3） Ax+By+C=0关于直线y=-x 对称的直线的直线方程是：Bx+Ay-C=0（4） 直线l 1 ：A 1x+B 1y+C 1=0关于直线l: Ax+By+C=0对称的直线l 2的方程。
的求法有两种情况；（a ）、l 1//l 时 因为l 1与l 2关于l 对称，由对称的性质易知l 1//l 2，且l 到l 1与l 2的距离d 1与d 2相等。
可设l 2的方程为A 1x+B 1y+D=0（D ≠C 1），在l 上任取一点如R （0，-BC )，则点R 到l 1与l 2的距离就是l 到l 1与l 2的距离。
由点到直线的距离公式不难求出D=112C BC B - 于是 l 2的方程为：A 1x+B 1y+112C BC B -=0 例：求直线l 1：2x-y-3=0 关于l: 4x-2y+5=0对称的直线l 2的方程。
解：由题意知l 1//l ，l 1与l 2关于l 对称，故l 1//l 2，可设l 2的方程为：2x-y+D=0（D ≠ -3），在直线l 上任取一点（0，25）。
则l 到l 1的距离d 1=5211 ， l 到l 2的距离d 2=525D +-由d 1=d 2得 5211=525D +- 即D=8 因此 直线l 2的方程为： 2x-y+8=0（b ）、l 1 l=P 时，有以下几种解法：（1）、由l 1 l=P 。
可求出交点坐标。
再找出l 1上任意一点（点P 除外）关于l 对称的点的坐标（用点关于直线对称的方法）。
再根据两点式求出直线l 2的方程。
（2）、由对称性可知l 1到l 的角等于l 到l 2的角，且l 2过l 1与l 的交点P ，由到角公式易求出l 2的斜率，求出交点P 的坐标后。
可由点斜式求得直线l 2的方程。
（3）、用轨迹的思想求解。
通常设直线l 2上的任意一点M （x,y ），点M 关于l 对称的点的为N （x 1,y 2），则N ∈ l 1，用x 和y 表示出点N 的坐标后。
代入l 1的方程中即得直线l 2的轨迹方程。
例：求直线l 1：2x+y-4=0,关于直线l ：3x+4y-1=0对称的直线l 2的方程。
解法一：解方程组 2x+y-4=0 得l 1与l 的交点P 的坐标是（3，-2），3x+4y-1=0在直线l ：3x+4y-1=0上任意取一点如M （2，0），点M 关于直线l 对称的点N的坐标是（58,54-），由两点式易求得直线l 2的方程为 2x+11y+16=0.解法二:由已知易3x+4y-1=得直线l 1与l 的斜率分别是-2、-43，由对称的性质知l 1到l 的角等于l 到l 2的角，令直线l 2的斜率为k ，由到角公式得)43(*)2(1243--++-=k k 431)43(--- 解得k=-112 由解法一知l 1与l 的交点P 的坐标是（3，-2），由点斜式 易求得直线l 2的方程为2x+11y+16=0.解法三：在直线l 2上任取一点P （x,y ）.其关于直线l 对称的点P /（x /,y /），由对称的性质知直线l 垂直平分线段PP /，且点P /在直线l 1上。
即线段PP /的中点（2/x x +，2/y y +）在直线l 上，且直线PP /的斜率x x y y --//与直线l 的斜率-43之积为-1。
通过解方程组 xx y y --//（-43）=-1 32/x x ++42/y y +-1=0 得x /=256247+-y x y /=-258724-+y x 将P /（x /,y /）的坐标代入直线l 1：2x+y-4=0中即得直线l 2的方程为2x+11y+16=0.（3） 曲线f(x,y)=0关于直线Ax+By+C=0对称的曲线的方程是:f(x-22)(2B A c By Ax A +++,y-22)(2B A C By Ax B +++)=0 推导过程:设所求曲线上任意一点M(x,y),则M 关于直线Ax+By+C=0对称的点M / (x /,y // (x /,y /).的坐标后代入在曲线f(x,y)=0中即得所求曲线方程.特别地:圆、椭圆、双曲线关于直线Ax+By+C=0对称的曲线的方程只需求出圆心（或中心）关于直线Ax+By+C=0对称的点，其他量不变．易得轨迹方程．优秀论文平面解析几何中的中心对称和轴对称龙碧霞。